Өөр өөр чадал, суурьтай тоог хуваах. Өөр өөр суурьтай хүчийг үржүүлэх дүрэм
Зэрэглэлийн томьёонарийн төвөгтэй илэрхийллийг багасгах, хялбарчлах, тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг.
Тоо вбайна n- тооны дах зэрэглэл аХэзээ:
Зэрэг бүхий үйлдлүүд.
1. Ижил суурьтай градусыг үржүүлэх замаар тэдгээрийн үзүүлэлтүүдийг нэмнэ.
а м·a n = a m + n .
2. Ижил суурьтай градусыг хуваахдаа тэдгээрийн илтгэгчийг хасна.
3. 2 ба түүнээс дээш хүчин зүйлийн үржвэрийн зэрэг нь эдгээр хүчин зүйлийн градусын үржвэртэй тэнцүү байна.
(abc…) n = a n · b n · c n …
4. Бутархайн зэрэг нь ногдол ашиг ба хуваагчийн градусын харьцаатай тэнцүү байна.
(a/b) n = a n / b n .
5. Хүчийг хүчирхэг болгон өсгөхөд илтгэгчийг үржүүлнэ.
(a m) n = a m n .
Дээрх томьёо бүр зүүнээс баруун тийш болон эсрэгээр чиглэлд үнэн байна.
Жишээлбэл. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.
Үндэстэй үйлдлүүд.
1. Хэд хэдэн хүчин зүйлийн үржвэрийн үндэс нь эдгээр хүчин зүйлсийн язгуурын үржвэртэй тэнцүү байна.
2. Харьцааны үндэс нь ногдол ашиг ба язгуур хуваагчийн харьцаатай тэнцүү байна.
3. Үндэсийг хүчирхэг болгохдоо радикал тоог энэ зэрэгт хүргэхэд хангалттай.
4. Хэрэв та язгуурын зэрэглэлийг нэмэгдүүлбэл nнэг удаа, нэгэн зэрэг бүтээх n th хүч нь радикал тоо бол язгуурын утга өөрчлөгдөхгүй.
5. Хэрэв та язгуурын зэрэглэлийг бууруулбал nүндсийг нь нэгэн зэрэг гаргаж авна n-Радикал тооны р зэрэгтэй байвал язгуурын утга өөрчлөгдөхгүй:
Сөрөг илтгэгчтэй зэрэг.Эерэг бус (бүхэл тоо) илтгэгчтэй тодорхой тооны хүчийг эерэг бус илтгэгчийн үнэмлэхүй утгатай тэнцүү илтгэгчтэй ижил тооны хүчинд хуваах байдлаар тодорхойлогддог.
Томъёо а м:a n =a m - nзориулаад зогсохгүй ашиглаж болно м> n, гэхдээ бас хамт м< n.
Жишээлбэл. а4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.
Томъёо руу а м:a n =a m - nхэзээ шударга болсон m=n, тэг градус байх шаардлагатай.
Тэг индекстэй зэрэг.Тэг илтгэгчтэй 0-тэй тэнцүү биш аливаа тооны хүчин чадал нэгтэй тэнцүү байна.
Жишээлбэл. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Бутархай илтгэгчтэй зэрэг.Бодит тоог нэмэгдүүлэхийн тулд Азэрэг хүртэл м/н, та үндсийг нь задлах хэрэгтэй n-ийн зэрэг м- энэ тооны 1-р зэрэглэл А.
Өмнөх нийтлэлд бид мономи гэж юу болохыг тайлбарласан. Энэ материалд бид тэдгээрийг ашигласан жишээ, асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар авч үзэх болно. Энд бид мономиалуудыг хасах, нэмэх, үржүүлэх, хуваах, тэдгээрийг байгалийн илтгэгчтэй зэрэгт хүргэх зэрэг үйлдлүүдийг авч үзэх болно. Бид ийм үйл ажиллагаа хэрхэн тодорхойлогддог, тэдгээрийг хэрэгжүүлэх үндсэн дүрмүүд, үр дүн нь юу байх ёстойг харуулах болно. Бүх онолын үзэл баримтлалыг ердийнх шигээ шийдлийн тайлбар бүхий асуудлын жишээгээр тайлбарлах болно.
Мономиалуудын стандарт тэмдэглэгээтэй ажиллах нь хамгийн тохиромжтой тул нийтлэлд хэрэглэгдэх бүх хэллэгийг стандарт хэлбэрээр танилцуулж байна. Хэрэв тэдгээрийг анхнаасаа өөрөөр зааж өгсөн бол эхлээд нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн хэлбэрт оруулахыг зөвлөж байна.
Мономиаль нэмэх, хасах дүрэм
Мономиальтай хийж болох хамгийн энгийн үйлдлүүд бол хасах, нэмэх үйлдэл юм. Ерөнхийдөө эдгээр үйлдлүүдийн үр дүн нь олон гишүүнт байх болно (зарим онцгой тохиолдолд мономиал боломжтой).
Бид мономиалуудыг нэмэх эсвэл хасахдаа эхлээд нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн хэлбэрээр харгалзах нийлбэр ба зөрүүг бичиж, дараа нь үүссэн илэрхийллийг хялбаршуулдаг. Хэрэв ижил төстэй нэр томъёо байгаа бол тэдгээрийг ишлэлд оруулах шаардлагатай бөгөөд хашилтыг нээх хэрэгтэй. Үүнийг жишээгээр тайлбарлая.
Жишээ 1
Нөхцөл:− 3 x ба 2, 72 x 3 y 5 z мономиалуудын нэмэхийг гүйцэтгэнэ.
Шийдэл
Анхны илэрхийллүүдийн нийлбэрийг бичье. Хаалтанд нэмж, тэдгээрийн хооронд нэмэх тэмдэг тавьцгаая. Бид дараахь зүйлийг авах болно.
(− 3 x) + (2, 72 x 3 y 5 z)
Хаалтанд өргөтгөл хийх үед бид - 3 x + 2, 72 x 3 y 5 z-ийг авна. Энэ нь стандарт хэлбэрээр бичигдсэн олон гишүүнт бөгөөд эдгээр мономиалуудыг нэмсний үр дүн болно.
Хариулт:(− 3 x) + (2.72 x 3 y 5 z) = − 3 x + 2.72 x 3 y 5 z.
Хэрэв бид гурав, дөрөв ба түүнээс дээш хугацаатай бол бид энэ үйлдлийг яг ижил аргаар гүйцэтгэдэг.
Жишээ 2
Нөхцөл:олон гишүүнттэй заасан үйлдлүүдийг зөв дарааллаар гүйцэтгэнэ
3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c
Шийдэл
Хаалтуудыг нээж эхэлцгээе.
3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c
Бид ижил төстэй нэр томъёог нэмснээр үүссэн илэрхийлэлийг хялбаршуулж болохыг харж байна.
3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = = (3 a 2 + a 2 - 7 a 2) + 4 a c - 2 2 3 a c + 4 9 = = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9
Бидэнд олон гишүүнт байгаа бөгөөд энэ нь энэ үйлдлийн үр дүн болно.
Хариулт: 3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9
Зарчмын хувьд бид зарим хязгаарлалттайгаар хоёр мономиал нэмж хасах боломжтой бөгөөд ингэснээр бид мономиалтай болно. Үүнийг хийхийн тулд нэмэх, хасах мономиалуудын зарим нөхцлийг хангасан байх шаардлагатай. Үүнийг хэрхэн яаж хийхийг бид тусдаа өгүүллээр танд хэлэх болно.
Мономитуудыг үржүүлэх дүрэм
Үржүүлэх үйлдэл нь хүчин зүйлүүдэд ямар нэгэн хязгаарлалт тавьдаггүй. Үр дүн нь мономиал байхын тулд үржүүлж буй мономиалууд нь нэмэлт нөхцөлийг хангасан байх албагүй.
Мономиалуудыг үржүүлэхийн тулд та дараах алхмуудыг хийх хэрэгтэй.
- Хэсгийг зөв бичнэ үү.
- Үүссэн илэрхийлэл дэх хашилтыг өргөжүүлнэ үү.
- Боломжтой бол ижил хувьсагчтай хүчин зүйлүүд болон тоон хүчин зүйлсийг тус тусад нь бүлэглээрэй.
- Тоонуудаар шаардлагатай үйлдлүүдийг хийж, ижил суурьтай хүчийг үржүүлэх шинж чанарыг үлдсэн хүчин зүйлүүдэд хэрэглэнэ.
Үүнийг практикт хэрхэн яаж хийхийг харцгаая.
