Un prisma è una figura geometrica tridimensionale, le cui caratteristiche e proprietà sono studiate al liceo. Di norma, quando lo si studia, vengono considerate quantità come volume e superficie. Nello stesso articolo sveleremo una domanda leggermente diversa: daremo un metodo per determinare la lunghezza delle diagonali di un prisma usando l'esempio di una figura quadrangolare.

Quale forma si chiama prisma?

In geometria si dà la seguente definizione di prisma: è una figura tridimensionale delimitata da due lati poligonali uguali e paralleli tra loro e da un certo numero di parallelogrammi. La figura seguente mostra un esempio di prisma che si adatta a questa definizione.

Vediamo che i due pentagoni rossi sono uguali tra loro e si trovano su due piani paralleli. Cinque parallelogrammi rosa collegano questi pentagoni in un unico oggetto: un prisma. I due pentagoni sono chiamati le basi della figura ei suoi parallelogrammi sono le facce laterali.

I prismi sono diritti e inclinati, che sono anche chiamati rettangolari e obliqui. La differenza tra loro sta negli angoli tra la base e le facce laterali. Per un prisma rettangolare, tutti questi angoli sono di 90°.

Per numero di lati o vertici del poligono alla base si parla di prismi triangolari, pentagonali, quadrangolari e così via. Inoltre, se questo poligono è regolare e il prisma stesso è diritto, allora tale figura è chiamata regolare.

Il prisma mostrato nella figura precedente è un pentagonale obliquo. Sotto c'è un prisma pentagonale dritto, che è corretto.

Tutti i calcoli, compreso il metodo per determinare le diagonali di un prisma, vengono opportunamente eseguiti per figure regolari.

Quali elementi caratterizzano un prisma?

Gli elementi di una figura sono le parti che la compongono. Nello specifico di un prisma si possono distinguere tre principali tipologie di elementi:

• cime;
• bordi o lati;
• costolette.

Le facce sono basi e piani laterali, che nel caso generale sono parallelogrammi. In un prisma, ogni lato appartiene sempre a uno dei due tipi: o è un poligono o un parallelogramma.

I bordi di un prisma sono quei segmenti che delimitano ogni lato della figura. Come le facce, anche i bordi sono di due tipi: quelli appartenenti alla base e alla superficie laterale, o quelli appartenenti solo alla superficie laterale. I primi sono sempre il doppio dei secondi, indipendentemente dal tipo di prisma.

I vertici sono i punti di intersezione dei tre bordi del prisma, due dei quali giacciono nel piano della base, e il terzo appartiene alle due facce laterali. Tutti i vertici del prisma sono nei piani delle basi della figura.

I numeri degli elementi descritti sono collegati in un'unica uguaglianza, che ha la seguente forma:

P \u003d B + C - 2.

Qui P è il numero di spigoli, B - vertici, C - lati. Questa uguaglianza è chiamata teorema del poliedro di Eulero.

La figura mostra un prisma regolare triangolare. Tutti possono contare che ha 6 vertici, 5 lati e 9 spigoli. Queste cifre sono coerenti con il teorema di Eulero.

Diagonali prismatiche

Dopo proprietà come il volume e l'area della superficie, nei problemi di geometria si incontrano spesso informazioni sulla lunghezza dell'una o dell'altra diagonale della figura in esame, che è data o deve essere trovata da altri parametri noti. Considera quali sono le diagonali di un prisma.

Tutte le diagonali possono essere divise in due tipi:

1. Sdraiato nel piano delle facce. Collegano vertici non adiacenti del poligono alla base del prisma o del parallelogramma della superficie laterale. Il valore delle lunghezze di tali diagonali è determinato in base alla conoscenza delle lunghezze dei bordi corrispondenti e degli angoli tra di loro. Per determinare le diagonali dei parallelogrammi si usano sempre le proprietà dei triangoli.
2. Prismi giacenti all'interno del volume. Queste diagonali collegano vertici non simili di due basi. Queste diagonali sono completamente all'interno della figura. Le loro lunghezze sono in qualche modo più difficili da calcolare rispetto al tipo precedente. Il metodo di calcolo prevede la presa in considerazione delle lunghezze dei bordi e della base e dei parallelogrammi. Per prismi diritti e regolari, il calcolo è relativamente semplice, poiché viene eseguito utilizzando il teorema di Pitagora e le proprietà delle funzioni trigonometriche.

