מהסימון a = b q עולה ש- b הוא מחלק של a וש- a הוא כפולה של b. מחלקים ומכפילים

"סימן עשרוני של מספר" - איזה חלק במטר הוא 1 dm? פתרו את המשוואה איזה חלק של הקטע CD הוא מהקטע AB. פאשייבה ליובוב ניקולייבנה מורה למתמטיקה מהקטגוריה הראשונה. סימון עשרוני של מספרים שברים. עשרוניות. ג'ון נאפייר. העיר סמרקנד במרכז אסיה הייתה מרכז תרבותי עשיר במאה ה-15. כללים לסימון עשרוני של מספרים שברים.

"מערכות מספרים כתיבת" - מערכות מספרים לא-מיקוםיות. איך אנשים רשמו בעבר מספרים? אם המספר 56 כתוב במערכת המספרים העשרונית, אז הוא כתוב כך: בואו נזכור את המושג חזקה של מספר: היסטוריה של מספרים ומערכות מספרים. סדרה טבעית של מספרים במערכת המספרים המיקוםיים. הקלטה מורחבת של מספר. המושג "מערכת המספרים".

"הקלטת מידע לדיסק" - הקלטות מתקליטורי שמע מושמעות באמצעות נגנים אופטיים (לייזר). דיסקים כאלה מיוצרים על ידי הטבעה ובעלי צבע כסף. כונני לייזר דיסקים. ישנם תקליטורי CD-R ו-DVD-R (R - ניתנים לצריבה) בעלי צבע זהוב. עקרון הקלטה אופטי. משך תוכנית הסאונד מגיע לשעה אחת.

"כתיבת מספרים במערכות מספרים" - במערכת המספרים הסלאבית האלפביתית, 27 אותיות קיריליות שימשו כ"מספרים". מערכות אלפביתיות היו מערכות מספרים לא-מיקום מתקדמות יותר. מערכות אלפביתיות. התוכן של כל קובץ מיוצג בטופס זה. מערכת עשרונית מצרית עתיקה לא-מיקוםית. מערכת המספרים הרומית.

"סיימון עשרוני של מספרים שברים" - רשום את המונה של החלק השבר. "מה זה חשבון? סימון עשרוני של מספרים שברים. סיימון סטווין (1548 - 1620). השווי, במידת הצורך, את מספר הספרות לאחר הנקודה העשרונית. ל.פ. מגניצקי (1669-1739). M.V. אבאנינה. השתמש בפסיק כדי להפריד את כל החלק מהחלק השברי.

"מחלקים ומכפילים" - נושא: מחלקים ומכפילים. מספרים מושלמים. חשב בעל פה. בחר מבין המספרים: שלוש מחיאות כפיים, שלוש מחיאות כפיים, שלושה הנהנים עם הראש. התכופף פעם אחת - התיישר, התכופף פעמיים - משך את עצמך למעלה. חינוך גופני. אילו מחלקים של המספר 24 אינם בין המספרים הללו? רשום את המספר ואת נושא השיעור במחברות שלך: "מחלקים ומכפלות".

הַגדָרָה 1. תן את המספר א 1) הוא מכפלה של שני מספרים בו שכך a=bq.לאחר מכן אשנקרא כפולה ב.

1) במאמר זה, המילה מספר תובן כמספר שלם.

אפשר גם לומר אמחולק ב ב,אוֹ ביש מחלק א, או במחלקים א, או בנכלל כמכפיל ב א.

ההצהרות הבאות נובעות מהגדרה 1:

הַצהָרָה1. אם א-מרובות ב, ב-מרובות ג, זה אמרובות ג.

בֶּאֱמֶת. כי

איפה Mו נאז כמה מספרים

לָכֵן אמחולק ב ג.

אם בסדרה של מספרים, כל אחד מתחלק במספר הבא, אז כל מספר הוא כפולה של כל המספרים הבאים.

הַצהָרָה 2. אם המספרים או ב- כפולות ג, אז גם הסכום וההפרש שלהם הם כפולות ג.

