Il valore completo di pi greco. Cosa nasconde Pi?
Assolutamente tutti sanno cos'è "pi". Ma il numero, familiare a tutti a scuola, si presenta in molte situazioni che non hanno nulla a che fare con i cerchi. Lo si ritrova nella teoria della probabilità, nella formula di Stirling per il calcolo del fattoriale, nella risoluzione di problemi con i numeri complessi e in altri ambiti della matematica inaspettati e lontani dalla geometria. Il matematico inglese Augustus de Morgan una volta chiamò pi greco "... il misterioso numero 3.14159... che striscia attraverso la porta, attraverso la finestra e attraverso il tetto".
Questo numero misterioso, associato a uno dei tre problemi classici dell'antichità - costruire un quadrato la cui area sia uguale all'area di un dato cerchio - comporta una serie di fatti storici drammatici e curiosi.
- Alcuni fatti interessanti su Pi
- 1. Sapevi che la prima persona a usare il simbolo "pi" per il numero 3.14 fu William Jones del Galles, e questo accadde nel 1706?
- 2. Sapevate che il record mondiale di memorizzazione del numero Pi è stato stabilito il 17 giugno 2009 dal neurochirurgo ucraino, dottore in scienze mediche, il professor Andrey Slyusarchuk, che ha conservato in memoria 30 milioni dei suoi caratteri (20 volumi di testo).
- 3. Sapevate che nel 1996 Mike Keith scrisse un racconto intitolato “Cadeic Cadenze”, nel suo testo la lunghezza delle parole corrispondeva alle prime 3834 cifre del Pi greco.
Si ritiene che la festa sia stata inventata nel 1987 dal fisico di San Francisco Larry Shaw, il quale notò che il 14 marzo (nella scrittura americana - 3.14) esattamente all'01:59, la data e l'ora coinciderebbero con le prime cifre del numero Pi = 3,14159.
Anche il creatore della teoria della relatività, Albert Einstein, è nato il 14 marzo 1879, il che rende questa giornata ancora più attraente per tutti gli amanti della matematica.
Inoltre, i matematici celebrano anche il giorno del valore approssimativo del Pi greco, che cade il 22 luglio (22/7 nel formato data europeo).
"Durante questo periodo, leggono elogi in onore del numero Pi e del suo ruolo nella vita dell'umanità, disegnano immagini distopiche di un mondo senza Pi, mangiano torte con l'immagine della lettera greca Pi o con le prime cifre del numero stesso, risolvere enigmi e indovinelli matematici e anche ballare in tondo." , scrive Wikipedia.
In termini numerici, Pi inizia come 3.141592 e ha una durata matematica infinita.
Lo scienziato francese Fabrice Bellard ha calcolato il numero Pi con una precisione record. Lo riporta il suo sito ufficiale. L'ultimo record è di circa 2,7 trilioni (2 trilioni 699 miliardi 999 milioni 990mila) cifre decimali. Il risultato precedente appartiene ai giapponesi, che hanno calcolato la costante con una precisione di 2,6 trilioni di cifre decimali.
I calcoli di Bellar gli hanno richiesto circa 103 giorni. Tutti i calcoli sono stati effettuati su un computer di casa, il cui costo è di circa 2000 euro. Per fare un confronto, il record precedente era stato stabilito sul supercomputer T2K Tsukuba System, che impiegava circa 73 ore per funzionare.
Inizialmente, il numero Pi appariva come il rapporto tra la lunghezza di un cerchio e il suo diametro, quindi il suo valore approssimativo è stato calcolato come il rapporto tra il perimetro di un poligono inscritto in un cerchio e il diametro di questo cerchio. Successivamente apparvero metodi più avanzati. Attualmente, Pi viene calcolato utilizzando serie rapidamente convergenti, come quelle proposte da Srinivas Ramanujan all'inizio del XX secolo.
Pi è stato prima calcolato in binario e poi convertito in decimale. Ciò è stato fatto in 13 giorni. In totale, la memorizzazione di tutti i numeri richiede 1,1 terabyte di spazio su disco.
Tali calcoli non hanno solo un significato pratico. Quindi, ora ci sono molti problemi irrisolti associati al Pi. La questione della normalità di questo numero non è stata risolta. Ad esempio, è noto che Pi ed e (la base dell'esponente) sono numeri trascendenti, cioè non sono le radici di nessun polinomio a coefficienti interi. Allo stesso tempo, però, non è ancora noto se la somma di queste due costanti fondamentali sia un numero trascendente oppure no.
Inoltre non è ancora noto se tutte le cifre da 0 a 9 compaiano nella notazione decimale di Pi un numero infinito di volte.
In questo caso, il calcolo ultrapreciso di un numero è un esperimento conveniente, i cui risultati ci consentono di formulare ipotesi su alcune caratteristiche del numero.
Un numero viene calcolato secondo determinate regole e durante qualsiasi calcolo, in qualsiasi luogo e in qualsiasi momento, la stessa cifra appare in un determinato punto della registrazione del numero. Ciò significa che esiste una certa legge secondo la quale un certo numero è collocato in un determinato posto nel numero. Naturalmente, questa legge non è semplice, ma esiste ancora una legge. Ciò significa che i numeri nel numero non sono casuali, ma logici.
Contare il numero Pi: PI = 4 - 4/3 + 4/5 - 4/7 + 4/9 - ... - 4/n + 4/(n+2)
Ricerca Pi o divisione lunga:
Coppie di numeri interi che, divisi, danno una buona approssimazione al numero Pi. La divisione è stata eseguita in modalità "colonna" per aggirare i limiti di lunghezza dei numeri a virgola mobile di Visual Basic 6.
Pi = 3.14159265358979323846264>33832795028841 971...
