Trovare l'insieme dei valori della funzione. Intervallo di funzioni (insieme di valori di funzione)

Viene chiamata la dipendenza di una variabile da un'altra dipendenza funzionale. Variabile di dipendenza sì da variabile X chiamato funzione, se ciascun valore X corrisponde a un singolo valore sì.

Designazione:

Variabile X chiamata variabile indipendente o discussione e la variabile sì- dipendente. Dicono che sìè una funzione di X. Senso sì, corrispondente al valore specificato X, chiamato valore della funzione.

Tutti i valori che accetta X, modulo dominio di una funzione; tutti i valori che ci vogliono sì, modulo insieme di valori di funzione.

Designazioni:

D(f)- valori degli argomenti. E(f)- valori di funzione. Se una funzione è data da una formula, si considera che il dominio di definizione sia costituito da tutti i valori della variabile per i quali questa formula ha senso.

Grafico della funzioneè l'insieme di tutti i punti sul piano delle coordinate le cui ascisse sono uguali ai valori dell'argomento e le cui ordinate sono uguali ai corrispondenti valori della funzione. Se qualche valore x=x0 corrisponde a più valori (non solo uno) sì, allora tale corrispondenza non è una funzione. Affinché un insieme di punti su un piano di coordinate sia il grafico di una certa funzione, è necessario e sufficiente che qualsiasi retta parallela all'asse Oy intersechi il grafico in non più di un punto.

Metodi per specificare una funzione

1) La funzione può essere impostata analiticamente sotto forma di formula. Per esempio,

2) La funzione può essere specificata da una tabella di molte coppie (x; y).

3) La funzione può essere specificata graficamente. Coppie di valori (x; y) sono rappresentati sul piano delle coordinate.

Monotonicità della funzione

Funzione f(x) chiamato crescente su un dato intervallo numerico, se a un valore maggiore dell'argomento corrisponde un valore maggiore della funzione. Immagina che un certo punto si sposti lungo il grafico da sinistra a destra. Quindi il punto sembrerà “salire” sul grafico.

Funzione f(x) chiamato decrescente su un dato intervallo numerico, se a un valore maggiore dell'argomento corrisponde un valore minore della funzione. Immagina che un certo punto si sposti lungo il grafico da sinistra a destra. Quindi il punto sembrerà “rotolare” lungo il grafico.

Viene chiamata una funzione che aumenta o diminuisce solo su un dato intervallo numerico monotono su questo intervallo.

Zeri della funzione e intervalli di segno costante

Valori X, al quale y=0, chiamato zeri di funzione. Queste sono le ascisse dei punti di intersezione del grafico della funzione con l'asse Ox.

Tali intervalli di valori X, su cui i valori della funzione sì vengono chiamati solo positivi o solo negativi intervalli di segno costante della funzione.

Funzioni pari e dispari

Funzione pari
1) Il dominio di definizione è simmetrico rispetto al punto (0; 0), cioè se il punto UN appartiene al dominio della definizione, quindi il punto -UN appartiene anch'esso al dominio della definizione.
2) Per qualsiasi valore X f(-x)=f(x)
3) Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all'asse Oy.

Funzione strana ha le seguenti proprietà:
1) Il dominio di definizione è simmetrico rispetto al punto (0; 0).
2) per qualsiasi valore X, appartenente al dominio di definizione, l'uguaglianza f(-x)=-f(x)
3) Il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all'origine (0; 0).

Non tutte le funzioni sono pari o dispari. Funzioni vista generale non sono né pari né dispari.

Funzioni periodiche

Funzione F si dice periodico se esiste un numero tale che per any X dal dominio di definizione l'uguaglianza f(x)=f(x-T)=f(x+T). Tè il periodo della funzione.

Ogni funzione periodica ha un numero infinito di periodi. In pratica, viene solitamente considerato il periodo positivo più piccolo.

I valori di una funzione periodica si ripetono dopo un intervallo pari al periodo. Viene utilizzato durante la costruzione di grafici.

Oggi nella lezione ci occuperemo di uno dei concetti base della matematica: il concetto di funzione; Diamo uno sguardo più da vicino a una delle proprietà di una funzione: l'insieme dei suoi valori.

Durante le lezioni

Insegnante. Mentre risolviamo i problemi, notiamo che a volte è trovare l'insieme dei valori di una funzione che ci mette in situazioni difficili. Perché? Sembrerebbe che, avendo studiato una funzione sin dalla seconda media, ne sappiamo parecchio. Abbiamo quindi tutte le ragioni per agire in modo proattivo. Oggi “giochiamo” noi stessi con molti valori di funzione per rispondere a molte domande su questo argomento nel prossimo esame.

Insiemi di valori di funzioni elementari

Insegnante. Per prima cosa è necessario ripetere i grafici, le equazioni e gli insiemi di valori delle funzioni elementari di base in tutto il dominio di definizione.

Sullo schermo vengono proiettati grafici di funzioni: lineare, quadratico, frazionario-razionale, trigonometrico, esponenziale e logaritmico, per ciascuno di essi viene determinato oralmente un insieme di valori. Attira l'attenzione degli studenti sul fatto che la funzione lineare E(f) = R o un numero, per un lineare frazionario

Questo è il nostro alfabeto. Aggiungendo ad essa la nostra conoscenza delle trasformazioni dei grafi: traslazione parallela, allungamento, compressione, riflessione, saremo in grado di risolvere i problemi della prima parte L’Esame di Stato Unificato è ancora un po’ più difficile. Controlliamolo.

Lavoro indipendente

U I termini del problema e i sistemi di coordinate vengono stampati per ogni studente.

1. Trova l'insieme dei valori della funzione sull'intero dominio di definizione:

UN) sì= 3 peccato X ;
B) sì = 7 – 2 X ;
V) sì= –arco ( X + 5):
G) sì= | arctg X |;
D)

2. Trova l'insieme dei valori della funzione sì = X 2 in mezzo J, Se:

UN) J = ;
B) J = [–1; 5).