בֶּאֱמֶת. כי

a+b=mc+nc=(m+n)c,

a−b=mc−nc=(m−n)c.

לָכֵן א+במחולק ב גו a−bמחולק ב ג .

סימני חלוקה

הבה נגזר נוסחה כללית לקביעת המבחן לחלוקה של מספרים במספר טבעי כלשהו M, אשר נקרא מבחן ההתחלקות של פסקל.

בואו נמצא את שאריות החלוקה לפי Mאת הרצף הבא. תן את שארית החלוקה של 10 ב Mרָצוֹן ר 1, 10 & middot ר 1 לכל Mרָצוֹן ר 2 וכו'. אז נוכל לכתוב:

הבה נוכיח ששארית החלוקה של מספר אעַל Mשווה לשארית החלוקה של המספר

(3)

כפי שאתה יודע, אם שני מספרים כאשר מחלקים במספר כלשהו Mנותנים את אותה שארית, ואז מחלקים את ההפרש ב Mבלי עקבות.

בואו נשקול את ההבדל א-א"

(6)

(7)

כל איבר בצד ימין של (5) מחולק ב Mלכן גם הצד השמאלי של המשוואה מתחלק ב M. בנימוק דומה, אנו משיגים שהצד הימני של (6) מחולק ב M, לכן גם הצד השמאלי של (6) מתחלק ב M, הצד הימני של (7) מחולק ל M, לכן גם הצד השמאלי של (7) מחולק ל M. מצאנו שהצד הימני של המשוואה (4) מתחלק ב M. לָכֵן או א"יש את אותה שארית כאשר מחלקים ב M. במקרה הזה אומרים את זה או א"שיורי שווה או דומה במודולוס M.

לפיכך, אם א"מחולק ב M M), זה אגם מחולק ל M(יש שארית אפס כאשר מחלקים ב M). הראינו את זה כדי לקבוע את ההתחלקות אאתה יכול לקבוע את ההתחלקות של מספר פשוט יותר א".

בהתבסס על ביטוי (3), ניתן לקבל קריטריונים לחלוקה למספרים ספציפיים.

סימני חלוקה של המספרים 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

בדיקת חלוקה ב-2.

בצע את ההליך (1) עבור m=2, אנחנו מקבלים:

כל השאריות כאשר מחלקים ב-2 הן אפס. לאחר מכן, מהמשוואה (3) יש לנו

כל השאריות מחילוק ב-3 שוות ל-1. לאחר מכן, מהמשוואה (3) יש לנו

כל השאריות מחילוק ב-4 פרט לראשון שוות ל-0. לאחר מכן, מהמשוואה (3) יש לנו

כל השאריות אפס. לאחר מכן, מהמשוואה (3) יש לנו

כל השאריות שוות ל-4. לאחר מכן, מהמשוואה (3) יש לנו

לכן, מספר מתחלק ב-6 אם ורק אם המספר המרובע של העשרות שנוסף למספר היחידות מתחלק ב-6. כלומר, נבטל את הספרה הימנית מהמספר, ואז נסכם את המספר המתקבל ב-4 ונוסיף את מספר מושלך. אם מספר נתון מתחלק ב-6, אז המספר המקורי מתחלק ב-6.

דוגמא. 2742 מתחלק ב-6 כי 274*4+2=1098, 1098=109*4+8=444, 444=44*4+4=180 מחולק ב-6.

סימן פשוט יותר של חלוקה. מספר מתחלק ב-6 אם הוא מתחלק ב-2 וב-3 (כלומר, אם הוא מספר זוגי ואם סכום הספרות מתחלק ב-3). המספר 2742 מתחלק ב-6 כי... המספר זוגי ו-2+7+4+2=15 מתחלק ב-3.

מבחן חלוקה ב-7.

