In questo articolo esamineremo un metodo per risolvere equazioni trigonometriche omogenee.

Le equazioni trigonometriche omogenee hanno la stessa struttura delle equazioni omogenee di qualsiasi altro tipo. Permettetemi di ricordarvi il metodo per risolvere equazioni omogenee di secondo grado:

Consideriamo equazioni omogenee della forma

Caratteristiche distintive delle equazioni omogenee:

a) tutti i monomi hanno lo stesso grado,

b) il termine libero è zero,

c) l'equazione contiene potenze con due basi diverse.

Le equazioni omogenee vengono risolte utilizzando un algoritmo simile.

Per risolvere questo tipo di equazione, dividiamo entrambi i lati dell'equazione per (può essere diviso per o per)

Attenzione! Quando dividi i lati destro e sinistro di un'equazione per un'espressione contenente un'incognita, puoi perdere le radici. Pertanto è necessario verificare se le radici dell'espressione per la quale dividiamo entrambi i membri dell'equazione sono le radici dell'equazione originale.

Se lo è, scriviamo questa radice in modo da non dimenticarla in seguito, quindi dividiamo l'espressione per questo.

In generale, la prima cosa da fare quando si risolve un'equazione che ha uno zero a destra è provare a fattorizzare il lato sinistro dell'equazione in qualsiasi modo disponibile. E poi equipara ogni fattore a zero. In questo caso, sicuramente non perderemo le radici.

Quindi, dividi attentamente il lato sinistro dell'equazione nell'espressione termine per termine. Noi abbiamo:

Riduciamo numeratore e denominatore della seconda e della terza frazione:

Introduciamo la sostituzione:

Otteniamo un'equazione quadratica:

Risolviamo l'equazione quadratica, troviamo i valori di e poi torniamo all'incognita originale.

Quando si risolvono equazioni trigonometriche omogenee, ci sono diverse cose importanti da ricordare:

1. Il termine fittizio può essere convertito nel quadrato di seno e coseno utilizzando l'identità trigonometrica di base:

2. Il seno e il coseno di un doppio argomento sono monomi di secondo grado: il seno di un doppio argomento può essere facilmente convertito nel prodotto di seno e coseno e il coseno di un doppio argomento nel quadrato di seno o coseno:

Diamo un'occhiata a diversi esempi di risoluzione di equazioni trigonometriche omogenee.

1 . Risolviamo l'equazione:

Questo è un classico esempio di equazione trigonometrica omogenea di primo grado: il grado di ciascun monomio è uguale a uno, il termine dell'intercetta è uguale a zero.

Prima di dividere entrambi i membri dell'equazione per , devi verificare che le radici dell'equazione non siano le radici dell'equazione originale. Controlliamo: if , then title="sin(x)0">, следовательно их сумма не равна нулю.!}

Dividiamo entrambi i lati dell'equazione per .

Noi abbiamo:

, Dove

, Dove

Risposta: , Dove

2. Risolviamo l'equazione:

Questo è un esempio di un'equazione trigonometrica omogenea di secondo grado. Ricordiamo che se possiamo fattorizzare il lato sinistro dell'equazione, allora è consigliabile farlo. In questa equazione possiamo mettere . Facciamolo:

Soluzione della prima equazione: , dove

La seconda equazione è un'equazione trigonometrica omogenea di primo grado. Per risolverlo, dividi entrambi i membri dell'equazione per . Noi abbiamo:

Risposta: , dove ,

3. Risolviamo l'equazione:

Per far “diventare” omogenea questa equazione, la trasformiamo in un prodotto e presentiamo il numero 3 come somma dei quadrati di seno e coseno:

Spostiamo tutti i termini a sinistra, apriamo le parentesi e presentiamo termini simili. Noi abbiamo:

Fattorizziamo il lato sinistro e impostiamo ciascun fattore uguale a zero:

Risposta: , dove ,

4 . Risolviamo l'equazione:

Vediamo cosa possiamo togliere dalle parentesi. Facciamolo:

Uguagliamo ogni fattore a zero:

Soluzione della prima equazione:

La seconda equazione della popolazione è un'equazione classica omogenea di secondo grado. Le radici dell'equazione non sono le radici dell'equazione originale, quindi dividiamo entrambi i membri dell'equazione per:

Soluzione della prima equazione:

Soluzione della seconda equazione.

Penso che dovremmo iniziare con la storia di uno strumento matematico così glorioso come le equazioni differenziali. Come tutti i calcoli differenziali e integrali, queste equazioni furono inventate da Newton alla fine del XVII secolo. Considerò questa sua particolare scoperta così importante che criptò persino un messaggio, che oggi può essere tradotto più o meno così: "Tutte le leggi della natura sono descritte da equazioni differenziali". Ciò può sembrare un’esagerazione, ma è vero. Qualsiasi legge della fisica, della chimica e della biologia può essere descritta da queste equazioni.

I matematici Eulero e Lagrange hanno dato un enorme contributo allo sviluppo e alla creazione della teoria delle equazioni differenziali. Già nel XVIII secolo scoprirono e svilupparono ciò che oggi studiano nei corsi universitari di alto livello.

Una nuova pietra miliare nello studio delle equazioni differenziali è iniziata grazie a Henri Poincaré. Ha creato la "teoria qualitativa delle equazioni differenziali", che, combinata con la teoria delle funzioni di una variabile complessa, ha dato un contributo significativo alla fondazione della topologia: la scienza dello spazio e delle sue proprietà.

Cosa sono le equazioni differenziali?

Molte persone hanno paura di una frase, ma in questo articolo illustreremo in dettaglio l'intera essenza di questo utilissimo apparato matematico, che in realtà non è così complicato come sembra dal nome. Per iniziare a parlare di equazioni differenziali del primo ordine, dovresti prima acquisire familiarità con i concetti di base che sono intrinsecamente associati a questa definizione. E inizieremo con il differenziale.

Differenziale

Molte persone conoscono questo concetto fin dai tempi della scuola. Tuttavia, diamo un’occhiata più da vicino. Immagina il grafico di una funzione. Possiamo aumentarlo a tal punto che qualsiasi suo segmento assumerà la forma di una linea retta. Prendiamo su di esso due punti infinitamente vicini tra loro. La differenza tra le loro coordinate (x o y) sarà infinitesimale. Si chiama differenziale ed è indicato con i segni dy (differenziale di y) e dx (differenziale di x). È molto importante capire che il differenziale non è una quantità finita, e questo è il suo significato e la sua funzione principale.

