Šajā nodarbībā apskatīsim vēl divas darbības ar vektoriem: vektoru vektorreizinājums Un vektoru jauktais produkts (tūlītēja saite tiem, kam tas ir nepieciešams). Tas ir labi, dažreiz gadās, ka pilnīgai laimei papildus vektoru skalārais reizinājums, nepieciešams arvien vairāk. Tā ir vektora atkarība. Var šķist, ka mēs nokļūstam analītiskās ģeometrijas džungļos. Tas ir nepareizi. Šajā augstākās matemātikas sadaļā parasti ir maz koka, izņemot, iespējams, pietiekami daudz Pinokio. Patiesībā materiāls ir ļoti izplatīts un vienkāršs – diez vai sarežģītāks par to pašu skalārais produkts, būs vēl mazāk tipisko uzdevumu. Galvenais analītiskajā ģeometrijā, kā daudzi pārliecināsies vai jau ir pārliecinājušies, ir NEKLŪDĪT APRĒĶINOS. Atkārto kā burvestību un būsi laimīgs =)

Ja vektori kaut kur tālu mirdz, piemēram, zibens pie horizonta, tas nav svarīgi, sāciet ar stundu Manekenu vektori atjaunot vai atkārtoti iegūt pamatzināšanas par vektoriem. Gatavāki lasītāji ar informāciju var iepazīties selektīvi, centos apkopot vispilnīgāko piemēru krājumu, kas bieži sastopams praktiskajā darbā

Kas tevi uzreiz iepriecinās? Kad biju mazs, varēju žonglēt ar divām un pat trīs bumbiņām. Tas izdevās labi. Tagad jums nevajadzēs žonglēt vispār, jo mēs to apsvērsim tikai telpiskie vektori, un plakanie vektori ar divām koordinātām tiks izlaisti. Kāpēc? Tā radās šīs darbības – vektoru vektors un jauktais vektoru produkts ir definēts un darbojas trīsdimensiju telpā. Tas jau ir vieglāk!

Šī darbība, tāpat kā skalārais reizinājums, ietver divi vektori. Lai tie ir neiznīcīgi burti.

Pati darbība apzīmē aršādā veidā: . Ir arī citas iespējas, bet es esmu pieradis vektoru vektoru reizinājumu šādi apzīmēt kvadrātiekavās ar krustiņu.

Un uzreiz jautājums: ja iekšā vektoru skalārais reizinājums ir iesaistīti divi vektori, un šeit arī tiek reizināti divi vektori kāda ir atšķirība? Acīmredzamā atšķirība, pirmkārt, ir REZULTĀTĀ:

Vektoru skalārās reizinājuma rezultāts ir SKAITS:

Vektoru krustreizinājuma rezultāts ir VECTOR: , tas ir, mēs reizinām vektorus un atkal iegūstam vektoru. Slēgts klubs. Faktiski no šejienes cēlies operācijas nosaukums. Dažādā mācību literatūrā apzīmējumi var atšķirties, es izmantošu burtu.

Šķērsprodukta definīcija

Vispirms būs definīcija ar bildi, tad komentāri.

Definīcija: vektora produkts nekolineārs vektori, pieņemts šādā secībā, ko sauc par VECTOR, garums kas ir skaitliski vienāds ar paralelograma laukumu, kas veidota uz šiem vektoriem; vektors vektoriem ortogonāli, un ir vērsta tā, lai bāzei būtu pareiza orientācija:

Sadalīsim definīciju pa daļām, šeit ir daudz interesantu lietu!

Tātad var izcelt šādus būtiskus punktus:

1) Sākotnējie vektori, kas apzīmēti ar sarkanām bultiņām, pēc definīcijas nav kolineārs. Nedaudz vēlāk būs lietderīgi apsvērt kolineāro vektoru gadījumu.

2) Tiek ņemti vektori stingri noteiktā secībā: – "a" tiek reizināts ar "būt", nevis “būt” ar “a”. Vektoru reizināšanas rezultāts ir VECTOR, kas ir norādīts zilā krāsā. Ja vektorus reizina apgrieztā secībā, iegūstam vienāda garuma un virzienā pretēju vektoru (aveņu krāsa). Tas ir, vienlīdzība ir patiesa .

3) Tagad iepazīsimies ar vektora reizinājuma ģeometrisko nozīmi. Tas ir ļoti svarīgs punkts! Zilā vektora (un līdz ar to tumšsarkanā vektora) GARUMS ir skaitliski vienāds ar uz vektoriem veidotā paralelograma AREA. Attēlā šis paralelograms ir iekrāsots melnā krāsā.

Piezīme : zīmējums ir shematisks, un, protams, vektora reizinājuma nominālais garums nav vienāds ar paralelograma laukumu.