Diagonali dei lati di un prisma retto quadrangolare

La figura sopra mostra quattro prismi dritti identici e vengono forniti i parametri dei loro bordi. I prismi Diagonal A, Diagonal B e Diagonal C mostrano le diagonali di tre diverse facce con una linea rossa tratteggiata. Poiché il prisma è una linea retta con un'altezza di 5 cm, e la sua base è un rettangolo con i lati di 3 cm e 2 cm, non è difficile trovare le diagonali segnate. Per fare questo, devi usare il teorema di Pitagora.

La lunghezza della diagonale della base del prisma (diagonale A) è:

RE LA \u003d √ (3 2 +2 2) \u003d √13 ≈ 3,606 cm.

Per la faccia laterale di un prisma, la diagonale è (vedi Diagonale B):

RE B \u003d √ (3 2 +5 2) \u003d √34 ≈ 5,831 cm.

Infine, la lunghezza di un'altra diagonale laterale è (vedi Diagonale C):

D C \u003d √ (2 2 +5 2) \u003d √29 ≈ 5,385 cm.

Lunghezza della diagonale interna

Calcoliamo ora la lunghezza della diagonale del prisma quadrangolare, che è mostrata nella figura precedente (Diagonale D). Non è così difficile da fare se si nota che è l'ipotenusa di un triangolo in cui i cateti saranno l'altezza del prisma (5 cm) e la diagonale D A mostrata nella figura in alto a sinistra (Diagonale A). Quindi otteniamo:

RE RE \u003d √ (RE LA 2 +5 2) \u003d √ (2 2 +3 2 +5 2) \u003d √38 ≈ 6,164 cm.

Prisma quadrangolare destro

La diagonale di un prisma regolare la cui base è un quadrato si calcola nello stesso modo dell'esempio precedente. La formula corrispondente è simile a:

D = √(2*a2 +c2).

Dove a e c sono rispettivamente le lunghezze del lato della base e del bordo laterale.

Nota che nei calcoli abbiamo usato solo il teorema di Pitagora. Per determinare le lunghezze delle diagonali di prismi regolari con un gran numero di vertici (pentagonali, esagonali e così via), è già necessario applicare funzioni trigonometriche.

Definizione.

Questo è un esagono, le cui basi sono due quadrati uguali e le facce laterali sono rettangoli uguali.

Costola lateraleè il lato comune di due facce laterali adiacenti

Altezza del prismaè un segmento di linea perpendicolare alle basi del prisma

Diagonale prismatica- un segmento che collega due vertici delle basi che non appartengono alla stessa faccia

Piano diagonale- un piano che passa attraverso la diagonale del prisma e i suoi bordi laterali

Sezione diagonale- i confini dell'intersezione del prisma e del piano diagonale. La sezione diagonale di un prisma quadrangolare regolare è un rettangolo

Sezione perpendicolare (sezione ortogonale)- questa è l'intersezione di un prisma e di un piano disegnato perpendicolarmente ai suoi bordi laterali

Elementi di un prisma quadrangolare regolare

La figura mostra due prismi quadrangolari regolari, contrassegnati dalle lettere corrispondenti:

• Le basi ABCD e A 1 B 1 C 1 D 1 sono uguali e parallele tra loro
• Facce laterali AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C e CC 1 D 1 D, ognuna delle quali è un rettangolo
• Superficie laterale - la somma delle aree di tutte le facce laterali del prisma
• Superficie totale: la somma delle aree di tutte le basi e facce laterali (la somma dell'area della superficie laterale e delle basi)
• Costole laterali AA 1 , BB 1 , CC 1 e DD 1 .
• Diagonale B 1 D
• Base diagonale BD
• Sezione diagonale BB 1 D 1 D
• Sezione perpendicolare A 2 B 2 C 2 D 2 .

