Z zapisu a = b q wynika, że ​​b jest dzielnikiem a i że a jest wielokrotnością b. Dzielniki i wielokrotności

„Zapis dziesiętny liczby” – jaką częścią metra jest 1 dm? Rozwiąż równanie Jaka część odcinka CD należy do odcinka AB. Pashieva Lyubov Nikolaevna nauczyciel matematyki 1. kategorii. Dziesiętny zapis liczb ułamkowych. Dziesiętne. Johna Napiera. Środkowoazjatyckie miasto Samarkanda było w XV wieku bogatym ośrodkiem kulturalnym. Zasady dziesiętnego zapisu liczb ułamkowych.

„Zapisywanie systemów liczbowych” - Niepozycyjne systemy liczbowe. Jak wcześniej ludzie zapisywali liczby? Jeśli liczba 56 jest zapisana w systemie dziesiętnym, to zapisuje się ją w następujący sposób: Przypomnijmy sobie pojęcie potęgi liczby: Historia liczb i systemów liczbowych. Ciągi naturalne liczb w systemie liczb pozycyjnych. Rozszerzone nagrywanie numeru. Pojęcie „systemu liczbowego”.

„Nagrywanie informacji na płytę” — nagrania z płyt audio odtwarzane są za pomocą odtwarzaczy optycznych (laserowych). Takie dyski są produkowane metodą tłoczenia i mają srebrny kolor. Dyski laserowe. Istnieją płyty CD-R i DVD-R (R - z możliwością nagrywania), które mają złoty kolor. Zasada zapisu optycznego. Czas trwania programu dźwiękowego sięga jednej godziny.

„Zapisywanie liczb w systemach liczbowych” - W alfabetycznym słowiańskim systemie liczbowym jako „cyfry” używano 27 liter cyrylicy. Systemy alfabetyczne były bardziej zaawansowanymi niepozycyjnymi systemami liczbowymi. Systemy alfabetyczne. Zawartość dowolnego pliku jest reprezentowana w tej formie. Starożytny egipski dziesiętny system niepozycyjny. Rzymski system liczbowy.

„Zapis dziesiętny liczb ułamkowych” - Zapisz licznik części ułamkowej. „Co to jest arytmetyka? Dziesiętny zapis liczb ułamkowych. Szymon Stewin (1548 – 1620). W razie potrzeby wyrównaj liczbę cyfr po przecinku. L.F. Magnickiego (1669-1739). M.V. Abanina. Użyj przecinka, aby oddzielić całą część od części ułamkowej.

„Dzielniki i wielokrotności” - TEMAT: Dzielniki i wielokrotności. Idealne liczby. Oblicz ustnie. Wybierz jedną z liczb: trzy klaśnięcia, trzy klaśnięcia, trzy kiwnięcia głową. Zegnij raz - wyprostuj się, Zegnij dwa razy - podciągnij się. Wychowanie fizyczne. Jakie dzielniki liczby 24 nie należą do tych liczb? Zapisz w zeszytach numer i temat lekcji: „Dzielniki i wielokrotności”.

Definicja 1. Niech numer A 1) jest iloczynem dwóch liczb B I Q Więc a=bq. Następnie A zwany wielokrotnością B.

1) W tym artykule liczba słów będzie rozumiana jako liczba całkowita.

Można też powiedzieć A podzielony przez B, Lub B jest dzielnik A, Lub B dzieli A, Lub B jest uwzględniany jako mnożnik w A.

Z Definicji 1 wynikają następujące stwierdzenia:

Oświadczenie1. Jeśli A-wiele B, B-wiele C, To A wiele C.

Naprawdę. Ponieważ

Gdzie M I N w takim razie jakieś liczby

Stąd A podzielony przez C.

Jeśli w ciągu liczb każda jest podzielna przez następną, to każda liczba jest wielokrotnością wszystkich kolejnych liczb.

Oświadczenie 2. Jeśli liczby A I B- wielokrotności C, to ich suma i różnica są również wielokrotnościami C.