3. Definire la funzione analiticamente (tramite un'equazione), se l'insieme dei suoi valori è:

1) E(F(X)) = (–∞ ; 2] e F(X) - funzione

a) quadratico,
b) logaritmico,
c) dimostrativo;

2) E(F(X)) = R \{7}.

Quando si discute di un compito 2lavoro indipendente, attirare l'attenzione degli studenti sul fatto che, nel caso di monotonia e continuità della funzione y=F(X)ad un dato intervallo[UN;B],i suoi molteplici significati-intervallo,le cui estremità sono i valori di f(UN)e f(B).

Opzioni di risposta per l'attività 3.

1.
UN) sì = –X 2 + 2 , sì = –(X + 18) 2 + 2,
sì= UN(X – X c) 2+2 a UN < 0.

B) sì= –| registro 8 X | + 2,

V) sì = –| 3 X – 7 | + 2, sì = –5 | X | + 3.

2.
a) b)

V) sì = 12 – 5X, Dove X ≠ 1 .

Trovare più valori di una funzione utilizzando la derivata

Insegnante. In terza media abbiamo acquisito familiarità con l'algoritmo per trovare gli estremi di una funzione continua su un segmento e trovarne l'insieme di valori, senza fare affidamento sul grafico della funzione. Ricordi come l'abbiamo fatto? ( Utilizzo della derivata.) Ricordiamo questo algoritmo .

1. Assicurati che la funzione sì = F(X) è definita e continua sul segmento J = [UN; B]. 2. Trova i valori della funzione alle estremità del segmento: f(a) ef(b). Commento. Se sappiamo che la funzione è continua e monotona J, allora puoi immediatamente rispondere: E(F) = [F(UN); F(B)] O E(F) = [F(B); F(UN)]. 3. Trova la derivata e poi i punti critici xkJ. 4. Trova i valori della funzione nei punti critici F(xk). 5. Confronta i valori delle funzioni F(UN), F(B) E F(xk), seleziona il valore più grande e quello più piccolo della funzione e dai la risposta: E(F)= [F nome; F naib].

Problemi che coinvolgono l'uso di questo algoritmo si riscontrano nelle versioni dell'Esame di Stato Unificato. Ad esempio, nel 2008 è stato proposto un simile compito. Devi risolverlo Case .

Compito C1. Trova il valore più grande della funzione

F(X) = (0,5X + 1) 4 – 50(0,5X + 1) 2

a | X + 1| ≤ 3.

Le condizioni dei compiti vengono stampate per ogni studente .

Trovare l'insieme dei valori di una funzione complessa

Insegnante. La parte principale della nostra lezione saranno problemi non standard contenenti funzioni complesse, le cui derivate sono espressioni molto complesse. E i grafici di queste funzioni ci sono sconosciuti. Pertanto, per risolverlo, utilizzeremo la definizione di funzione complessa, cioè la dipendenza tra le variabili nell'ordine in cui sono annidate in una data funzione, e una stima del loro intervallo di valori (l'intervallo di variazione della loro valori). Problemi di questo tipo si riscontrano nella seconda parte dell'Esame di Stato Unificato. Diamo un'occhiata ad alcuni esempi.

Esercizio 1. Per le funzioni sì = F(X) E sì = G(X) scrivere una funzione complessa sì = F(G(X)) e trova il suo insieme di valori:

UN) F(X) = –X 2 + 2X + 3, G(X) = peccato X;
B) F(X) = –X 2 + 2X + 3, G(X) = logaritmo 7 X;
V) G(X) = X 2 + 1;
G)

Soluzione. a) La funzione complessa ha la forma: sì= –peccato 2 X+2peccato X + 3.

Introdurre un argomento intermedio T, possiamo scrivere questa funzione in questo modo:

sì= –T 2 + 2T+ 3, dove T= peccato X.

Alla funzione interna T= peccato X l'argomento accetta qualsiasi valore e l'insieme dei suoi valori è il segmento [–1; 1].

Quindi, per la funzione esterna sì = –T 2 +2T+ 3 abbiamo scoperto l'intervallo per modificare i valori del suo argomento T: T[-1; 1]. Diamo un'occhiata al grafico della funzione sì = –T 2 +2T + 3.

Notiamo che la funzione quadratica at T[-1; 1] assume alle sue estremità i valori più piccolo e più grande: sì nome = sì(–1) = 0 e sì naib = sì(1) = 4. E poiché questa funzione è continua sull'intervallo [–1; 1], quindi accetta tutti i valori compresi tra loro.

Risposta: sì .

b) La composizione di queste funzioni ci porta ad una funzione complessa che, dopo aver introdotto un argomento intermedio, può essere rappresentata come segue:

sì= –T 2 + 2T+ 3, dove T= log7 X,

Funzione T= log7 X

X (0; +∞ ), T (–∞ ; +∞ ).

Funzione sì = –T 2 + 2T+ 3 (vedi grafico) argomento T accetta qualsiasi valore e la funzione quadratica stessa accetta tutti i valori non più di 4.

Risposta: sì (–∞ ; 4].

c) La funzione complessa ha la seguente forma:

Introducendo un argomento intermedio, otteniamo:

Dove T = X 2 + 1.

Poiché per la funzione interna X R , UN T .

Risposta: sì (0; 3].

d) La composizione di queste due funzioni ci dà una funzione complessa

che può essere scritto come

notare che

Cosi quando

Dove K Z , T [–1; 0) (0; 1].

Disegnando un grafico della funzione lo vediamo con questi valori T

sì(–∞ ; –4] c ;

b) in tutta l'area di definizione.

Soluzione. Innanzitutto, esaminiamo questa funzione per la monotonia. Funzione T= arcctg X- continua e decrescente di R e l'insieme dei suoi valori (0; π). Funzione sì= ceppo 5 Tè definito sull'intervallo (0; π), è continuo e cresce su di esso. Ciò significa che questa funzione complessa diminuisce sull'insieme R . Ed esso, come composizione di due funzioni continue, sarà continuo R .

Risolviamo il problema "a".