I metodi esotici per calcolare il pi greco, come l'uso della teoria della probabilità o dei numeri primi, includono anche il metodo inventato da G.A. Galperin, e chiamato Pi-billiard, che si basa sul modello originale. Quando due palline si scontrano, la più piccola delle quali si trova tra quella più grande e il muro, e la più grande si muove verso il muro, il numero di collisioni delle palline rende possibile calcolare Pi con una precisione predeterminata arbitrariamente grande. Devi solo avviare il processo (puoi farlo su un computer) e contare il numero di colpi di palla. L'implementazione software di questo modello non è ancora nota
In ogni libro sulla matematica divertente troverai sicuramente la storia del calcolo e del chiarimento del valore del numero "pi". Inizialmente, nell'antica Cina, Egitto, Babilonia e Grecia, per i calcoli venivano utilizzate le frazioni, ad esempio 22/7 o 49/16. Nel Medioevo e nel Rinascimento, i matematici europei, indiani e arabi perfezionarono il valore del “pi greco” a 40 cifre dopo il punto decimale, e all’inizio dell’era dei computer, grazie agli sforzi di molti appassionati, il numero di pi greco fu aumentato a 500. Tale precisione è di interesse puramente scientifico (ne parleremo più avanti), per la pratica, all'interno della Terra, sono sufficienti 11 caratteri dopo il punto.
Quindi, sapendo che il raggio della Terra è 6400 km o 6,4 * 1012 millimetri, si scopre che se scartiamo la dodicesima cifra di "pi" dopo il punto nel calcolo della lunghezza del meridiano, sbaglieremo di diversi millimetri . E quando si calcola la lunghezza dell'orbita terrestre durante la rotazione attorno al Sole (come è noto, R = 150 * 106 km = 1,5 * 1014 mm), per la stessa precisione è sufficiente utilizzare “pi” con quattordici cifre dopo il punto . La distanza media dal Sole a Plutone, il pianeta più distante del sistema solare, è 40 volte maggiore della distanza media dalla Terra al Sole.
Per calcolare la lunghezza dell'orbita di Plutone con un errore di pochi millimetri, sono sufficienti sedici cifre del pi greco. Perché preoccuparsi delle sciocchezze: il diametro della nostra Galassia è di circa 100.000 anni luce (1 anno luce equivale a circa 1013 km) o 1018 km o 1030 mm, e nel 27° secolo furono ottenuti 34 segni pi greco, che sono eccessivi per tali distanze .
Perché è difficile calcolare il valore di pi greco? Il punto è che non solo è irrazionale (cioè non può essere espresso come una frazione P/Q, dove P e Q sono numeri interi), ma non può nemmeno essere la radice di un'equazione algebrica. Un numero, ad esempio, irrazionale, non può essere rappresentato da un rapporto di numeri interi, ma è la radice dell'equazione X2-2=0, e per i numeri “pi” ed e (costante di Eulero), tale Non è possibile specificare l'equazione (non differenziale). Tali numeri (trascendentali) vengono calcolati considerando un processo e vengono affinati aumentando le fasi del processo in esame. Il modo più “semplice” è inscrivere un poligono regolare in una circonferenza e calcolare il rapporto tra il perimetro del poligono e il suo “raggio”...pagine marsu
Il numero spiega il mondo
Sembra che due matematici americani siano riusciti ad avvicinarsi alla soluzione del mistero del numero pi greco, che in termini puramente matematici rappresenta il rapporto tra la circonferenza di un cerchio e il suo diametro, riferisce Der Spiegel.
Essendo una quantità irrazionale, non può essere rappresentata come una frazione completa, quindi dopo la virgola c'è una serie infinita di cifre. Questa proprietà ha sempre attratto i matematici che cercavano di trovare, da un lato, un valore più accurato di pi greco e, dall'altro, la sua formula generalizzata.
Tuttavia, i matematici David Bailey del Lawrence Berkeley National Laboratory in California e Richard Grendell del Reed College di Portland hanno esaminato il numero da una prospettiva diversa: hanno cercato di trovare un significato nella serie apparentemente caotica di numeri decimali. Di conseguenza, è stato stabilito che le combinazioni dei seguenti numeri si ripetono regolarmente: 59345 e 78952.
Ma finora non possono rispondere alla domanda se la ripetizione sia casuale o naturale. La questione dello schema di ripetizione di alcune combinazioni di numeri, e non solo del numero pi greco, è una delle più difficili in matematica. Ma ora possiamo dire qualcosa di più preciso su questo numero. La scoperta apre la strada allo svelamento del numero pi greco e, in generale, alla determinazione della sua essenza, se sia normale o meno per il nostro mondo.
Entrambi i matematici si interessano al pi greco dal 1996 e da allora hanno dovuto abbandonare la cosiddetta “teoria dei numeri” e rivolgere la loro attenzione alla “teoria del caos”, che ora è la loro arma principale. I ricercatori costruiscono, in base alla visualizzazione del pi greco - la sua forma più comune è 3,14159... - serie di numeri compresi tra zero e uno - 0,314, 0,141, 0,415, 0,159 e così via. Pertanto, se il numero pi greco è veramente caotico, allora anche la serie di numeri che iniziano da zero dovrebbe essere caotica. Ma non c’è ancora una risposta a questa domanda. Il segreto del pi greco, come del suo fratello maggiore, il numero 42, con l'aiuto del quale molti ricercatori stanno cercando di spiegare il mistero dell'universo, deve ancora essere svelato."
Dati interessanti sulla distribuzione delle cifre Pi.
(La programmazione è la più grande conquista dell’umanità. Grazie ad essa impariamo regolarmente cose che non abbiamo affatto bisogno di sapere, ma che sono molto interessanti)
Contato (per un milione di cifre decimali):
zeri = 99959,
unità = 99758,
due = 100026,
triple = 100229,
quattro = 100230,
cinque = 100359,
sei = 99548,
sette = 99800,
otto = 99985,
nove = 100106.
Nei primi 200.000.000.000 di cifre decimali del Pi greco, le cifre si presentavano con la seguente frequenza:
"0" : 20000030841;
"1" : 19999914711;
"2" : 20000136978;
"3" : 20000069393
"4" : 19999921691;
"5" : 19999917053;
"6" : 19999881515;
"7" : 19999967594
"8" : 20000291044;
"9" : 19999869180;
Cioè, i numeri sono distribuiti quasi equamente. Perché? Perché secondo i concetti matematici moderni, con un numero infinito di cifre, ce ne sarà esattamente lo stesso numero, inoltre ce ne saranno tante unità quanti sono i due e i tre messi insieme, e anche tanti quanti tutti i altre nove cifre combinate. Ma qui bisogna sapere dove fermarsi, cogliere l'attimo, per così dire, dove sono davvero in egual numero.
