Equazioni delle onde piane e sferiche. Equazione delle onde che viaggiano in piano

23.12.2021

Equazione delle ondeè un'equazione che esprime la dipendenza dello spostamento di una particella oscillante che partecipa a un processo ondulatorio dalla coordinata della sua posizione e tempo di equilibrio:

Questa funzione deve essere periodica sia rispetto al tempo che rispetto alle coordinate. Inoltre, punti situati a distanza l gli uni dagli altri, oscillano allo stesso modo.

Troviamo il tipo di funzione X nel caso di un'onda piana.

Consideriamo un'onda armonica piana che si propaga lungo la direzione positiva dell'asse in un mezzo che non assorbe energia. In questo caso, le superfici d'onda saranno perpendicolari all'asse. Tutte le quantità che caratterizzano il movimento oscillatorio delle particelle del mezzo dipendono solo dal tempo e dalle coordinate. L'offset dipenderà solo da e: . Lascia che l'oscillazione di un punto con una coordinata (la sorgente dell'oscillazione) sia data dalla funzione. Compito: trova il tipo di vibrazione dei punti nel piano corrispondenti ad un valore arbitrario. Per viaggiare da un piano a questo piano, un'onda richiede tempo. Di conseguenza, le oscillazioni delle particelle che giacciono nel piano rimarranno in fase di un tempo rispetto alle oscillazioni delle particelle nel piano. Quindi l'equazione delle oscillazioni delle particelle nel piano avrà la forma:

Di conseguenza, abbiamo ottenuto l'equazione di un'onda piana che si propaga nella direzione crescente:

. (3)

In questa equazione, è l'ampiezza dell'onda; – frequenza ciclica; – fase iniziale, che è determinata dalla scelta del punto di riferimento e ; – fase d'onda piana.

Lascia che la fase dell'onda sia un valore costante (fissiamo il valore della fase nell'equazione dell'onda):

Riduciamo questa espressione e differenziamo. Di conseguenza otteniamo:

O .

Pertanto, la velocità di propagazione di un'onda nell'equazione delle onde piane non è altro che la velocità di propagazione di una fase fissa dell'onda. Questa velocità si chiama velocità di fase .

Per un'onda sinusoidale, la velocità di trasferimento dell'energia è uguale alla velocità di fase. Ma un'onda sinusoidale non trasporta alcuna informazione e qualsiasi segnale è un'onda modulata, cioè non sinusoidale (non armonico). Quando si risolvono alcuni problemi, si scopre che la velocità di fase è maggiore della velocità della luce. Non c'è alcun paradosso qui, perché... la velocità del movimento di fase non è la velocità di trasmissione (propagazione) dell'energia. L'energia e la massa non possono muoversi ad una velocità superiore a quella della luce C .

Di solito all'equazione delle onde piane viene data una forma relativamente simmetrica. Per fare ciò, inserisci il valore , che è chiamato numero d'onda . Trasformiamo l'espressione del numero d'onda. Scriviamolo nel modulo (). Sostituiamo questa espressione nell'equazione delle onde piane:

Finalmente otteniamo

Questa è l'equazione di un'onda piana che si propaga nella direzione crescente. La direzione opposta della propagazione dell'onda sarà caratterizzata da un'equazione in cui cambierà il segno davanti al termine.

È conveniente scrivere l’equazione delle onde piane nella forma seguente.

Di solito un segno Rif vengono omessi, il che implica che viene presa solo la parte reale dell'espressione corrispondente. Inoltre viene introdotto un numero complesso.

Questo numero è chiamato ampiezza complessa. Il modulo di questo numero fornisce l'ampiezza e l'argomento fornisce la fase iniziale dell'onda.

Pertanto, l'equazione di un'onda continua piana può essere rappresentata nella forma seguente.

Tutto quanto discusso sopra si riferiva a un mezzo in cui non c'era attenuazione delle onde. Nel caso dell'attenuazione dell'onda, secondo la legge di Bouguer (Pierre Bouguer, scienziato francese (1698 - 1758)), l'ampiezza dell'onda diminuirà man mano che si propaga. Allora l'equazione dell'onda piana avrà la seguente forma.

UN– coefficiente di attenuazione dell'onda. Uno 0 – ampiezza delle oscillazioni in un punto con coordinate . Questo è il reciproco della distanza alla quale diminuisce l'ampiezza dell'onda e una volta.

Troviamo l'equazione di un'onda sferica. Considereremo la fonte delle oscillazioni come puntiforme. Ciò è possibile se ci limitiamo a considerare l'onda ad una distanza molto maggiore della dimensione della sorgente. Lo sarà un'onda proveniente da una tale sorgente in un mezzo isotropo e omogeneo sferico . I punti che giacciono sulla superficie dell'onda del raggio oscilleranno con la fase

L'ampiezza delle oscillazioni in questo caso, anche se l'energia delle onde non viene assorbita dal mezzo, non rimarrà costante. Diminuisce con la distanza dalla sorgente secondo quanto previsto dalla legge. Pertanto, l’equazione delle onde sferiche ha la forma:

A causa delle ipotesi fatte, l'equazione è valida solo per , superando notevolmente le dimensioni della sorgente d'onda. L'equazione (6) non è applicabile per valori piccoli, perché l'ampiezza tenderebbe all'infinito, e questo è assurdo.