Poiché la funzione è continua su tutta la linea numerica, è continua su qualsiasi parte di essa, in particolare su un dato segmento. E poi su questo segmento ha i valori più piccoli e più grandi e accetta tutti i valori compresi tra loro:

F(4) = log 5 arcctg 4.

Quale dei valori risultanti è maggiore? Perché? E quale sarà l’insieme dei valori?

Risposta:

Risolviamo il problema "b".

Risposta: A(–∞; log 5 π) su tutta l’area di definizione.

Problema con un parametro

Ora proviamo a creare e risolvere una semplice equazione con un parametro della forma F(X) = UN, Dove F(X) - la stessa funzione dell'attività 4.

Compito 5. Determinare il numero di radici dell'equazione log 5 (arcctg X) = UN per ogni valore del parametro UN.

Soluzione. Come abbiamo già mostrato nell'attività 4, la funzione A= log5(arcctg X) - diminuisce ed è acceso fisso R e assume valori inferiori a log 5 π. Queste informazioni sono sufficienti per dare una risposta.

Risposta: Se UN < log 5 π, то уравнение имеет единственный корень;

Se UN≥ log 5 π, allora non ci sono radici.

Insegnante. Oggi abbiamo esaminato i problemi relativi alla ricerca dell'insieme dei valori di una funzione. Lungo questo percorso, abbiamo scoperto un nuovo metodo per risolvere equazioni e disuguaglianze: il metodo di stima, quindi trovare l'insieme di valori della funzione è diventato un mezzo per risolvere problemi di livello superiore. Così facendo, abbiamo visto come vengono costruiti tali problemi e come le proprietà di monotonicità di una funzione ne facilitano la soluzione.

E vorrei sperare che la logica che collegava i compiti discussi oggi vi abbia stupito o almeno sorpreso. Non può essere altrimenti: la scalata ad una nuova vetta non lascia nessuno indifferente! Notiamo e apprezziamo bellissimi dipinti, sculture, ecc. Ma anche la matematica ha una sua bellezza, attraente e ammaliante: la bellezza della logica. I matematici dicono che una bella soluzione è solitamente una soluzione corretta, e questa non è solo una frase. Ora devi trovare tu stesso tali soluzioni e oggi abbiamo indicato uno dei percorsi per raggiungerle. Buona fortuna a te! E ricorda: chi cammina padroneggia la strada!

La funzione è uno dei concetti matematici più importanti.

Definizione: se ogni numero di un certo insieme x è associato a un singolo numero y, allora si dice che su questo insieme è definita una funzione y(x). In questo caso, x è chiamata variabile o argomento indipendente e y è chiamata variabile dipendente o valore di una funzione o semplicemente una funzione.

Si dice anche che la variabile y sia funzione della variabile x.

Avendo denotato una corrispondenza con una lettera, ad esempio f, è conveniente scrivere: y=f (x), cioè il valore y si ottiene dall'argomento x utilizzando la corrispondenza f. (Leggi: y uguale a f di x.) Il simbolo f (x) denota il valore della funzione corrispondente al valore dell'argomento uguale a x.

Esempio 1 Sia la funzione data dalla formula y=2x 2 –6. Allora possiamo scrivere che f(x)=2x 2 –6. Troviamo i valori della funzione per valori di x pari, ad esempio, a 1; 2,5;–3; cioè troviamo f(1), f(2.5), f(–3):

f(1)=2 1 2 –6=–4;
f(2,5)=2 2,5 2 –6=6,5;
f(–3)=2 (–3) 2 –6= 12.

Si noti che nella notazione della forma y=f (x) si usano altre lettere al posto di f: g, ecc.

Definizione: il dominio di una funzione è costituito da tutti i valori di x per i quali esiste la funzione.

Se una funzione è specificata da una formula e il suo dominio di definizione non è specificato, si considera che il dominio di definizione della funzione sia costituito da tutti i valori dell'argomento per cui la formula ha senso.

In altre parole, il dominio di una funzione data da una formula è costituito da tutti i valori dell'argomento tranne quelli che risultano in azioni che non possiamo eseguire. Al momento conosciamo solo due di queste azioni. Non possiamo dividere per zero e non possiamo ricavare la radice quadrata di un numero negativo.

Definizione: tutti i valori che la variabile dipendente assume formano l'intervallo della funzione.

Il dominio di definizione di una funzione che descrive un processo reale dipende dalle condizioni specifiche del suo verificarsi. Ad esempio, la dipendenza della lunghezza l di un'asta di ferro dalla temperatura di riscaldamento t è espressa dalla formula, dove l 0 è la lunghezza iniziale dell'asta ed è il coefficiente di dilatazione lineare. Questa formula ha senso per qualsiasi valore di t. Tuttavia il dominio di definizione della funzione l=g(t) è un intervallo di diverse decine di gradi, per il quale vale la legge di dilatazione lineare.

Esempio.

Specificare l'intervallo di funzioni y = arcosinx.

Soluzione.

Il dominio di definizione dell'arcoseno è il segmento [-1; 1] . Troviamo il valore più grande e più piccolo della funzione su questo segmento.

La derivata è positiva per tutti X dall'intervallo (-1; 1) , cioè la funzione arcoseno aumenta sull'intero dominio di definizione. Pertanto, assume il valore più piccolo quando x = -1, e il più grande a x = 1.

Abbiamo ottenuto l'intervallo della funzione arcoseno .

Trova l'insieme dei valori della funzione sul segmento .

Soluzione.

Troviamo il valore più grande e più piccolo della funzione su un dato segmento.

Determiniamo i punti estremi appartenenti al segmento :

Spesso, nell'ambito della risoluzione dei problemi, dobbiamo cercare molti valori di una funzione su un dominio di definizione o su un segmento. Ad esempio, questo deve essere fatto quando si risolvono vari tipi di disuguaglianze, si valutano espressioni, ecc.

In questo materiale ti diremo qual è l'intervallo di valori di una funzione, forniremo i metodi principali con cui può essere calcolato e analizzeremo problemi di vari gradi di complessità. Per maggiore chiarezza i singoli accantonamenti sono illustrati mediante grafici. Dopo aver letto questo articolo, avrai una comprensione completa della portata di una funzione.