Ora dobbiamo considerare il prossimo elemento, che ci sarà utile per spiegare il concetto di equazione differenziale. Questo è un derivato.

Derivato

Probabilmente tutti abbiamo sentito questo concetto a scuola. Si dice che la derivata sia la velocità con cui una funzione aumenta o diminuisce. Tuttavia, da questa definizione molto diventa poco chiaro. Proviamo a spiegare la derivata attraverso i differenziali. Torniamo a un segmento infinitesimo di una funzione con due punti che si trovano a una distanza minima l'uno dall'altro. Ma anche a questa distanza la funzione riesce a cambiare leggermente. E per descrivere questo cambiamento hanno inventato una derivata, che altrimenti può essere scritta come un rapporto di differenziali: f(x)"=df/dx.

Ora vale la pena considerare le proprietà di base del derivato. Ce ne sono solo tre:

1. La derivata di una somma o differenza può essere rappresentata come somma o differenza di derivate: (a+b)"=a"+b" e (a-b)"=a"-b".
2. La seconda proprietà è legata alla moltiplicazione. La derivata di un prodotto è la somma dei prodotti di una funzione e della derivata di un'altra: (a*b)"=a"*b+a*b".
3. La derivata della differenza può essere scritta come la seguente uguaglianza: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Tutte queste proprietà ci saranno utili per trovare soluzioni alle equazioni differenziali del primo ordine.

Esistono anche le derivate parziali. Diciamo di avere una funzione z che dipende dalle variabili xey. Per calcolare la derivata parziale di questa funzione, ad esempio rispetto a x, dobbiamo prendere la variabile y come costante e semplicemente differenziarla.

Integrante

Un altro concetto importante è integrale. In realtà, questo è l'esatto opposto di un derivato. Esistono diversi tipi di integrali, ma per risolvere le equazioni differenziali più semplici abbiamo bisogno di quelle più banali

Quindi, diciamo che abbiamo una certa dipendenza di f da x. Ne prendiamo l'integrale e otteniamo la funzione F(x) (spesso chiamata antiderivativa), la cui derivata è uguale alla funzione originale. Quindi F(x)"=f(x). Ne consegue anche che l'integrale della derivata è uguale alla funzione originaria.

Quando si risolvono le equazioni differenziali, è molto importante comprendere il significato e la funzione dell'integrale, poiché dovrai prenderle molto spesso per trovare la soluzione.

Le equazioni variano a seconda della loro natura. Nella prossima sezione esamineremo i tipi di equazioni differenziali del primo ordine e poi impareremo come risolverli.

Classi di equazioni differenziali

I "diffuri" sono suddivisi secondo l'ordine dei derivati ​​in essi coinvolti. Quindi c'è il primo, il secondo, il terzo e altri ordini. Possono anche essere suddivisi in diverse classi: derivate ordinarie e parziali.

In questo articolo esamineremo le equazioni differenziali ordinarie del primo ordine. Discuteremo anche esempi e modi per risolverli nelle sezioni seguenti. Considereremo solo le ODE, perché questi sono i tipi di equazioni più comuni. Quelle ordinarie si dividono in sottospecie: con variabili separabili, omogenee ed eterogenee. Successivamente, imparerai come differiscono l'uno dall'altro e imparerai come risolverli.

Inoltre, queste equazioni possono essere combinate in modo da ottenere un sistema di equazioni differenziali del primo ordine. Considereremo anche tali sistemi e impareremo come risolverli.

Perché consideriamo solo il primo ordine? Perché devi iniziare con qualcosa di semplice ed è semplicemente impossibile descrivere tutto ciò che riguarda le equazioni differenziali in un articolo.

Equazioni separabili

Queste sono forse le equazioni differenziali del primo ordine più semplici. Questi includono esempi che possono essere scritti come segue: y"=f(x)*f(y). Per risolvere questa equazione, abbiamo bisogno di una formula per rappresentare la derivata come rapporto di differenziali: y"=dy/dx. Usandolo otteniamo la seguente equazione: dy/dx=f(x)*f(y). Ora possiamo passare al metodo per risolvere esempi standard: divideremo le variabili in parti, cioè sposteremo tutto con la variabile y nella parte in cui si trova dy, e faremo lo stesso con la variabile x. Otteniamo un'equazione della forma: dy/f(y)=f(x)dx, che viene risolta prendendo integrali da entrambi i membri. Non dimenticare la costante che deve essere impostata dopo aver preso l'integrale.

La soluzione a qualsiasi “differenza” è una funzione della dipendenza di x da y (nel nostro caso) o, se è presente una condizione numerica, allora la risposta sotto forma di numero. Diamo un'occhiata all'intero processo di soluzione utilizzando un esempio specifico:

Spostiamo le variabili in direzioni diverse:

Ora prendiamo gli integrali. Tutti possono essere trovati in una speciale tabella degli integrali. E otteniamo:

ln(y) = -2*cos(x) + C

Se necessario, possiamo esprimere "y" come funzione di "x". Ora possiamo dire che la nostra equazione differenziale è risolta se la condizione non è specificata. È possibile specificare una condizione, ad esempio y(n/2)=e. Quindi sostituiamo semplicemente i valori di queste variabili nella soluzione e troviamo il valore della costante. Nel nostro esempio è 1.

Equazioni differenziali omogenee del primo ordine

Ora passiamo alla parte più difficile. Le equazioni differenziali omogenee del primo ordine possono essere scritte in forma generale come segue: y"=z(x,y). Va notato che la funzione destra di due variabili è omogenea e non può essere divisa in due dipendenze : z su x e z su y. Controllare , se l'equazione è omogenea o meno è abbastanza semplice: facciamo la sostituzione x=k*x e y=k*y. Ora cancelliamo tutte le k. Se tutte queste lettere vengono cancellate , allora l'equazione è omogenea e puoi tranquillamente iniziare a risolverla Guardando al futuro , diciamo: anche il principio per risolvere questi esempi è molto semplice.

