Cos'è un gradiente? Tipi di gradienti.

Dal corso di matematica scolastica sappiamo che un vettore su un piano è un segmento orientato. Il suo inizio e la sua fine hanno due coordinate. Le coordinate del vettore vengono calcolate sottraendo le coordinate iniziali dalle coordinate finali.

Il concetto di vettore può essere esteso allo spazio n-dimensionale (invece di due coordinate ci saranno n coordinate).

Pendenza gradzfunctionz=f(x 1, x 2, ...x n) è il vettore delle derivate parziali della funzione in un punto, cioè vettore con coordinate.

Si può dimostrare che il gradiente di una funzione caratterizza la direzione della crescita più rapida del livello di una funzione in un punto.

Ad esempio, per la funzione z = 2x 1 + x 2 (vedi Figura 5.8), il gradiente in qualsiasi punto avrà coordinate (2; 1). Puoi costruirlo su un piano in vari modi, prendendo qualsiasi punto come inizio del vettore. Ad esempio, puoi connettere il punto (0; 0) al punto (2; 1), o il punto (1; 0) al punto (3; 1), o il punto (0; 3) al punto (2; 4), o così via. .P. (Vedi Figura 5.8). Tutti i vettori costruiti in questo modo avranno coordinate (2 – 0; 1 – 0) = = (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).

Dalla Figura 5.8 si vede chiaramente che il livello della funzione aumenta nella direzione del gradiente, poiché le linee di livello costruite corrispondono ai valori di livello 4 > 3 > 2.

Figura 5.8 - Gradiente della funzione z= 2x 1 + x 2

Consideriamo un altro esempio: la funzione z = 1/(x 1 x 2). Il gradiente di questa funzione non sarà più sempre lo stesso in punti diversi, poiché le sue coordinate sono determinate dalle formule (-1/(x 1 2 x 2); -1/(x 1 x 2 2)).

La Figura 5.9 mostra le linee del livello di funzione z = 1/(x 1 x 2) per i livelli 2 e 10 (la linea retta 1/(x 1 x 2) = 2 è indicata da una linea tratteggiata e la linea retta 1/( x 1 x 2) = 10 è la linea continua).

Figura 5.9 - Gradienti della funzione z= 1/(x 1 x 2) in vari punti

Prendiamo ad esempio il punto (0,5; 1) e calcoliamo il gradiente in questo punto: (-1/(0,5 2 *1); -1/(0,5*1 2)) = (-4; - 2). Si noti che il punto (0.5; 1) giace sulla retta di livello 1/(x 1 x 2) = 2, perché z=f(0.5; 1) = 1/(0.5*1) = 2. Per disegnare il vettore ( -4; -2) nella Figura 5.9, collega il punto (0.5; 1) con il punto (-3.5; -1), perché (-3.5 – 0.5; -1 - 1) = (-4; -2).

Prendiamo un altro punto sulla stessa linea di livello, ad esempio il punto (1; 0,5) (z=f(1; 0,5) = 1/(0,5*1) = 2). Calcoliamo il gradiente a questo punto (-1/(1 2 *0.5); -1/(1*0.5 2)) = (-2; -4). Per rappresentarlo nella Figura 5.9, colleghiamo il punto (1; 0.5) con il punto (-1; -3.5), perché (-1 - 1; -3.5 - 0.5) = (-2; - 4).

Prendiamo un altro punto sulla stessa linea di livello, ma solo ora in un quarto di coordinate non positivo. Ad esempio, punto (-0,5; -1) (z=f(-0,5; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2). Il gradiente a questo punto sarà uguale a (-1/((-0,5) 2 *(-1)); -1/((-0,5)*(-1) 2)) = (4; 2). Rappresentiamolo nella Figura 5.9 collegando il punto (-0.5; -1) con il punto (3.5; 1), perché (3.5 – (-0.5); 1 – (-1)) = (4 ; 2).

È da notare che in tutti e tre i casi considerati, il gradiente mostra la direzione di crescita del livello di funzione (verso la linea di livello 1/(x 1 x 2) = 10 > 2).

Si può dimostrare che la pendenza è sempre perpendicolare alla linea di livello (superficie piana) passante per un dato punto.

Estremi di una funzione di più variabili

Definiamo il concetto estremo per una funzione con molte variabili.

Una funzione di molte variabili f(X) ha nel punto X (0) massimo (minimo), se esiste un intorno di questo punto tale che per tutti i punti X di questo intorno le disuguaglianze f(X)f(X (0)) () sono soddisfatte.

Se queste disuguaglianze sono soddisfatte in maniera rigorosa, allora si parla di estremo forte e se no, allora Debole.

Si noti che l'estremo definito in questo modo è Locale carattere, poiché queste disuguaglianze sono soddisfatte solo per un certo intorno del punto estremo.

Una condizione necessaria per un estremo locale di una funzione differenziabile z=f(x 1, . . ., x n) in un punto è l'uguaglianza a zero di tutte le derivate parziali del primo ordine in questo punto:
.

