Formule di trigonometria 10. Formule di trigonometria di base

13.03.2022

In questa pagina troverai tutte le formule trigonometriche di base che ti aiuteranno a risolvere tantissimi esercizi, semplificando notevolmente l'espressione stessa.

Le formule trigonometriche sono uguaglianze matematiche per funzioni trigonometriche che sono soddisfatte per tutti i valori validi dell'argomento.

Le formule specificano le relazioni tra le funzioni trigonometriche di base: seno, coseno, tangente, cotangente.

Il seno di un angolo è la coordinata y di un punto (ordinata) sulla circonferenza unitaria. Il coseno di un angolo è la coordinata x di un punto (ascissa).

Tangente e cotangente sono, rispettivamente, i rapporti tra seno e coseno e viceversa.
`peccato\\alfa,\cos\\alfa`
`tg \ \alpha=\frac(sin\ \alpha)(cos \ \alpha),` ` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \ n \in Z`
`ctg \ \alpha=\frac(cos\ \alpha)(sin\ \alpha),` ` ` \alpha\ne\pi+\pi n, \n \in Z`

E due che vengono usati meno spesso: secante, cosecante. Rappresentano i rapporti tra 1 e coseno e seno.

`sec \ \alpha=\frac(1)(cos\ \alpha),` ` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n,\ n \in Z`
`cosec \ \alpha=\frac(1)(sin \ \alpha),` ` ` \alpha\ne\pi+\pi n,\ n \in Z`

Dalle definizioni delle funzioni trigonometriche è chiaro quali segni hanno in ciascun quadrante. Il segno della funzione dipende solo dal quadrante in cui si trova l'argomento.

Quando si cambia il segno dell'argomento da “+” a “-”, solo la funzione coseno non cambia il suo valore. Si chiama pari. Il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse delle ordinate.

Le restanti funzioni (seno, tangente, cotangente) sono dispari. Quando si cambia il segno dell'argomento da “+” a “-”, anche il loro valore cambia in negativo. I loro grafici sono simmetrici rispetto all'origine.

`peccato(-\alfa)=-peccato \ \alfa`
`cos(-\alfa)=cos \ \alfa`
`tg(-\alpha)=-tg \ \alpha`
`ctg(-\alpha)=-ctg \ \alpha`

Identità trigonometriche di base

Le identità trigonometriche di base sono formule che stabiliscono una connessione tra funzioni trigonometriche di un angolo (`sin\\alpha,\cos\\alpha,\tg\\alpha,\ctg\\alpha`) e che consentono di trovare il valore di ciascuna di queste funzioni attraverso qualsiasi altra conosciuta.
`peccato^2 \alpha+cos^2 \alpha=1`
`tg \ \alpha \cdot ctg \ \alpha=1, \ \alpha\ne\frac(\pi n) 2, \n \in Z`
`1+tg^2 \alpha=\frac 1(cos^2 \alpha)=sec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n,\n \in Z`
`1+ctg^2 \alpha=\frac 1(sin^2 \alpha)=cosec^2 \alpha,` ` ` \alpha\ne\pi n, \n \in Z`

Formule per la somma e la differenza degli angoli delle funzioni trigonometriche

Le formule per aggiungere e sottrarre argomenti esprimono le funzioni trigonometriche della somma o della differenza di due angoli in termini di funzioni trigonometriche di questi angoli.
`sin(\alpha+\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta+cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`sin(\alpha-\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta-cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha+\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta-sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha-\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta+sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`tg(\alpha+\beta)=\frac(tg \ \alpha+tg \ \beta)(1-tg \ \alpha\ tg \ \beta)`
`tg(\alpha-\beta)=\frac(tg \ \alpha-tg \ \beta)(1+tg \ \alpha \ tg \ \beta)`
`ctg(\alpha+\beta)=\frac(ctg \ \alpha \ ctg \ \beta-1)(ctg \ \beta+ctg \ \alpha)`
`ctg(\alpha-\beta)=\frac(ctg \ \alpha\ ctg \ \beta+1)(ctg \ \beta-ctg \ \alpha)`

Formule del doppio angolo

`sin \ 2\alpha=2 \ sin \ \alpha \cos \ \alpha=` `\frac (2 \ tg \ \alpha)(1+tg^2 \alpha)=\frac (2 \ ctg \ \alpha )(1+ctg^2 \alpha)=` `\frac 2(tg \ \alpha+ctg \ \alpha)`
`cos\2\alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha=` `1-2 \sin^2 \alpha=2 \cos^2 \alpha-1=` `\frac(1-tg^ 2\alpha)(1+tg^2\alpha)=\frac(ctg^2\alpha-1)(ctg^2\alpha+1)=` `\frac(ctg \ \alpha-tg \ \alpha) (ctg \ \alpha+tg \ \alpha)`
`tg \ 2\alpha=\frac(2 \ tg \ \alpha)(1-tg^2 \alpha)=` `\frac(2 \ ctg \ \alpha)(ctg^2 \alpha-1)=` `\frac 2(\ctg \ \alpha-tg \ \alpha)`
`ctg \ 2\alpha=\frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ctg \ \alpha)=` `\frac (\ctg \ \alpha-tg \ \alpha)2`

Formule del triplo angolo

`sin \ 3\alpha=3 \ sin \ \alpha-4sin^3 \alpha`
`cos \ 3\alpha=4cos^3 \alpha-3 \ cos \ \alpha`
`tg \ 3\alpha=\frac(3 \ tg \ \alpha-tg^3 \alpha)(1-3 \ tg^2 \alpha)`
`ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha-3 \ ctg \ \alpha)(3 \ ctg^2 \alpha-1)`

