Iz zapisa a = b q slijedi da je b djelitelj a i da je a višekratnik od b. Delitelji i višekratnici
“Decimalni zapis broja” - Koji dio metra je 1 dm? Riješi jednačinu Koji dio odsječka CD pripada segmentu AB. Pashieva Lyubov Nikolaevna nastavnik matematike 1. kategorije. Decimalni zapis razlomaka. Decimale. John Napier. Centralnoazijski grad Samarkand bio je bogat kulturni centar u 15. veku. Pravila za decimalni zapis razlomaka.
“Pisanje brojevnih sistema” - Nepozicioni brojevni sistemi. Kako su ljudi ranije zapisivali brojeve? Ako je broj 56 zapisan u decimalnom brojevnom sistemu, onda se piše ovako: Prisjetimo se pojma stepena broja: Istorija brojeva i brojevnih sistema. Prirodni nizovi brojeva u pozicionom brojevnom sistemu. Prošireno snimanje broja. Koncept "brojenog sistema".
“Informacije o snimanju na disk” - Snimci sa audio diskova se reprodukuju pomoću optičkih (laserskih) plejera. Takvi diskovi se proizvode štancanjem i imaju srebrnu boju. Laserski diskovi. Postoje CD-R i DVD-R diskovi (R - za snimanje) zlatne boje. Optički princip snimanja. Trajanje zvučnog programa dostiže jedan sat.
“Pisanje brojeva u brojevnim sistemima” - U azbučnom slavenskom brojevnom sistemu kao “brojevi” korišteno je 27 slova ćirilice. Alfabetski sistemi su bili napredniji nepozicioni brojevni sistemi. Abecedni sistemi. Sadržaj bilo koje datoteke je predstavljen u ovom obliku. Drevni egipatski decimalni nepozicioni sistem. Rimski sistem brojeva.
“Decimalni zapis razlomaka” - Zapišite brojnik razlomaka. „Šta je aritmetika? Decimalni zapis razlomaka. Simon Stevin (1548 – 1620). Izjednačite, ako je potrebno, broj cifara iza decimalnog zareza. L.F. Magnitsky (1669-1739). M.V. Abanina. Koristite zarez da odvojite cijeli dio od razlomka.
“Djeljenici i višekratnici” - TEMA: Djelitelji i višekratnici. Savršeni brojevi. Izračunajte usmeno. Birajte između brojeva: tri pljeska, tri pljeska, tri klimanja glavom. Savijte se jednom - ispravite se, dvaput se sagnite - povucite se. Fizičko vaspitanje. Koji djelitelji broja 24 nisu među ovim brojevima? Zapišite broj i temu lekcije u svoje bilježnice: “Djeljenici i višekratnici”.
Definicija 1. Neka broj a 1) je proizvod dva broja b I q Dakle a=bq. Onda a naziva se višestruka b.
1) U ovom članku riječ broj će se shvatiti kao cijeli broj.
Moglo bi se i reći a podijeljena b, ili b postoji djelitelj a, ili b deli a, ili b je uključen kao množilac u a.
Iz definicije 1 slijede sljedeće izjave:
Izjava1. Ako a-više b, b-više c, To a višestruko c.
Zaista. Jer
Gdje m I n onda neki brojevi
Dakle a podijeljena c.
Ako je u nizu brojeva svaki djeljiv sa sljedećim, tada je svaki broj višekratnik svih sljedećih brojeva.
Izjava 2. Ako su brojevi a I b- višestruki c, tada su njihov zbir i razlika također višestruki c.
Zaista. Jer
a+b=mc+nc=(m+n)c,
a−b=mc−nc=(m−n)c.
Dakle a+b podijeljena c I a−b podijeljena c .
Znakovi djeljivosti
Izvedemo opštu formulu za određivanje testa djeljivosti brojeva nekim prirodnim brojem m, koji se naziva Pascalov test djeljivosti.
Nađimo ostatke dijeljenja po m sledeći niz. Neka ostane ostatak dijeljenja 10 po mće r 1, 10· r 1 per mće r 2 itd. Tada možemo napisati:
Dokažimo da je ostatak dijeljenja broja A on m jednak ostatku dijeljenja broja
| (3) |
Kao što znate, ako se dva broja podijele sa nekim brojem m dati isti ostatak, onda se razlika podijeli sa m bez traga.
Hajde da razmotrimo razliku A-A"
  | (6) |
 | (7) |
Svaki član na desnoj strani (5) je podijeljen sa m stoga je i lijeva strana jednačine djeljiva sa m. Rezonirajući slično, dobijamo da je desna strana (6) podeljena sa m, stoga je lijeva strana (6) također djeljiva sa m, desna strana (7) je podijeljena na m, stoga je i lijeva strana (7) podijeljena na m. Otkrili smo da je desna strana jednačine (4) djeljiva sa m. Dakle A I A" imaju isti ostatak kada se podijele sa m. U ovom slučaju to kažu A I A" jednak rezidualni ili uporediv u modulu m.