Dobbiamo fare una sostituzione: y=t(x)*x, dove t è una certa funzione che dipende anche da x. Allora possiamo esprimere la derivata: y"=t"(x)*x+t. Sostituendo tutto questo nella nostra equazione originale e semplificandola, otteniamo un esempio con variabili separabili t e x. Lo risolviamo e otteniamo la dipendenza t(x). Quando lo riceviamo, sostituiamo semplicemente y=t(x)*x nella nostra sostituzione precedente. Quindi otteniamo la dipendenza di y da x.

Per renderlo più chiaro, diamo un'occhiata a un esempio: x*y"=y-x*e y/x .

Durante il controllo con la sostituzione, tutto si riduce. Ciò significa che l’equazione è veramente omogenea. Ora facciamo un'altra sostituzione di cui abbiamo parlato: y=t(x)*x e y"=t"(x)*x+t(x). Dopo la semplificazione otteniamo la seguente equazione: t"(x)*x=-e t. Risolviamo l'esempio risultante con variabili separate e otteniamo: e -t =ln(C*x). Non dobbiamo fare altro che sostituire t con y/x (dopo tutto, se y =t*x, allora t=y/x), e otteniamo la risposta: e -y/x =ln(x*C).

Equazioni differenziali lineari del primo ordine

È tempo di esaminare un altro argomento ampio. Analizzeremo equazioni differenziali disomogenee del primo ordine. In cosa differiscono dai due precedenti? Scopriamolo. Le equazioni differenziali lineari del primo ordine in forma generale possono essere scritte come segue: y" + g(x)*y=z(x). È opportuno chiarire che z(x) e g(x) possono essere quantità costanti.

E ora un esempio: y" - y*x=x 2 .

Esistono due soluzioni e le esamineremo entrambe in ordine. Il primo è il metodo per variare le costanti arbitrarie.

Per risolvere l'equazione in questo modo, devi prima equiparare il lato destro a zero e risolvere l'equazione risultante, che, dopo aver trasferito le parti, assumerà la forma:

ln|y|=x2/2 + C;

y=e x2/2 *y C =C 1 *e x2/2 .

Adesso dobbiamo sostituire la costante C 1 con la funzione v(x), che dobbiamo trovare.

Sostituiamo la derivata:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

E sostituisci queste espressioni nell'equazione originale:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

Puoi vedere che sul lato sinistro due termini si annullano. Se in qualche esempio ciò non è accaduto, significa che hai fatto qualcosa di sbagliato. Continuiamo:

v"*ex2/2 = x2 .

Ora risolviamo la solita equazione in cui dobbiamo separare le variabili:

dv/dx=x2 /ex2/2 ;

dv = x2*e - x2/2dx.

Per estrarre l'integrale, dovremo applicare qui l'integrazione per parti. Tuttavia, questo non è l’argomento del nostro articolo. Se sei interessato, puoi imparare come eseguire tali azioni da solo. Non è difficile e, con sufficiente abilità e attenzione, non ci vuole molto tempo.

Passiamo al secondo metodo per risolvere equazioni disomogenee: il metodo di Bernoulli. Sta a te decidere quale approccio è più veloce e più semplice.

Quindi, quando risolviamo un'equazione usando questo metodo, dobbiamo fare una sostituzione: y=k*n. Qui k e n sono alcune funzioni dipendenti da x. Quindi la derivata sarà simile a questa: y"=k"*n+k*n". Sostituiamo entrambe le sostituzioni nell'equazione:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

Raggruppamento:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

Ora dobbiamo equiparare a zero ciò che è tra parentesi. Ora, se combiniamo le due equazioni risultanti, otteniamo un sistema di equazioni differenziali del primo ordine che deve essere risolto:

Risolviamo la prima uguaglianza come un'equazione ordinaria. Per fare ciò è necessario separare le variabili:

Prendiamo l'integrale e otteniamo: ln(n)=x 2 /2. Allora, se esprimiamo n:

Ora sostituiamo l'uguaglianza risultante nella seconda equazione del sistema:

k"*ex2/2 =x2 .

E trasformando, otteniamo la stessa uguaglianza del primo metodo:

dk=x2 /ex2/2 .

Inoltre non discuteremo ulteriori azioni. Vale la pena dire che inizialmente la risoluzione delle equazioni differenziali del primo ordine causa notevoli difficoltà. Tuttavia, man mano che approfondisci l'argomento, inizia a funzionare sempre meglio.

Dove vengono utilizzate le equazioni differenziali?

Le equazioni differenziali sono utilizzate molto attivamente in fisica, poiché quasi tutte le leggi fondamentali sono scritte in forma differenziale e le formule che vediamo sono soluzioni a queste equazioni. In chimica vengono utilizzati per lo stesso motivo: con il loro aiuto si derivano le leggi fondamentali. In biologia, le equazioni differenziali vengono utilizzate per modellare il comportamento dei sistemi, come predatore e preda. Possono anche essere utilizzati per creare modelli di riproduzione, ad esempio, di una colonia di microrganismi.

In che modo le equazioni differenziali possono aiutarti nella vita?

La risposta a questa domanda è semplice: per niente. Se non sei uno scienziato o un ingegnere, è improbabile che ti siano utili. Tuttavia, per lo sviluppo generale non farà male sapere cos'è un'equazione differenziale e come viene risolta. E poi la domanda del figlio o della figlia è “cos’è un’equazione differenziale?” non ti confonderò. Bene, se sei uno scienziato o un ingegnere, allora capisci tu stesso l'importanza di questo argomento in qualsiasi scienza. Ma la cosa più importante è che ora la domanda “come risolvere un’equazione differenziale del primo ordine?” puoi sempre dare una risposta. D'accordo, è sempre bello quando capisci qualcosa che le persone hanno persino paura di capire.

Principali problemi nello studio

Il problema principale nella comprensione di questo argomento è la scarsa capacità di integrare e differenziare le funzioni. Se non sei bravo con le derivate e gli integrali, probabilmente vale la pena studiarne di più, padroneggiare diversi metodi di integrazione e differenziazione e solo allora iniziare a studiare il materiale descritto nell'articolo.