Formule del mezzo angolo

`peccato \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)2)`
`cos \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)2)`
`tg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)(1+cos \ \alpha))=` `\frac (sin \ \alpha)(1+cos \ \ alpha)=\frac (1-cos \ \alpha)(sin \ \alpha)`
`ctg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)(1-cos \ \alpha))=` `\frac (sin \ \alpha)(1-cos \ \ alpha)=\frac (1+cos \ \alpha)(sin \ \alpha)`

Le formule per argomenti mezzi, doppi e tripli esprimono le funzioni `sin, \cos, \tg, \ctg` di questi argomenti (`\frac(\alpha)2, \2\alpha, \3\alpha,... ` ) attraverso l'argomento di queste funzioni "\alpha".

La loro conclusione può essere ottenuta dal gruppo precedente (addizione e sottrazione di argomenti). Ad esempio, le identità a doppio angolo si ottengono facilmente sostituendo `\beta` con `\alpha`.

Formule di riduzione dei gradi

Le formule dei quadrati (cubi, ecc.) delle funzioni trigonometriche consentono di passare da 2,3,... gradi a funzioni trigonometriche di primo grado, ma con più angoli (`\alpha, \3\alpha, \... ` o `2\alfa, \ 4\alfa, \...`).
`sin^2 \alpha=\frac(1-cos \ 2\alpha)2,` ` (sin^2 \frac \alpha 2=\frac(1-cos \ \alpha)2)`
`cos^2 \alpha=\frac(1+cos \ 2\alpha)2,` ` (cos^2 \frac \alpha 2=\frac(1+cos \ \alpha)2)`
`sin^3 \alpha=\frac(3sin \ \alpha-sin \ 3\alpha)4`
`cos^3 \alpha=\frac(3cos \ \alpha+cos \ 3\alpha)4`
`peccato^4 \alpha=\frac(3-4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8`
`cos^4 \alpha=\frac(3+4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8`

Formule per la somma e la differenza delle funzioni trigonometriche

Le formule sono trasformazioni della somma e della differenza di funzioni trigonometriche di argomenti diversi in un prodotto.

`sin \ \alpha+sin \ \beta=` `2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ cos \frac(\alpha-\beta)2`
`sin \ \alpha-sin \ \beta=` `2 \cos \frac(\alpha+\beta)2 \sin \frac(\alpha-\beta)2`
`cos \ \alpha+cos \ \beta=` `2 \cos \frac(\alpha+\beta)2 \cos \frac(\alpha-\beta)2`
`cos \ \alpha-cos \ \beta=` `-2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ sin \frac(\alpha-\beta)2=` `2 \ sin \frac(\alpha+\ beta)2\sin\frac(\beta-\alpha)2`
`tg \ \alpha \pm tg \ \beta=\frac(sin(\alpha \pm \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta)`
`ctg \ \alpha \pm ctg \ \beta=\frac(sin(\beta \pm \alpha))(sin \ \alpha \ sin \ \beta)`
`tg \ \alpha \pm ctg \ \beta=` `\pm \frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ sin \ \beta)`

Qui avviene la trasformazione dell'addizione e della sottrazione di funzioni di un argomento in un prodotto.

`cos \ \alpha+sin \ \alpha=\sqrt(2) \cos (\frac(\pi)4-\alpha)`
`cos \ \alpha-sin \ \alpha=\sqrt(2) \ sin (\frac(\pi)4-\alpha)`
`tg \ \alpha+ctg \ \alpha=2 \cosec \2\alpha;` `tg \ \alpha-ctg \ \alpha=-2 \ctg \2\alpha`

Le seguenti formule convertono la somma e la differenza di uno e di una funzione trigonometrica in un prodotto.

`1+cos \ \alpha=2 \cos^2 \frac(\alpha)2`
`1-cos \ \alpha=2 \ sin^2 \frac(\alpha)2`
`1+sen \ \alpha=2 \ cos^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)`
`1-sin \ \alpha=2 \ sin^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)`
`1 \pm tg \ \alpha=\frac(sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \frac(\pi)4 \cos \ \alpha)=` `\frac(\sqrt (2) sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \ \alpha)`
`1 \pm tg \ \alpha \ tg \ \beta=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta);` ` \ctg \ \alpha \ctg \ \ beta \pm 1=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(sin \ \alpha \ sin \ \beta)`

Formule per convertire i prodotti di funzioni

Formule per convertire il prodotto di funzioni trigonometriche con argomenti `\alpha` e `\beta` nella somma (differenza) di questi argomenti.
`sin \ \alpha \ sin \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(2)`
`sin\alpha \cos\beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(2)`
`cos \ \alpha \cos \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(2)`
`tg \ \alpha \ tg \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \ beta)) =` `\frac(tg \ \alpha + tg \ \beta)(ctg \ \alpha + ctg \ \beta)`
`ctg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \ beta)) =` `\frac(ctg \ \alpha + ctg \ \beta)(tg \ \alpha + tg \ \beta)`
`tg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(sin(\alpha + \beta)-sin(\alpha - \ beta))`

Sostituzione trigonometrica universale

Queste formule esprimono funzioni trigonometriche in termini di tangente di un semiangolo.
`sin \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha\ne \pi +2\ pi n, n \in Z`
`cos \ \alpha= \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ ne \pi +2\pi n, n \in Z`
`tg \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ne \pi +2\ pi n, n \in Z,` ` \alpha \ne \frac(\pi)(2)+ \pi n, n \in Z`
`ctg \ \alpha = \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(2tg\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ne \pi n, n \in Z,` `\alpha \ne \pi + 2\pi n, n \in Z`

Formule di riduzione

Le formule di riduzione possono essere ottenute utilizzando proprietà delle funzioni trigonometriche come la periodicità, la simmetria e la proprietà di spostamento di un dato angolo. Consentono di convertire funzioni con un angolo arbitrario in funzioni il cui angolo è compreso tra 0 e 90 gradi.