In presenza di attenuazione nel mezzo, l'equazione di un'onda sferica verrà scritta come segue.

Velocità di gruppo

Un'onda rigorosamente monocromatica è una sequenza infinita di “gobbe” e “valli” nel tempo e nello spazio.

La velocità di fase di questa onda o (2)

È impossibile trasmettere un segnale utilizzando un'onda del genere, perché in qualsiasi punto dell'onda tutte le “gobbe” sono uguali. Il segnale deve essere diverso. Essere un segno (segno) sull'onda. Ma allora l'onda non sarà più armonica e non sarà descritta dall'equazione (1). Un segnale (impulso) può essere rappresentato secondo il teorema di Fourier come una sovrapposizione di onde armoniche con frequenze contenute in un certo intervallo Dw . Sovrapposizione di onde che differiscono poco l'una dall'altra in frequenza,

chiamato pacchetto d'onda O gruppo di onde .

L'espressione per un gruppo di onde può essere scritta come segue.

(3)

Icona w sottolinea che queste quantità dipendono dalla frequenza.

Questo pacchetto d'onde può essere una somma di onde con frequenze leggermente diverse. Dove le fasi delle onde coincidono si osserva un aumento dell'ampiezza e dove le fasi sono opposte si osserva uno smorzamento dell'ampiezza (risultato dell'interferenza). Questa immagine è mostrata nella figura. Affinché una sovrapposizione di onde possa essere considerata un gruppo di onde, deve essere soddisfatta la seguente condizione: Dw<< w 0 .

In un mezzo non dispersivo tutte le onde piane che formano un pacchetto d’onda si propagano con la stessa velocità di fase v . La dispersione è la dipendenza della velocità di fase di un'onda sinusoidale in un mezzo dalla frequenza. Considereremo il fenomeno della dispersione più avanti nella sezione “Ottica ondulatoria”. In assenza di dispersione la velocità di movimento del pacchetto d'onda coincide con la velocità di fase v . In un mezzo dispersivo ogni onda si disperde alla propria velocità. Pertanto il pacchetto d'onde si allarga nel tempo e la sua ampiezza aumenta.

Se la dispersione è piccola il pacchetto d'onde non si espande troppo velocemente. Pertanto si può attribuire una certa velocità al movimento dell'intero pacco U .

La velocità con cui si muove il centro del pacchetto d'onda (il punto con la massima ampiezza) è detta velocità di gruppo.

In un ambiente dispersivo v¹U . Insieme al movimento del pacchetto d’onde stesso si muovono le “gobbe” interne al pacchetto stesso. Le "gobbe" si muovono velocemente nello spazio v e il pacchetto nel suo insieme con rapidità U .

Consideriamo più in dettaglio il movimento di un pacchetto d'onde utilizzando l'esempio di una sovrapposizione di due onde con la stessa ampiezza e frequenze diverse w (diverse lunghezze d'onda l ).

Scriviamo le equazioni di due onde. Per semplicità assumiamo le fasi iniziali j0 = 0.

Qui

Permettere Dw<< w , rispettivamente Non so<< k .

Sommiamo le vibrazioni ed effettuiamo le trasformazioni utilizzando la formula trigonometrica per la somma dei coseni:

Trascureremo il primo coseno Dwt E Dkx , che sono molto più piccoli di altre quantità. Teniamone conto cos(–a) = cosa . Lo scriveremo finalmente.

(4)

Il moltiplicatore tra parentesi quadre cambia con il tempo e si coordina molto più lentamente del secondo moltiplicatore. Di conseguenza, l'espressione (4) può essere considerata come un'equazione di un'onda piana con un'ampiezza descritta dal primo fattore. Graficamente, l'onda descritta dall'espressione (4) è presentata nella figura mostrata sopra.

L'ampiezza risultante si ottiene come risultato dell'aggiunta di onde, pertanto si osserveranno i massimi e i minimi dell'ampiezza.

L'ampiezza massima sarà determinata dalla seguente condizione.

(5)

M = 0, 1, 2…

xmax– coordinata dell'ampiezza massima.

Il coseno passa attraverso il suo valore modulo massimo P .

Ciascuno di questi massimi può essere considerato come il centro del corrispondente gruppo di onde.

Risolvere (5) relativamente xmax lo otterremo.

Poiché la velocità di fase è chiamata velocità di gruppo. A questa velocità si muove l'ampiezza massima del pacchetto d'onda. Al limite, l'espressione per la velocità di gruppo avrà la seguente forma.

(6)

Questa espressione è valida per il centro di un gruppo di un numero arbitrario di onde.