E ancora una cosa: nelle cifre del Pi ci si può aspettare la comparsa di qualsiasi sequenza predeterminata di cifre. Ad esempio, le disposizioni più comuni sono state trovate nei seguenti numeri:
01234567891: da 26.852.899.245
01234567891: da 41.952.536.161
01234567891: da 99.972.955.571
01234567891: da 102.081.851.717
01234567891: da 171.257.652.369
01234567890: da 53.217.681.704
27182818284: c 45.111.908.393 sono le cifre del numero e. (
C'è stata una battuta: gli scienziati hanno trovato l'ultimo numero in Pi - si è rivelato essere il numero e, l'hanno quasi capito)
Puoi cercare nelle prime diecimila cifre del Pi il tuo numero di telefono o la data di nascita; se non funziona, cerca tra 100.000 cifre.
Nel numero 1/Pi, a partire da 55.172.085.586 cifre, ci sono 33333333333333, non è sorprendente?
In filosofia, il contingente viene solitamente contrapposto al necessario. Quindi i segni del pi greco sono casuali? Oppure sono necessari? Diciamo che la terza cifra del pi greco è "4". E indipendentemente da chi calcola questo pi greco, in quale luogo e in quale momento lo fa, il terzo segno sarà necessariamente sempre uguale a “4”.
La connessione tra Pi, Phi e la serie di Fibonacci. Il collegamento tra il numero 3.1415916 ed il numero 1.61803 e la sequenza Pisa.
- Più interessante:
- 1. Nelle cifre decimali di Pi, 7, 22, 113, 355 sono la cifra 2. Le frazioni 22/7 e 355/113 sono buone approssimazioni a Pi.
- 2. Kokhansky ha scoperto che Pi è la radice approssimativa dell'equazione: 9x^4-240x^2+1492=0
- 3. Se scrivi le lettere maiuscole dell'alfabeto inglese in senso orario in un cerchio e cancella le lettere che hanno simmetria da sinistra a destra: A, H, I, M, O, T, U, V, W, X, Y , poi le restanti lettere formano gruppi secondo 3,1,4,1,6 lettere.
- (A) BCDEFG (HI) JKL (M) N (O) PQRS (TUVWXY) Z
- 6 3 1 4 1
- Quindi l'alfabeto inglese dovrebbe iniziare con la lettera H, I o J e non con la lettera A :)
Quindi cosa ci importa? E ne consegue che nella coda decimale del pi greco puoi trovare qualsiasi sequenza di cifre desiderata. Il tuo numero di telefono? Per favore, più di una volta (puoi controllare qui, ma tieni presente che questa pagina pesa circa 300 megabyte, quindi dovrai attendere il download. Puoi scaricare un misero milione di caratteri qui o credimi sulla parola: qualsiasi sequenza di cifre decimali del pi greco è presto o sarà tardi, chiunque!
Per i lettori più elevati possiamo offrire un altro esempio: se criptate tutte le lettere con i numeri, nell'espansione decimale del numero pi potrete trovare tutta la letteratura e la scienza mondiale, e la ricetta per fare la besciamella, e tutto il resto libri sacri di tutte le religioni. Non sto scherzando, questo è un fatto strettamente scientifico. Dopotutto la sequenza è INFINITA e le combinazioni non si ripetono, quindi contiene TUTTE le combinazioni di numeri, e questo è già stato dimostrato. E se è così, allora è così. Compresi quelli che corrispondono al libro che hai scelto.
E questo significa ancora che contiene non solo tutta la letteratura mondiale che è già stata scritta (in particolare, quei libri che sono bruciati, ecc.), ma anche tutti i libri che SARANNO ancora scritti.
Si scopre che questo numero (l'unico numero ragionevole nell'universo!) governa il nostro mondo.
La domanda è come trovarli lì...
E in questo giorno è nato Albert Einstein, chi predisse... e cosa non predisse! ...anche l'energia oscura.
Questo mondo era avvolto in una profonda oscurità.
Sia la luce! E poi apparve Newton.
Ma Satana non attese a lungo per vendicarsi.
Arrivò Einstein e tutto tornò come prima.
Correlano bene: pi greco e alberto...
Le teorie nascono, si sviluppano e...
La conclusione è che Pi greco non è uguale a 3,14159265358979....
Questo è un malinteso basato sul postulato errato di identificare lo spazio piatto euclideo con lo spazio reale dell'Universo.
Una breve spiegazione del perché in generale Pi non è uguale a 3.14159265358979...
Questo fenomeno è associato alla curvatura dello spazio. Le linee di forza nell'Universo a distanze significative non sono linee rette ideali, ma linee leggermente curve. Siamo già arrivati al punto di affermare che nel mondo reale non esistono linee perfettamente rette, cerchi idealmente piatti o spazio euclideo ideale. Pertanto, dobbiamo immaginare qualsiasi cerchio di un raggio su una sfera di raggio molto maggiore.
Sbagliamo nel pensare che lo spazio sia piatto, “cubico”. L'Universo non è cubico, non è cilindrico e certamente non è piramidale. L'universo è sferico. L'unico caso in cui un piano può essere ideale (nel senso di “non curvo”) è il caso in cui passa per il centro dell'Universo.
Naturalmente la curvatura di un CD-ROM può essere trascurata, poiché il diametro di un CD è molto più piccolo del diametro della Terra, e molto meno del diametro dell'Universo. Ma non dovremmo trascurare la curvatura delle orbite di comete e asteroidi. L’inestirpabile convinzione tolemaica secondo cui siamo ancora al centro dell’Universo può costarci caro.
Di seguito sono riportati gli assiomi dello spazio piatto euclideo (“cubico” cartesiano) e l'assioma aggiuntivo che ho formulato per lo spazio sferico.
Assiomi della coscienza piatta:
per 1 punto si possono tracciare un numero infinito di rette e un numero infinito di piani.
per 2 punti si può tracciare 1 ed 1 sola linea retta, per mezzo della quale si possono tracciare infiniti piani.
Nel caso generale, attraverso 3 punti è impossibile tracciare un'unica retta ed uno, ed uno solo, piano. Assioma aggiuntivo per la coscienza sferica:
Nel caso generale, attraverso 4 punti è impossibile tracciare un'unica retta, un solo piano ed una ed una sola sfera. Arsentiev Alexey Ivanovich
Un po' di misticismo. L'IP è ragionevole?
