Dari notasi a = b q maka b adalah pembagi dari a dan a adalah kelipatan dari b. Pembagi dan kelipatan

“Notasi desimal suatu bilangan” - Berapa bagian meter yang merupakan 1 dm? Selesaikan persamaan Bagian mana dari segmen CD dari segmen AB. Pashieva Lyubov Nikolaevna guru matematika kategori 1. Notasi desimal bilangan pecahan. Desimal. John Napier. Kota Samarkand di Asia Tengah adalah pusat kebudayaan yang kaya pada abad ke-15. Aturan notasi desimal bilangan pecahan.

“Penulisan sistem bilangan” - Sistem bilangan non-posisi. Bagaimana orang menuliskan angka sebelumnya? Jika bilangan 56 ditulis dalam sistem bilangan desimal, maka penulisannya seperti ini: Mari kita ingat kembali konsep pangkat suatu bilangan: Sejarah bilangan dan sistem bilangan. Deret bilangan alami dalam sistem bilangan posisi. Perekaman nomor yang diperluas. Konsep "sistem bilangan".

“Merekam informasi ke disk” - Rekaman dari disk audio diputar menggunakan pemutar optik (laser). Cakram tersebut diproduksi dengan cara dicap dan memiliki warna perak. Drive disk laser. Ada cakram CD-R dan DVD-R (R - dapat direkam) yang berwarna emas. Prinsip perekaman optik. Durasi program suara mencapai satu jam.

"Menulis angka dalam sistem angka" - Dalam sistem angka alfabet Slavia, 27 huruf Sirilik digunakan sebagai "angka". Sistem abjad adalah sistem bilangan non-posisional yang lebih maju. Sistem alfabet. Isi file apa pun direpresentasikan dalam formulir ini. Sistem non-posisi desimal Mesir kuno. Sistem bilangan Romawi.

“Notasi desimal bilangan pecahan” - Tuliskan pembilang bagian pecahannya. “Apa itu aritmatika? Notasi desimal bilangan pecahan. Simon Stevin (1548 – 1620). Jika perlu, samakan jumlah digit setelah koma. LF. Magnitsky (1669-1739). M.V. Abanina. Gunakan koma untuk memisahkan bagian bilangan bulat dari bagian pecahan.

“Pembagi dan kelipatan” - TOPIK: Pembagi dan kelipatan. Angka sempurna. Hitung secara lisan. Pilih dari nomornya: Tiga tepukan, tiga tepukan, tiga anggukan kepala. Tekuk sekali - luruskan, tekuk dua kali - tarik diri Anda ke atas. Pendidikan Jasmani. Berapakah pembagi bilangan 24 yang tidak termasuk dalam bilangan tersebut? Tuliskan nomor dan topik pelajaran di buku catatan Anda: “Pembagi dan kelipatan.”

Definisi 1. Biarkan nomornya A 1) adalah hasil kali dua bilangan B Dan Q Jadi a=bq. Kemudian A disebut kelipatan B.

1) Dalam artikel ini, kata bilangan akan dipahami sebagai bilangan bulat.

Bisa juga dikatakan A dibagi dengan B, atau B ada pembagi A, atau B membagi A, atau B disertakan sebagai pengali dalam A.

Pernyataan berikut mengikuti Definisi 1:

Penyataan1. Jika A-beberapa B, B-beberapa C, Itu A banyak C.

Benar-benar. Karena

Di mana M Dan N beberapa nomor kemudian

Karena itu A dibagi dengan C.

Jika dalam suatu deret bilangan, setiap bilangan habis dibagi bilangan berikutnya, maka setiap bilangan tersebut merupakan kelipatan semua bilangan berikutnya.

Penyataan 2. Jika angkanya A Dan B- kelipatan C, maka jumlah dan selisihnya juga kelipatan C.

Benar-benar. Karena

a+b=mc+nc=(m+n)c,

a−b=mc−nc=(m−n)c.

Karena itu a+b dibagi dengan C Dan a−b dibagi dengan C .

Tanda-tanda perpecahan

Mari kita turunkan rumus umum untuk menentukan uji habisnya suatu bilangan dengan suatu bilangan asli M, yang disebut uji keterbagian Pascal.

Mari kita cari sisa pembagiannya M urutan berikut. Biarkan sisa pembagian 10 dengan M akan R 1, 10&titik tengah R 1 per M akan R 2, dll. Kemudian kita dapat menulis:

Mari kita buktikan sisa pembagian suatu bilangan A pada M sama dengan sisa pembagian bilangan tersebut

(3)

Seperti yang Anda ketahui, jika dua bilangan dibagi dengan suatu bilangan M berikan sisa yang sama, lalu selisihnya dibagi M tanpa jejak.