È da notare che tenendo conto accuratamente di tutti i termini dell'espansione (per un numero arbitrario di onde), l'espressione dell'ampiezza si ottiene in modo tale che ne consegue che il pacchetto d'onde si dilata nel tempo.
L'espressione per la velocità di gruppo può avere una forma diversa.

In assenza di varianza

L'intensità massima si verifica al centro del gruppo d'onda. Pertanto, la velocità di trasferimento dell'energia è uguale alla velocità del gruppo.

Il concetto di velocità di gruppo è applicabile solo a condizione che l'assorbimento delle onde nel mezzo sia basso. Con una significativa attenuazione delle onde, il concetto di velocità di gruppo perde il suo significato. Questo caso si osserva nella regione di dispersione anomala. Considereremo questo nella sezione "Ottica delle onde".

Onde meccaniche- il processo di propagazione delle vibrazioni meccaniche in un mezzo (liquido, solido, gassoso).Va ricordato che le onde meccaniche trasferiscono energia e forma, ma non trasferiscono massa. La caratteristica più importante di un'onda è la velocità della sua propagazione. Le onde di qualsiasi natura non si propagano istantaneamente nello spazio; la loro velocità è finita.

Secondo la geometria si distinguono: onde sferiche (spaziali), unidimensionali (piane), spirali.

L'onda si chiama piana, se le sue superfici d'onda sono piani paralleli tra loro, perpendicolari alla velocità di fase dell'onda (Fig. 1.3). Di conseguenza, i raggi di un'onda piana sono linee parallele.

Equazione delle onde piane::

Opzioni :

Periodo di oscillazione T è il periodo di tempo dopo il quale lo stato del sistema assume gli stessi valori: u(t + T) = u(t).

Frequenza di oscillazione n è il numero di oscillazioni al secondo, il reciproco del periodo: n = 1/T. Si misura in hertz (Hz) e ha l'unità s–1. Un pendolo che oscilla una volta al secondo oscilla alla frequenza di 1 Hz.

Fase di oscillazione j– un valore che mostra quanta oscillazione è passata dall'inizio del processo. Si misura in unità angolari: gradi o radianti.

Ampiezza di oscillazione A– il valore massimo che assume il sistema oscillatorio, il “campo” di oscillazione.

4.Effetto Doppler- un cambiamento nella frequenza e nella lunghezza delle onde percepite dall'osservatore (ricevitore d'onda) dovuto al movimento relativo della sorgente d'onda e dell'osservatore. Immaginiamo che l'osservatore si avvicina ad una sorgente stazionaria di onde ad una certa velocità. Allo stesso tempo, incontra più onde nello stesso intervallo di tempo che in assenza di movimento. Ciò significa che la frequenza percepita è maggiore della frequenza dell'onda emessa dalla sorgente. Quindi la lunghezza d'onda, la frequenza e la velocità di propagazione dell'onda sono legate tra loro dalla relazione V = /, - lunghezza d'onda.

Diffrazione- il fenomeno del piegamento attorno ad ostacoli di dimensioni paragonabili alla lunghezza d'onda.

Interferenza- fenomeno in cui, a seguito della sovrapposizione di onde coerenti, si verifica un aumento o una diminuzione delle oscillazioni.

L'esperienza di Jung Il primo esperimento di interferenza a essere spiegato sulla base della teoria ondulatoria della luce fu l'esperimento di Young (1802). Nell'esperimento di Young, la luce proveniente da una sorgente, che fungeva da stretta fenditura S, cadeva su uno schermo con due fenditure ravvicinate S1 e S2. Passando attraverso ciascuna delle fenditure, il fascio luminoso si allargava per diffrazione, quindi, sullo schermo bianco E, i fasci luminosi che passavano attraverso le fessure S1 e S2 si sovrapponevano. Nella zona di sovrapposizione dei raggi luminosi è stata osservata una figura di interferenza sotto forma di strisce chiare e scure alternate.

2.Suono - l'onda longitudinale meccanica, che si propaga nei mezzi elastici, ha una frequenza da 16 Hz a 20 kHz. Esistono diversi tipi di suoni:

1. tono semplice - una vibrazione puramente armonica emessa da un diapason (uno strumento metallico che produce un suono quando viene colpito):

2. tono complesso - oscillazione non sinusoidale, ma periodica (emessa da vari strumenti musicali).

Secondo il teorema di Fourier, un'oscillazione così complessa può essere rappresentata da un insieme di componenti armoniche con frequenze diverse. La frequenza più bassa è chiamata tono fondamentale, mentre più frequenze sono chiamate sovratoni. Un insieme di frequenze che indicano la loro intensità relativa (densità del flusso di energia delle onde) è chiamato spettro acustico. Lo spettro di un tono complesso è lineare.

3. rumore - suono ottenuto dalla somma di molte fonti incoerenti. Spettro - continuo (solido):

4. boom sonico - impatto sonoro a breve termine Esempio: applauso, esplosione.