Per l'angolo (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) o (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 — \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Per l'angolo (`\pi \pm \alpha`) o (`180^\circ \pm \alpha`):
`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Per l'angolo (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) o (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Per l'angolo (`2\pi \pm \alpha`) o (`360^\circ \pm \alpha`):
`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Esprimere alcune funzioni trigonometriche in termini di altre

`sin \ \alpha=\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha)=` `\frac(tg \ \alpha)(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac 1( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))`
`cos \ \alpha=\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha)=` `\frac 1(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac (ctg \ \alpha)( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))`
`tg \ \alpha=\frac (sin \ \alpha)(\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))=` `\frac (\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha))( cos\\alfa)=\frac 1(ctg\\alfa)`
`ctg \ \alpha=\frac (\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))(sin \ \alpha)=` `\frac (cos \ \alpha)(\pm \sqrt(1-cos^ 2 \alpha))=\frac 1(tg \ \alpha)`

La trigonometria si traduce letteralmente in “triangoli misuratori”. Inizia a essere studiato a scuola e continua più in dettaglio nelle università. Pertanto, sono necessarie le formule di base della trigonometria a partire dal grado 10, nonché per superare l'Esame di Stato Unificato. Denotano connessioni tra funzioni e poiché esistono molte di queste connessioni, esistono molte formule stesse. Non è facile ricordarli tutti e non è necessario: se necessario, possono essere visualizzati tutti.

Le formule trigonometriche vengono utilizzate nel calcolo integrale, nonché nelle semplificazioni, nei calcoli e nelle trasformazioni trigonometriche.

Trigonometria, formule trigonometriche

Vengono fornite le relazioni tra le funzioni trigonometriche di base: seno, coseno, tangente e cotangente formule trigonometriche. E poiché ci sono molte connessioni tra le funzioni trigonometriche, questo spiega l'abbondanza di formule trigonometriche. Alcune formule collegano funzioni trigonometriche dello stesso angolo, altre - funzioni di un angolo multiplo, altre - consentono di ridurre il grado, la quarta - esprime tutte le funzioni attraverso la tangente di un semiangolo, ecc.

In questo articolo elencheremo in ordine tutte le formule trigonometriche di base, sufficienti a risolvere la stragrande maggioranza dei problemi di trigonometria. Per facilità di memorizzazione e utilizzo, li raggrupperemo per scopo e li inseriremo in tabelle.

Identità trigonometriche di base definire la relazione tra seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo. Derivano dalla definizione di seno, coseno, tangente e cotangente, nonché dal concetto di circonferenza unitaria. Permettono di esprimere una funzione trigonometrica in termini di qualsiasi altra.

Per una descrizione dettagliata di queste formule trigonometriche, la loro derivazione ed esempi di applicazione, vedere l'articolo identità trigonometriche di base.

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Formule di riduzione

Formule di riduzione derivano dalle proprietà di seno, coseno, tangente e cotangente, cioè riflettono la proprietà della periodicità delle funzioni trigonometriche, la proprietà della simmetria, nonché la proprietà dello spostamento di un dato angolo. Queste formule trigonometriche ti consentono di passare dal lavorare con angoli arbitrari al lavorare con angoli compresi tra zero e 90 gradi.

La logica di queste formule, una regola mnemonica per memorizzarle ed esempi della loro applicazione possono essere studiate nelle formule di riduzione degli articoli.

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Formule di addizione

Formule di addizione trigonometriche mostrare come le funzioni trigonometriche della somma o della differenza di due angoli sono espresse in termini di funzioni trigonometriche di quegli angoli. Queste formule servono come base per derivare le seguenti formule trigonometriche.

Per ulteriori informazioni, vedere l'articolo Formule di addizione.

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Formule per doppio, triplo, ecc. angolo

Formule per doppio, triplo, ecc. angolo (sono anche chiamate formule di angoli multipli) mostrano come le funzioni trigonometriche di doppio, triplo, ecc. gli angoli () sono espressi in termini di funzioni trigonometriche di un singolo angolo. La loro derivazione si basa su formule di addizione.

Informazioni più dettagliate sono raccolte nell'articolo formule doppie, triple, ecc. angolo.

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Formule del mezzo angolo

Formule del mezzo angolo mostrare come le funzioni trigonometriche di un semiangolo sono espresse in termini di coseno di un angolo intero. Queste formule trigonometriche derivano dalle formule del doppio angolo.

La loro conclusione ed esempi di applicazione possono essere trovati nell'articolo sulle formule del semiangolo.

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Formule di riduzione dei gradi

Formule trigonometriche per ridurre i gradi sono progettati per facilitare il passaggio dalle potenze naturali delle funzioni trigonometriche ai seni e coseni di primo grado, ma ad angoli multipli. In altre parole, permettono di ridurre le potenze delle funzioni trigonometriche alla prima.