Qualsiasi altra costante può essere definita attraverso il numero Pi, inclusa la costante di struttura fine (alfa), la costante della proporzione aurea (f=1.618...), per non parlare del numero e - ecco perché il numero pi si trova non solo in geometria, ma anche in teoria della relatività, meccanica quantistica, fisica nucleare, ecc. Inoltre, gli scienziati hanno recentemente scoperto che è attraverso Pi che è possibile determinare la posizione delle particelle elementari nella Tavola delle particelle elementari (in precedenza avevano tentato di farlo attraverso la Tavola di Woody), e il messaggio che nel DNA umano recentemente decifrato , il numero Pi è responsabile della struttura del DNA stesso (abbastanza complesso, va notato), ha prodotto l'effetto di una bomba che esplode!
Secondo il dottor Charles Cantor, sotto la cui guida è stato decifrato il DNA: "Sembra che siamo arrivati alla soluzione di qualche problema fondamentale che l'universo ci ha lanciato. Il numero Pi è ovunque, controlla tutti i processi a noi noti , pur rimanendo invariato! controlla il numero Pi stesso? Non c'è ancora una risposta."
In effetti, Cantor è falso, c’è una risposta, è così incredibile che gli scienziati preferiscono non renderla pubblica, temendo per la propria vita (ne parleremo più avanti): il numero Pi controlla se stesso, è ragionevole! Senza senso? Non affrettarti. Dopotutto, Fonvizin ha anche detto che “nell’ignoranza umana, è molto confortante considerare tutto ciò che non si conosce come una sciocchezza”.
In primo luogo, le congetture sulla ragionevolezza dei numeri in generale sono state a lungo visitate da molti famosi matematici del nostro tempo. Il matematico norvegese Niels Henrik Abel scrisse a sua madre nel febbraio 1829: "Ho ricevuto la conferma che uno dei numeri è ragionevole. Ho parlato con lui! Ma mi spaventa il fatto di non poter determinare quale sia questo numero. Ma forse "Questo è per il migliore. Il numero mi avvertiva che sarei stato punito se fosse stato rivelato." Chissà, Nils gli avrebbe rivelato il significato del numero che gli parlava, ma il 6 marzo 1829 morì.
Nel 1955, il giapponese Yutaka Taniyama avanza l’ipotesi che “ogni curva ellittica corrisponde ad una certa forma modulare” (come è noto, sulla base di questa ipotesi fu dimostrato il teorema di Fermat). Il 15 settembre 1955, ad un simposio matematico internazionale a Tokyo, dove Taniyama annunciò la sua ipotesi, in risposta alla domanda di un giornalista: “Come sei arrivato a questo?” - Taniyama risponde: “Non ci avevo pensato, me lo ha detto il numero al telefono”. La giornalista, pensando che si trattasse di uno scherzo, ha deciso di “sostenerla”: “Le ha detto il numero di telefono?” Al che Taniyama ha risposto seriamente: “Sembra che questo numero mi sia noto da molto tempo, ma ora posso segnalarlo solo dopo tre anni, 51 giorni, 15 ore e 30 minuti”. Nel novembre 1958 Taniyama si suicidò. Tre anni, 51 giorni, 15 ore e 30 minuti sono 3,1415. Coincidenza? Forse. Ma eccone un altro, ancora più strano. Anche il matematico italiano Sella Quitino ha trascorso diversi anni, come ha vagamente affermato, “rimanendo in contatto con un numero carino”. La persona, secondo Quitino, che all'epoca era già ricoverata in un ospedale psichiatrico, "promise di dire il suo nome il giorno del suo compleanno". Potrebbe Quitino essere impazzito al punto da chiamare numero il numero Pi, oppure stava confondendo deliberatamente i medici? Non è chiaro, ma il 14 marzo 1827 Quitino morì.
E la storia più misteriosa è collegata al "grande Hardy" (come tutti sapete, questo è ciò che i contemporanei chiamavano il grande matematico inglese Godfrey Harold Hardy), che, insieme al suo amico John Littlewood, è famoso per il suo lavoro sulla teoria dei numeri (soprattutto nel campo delle approssimazioni diofantee) e della teoria delle funzioni (dove gli amici divennero famosi per il loro studio sulle disuguaglianze). Come sapete, Hardy era ufficialmente celibe, anche se aveva ripetutamente affermato di essere "fidanzato con la regina del nostro mondo". Colleghi scienziati più di una volta lo sentirono parlare con qualcuno nel suo ufficio; nessuno aveva mai visto il suo interlocutore, anche se la sua voce - metallica e leggermente stridula - era da tempo sulla bocca di tutti all'Università di Oxford, dove aveva lavorato negli ultimi anni. Nel novembre 1947 queste conversazioni si interrompono e il 1 ° dicembre 1947 Hardy viene trovato in una discarica cittadina, con una pallottola nello stomaco. La versione del suicidio è stata confermata anche da un biglietto in cui la mano di Hardy scriveva: "John, mi hai rubato la regina, non ti biasimo, ma non posso più vivere senza di lei".
Questa storia è legata al numero Pi? Non è ancora chiaro, ma non è interessante?
In generale, puoi raccogliere molte storie simili e, ovviamente, non tutte sono tragiche.
Ma passiamo al “secondo”: come può un numero anche solo essere ragionevole? Sì, molto semplice. Il cervello umano contiene 100 miliardi di neuroni, il numero di cifre decimali del Pi tende all'infinito, in generale, secondo criteri formali, può essere ragionevole. Ma se si crede al lavoro del fisico americano David Bailey e dei matematici canadesi Peter Borwin e Simon Ploofe, la sequenza di cifre decimali nel Pi è soggetta alla teoria del caos, in parole povere, il numero Pi è il caos nella sua forma originale. Può il caos essere intelligente? Certamente! Proprio come il vuoto, nonostante la sua apparente vacuità, come è noto, non è affatto vuoto.