Impedenza d'onda- il rapporto tra la pressione sonora in un'onda piana e la velocità di vibrazione delle particelle del mezzo. Caratterizza il grado di rigidità del mezzo (cioè la capacità del mezzo di resistere alla formazione di deformazioni) in un'onda viaggiante. Espresso dalla formula:

P/V=p/c, P-pressione sonora, p-densità, c-velocità del suono, V-volume.

3 - caratteristiche indipendenti dalle proprietà del ricevitore:

L'intensità (intensità del suono) è l'energia trasportata da un'onda sonora per unità di tempo attraverso un'unità di superficie installata perpendicolarmente all'onda sonora.

Frequenza fondamentale.

Spettro sonoro: il numero di armonici.

A frequenze inferiori a 17 e superiori a 20.000 Hz le fluttuazioni di pressione non vengono più percepite dall'orecchio umano. Le onde meccaniche longitudinali con una frequenza inferiore a 17 Hz sono chiamate infrasuoni. Le onde meccaniche longitudinali con una frequenza superiore a 20.000 Hz sono chiamate ultrasuoni.

5. EZ- meccanico onda con una frequenza superiore a 20 kHz. Gli ultrasuoni sono un'alternanza di condensazione e rarefazione del mezzo. In ogni ambiente la velocità di propagazione degli ultrasuoni è la stessa . Peculiarità- ristrettezza del raggio, che consente di influenzare gli oggetti localmente. Nei mezzi disomogenei con piccole inclusioni di particelle, si verifica il fenomeno della diffrazione (flessione attorno agli ostacoli). La penetrazione degli ultrasuoni in un altro mezzo è caratterizzata dal coefficiente di penetrazione() =L /L dove la lunghezza degli ultrasuoni dopo e prima della penetrazione nel mezzo.

L'effetto degli ultrasuoni sui tessuti corporei è meccanico, termico e chimico. Applicazione in medicinaè diviso in 2 aree: il metodo di ricerca e diagnosi e il metodo di azione. 1) ecoencefalografia- rilevamento di tumori ed edema cerebrale ; cardiografia- misurazione del cuore in dinamica. 2) Fisioterapia ad ultrasuoni- effetti meccanici e termici sui tessuti; durante operazioni tipo “bisturi ad ultrasuoni”

6. Liquido ideale - un immaginario fluido incomprimibile privo di viscosità e conduttività termica. Un fluido ideale non ha attrito interno, è continuo e non ha struttura.

Equazione di continuità -V 1 UN 1 = V 2 UN 2 La portata volumetrica in qualsiasi tubo di flusso limitato da linee di flusso adiacenti deve essere la stessa in ogni momento in tutte le sue sezioni trasversali

Equazione di Bernoulli - R v2/ 2 + Rst + Rgh= cost, nel caso di flusso stazionario, la pressione totale è la stessa in tutte le sezioni trasversali del tubo di corrente. R v2/ 2 + Rst= cost – per orizzontale trame.

7Flusso stazionario- un flusso la cui velocità in qualsiasi punto del fluido non cambia mai.

Flusso laminare- un flusso ordinato di liquido o gas, in cui il liquido (gas) si muove in strati paralleli alla direzione del flusso.

Flusso turbolento- una forma di flusso di liquido o gas in cui i loro elementi eseguono movimenti disordinati e instabili lungo traiettorie complesse, che portano ad un'intensa miscelazione tra strati di liquido o gas in movimento.

Linee– linee le cui tangenti coincidono in tutti i punti con la direzione della velocità in questi punti. In un flusso costante, le linee di flusso non cambiano nel tempo.

Viscosità - attrito interno, proprietà dei corpi fluidi (liquidi e gas) di resistere al movimento di una parte rispetto a un'altra

L'equazione di Newton: F = (dv/dx)Sη.

Coefficiente di viscosità- Coefficiente di proporzionalità in funzione del tipo di liquido o gas. Un numero utilizzato per caratterizzare quantitativamente la proprietà della viscosità. Coefficiente di attrito interno.

Fluido non newtoniano chiamato fluido in cui la sua viscosità dipende dal gradiente di velocità, il cui flusso obbedisce all'equazione di Newton. (Polimeri, amido, sangue di sapone liquido)

Newtoniano - Se in un fluido in movimento la sua viscosità dipende solo dalla sua natura e dalla sua temperatura e non dipende dal gradiente di velocità. (Acqua e gasolio)

.Numero di Reynolds- che caratterizza la relazione tra forze inerziali e forze viscose: Re = rdv/m, dove r è la densità, m è il coefficiente dinamico di viscosità di un liquido o gas, v è la velocità del flusso.< Rekр возможно лишь ламинарное течение жидкости, а при Re >Il flusso Rekр può diventare turbolento.

Coefficiente di viscosità cinematica- il rapporto tra la viscosità dinamica di un liquido o gas e la sua densità.