Жишээ 3
Нөхцөл:мономиалуудыг 2 x 4 y z ба - 7 16 t 2 x 2 z 11-ийг үржүүл.
Шийдэл
Бүтээлийг зохиож эхэлцгээе.
Бид доторх хаалтуудыг нээгээд дараахь зүйлийг авна.
2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11
2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11
Бидний хийх ёстой зүйл бол эхний хаалтанд байгаа тоог үржүүлж, хоёр дахь хаалтанд хүчний шинж чанарыг ашиглах явдал юм. Үүний үр дүнд бид дараахь зүйлийг олж авна.
2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11 = - 7 8 t 2 x 4 + 2 y z 3 + 11 = = - 7 8 t 2 x 6 y z 14
Хариулт: 2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11 = - 7 8 t 2 x 6 y z 14 .
Хэрэв бидний нөхцөл гурав ба түүнээс дээш олон гишүүнтийг агуулж байвал бид яг ижил алгоритмыг ашиглан үржүүлнэ. Бид тусдаа материалаар мономиалуудыг үржүүлэх асуудлыг илүү нарийвчлан авч үзэх болно.
Мономиалыг хүчирхэг болгох дүрэм
Байгалийн илтгэгчтэй хүч нь тодорхой тооны ижил хүчин зүйлийн үржвэр гэдгийг бид мэднэ. Тэдний тоог индикатор дахь тоогоор зааж өгсөн болно. Энэ тодорхойлолтын дагуу мономиалыг хүчирхэг болгох нь заасан тооны ижил мономиалуудыг үржүүлсэнтэй тэнцэнэ. Үүнийг хэрхэн хийснийг харцгаая.
Жишээ 4
Нөхцөл:мономиал − 2 · a · b 4-ийг 3 зэрэгт хүргэнэ.
Шийдэл
Бид экспонентацийг 3 мономиал − 2 · a · b 4-ийн үржвэрээр сольж болно. Үүнийг бичээд хүссэн хариултаа авцгаая:
(− 2 · a · b 4) 3 = (− 2 · a · b 4) · (− 2 · a · b 4) · (− 2 · a · b 4) = = ((− 2) · (−) 2) · (− 2)) · (a · a · a) · (b 4 · b 4 · b 4) = − 8 · a 3 · b 12
Хариулт:(− 2 · a · b 4) 3 = − 8 · a 3 · b 12 .
Харин зэрэг нь том үзүүлэлттэй байвал яах вэ? Олон тооны хүчин зүйлийг бүртгэх нь тохиромжгүй байдаг. Дараа нь ийм асуудлыг шийдэхийн тулд бид зэрэглэлийн шинж чанаруудыг, тухайлбал бүтээгдэхүүний зэргийн шинж чанар, зэрэглэлийн шинж чанарыг хэрэглэх хэрэгтэй.
Заасан аргыг ашиглан дээр дурдсан асуудлыг шийдье.
Жишээ 5
Нөхцөл:өсгөх − 2 · a · b 4 гурав дахь зэрэглэлд.
Шийдэл
Хүчин чадлын шинж чанарыг мэдсэнээр бид дараах хэлбэрийн илэрхийлэл рүү шилжиж болно.
(− 2 · a · b 4) 3 = (− 2) 3 · a 3 · (b 4) 3 .
Үүний дараа бид эрх мэдлийг дээшлүүлж - 2, эрх мэдлийн өмчийг эрх мэдэлд хэрэглэнэ.
(− 2) 3 · (a) 3 · (b 4) 3 = − 8 · a 3 · b 4 · 3 = − 8 · a 3 · b 12 .
Хариулт:− 2 · a · b 4 = − 8 · a 3 · b 12 .
Мөн бид мономиалыг хүчирхэг болгоход тусдаа нийтлэл зориулав.
Мономиалуудыг хуваах дүрэм
Энэ материалд авч үзэх хамгийн сүүлийн ажиллагаа бол мономиалыг мономиалаар хуваах явдал юм. Үүний үр дүнд бид оновчтой (алгебрийн) бутархай авах ёстой (зарим тохиолдолд мономиал авах боломжтой). 0-д хуваагдах нь тодорхойлогдоогүй тул тэг мономиалд хуваагдах нь тодорхойгүй гэдгийг нэн даруй тодруулцгаая.
Хуваалтыг хийхийн тулд бид заасан мономиалуудыг бутархай хэлбэрээр бичиж, боломжтой бол багасгах хэрэгтэй.
Жишээ 6
Нөхцөл:− 9 · x 4 · y 3 · z 7-г − 6 · p 3 · t 5 · x 2 · y 2-т хуваа.
Шийдэл
Мономитуудыг бутархай хэлбэрээр бичиж эхэлцгээе.
9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2
Энэ хэсгийг багасгаж болно. Энэ үйлдлийг хийсний дараа бид дараахь зүйлийг авна.
3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5
Хариулт:- 9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2 = 3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5 .
Мономиалыг хуваах үр дүнд бид мономиал олж авах нөхцөлийг тусдаа өгүүллээр өгсөн болно.
Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу
Сүүлийн видео хичээлээр бид тодорхой суурийн зэрэг нь экспоненттэй тэнцүү хэмжээгээр авсан суурийн үржвэрийг өөрөө илэрхийлэх илэрхийлэл гэдгийг олж мэдсэн. Одоо эрх мэдлийн хамгийн чухал шинж чанар, үйл ажиллагааны заримыг судалж үзье.
Жишээлбэл, ижил суурьтай хоёр өөр хүчийг үржүүлье.
Энэхүү бүтээлийг бүрэн эхээр нь толилуулъя:
(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32
Энэ илэрхийллийн утгыг тооцоолсны дараа бид 32 тоог авна. Нөгөө талаас, ижил жишээнээс харахад 32-ыг 5 удаа авсан ижил суурийн (хоёр) үржвэр болгон төлөөлж болно. Үнэхээр, хэрэв та үүнийг тоолж үзвэл:
Тиймээс бид итгэлтэйгээр дүгнэж болно:
(2) 3 * (2) 2 = (2) 5
Энэ дүрэм нь ямар ч үзүүлэлт, ямар ч шалтгаанаар амжилттай ажилладаг. Хүч чадлын үржүүлгийн энэ шинж чанар нь бүтээгдэхүүнийг хувиргах явцад илэрхийллийн утга хадгалагдана гэсэн дүрмээс үүсдэг. Аливаа суурийн хувьд (a)x ба (a)y хоёр илэрхийллийн үржвэр нь a(x + y)-тэй тэнцүү байна. Өөрөөр хэлбэл, ижил суурьтай аливаа илэрхийлэл үүсэхэд үүссэн мономиал нь эхний болон хоёр дахь илэрхийлэлийн градусыг нэмснээр үүссэн нийт зэрэгтэй байна.
Үзүүлсэн дүрэм нь хэд хэдэн илэрхийллийг үржүүлэхэд маш сайн ажилладаг. Гол нөхцөл бол хүн бүр ижил суурьтай байх явдал юм. Жишээлбэл:
(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8
Хэрэв үндэс нь өөр бол илэрхийлэлийн хоёр элементтэй зэрэглэл нэмэх, мөн хүч чадалд суурилсан хамтарсан үйлдлийг гүйцэтгэх боломжгүй юм.
Манай видеоноос харахад үржүүлэх, хуваах үйл явцын ижил төстэй байдлаас шалтгаалан бүтээгдэхүүн дэх хүчийг нэмэх дүрмийг хуваах журамд төгс шилжүүлдэг. Энэ жишээг авч үзье:
Үг хэллэгийг бүрэн хэлбэр болгон хувиргаж, ногдол ашиг болон хуваагч дахь ижил элементүүдийг бууруулъя:
(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4
Энэ жишээний эцсийн үр дүн тийм ч сонирхолтой биш, учир нь үүнийг шийдвэрлэх явцад илэрхийллийн утга нь хоёрын квадраттай тэнцүү байх нь тодорхой болсон. Мөн энэ нь хоёр дахь илэрхийлэлийн зэргийг эхнийхээс нь хасч гаргаж авсан хоёр юм.
Хуваагчийн зэрэглэлийг тодорхойлохын тулд ногдол ашгийн зэргээс хуваагчийн зэргийг хасах шаардлагатай. Дүрэм нь өөрийн бүх үнэт зүйлс, байгалийн бүх хүчнүүдийн хувьд ижил суурьтай ажилладаг. Хийсвэрлэлийн хэлбэрээр бид:
(a) x / (a) y = (a) x - y
Ижил сууриудыг градусаар хуваах дүрмийн дагуу тэг градусын тодорхойлолт гарч ирнэ. Мэдээжийн хэрэг, дараах илэрхийлэл дараах байдалтай байна.