Alcuni si stupiscono quando scoprono che dx si può riportare, perché precedentemente (a scuola) si era affermato che la frazione dy/dx è indivisibile. Qui è necessario leggere la letteratura sulla derivata e capire che si tratta di un rapporto di quantità infinitesimali che può essere manipolato durante la risoluzione delle equazioni.

Molte persone non si rendono immediatamente conto che risolvere equazioni differenziali del primo ordine è spesso una funzione o un integrale che non può essere preso, e questo malinteso dà loro molti problemi.

Cos’altro puoi studiare per una migliore comprensione?

È meglio iniziare un'ulteriore immersione nel mondo del calcolo differenziale con libri di testo specializzati, ad esempio sull'analisi matematica per studenti di specialità non matematiche. Quindi puoi passare alla letteratura più specializzata.

Vale la pena dire che, oltre alle equazioni differenziali, esistono anche le equazioni integrali, quindi avrai sempre qualcosa a cui aspirare e qualcosa da studiare.

Conclusione

Ci auguriamo che dopo aver letto questo articolo tu abbia un'idea di cosa sono le equazioni differenziali e di come risolverle correttamente.

In ogni caso, la matematica ci sarà utile in qualche modo nella vita. Sviluppa la logica e l'attenzione, senza le quali ogni persona è senza mani.

Fermare! Proviamo a capire questa formula ingombrante.

La prima variabile della potenza con qualche coefficiente dovrebbe venire per prima. Nel nostro caso lo è

Nel nostro caso lo è. Come abbiamo scoperto, ciò significa che il grado della prima variabile converge. E la seconda variabile di primo grado è in atto. Coefficiente.

Ce l'abbiamo.

La prima variabile è una potenza e la seconda variabile è al quadrato, con un coefficiente. Questo è l'ultimo termine dell'equazione.

Come puoi vedere, la nostra equazione si adatta alla definizione sotto forma di formula.

Diamo un'occhiata alla seconda parte (verbale) della definizione.

Abbiamo due incognite e. Converge qui.

Consideriamo tutti i termini. In essi la somma dei gradi delle incognite dovrebbe essere la stessa.

La somma dei gradi è uguale.

La somma delle potenze è uguale a (at e at).

La somma dei gradi è uguale.

Come potete vedere, tutto quadra!!!

Ora esercitiamoci a definire equazioni omogenee.

Determina quali delle equazioni sono omogenee:

Equazioni omogenee - equazioni con numeri:

Consideriamo l'equazione separatamente.

Se dividiamo ogni termine fattorizzando ogni termine, otteniamo

E questa equazione rientra completamente nella definizione di equazioni omogenee.

Come risolvere equazioni omogenee?

Esempio 2.

Dividiamo l'equazione per.

Secondo la nostra condizione, y non può essere uguale. Pertanto possiamo tranquillamente dividere per

Effettuando la sostituzione, otteniamo una semplice equazione quadratica:

Poiché si tratta di un’equazione quadratica ridotta, utilizziamo il teorema di Vieta:

Dopo aver effettuato la sostituzione inversa, otteniamo la risposta

Risposta:

Esempio 3.

Dividiamo l'equazione per (per condizione).

Risposta:

Esempio 4.

Trova se.

Qui non devi dividere, ma moltiplicare. Moltiplichiamo l'intera equazione per:

Facciamo una sostituzione e risolviamo l'equazione quadratica:

Dopo aver effettuato la sostituzione inversa, otteniamo la risposta:

Risposta:

Risoluzione di equazioni trigonometriche omogenee.

La risoluzione di equazioni trigonometriche omogenee non è diversa dai metodi di soluzione descritti sopra. Solo qui, tra le altre cose, devi conoscere un po' di trigonometria. Ed essere in grado di risolvere equazioni trigonometriche (per questo puoi leggere la sezione).

Diamo un'occhiata a tali equazioni usando esempi.

Esempio 5.

Risolvi l'equazione.

Vediamo una tipica equazione omogenea: e sono incognite e la somma delle loro potenze in ciascun termine è uguale.

Tali equazioni omogenee non sono difficili da risolvere, ma prima di dividere le equazioni, considera il caso in cui

In questo caso l'equazione assumerà la forma: , quindi. Ma seno e coseno non possono essere uguali allo stesso tempo, perché secondo l'identità trigonometrica di base. Pertanto possiamo tranquillamente suddividerlo in:

Poiché l’equazione è data, secondo il teorema di Vieta:

Risposta:

Esempio 6.

Risolvi l'equazione.

Come nell'esempio, devi dividere l'equazione per. Consideriamo il caso in cui:

Ma seno e coseno non possono essere uguali allo stesso tempo, perché secondo l'identità trigonometrica di base. Ecco perché.

Facciamo una sostituzione e risolviamo l'equazione quadratica:

Facciamo la sostituzione inversa e troviamo e:

Risposta:

Risoluzione di equazioni esponenziali omogenee.

Le equazioni omogenee vengono risolte allo stesso modo di quelle discusse sopra. Se hai dimenticato come risolvere le equazioni esponenziali, guarda la sezione corrispondente ()!

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi.

Esempio 7.

Risolvi l'equazione

Immaginiamolo così:

Vediamo una tipica equazione omogenea, con due variabili e una somma di potenze. Dividiamo l'equazione in:

Come puoi vedere, effettuando la sostituzione, otteniamo l'equazione quadratica seguente (non devi aver paura di dividere per zero, è sempre rigorosamente maggiore di zero):

Secondo il teorema di Vieta:

Risposta: .

Esempio 8.

Risolvi l'equazione

Immaginiamolo così:

Dividiamo l'equazione in:

Facciamo una sostituzione e risolviamo l'equazione quadratica:

La radice non soddisfa la condizione. Facciamo la sostituzione inversa e troviamo:

Risposta:

EQUAZIONI OMOGENEE. LIVELLO MEDIO

Innanzitutto, usando l'esempio di un problema, lascia che te lo ricordi cosa sono le equazioni omogenee e qual è la soluzione delle equazioni omogenee.

Risolvere il problema:

Trova se.

Qui puoi notare una cosa curiosa: se dividiamo ogni termine per, otteniamo:

Cioè, ora non ci sono separati e, ora la variabile nell'equazione è il valore desiderato. E questa è un'equazione quadratica ordinaria che può essere facilmente risolta utilizzando il teorema di Vieta: il prodotto delle radici è uguale e la somma è i numeri e.