Inoltre, se lo desideri, puoi rappresentare graficamente questo caos, per assicurarti che possa essere ragionevole. Nel 1965, un matematico americano di origine polacca Stanislaw M. Ulam (fu lui a avere l'idea chiave per la progettazione di una bomba termonucleare), mentre partecipava a un incontro molto lungo e molto noioso (nelle sue parole), in per divertirsi in qualche modo, cominciò a scrivere numeri su carta a quadretti, inclusi nel numero Pi. Mettendo 3 al centro e muovendosi in senso antiorario a spirale, scrisse 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5 e altri numeri dopo la virgola. Senza pensarci due volte, circondò contemporaneamente tutti i numeri primi con cerchi neri. Ben presto, con sua sorpresa, i cerchi con sorprendente tenacia iniziarono ad allinearsi lungo linee rette: ciò che accadde fu molto simile a qualcosa di ragionevole. Soprattutto dopo che Ulam ha generato un'immagine a colori basata su questo disegno utilizzando un algoritmo speciale.
In realtà, questa immagine, che può essere paragonata sia a un cervello che a una nebulosa stellare, può tranquillamente essere chiamata il “cervello di Pi”. Approssimativamente con l'aiuto di una tale struttura, questo numero (l'unico numero ragionevole nell'universo) controlla il nostro mondo. Ma come avviene questo controllo? Di norma, con l'aiuto delle leggi non scritte della fisica, della chimica, della fisiologia, dell'astronomia, che sono controllate e adattate da un numero ragionevole. Gli esempi sopra riportati mostrano che anche il numero intelligente è deliberatamente personificato e comunica con gli scienziati come una sorta di superpersonalità. Ma se è così, il numero Pi è arrivato nel nostro mondo sotto le spoglie di una persona comune?
Problema complesso. Forse è arrivato, forse no, non esiste un metodo affidabile per determinarlo e non può esserci, ma se questo numero è determinato da solo in tutti i casi, allora possiamo supporre che sia venuto nel nostro mondo come persona sul giorno corrispondente al suo significato. Naturalmente, la data di nascita ideale per Pi è il 14 marzo 1592 (3.141592), tuttavia, sfortunatamente, non ci sono statistiche affidabili per quest'anno - sappiamo solo che è stato in quest'anno, il 14 marzo, che George Villiers Buckingham , il duca di Buckingham da "I tre moschettieri". Era un eccellente schermidore, sapeva molto di cavalli e falconeria - ma era lui Pi? Difficilmente. Duncan MacLeod, nato il 14 marzo 1592, sulle montagne della Scozia, potrebbe idealmente rivendicare il ruolo dell'incarnazione umana del numero Pi, se fosse una persona reale.
Ma l'anno (1592) può essere determinato secondo un calendario proprio e più logico per Pi. Se accettiamo questo presupposto, allora ci sono molti più candidati per il ruolo di Pi.
Il più ovvio di loro è Albert Einstein, nato il 14 marzo 1879. Ma il 1879 è il 1592 rispetto al 287 a.C.! Perché esattamente 287? Sì, perché proprio in quest'anno nacque Archimede, che per primo al mondo calcolò il numero Pi come rapporto tra la circonferenza e il diametro e dimostrò che è lo stesso per qualsiasi cerchio! Coincidenza? Ma non ci sono molte coincidenze, non credi?
In quale personalità Pi sia personificato oggi non è chiaro, ma per vedere il significato di questo numero per il nostro mondo non è necessario essere un matematico: Pi si manifesta in tutto ciò che ci circonda. E questo, tra l'altro, è molto tipico di qualsiasi essere intelligente, che, senza dubbio, è Pi!
Cos'è un codice PIN?
Numero per-SONAL IDEN-tifi-KA-CI-on.
Cos'è il numero PI?
Decodificando il numero PI (3, 14...) (codice PIN), chiunque può farlo senza di me, attraverso l'alfabeto glagolitico. Sostituiamo le lettere al posto dei numeri (i valori numerici delle lettere sono dati in glagolitico) e otteniamo questa frase: Verbi (verbo, dire, fare) Az (io, come, maestro, creatore) Buono. E se prendiamo i seguenti numeri, risulta qualcosa del genere: “Faccio del bene, sono Fita (figlio illegittimo, nascosto, nascita verginale, non manifestato, 9), conosco (riconosco) distorsione (male) questo sta parlando (azione) volontà (desiderio) Terra faccio so faccio volontà bene male (distorsione) conosco male faccio bene"... e così via all'infinito, ci sono tanti numeri, ma credo che tutto sia questione la stessa cosa...
Musica di PI
14 marzo 2012
Il 14 marzo i matematici celebrano una delle festività più insolite: Giornata internazionale del Pi greco. Questa data non è stata scelta a caso: l'espressione numerica π (Pi) è 3,14 (3° mese (14 marzo).
Per la prima volta gli scolari incontrano questo numero insolito nelle classi elementari quando studiano cerchi e circonferenze. Il numero π è una costante matematica che esprime il rapporto tra la circonferenza di un cerchio e la lunghezza del suo diametro. Cioè, se prendi un cerchio con un diametro uguale a uno, la circonferenza sarà uguale al numero "Pi". Il numero π ha una durata matematica infinita, ma nei calcoli quotidiani viene utilizzata un'ortografia semplificata del numero, lasciando solo due cifre decimali - 3.14.
Nel 1987 questa giornata venne celebrata per la prima volta. Il fisico Larry Shaw di San Francisco ha notato che nel sistema di data americano (mese/giorno), la data 14 marzo - 3/14 coincide con il numero π (π = 3,1415926...). Tipicamente le celebrazioni iniziano alle 13:59:26 (π = 3.14 15926 …).
Storia di Pi
Si presume che la storia del numero π abbia inizio nell'antico Egitto. I matematici egiziani determinarono l'area di un cerchio con diametro D come (D-D/9) 2. Da questa voce risulta chiaro che a quel tempo il numero π era equiparato alla frazione (16/9) 2, ovvero 256/81, cioè π 3.160...
Nel VI secolo. AVANTI CRISTO. in India, nel libro religioso del Giainismo, ci sono voci che indicano che il numero π a quel tempo era considerato uguale alla radice quadrata di 10, che dà la frazione 3,162...
Nel 3 ° secolo. AC Archimede nella sua breve opera “Misura di un cerchio” sostanziava tre proposizioni:
- Ogni cerchio è uguale in grandezza ad un triangolo rettangolo, i cui cateti sono rispettivamente uguali alla lunghezza del cerchio e al suo raggio;
- Le aree di un cerchio sono relative ad un quadrato costruito su un diametro da 11 a 14;
- Il rapporto tra qualsiasi cerchio e il suo diametro è inferiore a 3 1/7 e maggiore di 3 10/71.