(a) x / (a) x = (a) (x - x) = (a) 0
Нөгөө талаас, хэрэв бид хуваалтыг илүү харааны аргаар хийвэл бид дараахь зүйлийг авна.
(а) 2 / (а) 2 = (а) (а) / (а) (а) = 1
Бутархайн бүх харагдах элементүүдийг багасгахад 1/1 илэрхийлэл нь үргэлж олддог, өөрөөр хэлбэл нэг. Тиймээс, тэг хүчин чадал руу өргөгдсөн аливаа суурь нь нэгтэй тэнцүү байна гэж ерөнхийд нь хүлээн зөвшөөрдөг.
А-ийн үнэ цэнээс үл хамааран.
Гэсэн хэдий ч, 0 (ямар ч үржүүлгийн хувьд 0-ийг өгдөг) ямар нэгэн байдлаар нэгтэй тэнцүү байвал утгагүй байх болно, тиймээс (0) 0 (тэгээс тэг хүртэл) хэлбэрийн илэрхийлэл нь зүгээр л утгагүй бөгөөд томъёогоор ( a) 0 = 1 бол "хэрэв a нь 0-тэй тэнцүү биш бол" гэсэн нөхцөлийг нэмнэ.
Дасгалыг шийдье. Илэрхийллийн утгыг олъё:
(34) 7 * (34) 4 / (34) 11
Суурь нь хаа сайгүй ижил бөгөөд 34-тэй тэнцүү тул эцсийн утга нь зэрэгтэй ижил суурьтай байна (дээрх дүрмийн дагуу):
Өөрөөр хэлбэл:
(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1
Хариулт: илэрхийлэл нь нэгтэй тэнцүү байна.
Хичээлийн агуулгаЭрдмийн зэрэг гэж юу вэ?
Зэрэгхэд хэдэн ижил хүчин зүйлийн бүтээгдэхүүн гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл:
2 × 2 × 2
Энэ илэрхийллийн утга нь 8 байна
2 × 2 × 2 = 8
Энэ тэгш байдлын зүүн талыг богиносгож болно - эхлээд давтагдах хүчин зүйлийг бичиж, дээр нь хэдэн удаа давтахыг зааж өгнө үү. Энэ тохиолдолд давтагдах үржүүлэгч нь 2. Энэ нь гурван удаа давтагдана. Тиймээс бид хоёрын дээр гурвыг бичнэ:
2 3 = 8
Энэ илэрхийлэл нь: " хоёроос гурав дахь зэрэг нь наймтай тэнцүү" эсвэл " 2-ын гурав дахь зэрэг нь 8 байна."
Ижил хүчин зүйлийг үржүүлэх тэмдэглэгээний богино хэлбэрийг илүү олон удаа ашигладаг. Тиймээс, хэрэв тоон дээр өөр тоо бичсэн бол энэ нь хэд хэдэн ижил хүчин зүйлийн үржвэр болно гэдгийг санах хэрэгтэй.
Жишээлбэл, хэрэв 5 3 илэрхийлэл өгөгдсөн бол энэ илэрхийлэл нь 5 × 5 × 5 гэж бичихтэй тэнцүү гэдгийг санах нь зүйтэй.
Дахин давтагдах дугаарыг дуудна зэрэглэлийн суурь. 5 3 илэрхийлэл дэх чадлын суурь нь 5 тоо юм.
Мөн 5-ын тоон дээр бичигдсэн тоог дууддаг илтгэгч. 5 3 илэрхийлэлд илтгэгч нь 3-ын тоо юм. Тухайн илтгэгчийн суурь хэдэн удаа давтагдаж байгааг илтгэгчээр илэрхийлнэ. Манай тохиолдолд 5-р суурь гурван удаа давтагдана
Ижил хүчин зүйлийг үржүүлэх үйлдлийг гэнэ экспонентацаар.
Жишээлбэл, хэрэв та тус бүр нь 2-той тэнцүү дөрвөн ижил хүчин зүйлийн үржвэрийг олох шаардлагатай бол энэ тоог 2 гэж хэлдэг. дөрөв дэх эрх мэдэлд хүргэв:
2-оос дөрөв дэх зэрэглэл нь 16 гэсэн тоо болохыг бид харж байна.
Энэ хичээл дээр бид харж байгааг анхаарна уу натурал илтгэгчтэй градус. Энэ нь илтгэгч нь натурал тоо болох зэрэглэлийн төрөл юм. Натурал тоонууд нь тэгээс их бүхэл тоо гэдгийг санаарай. Жишээлбэл, 1, 2, 3 гэх мэт.
Ерөнхийдөө байгалийн илтгэгчтэй зэрэглэлийн тодорхойлолт дараах байдалтай байна.
зэрэг абайгалийн үзүүлэлттэй nхэлбэрийн илэрхийлэл юм a n, энэ нь бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна nхүчин зүйлүүд, тус бүр нь тэнцүү байна а
Жишээ нь:
Та тоог нэг том болгохдоо болгоомжтой байх хэрэгтэй. Ихэнхдээ анхаарал болгоомжгүй байдлаас болж хүн илтгэгчийн суурийг илтгэгчээр үржүүлдэг.
Жишээлбэл, 5-ын тоо хоёр дахь зэрэг нь хоёр хүчин зүйлийн үржвэр бөгөөд тус бүр нь 5-тай тэнцүү байна. Энэ үржвэр нь 25-тай тэнцүү байна.
Одоо бид 5 суурийг санамсаргүйгээр 2-р илтгэгчээр үржүүлсэн гэж төсөөлөөд үз дээ
Хоёрдахь зэрэглэлийн 5-ын тоо 10-тай тэнцэхгүй байгаа тул алдаа гарлаа.
Нэмж дурдахад 1-р илтгэгчтэй тооны хүчин чадал нь өөрөө тоо гэдгийг дурдах хэрэгтэй.
Жишээлбэл, эхний зэрэглэлийн 5-ын тоо нь өөрөө 5-ын тоо юм
Үүний дагуу хэрэв тоо нь үзүүлэлтгүй бол индикатор нь нэгтэй тэнцүү байна гэж үзэх ёстой.
Жишээлбэл, 1, 2, 3 тоонууд нь илтгэгчгүйгээр өгөгдсөн тул тэдгээрийн илтгэгч нь нэгтэй тэнцүү байх болно. Эдгээр тоо бүрийг 1-р илтгэгчээр бичиж болно
Хэрэв та 0-ийг ямар нэг хэмжээнд өсгөвөл та 0-ийг авна. Үнэн хэрэгтээ та аливаа зүйлийг хэдэн удаа өөрөө үржүүлсэн ч юу ч гарахгүй. Жишээ нь:
Мөн 0 0 илэрхийлэл нь ямар ч утгагүй юм. Гэхдээ математикийн зарим салбар, тухайлбал анализ, олонлогын онолд 0 0 гэсэн илэрхийлэл утга учиртай байж болно.
Дадлага хийхийн тулд тоонуудыг хүчирхэгжүүлэх хэд хэдэн жишээг шийдье.
Жишээ 1. 3-ын тоог хоёр дахь зэрэглэлд хүргэнэ.
Хоёрдахь зэрэглэлийн 3-ын тоо нь хоёр хүчин зүйлийн үржвэр бөгөөд тус бүр нь 3-тай тэнцүү байна
3 2 = 3 × 3 = 9
Жишээ 2. 2-ын тоог дөрөв дэх зэрэгт хүргэнэ.
2-оос дөрөв дэх зэрэглэлийн тоо нь дөрвөн хүчин зүйлийн үржвэр бөгөөд тус бүр нь 2-той тэнцүү байна
2 4 =2 × 2 × 2 × 2 = 16
Жишээ 3. 2-ын тоог гуравдахь зэрэглэл болгон өсгө.
Гурав дахь зэрэглэлийн 2-ын тоо нь гурван хүчин зүйлийн үржвэр бөгөөд тус бүр нь 2-той тэнцүү байна
2 3 =2 × 2 × 2 = 8
10-ын тоог хүчирхэг болгон өсгөж байна
10-ын тоог хүчирхэг болгохын тулд нэгийн дараа экспоненттай тэнцүү тооны тэг нэмэхэд хангалттай.