בצע את ההליך (1) עבור m=7, אנחנו מקבלים:

כל השאריות שונות וחוזרות על עצמן לאחר 7 שלבים. לאחר מכן, מהמשוואה (3) יש לנו

כל השאריות אפס, למעט השניים הראשונים. לאחר מכן, מהמשוואה (3) יש לנו

כל השאריות מחילוק ב-9 שוות ל-1. לאחר מכן, מהמשוואה (3) יש לנו

כל השאריות מחילוק ב-10 שוות ל-0. לאחר מכן, מהמשוואה (3) יש לנו

לכן, מספר מתחלק ב-10 אם ורק אם הספרה האחרונה מתחלקת ב-10 (כלומר, הספרה האחרונה היא אפס).

במאמר זה נדון מחלקים ומכפילים. כאן ניתן את ההגדרות של מחלק ומכפלה. הגדרות אלו יאפשרו לנו לתת דוגמאות של מחלקים וכפולות של מספרים שלמים שונים. נשקול בנפרד את המחלקים של אחד ומינוס אחד, ונדבר גם על מחלקים וכפולות של אפס.

ניווט בדף.

מחלקי מספרים - הגדרה, דוגמאות

קודם בואו ניתן הגדרת מחלקמספר שלם.

הַגדָרָה.

מחיצההמספר השלם a הוא המספר b שבו a מתחלק באופן שווה.

למספר הטבעי 1 יש מחלק חיובי יחיד - המספר 1. עובדה זו מבדילה אחד ממספרים טבעיים אחרים, שכן למספרים טבעיים מלבד אחד יש לפחות שני מחלקים, כלומר עצמו ו-1. בהתאם להיעדר או נוכחות של מחלקים מלבד המספר הטבעי עצמו ואחד, מבדילים בין מספרים ראשוניים ומרוכבים.

האחד הוא המחלק החיובי הקטן ביותר של מספר טבעי a שאינו 1, והמספר a עצמו הוא המחלק החיובי הגדול ביותר (דיברנו על המספרים הגדולים והקטנים ביותר בקטע). כלומר, עבור כל מספר טבעי a, כל אחד מהמחלקים החיוביים שלו b עומד בתנאי.

כפולות - הגדרה, דוגמאות

בואו ניתן הגדרה של ריבוי.

הַגדָרָה.

מרובותמספר שלם b הוא מספר שלם a המתחלק ב-b.

במילים אחרות, כפולה של מספר שלם b היא מספר שלם a שניתן לייצג בצורה a=b·q, כאשר q הוא מספר שלם כלשהו.

אם a הוא כפולה של מספר שלם b, אז נאמר ש- a הוא כפולה של b. במקרה זה, נעשה שימוש בסימון ab.

ההגדרה של מרובים ומתחלקים מעידה בבירור על הקשר ביניהם. אכן, בהגדרה, אם a הוא כפולה של b, אז b הוא מחלק של a, ולהיפך, אם b הוא מחלק של a, אז a הוא כפולה של b.

בואו ניתן דוגמאות לכפולות. לדוגמה, המספר השלם −12 הוא כפולה של 3, שכן −12=3·(−4) . כפולות אחרות של 3 הן המספרים השלמים 0, 3, −3, 6, −6, 9, −9 וכן הלאה. אבל המספר 7 אינו כפולה של המספר השלם 3, שכן 7 אינו מתחלק ב-3 ללא שארית, כלומר אין מספר q שלם כך שהשוויון 7=3·q מתקיים.

מההגדרה של מכפלה ברור שאפס הוא כפולה של כל מספר b, כולל אפס. השוויון 0=b·0 במקרה זה נראה משכנע מאוד.

שימו לב שיש אינסוף כפולות של כל מספר שלם b, מכיוון שיש אינסוף מספרים שלמים, וכל מספר שלם השווה למכפלה b·q, כאשר q הוא מספר שלם שרירותי, הוא כפולה של b.

הכפולה החיובית הקטנה ביותר של מספר חיובי נתון a היא המספר a עצמו. כמו כן, כדאי לשים לב לעובדה שאין לבלבל בין הכפולה הפחות חיובית לבין הכפולה הפחות משותפת (LCM) של מספר מספרים.