Atcerēsimies vienu no ģeometriskajām formulām: Paralelograma laukums ir vienāds ar blakus esošo malu un starp tām esošā leņķa sinusa reizinājumu. Tāpēc, pamatojoties uz iepriekš minēto, ir spēkā formula vektora reizinājuma GARUMA aprēķināšanai:

Es uzsveru, ka formula ir par vektora GARU, nevis par pašu vektoru. Kāda ir praktiskā nozīme? Un nozīme ir tāda, ka analītiskās ģeometrijas problēmās paralelograma laukums bieži tiek atrasts, izmantojot vektora reizinājuma jēdzienu:

Iegūsim otro svarīgo formulu. Paralelograma diagonāle (sarkana punktēta līnija) sadala to divos vienādos trīsstūros. Tāpēc trīsstūra laukumu, kas veidots uz vektoriem (sarkans ēnojums), var atrast, izmantojot formulu:

4) Tikpat svarīgs fakts ir tas, ka vektors ir ortogonāls vektoriem, tas ir . Protams, arī pretēji vērstais vektors (aveņu bultiņa) ir ortogonāls sākotnējiem vektoriem.

5) Vektors ir vērsts tā, lai pamats Tā ir pa labi orientācija. Nodarbībā par pāreja uz jaunu pamatu Es runāju pietiekami detalizēti par plaknes orientācija, un tagad mēs sapratīsim, kas ir telpas orientācija. Es paskaidrošu uz jūsu pirkstiem labā roka. Garīgi apvienot rādītājpirksts ar vektoru un Vidējais pirksts ar vektoru. Gredzena pirksts un mazais pirksts nospiediet to plaukstā. Rezultātā īkšķis– vektora reizinājums pavērsies uz augšu. Tas ir uz labo pusi orientēts pamats (attēlā ir šis). Tagad mainiet vektorus ( rādītājpirksti un vidējie pirksti) vietām, kā rezultātā īkšķis pagriezīsies, un vektorreizinājums jau skatīsies uz leju. Tas ir arī uz labo pusi vērsts pamats. Jums var rasties jautājums: kuram pamatam ir kreisā orientācija? “Piešķirt” tiem pašiem pirkstiem kreisā roka vektorus un iegūt telpas kreiso pamatu un kreiso orientāciju (šajā gadījumā īkšķis atradīsies apakšējā vektora virzienā). Tēlaini izsakoties, šīs bāzes “sagriež” jeb orientē telpu dažādos virzienos. Un šo jēdzienu nevajadzētu uzskatīt par kaut ko tālu vai abstraktu - piemēram, telpas orientāciju maina visparastākais spogulis, un, ja jūs "izvelciet atstaroto objektu no skata stikla", tad vispārīgā gadījumā nebūs iespējams to apvienot ar "oriģinālu". Starp citu, turiet trīs pirkstus pie spoguļa un analizējiet atspulgu ;-)

...cik labi, ka tu tagad par to zini orientēts pa labi un pa kreisi bāzes, jo dažu pasniedzēju izteikumi par orientācijas maiņu ir biedējoši =)

Kolineāro vektoru krustreizinājums

Definīcija ir detalizēti apspriesta, atliek noskaidrot, kas notiek, ja vektori ir kolineāri. Ja vektori ir kolineāri, tad tos var novietot uz vienas taisnes un arī mūsu paralelograms “salocās” vienā taisnē. Tādu laukums, kā saka matemātiķi, deģenerēts paralelograms ir vienāds ar nulli. Tas pats izriet no formulas - nulles vai 180 grādu sinuss ir vienāds ar nulli, kas nozīmē, ka laukums ir nulle

Tādējādi, ja , tad Un . Lūdzu, ņemiet vērā, ka pats vektora reizinājums ir vienāds ar nulles vektoru, taču praksē tas bieži tiek atstāts novārtā un tiek rakstīts, ka tas ir arī vienāds ar nulli.

Īpašs gadījums ir vektora krustreizinājums ar sevi:

Izmantojot vektora reizinājumu, varat pārbaudīt trīsdimensiju vektoru kolinearitāti, un mēs, cita starpā, arī analizēsim šo problēmu.

Lai atrisinātu praktiskus piemērus, jums var būt nepieciešams trigonometriskā tabula lai no tā atrastu sinusu vērtības.

Nu, iekuram uguni:

1. piemērs

a) Atrodi vektoru vektorreizinājuma garumu, ja

b) Atrodiet uz vektoriem veidota paralelograma laukumu, ja

Risinājums: Nē, tā nav drukas kļūda, es apzināti izveidoju sākotnējos datus klauzulās. Jo risinājumu dizains būs atšķirīgs!

a) Saskaņā ar nosacījumu, jums ir jāatrod garums vektors (krustprodukts). Saskaņā ar atbilstošo formulu:

Atbilde:

Ja jums jautāja par garumu, tad atbildē mēs norādām izmēru - vienības.

b) Saskaņā ar nosacījumu, jums ir jāatrod kvadrāts paralelograms, kas veidots uz vektoriem. Šī paralelograma laukums ir skaitliski vienāds ar vektora reizinājuma garumu:

Atbilde:

Lūdzu, ņemiet vērā, ka atbilde vispār nerunā par vektorproduktu; mums jautāja par to figūras laukums, attiecīgi izmērs ir kvadrāta vienības.