Жишээлбэл, 10-ын тоог хоёр дахь зэрэглэлд шилжүүлье. Эхлээд бид 10-ын тоог өөрөө бичиж, 2-ын тоог үзүүлэлт болгон зааж өгнө
10 2
Одоо бид тэнцүү тэмдэг тавьж, нэгийг бичээд дараа нь хоёр тэг бичнэ, учир нь тэгийн тоо нь экспоненттэй тэнцүү байх ёстой.
10 2 = 100
Хоёрдахь зэрэглэлийн 10-ын тоо нь 100-ын тоо гэсэн үг.Энэ нь хоёр дахь зэрэглэлийн 10-ын тоо нь хоёр хүчин зүйлийн үржвэр бөгөөд тус бүр нь 10-тай тэнцүү байдагтай холбоотой юм.
10 2 = 10 × 10 = 100
Жишээ 2. 10-ын тоог гуравдахь зэрэглэлд шилжүүлье.
Энэ тохиолдолд нэгийн дараа гурван тэг байх болно:
10 3 = 1000
Жишээ 3. 10-ын тоог 4-р зэрэглэлд шилжүүлье.
Энэ тохиолдолд нэгийн дараа дөрвөн тэг байх болно:
10 4 = 10000
Жишээ 4. 10-ын тоог эхний зэрэглэлд хүргэцгээе.
Энэ тохиолдолд нэгийн дараа нэг тэг байх болно:
10 1 = 10
10, 100, 1000 тоог 10 суурьтай зэрэглэлээр илэрхийлэх
10, 100, 1000, 10000 тоонуудыг 10 суурьтай зэрэглэлээр илэрхийлэхийн тулд суурь 10-ыг бичиж, илтгэгч болгон анхны тооны тэгтэй тэнцэх тоог зааж өгөх хэрэгтэй.
10-ын тоог 10-ын суурьтай зэрэглэлээр төсөөлье.Бид нэг тэгтэй болохыг харж байна. Энэ нь 10-ын суурь нь 10-ын тоог 10 1-ээр илэрхийлнэ гэсэн үг юм.
10 = 10 1
Жишээ 2. 100-ын тоог 10-ын суурьтай зэрэглэлээр төсөөлье. 100 тоо нь хоёр тэг агуулж байгааг бид харж байна. Энэ нь 10-ийн суурьтай 100-ын тоог 10 2-оор илэрхийлнэ гэсэн үг юм.
100 = 10 2
Жишээ 3. 1000-ын тоог 10-ын суурьтай зэрэглэлээр илэрхийлье.
1 000 = 10 3
Жишээ 4. 10000-ын тоог 10-ын суурьтай зэрэглэлээр илэрхийлье.
10 000 = 10 4
Хүчин чадалд сөрөг тоог өсгөх
Сөрөг тоог зэрэглэлд оруулахдаа үүнийг хаалтанд оруулах ёстой.
Жишээлбэл, −2 гэсэн сөрөг тоог хоёр дахь зэрэглэлд шилжүүлье. Хоёрдахь түвшний −2 тоо нь хоёр хүчин зүйлийн үржвэр бөгөөд тус бүр нь (−2)-тэй тэнцүү байна.
(−2) 2 = (−2) × (−2) = 4
Хэрэв бид −2 тоог хаалтанд оруулаагүй бол бид −2 2 илэрхийлэлийг тооцоолж байна. тэнцүү биш 4 . −2² илэрхийлэл нь −4-тэй тэнцүү байна. Яагаад гэдгийг ойлгохын тулд зарим зүйлд анхаарлаа хандуулъя.
Эерэг тооны өмнө хасах тэмдэг тавихад бид үүнийг гүйцэтгэдэг эсрэг утга авах үйл ажиллагаа.
Танд 2-ын тоог өгсөн гэж бодъё, та түүний эсрэг тоог олох хэрэгтэй. 2-ын эсрэг тал нь -2 гэдгийг бид мэднэ. Өөрөөр хэлбэл 2-ын эсрэг тоог олохын тулд энэ тооны өмнө хасах тэмдэг тавихад хангалттай. Тооны өмнө хасах тэмдэг оруулах нь математикт аль хэдийн бүрэн ажиллагаатай гэж тооцогддог. Энэ үйлдлийг дээр дурдсанчлан эсрэг утгыг авах үйлдэл гэж нэрлэдэг.
−2 2 илэрхийлэлийн хувьд эсрэг утгыг авч, хүч чадалд хүргэх гэсэн хоёр үйлдэл хийгдэнэ. Эрх мэдэлд хүрэх нь эсрэг утгатай байхаас илүү чухал ач холбогдолтой.
Иймд −2 2 илэрхийллийг хоёр үе шаттайгаар тооцно. Нэгдүгээрт, экспонентацийн үйлдлийг гүйцэтгэдэг. Энэ тохиолдолд эерэг тоо 2-ыг хоёр дахь зэрэглэлд шилжүүлэв
Дараа нь эсрэг утгатай утгыг авсан. Энэ эсрэг утгатай утгыг 4. 4-ийн эсрэг утга нь −4 байна
−2 2 = −4
Хаалт нь гүйцэтгэлийн хамгийн чухал ач холбогдолтой. Тиймээс (−2) 2 илэрхийллийг тооцоолохдоо эхлээд эсрэг утгыг авч, дараа нь −2 сөрөг тоог хоёр дахь зэрэгт шилжүүлнэ. Сөрөг тоонуудын үржвэр эерэг тоо тул үр дүн нь эерэг хариулт 4 байна.
Жишээ 2. −2 тоог гурав дахь зэрэглэлд шилжүүл.
Гурав дахь зэрэглэлийн −2 тоо нь гурван хүчин зүйлийн үржвэр бөгөөд тус бүр нь (−2)-тэй тэнцүү байна.
(−2) 3 = (−2) × (−2) × (−2) = −8
Жишээ 3. −2 тоог дөрөв дэх зэрэгт хүргэнэ.
−2-оос дөрөв дэх зэрэглэлийн тоо нь дөрвөн хүчин зүйлийн үржвэр бөгөөд тус бүр нь (−2)-тэй тэнцүү байна.
(−2) 4 = (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = 16
Сөрөг тоог хүч болгон өсгөхөд эерэг эсвэл сөрөг хариултыг авах боломжтой гэдгийг харахад хялбар байдаг. Хариултын тэмдэг нь анхны зэргийн индексээс хамаарна.
Хэрэв экспонент тэгш бол хариулт эерэг байх болно. Экспонент нь сондгой бол хариулт нь сөрөг байх болно. Үүнийг −3 тооны жишээн дээр үзүүлье
Эхний болон гурав дахь тохиолдолд индикатор байсан хачинтоо, тиймээс хариулт нь болсон сөрөг.
Хоёр, дөрөв дэх тохиолдолд индикатор байсан бүртоо, тиймээс хариулт нь болсон эерэг.
Жишээ 7.−5-ыг гурав дахь зэрэглэлд хүргэнэ.
Гурав дахь түвшний −5 тоо нь гурван хүчин зүйлийн үржвэр бөгөөд тус бүр нь −5-тай тэнцүү байна. Экспонент 3 нь сондгой тоо тул хариулт нь сөрөг байх болно гэдгийг бид урьдчилан хэлж болно.
(−5) 3 = (−5) × (−5) × (−5) = −125
Жишээ 8.−4-ийг дөрөв дэх зэрэгт хүргэнэ.
−4-ээс дөрөв дэх зэрэглэлийн тоо нь дөрвөн хүчин зүйлийн үржвэр бөгөөд тус бүр нь -4-тэй тэнцүү байна. Түүгээр ч зогсохгүй 4-р илтгэгч тэгш, тиймээс хариулт эерэг байх болно гэдгийг бид урьдчилан хэлж болно.
(−4) 4 = (−4) × (−4) × (−4) × (−4) = 256
Илэрхийллийн утгыг олох
Хаалт агуулаагүй илэрхийллийн утгыг олохдоо эхлээд тэлэх, дараа нь гарч ирэх дарааллаар нь үржүүлэх, хуваах, дараа нь гарч ирэх дарааллаар нэмэх, хасах үйлдлийг хийнэ.
Жишээ 1. 2 + 5 2 илэрхийллийн утгыг ол
Нэгдүгээрт, экспонентацийг гүйцэтгэнэ. Энэ тохиолдолд 5-ын тоог хоёр дахь зэрэглэлд шилжүүлнэ - бид 25-ыг авна. Дараа нь энэ үр дүнг 2-ын тоонд нэмнэ.
2 + 5 2 = 2 + 25 = 27
Жишээ 10. −6 2 × (−12) илэрхийллийн утгыг ол.