יתר על כן, אנו יכולים לשקול רק כפולות טבעיות של מספרים שלמים חיוביים. אנו יכולים לעשות זאת מאותן סיבות שהוזכרו בפסקה הראשונה של מאמר זה, וכלליות המצגת לא תופר.

בִּיבּלִיוֹגְרָפִיָה.

• Vilenkin N.Ya. ואחרים. כיתה ו': ספר לימוד למוסדות החינוך הכללי.
• וינוגרדוב I.M. יסודות תורת המספרים.
• מיכאלוביץ' ש.ח. תורת המספרים.
• קוליקוב ל.יא. ואחרים אוסף בעיות באלגברה ותורת המספרים: ספר לימוד לתלמידי פיזיקה ומתמטיקה. התמחויות של מכונים פדגוגיים.

הנושא "מספרים מרובים" נלמד בכיתה ה' של בית הספר התיכון. מטרתו היא לשפר את כישורי החישוב המתמטי בכתב ובעל פה. בשיעור זה מוצגים מושגים חדשים - "כפלים" ו"מחלקים", טכניקת מציאת מחלקים וכפולות של מספר טבעי ויכולת למצוא LCM בדרכים שונות.

הנושא הזה חשוב מאוד. ניתן ליישם את הידע שלו בעת פתרון דוגמאות עם שברים. לשם כך, עליך למצוא את המכנה המשותף על ידי חישוב הכפולה הפחות משותפת (LCM).

כפולה של A היא מספר שלם המתחלק ב-A ללא שארית.

לכל מספר טבעי יש מספר אינסופי של כפולות שלו. הוא עצמו נחשב הקטן ביותר. הכפולה לא יכולה להיות קטנה מהמספר עצמו.

אתה צריך להוכיח שהמספר 125 הוא כפולה של המספר 5. כדי לעשות זאת, עליך לחלק את המספר הראשון במספר. אם 125 מתחלק ב-5 ללא שארית, אז התשובה היא כן.

שיטה זו מתאימה למספרים קטנים.

ישנם מקרים מיוחדים בעת חישוב LOC.

1. אם אתה צריך למצוא כפולה משותפת של 2 מספרים (לדוגמה, 80 ו-20), כאשר אחד מהם (80) מתחלק בשני (20), אז המספר הזה (80) הוא הכפולה הקטנה מבין אלה שני מספרים.

LCM(80, 20) = 80.

2. אם לשניים אין מחלק משותף, אז נוכל לומר שה-LCM שלהם הוא המכפלה של שני המספרים הללו.

LCM(6, 7) = 42.

בואו נסתכל על הדוגמה האחרונה. 6 ו-7 ביחס ל-42 הם מחלקים. הם מחלקים כפולה של מספר ללא שארית.

בדוגמה זו, 6 ו-7 הם גורמים זוגיים. התוצר שלהם שווה למספר הרב ביותר (42).

מספר נקרא ראשוני אם הוא מתחלק רק בעצמו או ב-1 (3:1=3; 3:3=1). השאר נקראים מורכבים.

דוגמה נוספת כוללת קביעה אם 9 הוא מחלק של 42.

42:9=4 (נותר 6)

תשובה: 9 אינו מחלק של 42 כי לתשובה יש שארית.

מחלק שונה ממכפלה בכך שהמחלק הוא המספר שבו מחלקים המספרים הטבעיים, והמכפלה עצמה מחולקת במספר זה.

המחלק המשותף הגדול ביותר של מספרים או ב, כפול בכפולה הקטנה ביותר שלהם, ייתן את המכפלה של המספרים עצמם או ב.

כלומר: gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b.

מכפילות משותפות למספרים מרוכבים יותר נמצאים בדרך הבאה.

לדוגמה, מצא את ה-LCM עבור 168, 180, 3024.

אנו מפרקים את המספרים הללו לגורמים ראשוניים וכותבים אותם כמכפלה של חזקות:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

LCM(168, 180, 3024) = 15120.