Proprietà di un prisma quadrangolare regolare

• Le basi sono due quadrati uguali
• Le basi sono parallele tra loro
• I lati sono rettangoli.
• Le facce laterali sono uguali tra loro
• Le facce laterali sono perpendicolari alle basi
• Le nervature laterali sono parallele tra loro e uguali
• Sezione perpendicolare perpendicolare a tutte le nervature laterali e parallela alle basi
• Angoli di sezione perpendicolare - Destra
• La sezione diagonale di un prisma quadrangolare regolare è un rettangolo
• Perpendicolare (sezione ortogonale) parallela alle basi

Formule per un prisma quadrangolare regolare

Istruzioni per la risoluzione dei problemi

Quando si risolvono problemi sull'argomento " prisma quadrangolare regolare" implica che:

Prisma corretto- un prisma alla base del quale giace un poligono regolare, i cui bordi laterali sono perpendicolari ai piani della base. Cioè, un prisma quadrangolare regolare contiene alla sua base piazza. (vedi sopra le proprietà di un prisma quadrangolare regolare) Nota. Questo fa parte della lezione con compiti di geometria (sezione geometria solida - prisma). Ecco i compiti che causano difficoltà nella risoluzione. Se devi risolvere un problema in geometria, che non è qui, scrivilo nel forum. Per indicare l'azione di estrazione di una radice quadrata nella risoluzione dei problemi, viene utilizzato il simbolo√ .

Compito.

In un prisma quadrangolare regolare, l'area di base è di 144 cm 2 e l'altezza è di 14 cm Trova la diagonale del prisma e l'area della superficie totale.

Soluzione.
Un quadrilatero regolare è un quadrato.
Di conseguenza, il lato della base sarà uguale a

√144 = 12 cm.
Quindi la diagonale della base di un prisma rettangolare regolare sarà uguale a
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

La diagonale di un prisma regolare forma un triangolo rettangolo con la diagonale della base e l'altezza del prisma. Di conseguenza, secondo il teorema di Pitagora, la diagonale di un dato prisma quadrangolare regolare sarà uguale a:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22cm

Risposta: 22 cm

Compito

Trova la superficie totale di un prisma quadrangolare regolare se la sua diagonale è di 5 cm e la diagonale della faccia laterale è di 4 cm.

Soluzione.
Poiché la base di un prisma quadrangolare regolare è un quadrato, allora il lato della base (indicato come a) si trova dal teorema di Pitagora:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

L'altezza della faccia laterale (indicata come h) sarà quindi uguale a:

H 2 + 12,5 \u003d 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 \u003d 3,5
h = √3.5

L'area della superficie totale sarà uguale alla somma dell'area della superficie laterale e del doppio dell'area di base

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Risposta: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm2.

Descrizione della presentazione sulle singole slide:

1 diapositiva

Descrizione della diapositiva:

2 diapositiva

Descrizione della diapositiva:

Definizione 1. Un poliedro, le cui due facce sono poligoni con lo stesso nome che giacciono su piani paralleli, e due bordi qualsiasi che non giacciono su questi piani sono paralleli, è chiamato prisma. Il termine “prisma” è di origine greca e significa letteralmente “segato via” (corpo). I poligoni che giacciono su piani paralleli sono chiamati basi del prisma e le facce rimanenti sono chiamate facce laterali. La superficie di un prisma, quindi, consiste di due poligoni uguali (basi) e parallelogrammi (facce laterali). Ci sono prismi triangolari, quadrangolari, pentagonali, ecc. a seconda del numero di vertici di base.

3 diapositiva

Descrizione della diapositiva:

Tutti i prismi sono divisi in diritti e inclinati. (Fig. 2) Se il bordo laterale del prisma è perpendicolare al piano della sua base, allora tale prisma è chiamato linea retta; se il bordo laterale del prisma è perpendicolare al piano della sua base, allora tale prisma è chiamato inclinato. In un prisma rettilineo, le facce laterali sono rettangoli. La perpendicolare ai piani delle basi, le cui estremità appartengono a questi piani, si chiama altezza del prisma.

4 diapositiva

Descrizione della diapositiva:

proprietà del prisma. 1. Le basi del prisma sono poligoni uguali. 2. Le facce laterali del prisma sono parallelogrammi. 3. I bordi laterali del prisma sono uguali.