Risposta:

Equazioni della forma

si dice omogeneo. Cioè, questa è un'equazione con due incognite, ciascun termine delle quali ha la stessa somma di potenze di queste incognite. Ad esempio, nell'esempio sopra questo importo è uguale a. Le equazioni omogenee si risolvono dividendo per una delle incognite fino a questo grado:

E la successiva sostituzione delle variabili: . Otteniamo così un'equazione di potenza con un'incognita:

Molto spesso incontreremo equazioni di secondo grado (cioè quadratiche) e sappiamo come risolverle:

Nota che possiamo dividere (e moltiplicare) l'intera equazione per una variabile solo se siamo convinti che questa variabile non possa essere uguale a zero! Ad esempio, se ci viene chiesto di trovare, capiamo subito che è impossibile dividere. Nei casi in cui ciò non sia così evidente, è necessario verificare separatamente il caso in cui questa variabile è uguale a zero. Per esempio:

Risolvi l'equazione.

Soluzione:

Vediamo qui una tipica equazione omogenea: e sono incognite, e la somma delle loro potenze in ciascun termine è uguale.

Ma, prima di dividere per e ottenere un'equazione quadratica relativa, dobbiamo considerare il caso in cui. In questo caso, l'equazione assumerà la forma: , che significa . Ma seno e coseno non possono essere uguali a zero allo stesso tempo, perché secondo l'identità trigonometrica di base: . Pertanto possiamo tranquillamente suddividerlo in:

Spero che questa soluzione sia completamente chiara? In caso contrario, leggere la sezione. Se non è chiaro da dove provenga, è necessario tornare anche prima, alla sezione.

Decidi tu stesso:

1. Trova se.
2. Trova se.
3. Risolvi l'equazione.

Qui scriverò brevemente direttamente la soluzione delle equazioni omogenee:

Soluzioni:

Risposta: .

Ma qui dobbiamo moltiplicare anziché dividere:

Risposta:

Se non l'hai ancora fatto, puoi saltare questo esempio.

Dato che qui dobbiamo dividere per, assicuriamoci prima che cento non sia uguale a zero:

E questo è impossibile.

Risposta: .

EQUAZIONI OMOGENEE. BREVEMENTE SULLE COSE PRINCIPALI

La soluzione di tutte le equazioni omogenee si riduce alla divisione per una delle incognite alla potenza e all'ulteriore cambiamento delle variabili.

Algoritmo:

Bene, l'argomento è finito. Se stai leggendo queste righe significa che sei molto figo.

Perché solo il 5% delle persone è in grado di padroneggiare qualcosa da solo. E se leggi fino alla fine, allora sei in questo 5%!

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Attualmente, secondo il livello base di studio della matematica, sono previste solo 4 ore per lo studio della matematica nelle scuole superiori (2 ore di algebra, 2 ore di geometria). Nelle piccole scuole rurali si sta cercando di aumentare il numero di ore grazie alla componente scolastica. Ma se la classe è umanitaria, viene aggiunta una componente scolastica per lo studio di materie umanistiche. In un piccolo villaggio, uno scolaro spesso non ha scelta: studia in quella classe; che è disponibile a scuola. Non ha intenzione di diventare avvocato, storico o giornalista (ci sono casi del genere), ma vuole diventare un ingegnere o un economista, quindi deve superare l'Esame di Stato unificato di matematica con punteggi alti. In tali circostanze, l’insegnante di matematica deve trovare la propria via d’uscita dalla situazione attuale; inoltre, secondo il libro di testo di Kolmogorov, non è previsto lo studio dell’argomento “equazioni omogenee”. Negli anni passati, mi ci sono volute due doppie lezioni per introdurre questo argomento e rafforzarlo. Purtroppo il nostro controllo didattico ha vietato le doppie lezioni a scuola, quindi il numero degli esercizi ha dovuto essere ridotto a 45 minuti e di conseguenza il livello di difficoltà degli esercizi è stato ridotto a medio. Porto alla vostra attenzione un programma di lezioni su questo argomento in 10a elementare con un livello base di studio della matematica in una piccola scuola rurale.

Tipo di lezione: tradizionale.

Bersaglio: imparare a risolvere tipiche equazioni omogenee.

Compiti:

Cognitivo:

Sviluppo:

Educativo:

• Promuovere il duro lavoro attraverso il paziente completamento dei compiti, un senso di cameratismo attraverso il lavoro in coppia e in gruppo.

Durante le lezioni

IO. Organizzativo palcoscenico(3 minuti)

II. Testare le conoscenze necessarie per padroneggiare un nuovo materiale (10 min.)

Identificare le principali difficoltà con un'ulteriore analisi delle attività completate. I ragazzi scelgono 3 opzioni. Compiti differenziati per grado di difficoltà e livello di preparazione dei bambini, seguiti da spiegazione alla lavagna.

Livello 1. Risolvi le equazioni:

1. 3(x+4)=12,
2. 2(x-15)=2x-30
3. 5(2x)=-3x-2(x+5)
4. x 2 -10x+21=0 Risposte: 7;3

Livello 2. Risolvi semplici equazioni trigonometriche ed equazioni biquadratiche:

risposte:

b) x 4 -13x 3 +36=0 Risposte: -2; 2; -3; 3

Livello 3. Risolvere equazioni modificando le variabili:

b) x 6 -9x 3 +8=0 Risposte:

III. Comunicare l’argomento, stabilire scopi e obiettivi.

Soggetto: Equazioni omogenee

Bersaglio: imparare a risolvere tipiche equazioni omogenee

Compiti:

Cognitivo:

• conoscere le equazioni omogenee, imparare a risolvere i tipi più comuni di tali equazioni.

Sviluppo:

• Sviluppo del pensiero analitico.
• Sviluppo di abilità matematiche: imparare a identificare le caratteristiche principali per cui le equazioni omogenee differiscono dalle altre equazioni, essere in grado di stabilire la somiglianza delle equazioni omogenee nelle loro varie manifestazioni.

IV. Apprendimento di nuove conoscenze (15 min.)

1. Momento della conferenza.

Definizione 1(Scriverelo su un quaderno). Un'equazione della forma P(x;y)=0 si dice omogenea se P(x;y) è un polinomio omogeneo.