Naprawdę. Ponieważ

a+b=mc+nc=(m+n)c,

a−b=mc−nc=(m−n)c.

Stąd a+b podzielony przez C I a-b podzielony przez C .

Znaki podzielności

Wyprowadźmy ogólny wzór na wyznaczenie testu na podzielność liczb przez jakąś liczbę naturalną M, który nazywa się testem podzielności Pascala.

Znajdźmy resztę dzielenia przez M następującą sekwencję. Podziel resztę z 10 przez M będzie R 1, 10&środkowa kropka R 1 os M będzie R 2 itd. Wtedy możemy napisać:

Udowodnimy, że reszta z dzielenia liczby A NA M równa reszcie dzielenia liczby

(3)

Jak wiadomo, jeśli dwie liczby zostaną podzielone przez jakąś liczbę M podaj tę samą resztę, a następnie różnicę podzielono przez M bez śladu.

Rozważmy różnicę A-A”

(6)

(7)

Każdy wyraz po prawej stronie (5) jest dzielony przez M zatem lewa strona równania jest również podzielna przez M. Rozumując podobnie, otrzymujemy, że prawa strona (6) jest dzielona przez M, dlatego lewa strona (6) jest również podzielna przez M, prawa strona (7) jest podzielona na M, dlatego lewa strona (7) jest również podzielona na M. Odkryliśmy, że prawa strona równania (4) jest podzielna przez M. Stąd A I A" mają tę samą resztę z dzielenia przez M. W tym przypadku tak mówią A I A" równe reszty lub porównywalne pod względem modułu M.

Zatem jeśli A" podzielony przez M M) , To A również podzielone na M(ma resztę zerową przy dzieleniu przez M). Pokazaliśmy to, aby określić podzielność A możesz określić podzielność prostszej liczby A".

Na podstawie wyrażenia (3) można otrzymać kryteria podzielności dla określonych liczb.

Znaki podzielności liczb 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Test na podzielność przez 2.

Postępując zgodnie z procedurą (1) dla m=2, otrzymujemy:

Wszystkie reszty z dzielenia przez 2 wynoszą zero. Następnie z równania (3) mamy

Wszystkie reszty z dzielenia przez 3 są równe 1. Następnie z równania (3) mamy

Wszystkie reszty z dzielenia przez 4 oprócz pierwszej są równe 0. Następnie z równania (3) mamy

Wszystkie reszty wynoszą zero. Następnie z równania (3) mamy

Wszystkie reszty są równe 4. Następnie z równania (3) mamy

Zatem liczba jest podzielna przez 6 wtedy i tylko wtedy, gdy poczwórna liczba dziesiątek dodana do liczby jednostek dzieli się przez 6. Oznacza to, że odrzucamy prawą cyfrę z liczby, następnie sumujemy otrzymaną liczbę przez 4 i dodajemy numer odrzucony. Jeśli dana liczba jest podzielna przez 6, to pierwotna liczba jest podzielna przez 6.

Przykład. 2742 jest podzielne przez 6, ponieważ 274*4+2=1098, 1098=109*4+8=444, 444=44*4+4=180 dzieli się przez 6.

Prostszy znak podzielności. Liczba jest podzielna przez 6, jeśli dzieli się przez 2 i 3 (to znaczy, jeśli jest liczbą parzystą i jeśli suma cyfr jest podzielna przez 3). Liczba 2742 dzieli się przez 6, ponieważ... liczba jest parzysta, a 2+7+4+2=15 dzieli się przez 3.

Test podzielności przez 7.

Postępując zgodnie z procedurą (1) dla m=7, otrzymujemy:

Wszystkie reszty są różne i powtarza się po 7 etapach. Następnie z równania (3) mamy

Wszystkie reszty są równe zero, z wyjątkiem dwóch pierwszych. Następnie z równania (3) mamy

Wszystkie reszty z dzielenia przez 9 są równe 1. Następnie z równania (3) mamy

Wszystkie reszty z dzielenia przez 10 są równe 0. Następnie z równania (3) mamy

Zatem liczba jest podzielna przez 10 wtedy i tylko wtedy, gdy ostatnia cyfra jest podzielna przez 10 (tzn. ostatnia cyfra to zero).