Нэгдүгээрт, экспонентацийг гүйцэтгэнэ. −6 тоо нь хаалтанд ороогүй тул 6-ын тоог хоёрдахь зэрэглэлд шилжүүлж, үр дүнгийн өмнө хасах тэмдэг тавина.
−6 2 × (−12) = −36 × (−12)
Бид жишээг −36-аар (−12) үржүүлж дуусгана.
−6 2 × (−12) = −36 × (−12) = 432
Жишээ 11. −3 × 2 2 илэрхийллийн утгыг ол
Нэгдүгээрт, экспонентацийг гүйцэтгэнэ. Дараа нь үр дүнг −3 тоогоор үржүүлнэ
−3 × 2 2 = −3 × 4 = −12
Хэрэв илэрхийлэлд хаалт байгаа бол эхлээд эдгээр хаалтанд үйлдлүүдийг хийж, дараа нь тэлэх, дараа нь үржүүлэх, хуваах, дараа нь нэмэх, хасах үйлдлийг гүйцэтгэх ёстой.
Жишээ 12. (3 2 + 1 × 3) − 15 + 5 илэрхийллийн утгыг ол
Эхлээд бид хаалтанд байгаа үйлдлүүдийг гүйцэтгэдэг. Хаалтанд бид өмнө нь сурсан дүрмийг хэрэгжүүлдэг, тухайлбал бид эхлээд 3-ын тоог хоёр дахь зэрэглэлд шилжүүлж, дараа нь 1 × 3-ыг үржүүлж, дараа нь 3-ын тоог хоёр дахь зэрэгт өсгөж, 1 × 3-ыг үржүүлсний үр дүнг нэмнэ. . Дараа нь хасах, нэмэх үйлдлийг гарч ирэх дарааллаар гүйцэтгэнэ. Анхны илэрхийлэл дээр үйлдлийг гүйцэтгэх дараах дарааллыг зохион байгуулъя.
(3 2 + 1 × 3) − 15 + 5 = 12 − 15 + 5 = 2
Жишээ 13. 2 × 5 3 + 5 × 2 3 илэрхийллийн утгыг ол
Эхлээд тоонуудыг хүч болгон өсгөж, дараа нь үржүүлж үр дүнг нэмье.
2 × 5 3 + 5 × 2 3 = 2 × 125 + 5 × 8 = 250 + 40 = 290
Ижил чадлын өөрчлөлтүүд
Хүчин чадал дээр янз бүрийн таних хувиргалтыг хийж, ингэснээр тэдгээрийг хялбаршуулж болно.
Бид (2 3) 2 илэрхийллийг тооцоолох хэрэгтэй гэж бодъё. Энэ жишээнд хоёроос гурав дахь хүчийг хоёр дахь зэрэглэлд шилжүүлэв. Өөрөөр хэлбэл, эрдмийн зэрэг дэвийг өөр зэрэгтэй болгож байна.
(2 3) 2 нь тус бүр нь 2 3-тай тэнцүү хоёр зэрэглэлийн үржвэр юм
Түүнээс гадна эдгээр хүч тус бүр нь гурван хүчин зүйлийн үржвэр бөгөөд тус бүр нь 2-той тэнцүү байна
Бид 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 үржвэрийг авсан бөгөөд энэ нь 64-тэй тэнцүү байна. Энэ нь илэрхийллийн утга (2 3) 2 буюу 64-тэй тэнцүү гэсэн үг юм.
Энэ жишээг маш хялбарчилж болно. Үүнийг хийхийн тулд (2 3) 2 илэрхийллийн илтгэгчийг үржүүлж, энэ үржвэрийг 2 суурь дээр бичиж болно.
Бид 26 авсан. Хоёроос зургаа дахь зэрэг нь зургаан хүчин зүйлийн үржвэр бөгөөд тус бүр нь 2. Энэ үржвэр нь 64-тэй тэнцүү байна.
2 3 нь 2 × 2 × 2-ын үржвэр бөгөөд энэ нь эргээд хоёр удаа давтагддаг тул энэ шинж чанар ажилладаг. Дараа нь 2-р суурь зургаан удаа давтагдсан байна. Эндээс бид 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 нь 2 6 гэж бичиж болно.
Ерөнхийдөө ямар ч шалтгаанаар аүзүүлэлтүүдтэй мТэгээд n, дараах тэгш байдлыг хангана.
(a n)m = a n × m
Энэ ижил өөрчлөлтийг нэрлэдэг хүчийг хүчирхэг болгох. Үүнийг дараах байдлаар уншиж болно. "Чадлыг хүч болгон нэмэгдүүлэх үед суурь нь өөрчлөгдөхгүй, илтгэгч нь үрждэг" .
Шалгуур үзүүлэлтүүдийг үржүүлсний дараа та өөр зэрэг авах бөгөөд түүний утгыг олж болно.
Жишээ 2. (3 2) 2 илэрхийллийн утгыг ол
Энэ жишээнд суурь нь 3, 2 ба 2 тоонууд нь илтгэгч юм. Эрх мэдлийг хүчирхэг болгох дүрмийг ашиглая. Бид суурийг хэвээр үлдээж, үзүүлэлтүүдийг үржүүлнэ.
Бид 3 4 авсан. Мөн 3-аас дөрөв дэх зэрэглэлийн тоо нь 81 байна
Үлдсэн өөрчлөлтүүдийг авч үзье.
Үржүүлэх чадвар
Хүчийг үржүүлэхийн тулд хүч тус бүрийг тусад нь тооцоолж, үр дүнг үржүүлэх хэрэгтэй.
Жишээлбэл, 2 2-ыг 3 3-аар үржүүлье.
2 2 нь 4, 3 3 нь 27 гэсэн тоо юм. 4 ба 27 тоог үржүүлбэл 108 болно
2 2 × 3 3 = 4 × 27 = 108
Энэ жишээнд зэрэглэлийн суурь өөр байсан. Хэрэв суурь нь ижил байвал та нэг суурийг бичиж, анхны градусын үзүүлэлтүүдийн нийлбэрийг индикатор болгон бичиж болно.
Жишээлбэл, 2 2-ыг 2 3-аар үржүүлнэ
Энэ жишээнд зэрэглэлийн суурь нь ижил байна. Энэ тохиолдолд та нэг суурь 2-ыг бичиж, 2 2 ба 2 3 зэрэглэлийн илтгэгчийн нийлбэрийг илтгэгч болгон бичиж болно. Өөрөөр хэлбэл, үндэслэлийг хэвээр үлдээж, анхны зэрэглэлийн үзүүлэлтүүдийг нэмнэ. Энэ нь дараах байдлаар харагдах болно.
Бид 25 авсан. 2-оос тав дахь зэрэглэлийн тоо нь 32 байна
2 2 нь 2 × 2, 2 3 нь 2 × 2 × 2-ын үржвэр учраас энэ шинж чанар ажилладаг. Дараа нь бид таван ижил хүчин зүйлийн үржвэрийг авах бөгөөд тус бүр нь 2-той тэнцүү байна. Энэ бүтээгдэхүүнийг 2 5 гэж төлөөлж болно
Ерөнхийдөө хэн ч гэсэн аболон үзүүлэлтүүд мТэгээд nДараахь тэгш байдлыг хангана.
Энэ ижил өөрчлөлтийг нэрлэдэг зэрэглэлийн үндсэн өмч. Үүнийг дараах байдлаар уншиж болно: " ПИжил суурьтай хүчийг үржүүлэхэд суурь нь өөрчлөгдөөгүй хэвээр үлдэж, илтгэгчийг нэмнэ." .
Энэ хувиргалтыг хэдэн ч градуст хэрэглэж болно гэдгийг анхаарна уу. Хамгийн гол нь суурь нь адилхан.
Жишээлбэл, 2 1 × 2 2 × 2 3 илэрхийллийн утгыг олъё. Суурь 2
Зарим асуудалд эцсийн зэрэглэлийг тооцохгүйгээр зохих хувиргалтыг хийхэд хангалттай байж болно. Энэ нь мэдээжийн хэрэг маш тохиромжтой, учир нь том хүчийг тооцоолох нь тийм ч хялбар биш юм.
Жишээ 1. 5 8 × 25 илэрхийллийг хүч болгон илэрхийл
Энэ асуудалд та 5 8 × 25 илэрхийллийн оронд нэг хүчийг авах хэрэгтэй.
25-ын тоог 5 2 гэж илэрхийлж болно. Дараа нь бид дараах илэрхийллийг авна.
