Esplora soluzioni di esempio di funzioni. Funzione di ricerca online

19.04.2022

Se il problema richiede uno studio completo della funzione f (x) = x 2 4 x 2 - 1 con la costruzione del suo grafico, considereremo questo principio in dettaglio.

Per risolvere un problema di questo tipo è necessario utilizzare le proprietà e i grafici delle funzioni elementari di base. L’algoritmo di ricerca prevede i seguenti passaggi:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Trovare il dominio di definizione

Poiché la ricerca si svolge sul dominio di definizione della funzione, è necessario partire da questo passo.

Esempio 1

L'esempio fornito prevede la ricerca degli zeri del denominatore per escluderli dall'ODZ.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Di conseguenza, puoi ottenere radici, logaritmi e così via. Quindi nell'ODZ si può cercare una radice di grado pari di tipo g (x) 4 mediante la disuguaglianza g (x) ≥ 0, per il logaritmo log a g (x) mediante la disuguaglianza g (x) > 0.

Studio dei confini dell'ODZ e ricerca degli asintoti verticali

Ci sono asintoti verticali ai confini della funzione, quando i limiti unilaterali in tali punti sono infiniti.

Esempio 2

Consideriamo ad esempio i punti di confine pari a x = ± 1 2.

Quindi è necessario studiare la funzione per trovare il limite unilaterale. Quindi otteniamo che: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 )2 = + ∞

Ciò dimostra che i limiti unilaterali sono infiniti, il che significa che le rette x = ± 1 2 sono gli asintoti verticali del grafico.

Studio di una funzione e se è pari o dispari

Quando la condizione y (- x) = y (x) è soddisfatta, la funzione è considerata pari. Ciò suggerisce che il grafico si trova simmetricamente rispetto a Oy. Quando la condizione y (- x) = - y (x) è soddisfatta, la funzione è considerata dispari. Ciò significa che la simmetria è relativa all'origine delle coordinate. Se almeno una disuguaglianza non è soddisfatta, otteniamo una funzione di forma generale.

L'uguaglianza y (- x) = y (x) indica che la funzione è pari. Durante la costruzione è necessario tenere conto che ci sarà simmetria rispetto a Oy.

Per risolvere la disuguaglianza si utilizzano intervalli crescenti e decrescenti con le condizioni f " (x) ≥ 0 e f " (x) ≤ 0, rispettivamente.

Definizione 1

Punti stazionari- questi sono i punti che portano la derivata a zero.

Punti critici- si tratta di punti interni al dominio di definizione in cui la derivata della funzione è uguale a zero o non esiste.

Quando si prende una decisione, è necessario tenere conto delle seguenti note:

per intervalli esistenti di disuguaglianze crescenti e decrescenti della forma f " (x) > 0, i punti critici non sono inclusi nella soluzione;
i punti in cui la funzione è definita senza derivata finita devono essere compresi negli intervalli di crescente e decrescente (ad esempio y = x 3, dove il punto x = 0 rende la funzione definita, la derivata ha valore di infinito in questo punto, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 è compreso nell'intervallo crescente);
Per evitare disaccordi, si consiglia di utilizzare la letteratura matematica consigliata dal Ministero dell'Istruzione.

Inclusione di punti critici in intervalli crescenti e decrescenti se soddisfano il dominio di definizione della funzione.

Definizione 2

Per determinando gli intervalli di aumento e diminuzione di una funzione, è necessario trovare:

derivato;
punti critici;
dividere il dominio di definizione in intervalli utilizzando i punti critici;
determinare il segno della derivata su ciascuno degli intervalli, dove + è un aumento e - è una diminuzione.

Esempio 3

Trovare la derivata sul dominio della definizione f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Soluzione

Per risolvere è necessario:

trova punti stazionari, questo esempio ha x = 0;
trovare gli zeri del denominatore, nell'esempio assume il valore zero in x = ± 1 2.

Posizioniamo punti sulla linea numerica per determinare la derivata su ciascun intervallo. Per fare ciò, è sufficiente prendere qualsiasi punto dall'intervallo ed eseguire un calcolo. Se il risultato è positivo, rappresentiamo + sul grafico, il che significa che la funzione sta aumentando, e - significa che sta diminuendo.

Ad esempio, f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, il che significa che il primo intervallo a sinistra ha un segno +. Considera la linea numerica.

Risposta:

la funzione aumenta nell'intervallo - ∞; - 1 2 e (- 1 2 ; 0 ] ;
c'è una diminuzione nell'intervallo [ 0 ; 1 2) e 1 2 ; + ∞ .