5 diapositiva

Descrizione della diapositiva:

La superficie del prisma e la superficie laterale del prisma. La superficie di un poliedro è costituita da un numero finito di poligoni (facce). La superficie di un poliedro è la somma delle aree di tutte le sue facce. L'area della superficie del prisma (Spr) è uguale alla somma delle aree delle sue facce laterali (l'area della superficie laterale Sside) e le aree delle due basi (2Sbase) - poligoni uguali: Ssur= Lato+2Sbase. Teorema. L'area della superficie laterale del prisma è uguale al prodotto del perimetro della sua sezione perpendicolare e della lunghezza del bordo laterale.

6 scivolo

Descrizione della diapositiva:

Prova. Le facce laterali di un prisma rettilineo sono rettangoli, le cui basi sono i lati della base del prisma e le altezze sono uguali all'altezza h del prisma. Sside della superficie del prisma è uguale alla somma S dei triangoli indicati, cioè è uguale alla somma dei prodotti dei lati della base e dell'altezza h. Togliendo il fattore h dalle parentesi, otteniamo tra parentesi la somma dei lati della base del prisma, cioè perimetro P. Quindi, Sside = Ph. Il teorema è stato dimostrato. Conseguenza. L'area della superficie laterale di un prisma rettilineo è uguale al prodotto del perimetro della sua base e dell'altezza. Infatti, per un prisma rettilineo, la base può essere considerata come una sezione perpendicolare, e il bordo laterale è l'altezza.

7 scivolo

Descrizione della diapositiva:

Sezione di un prisma 1. Sezione di un prisma da un piano parallelo alla base. Nella sezione si forma un poligono, uguale al poligono che giace alla base. 2. Sezione di un prisma da un piano passante per due spigoli laterali non contigui. Nella sezione si forma un parallelogramma. Tale sezione è chiamata sezione diagonale del prisma. In alcuni casi si può ottenere un rombo, un rettangolo o un quadrato.

8 scivolo

Descrizione della diapositiva:

9 diapositiva

Descrizione della diapositiva:

Definizione 2. Un prisma rettilineo la cui base è un poligono regolare è detto prisma regolare. Proprietà di un prisma regolare 1. Le basi di un prisma regolare sono poligoni regolari. 2. Le facce laterali di un prisma regolare sono rettangoli uguali. 3. I bordi laterali di un prisma regolare sono uguali.

10 diapositiva

Descrizione della diapositiva:

Sezione trasversale di un prisma regolare. 1. Sezione di un prisma regolare da un piano parallelo alla base. Nella sezione si forma un poligono regolare, uguale al poligono che giace alla base. 2. Sezione di un prisma regolare da un piano passante per due spigoli laterali non adiacenti. La sezione forma un rettangolo. In alcuni casi, può formarsi un quadrato.

11 diapositiva

Descrizione della diapositiva:

Simmetria di un prisma regolare 1. Il centro di simmetria con un numero pari di lati della base è il punto di intersezione delle diagonali di un prisma regolare (Fig. 6)

Un prisma triangolare è un corpo tridimensionale formato da una combinazione di rettangoli e triangoli. In questo tutorial imparerai come trovare le dimensioni all'interno (volume) e all'esterno (superficie) di un prisma triangolare.

Prisma triangolare - questo è un pentaedro formato da due piani paralleli in cui sono presenti due triangoli che formano due facce del prisma, e le restanti tre facce sono parallelogrammi formati dai co-lati dei triangoli.

Elementi di un prisma triangolare

I triangoli ABC e A 1 B 1 C 1 sono basi del prisma .

I quadrilateri A 1 B 1 BA, B 1 BCC 1 e A 1 C 1 CA sono facce laterali del prisma .

I lati delle facce sono bordi del prisma(A 1 B 1 , A 1 C 1 , C 1 B 1 , AA 1 , CC 1 , BB 1 , AB, BC, AC), il prisma triangolare ha 9 facce in totale.

L'altezza del prisma è il segmento della perpendicolare che collega le due facce del prisma (nella figura è h).

La diagonale di un prisma è un segmento che ha le estremità in due vertici del prisma che non appartengono alla stessa faccia. Un prisma triangolare non può disegnare una tale diagonale.

Zona di base è l'area della faccia triangolare del prisma.

è la somma delle aree delle facce quadrilatere del prisma.

Tipi di prismi triangolari

Esistono due tipi di prisma triangolare: dritto e obliquo.