Archimede giustificò l'ultima posizione calcolando in sequenza i perimetri dei poligoni regolari inscritti e circoscritti raddoppiando il numero dei loro lati. Secondo i calcoli esatti di Archimede, il rapporto tra circonferenza e diametro è compreso tra i numeri 3 * 10 / 71 e 3 * 1/7, il che significa che il numero “pi” è 3,1419... Il vero valore di questo rapporto è 3.1415922653...
Nel V secolo AVANTI CRISTO. Il matematico cinese Zu Chongzhi ha trovato un valore più accurato per questo numero: 3,1415927...
Nella prima metà del XV secolo. L'astronomo e matematico Kashi calcolò π con 16 cifre decimali.
Un secolo e mezzo dopo in Europa, F. Viet trovò il numero π con sole 9 cifre decimali regolari: fece 16 raddoppiamenti del numero dei lati dei poligoni. F. Viet fu il primo a notare che π può essere trovato utilizzando i limiti di alcune serie. Questa scoperta fu di grande importanza; permise di calcolare π con una certa precisione.
Nel 1706, il matematico inglese W. Johnson introdusse la notazione per il rapporto tra la circonferenza di un cerchio e il suo diametro e lo designò con il simbolo moderno π, prima lettera della parola greca periferia - cerchio.
Per un lungo periodo di tempo, gli scienziati di tutto il mondo hanno cercato di svelare il mistero di questo numero misterioso.
Qual è la difficoltà nel calcolare il valore di π?
Il numero π è irrazionale: non può essere espresso come una frazione p/q, dove p e q sono numeri interi; questo numero non può essere la radice di un'equazione algebrica. È impossibile specificare un'equazione algebrica o differenziale la cui radice sarà π, pertanto questo numero è detto trascendente e si calcola considerando un processo e si affina aumentando i passi del processo in esame. Numerosi tentativi di calcolare il numero massimo di cifre del numero π hanno portato al fatto che oggi, grazie alla moderna tecnologia informatica, è possibile calcolare la sequenza con una precisione di 10 trilioni di cifre dopo la virgola.
Le cifre della rappresentazione decimale di π sono abbastanza casuali. Nell'espansione decimale di un numero puoi trovare qualsiasi sequenza di cifre. Si presuppone che questo numero contenga tutti i libri scritti e non scritti in forma crittografata; qualsiasi informazione immaginabile si trova nel numero π.
Puoi provare a svelare tu stesso il mistero di questo numero. Naturalmente non sarà possibile scrivere per intero il numero “Pi”. Ma per i più curiosi suggerisco di considerare le prime 1000 cifre del numero π = 3,
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989
Ricorda il numero "Pi"
Attualmente, con l’aiuto della tecnologia informatica, sono stati calcolati diecimila miliardi di cifre del numero “Pi”. Il numero massimo di numeri che una persona può ricordare è centomila.
Per ricordare il numero massimo di cifre del numero “Pi”, vengono utilizzate varie “memorie” poetiche, in cui le parole con un certo numero di lettere sono disposte nella stessa sequenza dei numeri del numero “Pi”: 3.1415926535897932384626433832795…. Per ripristinare il numero, è necessario contare il numero di caratteri in ciascuna parola e scriverlo in ordine.
Quindi conosco il numero chiamato “Pi”. Ben fatto! (7 cifre)
Quindi Misha e Anyuta arrivarono di corsa
Volevano conoscere il numero Pi. (11 cifre)
Questo lo so e lo ricordo perfettamente:
E molti segni mi sono inutili, invano.
Confidiamo nella nostra enorme conoscenza
Coloro che contavano i numeri dell'armata. (21 cifre)
Una volta da Kolya e Arina
Abbiamo strappato i piumini.
La lanugine bianca volava e girava,
Ho fatto la doccia, mi sono congelato,
Soddisfatto
Ce lo ha dato
Mal di testa delle donne anziane.
Wow, lo spirito della lanugine è pericoloso! (25 caratteri)
Puoi usare le linee in rima per aiutarti a ricordare il numero giusto.
Per non commettere errori,
Devi leggerlo correttamente:
Novantadue e sei
Se ci provi davvero,
Puoi subito leggere:
Tre, quattordici, quindici,
Novantadue e sei.
Tre, quattordici, quindici,
Nove, due, sei, cinque, tre, cinque.
Fare scienza,
Tutti dovrebbero saperlo.
Puoi semplicemente provare
E ripeti più spesso:
"Tre, quattordici, quindici,
Nove, ventisei e cinque."
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Cosa nasconde Pi?
Pi è uno dei concetti matematici più popolari. Su di lui si scrivono immagini, si girano film, lo si suona con strumenti musicali, gli si dedicano poesie e vacanze, lo si cerca e si trova nei testi sacri.
Chi ha scoperto il pi greco?
Chi e quando scoprì per la prima volta il numero π rimane ancora un mistero. È noto che i costruttori dell'antica Babilonia ne fecero già pieno uso nella loro progettazione. Le tavolette cuneiformi risalenti a migliaia di anni conservano persino problemi che si proponeva di risolvere utilizzando π. È vero, allora si credeva che π fosse uguale a tre. Ciò è testimoniato da una tavoletta rinvenuta nella città di Susa, a duecento chilometri da Babilonia, dove il numero π era indicato come 3 1/8.
Nel processo di calcolo di π, i babilonesi scoprirono che il raggio di un cerchio come corda vi entra sei volte e divisero il cerchio in 360 gradi. E allo stesso tempo hanno fatto lo stesso con l'orbita del sole. Pertanto, hanno deciso di considerare che in un anno ci sono 360 giorni.
Nell'antico Egitto, π era pari a 3,16.
Nell'antica India - 3.088.
In Italia, a cavallo dell'epoca, si credeva che π fosse pari a 3,125.
Nell'antichità, la prima menzione di π si riferisce al famoso problema della quadratura del cerchio, cioè all'impossibilità di utilizzare compasso e righello per costruire un quadrato la cui area sia uguale all'area di un certo cerchio. Archimede equiparava π alla frazione 22/7.