W tym artykule omówimy dzielniki i wielokrotności. Tutaj podamy definicje dzielnika i wielokrotności. Definicje te pozwolą nam podać przykłady dzielników i wielokrotności różnych liczb całkowitych. Osobno rozważymy dzielniki jednego i minus jeden, a także porozmawiamy o dzielnikach i wielokrotnościach zera.

Nawigacja strony.

Dzielniki liczb - definicja, przykłady

Najpierw dajmy definicja dzielnika cały numer.

Definicja.

Rozdzielacz liczba całkowita a jest liczbą całkowitą b, przez którą a jest podzielne przez liczbę całkowitą.

Liczba naturalna 1 ma jeden dodatni dzielnik – liczbę 1. Fakt ten odróżnia jedną od innych liczb naturalnych, ponieważ liczby naturalne inne niż jeden mają co najmniej dwa dzielniki, a mianowicie samą siebie i 1. W zależności od braku lub obecności dzielników innych niż sama liczba naturalna i jeden, rozróżnia się liczby pierwsze i liczby złożone.

Jeden to najmniejszy dodatni dzielnik liczby naturalnej inny niż 1, a liczba a sama w sobie jest największym dodatnim dzielnikiem (mówiliśmy o największych i najmniejszych liczbach w tej sekcji). Oznacza to, że dla dowolnej liczby naturalnej a dowolny z jej dodatnich dzielników b spełnia warunek.

Wielokrotności – definicja, przykłady

Dajmy definicja wielokrotności.

Definicja.

Wiele liczba całkowita b jest liczbą całkowitą a podzielną przez b.

Innymi słowy, wielokrotność liczby całkowitej b jest liczbą całkowitą a, którą można przedstawić w postaci a=b·q, gdzie q jest pewną liczbą całkowitą.

Jeśli a jest całkowitą wielokrotnością b, to mówimy, że a jest wielokrotnością b. W tym przypadku stosuje się zapis ab.

Definicja tego, co wielokrotne i podzielne, wyraźnie wskazuje na związek między nimi. Rzeczywiście, z definicji, jeśli a jest wielokrotnością b, to b jest dzielnikiem a i odwrotnie, jeśli b jest dzielnikiem a, to a jest wielokrotnością b.

Dajmy przykłady wielokrotności. Na przykład liczba całkowita -12 jest wielokrotnością 3, ponieważ -12=3·(-4) . Inne wielokrotności 3 to liczby całkowite 0, 3, -3, 6, -6, 9, -9 i tak dalej. Ale liczba 7 nie jest wielokrotnością liczby całkowitej 3, ponieważ 7 nie jest podzielne przez 3 bez reszty, to znaczy nie ma takiej liczby całkowitej q, która spełniałaby równość 7=3·q.

Z definicji wielokrotności jasno wynika, że ​​zero jest wielokrotnością dowolnej liczby całkowitej b, włączając zero. Równość 0=b·0 wygląda w tym przypadku bardzo przekonująco.

Zauważ, że istnieje nieskończenie wiele wielokrotności dowolnej liczby całkowitej b, ponieważ istnieje nieskończenie wiele liczb całkowitych, a każda liczba całkowita równa iloczynowi b·q, gdzie q jest dowolną liczbą całkowitą, jest wielokrotnością b.

Najmniejszą dodatnią wielokrotnością danej liczby dodatniej a jest sama liczba a. Warto także zwrócić uwagę na to, aby nie mylić najmniejszej dodatniej wielokrotności z najmniejszą wspólną wielokrotnością (LCM) kilku liczb.