Mari kita pertimbangkan perbedaannya A−A"

(6)

(7)

Setiap suku pada ruas kanan (5) dibagi dengan M oleh karena itu ruas kiri persamaan juga habis dibagi M. Dengan alasan yang sama, kita memperoleh bahwa ruas kanan (6) habis dibagi M, oleh karena itu ruas kiri (6) juga habis dibagi M, ruas kanan (7) dibagi menjadi M, oleh karena itu ruas kiri (7) juga terbagi menjadi M. Kami menemukan bahwa ruas kanan persamaan (4) habis dibagi M. Karena itu A Dan A" mempunyai sisa yang sama jika dibagi M. Dalam hal ini mereka mengatakan demikian A Dan A" residu yang sama atau modulus yang sebanding M.

Jadi, jika A" dibagi dengan M M) , Itu A juga dibagi menjadi M(memiliki sisa nol jika dibagi M). Kami telah menunjukkannya untuk menentukan keterbagian A Anda dapat menentukan pembagian bilangan yang lebih sederhana A".

Berdasarkan persamaan (3), dimungkinkan untuk memperoleh kriteria keterbagian suatu bilangan tertentu.

Tanda-tanda pembagian bilangan 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Uji pembagian dengan 2.

Mengikuti prosedur (1) untuk m=2, kita mendapatkan:

Semua sisa jika dibagi 2 adalah nol. Kemudian, dari persamaan (3) kita punya

Semua sisa pembagian dengan 3 sama dengan 1. Maka dari persamaan (3) kita peroleh

Semua sisa pembagian dengan 4 kecuali yang pertama sama dengan 0. Kemudian, dari persamaan (3) kita peroleh

Semua sisanya nol. Kemudian, dari persamaan (3) kita punya

Semua sisanya sama dengan 4. Maka dari persamaan (3) kita peroleh

Oleh karena itu, suatu bilangan habis dibagi 6 jika dan hanya jika bilangan empat puluhan yang dijumlahkan dengan bilangan satuannya habis dibagi 6. Artinya, kita membuang digit kanan dari bilangan tersebut, lalu menjumlahkan bilangan yang dihasilkan dengan 4 dan menjumlahkan nomor yang dibuang. Jika suatu bilangan habis dibagi 6, maka bilangan aslinya habis dibagi 6.

Contoh. 2742 habis dibagi 6 karena 274*4+2=1098, 1098=109*4+8=444, 444=44*4+4=180 dibagi 6.

Tanda pembagian yang lebih sederhana. Suatu bilangan habis dibagi 6 jika habis dibagi 2 dan 3 (yaitu bilangan genap dan jumlah angka-angkanya habis dibagi 3). Bilangan 2742 habis dibagi 6 karena... bilangan genap dan 2+7+4+2=15 habis dibagi 3.

Uji keterbagian dengan 7.

Mengikuti prosedur (1) untuk m=7, kita mendapatkan:

Semua residu berbeda dan diulangi setelah 7 langkah. Kemudian, dari persamaan (3) kita punya

Semua sisanya nol, kecuali dua yang pertama. Kemudian, dari persamaan (3) kita punya

Semua sisa pembagian dengan 9 sama dengan 1. Maka dari persamaan (3) kita peroleh

Semua sisa pembagian dengan 10 sama dengan 0. Maka dari persamaan (3) kita peroleh

Oleh karena itu, suatu bilangan habis dibagi 10 jika dan hanya jika angka terakhirnya habis dibagi 10 (yaitu angka terakhirnya nol).

Pada artikel ini kita akan membahas pembagi dan kelipatan. Disini kami akan memberikan pengertian pembagi dan kelipatan. Definisi ini memungkinkan kita memberikan contoh pembagi dan kelipatan berbagai bilangan bulat. Kita akan membahas secara terpisah pembagi satu dan minus satu, serta membahas tentang pembagi dan kelipatan nol.

Navigasi halaman.

Pembagi angka - definisi, contoh

Pertama mari kita memberi definisi pembagi bilangan bulat.

Definisi.

Pembagi bilangan bulat a adalah bilangan bulat b yang a habis dibagi rata.

Bilangan asli 1 memiliki satu pembagi positif - bilangan 1. Fakta ini membedakan bilangan asli satu dengan bilangan asli lainnya, karena bilangan asli selain satu mempunyai paling sedikit dua pembagi, yaitu bilangan itu sendiri dan 1. Tergantung pada ada atau tidaknya pembagi selain bilangan asli itu sendiri dan satu, bilangan prima dan bilangan komposit dibedakan.