Cominciamo con le definizioni di base.

Definizione 1

L'insieme dei valori di una funzione y = f (x) su un certo intervallo x è l'insieme di tutti i valori che questa funzione assume durante l'iterazione su tutti i valori x ∈ X.

Definizione 2

L'intervallo di valori di una funzione y = f (x) è l'insieme di tutti i suoi valori che può assumere durante la ricerca tra i valori di x nell'intervallo x ∈ (f).

L'intervallo di valori di una determinata funzione è solitamente indicato con E (f).

Si noti che il concetto di insieme di valori di una funzione non è sempre identico al suo intervallo di valori. Questi concetti saranno equivalenti solo se l'intervallo dei valori di x nel trovare un insieme di valori coincide con il dominio di definizione della funzione.

È anche importante distinguere tra l'intervallo di valori e l'intervallo di valori accettabili della variabile x per l'espressione a destra y = f (x). L'intervallo di valori consentiti x per l'espressione f (x) sarà il dominio di definizione di questa funzione.

Di seguito è riportata un'illustrazione che mostra alcuni esempi. Le linee blu sono grafici di funzioni, le linee rosse sono asintoti, i punti rossi e le linee sull'asse delle ordinate sono intervalli di funzioni.

Ovviamente l'intervallo dei valori di una funzione può essere ottenuto proiettando il grafico della funzione sull'asse O y. Inoltre può rappresentare sia un singolo numero che un insieme di numeri, un segmento, un intervallo, un raggio aperto, un'unione di intervalli numerici, ecc.

Diamo un'occhiata ai modi principali per trovare l'intervallo di valori di una funzione.

Cominciamo definendo l'insieme dei valori della funzione continua y = f (x) su un certo segmento indicato [ a ; B ] . Sappiamo che una funzione continua su un certo segmento raggiunge su di esso il suo minimo e il suo massimo, cioè il massimo m a x x ∈ a ; b f (x) e il valore più piccolo m i n x ∈ a ; bf(x) . Ciò significa che otteniamo un segmento m i n x ∈ a ; bf(x); m un x x ∈ un ; b f(x) , che conterrà gli insiemi di valori della funzione originale. Quindi tutto ciò che dobbiamo fare è trovare i punti minimo e massimo indicati su questo segmento.

Prendiamo un problema in cui dobbiamo determinare l'intervallo dei valori dell'arcoseno.

Esempio 1

Condizione: trova l'intervallo di valori y = a r c sin x .

Soluzione

Nel caso generale il dominio di definizione dell'arcoseno si trova sul segmento [ - 1 ; 1] . Dobbiamo determinare il valore più grande e più piccolo della funzione specificata su di esso.

y " = a rc sin x " = 1 1 - x 2

Sappiamo che la derivata della funzione sarà positiva per tutti i valori di x situati nell'intervallo [ - 1 ; 1], cioè in tutto il dominio di definizione la funzione arcoseno aumenterà. Ciò significa che assumerà il valore più piccolo quando x è uguale a - 1 e il valore più grande quando x è uguale a 1.

m io n x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - π 2 m a x x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin 1 = π 2

Pertanto, l'intervallo di valori della funzione arcoseno sarà uguale a E (a rc sin x) = - π 2; π2.

Risposta: E (a rc sin x) = - π 2 ; π2

Esempio 2

Condizione: calcolare l'intervallo di valori y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 sull'intervallo dato [ 1 ; 4] .

Soluzione

Tutto quello che dobbiamo fare è calcolare il valore più grande e quello più piccolo della funzione in un dato intervallo.

Per determinare i punti estremi è necessario effettuare i seguenti calcoli:

y " = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 " = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1; 4 e l e 4 x 2 - 15 x + 12 = 0 D = - 15 2 - 4 4 12 = 33 x 2 = 15 - 33 8 ≈ 1. 16 ∈ 1; 4 ; x 3 = 15 + 33 8 ≈ 2 , 59 ∈ 1 ; 4

Troviamo ora i valori della funzione data alle estremità del segmento e ai punti x 2 = 15 - 33 8; x3 = 15+338:

y (1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 512 ≈ 2. 08 y 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 · 15 + 33 8 3 + 6 · 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 y (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32

Ciò significa che l'insieme dei valori della funzione sarà determinato dal segmento 117 - 165 33 512; 32.

Risposta: 117 - 165 33 512 ; 32 .

Passiamo a trovare l'insieme dei valori della funzione continua y = f (x) negli intervalli (a ; b), e a ; +∞, -∞; b, -∞; + ∞ .

Iniziamo determinando i punti più grandi e più piccoli, nonché gli intervalli di aumento e diminuzione su un dato intervallo. Successivamente dovremo calcolare i limiti unilaterali alle estremità dell'intervallo e/o i limiti all'infinito. In altre parole, dobbiamo determinare il comportamento della funzione in determinate condizioni. Abbiamo tutti i dati necessari per questo.

Esempio 3

Condizione: calcolare l'intervallo della funzione y = 1 x 2 - 4 sull'intervallo (- 2 ; 2) .

Soluzione

Determina il valore più grande e più piccolo di una funzione su un dato segmento

y " = 1 x 2 - 4 " = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2)

Abbiamo ottenuto un valore massimo pari a 0, poiché è a questo punto che il segno della funzione cambia e il grafico inizia a decrescere. Vedi l'illustrazione:

Cioè, y (0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 sarà il valore massimo della funzione.

Determiniamo ora il comportamento della funzione per una x che tende a -2 a destra e +2 a sinistra. In altre parole, troviamo limiti unilaterali:

lim x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 · 1 + 0 = - ∞ lim x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = - ∞

Si scopre che i valori della funzione aumenteranno da meno infinito a - 1 4 quando l'argomento cambia da - 2 a 0. E quando l'argomento cambia da 0 a 2, i valori della funzione diminuiscono verso meno infinito. Di conseguenza, l'insieme dei valori di una data funzione sull'intervallo di cui abbiamo bisogno sarà (- ∞ ; - 1 4 ] .