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Formule per la somma e la differenza delle funzioni trigonometriche

Lo scopo principale formule per la somma e la differenza delle funzioni trigonometriche consiste nel passare al prodotto di funzioni, cosa molto utile per semplificare le espressioni trigonometriche. Queste formule sono ampiamente utilizzate anche per risolvere equazioni trigonometriche, poiché consentono di fattorizzare la somma e la differenza di seni e coseni.

Per la derivazione delle formule, nonché esempi della loro applicazione, vedere l'articolo formule per la somma e la differenza di seno e coseno.

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Formule per il prodotto di seni, coseni e seno per coseno

La transizione dal prodotto di funzioni trigonometriche a una somma o differenza viene effettuata utilizzando le formule per il prodotto di seni, coseni e seno per coseno.

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Sostituzione trigonometrica universale

Completiamo la nostra rassegna delle formule di base della trigonometria con formule che esprimono le funzioni trigonometriche in termini di tangente di un semiangolo. Questa sostituzione è stata chiamata sostituzione trigonometrica universale. La sua comodità sta nel fatto che tutte le funzioni trigonometriche sono espresse in termini di tangente di un semiangolo razionalmente senza radici.

Per informazioni più complete, vedere l'articolo sostituzione trigonometrica universale.

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Algebra: Manuale per la 9a elementare. media scuola/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky. - M.: Education, 1990. - 272 pp.: illustrato - ISBN 5-09-002727-7
Bashmakov M.I. Algebra e gli inizi dell'analisi: libro di testo. per le classi 10-11. media scuola — 3a ed. - M.: Educazione, 1993. - 351 p.: ill. — ISBN 5-09-004617-4.
Algebra e l'inizio dell'analisi: Proc. per le classi 10-11. educazione generale istituzioni / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn e altri; Ed. A. N. Kolmogorov. - 14a edizione - M.: Education, 2004. - 384 pagine: illustrato - ISBN 5-09-013651-3.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematica (manuale per chi accede alle scuole tecniche): Proc. indennità.- M.; Più alto scuola, 1984.-351 p., ill.

Formule trigonometriche- queste sono le formule più necessarie in trigonometria, necessarie per esprimere le funzioni trigonometriche eseguite per qualsiasi valore dell'argomento.

Formule di addizione.

peccato (α + β) = peccato α cos β + peccato β cos α

peccato (α - β) = peccato α cos β - peccato β cos α

cos (α + β) = cos α · cos β — sin α · sin β

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 - tg α · tg β)

tg (α - β) = (tg α - tg β) ÷ (1 + tg α · tg β)

ctg (α + β) = (ctg α · ctg β + 1) ÷ (ctg β - ctg α)

ctg (α - β) = (ctg α · ctg β - 1) ÷ (ctg β + ctg α)

Formule del doppio angolo.

cos2α = cos²α -peccato²α

cos2α = 2cos²α — 1

cos2α = 1 - 2 sin²α

peccato 2α = 2 peccatoα cosα

tg2α = (2tgα) ÷ (1 - tg²α)

ctg 2α = (ctg²α — 1) ÷ (2ctgα )

Formule del triplo angolo.

peccato 3α = 3senα – 4sen³α

cos 3α = 4cos³α - 3cosα

tg3α = (3tgα — tg³α ) ÷ (1 — 3tg²α )

ctg 3α = (3ctg α - ctg³ α) ÷ (1 - 3ctg² α)

Formule del mezzo angolo.

Formule di riduzione.

Funzione/angolo in rad.	π/2 - α	π/2 + α			3π/2 - α	3π/2 + α	2π - α	2π+α




Funzione/angolo in °	90° -α	90°+α	180° -α	180°+α	270° -α	270°+α	360° -α	360°+α

Descrizione dettagliata delle formule di riduzione.

Formule trigonometriche di base.

Identità trigonometrica di base:

peccato 2 α+cos 2 α=1

Questa identità è il risultato dell'applicazione del teorema di Pitagora a un triangolo nel cerchio trigonometrico unitario.

La relazione tra coseno e tangente è:

1/cos 2 α−tan 2 α=1 o sec 2 α−tan 2 α=1.

Questa formula è una conseguenza dell'identità trigonometrica di base e si ottiene da essa dividendo i lati sinistro e destro per cos2α. Si presume che α≠π/2+πn,n∈Z.

Relazione tra seno e cotangente:

1/sin 2 α−cot 2 α=1 oppure csc 2 α−cot 2 α=1.

Questa formula deriva anche dall'identità trigonometrica di base (ottenuta da essa dividendo i lati sinistro e destro per sin2α. Qui si presume che α≠πn,n∈Z.

Definizione di tangente:

tanα=senα/cosα,

Dove α≠π/2+πn,n∈Z.

Definizione di cotangente:

cotα=cosα/senα,

Dove α≠πn,n∈Z.

Corollario dalle definizioni di tangente e cotangente:

tanα⋅ cotα=1,

Dove α≠πn/2,n∈Z.

Definizione di secante:

secα=1/cosα,α≠π/2+πn,n∈ Z

Definizione di cosecante:

cscα=1/senα,α≠πn,n∈ Z

Disuguaglianze trigonometriche.

Le disuguaglianze trigonometriche più semplici:

sinx > a, sinx ≥ a, sinx< a, sinx ≤ a,

cosx > a, cosx ≥ a, cosx< a, cosx ≤ a,

tanx > a, tanx ≥ a, tanx< a, tanx ≤ a,

cotx > a, cotx ≥ a, cotx< a, cotx ≤ a.

Quadrati di funzioni trigonometriche.

Formule per i cubi di funzioni trigonometriche.