Mēs vienmēr skatāmies, KAS mums jāatrod atbilstoši stāvoklim, un, pamatojoties uz to, formulējam skaidrs atbildi. Var šķist, ka tas ir burtiski, taču skolotāju vidū ir daudz literātu, un ir liela iespēja, ka uzdevums tiks atgriezts pārskatīšanai. Lai gan tas nav īpaši tāls ķibele - ja atbilde ir nepareiza, tad rodas iespaids, ka cilvēks nesaprot vienkāršas lietas un/vai nav sapratis uzdevuma būtību. Šis punkts vienmēr ir jākontrolē, risinot problēmas augstākajā matemātikā un arī citos mācību priekšmetos.

Kur pazuda lielais burts “en”? Principā to varēja papildus pievienot risinājumam, bet, lai saīsinātu ierakstu, es to nedarīju. Ceru, ka visi to saprot un apzīmē vienu un to pašu.

Populārs DIY risinājuma piemērs:

2. piemērs

Atrodiet uz vektoriem veidota trīsstūra laukumu, ja

Formula trīsstūra laukuma atrašanai caur vektora reizinājumu ir dota definīcijas komentāros. Risinājums un atbilde ir stundas beigās.

Praksē uzdevums patiešām ir ļoti izplatīts; trijstūri parasti var jūs mocīt.

Lai atrisinātu citas problēmas, mums būs nepieciešams:

Vektoru vektorreizinājuma īpašības

Mēs jau esam apsvēruši dažas vektorprodukta īpašības, tomēr es tās iekļaušu šajā sarakstā.

Patvaļīgiem vektoriem un patvaļīgam skaitlim ir patiesas šādas īpašības:

1) Citos informācijas avotos šis vienums īpašībās parasti nav izcelts, taču praktiskā ziņā tas ir ļoti svarīgi. Lai tas tā būtu.

2) – par īpašumu arī ir runāts augstāk, dažkārt sauc antikommutativitāte. Citiem vārdiem sakot, vektoru secībai ir nozīme.

3) – asociatīvais vai asociatīvs vektorproduktu likumi. Konstantes var viegli pārvietot ārpus vektora reizinājuma. Tiešām, kas viņiem tur jādara?

4) – izplatīšana vai sadales vektorproduktu likumi. Arī ar kronšteinu atvēršanu nav problēmu.

Lai to parādītu, apskatīsim īsu piemēru:

3. piemērs

Atrodi, ja

Risinājums: Nosacījums atkal prasa atrast vektora reizinājuma garumu. Krāsosim savu miniatūru:

(1) Saskaņā ar asociatīvajiem likumiem konstantes tiek ņemtas ārpus vektora reizinājuma darbības jomas.

(2) Mēs izņemam konstanti ārpus moduļa, un modulis “apēd” mīnusa zīmi. Garums nevar būt negatīvs.

(3) Pārējais ir skaidrs.

Atbilde:

Ir pienācis laiks ugunij pievienot vairāk malkas:

4. piemērs

Aprēķiniet uz vektoriem veidota trīsstūra laukumu, ja

Risinājums: Atrodiet trīsstūra laukumu, izmantojot formulu . Galvenais ir tas, ka vektori “tse” un “de” paši tiek parādīti kā vektoru summas. Algoritms šeit ir standarta un nedaudz atgādina nodarbības 3. un 4. piemēru Vektoru punktu reizinājums. Skaidrības labad mēs sadalīsim risinājumu trīs posmos:

1) Pirmajā solī mēs izsakām vektora reizinājumu caur vektora reizinājumu, patiesībā, izteiksim vektoru vektora izteiksmē. Par garumiem vēl nav ne vārda!

(1) Aizstāj vektoru izteiksmes.

(2) Izmantojot sadalījuma likumus, mēs atveram iekavas saskaņā ar polinomu reizināšanas likumu.

(3) Izmantojot asociatīvos likumus, mēs pārvietojam visas konstantes ārpus vektora reizinājuma. Ar nelielu pieredzi 2. un 3. darbību var veikt vienlaikus.

(4) Pirmais un pēdējais termins ir vienādi ar nulli (nulles vektors), pateicoties jaukajai īpašībai. Otrajā terminā mēs izmantojam vektora produkta antikomutativitātes īpašību:

(5) Mēs piedāvājam līdzīgus terminus.

Rezultātā vektors izrādījās izteikts caur vektoru, kas bija jāsasniedz:

2) Otrajā solī mēs atrodam vajadzīgā vektora reizinājuma garumu. Šī darbība ir līdzīga 3. piemēram:

3) Atrodiet vajadzīgā trīsstūra laukumu:

Risinājuma 2.-3.posmu varēja rakstīt vienā rindā.