Энэ илэрхийлэлд та зэрэглэлийн үндсэн шинж чанарыг ашиглаж болно - суурь 5-ыг өөрчлөлгүй орхиж, 8 ба 2-р илтгэгчийг нэмнэ үү.
Шийдлийг товч бичье:
Жишээ 2. 2 9 × 32 илэрхийллийг хүч болгон илэрхийл
32 тоог 2 5 гэж илэрхийлж болно. Дараа нь бид 2 9 × 2 5 илэрхийлэлийг авна. Дараа нь та градусын үндсэн шинж чанарыг ашиглаж болно - суурь 2-ыг хэвээр үлдээж, 9 ба 5-р илтгэгчийг нэмнэ үү. Үр дүн нь дараахь шийдэл байх болно.
Жишээ 3. Хүч чадлын үндсэн шинж чанарыг ашиглан 3 × 3 үржвэрийг тооцоол.
Гуравыг гурваар үржүүлбэл есөн тэнцүү гэдгийг хүн бүр сайн мэддэг боловч асуудал нь шийдэлд градусын үндсэн шинж чанарыг ашиглахыг шаарддаг. Үүнийг хэрхэн хийх вэ?
Хэрэв тоо индикаторгүйгээр өгөгдсөн бол индикаторыг нэгтэй тэнцүү гэж үзэх ёстой гэдгийг бид санаж байна. Тиймээс 3 ба 3-р хүчин зүйлийг 3 1 ба 3 1 гэж бичиж болно
3 1 × 3 1
Одоо зэрэглэлийн үндсэн шинж чанарыг ашиглая. Бид 3-р суурийг хэвээр үлдээж, 1 ба 1-р үзүүлэлтүүдийг нэмнэ:
3 1 × 3 1 = 3 2 = 9
Жишээ 4. Хүч чадлын үндсэн шинж чанарыг ашиглан 2 × 2 × 3 2 × 3 3 үржвэрийг тооцоол.
Бид 2 × 2 бүтээгдэхүүнийг 2 1 × 2 1, дараа нь 2 1 + 1, дараа нь 2 2-оор солино. 3 2 × 3 3 бүтээгдэхүүнийг 3 2 + 3, дараа нь 3 5-аар солино.
Жишээ 5. Үржүүлэх үйлдлийг гүйцэтгэнэ x × x
Эдгээр нь илтгэгчтэй ижил хоёр үсгийн хүчин зүйл юм 1. Тодорхой болгохын тулд эдгээр илтгэгчийг бичье. Дараагийнх нь суурь юм xҮүнийг хэвээр үлдээж, үзүүлэлтүүдийг нэмье.
Удирдах зөвлөлд байхдаа та ижил суурьтай хүчийг үржүүлэхийг энд бичсэн шиг нарийвчлан бичиж болохгүй. Ийм тооцоог таны толгойд хийх ёстой. Нарийвчилсан тэмдэглэл нь багшийг бухимдуулж, түүний дүнг бууруулах болно. Материалыг аль болох ойлгомжтой болгох үүднээс дэлгэрэнгүй бичлэгийг энд оруулав.
Энэ жишээний шийдлийг дараах байдлаар бичихийг зөвлөж байна.
Жишээ 6. Үржүүлэх үйлдлийг гүйцэтгэнэ x 2 × x
Хоёрдахь хүчин зүйлийн экспонент нь нэгтэй тэнцүү байна. Тодорхой болгохын тулд үүнийг бичье. Дараа нь бид суурийг хэвээр үлдээж, үзүүлэлтүүдийг нэмнэ.
Жишээ 7. Үржүүлэх үйлдлийг гүйцэтгэнэ y 3 y 2 y
Гурав дахь хүчин зүйлийн илтгэгч нь нэгтэй тэнцүү байна. Тодорхой болгохын тулд үүнийг бичье. Дараа нь бид суурийг хэвээр үлдээж, үзүүлэлтүүдийг нэмнэ.
Жишээ 8. Үржүүлэх үйлдлийг гүйцэтгэнэ aa 3 a 2 a 5
Эхний хүчин зүйлийн илтгэгч нь нэгтэй тэнцүү байна. Тодорхой болгохын тулд үүнийг бичье. Дараа нь бид суурийг хэвээр үлдээж, үзүүлэлтүүдийг нэмнэ.
Жишээ 9. 3 8 хүчийг ижил суурьтай хүчнүүдийн үржвэр болгон төлөөл.
Энэ бодлогод та суурь нь 3, илтгэгчийн нийлбэр нь 8-тай тэнцүү байх үржвэрийг үүсгэх хэрэгтэй. Аливаа үзүүлэлтийг ашиглаж болно. 3 8 хүчийг 3 5 ба 3 3 зэрэглэлийн үржвэр болгон төлөөлүүлье
Энэ жишээн дээр бид зэрэглэлийн үндсэн шинж чанарт дахин найдсан. Эцсийн эцэст 3 5 × 3 3 илэрхийллийг 3 5 + 3 гэж бичиж болно, үүнээс 3 8 байна.
Мэдээжийн хэрэг 3 8 гүрнийг бусад эрх мэдлийн бүтээгдэхүүн болгон төлөөлөх боломжтой байсан. Жишээлбэл, 3 7 × 3 1 хэлбэрээр, учир нь энэ бүтээгдэхүүн нь 3 8-тай тэнцүү байна
Эрдмийн зэрэглэлийг ижил суурьтай эрх мэдлийн бүтээгдэхүүн болгон төлөөлөх нь ихэвчлэн бүтээлч ажил юм. Тиймээс туршилт хийхээс айх шаардлагагүй.
Жишээ 10. Эрдмийн зэрэг илгээх x 12 суурьтай эрх мэдлийн төрөл бүрийн бүтээгдэхүүн хэлбэрээр x .
Зэрэглэлийн үндсэн шинж чанарыг ашиглая. Төсөөлөөд үзье x 12 суурьтай бүтээгдэхүүн хэлбэрээр x, үзүүлэлтүүдийн нийлбэр нь 12 байна
Тодорхой болгох үүднээс үзүүлэлтүүдийн нийлбэр бүхий бүтээн байгуулалтуудыг тэмдэглэв. Ихэнхдээ та тэдгээрийг алгасаж болно. Дараа нь та авсаархан шийдлийг авах болно:
Бүтээгдэхүүний хүчийг нэмэгдүүлэх
Бүтээгдэхүүнийг хүчирхэг болгохын тулд та энэ бүтээгдэхүүний хүчин зүйл бүрийг заасан хүчин чадалд хүргэж, үр дүнг үржүүлэх хэрэгтэй.
Жишээлбэл, 2 × 3-ын үржвэрийг хоёр дахь зэрэглэлд шилжүүлье. Энэ бүтээгдэхүүнийг хаалтанд аваад 2-ыг үзүүлэлт болгон тэмдэглэе
Одоо 2 × 3 үржвэрийн хүчин зүйл бүрийг хоёр дахь зэрэглэлд хүргэж, үр дүнг үржүүлье.
Энэ дүрмийн ажиллах зарчим нь хамгийн эхэнд өгөгдсөн зэрэглэлийн тодорхойлолт дээр суурилдаг.
Бүтээгдэхүүнийг 2 × 3-аар хоёр дахь хүчин чадалд өсгөх нь бүтээгдэхүүнийг хоёр удаа давтах гэсэн үг юм. Хэрэв та үүнийг хоёр удаа давтвал дараахь зүйлийг авах боломжтой.
2 × 3 × 2 × 3
Хүчин зүйлийн байршлыг өөрчлөх нь бүтээгдэхүүнийг өөрчлөхгүй. Энэ нь танд ижил төстэй хүчин зүйлсийг бүлэглэх боломжийг олгоно:
2 × 2 × 3 × 3
Давтагдах хүчин зүйлсийг богино оруулгуудаар сольж болно - шалгуур үзүүлэлт бүхий суурь. 2 × 2 бүтээгдэхүүнийг 2 2, 3 × 3 бүтээгдэхүүнийг 3 2-оор сольж болно. Дараа нь 2 × 2 × 3 × 3 илэрхийлэл нь 2 2 × 3 2 илэрхийлэл болно.
Болъё abанхны бүтээл. Өгөгдсөн бүтээгдэхүүнийг хүчирхэг болгох n, та хүчин зүйлсийг тусад нь үржүүлэх хэрэгтэй аТэгээд бзаасан хэмжээгээр n
Энэ өмч нь хэд хэдэн хүчин зүйлийн хувьд үнэн юм. Дараах илэрхийллүүд бас хүчинтэй байна.