Le persone più vicine al valore esatto di π sono arrivate in Cina. È stato calcolato nel V secolo d.C. e. famoso astronomo cinese Tzu Chun Zhi. π è stato calcolato in modo abbastanza semplice. Era necessario scrivere due volte i numeri dispari: 11 33 55, quindi, dividendoli a metà, posizionare il primo al denominatore della frazione e il secondo al numeratore: 355/113. Il risultato concorda con i calcoli moderni di π fino alla settima cifra. 
Perché π - π?
Ora anche gli scolari sanno che il numero π è una costante matematica pari al rapporto tra la circonferenza di un cerchio e la lunghezza del suo diametro ed è uguale a π 3,1415926535 ... e poi dopo il punto decimale - all'infinito.
Il numero acquisì la designazione π in modo complesso: inizialmente, nel 1647, il matematico Outrade usò questa lettera greca per descrivere la lunghezza di un cerchio. Ha preso la prima lettera della parola greca περιφέρεια - "periferia". Nel 1706, l'insegnante inglese William Jones nella sua opera "Review of the Achievements of Mathematics" chiamava già il rapporto tra la circonferenza di un cerchio e il suo diametro con la lettera π. E il nome fu consolidato dal matematico del XVIII secolo Leonard Euler, davanti alla cui autorità gli altri chinarono la testa. Quindi π è diventato π.
Unicità del numero
Pi è un numero davvero unico.
1. Gli scienziati ritengono che il numero di cifre del numero π sia infinito. La loro sequenza non si ripete. Inoltre, nessuno sarà mai in grado di trovare ripetizioni. Poiché il numero è infinito, può contenere assolutamente tutto, anche una sinfonia di Rachmaninoff, l'Antico Testamento, il tuo numero di telefono e l'anno in cui avverrà l'Apocalisse.
2. π è associato alla teoria del caos. Gli scienziati sono giunti a questa conclusione dopo aver creato il programma per computer di Bailey, che ha dimostrato che la sequenza di numeri in π è assolutamente casuale, il che è coerente con la teoria.
3. È quasi impossibile calcolare completamente il numero: richiederebbe troppo tempo.
4. π è un numero irrazionale, cioè il suo valore non può essere espresso come frazione.
5. π è un numero trascendente. Non può essere ottenuto eseguendo operazioni algebriche sugli interi.
6. Trentanove cifre decimali nel numero π sono sufficienti per calcolare la lunghezza del cerchio che circonda gli oggetti cosmici conosciuti nell'Universo, con un errore del raggio di un atomo di idrogeno.
7. Il numero π è associato al concetto di “sezione aurea”. Durante il processo di misurazione della Grande Piramide di Giza, gli archeologi hanno scoperto che la sua altezza è correlata alla lunghezza della sua base, proprio come il raggio di un cerchio è correlato alla sua lunghezza.
Record relativi a π
Nel 2010, il matematico di Yahoo Nicholas Zhe è riuscito a calcolare due quadrilioni di cifre decimali (2x10) nel numero π. Ci sono voluti 23 giorni e il matematico aveva bisogno di molti assistenti che lavoravano su migliaia di computer, uniti utilizzando la tecnologia informatica distribuita. Il metodo ha permesso di eseguire calcoli a una velocità così fenomenale. Per calcolare la stessa cosa su un singolo computer occorrerebbero più di 500 anni.
Per scrivere tutto questo semplicemente su carta, ci vorrebbe un nastro di carta lungo più di due miliardi di chilometri. Se si espande tale record, la sua fine andrà oltre il sistema solare.
Il cinese Liu Chao ha stabilito un record per aver memorizzato la sequenza di cifre del numero π. Nel giro di 24 ore e 4 minuti, Liu Chao ha pronunciato 67.890 cifre decimali senza commettere un solo errore.
Club π
π ha molti fan. Si suona con strumenti musicali e si scopre che "suona" in modo eccellente. Lo ricordano e escogitano varie tecniche per questo. Per divertimento, lo scaricano sul proprio computer e si vantano tra loro di chi ha scaricato di più. Gli vengono eretti monumenti. Ad esempio, esiste un monumento del genere a Seattle. Si trova sulla scalinata di fronte al Museo d'Arte.
π è utilizzato nelle decorazioni e nell'interior design. A lui sono dedicate poesie, è cercato nei libri sacri e negli scavi. Esiste addirittura un “Club π”.
Nella migliore tradizione del π, non uno, ma due giorni interi all'anno sono dedicati al numero! La prima volta che si celebra il π Day è il 14 marzo. Dovete congratularvi a vicenda esattamente a 1 ora, 59 minuti e 26 secondi. Pertanto, la data e l'ora corrispondono alle prime cifre del numero: 3.1415926.
Per la seconda volta, la festa π viene celebrata il 22 luglio. Questo giorno è associato al cosiddetto “π approssimativo”, che Archimede scrisse come frazione.
Di solito in questo giorno, studenti, scolari e scienziati organizzano flash mob e azioni divertenti. I matematici, divertendosi, usano π per calcolare le leggi di un panino che cade e si scambiano ricompense comiche.
E comunque, π si trova effettivamente nei libri sacri. Ad esempio, nella Bibbia. E lì il numero π è uguale a... tre.
Per molti secoli e anche, stranamente, millenni, le persone hanno compreso l'importanza e il valore per la scienza di una costante matematica pari al rapporto tra la circonferenza di un cerchio e il suo diametro. il numero Pi è ancora sconosciuto, ma con esso si sono occupati i migliori matematici di tutta la nostra storia. La maggior parte di loro voleva esprimerlo come un numero razionale.
1. Ricercatori e veri fan del numero Pi hanno organizzato un club, per entrare a far parte del quale è necessario conoscere a memoria un numero abbastanza elevato di suoi segni.
2. Dal 1988 si celebra il “Pi Day”, che cade il 14 marzo. Preparano insalate, torte, biscotti e pasticcini con la sua immagine.
3. Il numero Pi è già stato messo in musica e suona abbastanza bene. Gli è stato addirittura eretto un monumento a Seattle, in America, davanti al Museo d'Arte della città.
A quel tempo lontano, cercarono di calcolare il numero Pi usando la geometria. Il fatto che questo numero sia costante per un'ampia varietà di cerchi era noto ai geometri dell'antico Egitto, Babilonia, India e Grecia antica, che nelle loro opere affermavano che era solo poco più di tre.