Dakle, ako A" podijeljena m m) , To A takođe podeljen na m(ima nula ostatak kada se podijeli sa m). Pokazali smo to da odredimo djeljivost A možete odrediti djeljivost jednostavnijeg broja A".
Na osnovu izraza (3) moguće je dobiti kriterij djeljivosti za određene brojeve.
Znakovi djeljivosti brojeva 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Test djeljivosti sa 2.
Slijedeći postupak (1) za m=2, dobijamo:
Svi ostaci kada se podijele sa 2 su nula. Zatim, iz jednačine (3) imamo
Svi ostaci od dijeljenja sa 3 jednaki su 1. Tada iz jednačine (3) imamo
Svi ostaci od dijeljenja sa 4 osim prvog jednaki su 0. Tada iz jednačine (3) imamo
Svi ostaci su nula. Zatim, iz jednačine (3) imamo
Svi ostaci su jednaki 4. Tada iz jednačine (3) imamo
Dakle, broj je djeljiv sa 6 ako i samo ako je četverostruki broj desetica koji se dodaje broju jedinica djeljiv sa 6. To jest, odbacimo desnu znamenku iz broja, a zatim zbrojimo rezultirajući broj sa 4 i dodamo odbačeni broj. Ako je dati broj djeljiv sa 6, tada je originalni broj djeljiv sa 6.
Primjer. 2742 je djeljivo sa 6 jer 274*4+2=1098, 1098=109*4+8=444, 444=44*4+4=180 je podijeljeno sa 6.
Jednostavniji znak djeljivosti. Broj je djeljiv sa 6 ako je djeljiv sa 2 i 3 (tj. ako je paran broj i ako je zbir cifara djeljiv sa 3). Broj 2742 je djeljiv sa 6 jer... broj je paran i 2+7+4+2=15 je djeljiv sa 3.
Test djeljivosti sa 7.
Slijedeći postupak (1) za m=7, dobijamo:
 |
Svi ostaci su različiti i ponavljaju se nakon 7 koraka. Zatim, iz jednačine (3) imamo
Svi ostaci su nula, osim prva dva. Zatim, iz jednačine (3) imamo
Svi ostaci od dijeljenja sa 9 jednaki su 1. Tada iz jednačine (3) imamo
Svi ostaci od dijeljenja sa 10 jednaki su 0. Tada iz jednačine (3) imamo
 |
Dakle, broj je djeljiv sa 10 ako i samo ako je posljednja znamenka djeljiva sa 10 (to jest, zadnja cifra je nula).
U ovom članku ćemo razgovarati djelitelji i višekratnici. Ovdje ćemo dati definicije djelitelja i višekratnika. Ove definicije će nam omogućiti da damo primjere djelitelja i višekratnika različitih cijelih brojeva. Zasebno ćemo razmotriti djelitelje jedan i minus jedan, a također ćemo govoriti o djeliteljima i višekratnicima nule.
Navigacija po stranici.
Delitelji brojeva - definicija, primjeri
Prvo dajmo definicija djelitelja cijeli broj.
Definicija.
Razdjelnik cijeli broj a je cijeli broj b kojim je a jednako djeljiv.
Prirodni broj 1 ima jedan pozitivan djelitelj - broj 1. Ova činjenica razlikuje jedan od drugih prirodnih brojeva, budući da prirodni brojevi osim jedan imaju najmanje dva djelitelja, a to su sam i 1. U zavisnosti od odsustva ili prisutnosti djelitelja osim samog prirodnog broja i jedan, razlikuju se prosti i složeni brojevi.
Jedan je najmanji pozitivni djelitelj prirodnog broja a koji nije 1, a sam broj a je najveći pozitivni djelitelj (u odjeljku smo govorili o najvećem i najmanjem broju). To jest, za bilo koji prirodan broj a, bilo koji od njegovih pozitivnih djelitelja b zadovoljava uslov.
Višestruki – definicija, primjeri
Hajde da damo definicija višestrukog.
Definicija.
Višestruko cijeli broj b je cijeli broj a koji je djeljiv sa b.
Drugim riječima, višekratnik cijelog broja b je cijeli broj a koji se može predstaviti u obliku a=b·q, gdje je q neki cijeli broj.
Ako je a višekratnik cijelog broja b, onda se za a kaže da je višekratnik b. U ovom slučaju koristi se notacija ab.
Definicija višestrukog i djeljivog jasno ukazuje na povezanost između njih. Zaista, po definiciji, ako je a višekratnik od b, onda je b djelitelj od a, i obrnuto, ako je b djelitelj od a, onda je a višekratnik od b.