Жишээ 2. (2 × 3 × 4) 2 илэрхийллийн утгыг ол
Энэ жишээнд та бүтээгдэхүүнийг 2 × 3 × 4-ийг хоёрдахь чадал хүртэл өсгөх хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд та энэ бүтээгдэхүүний хүчин зүйл бүрийг хоёр дахь зэрэгт хүргэж, үр дүнг үржүүлэх хэрэгтэй.
Жишээ 3. Бүтээгдэхүүнийг гуравдахь хүч хүртэл өсгө a×b×c
Энэ бүтээгдэхүүнийг хаалтанд оруулаад 3-ын тоог үзүүлэлт болгон тэмдэглэе
Жишээ 4. Бүтээгдэхүүн 3-ыг гуравдахь хүч хүртэл өсгө xyz
Энэ бүтээгдэхүүнийг хаалтанд оруулаад 3-ыг үзүүлэлт болгон тэмдэглэе
(3xyz) 3
Энэ бүтээгдэхүүний хүчин зүйл бүрийг гуравдахь зэрэглэлд хүргэцгээе.
(3xyz) 3 = 3 3 x 3 y 3 z 3
Гурав дахь зэрэглэлийн 3-ын тоо нь 27-той тэнцүү байна. Бид үлдсэнийг нь өөрчлөхгүй орхино:
(3xyz) 3 = 3 3 x 3 y 3 z 3 = 27x 3 y 3 z 3
Зарим жишээнд ижил илтгэгчтэй хүчийг үржүүлэхийг ижил илтгэгчтэй суурийн үржвэрээр сольж болно.
Жишээлбэл, 5 2 × 3 2 илэрхийллийн утгыг тооцоолъё. Тоо бүрийг хоёрдахь зэрэглэл болгон өсгөж, үр дүнг үржүүлье.
5 2 × 3 2 = 25 × 9 = 225
Гэхдээ зэрэг тус бүрийг тусад нь тооцох шаардлагагүй. Үүний оронд энэ чадлын үржвэрийг нэг илтгэгчтэй (5 × 3) 2 үржвэрээр сольж болно. Дараа нь хаалтанд байгаа утгыг тооцоолж, үр дүнг хоёр дахь зэрэглэлд шилжүүлнэ.
5 2 × 3 2 = (5 × 3) 2 = (15) 2 = 225
Энэ тохиолдолд бүтээгдэхүүний экспонентацийн дүрмийг дахин ашигласан. Эцсийн эцэст, хэрэв (a×b)n = a n × b n , Тэр a n × b n = (a × b)n. Энэ нь тэгш байдлын зүүн, баруун тал нь байраа сольсон гэсэн үг.
Эрдмийн зэрэг дэвийг эрх мэдэлд хүргэх
Бид ижил түвшний өөрчлөлтүүдийн мөн чанарыг ойлгохыг оролдохдоо энэ өөрчлөлтийг жишээ болгон авч үзсэн.
Хүчин чадлыг өсгөхөд суурь нь өөрчлөгдөхгүй бөгөөд илтгэгчийг үржүүлнэ.
(a n)m = a n × m
Жишээ нь, илэрхийлэл (2 3) 2 нь хүч чадалд өргөгдсөн хүч юм - хоёроос гурав дахь хүчийг хоёр дахь зэрэгт шилжүүлдэг. Энэ илэрхийллийн утгыг олохын тулд суурийг өөрчлөхгүй, илтгэгчийг үржүүлж болно.
(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6
(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6 = 64
Энэ дүрэм нь өмнөх дүрмүүд дээр үндэслэсэн болно: бүтээгдэхүүний экспоненциал ба зэрэглэлийн үндсэн шинж чанар.
(2 3) 2 илэрхийлэл рүү буцъя. 2 3 хаалтанд байгаа илэрхийлэл нь тус бүр нь 2-той тэнцүү гурван ижил хүчин зүйлийн үржвэр юм. Дараа нь илэрхийлэлд (2 3) хаалт доторх 2 хүчийг 2 × 2 × 2 үржвэрээр сольж болно.
(2 × 2 × 2) 2
Энэ бол бидний өмнө нь судалж байсан бүтээгдэхүүний экспоненциал юм. Бүтээгдэхүүнийг хүчирхэг болгохын тулд өгөгдсөн бүтээгдэхүүний хүчин зүйл бүрийг заасан хүчин чадалд хүргэж, олж авсан үр дүнг үржүүлэх хэрэгтэй гэдгийг санацгаая.
(2 × 2 × 2) 2 = 2 2 × 2 2 × 2 2
Одоо бид зэрэглэлийн үндсэн өмчтэй харьцаж байна. Бид суурийг хэвээр үлдээж, үзүүлэлтүүдийг нэмнэ.
(2 × 2 × 2) 2 = 2 2 × 2 2 × 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6
Өмнөх шигээ бид 2 6 авсан. Энэ зэргийн утга нь 64 байна
(2 × 2 × 2) 2 = 2 2 × 2 2 × 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6 = 64
Хүчин зүйл нь хүч чадалтай бүтээгдэхүүнийг бас хүчирхэг болгож болно.
Жишээ нь (2 2 × 3 2) 3 илэрхийллийн утгыг олъё. Энд үржүүлэгч бүрийн үзүүлэлтийг нийт үзүүлэлт 3-аар үржүүлэх ёстой. Дараа нь зэрэг тус бүрийн утгыг олж, бүтээгдэхүүнийг тооцоолно:
(2 2 × 3 2) 3 = 2 2 × 3 × 3 2 × 3 = 2 6 × 3 6 = 64 × 729 = 46656
Бүтээгдэхүүнийг хүчирхэг болгоход ойролцоогоор ижил зүйл тохиолддог. Бүтээгдэхүүнийг хүч чадалд хүргэх үед энэ бүтээгдэхүүний хүчин зүйл бүрийг заасан хүчин чадалд өсгөдөг гэж бид хэлсэн.
Жишээлбэл, 2 × 4 үржвэрийг гуравдахь зэрэглэлд хүргэхийн тулд та дараах илэрхийллийг бичнэ.
Гэхдээ өмнө нь тоо заагаагүй бол тухайн үзүүлэлтийг нэгтэй тэнцүү гэж үзэх ёстой гэж хэлсэн. 2 × 4 үржвэрийн хүчин зүйлүүд нь анх 1-тэй тэнцүү илтгэгчтэй байдаг. Энэ нь 2 1 × 4 1 илэрхийлэл нь гурав дахь зэрэглэлд өссөн гэсэн үг юм. Мөн энэ нь нэг зэрэгтэй болж байна.
Хүчин чадлыг өсгөх дүрмийг ашиглан шийдлийг дахин бичье. Бид ижил үр дүнд хүрэх ёстой:
Жишээ 2. Илэрхийллийн утгыг ол (3 3) 2
Бид суурийг хэвээр үлдээж, үзүүлэлтүүдийг үржүүлнэ.
Бид 36 авсан. 3-аас 6-р зэрэглэлийн тоо нь 729 гэсэн тоо юм
Жишээ 3xy)³
Жишээ 4. Илэрхийлэл дэх экспонентацийг гүйцэтгэх ( abc)⁵
Бүтээгдэхүүний хүчин зүйл бүрийг тав дахь зэрэглэлд хүргэцгээе.
Жишээ 5сүх) 3
Бүтээгдэхүүний хүчин зүйл бүрийг гуравдахь зэрэглэлд шилжүүлье.
Сөрөг тоог −2 гурав дахь зэрэглэлд шилжүүлсэн тул хаалтанд оруулсан.
Жишээ 6. Илэрхийлэл дэх экспонентацийг гүйцэтгэх (10 xy) 2
Жишээ 7. Илэрхийлэл дэх экспонентацийг гүйцэтгэнэ (−5 x) 3
Жишээ 8. Илэрхийлэл дэх экспонентацийг гүйцэтгэнэ (−3 y) 4
Жишээ 9. Илэрхийлэл дэх экспонентацийг гүйцэтгэнэ (−2 abx)⁴
Жишээ 10. Илэрхийлэлийг хялбарчлах x 5×( x 2) 3
Зэрэг xОдоохондоо 5-ыг хэвээр үлдээж, илэрхийлэлд (( x 2) 3 бид хүчийг хүчирхэг болгох ажлыг гүйцэтгэдэг.
x 5 × (x 2) 3 = x 5 × x 2×3 = x 5 × x 6
Одоо үржүүлэх ажлыг хийцгээе x 5 × x 6. Үүнийг хийхийн тулд бид зэрэглэлийн үндсэн шинж чанар болох суурийг ашиглана xҮүнийг хэвээр үлдээж, үзүүлэлтүүдийг нэмье.
x 5 × (x 2) 3 = x 5 × x 2×3 = x 5 × x 6 = x 5 + 6 = x 11
Жишээ 9. Хүч чадлын үндсэн шинж чанарыг ашиглан 4 3 × 2 2 илэрхийллийн утгыг ол.