Nel diagramma, utilizzando + e -, vengono rappresentate la positività e la negatività della funzione e le frecce indicano diminuzione e aumento.

I punti estremi di una funzione sono punti in cui la funzione è definita e attraverso i quali la derivata cambia segno.

Esempio 4

Se consideriamo un esempio in cui x = 0, il valore della funzione in esso contenuto è uguale a f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0. Quando il segno della derivata cambia da + a - e passa per il punto x = 0, allora il punto con coordinate (0; 0) è considerato il punto massimo. Quando il segno cambia da - a +, otteniamo un punto minimo.

La convessità e la concavità sono determinate risolvendo le disuguaglianze della forma f "" (x) ≥ 0 ef "" (x) ≤ 0. Meno comunemente usato è il nome convessità verso il basso invece di concavità e convessità verso l'alto invece di convessità.

Definizione 3

Per determinazione degli intervalli di concavità e convessità necessario:

trovare la derivata seconda;
trovare gli zeri della funzione di derivata seconda;
dividere l'area di definizione in intervalli con i punti che appaiono;
determinare il segno dell'intervallo.

Esempio 5

Trova la derivata seconda dal dominio di definizione.

Soluzione

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Troviamo gli zeri del numeratore e del denominatore, dove nel nostro esempio abbiamo che gli zeri del denominatore x = ± 1 2

Ora devi tracciare i punti sulla linea numerica e determinare il segno della derivata seconda da ciascun intervallo. Lo capiamo

Risposta:

la funzione è convessa dall'intervallo - 1 2 ; 12;
la funzione è concava dagli intervalli - ∞ ; - 1 2 e 1 2; + ∞ .

Definizione 4

Punto di flesso– questo è un punto della forma x 0 ; f(x0) . Quando ha una tangente al grafico della funzione, allora quando passa per x 0 la funzione cambia segno in senso opposto.

In altre parole, questo è un punto attraverso il quale passa la derivata seconda e cambia segno, e nei punti stessi è uguale a zero o non esiste. Tutti i punti sono considerati il dominio della funzione.

Nell'esempio era chiaro che non ci sono punti di flesso, poiché la derivata seconda cambia segno passando per i punti x = ± 1 2. A loro volta non rientrano nell'ambito della definizione.

Trovare gli asintoti orizzontali e obliqui

Quando si definisce una funzione all'infinito, è necessario cercare gli asintoti orizzontali e obliqui.

Definizione 5

Asintoti obliqui sono rappresentati utilizzando le linee rette date dall'equazione y = k x + b, dove k = lim x → ∞ f (x) x e b = lim x → ∞ f (x) - k x.

Per k = 0 e b diverso da infinito, troviamo che l'asintoto obliquo diventa orizzontale.

In altre parole, gli asintoti sono considerati rette alle quali il grafico di una funzione si avvicina all'infinito. Ciò facilita la costruzione rapida di un grafico di funzione.

Se non ci sono asintoti, ma la funzione è definita ad entrambi gli infiniti, è necessario calcolare il limite della funzione a questi infiniti per capire come si comporterà il grafico della funzione.

Esempio 6

Consideriamo come esempio quello

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

è un asintoto orizzontale. Dopo aver esaminato la funzione, puoi iniziare a costruirla.

Calcolo del valore di una funzione nei punti intermedi

Per rendere il grafico più accurato, si consiglia di trovare diversi valori di funzione nei punti intermedi.

Esempio 7

Dall'esempio che abbiamo considerato, è necessario trovare i valori della funzione nei punti x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4. Poiché la funzione è pari, otteniamo che i valori coincidono con i valori in questi punti, cioè otteniamo x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.

Scriviamo e risolviamo:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Per determinare i massimi e i minimi della funzione, i punti di flesso e i punti intermedi, è necessario costruire asintoti. Per una comoda designazione, vengono registrati intervalli di aumento, diminuzione, convessità e concavità. Diamo un'occhiata all'immagine qui sotto.

È necessario tracciare delle linee del grafico attraverso i punti contrassegnati, che ti permetteranno di avvicinarti agli asintoti seguendo le frecce.

Questo conclude l'esplorazione completa della funzione. Esistono casi di costruzione di alcune funzioni elementari per le quali vengono utilizzate trasformazioni geometriche.