Un polinomio in due variabili xey si dice omogeneo se il grado di ciascuno dei suoi termini è uguale allo stesso numero k.

Definizione 2(Solo un'introduzione). Equazioni della forma

è detta equazione omogenea di grado n rispetto a u(x) e v(x). Dividendo entrambi i membri dell'equazione per (v(x))n, possiamo usare una sostituzione per ottenere l'equazione

Il che ci permette di semplificare l’equazione originale. Il caso v(x)=0 va considerato a parte, poiché è impossibile dividere per 0.

2. Esempi di equazioni omogenee:

Spiega: perché sono omogenei, fornisci i tuoi esempi di tali equazioni.

3. Compito di determinare equazioni omogenee:

Tra le equazioni fornite, identifica le equazioni omogenee e spiega la tua scelta:

Dopo aver spiegato la tua scelta, usa uno degli esempi per mostrare come risolvere un'equazione omogenea:

4. Decidi tu stesso:

Risposta:

b) 2sen x – 3 cos x =0

Dividiamo entrambi i lati dell'equazione per cos x, otteniamo 2 tg x -3=0, tg x=⅔ , x=arctg⅔ +

5. Mostra la soluzione ad un esempio tratto dalla brochure“P.V. Chulkov. Equazioni e disequazioni in un corso di matematica scolastica. Università Pedagogica di Mosca “Primo settembre” 2006 p.22.” Come uno dei possibili esempi di Esame di Stato Unificato livello C.

V. Risolvi per il consolidamento utilizzando il libro di testo di Bashmakov

pagina 183 n. 59 (1.5) o secondo il libro di testo curato da Kolmogorov: pagina 81 n. 169 (a, c)

risposte:

VI. Test, lavoro indipendente (7 min.)

1 opzione	opzione 2
Risolvi le equazioni:
a) sin2x-5sinxcosx+6cos2x=0	a) 3sen 2 x+2sen x cos x-2cos 2 x=0
b) cos2 -3sen2 =0	B)

Risposte ai compiti:

Opzione 1 a) Risposta: arctan2+πn,n € Z; b) Risposta: ±π/2+ 3πn,n € Z; V)

Opzione 2 a) Risposta: arctg(-1±31/2)+πn,n € Z; b) Risposta: -arctg3+πn, 0.25π+πk, ; c) (-5;-2); (5;2)

VII. Compiti a casa

N. 169 secondo Kolmogorov, n. 59 secondo Bashmakov.

Inoltre, risolvi il sistema di equazioni:

Risposta: arctan(-1±√3) +πn,

Riferimenti:

1. P.V. Chulkov. Equazioni e disequazioni in un corso di matematica scolastica. – M.: Università Pedagogica “Primo Settembre”, 2006. p. 22
2. A. Merzlyak, V. Polonsky, E. Rabinovich, M. Yakir. Trigonometria. – M.: “AST-PRESS”, 1998, p.389
3. Algebra per la terza media, a cura di N.Ya. Vilenkina. – M.: “Illuminismo”, 1997.
4. Algebra per il grado 9, a cura di N.Ya. Vilenkina. "Illuminismo" di Mosca, 2001.
5. MI. Bashmakov. Algebra e gli inizi dell'analisi. Per le classi 10-11 - M.: “Illuminazione” 1993
6. Kolmogorov, Abramov, Dudnitsyn. Algebra e gli inizi dell'analisi. Per i gradi 10-11. – M.: “Illuminismo”, 1990.
7. A.G. Mordkovich. Algebra e gli inizi dell'analisi. Parte 1 Libro di testo per le classi 10-11. – M.: “Mnemosyne”, 2004.

Omogeneo

In questa lezione esamineremo il cosiddetto equazioni differenziali omogenee del primo ordine. Insieme a equazioni separabili E equazioni lineari non omogenee Questo tipo di telecomando si trova in quasi tutti i lavori di prova sul tema dei diffusori. Se sei arrivato alla pagina da un motore di ricerca o non sei molto sicuro nella comprensione delle equazioni differenziali, allora ti consiglio vivamente di seguire una lezione introduttiva sull'argomento: Equazioni differenziali del primo ordine. Il fatto è che molti dei principi per risolvere equazioni omogenee e le tecniche utilizzate saranno esattamente gli stessi delle equazioni più semplici con variabili separabili.

Qual è la differenza tra equazioni differenziali omogenee e altri tipi di equazioni differenziali? Il modo più semplice per spiegarlo immediatamente è con un esempio specifico.

Esempio 1

Soluzione:
Che cosa Innanzitutto dovrebbero essere analizzati al momento di decidere Qualunque equazione differenziale primo ordine? Innanzitutto occorre verificare se è possibile separare subito le variabili utilizzando azioni “scuola”? Di solito questa analisi viene fatta mentalmente o cercando di separare le variabili in una bozza.

In questo esempio le variabili non possono essere separate(puoi provare a gettare i termini da una parte all'altra, sollevare i fattori tra parentesi, ecc.). A proposito, in questo esempio, il fatto che le variabili non possano essere divise è abbastanza ovvio a causa della presenza del moltiplicatore.

La domanda sorge spontanea: come risolvere questo problema diffuso?

È necessario controllare e Questa equazione non è omogenea?? La verifica è semplice e l'algoritmo di verifica stesso può essere formulato come segue:

All'equazione originale:

invece di sostituiamo, invece di sostituiamo, non tocchiamo la derivata:

La lettera lambda è un parametro condizionale, e qui svolge il seguente ruolo: se, a seguito delle trasformazioni, è possibile "distruggere" TUTTE le lambda e ottenere l'equazione originale, allora questa equazione differenziale è omogeneo.

È ovvio che i lambda vengono immediatamente ridotti dell'esponente:

Ora sul lato destro togliamo la lambda tra parentesi:

e dividi entrambe le parti per lo stesso lambda:

Di conseguenza Tutto Le lambda sono scomparse come un sogno, come una nebbia mattutina, e abbiamo ottenuto l'equazione originale.

Conclusione: Questa equazione è omogenea

Come risolvere un'equazione differenziale omogenea?

Ho ottime notizie. Assolutamente tutte le equazioni omogenee possono essere risolte utilizzando una singola (!) sostituzione standard.