Risposta: (- ∞ ; - 1 4 ] .

Esempio 4

Condizione: indicare l'insieme dei valori y = t g x su un dato intervallo - π 2; π2.

Soluzione

Sappiamo che nel caso generale la derivata della tangente è - π 2; π 2 sarà positivo, cioè la funzione aumenterà. Ora determiniamo come si comporta la funzione entro i limiti dati:

lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞

Abbiamo ottenuto un aumento dei valori della funzione da meno infinito a più infinito quando l'argomento cambia da - π 2 a π 2, e possiamo dire che l'insieme delle soluzioni di questa funzione sarà l'insieme di tutti i numeri reali .

Risposta: - ∞ ; + ∞ .

Esempio 5

Condizione: determinare l'intervallo della funzione logaritmo naturale y = ln x.

Soluzione

Sappiamo che questa funzione è definita per valori positivi dell'argomento D(y)=0; + ∞ . La derivata su un dato intervallo sarà positiva: y " = ln x " = 1 x . Ciò significa che la funzione aumenta su di esso. Successivamente dobbiamo definire un limite unilaterale per il caso in cui l'argomento tende a 0 (a destra) e quando x va all'infinito:

lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞

Abbiamo scoperto che i valori della funzione aumenteranno da meno infinito a più infinito man mano che i valori di x cambiano da zero a più infinito. Ciò significa che l'insieme di tutti i numeri reali è l'intervallo di valori della funzione logaritmo naturale.

Risposta: l'insieme di tutti i numeri reali è l'intervallo di valori della funzione logaritmo naturale.

Esempio 6

Condizione: determinare l'intervallo della funzione y = 9 x 2 + 1 .

Soluzione

Questa funzione è definita a condizione che x sia un numero reale. Calcoliamo i valori più grandi e più piccoli della funzione, nonché gli intervalli del suo aumento e diminuzione:

y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0

Di conseguenza, abbiamo determinato che questa funzione diminuirà se x ≥ 0; aumentare se x ≤ 0 ; ha un punto massimo y (0) = 9 0 2 + 1 = 9 con variabile uguale a 0.

Vediamo come si comporta la funzione all'infinito:

lim x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0

È chiaro dalla documentazione che i valori della funzione in questo caso si avvicineranno asintoticamente a 0.

Riassumendo: quando l'argomento cambia da meno infinito a zero, i valori della funzione aumentano da 0 a 9. Quando i valori degli argomenti cambiano da 0 a più infinito, i valori della funzione corrispondente diminuiranno da 9 a 0. Lo abbiamo mostrato nella figura:

Mostra che l'intervallo di valori della funzione sarà l'intervallo E (y) = (0; 9]

Risposta: E(y) = (0; 9]

Se dobbiamo determinare l'insieme dei valori della funzione y = f (x) sugli intervalli [ a ; b) , (a ; b ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; b ] , allora bisognerà effettuare esattamente gli stessi studi. Per ora non analizzeremo questi casi: li incontreremo più avanti in i problemi.

Ma cosa succede se il dominio di definizione di una certa funzione è l'unione di più intervalli? Quindi dobbiamo calcolare gli insiemi di valori su ciascuno di questi intervalli e combinarli.

Esempio 7

Condizione: determinare quale sarà l'intervallo di valori y = x x - 2 .

Soluzione

Poiché il denominatore della funzione non deve essere ruotato su 0, allora D (y) = - ∞; 2 ∪ 2 ; + ∞ .

Cominciamo definendo l'insieme dei valori della funzione sul primo segmento - ∞; 2, che è una trave aperta. Sappiamo che la funzione su di esso diminuirà, cioè la derivata di questa funzione sarà negativa.

lim x → 2 - 0 x x - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ x x - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0

Quindi, nei casi in cui l'argomento cambia verso meno infinito, i valori della funzione si avvicineranno asintoticamente a 1. Se i valori di x cambiano da meno infinito a 2, allora i valori diminuiranno da 1 a meno infinito, cioè la funzione su questo segmento assumerà valori dall'intervallo - ∞; 1 . Escludiamo l'unità dalle nostre considerazioni, poiché i valori della funzione non la raggiungono, ma si avvicinano solo asintoticamente.

Per trave aperta 2; + ∞ eseguiamo esattamente le stesse azioni. Anche la funzione su di esso sta diminuendo:

lim x → 2 + 0 x x - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x x - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0

I valori della funzione su un dato segmento sono determinati dall'insieme 1; + ∞ . Ciò significa che l'intervallo di valori di cui abbiamo bisogno per la funzione specificata nella condizione sarà l'unione degli insiemi - ∞ ; 1 e 1; + ∞ .

Risposta: E(y) = - ∞ ; 1 ∪ 1 ; + ∞ .

Questo può essere visto nel grafico:

Un caso speciale sono le funzioni periodiche. Il loro intervallo di valori coincide con l'insieme di valori sull'intervallo che corrisponde al periodo di questa funzione.

Esempio 8

Condizione: determinare l'intervallo di valori di seno y = sin x.

Soluzione

Il seno è una funzione periodica e il suo periodo è 2 pi greco. Prendi il segmento 0; 2 π e vedere quale sarà l'insieme di valori su di esso.

y " = (sin x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z

Entro 0; 2 π la funzione avrà punti estremi π 2 ex = 3 π 2 . Calcoliamo a quali saranno uguali i valori della funzione al loro interno, così come ai confini del segmento, quindi scegliamo il valore più grande e quello più piccolo.

y (0) = sin 0 = 0 y π 2 = sin π 2 = 1 y 3 π 2 = sin 3 π 2 = - 1 y (2 π) = sin (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π peccato x = peccato 3 π 2 = - 1, max x ∈ 0; 2 π peccato x = peccato π 2 = 1

Risposta: E (peccato x) = - 1 ; 1 .