9. Metodo Stokes,In base al metodo UN Stokes contiene la formula per la forza di resistenza che si genera quando una palla si muove in un fluido viscoso, ottenuta da Stokes: Fc = 6πη Vr. Per misurare indirettamente il coefficiente di viscosità η, si dovrebbe considerare il moto uniforme di una palla in un fluido viscoso e applicare la condizione di moto uniforme: la somma vettoriale di tutte le forze che agiscono sulla palla è zero.

Mg + F A + F con =0 (è tutto in formato vettoriale!!!)

Ora dovremmo esprimere la forza di gravità (mg) e la forza di Archimede (Fa) in termini di quantità note. Uguagliando i valori mg = Fa+Fc otteniamo l'espressione per la viscosità:

η = (2/9)*g*(ρ t - ρ l)* r 2 / v = (2/9) * g *(ρ t - ρ l)* r 2 * t / L. Il raggio è direttamente misurato con una sfera micrometrica r (per diametro), L è il percorso della sfera nel liquido, t è il tempo di percorrenza del percorso L. Per misurare la viscosità utilizzando il metodo Stokes, il percorso L non viene preso dalla superficie del liquido , ma tra i punti 1 e 2. Ciò è causato dalla seguente circostanza. Quando si è ricavata la formula di lavoro per il coefficiente di viscosità utilizzando il metodo Stokes, è stata utilizzata la condizione di movimento uniforme. All'inizio del movimento (la velocità iniziale della palla è zero), anche la forza di resistenza è zero e la palla ha una certa accelerazione. Aumentando la velocità, la forza di resistenza aumenta e la risultante delle tre forze diminuisce! Solo dopo un certo segno il movimento può essere considerato uniforme (e solo approssimativamente).

11.La formula di Poiseuille: Durante il movimento laminare stazionario di un fluido viscoso incomprimibile attraverso un tubo cilindrico di sezione circolare, la seconda portata volumetrica è direttamente proporzionale alla caduta di pressione per unità di lunghezza del tubo e alla quarta potenza del raggio ed inversamente proporzionale alla coefficiente di viscosità del liquido.

Questa funzione deve essere periodica sia rispetto al tempo che rispetto alle coordinate (un'onda è un'oscillazione che si propaga, quindi un movimento che si ripete periodicamente). Inoltre, i punti situati a distanza l l'uno dall'altro vibrano allo stesso modo.

Equazione delle onde piane

Troviamo la forma della funzione x nel caso di un'onda piana, assumendo che le oscillazioni siano di natura armonica.

Dirigiamo gli assi delle coordinate in modo che l'asse X coincideva con la direzione di propagazione delle onde. Quindi la superficie dell'onda sarà perpendicolare all'asse X. Poiché tutti i punti della superficie dell'onda oscillano allo stesso modo, lo spostamento x dipenderà solo da X E T: . Sia l'oscillazione dei punti giacenti nel piano la forma (nella fase iniziale)

(5.2.2)

Troviamo il tipo di vibrazione delle particelle su un piano corrispondente a un valore arbitrario X. Andare per la strada X, richiede tempo.

Quindi, vibrazioni delle particelle su un pianoXsarà indietro nel tempoTdalle vibrazioni delle particelle nel piano, cioè.

(5.2.3)

- Questo Equazione delle onde piane.

Quindi x C'è pregiudizio uno qualsiasi dei punti con coordinateXin un determinato momentoT. Nella derivazione abbiamo assunto che l'ampiezza dell'oscillazione sia . Ciò accadrà se l'energia delle onde non viene assorbita dal mezzo.

L'equazione (5.2.3) avrà la stessa forma se le vibrazioni si propagano lungo l'asse sì O z.

Generalmente Equazione delle onde pianeè scritto così:

Le espressioni (5.2.3) e (5.2.4) sono equazioni delle onde viaggianti .

L'equazione (5.2.3) descrive un'onda che si propaga nella direzione crescente X. Un’onda che si propaga nella direzione opposta ha la forma:

L'equazione delle onde può essere scritta in un'altra forma.

Presentiamoci numero d'onda , o in forma vettoriale:

(5.2.5)

dove è il vettore d'onda e è la normale alla superficie dell'onda.

Da allora . Da qui. Poi Equazione delle onde piane verrà scritto così:

(5.2.6)

Equazione delle onde sferiche

Per la maggior parte dei problemi che coinvolgono le onde, è importante conoscere prima o poi lo stato delle oscillazioni dei vari punti del mezzo. Gli stati dei punti nel mezzo saranno determinati se si conoscono le ampiezze e le fasi delle loro oscillazioni. Per le onde trasversali è necessario conoscere anche la natura della polarizzazione. Per un’onda piana polarizzata linearmente è sufficiente avere un’espressione che permetta di determinare lo spostamento c(x, T) dalla posizione di equilibrio di qualsiasi punto del mezzo con coordinata X, in ogni momento T. Questa espressione si chiama equazione delle onde.

Riso. 2.21.