La funzione "gioco" dovrebbe essere sostituire lavoro qualche funzione (dipende anche da “x”) e "x":

Scrivono quasi sempre brevemente:

Scopriamo in cosa si trasformerà il derivato con tale sostituzione, utilizziamo la regola di differenziazione del prodotto. Se poi:

Sostituiamo nell'equazione originale:

Cosa darà un tale sostituto? Dopo questa sostituzione e semplificazione, noi garantita otteniamo un'equazione con variabili separabili. RICORDARE come il primo amore :) e, di conseguenza, .

Dopo la sostituzione effettuiamo le massime semplificazioni:

Poiché è una funzione dipendente da “x”, la sua derivata può essere scritta come una frazione standard: .
Così:

Separiamo le variabili, mentre sul lato sinistro devi raccogliere solo "te" e sul lato destro solo "x":

Le variabili sono separate, integriamo:


Secondo il mio primo consiglio tecnico dall'articolo Equazioni differenziali del primo ordine, in molti casi è consigliabile “formulare” una costante sotto forma di logaritmo.

Dopo che l'equazione è stata integrata, dobbiamo eseguire sostituzione inversa, è anche standard e unico:
Se poi
In questo caso:

In 18-19 casi su 20, la soluzione di un'equazione omogenea si scrive come integrale generale.

Risposta: integrale generale:

Perché la risposta a un'equazione omogenea è quasi sempre data sotto forma di integrale generale?
Nella maggior parte dei casi, è impossibile esprimere esplicitamente il "gioco" (per ottenere una soluzione generale) e, se possibile, molto spesso la soluzione generale risulta macchinosa e goffa.

Quindi, ad esempio, nell'esempio considerato, una soluzione generale può essere ottenuta pesando i logaritmi su entrambi i membri dell'integrale generale:

-Bene, va tutto bene. Anche se, devi ammetterlo, è ancora un po’ storto.

A proposito, in questo esempio non ho scritto l'integrale generale in modo abbastanza “decente”. Non è un errore, ma in “buono” stile, ricordo che l’integrale generale si scrive solitamente nella forma . Per fare ciò, subito dopo aver integrato l'equazione, la costante dovrebbe essere scritta senza logaritmo (ecco l'eccezione alla regola!):

E dopo la sostituzione inversa, si ottiene l’integrale generale nella forma “classica”:

È possibile verificare la risposta ricevuta. Per fare ciò, è necessario differenziare l'integrale generale, cioè trovare derivata di una funzione specificata implicitamente:

Eliminiamo le frazioni moltiplicando ciascun lato dell'equazione per:

È stata ottenuta l'equazione differenziale originale, il che significa che la soluzione è stata trovata correttamente.

Si consiglia di verificare sempre. Ma le equazioni omogenee sono spiacevoli in quanto di solito è difficile controllarne gli integrali generali: ciò richiede una tecnica di differenziazione molto, molto decente. Nell'esempio considerato, durante la verifica era già necessario trovare le derivate non più semplici (sebbene l'esempio in sé sia ​​abbastanza semplice). Se puoi controllarlo, controllalo!

L'esempio seguente deve essere risolto da solo, in modo da familiarizzare con l'algoritmo delle azioni:

Esempio 2

Controlla l'omogeneità dell'equazione e trova il suo integrale generale.

Scrivi la risposta nel modulo, esegui la verifica.

Anche in questo caso si è rivelato un controllo piuttosto semplice.

E ora il punto importante promesso, menzionato all'inizio dell'argomento,
Evidenzierò in grassetto nero:

Se durante le trasformazioni “resettino” il moltiplicatore (non una costante)al denominatore, RISCHIIAMO di perdere le soluzioni!

E in effetti, lo abbiamo riscontrato nel primo esempio lezione introduttiva sulle equazioni differenziali. Nel processo di risoluzione dell'equazione, la "y" si è rivelata al denominatore: , ma, ovviamente, è una soluzione per DE e come risultato di una trasformazione (divisione) ineguale ci sono tutte le possibilità di perderla! Un'altra cosa è che è stato incluso nella soluzione generale al valore zero della costante. Anche il ripristino della “X” nel denominatore può essere ignorato, perché non soddisfa il diffusore originale.

Una storia simile con la terza equazione della stessa lezione, durante la soluzione della quale siamo “caduti” al denominatore. A rigor di termini, qui era necessario verificare se questo diffusore è la soluzione? Dopotutto, lo è! Ma anche qui “tutto è andato bene”, poiché questa funzione era inclusa nell'integrale generale A .

E se questo funziona spesso con equazioni "separabili", allora con diffusori omogenei e altri potrebbe non funzionare. Altamente probabile.

Analizziamo i problemi già risolti in questa lezione: in Esempi 1-2 Anche “resettare” X si è rivelato sicuro, perché c'è e , e quindi è subito chiaro che non può essere una soluzione. Inoltre, dentro Esempio 2 si è rivelato essere al denominatore, e qui abbiamo rischiato di perdere la funzione, che ovviamente soddisfa l'equazione . Ma anche qui “è passato”, perché... è entrato nell'integrale generale al valore zero della costante.

Ma, ovviamente, ho creato apposta delle “occasioni felici”, e non è un dato di fatto che in pratica siano queste quelle che si verificano:

Esempio 3

Risolvere l'equazione differenziale

Non è un esempio semplice? ;-)

Soluzione: l'omogeneità di questa equazione è ovvia, ma comunque... sul primo passo Controlliamo SEMPRE se è possibile separare le variabili. Perché anche l'equazione è omogenea, ma le variabili in essa contenute sono facilmente separabili. Si CE ne sono alcuni!

Dopo aver verificato la “separabilità”, effettuiamo una sostituzione e semplifichiamo il più possibile l’equazione:

Separiamo le variabili, raccogliamo “te” a sinistra e “x” a destra:

E qui STOP. Dividendo per rischiamo di perdere due funzioni contemporaneamente. Da , queste sono le funzioni:

La prima funzione è ovviamente una soluzione dell'equazione . Controlliamo il secondo - sostituiamo anche il suo derivato nel nostro diffusore:

– si ottiene l’uguaglianza corretta, il che significa che anche la funzione è una soluzione.