Atbilde:

Aplūkotā problēma ir diezgan izplatīta testos, šeit ir piemērs, kā to atrisināt pats:

5. piemērs

Atrodi, ja

Īss risinājums un atbilde nodarbības beigās. Paskatīsimies, cik uzmanīgs bijāt, pētot iepriekšējos piemērus ;-)

Vektoru krustreizinājums koordinātēs

, kas norādīti ortonormāli, izteikts ar formulu:

Formula ir patiešām vienkārša: determinanta augšējā rindā ierakstām koordinātu vektorus, otrajā un trešajā rindā "ieliekam" vektoru koordinātas un ievietojam stingrā kārtībā– vispirms “ve” vektora koordinātas, tad “dubultā-ve” vektora koordinātas. Ja vektori jāreizina citā secībā, tad rindas ir jāsamaina:

10. piemērs

Pārbaudiet, vai šādi telpas vektori ir kolineāri:
A)
b)

Risinājums: Pārbaude ir balstīta uz vienu no šīs nodarbības apgalvojumiem: ja vektori ir kolineāri, tad to vektora reizinājums ir vienāds ar nulli (nulles vektors): .

a) Atrodiet vektora reizinājumu:

Tādējādi vektori nav kolineāri.

b) Atrodiet vektora reizinājumu:

Atbilde a) nav kolineārs, b)

Šeit, iespējams, ir visa pamatinformācija par vektoru vektoru reizinājumu.

Šī sadaļa nebūs ļoti liela, jo ir maz problēmu, ja tiek izmantots vektoru jauktais produkts. Patiesībā viss būs atkarīgs no definīcijas, ģeometriskās nozīmes un pāris darba formulām.

Jaukts vektoru reizinājums ir trīs vektoru reizinājums:

Tāpēc viņi sastājās rindā kā vilciens un nevar sagaidīt, kad tiks identificēti.

Pirmkārt, atkal definīcija un attēls:

Definīcija: Jaukts darbs ne-kopplanārs vektori, pieņemts šādā secībā, zvanīja paralēlskaldņu tilpums, kas veidota uz šiem vektoriem, aprīkota ar “+” zīmi, ja pamats ir pareizs, un “–” zīmi, ja pamats ir pa kreisi.

Taisīsim zīmējumu. Mums neredzamās līnijas tiek vilktas ar punktētām līnijām:

Iedziļināsimies definīcijā:

2) Tiek ņemti vektori noteiktā secībā, tas ir, vektoru pārkārtošanās produktā, kā jūs varētu nojaust, nenotiek bez sekām.

3) Pirms komentēt ģeometrisko nozīmi, es atzīmēšu acīmredzamu faktu: vektoru jauktais reizinājums ir SKAITS: . Mācību literatūrā dizains var nedaudz atšķirties, jauktu produktu esmu pieradis apzīmēt ar , bet aprēķinu rezultātu ar burtu “pe”.

A-prioritāte jauktais produkts ir paralēlskaldņa tilpums, veidots uz vektoriem (attēls zīmēts ar sarkaniem vektoriem un melnām līnijām). Tas ir, skaitlis ir vienāds ar noteiktā paralēlskaldņa tilpumu.

Piezīme : Zīmējums ir shematisks.

4) Neraizēsimies atkal par pamata un telpas orientācijas jēdzienu. Pēdējās daļas nozīme ir tāda, ka skaļumam var pievienot mīnusa zīmi. Vienkāršiem vārdiem sakot, jaukts produkts var būt negatīvs: .

Tieši no definīcijas izriet formula uz vektoriem veidota paralēlskaldņa tilpuma aprēķināšanai.

Pārbaudījums Nr.1

Vektori. Augstākās algebras elementi

1-20. Ir zināmi vektoru un un garumi; – leņķis starp šiem vektoriem.

Aprēķiniet: 1) un 2).3) Atrodiet trijstūra laukumu, kas veidots uz vektoriem un.

Izveidojiet zīmējumu.

Risinājums. Izmantojot vektoru punktu reizinājuma definīciju:

Un skalārā produkta īpašības: ,

1) atrodiet vektora skalāro kvadrātu:

tas ir, Tad .

Līdzīgi strīdoties, sanāk

tas ir, Tad .

Pēc vektora reizinājuma definīcijas: ,

ņemot vērā to

Trijstūra laukums, kas izveidots no vektoriem un ir vienāds ar

21-40. Zināmas trīs virsotņu koordinātas A, B, D paralelograms ABCD. Izmantojot vektoru algebru, jums ir nepieciešams:

A(3;0;-7), B(2;4;6), D(-7;-5;1)

Risinājums.