Consideriamo il cosiddetto onda che corre, quelli. un'onda con un fronte d'onda piano che si propaga in una direzione specifica (ad esempio, lungo l'asse x). Lasciamo che le particelle del mezzo immediatamente adiacenti alla sorgente delle onde piane oscillino secondo la legge armonica; %(0, /) = = LsobsoG (Fig. 2.21). Nella Figura 2.21, UN fino a ^(0, T) indica lo spostamento delle particelle del mezzo che giacciono su un piano perpendicolare al disegno e avente una coordinata nel sistema di coordinate selezionato X= 0 al momento T. L'origine del tempo viene scelta in modo che la fase iniziale delle oscillazioni, definita attraverso la funzione coseno, sia uguale a zero. Asse X compatibile con la trave, cioè con la direzione di propagazione delle vibrazioni. In questo caso il fronte d'onda è perpendicolare all'asse X, in modo che le particelle che giacciono su questo piano oscilleranno in una fase. Il fronte d'onda stesso in un dato mezzo si muove lungo l'asse X con velocità E propagazione delle onde in un dato mezzo.

Troviamo un'espressione? (x, T) spostamento di particelle del mezzo distanti dalla sorgente ad una distanza x. Questa è la distanza percorsa dal fronte d'onda

nel tempo Di conseguenza, le oscillazioni delle particelle che giacciono su un piano distante dalla sorgente a distanza X, ritarderà nel tempo di una quantità m rispetto alle oscillazioni delle particelle direttamente adiacenti alla sorgente. Queste particelle (con coordinata x) eseguiranno anche vibrazioni armoniche. In assenza di smorzamento, l'ampiezza UN le oscillazioni (nel caso di un'onda piana) non dipenderanno dalla coordinata x, cioè

Questa è l'equazione richiesta la malinconia di un'onda che scorre(da non confondere con l'equazione d'onda discussa di seguito!). L'equazione, come già notato, ci permette di determinare lo spostamento % particelle del mezzo con coordinata x al momento T. La fase di oscillazione dipende

su due variabili: sulla coordinata x della particella e sul tempo T. In un dato momento fisso nel tempo, le fasi delle oscillazioni di particelle diverse saranno, in generale, diverse, ma è possibile identificare particelle le cui oscillazioni avverranno nella stessa fase (in fase). Possiamo anche supporre che la differenza di fase tra le oscillazioni di queste particelle sia uguale a 2pt(Dove t = 1, 2, 3,...). Viene chiamata la distanza più breve tra due particelle di un'onda viaggiante che oscilla nella stessa fase lunghezza d'onda X.

Troviamo la relazione tra le lunghezze d'onda X con altre grandezze che caratterizzano la propagazione delle oscillazioni nel mezzo. In conformità con la definizione introdotta di lunghezza d'onda, possiamo scrivere

o dopo le abbreviazioni Since , allora

Questa espressione ci permette di dare una diversa definizione di lunghezza d'onda: La lunghezza d'onda è la distanza lungo la quale le vibrazioni delle particelle del mezzo hanno tempo di propagarsi in un tempo pari al periodo delle vibrazioni.

L'equazione delle onde rivela una doppia periodicità: in coordinate e tempo: ^(x, t) = Z,(x + nk, t) = l,(x, t + mT) = Tx + pX, ml), Dove pete- eventuali numeri interi. Puoi, ad esempio, fissare le coordinate delle particelle (put x = const) e considerare il loro spostamento in funzione del tempo. O, al contrario, fissare un momento nel tempo (accettare t = const) e considerare lo spostamento delle particelle in funzione delle coordinate (lo stato istantaneo degli spostamenti è una fotografia istantanea di un'onda). Quindi, mentre sei sul molo puoi usare una macchina fotografica in un momento qualsiasi T fotografare la superficie del mare, ma puoi farlo lanciando un chip in mare (cioè fissando le coordinate X), monitorarne le fluttuazioni nel tempo. Entrambi questi casi sono mostrati sotto forma di grafici in Fig. 2.21, AC.

L'equazione d'onda (2.125) può essere riscritta diversamente

La relazione è denotata A e viene chiamato numero d'onda

Perché , Quello

Il numero d'onda mostra quindi quante lunghezze d'onda rientrano in un segmento di 2l unità di lunghezza. Introducendo il numero d'onda nell'equazione dell'onda, otteniamo l'equazione dell'onda che viaggia nella direzione positiva OH onde nella forma più comunemente usata

Troviamo un'espressione relativa alla differenza di fase Der delle vibrazioni di due particelle appartenenti a superfici d'onda diverse X ex2. Utilizzando l'equazione delle onde (2.131), scriviamo:

Se denotiamo o secondo la (2.130)

Un'onda piana che si propaga in una direzione arbitraria è descritta nel caso generale dall'equazione

Dove G-vettore del raggio tracciato dall'origine alla particella giacente sulla superficie dell'onda; A - un vettore d'onda uguale in grandezza al numero d'onda (2.130) e coincidente in direzione con la normale alla superficie dell'onda nella direzione di propagazione dell'onda.