Анхны зэргийн суурь нь ижил байвал зэрэглэлийн үндсэн шинж чанарыг ашиглаж болно. Энэ жишээн дээр суурь нь өөр тул та эхлээд анхны илэрхийлэлийг бага зэрэг өөрчлөх хэрэгтэй, тухайлбал, хүчнүүдийн суурь ижил байх ёстой.
4 3 зэрэглэлийг сайтар харцгаая. Энэ зэргийн суурь нь 4 тоо бөгөөд үүнийг 2 2 гэж илэрхийлж болно. Дараа нь анхны илэрхийлэл нь (2 2) 3 × 2 2 хэлбэртэй болно. (2 2) 3 илэрхийлэл дэх хүчийг хүч болгон өсгөснөөр бид 2 6-г авна. Дараа нь анхны илэрхийлэл нь 2 6 × 2 2 хэлбэрийг авах бөгөөд үүнийг чадлын үндсэн шинж чанарыг ашиглан тооцоолж болно.
Энэ жишээний шийдлийг бичье.
Зэрэг хуваах
Эрх мэдлийн хуваарилалтыг хийхийн тулд та хүч тус бүрийн утгыг олж, дараа нь энгийн тоог хуваах хэрэгтэй.
Жишээлбэл, 4 3-ыг 2 2-т хуваая.
4 3-ыг тооцоод 64 гарна. 2 2-ыг тооцоол, 4-ийг ав. Одоо 64-ийг 4-т хуваагаад 16-г авна
Хэрэв хүчийг хуваахдаа суурь нь ижил байвал суурийг өөрчлөхгүй, хуваагчийн илтгэгчийг ногдол ашгийн илтгэгчээс хасаж болно.
Жишээ нь 2 3: 2 2 илэрхийллийн утгыг олъё
Бид 2-р суурийг хэвээр үлдээж, ногдол ашгийн илтгэгчээс хуваагчийн илтгэгчийг хасна.
Энэ нь 2 3: 2 2 илэрхийллийн утга 2-той тэнцүү гэсэн үг юм.
Энэ өмч нь ижил суурьтай хүчийг үржүүлэх буюу бидний хэлж заншсанаар эрх мэдлийн үндсэн шинж чанар юм.
Өмнөх жишээ 2 3: 2 2 руу буцъя. Энд ногдол ашиг нь 2 3, хуваагч нь 2 2 байна.
Нэг тоог нөгөө тоонд хуваана гэдэг нь хуваагчаар үржүүлэхэд ногдол ашиг гарах тоог олно гэсэн үг.
Манай тохиолдолд 2 3-ыг 2 2-т хуваах нь 2 2 хуваагчаар үржүүлэхэд 2 3 гарах хүчийг олно гэсэн үг. Ямар хүчийг 2 2-оор үржүүлж 2 3 болох вэ? Мэдээжийн хэрэг, зөвхөн 2 зэрэг нь 1 байна. Зэрэглэлийн үндсэн шинж чанараас бид:
2 3: 2 2 илэрхийллийн утга нь 2 1-тэй тэнцүү байгаа эсэхийг 2 3: 2 2 илэрхийллийг өөрөө шууд тооцоолж болно. Үүнийг хийхийн тулд эхлээд 2 3 чадлын утгыг олоод 8-ыг авна. Дараа нь бид 2 2 чадлын утгыг олоод 4-ийг авна. 8-ыг 4-т хуваавал бид 2 эсвэл 2 1 болно, учир нь 2 = 2 1.
2 3: 2 2 = 8: 4 = 2
Тиймээс, эрх мэдлийг ижил үндэслэлээр хуваахдаа дараахь тэгш байдлыг хангана.
Зөвхөн шалтгаан төдийгүй үзүүлэлтүүд нь ижил байж болно. Энэ тохиолдолд хариулт нь нэг байх болно.
Жишээ нь 2 2: 2 2 илэрхийллийн утгыг олъё. Зэрэг тус бүрийн утгыг тооцоолж, үр дүнгийн тоог хуваацгаая.
Жишээ 2 2: 2 2-ыг шийдэхдээ та ижил суурьтай хүчийг хуваах дүрмийг ашиглаж болно. 2 2 ба 2 2 зэрэглэлийн илтгэгчийн зөрүү нь тэгтэй тэнцүү тул үр дүн нь тэг хүртэлх тоо юм.
2-оос тэг хүртэлх тоо яагаад нэгтэй тэнцүү байдгийг бид дээрээс олж мэдсэн. Хэрэв та хүчийг хуваах дүрмийг ашиглахгүйгээр ердийн аргаар 2 2: 2 2-ыг тооцоолвол нэгийг авна.
Жишээ 2. 4 12: 4 10 илэрхийллийн утгыг ол
4-ийг хэвээр үлдээж, ногдол ашгийн илтгэгчээс хуваагчийн илтгэгчийг хасъя.
4 12: 4 10 = 4 12 − 10 = 4 2 = 16
Жишээ 3. Хэмжилтийг үзүүлнэ үү x 3: xсуурьтай хүч хэлбэрээр x
Эрх мэдлийг хуваах дүрмийг ашиглая. Суурь xҮүнийг хэвээр үлдээж, ногдол ашгийн илтгэгчээс хуваагчийн илтгэгчийг хасъя. Хуваагч илтгэгч нэгтэй тэнцүү байна. Тодорхой болгохын тулд үүнийг бичье:
Жишээ 4. Хэмжилтийг үзүүлнэ үү x 3: x 2 нь суурьтай хүч болгон x
Эрх мэдлийг хуваах дүрмийг ашиглая. Суурь x
Эрх мэдлийн хуваарилалтыг бутархай хэлбэрээр бичиж болно. Тиймээс өмнөх жишээг дараах байдлаар бичиж болно.
Бутархайн тоо ба хуваагчийг өргөтгөсөн хэлбэрээр, тухайлбал ижил хүчин зүйлийн бүтээгдэхүүн хэлбэрээр бичиж болно. Зэрэг x 3 гэж бичиж болно x × x × x, зэрэг x 2 яаж x × x. Дараа нь дизайн x 3 − 2-ыг алгасаж, бутархайг багасгаж болно. Тоолуур ба хуваагч дахь хоёр хүчин зүйлийг багасгах боломжтой болно x. Үүний үр дүнд нэг үржүүлэгч үлдэх болно x
Эсвэл бүр богино:
Эрх мэдлээс бүрдэх бутархайг хурдан бууруулах чадвартай байх нь бас ашигтай. Жишээлбэл, бутархайг дараах байдлаар багасгаж болно x 2. Бутархайг багасгахын тулд x 2 та бутархайн хуваагч ба хуваагчийг хуваах хэрэгтэй x 2
Зэрэг хуваах талаар дэлгэрэнгүй тайлбарлах шаардлагагүй. Дээрх товчлолыг богиносгож болно:
Эсвэл бүр богино:
Жишээ 5. Хуваалт хийх x 12 :x 3
Эрх мэдлийг хуваах дүрмийг ашиглая. Суурь xҮүнийг хэвээр үлдээж, ногдол ашгийн илтгэгчээс хуваагчийн илтгэгчийг хасна:
Бутархай бууруулах аргыг ашиглан шийдийг бичье. Зэрэг хуваах x 12 :xМаягт дээр 3 гэж бичье. Дараа нь бид энэ хэсгийг бууруулна x 3 .
Жишээ 6. Илэрхийллийн утгыг ол
Тоолуур дээр бид ижил суурьтай хүчийг үржүүлэх ажлыг гүйцэтгэдэг.
Одоо бид ижил үндэслэлээр эрх мэдлийг хуваах дүрмийг хэрэглэж байна. Бид 7-р суурийг хэвээр үлдээж, ногдол ашгийн илтгэгчээс хуваагчийн илтгэгчийг хасна.
Бид 7 2 хүчийг тооцоолох замаар жишээг гүйцээнэ
Жишээ 7. Илэрхийллийн утгыг ол
Хүчин чадлыг тоологч дахь хүч рүү нэмэгдүүлье. Та үүнийг (2 3) 4 илэрхийллээр хийх хэрэгтэй
Одоо тоологч дахь ижил суурьтай хүчийг үржүүлье.