Ir zināms, ka paralelograma diagonāles krustpunktā tiek dalītas uz pusēm. Tāpēc punkta koordinātas E- diagonāļu krustpunkts - atrodiet kā segmenta vidus koordinātes BD. Apzīmējot tos ar x E ,y E , z E mēs to saņemam

Mēs saņemam.

Zinot punkta koordinātas E- diagonāles viduspunkts BD un viena tā gala koordinātas A(3;0;-7), Izmantojot formulas, nosakām vajadzīgās virsotnes koordinātas AR paralelograms:

Tātad, augšā.

2) Lai atrastu vektora projekciju uz vektoru, mēs atrodam šo vektoru koordinātas: ,

līdzīgi. Vektora projekciju uz vektoru atrod, izmantojot formulu:

3) Leņķis starp paralelograma diagonālēm tiek atrasts kā leņķis starp vektoriem

Un pēc skalārā reizinājuma īpašības:

Tad

4) Atrodiet paralelograma laukumu kā vektora reizinājuma moduli:

5) Piramīdas tilpums tiek atrasts kā viena sestā daļa no vektoru jauktā reizinājuma moduļa, kur O(0;0;0), tad

Tad nepieciešamais tilpums (kubikvienības)

41-60. Dotās matricas:

V C -1 +3A T

Apzīmējumi:

Pirmkārt, mēs atrodam matricas C apgriezto matricu.

Lai to izdarītu, mēs atrodam tā noteicošo:

Determinants atšķiras no nulles, tāpēc matrica nav vienskaitlī, un tai var atrast apgriezto matricu C -1

Atradīsim algebriskos papildinājumus, izmantojot formulu , kur ir elementa minoritāte:

Tad,.

61–80. Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu:

Krāmera metode; 2. Matricas metode.

Risinājums.

a) Krāmera metode

Atradīsim sistēmas noteicēju

Kopš , sistēmai ir unikāls risinājums.

Atradīsim determinantus un aizstājot koeficientu matricā pirmo, otro, trešo kolonnu attiecīgi ar brīvo terminu kolonnu.

Saskaņā ar Krāmera formulām:

b)matricas metode (izmantojot apgriezto matricu).

Mēs rakstām šo sistēmu matricas formā un atrisinām to, izmantojot apgriezto matricu.

Ļaujiet A– nezināmo koeficientu matrica; X– matrica-nezināmo kolonna x, y, z Un N- brīvo dalībnieku matricas kolonna:

Sistēmas (1) kreiso pusi var uzrakstīt kā matricu reizinājumu, bet labo pusi kā matricu N. Tāpēc mums ir matricas vienādojums

Tā kā matricas determinants A atšķiras no nulles (punkts “a”), tad matrica A ir apgriezta matrica. Sareizināsim abas vienādības (2) puses kreisajā pusē ar matricu, iegūstam

Kopš kura E ir identitātes matrica un , tad

Ļaujiet mums iegūt nevienskaitļa matricu A:

Tad mēs atrodam apgriezto matricu, izmantojot formulu:

Kur A ij- elementa algebriskais papildinājums a ij matricas determinantā A, kas ir (-1) i+j un minora (determinanta) reizinājums n-1 pasūtījums, kas iegūts dzēšot i-th līnijas un jth kolonna matricas A determinantā:

No šejienes mēs iegūstam apgriezto matricu:

X kolonna: X=A -1 H

81–100. Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu, izmantojot Gausa metodi

Risinājums. Rakstīsim sistēmu paplašinātas matricas veidā:

Veicam elementāras pārvērtības ar stīgām.

No 2. rindas atņemam pirmo rindu, kas reizināta ar 2. No 3. rindas atņemam pirmo rindu, kas reizināta ar 4. No 4. rindas atņemam pirmo rindu, iegūstam matricu:

Pēc tam nākamo rindu pirmajā kolonnā iegūstam nulli; lai to izdarītu, no otrās rindas atņemiet trešo rindu. No trešās rindas atņem otro rindu, kas reizināta ar 2. No ceturtās rindas atņem otro rindu, kas reizināta ar 3. Rezultātā iegūstam formas matricu:

No ceturtās rindas mēs atņemam trešo.

Apmainīsim priekšpēdējo un pēdējo rindiņas:

Pēdējā matrica ir līdzvērtīga vienādojumu sistēmai:

No pēdējā sistēmas vienādojuma mēs atrodam .

Aizstājot ar priekšpēdējo vienādojumu, mēs iegūstam .

No sistēmas otrā vienādojuma izriet, ka

No pirmā vienādojuma mēs atrodam x:

Atbilde:

Pārbaudījums Nr.2

Analītiskā ģeometrija

1-20. Dotas trijstūra virsotņu koordinātas ABC. Atrast:

1) sānu garums AIN;

2) malu vienādojumi AB Un Sv un to leņķiskie koeficienti;

3) leņķis IN radiānos ar precizitāti līdz diviem cipariem;

4) augstuma vienādojums CD un tā garums;

5) mediānas vienādojums AE

augstums CD;

UZ paralēli sāniem AB,

7) izveidot zīmējumu.