Hajde da damo primjeri višestrukih. Na primjer, cijeli broj −12 je višekratnik od 3, budući da je −12=3·(−4) . Drugi višekratnici od 3 su cijeli brojevi 0, 3, −3, 6, −6, 9, −9, itd. Ali broj 7 nije višekratnik cijelog broja 3, jer 7 nije djeljivo sa 3 bez ostatka, to jest, ne postoji cijeli broj q takav da vrijedi jednakost 7=3·q.
Iz definicije višekratnika jasno je da je nula višekratnik bilo kojeg cijelog broja b, uključujući nulu. Jednakost 0=b·0 u ovom slučaju izgleda vrlo uvjerljivo.
Imajte na umu da postoji beskonačno mnogo višekratnika bilo kojeg cijelog broja b, budući da postoji beskonačno mnogo cijelih brojeva, a svaki cijeli broj jednak proizvodu b·q, gdje je q proizvoljan cijeli broj, je višekratnik b.
Najmanji pozitivni višekratnik datog pozitivnog broja a je sam broj a. Također je vrijedno obratiti pažnju na činjenicu da se najmanji pozitivni višekratnik ne smije miješati s najmanjim zajedničkim višekratnikom (LCM) nekoliko brojeva.
Dalje možemo razmatrati samo prirodne višekratnike pozitivnih cijelih brojeva. To možemo učiniti iz istih razloga koji su navedeni u prvom stavu ovog članka, a općenitost prezentacije neće biti narušena.
Bibliografija.
- Vilenkin N.Ya. i drugi. 6. razred: udžbenik za opšteobrazovne ustanove.
- Vinogradov I.M. Osnove teorije brojeva.
- Mikhelovich Sh.H. Teorija brojeva.
- Kulikov L.Ya. i dr. Zbirka zadataka iz algebre i teorije brojeva: Udžbenik za studente fizike i matematike. specijalnosti pedagoških instituta.
Tema „Više brojeva“ se izučava u 5. razredu srednje škole. Njegov cilj je poboljšati pismene i usmene matematičke računske vještine. U ovoj lekciji se uvode novi pojmovi - „mnošci“ i „djelitelji“, uvježbava se tehnika pronalaženja djelitelja i višekratnika prirodnog broja, te sposobnost pronalaženja LCM na različite načine.
Ova tema je veoma važna. Znanje o tome može se primijeniti pri rješavanju primjera s razlomcima. Da biste to učinili, morate pronaći zajednički nazivnik izračunavanjem najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM).
Višekratnik A je cijeli broj koji je djeljiv sa A bez ostatka.
Svaki prirodan broj ima beskonačan broj višekratnika. Sama se smatra najmanjom. Višekratnik ne može biti manji od samog broja.
Morate dokazati da je broj 125 višekratnik broja 5. Da biste to učinili, trebate podijeliti prvi broj sa drugim. Ako je 125 djeljivo sa 5 bez ostatka, onda je odgovor da.
Ova metoda je primjenjiva za male brojeve.
Postoje posebni slučajevi kada se izračunava LOC.
1. Ako trebate pronaći zajednički višekratnik 2 broja (na primjer, 80 i 20), gdje je jedan od njih (80) djeljiv s drugim (20), tada je ovaj broj (80) najmanji višekratnik od ovih dva broja.
LCM(80, 20) = 80.
2. Ako dva nemaju zajednički djelitelj, onda možemo reći da je njihov LCM proizvod ova dva broja.
LCM(6, 7) = 42.
Pogledajmo posljednji primjer. 6 i 7 u odnosu na 42 su djelitelji. Oni dijele višekratnik broja bez ostatka.
U ovom primjeru, 6 i 7 su upareni faktori. Njihov proizvod je jednak najvišem broju (42).
Broj se naziva prostim ako je djeljiv samo sa sobom ili sa 1 (3:1=3; 3:3=1). Ostalo se naziva kompozitnim.
Drugi primjer uključuje određivanje da li je 9 djelitelj broja 42.
42:9=4 (ostatak 6)
Odgovor: 9 nije djelitelj broja 42 jer odgovor ima ostatak.
Delitelj se razlikuje od višekratnika po tome što je djelitelj broj kojim se dijele prirodni brojevi, a sam višekratnik je podijeljen ovim brojem.
Najveći zajednički djelitelj brojeva a I b, pomnoženo njihovim najmanjim višekratnikom, dat će proizvod samih brojeva a I b.
Naime: gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b.
Uobičajeni višekratnici za složenije brojeve nalaze se na sljedeći način.
Na primjer, pronađite LCM za 168, 180, 3024.
Ove brojeve činimo u proste faktore i zapisujemo ih kao proizvod potencija:
168=2³x3¹x7¹
2⁴h3³h5¹h7¹=15120
LCM(168, 180, 3024) = 15120.