È anche possibile una forma complessa di scrittura dell'equazione delle onde. Quindi, ad esempio, nel caso di un'onda piana che si propaga lungo l'asse X

e nel caso generale di un'onda piana di direzione arbitraria

L'equazione d'onda in una qualsiasi delle forme elencate può essere ottenuta come soluzione di un'equazione differenziale chiamata equazione delle onde. Se conosciamo la soluzione di questa equazione nella forma (2.128) o (2.135) - l'equazione dell'onda viaggiante, trovare l'equazione dell'onda stessa non è difficile. Differenziamo 4(x, t) = % da (2.135) due volte nelle coordinate e due volte nel tempo e otteniamo

esprimendo?, attraverso le derivate ottenute e confrontando i risultati, si ottiene

Tenendo presente la relazione (2.129), scriviamo

Questa è l'equazione delle onde per il caso unidimensionale.

In termini generali per?, = c(x, y, z,/) l'equazione delle onde in coordinate cartesiane si presenta così

o in una forma più compatta:

dove D è l'operatore differenziale di Laplace

Velocità di faseè la velocità di propagazione dei punti d'onda che oscillano nella stessa fase. In altre parole, questa è la velocità di movimento della “cresta”, della “vassa” o di qualsiasi altro punto dell'onda, la cui fase è fissa. Come notato in precedenza, il fronte d'onda (e quindi qualsiasi superficie d'onda) si muove lungo l'asse OH con velocità E. Di conseguenza la velocità di propagazione delle oscillazioni nel mezzo coincide con la velocità di movimento di una data fase di oscillazioni. Quindi la velocità E, determinato dalla relazione (2.129), cioè

solitamente chiamato velocità di fase.

Lo stesso risultato si può ottenere trovando la velocità dei punti nel mezzo che soddisfano la condizione di fase costante co/ - fee = const. Da qui troviamo la dipendenza della coordinata dal tempo (co/ - const) e la velocità di movimento di questa fase

che coincide con la (2.142).

Onda piana che si propaga nella direzione dell'asse negativo OH, descritto dall'equazione

Infatti, in questo caso la velocità di fase è negativa

La velocità di fase in un dato mezzo può dipendere dalla frequenza di oscillazione della sorgente. Viene chiamata la dipendenza della velocità di fase dalla frequenza dispersione, e vengono chiamati gli ambienti in cui si verifica questa dipendenza mezzi disperdenti. Non si creda però che l'espressione (2.142) sia la dipendenza indicata. Il punto è che in assenza di dispersione il numero d'onda A in rapporto diretto

con e quindi . La dispersione avviene solo quando ω dipende da A non lineare).

Si chiama onda piana viaggiante monocromatico (avente una frequenza), se le vibrazioni nella sorgente sono armoniche. Le onde monocromatiche corrispondono ad un'equazione della forma (2.131).

Per un'onda monocromatica, la frequenza angolare co e l'ampiezza UN non dipendono dal tempo. Ciò significa che un'onda monocromatica è illimitata nello spazio e infinita nel tempo, cioè è un modello idealizzato. Qualsiasi onda reale, non importa con quanta cura venga mantenuta la costanza della frequenza e dell'ampiezza, non è monocromatica. Una vera onda non dura indefinitamente, ma inizia e finisce in determinati momenti in un determinato luogo e, quindi, l'ampiezza di tale onda è funzione del tempo e delle coordinate di questo luogo. Tuttavia, quanto più lungo è l'intervallo di tempo durante il quale l'ampiezza e la frequenza delle oscillazioni vengono mantenute costanti, tanto più quest'onda si avvicina al monocromatico. Spesso in pratica, un'onda monocromatica è chiamata un segmento dell'onda sufficientemente grande, all'interno del quale la frequenza e l'ampiezza non cambiano, proprio come nella figura è raffigurato un segmento di un'onda sinusoidale, ed è chiamato onda sinusoidale.

Per descrivere il processo ondoso è necessario trovare le ampiezze e le fasi del moto oscillatorio nei vari punti del mezzo e la variazione di queste quantità nel tempo. Questo problema può essere risolto se si conosce secondo quale legge oscilla il corpo che ha causato il processo ondoso e come interagisce con l'ambiente. Tuttavia in molti casi non è importante quale corpo ecciti una determinata onda, ma si risolve un problema più semplice. Impostato stato di movimento oscillatorio in determinati punti del mezzo in un determinato momento e deve essere determinato stato di movimento oscillatorio in altri punti del mezzo.