A(3;6), B(15;-3), C(13;11)

Risinājums.

Pielietojot (1), mēs atrodam sānu garumu AB:

2) malu vienādojumi AB Un Sv un to leņķiskie koeficienti:

Taisnas līnijas vienādojumam, kas iet caur punktiem, un tam ir forma

Punktu koordināšu aizstāšana ar (2) A Un IN, iegūstam malas vienādojumu AB:

(AB).

(B.C.).

3) leņķis IN radiānos ar divu ciparu precizitāti.

Ir zināms, ka leņķa tangenss starp divām taisnēm, kuru leņķiskie koeficienti ir attiecīgi vienādi, un tiek aprēķināta pēc formulas

Nepieciešamais leņķis IN veido taisnas līnijas AB Un Sv, kuru leņķiskie koeficienti ir atrasti: ; . Piesakoties (3), mēs iegūstam

; , vai

4) augstuma vienādojums CD un tā garums.

Attālums no punkta C līdz taisnei AB:

5) mediānas vienādojums AE un šīs mediānas krustpunkta K koordinātas ar

augstums CD.

Saules puses vidus:

Tad vienādojums AE:

Mēs atrisinām vienādojumu sistēmu:

6) taisnes vienādojums, kas iet caur punktu UZ paralēli sāniem AB:

Tā kā vēlamā līnija ir paralēla sāniem AB, tad tā leņķiskais koeficients būs vienāds ar taisnes leņķa koeficientu AB. Atrastā punkta koordināšu aizstāšana ar (4) UZ un slīpums, mēs iegūstam

; (KF).

Paralelograma laukums ir 12 kvadrātmetri. vienības, tās divas virsotnes ir punkti A(-1;3) Un B(-2;4). Atrodiet pārējās divas šī paralelograma virsotnes, ja ir zināms, ka tā diagonāļu krustošanās punkts atrodas uz x ass. Izveidojiet zīmējumu.

Risinājums. Ļaujiet diagonāļu krustpunktam ir koordinātas.

Tad ir skaidrs, ka

tāpēc vektoru koordinātas ir .

Mēs atrodam paralelograma laukumu, izmantojot formulu

Tad pārējo divu virsotņu koordinātas ir .

51.-60. uzdevumos ir dotas punktu koordinātas A un B. Nepieciešams:

Uzrakstiet kanonisku vienādojumu hiperbolai, kas iet caur šiem punktiem A un B, ja hiperbolas perēkļi atrodas uz x ass;

Atrodiet šīs hiperbolas pusasis, perēkļus, ekscentricitāti un asimptotu vienādojumus;

Atrodiet visus hiperbolas krustpunktus ar apli, kura centrs atrodas sākumā, ja šis aplis iet caur hiperbolas perēkļiem;

Izveidojiet hiperbolu, tās asimptotus un apli.

A(6;-2), B(-8;12).

Risinājums. Tiek uzrakstīts vēlamās hiperbolas vienādojums kanoniskā formā

Kur a- reāla hiperbolas pusass, b- iedomāta pusass. Punktu koordinātu aizstāšana A Un INŠajā vienādojumā mēs atrodam šīs pusasis:

– hiperbolas vienādojums: .

Pusass a=4,

fokusa attālums Fokusi (-8.0) un (8.0)

Ekscentriskums

Asyptotes:

Ja aplis iet caur izcelsmi, tā vienādojums ir

Aizvietojot vienu no fokusiem, mēs atrodam apļa vienādojumu

Atrodiet hiperbolas un apļa krustošanās punktus:

Mēs veidojam zīmējumu:

61.-80. uzdevumā konstruējiet funkcijas grafiku polāro koordinātu sistēmā pa punktam, dodot  vērtības caur intervālu  /8 (0   2). Atrodiet taisnstūra vienādojumu Dekarta koordinātu sistēmā (abscisu pozitīvā pusass sakrīt ar polāro asi, bet pols ar sākuma punktu).

Risinājums. Izveidosim līniju pa punktiem, vispirms aizpildot vērtību tabulu un φ.