TrigonometriaMatematica. Trigonometria. Formule. Geometria. Teoria

Abbiamo esaminato le funzioni trigonometriche più basilari (non fatevi ingannare, oltre a seno, coseno, tangente e cotangente, ci sono molte altre funzioni, ma ne parleremo più avanti), ma per ora diamo un'occhiata ad alcune proprietà di base delle funzioni già studiate.

Funzioni trigonometriche ad argomento numerico

Qualunque sia il numero reale t preso, può essere associato a un numero sin(t) definito in modo univoco.

È vero, la regola di corrispondenza è piuttosto complessa e consiste in quanto segue.

Per trovare il valore di sin(t) dal numero t, è necessario:

posizionare il cerchio numerico sul piano delle coordinate in modo che il centro del cerchio coincida con l'origine delle coordinate e il punto iniziale A del cerchio cada nel punto (1; 0);
trova un punto sul cerchio corrispondente al numero t;
trova l'ordinata di questo punto.
questa ordinata è il peccato(t) desiderato.

Stiamo infatti parlando della funzione s = sin(t), dove t è un numero reale qualsiasi. Sappiamo come calcolare alcuni valori di questa funzione (ad esempio sin(0) = 0, \(sin \frac (\pi)(6) = \frac(1)(2) \), ecc.) , conosciamo alcune delle sue proprietà.

Relazione tra funzioni trigonometriche

Come spero tu possa intuire, tutte le funzioni trigonometriche sono interconnesse e anche senza conoscere il significato di una, puoi trovarla attraverso un'altra.

Ad esempio, la formula più importante in tutta la trigonometria è identità trigonometrica di base:

\[ peccato^(2) t + cos^(2) t = 1 \]

Come puoi vedere, conoscendo il valore del seno, puoi trovare il valore del coseno, e anche viceversa.

Formule di trigonometria

Anche formule molto comuni che collegano seno e coseno con tangente e cotangente:

\[ \boxed (\tan\; t=\frac(\sin\; t)(\cos\; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (\cot\; t=\frac(\cos\; )(\sin\; ), \qquad t \neq \pi k) \]

Dalle ultime due formule si può derivare un'altra identità trigometrica, questa volta collegando tangente e cotangente:

\[ \boxed (\tan \; t \cdot \cot \; t = 1, \qquad t \neq \frac(\pi k)(2)) \]

Vediamo ora come funzionano queste formule nella pratica.

ESEMPIO 1. Semplificare l'espressione: a) \(1+ \tan^2 \; t \), b) \(1+ \cot^2 \; t \)

a) Innanzitutto scriviamo la tangente, mantenendo il quadrato:

\[ 1+ \tan^2 \; t = 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

\[ 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t)= \sin^2\; t + \cos^2\; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

Ora mettiamo tutto sotto un denominatore comune, e otteniamo:

\[ \peccato^2\; t + \cos^2\; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) = \frac(\cos^2 \; t + \sin^2 \; t)(\cos^2 \; t ) \]

E infine, come vediamo, il numeratore può essere ridotto a uno mediante l'identità trigonometrica principale, di conseguenza otteniamo: \[ 1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t) \]

b) Con la cotangente eseguiamo tutte le stesse azioni, solo che il denominatore non sarà più un coseno, ma un seno, e la risposta sarà così:

\[ 1+ \culla^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t) \]

Dopo aver completato questo compito, abbiamo ricavato altre due formule molto importanti che collegano le nostre funzioni, che dobbiamo conoscere come le nostre tasche:

\[ \boxed (1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t), \qquad t \neq \pi k) \]

Devi conoscere a memoria tutte le formule presentate, altrimenti un ulteriore studio della trigonometria senza di esse è semplicemente impossibile. In futuro ci saranno più formule e saranno tantissime e ti assicuro che sicuramente le ricorderai tutte per molto tempo, o forse non le ricorderai, ma queste sei cose dovrebbero saperle TUTTI!

Una tabella completa di tutte le formule di riduzione trigonometrica fondamentali e rare.

Qui puoi trovare le formule trigonometriche in una forma conveniente. E le formule di riduzione trigonometrica possono essere trovate in un'altra pagina.

Identità trigonometriche di base

— espressioni matematiche per funzioni trigonometriche, eseguite per ciascun valore dell'argomento.

sin² α + cos² α = 1
tg α lettino α = 1
tg α = sin α ÷ cos α
culla α = cos α ÷ sin α
1 + tg² α = 1 ÷ cos² α
1 + cotg² α = 1 ÷ sin² α

Formule di addizione

peccato (α + β) = peccato α cos β + peccato β cos α
peccato (α - β) = peccato α cos β - peccato β cos α
cos (α + β) = cos α · cos β — sin α · sin β
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 - tg α · tg β)
tg (α - β) = (tg α - tg β) ÷ (1 + tg α · tg β)
ctg (α + β) = (ctg α · ctg β + 1) ÷ (ctg β - ctg α)
ctg (α - β) = (ctg α · ctg β - 1) ÷ (ctg β + ctg α)

https://uchim.org/matematika/trigonometricheskie-formuly-uchim.org

Formule del doppio angolo

cos2α = cos²α - sin²α
cos2α = 2cos²α - 1
cos2α = 1 - 2sin²α
sin 2α = 2 sin α cos α
tg2α = (2tgα) ÷ (1 - tg²α)
ctg 2α = (ctg² α - 1) ÷ (2ctg α)