Dalej możemy rozważać tylko naturalne wielokrotności dodatnich liczb całkowitych. Możemy to zrobić z tych samych powodów, które zostały wymienione w pierwszym akapicie tego artykułu, a ogólność prezentacji nie zostanie naruszona.

Bibliografia.

• Vilenkin N.Ya. i inne. Klasa 6: podręcznik dla placówek kształcenia ogólnego.
• Winogradow I.M. Podstawy teorii liczb.
• Mikhelovich Sh.H. Teoria liczb.
• Kulikov L.Ya. i inne. Zbiór zagadnień z algebry i teorii liczb: Podręcznik dla studentów fizyki i matematyki. specjalności instytutów pedagogicznych.

Temat „Liczby wielokrotne” jest realizowany w piątej klasie szkoły średniej. Jego celem jest doskonalenie umiejętności wykonywania obliczeń matematycznych w formie pisemnej i ustnej. Na tej lekcji wprowadzane są nowe pojęcia - ćwiczone są „liczby wielokrotne” i „dzielniki”, technika znajdowania dzielników i wielokrotności liczby naturalnej oraz umiejętność znajdowania LCM na różne sposoby.

Ten temat jest bardzo ważny. Znajomość tego można wykorzystać przy rozwiązywaniu przykładów z ułamkami zwykłymi. Aby to zrobić, musisz znaleźć wspólny mianownik, obliczając najmniejszą wspólną wielokrotność (LCM).

Wielokrotność A to liczba całkowita, która dzieli się przez A bez reszty.

Każda liczba naturalna ma nieskończoną liczbę jej wielokrotności. Sam jest uważany za najmniejszy. Wielokrotność nie może być mniejsza niż sama liczba.

Musisz udowodnić, że liczba 125 jest wielokrotnością 5. Aby to zrobić, musisz podzielić pierwszą liczbę przez drugą. Jeśli 125 dzieli się przez 5 bez reszty, to odpowiedź brzmi „tak”.

Ta metoda ma zastosowanie w przypadku małych liczb.

Istnieją szczególne przypadki przy obliczaniu LOC.

1. Jeśli chcesz znaleźć wspólną wielokrotność 2 liczb (na przykład 80 i 20), gdzie jedna z nich (80) jest podzielna przez drugą (20), to ta liczba (80) jest najmniejszą wielokrotnością tych dwie liczby.

LCM(80, 20) = 80.

2. Jeśli dwie nie mają wspólnego dzielnika, to możemy powiedzieć, że ich LCM jest iloczynem tych dwóch liczb.

LCM(6, 7) = 42.

Spójrzmy na ostatni przykład. 6 i 7 w stosunku do 42 są dzielnikami. Dzielą wielokrotność liczby bez reszty.

W tym przykładzie 6 i 7 to sparowane czynniki. Ich iloczyn jest równy największej liczbie wielokrotnej (42).

Liczbę pierwszą nazywamy liczbą pierwszą, jeśli dzieli się tylko przez samą siebie lub przez 1 (3:1=3; 3:3=1). Pozostałe nazywane są kompozytami.

Inny przykład polega na ustaleniu, czy 9 ​​jest dzielnikiem 42.

42:9=4 (pozostała 6)

Odpowiedź: 9 nie jest dzielnikiem 42, ponieważ odpowiedź ma resztę.

Dzielnik różni się od wielokrotności tym, że dzielnik jest liczbą, przez którą dzielone są liczby naturalne, a sama wielokrotność jest podzielna przez tę liczbę.

Największy wspólny dzielnik liczb A I B, pomnożone przez ich najmniejszą wielokrotność, da iloczyn samych liczb A I B.

Mianowicie: gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b.

Wspólne wielokrotności dla bardziej zespolonych liczb można znaleźć w następujący sposób.

Na przykład znajdź LCM dla 168, 180, 3024.

Liczby te rozkładamy na czynniki pierwsze i zapisujemy jako iloczyn potęg:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

LCM(168, 180, 3024) = 15120.