Numurs	φ ,	φ, grādi			Numurs	φ , priecīgs	grādiem
								3∙(x2 +2∙1x + 1) -3∙1 = 3(x+1) 2-3 mēs secinām, ka šis vienādojums definē elipsi: Tiek doti punkti A, IN , C, D . Jāatrod: 1. Plaknes vienādojums (J), iet caur punktiem A, B, C D lidmašīnā (Q); 2. Līnijas vienādojums (es), iet caur punktiem IN un D; 3. Leņķis starp plakni (Q) un taisni (es); 4. Plaknes vienādojums (R), iet caur punktu A perpendikulāri taisnai līnijai (es); 5. Leņķis starp plaknēm (R) Un (J) ; 6. Līnijas vienādojums (T), iet caur punktu A tā rādiusa vektora virzienā; 7. Leņķis starp taisnēm (es) Un (T). A(9;-8;1), B(-9;4;5), C(9;-5;5),D(6;4;0) 1. Plaknes vienādojums (J), iet caur punktiem A, B, C un pārbaudiet, vai jēga slēpjas D plaknē nosaka pēc formulas Atrast: 1) . 2) Kvadrāts paralelograms, būvēts ieslēgts Un. 3) paralēlskaldņa tilpums, būvēts ieslēgts vektori, Un. Kontrole Darbs par šo tēmu" Elementi lineāro telpu teorija... Metodiskie ieteikumi kontroldarbu aizpildīšanai pamatstudiju nepilna laika studijām kvalifikācijā 080100. 62 virzienā Vadlīnijas Piramīdas paralēlskaldnis un tilpums, būvēts ieslēgts vektori, Un. Risinājums: 2-=2(1;1;1)-(2;1;4)= (2;2;2)-(2;1;4)=(0;1;-2)... . . . 4. UZDEVUMI PAR KONTROLE DARBOJAS I sadaļa. Lineārs algebra. 1 – 10. Ņemot vērā...

Šajā rakstā mēs sīkāk aplūkosim divu vektoru krusteniskās reizinājuma jēdzienu. Sniegsim nepieciešamās definīcijas, uzrakstīsim formulu vektora reizinājuma koordinātu atrašanai, uzskaitīsim un pamatosim tā īpašības. Pēc tam mēs pakavēsimies pie divu vektoru vektora reizinājuma ģeometriskās nozīmes un apsvērsim dažādu tipisku piemēru risinājumus.

Lapas navigācija.

Šķērsprodukta definīcija.

Pirms vektora reizinājuma definēšanas sapratīsim sakārtota vektoru trīskārša orientāciju trīsdimensiju telpā.

Uzzīmēsim vektorus no viena punkta. Atkarībā no vektora virziena trīs var būt pa labi vai pa kreisi. Apskatīsim no vektora gala, kā īsākais pagrieziens no vektora uz . Ja īsākā rotācija notiek pretēji pulksteņrādītāja virzienam, tad tiek izsaukts vektoru trīskāršs pa labi, citādi - pa kreisi.

Tagad ņemsim divus nekolineārus vektorus un . Uzzīmēsim vektorus un no punkta A. Konstruēsim kādu vektoru, kas ir perpendikulārs abiem un un . Acīmredzot, konstruējot vektoru, mēs varam darīt divas lietas, dodot tam vienu vai pretēju virzienu (skatiet attēlu).

Atkarībā no vektora virziena sakārtotais vektoru trijnieks var būt ar labo vai kreiso roku.

Tas mūs tuvina vektorprodukta definīcijai. Tas ir dots diviem vektoriem, kas definēti trīsdimensiju telpas taisnstūra koordinātu sistēmā.

Definīcija.

Divu vektoru krustreizinājums un , kas norādīts trīsdimensiju telpas taisnstūra koordinātu sistēmā, sauc par vektoru,

Vektoru krustprodukts un tiek apzīmēts kā .

Vektora reizinājuma koordinātas.

Tagad mēs sniegsim otro vektora reizinājuma definīciju, kas ļauj atrast tā koordinātas no doto vektoru koordinātām un.

Definīcija.

Trīsdimensiju telpas taisnstūra koordinātu sistēmā divu vektoru vektorreizinājums Un ir vektors , kur ir koordinātu vektori.

Šī definīcija sniedz mums krustenisko reizinājumu koordinātu formā.

Ir ērti attēlot vektora reizinājumu kā trešās kārtas kvadrātveida matricas determinantu, kuras pirmajā rindā ir vektori, otrajā rindā ir vektora koordinātas, bet trešajā ir vektora koordinātas dotajā. taisnstūra koordinātu sistēma:

Ja šo determinantu izvēršam pirmās rindas elementos, mēs iegūstam vienādību no vektora reizinājuma definīcijas koordinātēs (ja nepieciešams, skatiet rakstu):

Jāatzīmē, ka vektora reizinājuma koordinātu forma pilnībā atbilst definīcijai, kas sniegta šī panta pirmajā daļā. Turklāt šīs divas krustprodukta definīcijas ir līdzvērtīgas. Jūs varat redzēt šī fakta pierādījumu grāmatā, kas norādīta raksta beigās.

Vektorprodukta īpašības.

Tā kā vektora reizinājumu koordinātēs var attēlot kā matricas determinantu, sekojošo var viegli pamatot, pamatojoties uz krusteniskā produkta īpašības:

Kā piemēru pierādīsim vektora reizinājuma antikomutatīvo īpašību.

A-prioritāte Un . Mēs zinām, ka matricas determinanta vērtība tiek apgriezta, ja tiek apmainītas divas rindas, tāpēc , kas pierāda vektora reizinājuma antikomutatīvo īpašību.