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Lo studio di una funzione si svolge secondo uno schema chiaro e richiede che lo studente abbia una solida conoscenza dei concetti matematici di base quali dominio delle definizioni e dei valori, continuità della funzione, asintoto, punti estremi, parità, periodicità, ecc. . Lo studente deve essere in grado di differenziare liberamente le funzioni e di risolvere equazioni, che a volte possono essere molto complesse.

Cioè, questo compito mette alla prova uno strato significativo di conoscenza, qualsiasi lacuna in cui diventerà un ostacolo all'ottenimento della soluzione corretta. Particolarmente spesso sorgono difficoltà nella costruzione di grafici di funzioni. Questo errore viene immediatamente notato dall'insegnante e può danneggiare notevolmente il tuo voto, anche se tutto il resto è stato fatto correttamente. Qui puoi trovare problemi di ricerca di funzioni online: esempi di studio, soluzioni di download, assegnazioni di ordini.

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Effettueremo per te uno studio completo della funzione: troveremo il dominio di definizione e il dominio dei valori, esamineremo la continuità e la discontinuità, stabiliremo la parità, controlleremo la periodicità della tua funzione e troveremo i punti di intersezione con gli assi delle coordinate . E, naturalmente, utilizzando ulteriormente il calcolo differenziale: troveremo gli asintoti, calcoleremo gli estremi, i punti di flesso e costruiremo il grafico stesso.

I punti di riferimento quando si studiano le funzioni e si costruiscono i loro grafici sono punti caratteristici: punti di discontinuità, estremo, flesso, intersezione con gli assi delle coordinate. Utilizzando il calcolo differenziale, è possibile stabilire le caratteristiche caratteristiche dei cambiamenti nelle funzioni: aumento e diminuzione, massimi e minimi, direzione della convessità e concavità del grafico, presenza di asintoti.

Uno schizzo del grafico della funzione può (e deve) essere disegnato dopo aver trovato gli asintoti e i punti estremi, ed è conveniente compilare la tabella riassuntiva dello studio della funzione man mano che lo studio procede.

Di solito viene utilizzato il seguente schema di studio delle funzioni.

1.Trova il dominio di definizione, gli intervalli di continuità e i punti di interruzione della funzione.

2.Esaminare la funzione per la parità o la disparità (simmetria assiale o centrale del grafico.

3.Trova gli asintoti (verticali, orizzontali o obliqui).

4.Trova e studia gli intervalli di aumento e diminuzione della funzione, i suoi punti estremi.

5.Trova gli intervalli di convessità e concavità della curva, i suoi punti di flesso.

6.Trova i punti di intersezione della curva con gli assi delle coordinate, se esistono.

7.Compilare una tabella riassuntiva dello studio.

8.Viene costruito un grafico tenendo conto dello studio della funzione effettuato secondo i punti sopra descritti.

Esempio. Esplora la funzione

e costruire il suo grafico.

7. Compiliamo una tabella riassuntiva per lo studio della funzione, dove inseriremo tutti i punti caratteristici e gli intervalli tra loro. Tenendo conto della parità della funzione, otteniamo la seguente tabella:

		Caratteristiche del grafico
[-1, 0[	Crescente	Convesso
		(0; 1) – punto massimo
]0, 1[	Discendente	Convesso
		Il punto di flesso si forma con l'asse Bue angolo ottuso

Condurre uno studio completo e rappresentare graficamente la funzione

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) L'ambito della funzione. Poiché la funzione è una frazione, dobbiamo trovare gli zeri del denominatore.

1−x=0,⇒x=1.1−x=0,⇒x=1.

Escludiamo l'unico punto x=1x=1 dal dominio di definizione della funzione e otteniamo:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Studiamo il comportamento della funzione in prossimità del punto di discontinuità. Troviamo i limiti unilaterali:

Poiché i limiti sono uguali all'infinito, il punto x=1x=1 è una discontinuità del secondo tipo, la retta x=1x=1 è un asintoto verticale.

3) Determiniamo i punti di intersezione del grafico della funzione con gli assi delle coordinate.

Troviamo i punti di intersezione con l'asse delle ordinate OyOy, per cui equiparamo x=0x=0:

Pertanto, il punto di intersezione con l'asse OyOy ha coordinate (0;8)(0;8).

Troviamo i punti di intersezione con l'asse delle ascisse OxOx, per cui poniamo y=0y=0:

L'equazione non ha radici, quindi non ci sono punti di intersezione con l'asse OxOx.