Un prisma rettilineo ha facce laterali rettangolari, mentre una faccia laterale inclinata ha parallelogrammi (vedi fig.)

Un prisma i cui bordi laterali sono perpendicolari ai piani delle basi è detto prisma rettilineo.

Un prisma, i cui bordi laterali sono inclinati rispetto ai piani delle basi, è chiamato inclinato.

Formule di base per il calcolo di un prisma triangolare

Volume di un prisma triangolare

Per trovare il volume di un prisma triangolare, moltiplica l'area della sua base per l'altezza del prisma.

Volume del prisma = Area base x Altezza

V=S principale H

Superficie laterale del prisma

Per trovare la superficie laterale di un prisma triangolare, moltiplica il perimetro della sua base per la sua altezza.

Superficie laterale di un prisma triangolare = perimetro di base x altezza

Lato S \u003d P principale. H

Superficie totale del prisma

Per trovare la superficie totale di un prisma, somma l'area delle basi e l'area della superficie laterale.

dal lato S \u003d P principale. h, otteniamo:

S pieno = P principale. h+2S principale

Prisma corretto è un prisma retto la cui base è un poligono regolare.

Proprietà del prisma:

Le basi superiore e inferiore di un prisma sono poligoni uguali.
Le facce laterali del prisma sembrano un parallelogramma.
I bordi laterali del prisma sono paralleli e uguali.

Suggerimento: quando si calcola un prisma triangolare, è necessario prestare attenzione alle unità utilizzate. Ad esempio, se l'area della base è in cm2, allora l'altezza va espressa in centimetri e il volume in cm3. Se l'area di base è in mm 2, allora l'altezza dovrebbe essere espressa in mm, e il volume in mm 3, ecc.

Esempio di prisma

In questo esempio:
- ABC e DEF costituiscono le basi triangolari del prisma
- ABED, BCFE e ACFD sono facce laterali rettangolari
— I bordi laterali DA, EB e FC corrispondono all'altezza del prisma.
- I punti A, B, C, D, E, F sono i vertici del prisma.

Compiti per il calcolo di un prisma triangolare

Compito 1. La base di un prisma triangolare retto è un triangolo rettangolo con le gambe 6 e 8, il bordo laterale è 5. Trova il volume del prisma.
Soluzione: Il volume di un prisma rettilineo è V = Sh, dove S è l'area della base e h è il bordo laterale. L'area della base in questo caso è l'area di un triangolo rettangolo (la sua area è pari alla metà dell'area di un rettangolo con i lati 6 e 8). Quindi il volume è:

V = 1/2 6 8 5 = 120.

Compito 2.

Un piano parallelo al bordo laterale viene tracciato attraverso la linea mediana della base del prisma triangolare. Il volume del prisma triangolare tagliato è 5. Trova il volume del prisma originale.

Soluzione:

Il volume del prisma è uguale al prodotto dell'area della base e dell'altezza: V = S principale h.

Il triangolo alla base del prisma originale è simile al triangolo alla base del prisma troncato. Il coefficiente di somiglianza è pari a 2, poiché la sezione è tracciata attraverso la linea mediana (le dimensioni lineari del triangolo più grande sono il doppio delle dimensioni lineari di quello più piccolo). È noto che le aree di figure simili sono correlate come il quadrato del coefficiente di somiglianza, ovvero S 2 \u003d S 1 k 2 \u003d S 1 2 2 \u003d 4S 1.

L'area della base dell'intero prisma è 4 volte l'area della base del prisma tagliato. Le altezze di entrambi i prismi sono le stesse, quindi il volume dell'intero prisma è 4 volte il volume del prisma tagliato.

Pertanto, il volume desiderato è 20.

Sezioni diagonali La sezione di un prisma per un piano passante per la diagonale della base e per due spigoli laterali ad essa adiacenti è detta sezione diagonale del prisma. La sezione della piramide per un piano passante per la diagonale della base e del vertice si chiama sezione diagonale della piramide. Lascia che il piano intersechi la piramide e sia parallelo alla sua base. La parte della piramide racchiusa tra questo piano e la base è chiamata piramide tronca. La sezione della piramide è anche chiamata base della piramide tronca.