Formule del triplo angolo

peccato 3α = 3senα – 4sen³α
cos 3α = 4cos³ α – 3cos α
tg 3α = (3tg α - tg³ α) ÷ (1 - 3tg² α)
ctg 3α = (3ctg α - ctg³ α) ÷ (1 - 3ctg² α)

Formule di riduzione dei gradi

sin² α = (1 - cos 2α) ÷ 2
sin³ α = (3sen α – sin 3α) ÷ 4
cos²α = (1 + cos2α) ÷ 2
cos³ α = (3cos α + cos 3α) ÷ 4
sin² α · cos² α = (1 – cos 4α) ÷ 8
sin³ α · cos³ α = (3sen 2α – sin 6α) ÷ 32

Transizione dal prodotto alla somma

sin α cos β = ½ (sin (α + β) + sin (α - β))
sin α sin β = ½ (cos (α - β) - cos (α + β))
cos α cos β = ½ (cos (α - β) + cos (α + β))

Abbiamo elencato molte formule trigonometriche, ma se manca qualcosa, scrivi.

Tutto per studiare » Matematica a scuola » Formule trigonometriche - foglietto illustrativo

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Viene considerata in dettaglio la trasformazione di gruppi di soluzioni generali di equazioni trigonometriche. La terza sezione esamina le equazioni trigonometriche non standard, le cui soluzioni si basano sull'approccio funzionale.

Tutte le formule (equazioni) della trigonometria: sin(x) cos(x) tan(x) ctg(x)

La quarta sezione discute le disuguaglianze trigonometriche. Metodi per risolvere disuguaglianze trigonometriche elementari, sia sulla circonferenza unitaria che...

... angolo 1800-α= lungo l'ipotenusa e angolo acuto: => OB1=OB; A1B1=AB => x = -x1,y = y1=> Quindi, nel corso di geometria scolastica, il concetto di funzione trigonometrica viene introdotto con mezzi geometrici per la loro maggiore accessibilità. Lo schema metodologico tradizionale per lo studio delle funzioni trigonometriche è il seguente: 1) in primo luogo, le funzioni trigonometriche vengono determinate per un angolo acuto di un rettangolo...

... Compiti a casa 19(3.6), 20(2.4) Definizione degli obiettivi Aggiornamento delle conoscenze di base Proprietà delle funzioni trigonometriche Formule di riduzione Nuovo materiale Valori delle funzioni trigonometriche Risolvere le equazioni trigonometriche più semplici Consolidamento Risoluzione dei problemi Scopo della lezione: oggi calcoleremo il valori delle funzioni trigonometriche e risolvere...

... le ipotesi formulate necessarie per risolvere i seguenti problemi: 1. Individuare il ruolo delle equazioni e disequazioni trigonometriche nell'insegnamento della matematica; 2. Sviluppare una metodologia per sviluppare la capacità di risolvere equazioni e disequazioni trigonometriche, finalizzata allo sviluppo di concetti trigonometrici; 3. Testare sperimentalmente l'efficacia del metodo sviluppato. Per soluzioni…

Formule trigonometriche

Presentiamo alla vostra attenzione varie formule relative alla trigonometria.

(8) Cotangente del doppio angolo

cotg(2α) =

ctg 2 (α) - 1 2 ctg(α)

(9) Seno di un angolo triplo sin(3α) = 3sen(α)cos 2 (α) - sin 3 (α) (10) Coseno del triplo angolo cos(3α) = cos 3 (α) - 3cos(α)sen 2 (α) (11) Coseno della somma/differenza cos(α±β) = cos(α)cos(β) ∓ sin(α)sen(β) (12) Seno della somma/differenza sin(α±β) = sin(α)cos(β) ± cos(α)sen(β) (13) Tangente della somma/differenza (14) Cotangente della somma/differenza (15) Prodotto di seni sin(α)sen(β) = ½(cos(α-β) - cos(α+β)) (16) Prodotto di coseni cos(α)cos(β) = ½(cos(α+β) + cos(α-β)) (17) Prodotto di seno e coseno sin(α)cos(β) = ½(sin(α+β) + sin(α-β)) (18) Somma/differenza dei seni sin(α) ± sin(β) = 2sin(½(α±β))cos(½(α∓β)) (19) Somma dei coseni cos(α) + cos(β) = 2cos(½(α+β))cos(½(α-β)) (20) Differenza di coseni cos(α) - cos(β) = -2sin(½(α+β))sen(½(α-β)) (21) Somma/differenza di tangenti (22) Formula per ridurre il grado del seno sin 2 (α) = ½(1 - cos(2α)) (23) Formula per ridurre il grado del coseno cos 2 (α) = ½(1 + cos(2α)) (24) Somma/differenza di seno e coseno (25) Somma/differenza di seno e coseno con coefficienti (26) Relazione fondamentale tra arcoseno e arcocoseno arcosen(x) + arcocos(x) = π/2 (27) Relazione fondamentale tra arcotangente e arcotangente arctan(x) + arcctg(x) = π/2