Se hai bisogno di conoscere le gamme di funzioni come potenza, esponenziale, logaritmica, trigonometrica, trigonometrica inversa, allora ti consigliamo di rileggere l'articolo sulle funzioni elementari di base. La teoria che qui presentiamo ci permette di verificare i valori ivi indicati. È consigliabile apprenderli perché spesso sono necessari per risolvere i problemi. Se conosci gli intervalli delle funzioni di base, puoi facilmente trovare gli intervalli delle funzioni che si ottengono da quelle elementari utilizzando una trasformazione geometrica.

Esempio 9

Condizione: determinare l'intervallo di valori y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 .

Soluzione

Sappiamo che il segmento da 0 a pi greco è l'intervallo dell'arcocoseno. In altre parole, E (a rc cos x) = 0; π o 0 ≤ a r c cos x ≤ π . Possiamo ottenere la funzione a r c cos x 3 + 5 π 7 dall'arco coseno spostandolo e allungandolo lungo l'asse O x, ma tali trasformazioni non ci daranno nulla. Ciò significa 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ π .

La funzione 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 può essere ottenuta dall'arco coseno a r c cos x 3 + 5 π 7 allungando lungo l'asse delle ordinate, cioè 0 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . La trasformazione finale è uno spostamento lungo l'asse O y di 4 valori. Di conseguenza, otteniamo una doppia disuguaglianza:

0 - 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4

Abbiamo scoperto che l'intervallo di valori di cui abbiamo bisogno sarà pari a E (y) = - 4; 3π - 4 .

Risposta: E(y) = - 4 ; 3π - 4 .

Scriveremo un altro esempio senza spiegazione, perché è del tutto simile al precedente.

Esempio 10

Condizione: calcola quale sarà l'intervallo della funzione y = 2 2 x - 1 + 3.

Soluzione

Riscriviamo la funzione specificata nella condizione come y = 2 · (2 ​​​​x - 1) - 1 2 + 3. Per una funzione di potenza y = x - 1 2 l'intervallo di valori sarà definito sull'intervallo 0; + ∞, cioè x - 1 2 > 0 . In questo caso:

2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3

Quindi E(y) = 3; + ∞ .

Risposta: E(y) = 3; + ∞ .

Ora vediamo come trovare l'intervallo di valori di una funzione che non è continua. Per fare ciò, dobbiamo dividere l'intera area in intervalli e trovare in ciascuno di essi insiemi di valori, quindi combinare ciò che otteniamo. Per comprenderlo meglio, ti consigliamo di rivedere i principali tipi di punti di interruzione della funzione.

Esempio 11

Condizione: data la funzione y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3. Calcolare il suo intervallo di valori.

Soluzione

Questa funzione è definita per tutti i valori di x. Analizziamolo per continuità con valori dell'argomento pari a - 3 e 3:

lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 sin x 2 - 4 = 2 sin - 3 2 - 4 = - 2 sin 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim x → - 3 - 0 f (x) ≠ lim x → - 3 + 0 f (x)

Abbiamo una discontinuità inamovibile del primo tipo quando il valore dell'argomento è - 3. Man mano che ci avviciniamo, i valori della funzione tendono a - 2 sin 3 2 - 4 , e poiché x tende a - 3 sul lato destro, i valori tenderanno a - 1 .

lim x → 3 - 0 f (x) = lim x → 3 - 0 (- 1) = 1 lim x → 3 + 0 f (x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞

Abbiamo una discontinuità inamovibile del secondo tipo al punto 3. Quando una funzione tende ad esso, i suoi valori si avvicinano a - 1, quando tende allo stesso punto a destra - a meno infinito.

Ciò significa che l'intero dominio di definizione di questa funzione è suddiviso in 3 intervalli (- ∞ ; - 3 ], (- 3 ; 3 ], (3 ; + ∞).

Nel primo abbiamo la funzione y = 2 sin x 2 - 4. Poiché - 1 ≤ sin x ≤ 1, otteniamo:

1 ≤ peccato x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2

Ciò significa che su un dato intervallo (- ∞ ; - 3 ] l'insieme dei valori della funzione è [ - 6 ; 2 ] .

Nel semiintervallo (- 3; 3 ], il risultato è una funzione costante y = - 1. Di conseguenza, l'intero insieme dei suoi valori in questo caso sarà ridotto a un numero - 1.

Al secondo intervallo 3 ; + ∞ abbiamo la funzione y = 1 x - 3 . È decrescente perché y " = - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:

lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0

Ciò significa che l'insieme dei valori della funzione originaria per x > 3 è l'insieme 0; + ∞ . Ora combiniamo i risultati: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; + ∞ .

Risposta: E(y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; + ∞ .

La soluzione è mostrata nel grafico:

Esempio 12

Condizione: esiste una funzione y = x 2 - 3 e x. Determinare l'insieme dei suoi valori.

Soluzione

È definito per tutti i valori degli argomenti che sono numeri reali. Determiniamo in quali intervalli questa funzione aumenterà e in quali diminuirà:

y " = x 2 - 3 e x " = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x

Sappiamo che la derivata diventerà 0 se x = - 1 e x = 3. Posizioniamo questi due punti sull'asse e scopriamo quali segni avrà la derivata sugli intervalli risultanti.

La funzione diminuirà di (- ∞ ; - 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞) e aumenterà di [ - 1 ; 3]. Il punto minimo sarà - 1, il massimo - 3.

Ora troviamo i valori della funzione corrispondente:

y (- 1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3

Consideriamo il comportamento della funzione all'infinito:

lim x → - ∞ x 2 - 3 e x = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 e x = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 - 3 " e x " = lim x → + ∞ 2 x e x = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x " (e x) " = 2 lim x → + ∞ 1 e x = 2 1 + ∞ = + 0

Per calcolare il secondo limite è stata utilizzata la regola di L'Hopital. Rappresentiamo l'avanzamento della nostra soluzione su un grafico.

Mostra che i valori della funzione diminuiranno da più infinito a - 2 e quando l'argomento cambia da meno infinito a - 1. Se cambia da 3 a più infinito, i valori diminuiranno da 6 e - 3 a 0, ma 0 non verrà raggiunto.