Nota che x2+8>0x2+8>0 per qualsiasi xx. Pertanto, per x∈(−∞;1)x∈(−∞;1), la funzione y>0y>0 (assume valori positivi, il grafico è sopra l'asse x), per x∈(1;+∞ )x∈(1; +∞) funzione y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) La funzione non è né pari né dispari perché:

5) Esaminiamo la funzione per la periodicità. La funzione non è periodica, poiché è una funzione razionale frazionaria.

6) Esaminiamo la funzione per gli estremi e la monotonia. Per fare ciò, troviamo la derivata prima della funzione:

Uguagliamo la derivata prima a zero e troviamo i punti stazionari (in cui y′=0y′=0):

Abbiamo tre punti critici: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Dividiamo l'intero dominio di definizione della funzione in intervalli con questi punti e determiniamo i segni della derivata in ciascun intervallo:

Per x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) la derivata y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

Per x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) la derivata y′>0y′>0, la funzione aumenta su questi intervalli.

In questo caso, x=−2x=−2 è un punto di minimo locale (la funzione diminuisce e poi aumenta), x=4x=4 è un punto di massimo locale (la funzione aumenta e poi diminuisce).

Troviamo i valori della funzione in questi punti:

Pertanto, il punto di minimo è (−2;4)(−2;4), il punto di massimo è (4;−8)(4;−8).

7) Esaminiamo la funzione per attorcigliamenti e convessità. Troviamo la derivata seconda della funzione:

Uguagliamo la derivata seconda a zero:

L'equazione risultante non ha radici, quindi non ci sono punti di flesso. Inoltre, quando x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 è soddisfatto, cioè la funzione è concava, quando x∈(1;+∞)x∈( 1;+ ∞) è soddisfatto da y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Esaminiamo il comportamento della funzione all'infinito, cioè a .

Poiché i limiti sono infiniti, non esistono asintoti orizzontali.

Proviamo a determinare gli asintoti obliqui della forma y=kx+by=kx+b. Calcoliamo i valori di k,bk,b utilizzando formule note:

Abbiamo scoperto che la funzione ha un asintoto obliquo y=−x−1y=−x−1.

9) Punti aggiuntivi. Calcoliamo il valore della funzione in altri punti per costruire il grafico in modo più accurato.

y(−5)=5,5;y(2)=−12;y(7)=−9,5.y(−5)=5,5;y(2)=−12;y(7)=−9,5.

10) Sulla base dei dati ottenuti, costruiremo un grafico, lo integreremo con gli asintoti x=1x=1 (blu), y=−x−1y=−x−1 (verde) e segneremo i punti caratteristici (intersezione viola con l'ordinata asse, estremi arancioni, punti aggiuntivi neri):

Compito 4: Problemi geometrici ed economici (non ho idea di cosa, ecco una selezione approssimativa di problemi con soluzioni e formule)

Esempio 3.23. UN

Soluzione. X E sì sì
y = a - 2×a/4 =a/2. Poiché x = a/4 è l'unico punto critico, controlliamo se passando per questo punto cambia il segno della derivata. Per xa/4 S " > 0 e per x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Esempio 3.24.

Soluzione.
R = 2, H = 16/4 = 4.

Esempio 3.22. Trova gli estremi della funzione f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Soluzione. Poiché f "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x -2)(x - 3), i punti critici della funzione x 1 = 2 e x 2 = 3. Gli estremi possono essere solo a questi punti. Così come passando per il punto x 1 = 2 la derivata cambia segno da più a meno, allora in questo punto la funzione ha un massimo. Passando per il punto x 2 = 3 la derivata cambia segno da meno a più, quindi nel punto x 2 = 3 la funzione ha un minimo Avendo calcolato i valori della funzione nei punti
x 1 = 2 e x 2 = 3, troviamo gli estremi della funzione: massimo f(2) = 14 e minimo f(3) = 13.

Esempio 3.23.È necessario costruire un'area rettangolare vicino al muro di pietra in modo che sia recintata su tre lati con rete metallica e il quarto lato sia adiacente al muro. Per questo c'è UN metri lineari di rete. Con quali proporzioni il sito avrà l'area più grande?