Ad esempio, consideriamo la soluzione di un tale problema in un caso semplice, ma allo stesso tempo importante, di propagazione di un'onda armonica piana o sferica in un mezzo. Indichiamo la quantità oscillante con tu. Questo valore può essere: lo spostamento delle particelle del mezzo rispetto alla loro posizione di equilibrio, la deviazione della pressione in un dato punto del mezzo dal valore di equilibrio, ecc. Quindi il compito sarà trovare il cosiddetto equazioni d'onda – un'espressione che specifica una quantità fluttuante tu in funzione delle coordinate dei punti del mezzo X, sì, z E tempo T:

tu = tu(X, sì, z, T). (2.1)

Per semplicità, sia u lo spostamento di punti in un mezzo elastico quando in esso si propaga un'onda piana, e le oscillazioni dei punti sono di natura armonica. Inoltre, dirigiamo gli assi delle coordinate in modo che l'asse 0x coincideva con la direzione di propagazione delle onde. Allora le superfici d'onda (famiglia di piani) saranno perpendicolari all'asse 0x(Fig. 7), e poiché tutti i punti della superficie dell'onda vibrano allo stesso modo, lo spostamento tu dipenderà solo da X E T: tu = tu(X, T). Per vibrazioni armoniche di punti che giacciono su un piano X= 0 (Fig. 9), vale l'equazione:

tu(0, T) = UN cos( ωt + α ) (2.2)

Troviamo il tipo di oscillazioni dei punti sul piano corrispondenti ad un valore arbitrario X. Per percorrere il percorso dall'aereo X= 0 su questo piano, l'onda impiega tempo τ = x/s (Con– velocità di propagazione delle onde). Di conseguenza, le vibrazioni delle particelle che giacciono nel piano X, sarà simile a:

Quindi, l'equazione di un'onda piana (sia longitudinale che trasversale) che si propaga nella direzione dell'asse 0x è la seguente:

(2.3)

Grandezza UN rappresenta l'ampiezza dell'onda. Fase d'onda iniziale α determinata dalla scelta dei punti di riferimento X E T.

Fissiamo un qualsiasi valore della fase tra parentesi quadre dell'equazione (2.3), mettendo

(2.4)

Differenziamo questa uguaglianza rispetto al tempo, tenendo conto del fatto che la frequenza ciclica ω e fase iniziale α sono costanti:

Quindi, la velocità di propagazione delle onde Con nell'equazione (2.3) c'è la velocità di movimento della fase, e quindi si chiama velocità di fase . In conformità con (2.5) dx/dt> 0. Di conseguenza, l'equazione (2.3) descrive un'onda che si propaga nella direzione crescente X, il cosidetto esecuzione di un'onda progressiva . Un'onda che si propaga nella direzione opposta è descritta dall'equazione

e viene chiamato esecuzione di un'onda regressiva . Infatti, equiparando la fase dell'onda (2.6) ad una costante e differenziando l'uguaglianza risultante, si arriva alla relazione:

da cui segue che l'onda (2.6) si propaga nella direzione decrescente X.

Inseriamo il valore

che è chiamato numero d'onda ed è pari al numero di lunghezze d'onda che si adattano ad un intervallo di 2π metri. Utilizzando formule λ = s/ν E ω = 2π ν il numero d'onda può essere rappresentato come

(2.8)

Aprendo le parentesi nelle formule (2.3) e (2.6) e tenendo conto della (2.8), arriviamo alla seguente equazione per le onde piane che si propagano lungo (il segno “-”) e contro (il segno “+”) l'asse 0 X:

Nel derivare le formule (2.3) e (2.6), si è assunto che l'ampiezza delle oscillazioni non dipenda da X. Per un'onda piana, ciò si osserva nel caso in cui l'energia dell'onda non viene assorbita dal mezzo. L'esperienza mostra che in un mezzo assorbente l'intensità dell'onda diminuisce gradualmente man mano che ci si allontana dalla fonte delle oscillazioni: l'attenuazione dell'onda si osserva secondo una legge esponenziale:

Di conseguenza, l’equazione di un’onda piana smorzata ha la forma:

Dove UN 0 – ampiezza nei punti del piano X= 0, a γ – coefficiente di attenuazione.

Ora troviamo l'equazione onda sferica . Ogni vera sorgente di onde ha una certa estensione. Se però ci limitiamo a considerare l’onda a distanze dalla sorgente molto maggiori della sua dimensione, allora la sorgente può essere considerata punto . In un mezzo isotropo e omogeneo, l'onda generata da una sorgente puntiforme sarà sferica. Supponiamo che la fase della sorgente oscilli ωt+α. Quindi i punti che giacciono sulla superficie dell'onda di raggio R, oscillerà con la fase

L'ampiezza delle oscillazioni in questo caso, anche se l'energia delle onde non viene assorbita dal mezzo, non rimarrà costante: diminuisce a seconda della distanza dalla sorgente secondo la legge 1/ R. Pertanto, l’equazione delle onde sferiche ha la forma:

(2.11)

Dove UN– un valore costante numericamente pari all'ampiezza delle oscillazioni ad una distanza dalla sorgente pari ad uno.

Per un mezzo assorbente nella (2.11) è necessario aggiungere il fattore e - γr. Ricordiamo che, per le ipotesi fatte, l'equazione (2.11) vale solo per R, superando notevolmente le dimensioni della fonte di vibrazione. Quando ti sforzi R verso lo zero l'ampiezza va all'infinito. Questo risultato assurdo si spiega con l'inapplicabilità dell'equazione (2.11) per piccoli R.