E rischiamo di perdere queste decisioni.

Inoltre, il denominatore si è rivelato "X", e quindi assicurati di controllare, non è una soluzione dell'equazione differenziale originale. No non è.

Prendiamo nota di tutto questo e proseguiamo:

Devo dire che sono stato fortunato con l'integrale del lato sinistro; può andare molto peggio.

Raccogliamo un singolo logaritmo sul lato destro e buttiamo via le catene:

E ora solo la sostituzione inversa:

Moltiplichiamo tutti i termini per:

Ora dovresti controllare - se soluzioni “pericolose” fossero incluse nell’integrale generale. Sì, entrambe le soluzioni sono state incluse nell'integrale generale al valore zero della costante: , quindi non è necessario indicarle ulteriormente in risposta:

integrale generale:

Visita medica. Nemmeno una prova, ma puro piacere :)

È stata ottenuta l'equazione differenziale originale, il che significa che la soluzione è stata trovata correttamente.

Per risolverlo da solo:

Esempio 4

Eseguire il test di omogeneità e risolvere l'equazione differenziale

Controllare l'integrale generale mediante derivazione.

Soluzione completa e risposta alla fine della lezione.

Diamo un'occhiata ad un paio di esempi più tipici:

Esempio 5

Risolvere l'equazione differenziale

Soluzione Ci abitueremo a progettarlo in modo più compatto. Per prima cosa, mentalmente o su una bozza, ci assicuriamo che qui le variabili non possano essere separate, dopodiché eseguiamo un test di omogeneità - questo di solito non viene eseguito sulla bozza finale. (se non espressamente richiesto). Pertanto, la soluzione inizia quasi sempre con la voce: “ Questa equazione è omogenea, facciamo la sostituzione: ...».

Sostituzione e proseguiamo lungo i sentieri battuti:

La “X” va bene qui, ma che dire del trinomio quadratico? Poiché non è scomponibile in fattori: , sicuramente non perdiamo soluzioni. Sarebbe sempre così! Seleziona il quadrato completo sul lato sinistro e integra:

Non c'è nulla da semplificare qui, e quindi la sostituzione inversa:

Risposta: integrale generale:

Il seguente esempio per una soluzione indipendente:

Esempio 6

Risolvere l'equazione differenziale

Sembrerebbero equazioni simili, ma no - grande differenza;)

E ora inizia il divertimento! Per prima cosa, vediamo cosa fare se viene data un'equazione omogenea con differenziali già pronti:

Esempio 7

Risolvere l'equazione differenziale

Questo è un esempio molto interessante, un intero thriller!

Soluzione: se un'equazione omogenea contiene differenziali già pronti, allora può essere risolta con una sostituzione modificata:

Ma non consiglio di utilizzare una tale sostituzione, poiché si rivelerà una Grande Muraglia di differenziali cinesi, dove avrai bisogno di occhio e occhio. Da un punto di vista tecnico è più vantaggioso passare alla designazione “tratteggiata” della derivata; per fare ciò dividiamo entrambi i membri dell’equazione per:

E qui abbiamo già fatto una trasformazione “pericolosa”! Il differenziale zero corrisponde ad una famiglia di rette parallele all'asse. Sono queste le radici del nostro UI? Sostituiamo nell'equazione originale:

Questa uguaglianza è valida se, cioè, dividendo per si rischiava di perdere la soluzione, e lo abbiamo perso- da quel momento non soddisfa più l'equazione risultante .

Va notato che se noi inizialmenteè stata data l'equazione , allora non si parlerebbe della radice. Ma ce l'abbiamo e l'abbiamo preso in tempo.

Continuiamo la soluzione con una sostituzione standard:
:

Dopo la sostituzione, semplifichiamo il più possibile l’equazione:

Separiamo le variabili:

E anche qui STOP: dividendo per rischiamo di perdere due funzioni. Da , queste sono le funzioni:

Ovviamente, la prima funzione è una soluzione dell'equazione . Controlliamo la seconda - sostituiamo anche la sua derivata:

- ricevuto vera uguaglianza, il che significa che la funzione è anche una soluzione dell'equazione differenziale.

E dividendo per rischiamo di perdere queste soluzioni. Tuttavia, possono entrare nell'integrale generale. Ma non possono entrare

Prendiamo nota di questo e integriamo entrambe le parti:

L'integrale del membro sinistro viene risolto in modo standard utilizzando evidenziando un quadrato completo, ma è molto più comodo da usare nei diffusori metodo dei coefficienti incerti:

Utilizzando il metodo dei coefficienti indefiniti, espandiamo l'integrando in una somma di frazioni elementari:


Così:

Trovare gli integrali:

– poiché abbiamo disegnato solo i logaritmi, spostiamo anche la costante sotto il logaritmo.

Prima della sostituzione ancora una volta semplificando tutto ciò che può essere semplificato:

Ripristino delle catene:

E la sostituzione inversa:

Ora ricordiamoci delle “cose perdute”: la soluzione era inclusa nell’integrale generale in , ma “è volata oltre la cassa”, perché si è rivelato essere il denominatore. Pertanto, nella risposta viene assegnata una frase separata e sì, non dimenticare la soluzione perduta, che, tra l'altro, si è rivelata anche di seguito.

Risposta: integrale generale: . Altre soluzioni:

Non è così difficile esprimere la soluzione generale qui:
, ma questo è già uno spettacolo.

Comodo, tuttavia, per il controllo. Troviamo la derivata:

e sostituire a sinistra dell'equazione:

– di conseguenza, si è ottenuta la parte destra dell’equazione, che era quella da verificare.

Ora la ricerca con le radici, anche questo è un caso comune e molto insidioso:

Esempio 8

Risolvere l'equazione differenziale

Soluzione: Assicurati verbalmente che l'equazione sia omogenea e sostituisci il primo amore nell'equazione originale:

E il pericolo ci aspetta già qui. Il punto è questo, ed è molto facile perderlo di vista:

Buona promozione!

Soluzioni e risposte:

Esempio 2: Soluzione: Controlliamo l'omogeneità dell'equazione, a questo scopo nell'equazione originale invece di sostituiamo , e invece di sostituiamo:

Di conseguenza, si ottiene l'equazione originale, il che significa che questo DE è omogeneo.