Soluzione. Indichiamo i lati della piattaforma con X E sì. L'area del sito è S = xy. Permettere sì- questa è la lunghezza del lato adiacente al muro. Allora, per condizione, deve valere l’uguaglianza 2x + y = a. Pertanto y = a - 2x e S = x(a - 2x), dove
0 ≤ x ≤ a/2 (la lunghezza e la larghezza del pad non possono essere negative). S " = a - 4x, a - 4x = 0 in x = a/4, da cui
y = a - 2×a/4 =a/2. Poiché x = a/4 è l'unico punto critico, controlliamo se passando per questo punto cambia il segno della derivata. Per xa/4 S " > 0 e per x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Esempio 3.24. Si richiede di realizzare un serbatoio cilindrico chiuso con capacità V=16p ≈ 50 m 3 . Quali dovrebbero essere le dimensioni del serbatoio (raggio R e altezza H) affinché venga utilizzata la minima quantità di materiale per la sua fabbricazione?

Soluzione. La superficie totale del cilindro è S = 2pR(R+H). Conosciamo il volume del cilindro V = pR 2 N Þ N = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Ciò significa S(R) = 2p(R 2 +16/R). Troviamo la derivata di questa funzione:
S " (R) = 2p(2R- 16/R 2) = 4p (R- 8/R 2). S " (R) = 0 per R 3 = 8, quindi,
R = 2, H = 16/4 = 4.

Informazioni correlate.

Per studiare a fondo la funzione e tracciarne il grafico, si consiglia il seguente schema:
A) trovare il dominio di definizione, punti di interruzione; esplorare il comportamento di una funzione vicino a punti di discontinuità (trovare i limiti della funzione a sinistra e a destra in questi punti). Indicare gli asintoti verticali.
B) determinare se una funzione è pari o dispari e concludere che esiste simmetria. Se , allora la funzione è pari e simmetrica rispetto all'asse OY; quando la funzione è dispari, simmetrica rispetto all'origine; e if è una funzione di forma generale.
C) trovare i punti di intersezione della funzione con gli assi coordinati OY e OX (se possibile), determinare gli intervalli di segno costante della funzione. I confini degli intervalli di segno costante di una funzione sono determinati dai punti in cui la funzione è uguale a zero (funzione zeri) o non esiste e dai confini del dominio di definizione di questa funzione. Negli intervalli in cui il grafico della funzione si trova sopra l'asse OX e dove - sotto questo asse.
D) trovare la derivata prima della funzione, determinarne gli zeri e gli intervalli di segno costante. Negli intervalli in cui la funzione aumenta e in cui diminuisce. Trarre una conclusione sulla presenza di estremi (punti in cui esistono una funzione e una derivata e quando passano attraverso i quali cambia segno. Se il segno cambia da più a meno, a questo punto la funzione ha un massimo e se da meno a più , quindi un minimo). Trova i valori della funzione nei punti estremi.
D) trovare la derivata seconda, i suoi zeri e gli intervalli di segno costante. A intervalli dove< 0 график функции выпуклый, а где – вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках.
E) trovare asintoti inclinati (orizzontali), le cui equazioni hanno la forma ; Dove
.
A il grafico della funzione avrà due asintoti obliqui, e ciascun valore di x in e potrà corrispondere anche a due valori di b.
G) trovare ulteriori punti per chiarire il grafico (se necessario) e costruire un grafico.

Esempio 1 Esplora la funzione e costruisci il suo grafico. Soluzione: A) dominio di definizione ; la funzione è continua nel suo dominio di definizione; – punto di interruzione, perché ;. Quindi – asintoto verticale.
B)
quelli. y(x) è una funzione di forma generale.
C) Trovare i punti di intersezione del grafico con l'asse OY: porre x=0; allora y(0)=–1, cioè il grafico della funzione interseca l'asse nel punto (0;-1). Zeri della funzione (punti di intersezione del grafico con l'asse OX): porre y=0; Poi
.
Il discriminante di un'equazione quadratica è inferiore a zero, il che significa che non ci sono zeri. Allora il confine degli intervalli di segno costante è il punto x=1, dove la funzione non esiste.
Il segno della funzione in ciascuno degli intervalli è determinato con il metodo dei valori parziali:

Dal diagramma è chiaro che nell'intervallo il grafico della funzione si trova sotto l'asse OX e nell'intervallo sopra l'asse OX.
D) Scopriamo la presenza di punti critici.
.
Troviamo i punti critici (dove o non esiste) dalle uguaglianze e .