Costruzione di sezioni Quando si costruiscono sezioni di poliedri, quelle fondamentali sono la costruzione del punto di intersezione di una retta e di un piano, nonché la linea di intersezione di due piani. Se sono dati due punti A e B della retta e sono note le loro proiezioni A' e B' sul piano, allora il punto C dell'intersezione dei dati della retta e del piano sarà il punto di intersezione delle rette AB e A'B' Se sono dati tre punti A, B, C del piano e si conoscono le loro proiezioni A', B', C' su un altro piano, allora per trovare la linea di intersezione di questi piani, trovare i punti P e Q di intersezione delle rette AB e AC con il secondo piano. La linea PQ sarà la linea desiderata di intersezione dei piani.

Esercizio 1 Costruisci una sezione di un cubo con un piano passante per i punti E, F giacenti sugli spigoli del cubo e il vertice B. Soluzione. Per costruire una sezione di un cubo passante per i punti E, F e il vertice B, colleghiamo con dei segmenti i punti E e B, F e B. Tracciamo delle rette passanti per i punti E ed F parallele rispettivamente a BF e BE. Il parallelogramma risultante BFGE sarà la sezione desiderata.

Esercizio 2 Costruisci una sezione di un cubo da un piano passante per i punti E, F, G giacenti sui bordi del cubo. Soluzione. Per costruire una sezione di un cubo passante per i punti E, F, G, tracciamo una retta EF e indichiamo con P il suo punto di intersezione con AD. Sia Q il punto di intersezione delle rette PG e AB. Collega i punti E e Q, F e G. Il trapezio risultante EFGQ sarà la sezione richiesta.

Esercizio 3 Costruisci una sezione di un cubo da un piano passante per i punti E, F, G giacenti sui bordi del cubo. Soluzione. Per costruire una sezione di un cubo passante per i punti E, F, G, tracciamo una retta EF e indichiamo con P il suo punto di intersezione con AD. Siano Q, R i punti di intersezione della retta PG con AB e DC. Indichiamo con S il punto di intersezione di FR con СС 1. Connetti i punti E e Q, G e S. Il pentagono risultante EFSGQ sarà la sezione richiesta.

Esercizio 4 Costruisci una sezione di un cubo con un piano passante per i punti E, F, G giacenti sui bordi del cubo. Soluzione. Per costruire una sezione di un cubo passante per i punti E, F, G, troviamo il punto P di intersezione della retta EF con il piano della faccia ABCD. Indichiamo con Q, R i punti di intersezione della retta PG con AB e CD. Traccia la linea RF e indica con S, T i suoi punti di intersezione con CC 1 e DD 1. Traccia la linea TE e indica con U il suo punto di intersezione con A 1 D 1. Connetti i punti E e Q, G e S, U e F. L'esagono risultante EUFSGQ sarà la sezione richiesta.

Esercizio 5 Costruisci una sezione di un cubo per un piano passante per i punti E, F, G appartenenti rispettivamente alle facce BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, AA 1 B 1 B. Soluzione. Da questi punti caliamo le perpendicolari EE', FF', GG' sul piano della faccia ABCD, e troviamo i punti I e H dell'intersezione delle rette FE e FG con questo piano. IH sarà la linea di intersezione del piano desiderato e il piano della faccia ABCD. Siano Q, R i punti di intersezione della retta IH con AB e BC. Tracciare le linee PG e QE e indicare con R, S i loro punti di intersezione con AA 1 e CC 1. Tracciare le linee SU, UV e RV parallele a PR, PQ e QS. L'esagono risultante RPQSUV sarà la sezione richiesta.

Esercizio 6 Costruisci una sezione di un cubo da un piano passante per i punti E, F, giacente sui bordi del cubo, parallelo alla diagonale BD. Soluzione. Tracciamo le linee FG ed EH parallele a BD. Disegna una linea FP parallela a EG e collega i punti P e G. Collega i punti E e G, F e H. Il pentagono risultante EGPFH sarà la sezione richiesta.

Costruisci una sezione del prisma ABCA 1 B 1 C 1 per un piano passante per i punti E, F, G. Esercizio 8 Soluzione. Collega i punti E e F. Disegna la linea FG e indica il suo punto di intersezione con CC 1 come H. Disegna la linea EH e indica il suo punto di intersezione con A 1 C 1 come I. Collega i punti I e G. Il quadrilatero risultante EFGI sarà la sezione richiesta.