Formule generali

- versione stampata

Definizioni Seno dell'angolo α (designazione peccato(α)) è il rapporto tra il cateto opposto all'angolo α rispetto all'ipotenusa. Coseno dell'angolo α (designazione cos(α)) è il rapporto tra il cateto adiacente all'angolo α e l'ipotenusa. Tangente dell'angolo α (designazione marrone chiaro(α)) è il rapporto tra il lato opposto e l'angolo α rispetto al lato adiacente. Una definizione equivalente è il rapporto tra il seno di un angolo α e il coseno dello stesso angolo - sin(α)/cos(α). Cotangente dell'angolo α (designazione cotg(α)) è il rapporto tra il cateto adiacente all'angolo α e quello opposto. Una definizione equivalente è il rapporto tra il coseno di un angolo α e il seno dello stesso angolo - cos(α)/sin(α). Altre funzioni trigonometriche: secante — sec(α) = 1/cos(α); cosecante - cosec(α) = 1/sen(α). Nota Non scriviamo specificamente il segno * (moltiplicazione) - dove due funzioni sono scritte di seguito, senza spazi, è implicito. Traccia Per derivare le formule per coseno, seno, tangente o cotangente di più angoli (4+), è sufficiente scriverle rispettivamente secondo le formule. coseno, seno, tangente o cotangente della somma, oppure ridurre ai casi precedenti, riducendo alle formule degli angoli tripli e doppi. Aggiunta Tabella dei derivati

Quando esegui conversioni trigonometriche, segui questi suggerimenti:

Non cercare di trovare immediatamente una soluzione all'esempio dall'inizio alla fine.
Non provare a convertire l'intero esempio in una volta. Fai piccoli passi avanti.
Ricorda che oltre alle formule trigonometriche in trigonometria, puoi comunque utilizzare tutte le trasformazioni algebriche corrette (parentesi tra parentesi, abbreviazioni di frazioni, formule di moltiplicazione abbreviate e così via).
Credi che andrà tutto bene.

Formule trigonometriche di base

La maggior parte delle formule in trigonometria vengono spesso utilizzate sia da destra a sinistra che da sinistra a destra, quindi è necessario imparare queste formule così bene da poter applicare facilmente alcune formule in entrambe le direzioni. Scriviamo prima le definizioni delle funzioni trigonometriche. Sia un triangolo rettangolo:

Quindi, la definizione di seno:

Definizione di coseno:

Definizione di tangente:

Definizione di cotangente:

Identità trigonometrica di base:

I corollari più semplici dall'identità trigonometrica di base:

Formule del doppio angolo. Seno del doppio angolo:

Coseno del doppio angolo:

Tangente del doppio angolo:

Cotangente del doppio angolo:

Ulteriori formule trigonometriche

Formule di addizione trigonometriche. Seno della somma:

Seno della differenza:

Coseno della somma:

Coseno della differenza:

Tangente della somma:

Tangente della differenza:

Cotangente dell'importo:

Cotangente della differenza:

Formule trigonometriche per convertire una somma in un prodotto. Somma dei seni:

Differenza seno:

Somma dei coseni:

Differenza dei coseni:

Somma delle tangenti:

Differenza tangente:

Somma di cotangenti:

Differenza cotangente:

Formule trigonometriche per convertire un prodotto in una somma. Prodotto dei seni:

Prodotto di seno e coseno:

Prodotto di coseni:

Formule di riduzione dei gradi.

Formule del mezzo angolo.

Formule di riduzione trigonometrica

Viene chiamata la funzione coseno cofunzione funzioni seno e viceversa. Allo stesso modo, le funzioni tangente e cotangente sono cofunzioni. Le formule di riduzione possono essere formulate come la seguente regola:

Se nella formula di riduzione viene sottratto (aggiunto) un angolo a 90 gradi o 270 gradi, allora la funzione ridotta si trasforma in una cofunzione;
Se nella formula di riduzione l'angolo viene sottratto (aggiunto) a 180 gradi o 360 gradi, viene mantenuto il nome della funzione ridotta;
In questo caso, il segno che ha la funzione ridotta (cioè originaria) nel quadrante corrispondente è posto davanti alla funzione ridotta, se consideriamo acuto l'angolo sottratto (aggiunto).

Formule di riduzione sono riportati in forma tabellare:

Di cerchio trigonometrico valori tabulari facili da determinare delle funzioni trigonometriche:

Equazioni trigonometriche

Per risolvere una determinata equazione trigonometrica, è necessario ridurla a una delle equazioni trigonometriche più semplici, che verrà discussa di seguito. Per questo:

Puoi utilizzare le formule trigonometriche fornite sopra. Allo stesso tempo, non è necessario provare a trasformare l'intero esempio in una volta, ma è necessario andare avanti a piccoli passi.
Non dobbiamo dimenticare la possibilità di trasformare alcune espressioni utilizzando metodi algebrici, ad es. ad esempio, prendi qualcosa tra parentesi o, al contrario, apri parentesi, riduci una frazione, applica una formula di moltiplicazione abbreviata, porta le frazioni a un denominatore comune e così via.
Quando risolvi le equazioni trigonometriche, puoi usare metodo di raggruppamento. Va ricordato che affinché il prodotto di più fattori sia uguale a zero, è sufficiente che uno qualsiasi di essi sia uguale a zero, e il resto esisteva.
Applicazione metodo di sostituzione delle variabili, come al solito, l'equazione dopo aver introdotto la sostituzione dovrebbe diventare più semplice e non contenere la variabile originale. È inoltre necessario ricordarsi di eseguire una sostituzione inversa.
Ricorda che le equazioni omogenee compaiono spesso in trigonometria.
Quando si aprono moduli o si risolvono equazioni irrazionali con funzioni trigonometriche, è necessario ricordare e tenere conto di tutte le sottigliezze della risoluzione delle equazioni corrispondenti con funzioni ordinarie.
Ricorda l'ODZ (nelle equazioni trigonometriche, le restrizioni sull'ODZ si riducono principalmente al fatto che non è possibile dividere per zero, ma non dimenticare altre restrizioni, in particolare la positività delle espressioni nei poteri razionali e sotto le radici dei poteri pari). Ricorda inoltre che i valori di seno e coseno possono essere compresi solo tra meno uno e più uno compreso.