Otteniamo: x1=1, x2=0, x3=2. Creiamo una tabella ausiliaria

Tabella 1

(La prima riga contiene i punti critici e gli intervalli in cui questi punti sono divisi dall'asse OX; la seconda riga indica i valori della derivata nei punti critici e i segni sugli intervalli. I segni sono determinati dal valore parziale metodo.La terza riga indica i valori della funzione y(x) nei punti critici e mostra il comportamento della funzione - aumentando o diminuendo agli intervalli corrispondenti dell'asse numerico.Inoltre, la presenza di un minimo o massimo è indicato.
D) Trovare gli intervalli di convessità e concavità della funzione.
; costruire una tabella come al punto D); Solo nella seconda riga annotiamo i segni e nella terza indichiamo il tipo di convessità. Perché ; allora il punto critico è uno x=1.
Tavolo 2

Il punto x=1 è il punto di flesso.
E) Trovare gli asintoti obliqui e orizzontali

Allora y=x è un asintoto obliquo.
G) Sulla base dei dati ottenuti, costruiamo un grafico della funzione

Esempio2 Condurre uno studio completo della funzione e costruire il suo grafico. Soluzione.

1). L'ambito della funzione.
È ovvio che questa funzione è definita su tutta la linea numerica, ad eccezione dei punti “” e “”, perché in questi punti il denominatore è uguale a zero e, quindi, la funzione non esiste, e le rette e sono asintoti verticali.

2). Il comportamento di una funzione poiché l'argomento tende all'infinito, l'esistenza di punti di discontinuità e la verifica della presenza di asintoti obliqui.
Controlliamo innanzitutto come si comporta la funzione quando si avvicina all'infinito a sinistra e a destra.

Pertanto, quando la funzione tende a 1, cioè – asintoto orizzontale.
In prossimità dei punti di discontinuità il comportamento della funzione è determinato come segue:

Quelli. Quando ci si avvicina ai punti di discontinuità a sinistra la funzione diminuisce all'infinito e a destra aumenta all'infinito.
Determiniamo la presenza di un asintoto obliquo considerando l'uguaglianza:

Non ci sono asintoti obliqui.

3). Punti di intersezione con gli assi coordinati.
Qui è necessario considerare due situazioni: trovare il punto di intersezione con l'asse Ox e l'asse Oy. Il segno di intersezione con l'asse del Bue è il valore zero della funzione, cioè è necessario risolvere l'equazione:

Questa equazione non ha radici, quindi il grafico di questa funzione non ha punti di intersezione con l'asse del Bue.
Il segno di intersezione con l'asse Oy è il valore x = 0. In questo caso
,
quelli. – il punto di intersezione del grafico della funzione con l'asse Oy.

4).Determinazione dei punti estremi e degli intervalli di incremento e decremento.
Per studiare questo problema, definiamo la derivata prima:
.
Uguagliamo a zero il valore della derivata prima.
.
Una frazione è uguale a zero quando il suo numeratore è uguale a zero, cioè .
Determiniamo gli intervalli di aumento e diminuzione della funzione.

Pertanto, la funzione ha un punto estremo e non esiste in due punti.
Pertanto, la funzione aumenta sugli intervalli e e diminuisce sugli intervalli e .

5). Punti di flesso e aree di convessità e concavità.
Questa caratteristica del comportamento di una funzione viene determinata utilizzando la derivata seconda. Determiniamo innanzitutto la presenza di punti di flesso. La derivata seconda della funzione è uguale a

Quando e la funzione è concava;

quando e la funzione è convessa.

6). Rappresentazione grafica di una funzione.
Utilizzando i valori trovati in punti, costruiremo schematicamente un grafico della funzione:

Esempio3 Esplora la funzione

e costruire il suo grafico.

Soluzione
La funzione data è una funzione non periodica di forma generale. Il suo grafico passa per l'origine delle coordinate, poiché .
Il dominio di definizione di una data funzione è costituito da tutti i valori della variabile tranne e per i quali il denominatore della frazione diventa zero.
Di conseguenza i punti sono i punti di discontinuità della funzione.
Perché ,

Perché ,
, allora il punto è un punto di discontinuità del secondo tipo.
Le rette sono gli asintoti verticali del grafico della funzione.
Equazioni di asintoti obliqui, dove, .
A ,
.
Pertanto, for e il grafico della funzione ha un asintoto.
Troviamo gli intervalli di aumento e diminuzione della funzione e dei punti estremi.
.
La derivata prima della funzione at e, quindi, at e la funzione aumenta.
Quando, quindi, quando, la funzione diminuisce.
non esiste per , .
, quindi, quando Il grafico della funzione è concavo.
A , quindi, quando Il grafico della funzione è convesso.

Passando per i punti , , cambia segno. Quando , la funzione non è definita, quindi il grafico della funzione ha un punto di flesso.
Costruiamo un grafico della funzione.