Pertanto, E(y) = [ - 2 e ; + ∞) .

Risposta: E(y) = [ - 2 e ; + ∞)

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Molti problemi ci portano a cercare un insieme di valori di funzione su un certo segmento o in tutto il dominio di definizione. Tali compiti includono varie valutazioni di espressioni e la risoluzione di disuguaglianze.

In questo articolo definiremo l'intervallo di valori di una funzione, considereremo i metodi per trovarlo e analizzeremo in dettaglio la soluzione di esempi da semplici a più complessi. Tutto il materiale sarà corredato di illustrazioni grafiche per maggiore chiarezza. Quindi questo articolo è una risposta dettagliata alla domanda su come trovare l'intervallo di una funzione.

Definizione.

L'insieme dei valori della funzione y = f(x) sull'intervallo Xè l'insieme di tutti i valori di una funzione che assume durante l'iterazione su tutti i .

Definizione.

Gamma di funzioni y = f(x)è l'insieme di tutti i valori di una funzione che assume quando si itera su tutti gli x dal dominio di definizione.

L'intervallo della funzione è indicato come E(f) .

L'intervallo di una funzione e l'insieme dei valori di una funzione non sono la stessa cosa. Considereremo questi concetti equivalenti se l'intervallo X nel trovare l'insieme dei valori della funzione y = f(x) coincide con il dominio di definizione della funzione.

Inoltre, non confondere l'intervallo della funzione con la variabile x per l'espressione a destra dell'uguaglianza y=f(x) . L'intervallo di valori ammessi della variabile x per l'espressione f(x) è il dominio di definizione della funzione y=f(x) .

La figura mostra diversi esempi.

I grafici delle funzioni sono mostrati con linee blu spesse, le linee rosse sottili sono asintoti, i punti rossi e le linee sull'asse Oy mostrano l'intervallo di valori della funzione corrispondente.

Come puoi vedere, l'intervallo dei valori di una funzione si ottiene proiettando il grafico della funzione sull'asse y. Può essere un singolo numero (primo caso), un insieme di numeri (secondo caso), un segmento (terzo caso), un intervallo (quarto caso), un raggio aperto (quinto caso), un'unione (sesto caso), ecc. .

Allora cosa devi fare per trovare l'intervallo di valori di una funzione?

Cominciamo dal caso più semplice: mostreremo come determinare l'insieme dei valori di una funzione continua y = f(x) sul segmento.

È noto che una funzione continua su un intervallo raggiunge su di esso i suoi valori massimo e minimo. Pertanto, l'insieme dei valori della funzione originale sul segmento sarà il segmento . Di conseguenza, il nostro compito si riduce a trovare i valori più grandi e più piccoli della funzione sul segmento.

Ad esempio, troviamo l'intervallo di valori della funzione arcoseno.

Esempio.

Specificare l'intervallo della funzione y = arcsinx .

Soluzione.

L'area di definizione dell'arcoseno è il segmento [-1; 1] . Troviamo il valore più grande e più piccolo della funzione su questo segmento.

La derivata è positiva per tutti gli x dell'intervallo (-1; 1), cioè la funzione arcoseno aumenta sull'intero dominio di definizione. Di conseguenza, assume il valore più piccolo in x = -1 e il valore più grande in x = 1.

Abbiamo ottenuto l'intervallo della funzione arcoseno .

Esempio.

Trova l'insieme dei valori della funzione sul segmento.

Soluzione.

Troviamo il valore più grande e più piccolo della funzione su un dato segmento.

Determiniamo i punti estremi appartenenti al segmento:

Calcoliamo i valori della funzione originale alle estremità del segmento e nei punti :

Pertanto, l'insieme dei valori di una funzione su un intervallo è l'intervallo .

Ora mostreremo come trovare l'insieme dei valori di una funzione continua y = f(x) negli intervalli (a; b), .

Per prima cosa determiniamo i punti estremi, gli estremi della funzione, gli intervalli di aumento e diminuzione della funzione su un dato intervallo. Successivamente, calcoliamo le estremità dell'intervallo e (o) i limiti all'infinito (ovvero studiamo il comportamento della funzione ai confini dell'intervallo o all'infinito). Questa informazione è sufficiente per trovare l'insieme dei valori della funzione su tali intervalli.

Esempio.

Definire l'insieme dei valori della funzione sull'intervallo (-2; 2).

Soluzione.

Troviamo i punti estremi della funzione che cadono nell'intervallo (-2; 2):

Punto x = 0 è un punto massimo, poiché la derivata cambia segno da più a meno passando per essa, e il grafico della funzione va da crescente a decrescente.

esiste un corrispondente massimo della funzione.

Scopriamo il comportamento della funzione quando x tende a -2 a destra e quando x tende a 2 a sinistra, cioè troviamo limiti unilaterali:

Cosa abbiamo ottenuto: quando l'argomento cambia da -2 a zero, i valori della funzione aumentano da meno infinito a meno un quarto (il massimo della funzione in x = 0), quando l'argomento cambia da zero a 2, il i valori della funzione diminuiscono fino a meno infinito. Pertanto, l'insieme dei valori della funzione sull'intervallo (-2; 2) è .

Esempio.

Specificare l'insieme di valori della funzione tangente y = tgx sull'intervallo.

Soluzione.

La derivata della funzione tangente sull'intervallo è positiva , che indica un aumento della funzione. Studiamo il comportamento della funzione ai confini dell'intervallo:

Pertanto, quando l'argomento cambia da a, i valori della funzione aumentano da meno infinito a più infinito, ovvero l'insieme dei valori tangenti su questo intervallo è l'insieme di tutti i numeri reali.

Esempio.

Trova l'intervallo della funzione logaritmo naturale y = lnx.

Soluzione.