La cosa principale è, se non sai cosa fare, fare almeno qualcosa, e la cosa principale è usare correttamente le formule trigonometriche. Se ciò che ottieni migliora sempre di più, continua con la soluzione e, se peggiora, torna all'inizio e prova ad applicare altre formule, fallo finché non trovi la soluzione corretta.

Formule per la soluzione delle più semplici equazioni trigonometriche. Per il seno esistono due forme equivalenti di scrittura della soluzione:

Per altre funzioni trigonometriche, la notazione non è ambigua. Per coseno:

Per la tangente:

Per cotangente:

Risoluzione di equazioni trigonometriche in alcuni casi particolari:

Impara tutte le formule e le leggi della fisica e le formule e i metodi della matematica. In realtà, anche questo è molto semplice da fare: in fisica ci sono solo circa 200 formule necessarie e in matematica anche un po' meno. In ciascuna di queste materie esistono circa una dozzina di metodi standard per risolvere problemi di livello base di complessità, che possono anche essere appresi e, quindi, in modo completamente automatico e senza difficoltà, risolvendo la maggior parte dei CT al momento giusto. Dopodiché dovrai pensare solo ai compiti più difficili.

Partecipa a tutte e tre le fasi delle prove generali di fisica e matematica. Ogni RT può essere visitato due volte per decidere su entrambe le opzioni. Ancora una volta, nel TC, oltre alla capacità di risolvere problemi in modo rapido ed efficiente e alla conoscenza di formule e metodi, è necessario anche essere in grado di pianificare correttamente il tempo, distribuire le forze e, soprattutto, compilare correttamente il modulo di risposta, senza confondere i numeri delle risposte e dei problemi, o il proprio cognome. Inoltre, durante il RT, è importante abituarsi allo stile di porre domande sui problemi, che può sembrare molto insolito per una persona impreparata al DT.

L'implementazione riuscita, diligente e responsabile di questi tre punti, nonché lo studio responsabile dei test formativi finali, ti consentiranno di mostrare un risultato eccellente al CT, il massimo di ciò di cui sei capace.

Trovato un errore?

Se ritieni di aver trovato un errore nei materiali di formazione, scrivilo via e-mail (). Nella lettera indica l'argomento (fisica o matematica), il nome o il numero dell'argomento o del test, il numero del problema o il punto del testo (pagina) dove, secondo te, c'è un errore. Descrivi anche qual è l'errore sospetto. La tua lettera non passerà inosservata, l'errore verrà corretto oppure ti verrà spiegato perché non si tratta di un errore.

Relazioni tra funzioni trigonometriche di base – seno, coseno, tangente e cotangente- vengono chiesti formule trigonometriche. E poiché ci sono molte connessioni tra le funzioni trigonometriche, questo spiega l'abbondanza di formule trigonometriche. Alcune formule collegano funzioni trigonometriche dello stesso angolo, altre - funzioni di un angolo multiplo, altre - consentono di ridurre il grado, la quarta - esprime tutte le funzioni attraverso la tangente di un semiangolo, ecc.

Navigazione della pagina.

Identità trigonometriche di base

Identità trigonometriche di base definire la relazione tra seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo. Seguono anche dalla definizione di seno, coseno, tangente e cotangente concetti di cerchio unitario. Permettono di esprimere una funzione trigonometrica in termini di qualsiasi altra.

Per una descrizione dettagliata di queste formule trigonometriche, la loro derivazione ed esempi di applicazione, vedere l'articolo.

Formule di riduzione

Formule di riduzione seguire da proprietà di seno, coseno, tangente e cotangente, cioè riflettono la proprietà della periodicità delle funzioni trigonometriche, la proprietà della simmetria, nonché la proprietà dello spostamento di un dato angolo. Queste formule trigonometriche ti consentono di passare dal lavorare con angoli arbitrari al lavorare con angoli compresi tra zero e 90 gradi.

La logica di queste formule, una regola mnemonica per memorizzarle ed esempi della loro applicazione possono essere studiate nell'articolo.

Formule di addizione

Formule per doppio, triplo, ecc. angolo

Informazioni più dettagliate sono raccolte nell'articolo formule per doppio, triplo, ecc. angolo.

Formule del mezzo angolo

La loro conclusione ed esempi di applicazione possono essere trovati nell'articolo.

Formule di riduzione dei gradi

Formule per la somma e la differenza delle funzioni trigonometriche

Formule per il prodotto di seni, coseni e seno per coseno

Il passaggio dal prodotto delle funzioni trigonometriche alla somma o alla differenza viene effettuato utilizzando formule per il prodotto di seni, coseni e seno per coseno.

Sostituzione trigonometrica universale

Bibliografia.

Algebra: Manuale per la 9a elementare. media scuola/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky. - M.: Education, 1990. - 272 pp.: illustrato - ISBN 5-09-002727-7
Bashmakov M.I. Algebra e gli inizi dell'analisi: libro di testo. per le classi 10-11. media scuola - 3a ed. - M.: Educazione, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
Algebra e l'inizio dell'analisi: Proc. per le classi 10-11. educazione generale istituzioni / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn e altri; Ed. A. N. Kolmogorov. - 14a edizione - M.: Education, 2004. - 384 pagine: illustrato - ISBN 5-09-013651-3.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematica (manuale per chi accede alle scuole tecniche): Proc. indennità.- M.; Più alto scuola, 1984.-351 p., ill.

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