I punti in cui valgono queste uguaglianze vengono chiamati stazionario.

In altro modo, la condizione necessaria per un estremo può essere formulata come segue: nel punto estremo il gradiente è zero. Si può anche dimostrare un'affermazione più generale: nel punto estremo le derivate della funzione in tutte le direzioni svaniscono.

I punti stazionari dovrebbero essere sottoposti a ulteriori ricerche per determinare se sono soddisfatte condizioni sufficienti per l'esistenza di un estremo locale. Per fare ciò, determinare il segno del differenziale del secondo ordine. Se per qualsiasi , non contemporaneamente uguale a zero, è sempre negativo (positivo), allora la funzione ha un massimo (minimo). Se si può arrivare a zero non solo con incrementi pari a zero, allora la questione dell’estremo resta aperta. Se può assumere sia valori positivi che negativi, allora non vi è alcun estremo in un punto stazionario.

Nel caso generale, determinare il segno del differenziale è un problema piuttosto complesso, che qui non considereremo. Per una funzione di due variabili, si può dimostrare che se si trova in un punto stazionario
, allora è presente l'estremo. In questo caso il segno del secondo differenziale coincide con il segno
, cioè. Se
, allora questo è il massimo e se
, allora questo è il minimo. Se
, allora non c'è alcun estremo a questo punto, e se
, allora la questione dell'estremo resta aperta.

Esempio 1. Trova gli estremi della funzione
.

Troviamo le derivate parziali utilizzando il metodo della differenziazione logaritmica.

ln z = ln 2 + ln (x + y) + ln (1 + xy) – ln (1 + x 2) – ln (1 + y 2)

Allo stesso modo
.

Troviamo i punti stazionari dal sistema di equazioni:

Sono stati quindi trovati quattro punti stazionari (1; 1), (1; -1), (-1; 1) e (-1; -1).

Troviamo le derivate parziali del secondo ordine:

ln (z x `) = ln 2 + ln (1 - x 2) -2ln (1 + x 2)

Allo stesso modo
;
.

Perché
, segno di espressione
dipende solo da
. Nota che in entrambe queste derivate il denominatore è sempre positivo, quindi puoi considerare solo il segno del numeratore, o anche il segno delle espressioni x(x 2 – 3) e y(y 2 – 3). Definiamolo in ogni punto critico e controlliamo che sia soddisfatta la condizione sufficiente per l'estremo.

Per il punto (1; 1) otteniamo 1*(1 2 – 3) = -2< 0. Т.к. произведение двух отрицательных чисел
> 0 e
< 0, в точке (1; 1) можно найти максимум. Он равен
= 2*(1 + 1)*(1 +1*1)/((1 +1 2)*(1 +1 2)) = = 8/4 = 2.

Per il punto (1; -1) otteniamo 1*(1 2 – 3) = -2< 0 и (-1)*((-1) 2 – 3) = 2 >0. Perché prodotto di questi numeri
< 0, в этой точке экстремума нет. Аналогично можно показать, что нет экстремума в точке (-1; 1).

Per il punto (-1; -1) otteniamo (-1)*((-1) 2 – 3) = 2 > 0. Perché prodotto di due numeri positivi
> 0 e
> 0, nel punto (-1; -1) si trova il minimo. È uguale a 2*((-1) + (-1))*(1 +(-1)*(-1))/((1 +(-1) 2)*(1 +(-1) 2) ) = -8/4 = = -2.

Trovare globale massimo o minimo (il valore più grande o più piccolo di una funzione) è un po' più complicato di un estremo locale, poiché questi valori possono essere raggiunti non solo nei punti stazionari, ma anche al confine del dominio di definizione. Non è sempre facile studiare il comportamento di una funzione al confine di questa regione.

Gradiente (vettoriale) Pendenza(dal latino gradiens, genere gradientis - camminare), vettore, che mostra la direzione del cambiamento più veloce di una certa quantità, il cui valore varia da un punto all'altro dello spazio (vedi. Teoria del campo). Se una quantità è espressa da una funzione u (x, y, z), allora le componenti di G. sono uguali a ═G. indicato con il segno grad u. Ad un certo punto, la geometria è diretta perpendicolarmente alla superficie del livello, a questo punto la lunghezza della geometria è uguale a.Il concetto di geometria è ampiamente utilizzato in fisica, meteorologia, oceanologia, ecc., per caratterizzare la velocità di cambiamento nello spazio di qualsiasi quantità quando ci si sposta per unità di lunghezza nella direzione G.: ad esempio, G. pressione, G. temperatura, G. umidità, G. velocità del vento, G. salinità, G. densità dell'acqua di mare. Il valore del potenziale elettrico è chiamato intensità del campo elettrico.

Grande Enciclopedia Sovietica. - M.: Enciclopedia sovietica. 1969-1978 .

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pendenza- Modificare il valore di una certa quantità per unità di distanza in una determinata direzione. Il gradiente topografico è la variazione dell'elevazione del terreno su una distanza misurata orizzontalmente. )