Vektorprodukts - piemēri un risinājumi.

Galvenokārt ir trīs veidu problēmas.

Pirmā veida uzdevumos ir norādīti divu vektoru garumi un leņķis starp tiem, un jums ir jāatrod vektora reizinājuma garums. Šajā gadījumā tiek izmantota formula .

Piemērs.

Atrodiet vektoru reizinājuma garumu un , ja zināms .

Risinājums.

No definīcijas mēs zinām, ka vektoru vektoru reizinājuma garums un ir vienāds ar vektoru garumu reizinājumu un ar leņķa sinusu starp tiem, tāpēc .

Atbilde:

.

Otrā tipa problēmas ir saistītas ar vektoru koordinātām, kurās vektora reizinājums, tā garums vai jebkas cits tiek meklēts caur doto vektoru koordinātām. Un .

Šeit ir iespējams daudz dažādu iespēju. Piemēram, var norādīt nevis vektoru un koordinātas, bet gan to izvērsumus formas koordinātu vektoros un , vai vektori, un tos var norādīt pēc to sākuma un beigu punktu koordinātām.

Apskatīsim tipiskus piemērus.

Piemērs.

Taisnstūra koordinātu sistēmā ir doti divi vektori . Atrodiet viņu krustojumu.

Risinājums.

Saskaņā ar otro definīciju divu vektoru vektoru reizinājumu koordinātēs raksta šādi:

Mēs būtu nonākuši pie tāda paša rezultāta, ja vektora reizinājums būtu rakstīts determinanta izteiksmē

Atbilde:

.

Piemērs.

Atrodiet vektoru vektorreizinājuma garumu un , kur ir taisnstūra Dekarta koordinātu sistēmas vienības vektori.

Risinājums.

Vispirms atrodam vektora reizinājuma koordinātas dotajā taisnstūra koordinātu sistēmā.

Tā kā vektoriem un ir attiecīgi koordinātes un (ja nepieciešams, skatiet vektora koordinātas taisnstūra koordinātu sistēmā), tad ar otro vektora reizinājuma definīciju mums ir

Tas ir, vektora produkts ir koordinātes noteiktā koordinātu sistēmā.

Mēs atrodam vektora reizinājuma garumu kā kvadrātsakni no tā koordinātu kvadrātu summas (vektora garuma formulu ieguvām sadaļā par vektora garuma atrašanu):

Atbilde:

.

Piemērs.

Taisnstūra Dekarta koordinātu sistēmā ir norādītas trīs punktu koordinātas. Atrodiet kādu vektoru, kas ir perpendikulārs un tajā pašā laikā.

Risinājums.

Vektoriem un ir attiecīgi koordinātas un (skatiet rakstu, kurā atrodamas vektora koordinātas, izmantojot punktu koordinātas). Ja mēs atrodam vektoru reizinājumu un , tad pēc definīcijas tas ir vektors, kas ir perpendikulārs gan pret, gan pret , tas ir, tas ir mūsu problēmas risinājums. Atradīsim viņu

Atbilde:

- viens no perpendikulārajiem vektoriem.

Trešā tipa uzdevumos tiek pārbaudīta prasmi izmantot vektoru vektoru reizinājuma īpašības. Pēc īpašību piemērošanas tiek piemērotas atbilstošās formulas.

Piemērs.

Vektori un ir perpendikulāri, un to garumi ir attiecīgi 3 un 4. Atrodiet šķērsprodukta garumu .

Risinājums.

Pēc vektora reizinājuma sadales īpašības mēs varam rakstīt

Kombinācijas īpašības dēļ mēs izņemam skaitliskos koeficientus no vektora reizinājumu zīmes pēdējā izteiksmē:

Vektora produkti un ir vienādi ar nulli, kopš Un , Tad.

Tā kā vektora reizinājums ir pretkomutatīvs, tad .

Tātad, izmantojot vektora reizinājuma īpašības, mēs nonācām pie vienādības .

Pēc nosacījuma vektori un ir perpendikulāri, tas ir, leņķis starp tiem ir vienāds ar . Tas ir, mums ir visi dati, lai atrastu vajadzīgo garumu

Atbilde:

.

Vektora reizinājuma ģeometriskā nozīme.

Pēc definīcijas vektoru vektorreizes garums ir . Un no vidusskolas ģeometrijas kursa mēs zinām, ka trijstūra laukums ir vienāds ar pusi no trijstūra divu malu garumu un starp tām esošā leņķa sinusa reizinājuma. Līdz ar to vektora reizinājuma garums ir vienāds ar divkāršu trijstūra laukumu, kura malas ir vektori un , ja tie ir attēloti no viena punkta. Citiem vārdiem sakot, vektoru vektora reizinājuma garums ir vienāds ar paralelograma laukumu ar malām un un leņķis starp tiem ir vienāds ar . Šī ir vektora reizinājuma ģeometriskā nozīme.