La funzione logaritmo naturale è definita per valori positivi dell'argomento . Su questo intervallo la derivata è positiva , questo indica un aumento della funzione su di esso. Troviamo il limite unilaterale della funzione poiché l'argomento tende a zero a destra e il limite in cui x tende a più infinito:

Vediamo che man mano che x passa da zero a più infinito, i valori della funzione aumentano da meno infinito a più infinito. Pertanto, l'intervallo della funzione logaritmo naturale è l'intero insieme dei numeri reali.

Esempio.

Soluzione.

Questa funzione è definita per tutti i valori reali di x. Determiniamo i punti estremi, nonché gli intervalli di aumento e diminuzione della funzione.

Di conseguenza, la funzione diminuisce in , aumenta in , x = 0 è il punto massimo, il corrispondente massimo della funzione.

Consideriamo il comportamento della funzione all'infinito:

Pertanto, all'infinito i valori della funzione si avvicinano asintoticamente allo zero.

Abbiamo scoperto che quando l'argomento cambia da meno infinito a zero (il punto massimo), i valori della funzione aumentano da zero a nove (al massimo della funzione), e quando x cambia da zero a più infinito, la funzione i valori scendono da nove a zero.

Guarda il disegno schematico.

Ora è chiaramente visibile che l'intervallo di valori della funzione è .

Trovare l'insieme dei valori della funzione y = f(x) sugli intervalli richiede una ricerca simile. Non ci soffermeremo ora su questi casi in dettaglio. Li incontreremo di nuovo negli esempi seguenti.

Sia il dominio di definizione della funzione y = f(x) l'unione di più intervalli. Quando si trova l'intervallo di valori di tale funzione, vengono determinati gli insiemi di valori su ciascun intervallo e viene presa la loro unione.

Esempio.

Trova l'intervallo della funzione.

Soluzione.

Il denominatore della nostra funzione non dovrebbe andare a zero, cioè .

Innanzitutto, troviamo l'insieme dei valori della funzione sul raggio aperto.

Derivata di una funzione è negativo su questo intervallo, cioè la funzione diminuisce su di esso.

Abbiamo scoperto che poiché l’argomento tende a meno infinito, i valori della funzione si avvicinano asintoticamente all’unità. Quando x passa da meno infinito a due, i valori della funzione diminuiscono da uno a meno infinito, cioè nell'intervallo considerato la funzione assume un insieme di valori. Non includiamo l'unità, poiché i valori della funzione non la raggiungono, ma tendono solo asintoticamente ad essa a meno infinito.

Procediamo in modo analogo per la trave aperta.

In questo intervallo diminuisce anche la funzione.

L'insieme dei valori della funzione su questo intervallo è l'insieme .

Pertanto, l'intervallo di valori desiderato della funzione è l'unione degli insiemi e .

Illustrazione grafica.

Particolare attenzione dovrebbe essere prestata alle funzioni periodiche. L'intervallo di valori delle funzioni periodiche coincide con l'insieme di valori sull'intervallo corrispondente al periodo di questa funzione.

Esempio.

Trova l'intervallo della funzione seno y = sinx.

Soluzione.

Questa funzione è periodica con un periodo di due pi greco. Prendiamo un segmento e definiamo l'insieme di valori su di esso.

Il segmento contiene due punti estremi e .

Calcoliamo i valori della funzione in questi punti e sui confini del segmento selezioniamo i valori più piccolo e più grande:

Quindi, .

Esempio.

Trova l'intervallo di una funzione .

Soluzione.

Sappiamo che l'intervallo dell'arcocoseno è il segmento da zero a pi greco, cioè o in un altro post. Funzione può essere ottenuto da arccosx spostando e allungando lungo l'asse delle ascisse. Tali trasformazioni non influenzano l'intervallo di valori, pertanto, . Funzione ottenuto da allungandosi tre volte lungo l'asse Oy, cioè . E l'ultima fase della trasformazione è uno spostamento di quattro unità lungo l'ordinata. Questo ci porta a una doppia disuguaglianza

Pertanto, l'intervallo di valori richiesto è .

Diamo la soluzione ad un altro esempio, ma senza spiegazioni (non sono necessarie, poiché sono del tutto simili).

Esempio.

Definire l'intervallo di funzioni .

Soluzione.

Scriviamo la funzione originale nella forma . L'intervallo di valori della funzione di potenza è l'intervallo. Questo è, . Poi

Quindi, .

Per completare il quadro dovremmo parlare di trovare l’intervallo dei valori di una funzione che non è continua nel dominio di definizione. In questo caso, dividiamo il dominio di definizione in intervalli mediante punti di interruzione e troviamo insiemi di valori su ciascuno di essi. Combinando gli insiemi di valori risultanti, otteniamo l'intervallo di valori della funzione originale. Consigliamo di ricordare 3 a sinistra, i valori della funzione tendono a meno uno, e man mano che x tende a 3 a destra, i valori della funzione tendono a più infinito.

Pertanto, dividiamo il dominio di definizione della funzione in tre intervalli.

Nell'intervallo abbiamo la funzione . Da allora

Pertanto, l'insieme dei valori della funzione originale sull'intervallo è [-6;2] .

Sul semiintervallo abbiamo una funzione costante y = -1. Cioè, l'insieme dei valori della funzione originale sull'intervallo è costituito da un unico elemento.

La funzione è definita per tutti i valori di argomento validi. Scopriamo gli intervalli di aumento e diminuzione della funzione.

La derivata svanisce in x=-1 e x=3. Segniamo questi punti sulla linea numerica e determiniamo i segni della derivata sugli intervalli risultanti.

La funzione diminuisce di , aumenta di [-1; 3] , x=-1 punto minimo, x=3 punto massimo.

Calcoliamo il minimo e il massimo corrispondenti della funzione:

Controlliamo il comportamento della funzione all'infinito:

Il secondo limite è stato calcolato utilizzando .

Facciamo un disegno schematico.

Quando l'argomento cambia da meno infinito a -1, i valori della funzione diminuiscono da più infinito a -2e, quando l'argomento cambia da -1 a 3, i valori della funzione aumentano da -2e a, quando l'argomento cambia da Da 3 a più infinito, i valori della funzione diminuiscono da zero, ma non raggiungono lo zero.