Costruisci una sezione del prisma ABCA 1 B 1 C 1 per un piano passante per i punti E, F, G. Esercizio 9 Soluzione. Disegna una linea EG e denota con H e I i suoi punti di intersezione con CC 1 e AC. Disegna la linea IF e denota il suo punto di intersezione con AB come K. Disegna la linea FH e denota il suo punto di intersezione con B 1 C 1 come L. Collega i punti E e K, G e L. Il pentagono risultante EKFLG sarà il richiesto sezione.

Costruisci una sezione del prisma ABCA 1 B 1 C 1 per un piano parallelo ad AC 1 passante per i punti D 1. Esercizio 10 Soluzione. Per il punto D si tracci una retta parallela ad AC 1 e si indichi con E il suo punto di intersezione con la retta BC 1. Questo punto apparterrà al piano della faccia ADD 1 A 1. Si tracci la retta DE e si indichi con F il suo punto di intersezione con lo spigolo BC. Colleghiamo con un segmento i punti F e D. Attraverso il punto D tracciamo una linea parallela alla linea FD e indichiamo con G il punto della sua intersezione con il bordo A 1 C 1, H è il punto della sua intersezione con la retta A 1 B 1. Traccia la retta DH e denota con P il suo punto di intersezione con lo spigolo AA 1. Connetti con un segmento i punti P e G. Il quadrilatero EFIK risultante sarà la sezione richiesta.

Costruisci una sezione del prisma ABCA 1 B 1 C 1 per un piano passante per i punti E sullo spigolo BC, F sulla faccia ABB 1 A 1 e G sulla faccia ACC 1 A 1. Esercizio 11 Soluzione. Disegna la retta GF e trova il punto H della sua intersezione con il piano ABC. Disegna una linea EH e denota con P e I i suoi punti di intersezione con AC e AB. Disegna le linee PG e IF, e denota con S, R e Q i loro punti di intersezione con A 1 C 1, A 1 B 1 e BB 1. Connetti i punti E e Q, S e R. Il pentagono risultante EQRSP sarà il sezione richiesta.

Costruisci una sezione di un prisma esagonale regolare per un piano passante per i punti A, B, D 1. Esercizio 12 Soluzione. Nota che la sezione passerà per il punto E 1. Traccia la retta AB e trova i suoi punti di intersezione K e L con le rette CD e FE. Disegna le linee KD 1, LE 1 e trova i loro punti di intersezione P, Q con le linee CC 1 e FF 1. Esagono ABPD 1 E 1 Q sarà la sezione richiesta.

Costruisci una sezione di un prisma esagonale regolare per un piano passante per i punti A, B', F'. Esercizio 13 Soluzione. Disegniamo i segmenti AB' e AF'. Traccia una linea attraverso il punto B' parallela ad AF', e denota il suo punto di intersezione con EE 1 come E'. Per il punto F' tracciamo una linea parallela ad AB', e il suo punto di intersezione con CC 1 è indicato con C'. Attraverso i punti E' e C' tracciamo linee parallele ad AB' e AF', e i loro punti di intersezione con D 1 E 1 e C 1 D 1 saranno indicati con D', D". Colleghiamo i punti B', C'; RE', RE"; FA', MI'. L'ettagono risultante AB'C'D"D'E'F' sarà la sezione richiesta.

Costruire una sezione di un prisma esagonale regolare da un piano passante per i punti F', B', D'. Esercizio 14 Soluzione. Disegna le rette F'B' e F'D' e trova i loro punti di intersezione P e Q con il piano ABC. Tracciamo una linea PQ. Indichiamo con R il punto di intersezione di PQ e FC. Il punto di intersezione di F'R e CC 1 sarà indicato con C'. Collega i punti B', C' e C', D'. Per il punto F' tracciamo linee parallele a C'D' e B'C', ei loro punti di intersezione con AA 1 ed EE 1 saranno indicati con A' ed E'. Colleghiamo i punti A', B' e E', D'. L'esagono risultante A'B'C'D'E'F' sarà la sezione desiderata.