In uno dei libri sacri del Giainismo (un'antica religione indiana nata nel VI secolo aC) si menziona che allora il numero Pi era considerato uguale alla radice quadrata di dieci, che alla fine dà 3.162... .
I matematici dell'antica Grecia misuravano un cerchio costruendo un segmento, ma per misurare un cerchio dovevano costruire un quadrato uguale, cioè una figura di area uguale ad esso.
Quando ancora non si conoscevano le frazioni decimali, il grande Archimede trovò il valore del Pi greco con una precisione del 99,9%. Scoprì un metodo che divenne la base per molti calcoli successivi, iscrivendo poligoni regolari in un cerchio e descrivendoli attorno ad esso. Di conseguenza, Archimede calcolò il valore di Pi come il rapporto 22/7 ≈ 3,142857142857143.
In Cina, matematico e astronomo di corte, Zu Chongzhi nel V secolo a.C. e. designò un valore più preciso per Pi, calcolandolo a sette cifre decimali e determinò il suo valore tra i numeri 3, 1415926 e 3,1415927. Gli scienziati hanno impiegato più di 900 anni per continuare questa serie digitale.
Medioevo
Il famoso scienziato indiano Madhava, che visse a cavallo tra il XIV e il XV secolo e divenne il fondatore della scuola di astronomia e matematica del Kerala, per la prima volta nella storia iniziò a lavorare sull'espansione delle funzioni trigonometriche in serie. È vero, solo due delle sue opere sono sopravvissute e per le altre sono noti solo riferimenti e citazioni dei suoi studenti. Il trattato scientifico "Mahajyanayana", attribuito a Madhava, afferma che il numero Pi è 3.14159265359. E nel trattato “Sadratnamala” viene riportato un numero con cifre decimali ancora più esatte: 3.14159265358979324. Nei numeri indicati, le ultime cifre non corrispondono al valore corretto.
Nel XV secolo, il matematico e astronomo di Samarcanda Al-Kashi calcolò il numero Pi con sedici cifre decimali. Il suo risultato fu considerato il più accurato per i successivi 250 anni.
W. Johnson, un matematico inglese, fu uno dei primi a denotare il rapporto tra la circonferenza di un cerchio e il suo diametro con la lettera π. Pi è la prima lettera della parola greca "περιφέρεια" - cerchio. Ma questa designazione riuscì a diventare generalmente accettata solo dopo essere stata utilizzata nel 1736 dal più famoso scienziato L. Euler.
Conclusione
Gli scienziati moderni continuano a lavorare su ulteriori calcoli dei valori di Pi. A questo scopo vengono già utilizzati i supercomputer. Nel 2011, uno scienziato di Shigeru Kondo, in collaborazione con uno studente americano Alexander Yi, ha calcolato correttamente una sequenza di 10 trilioni di cifre. Ma non è ancora chiaro chi abbia scoperto il numero Pi, chi per primo abbia pensato a questo problema e abbia effettuato i primi calcoli di questo numero veramente mistico.
PI
Il simbolo PI indica il rapporto tra la circonferenza di un cerchio e il suo diametro. Per la prima volta in questo senso, il simbolo p fu usato da W. Jones nel 1707 e L. Euler, dopo aver adottato questa designazione, la introdusse nell'uso scientifico. Già nell’antichità i matematici sapevano che il calcolo del valore di p e dell’area di un cerchio erano problemi strettamente correlati. Gli antichi cinesi e gli antichi ebrei consideravano il numero p pari a 3. Il valore di p è 3,1605 trovato nell'antico papiro egiziano dello scriba Ahmes (1650 aC circa). Intorno al 225 a.C e. Archimede, utilizzando 96 vertici regolari inscritti e circoscritti, approssimava l'area di un cerchio utilizzando un metodo che dava come risultato un valore PI compreso tra 31/7 e 310/71. Un altro valore approssimativo di p, equivalente alla consueta rappresentazione decimale di questo numero 3,1416, è noto dal II secolo. L. van Zeijlen (1540-1610) calcolò il valore di PI con 32 cifre decimali. Entro la fine del XVII secolo. Nuovi metodi di analisi matematica hanno reso possibile calcolare il valore p in molti modi diversi. Nel 1593 F. Viet (1540-1603) derivò la formula
Nel 1665 J. Wallis (1616-1703) lo dimostrò
Nel 1658 W. Brounker trovò una rappresentazione del numero p sotto forma di frazione continua
G. Leibniz pubblicò una serie nel 1673
Le serie consentono di calcolare il valore p con qualsiasi numero di cifre decimali. Negli ultimi anni, con l'avvento dei computer elettronici, sono stati trovati valori p con più di 10.000 cifre. Con dieci cifre, il valore PI è 3,1415926536. Come numero, PI ha alcune proprietà interessanti. Ad esempio, non può essere rappresentato come un rapporto tra due numeri interi o una frazione decimale periodica; il numero PI è trascendente, cioè non può essere rappresentato come radice di un'equazione algebrica a coefficienti razionali. Il numero PI è incluso in molte formule matematiche, fisiche e tecniche, comprese quelle non direttamente correlate all'area di un cerchio o alla lunghezza di un arco circolare. Ad esempio, l'area di un'ellisse A è determinata dalla formula A = pab, dove a e b sono le lunghezze dei semiassi maggiore e minore.
Enciclopedia di Collier. - Società aperta. 2000 .
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Libri
- Numero del nome. Segreti della numerologia. Fuga fuori dal corpo per i più pigri. Libro di testo sulla percezione extrasensoriale (numero di volumi: 3), Lawrence Shirley. Numero del nome. Segreti della numerologia. Il libro di Shirley B. Lawrence è uno studio completo dell'antico sistema esoterico della numerologia. Per imparare a utilizzare le vibrazioni dei numeri per...
- Numero del nome. Il significato sacro dei numeri. Simbolismo dei Tarocchi (numero di volumi: 3), Uspensky Peter. Numero del nome. Segreti della numerologia. Il libro di Shirley B. Lawrence è uno studio completo dell'antico sistema esoterico della numerologia. Per imparare a utilizzare le vibrazioni dei numeri per...