Satu adalah pembagi positif terkecil dari bilangan asli a selain 1, dan bilangan a itu sendiri adalah pembagi positif terbesar (kita telah membicarakan bilangan terbesar dan terkecil di bagian ini). Artinya, untuk sembarang bilangan asli a, salah satu pembagi positifnya b memenuhi syarat.

Kelipatan – definisi, contoh

Mari kita memberi definisi banyak.

Definisi.

Banyak bilangan bulat b adalah bilangan bulat a yang habis dibagi b.

Dengan kata lain, kelipatan suatu bilangan bulat b adalah bilangan bulat a yang dapat direpresentasikan dalam bentuk a=b·q, dengan q adalah suatu bilangan bulat.

Jika a merupakan kelipatan suatu bilangan bulat b, maka a dikatakan kelipatan b. Dalam hal ini digunakan notasi ab.

Pengertian kelipatan dan habis dibagi dengan jelas menunjukkan hubungan di antara keduanya. Memang menurut definisinya, jika a adalah kelipatan b, maka b adalah pembagi dari a, dan sebaliknya, jika b adalah pembagi a, maka a adalah kelipatan b.

Mari kita memberi contoh kelipatan. Misalnya, bilangan bulat −12 adalah kelipatan 3, karena −12=3·(−4) . Kelipatan 3 lainnya adalah bilangan bulat 0, 3, −3, 6, −6, 9, −9, dan seterusnya. Tetapi bilangan 7 bukan merupakan kelipatan dari bilangan bulat 3, karena 7 tidak habis dibagi 3 tanpa sisa, yaitu tidak ada bilangan bulat q yang dapat memenuhi persamaan 7=3·q.

Dari definisi kelipatan jelas bahwa nol adalah kelipatan dari sembarang bilangan bulat b, termasuk nol. Persamaan 0=b·0 dalam hal ini terlihat sangat meyakinkan.

Perhatikan bahwa terdapat kelipatan tak terhingga dari suatu bilangan bulat b, karena terdapat banyak bilangan bulat yang tak terhingga, dan bilangan bulat apa pun yang sama dengan hasil kali b·q, di mana q adalah bilangan bulat sembarang, adalah kelipatan dari b.

Kelipatan positif terkecil suatu bilangan positif a adalah bilangan a itu sendiri. Perlu juga diperhatikan fakta bahwa kelipatan positif terkecil tidak sama dengan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari beberapa bilangan.

Selanjutnya kita hanya dapat mempertimbangkan kelipatan natural dari bilangan bulat positif. Kita dapat melakukan ini karena alasan yang sama seperti yang disebutkan di paragraf pertama artikel ini, dan keumuman presentasi tidak akan dilanggar.

Bibliografi.

• Vilenkin N.Ya. dan lain-lain. kelas 6: buku teks untuk lembaga pendidikan umum.
• Vinogradov I.M. Dasar-dasar teori bilangan.
• Mikhelovich Sh.Kh. Teori bilangan.
• Kulikov L.Ya. dan lain-lain Kumpulan Soal Aljabar dan Teori Bilangan: Buku Ajar untuk Siswa Fisika dan Matematika. spesialisasi lembaga pedagogis.

Topik “Bilangan Berganda” dipelajari di kelas 5 sekolah menengah. Tujuannya adalah untuk meningkatkan keterampilan perhitungan matematis tertulis dan lisan. Dalam pelajaran ini, konsep-konsep baru diperkenalkan - "kelipatan" dan "pembagi", teknik mencari pembagi dan kelipatan bilangan asli, dan kemampuan mencari KPK dengan berbagai cara dipraktikkan.

Topik ini sangat penting. Pengetahuannya dapat diterapkan ketika menyelesaikan contoh dengan pecahan. Untuk melakukan ini, Anda perlu mencari penyebut yang sama dengan menghitung kelipatan persekutuan terkecil (KPK).

Kelipatan A adalah bilangan bulat yang habis dibagi A tanpa sisa.

Setiap bilangan asli mempunyai kelipatan yang tak terhingga. Itu sendiri dianggap yang terkecil. Kelipatannya tidak boleh kurang dari bilangan itu sendiri.

Anda perlu membuktikan bahwa bilangan 125 merupakan kelipatan dari bilangan 5. Untuk melakukannya, Anda perlu membagi bilangan pertama dengan bilangan kedua. Jika 125 habis dibagi 5 tanpa sisa maka jawabannya iya.

Cara ini berlaku untuk jumlah kecil.

Ada kasus khusus saat menghitung LOC.

1. Jika Anda perlu mencari kelipatan persekutuan dari 2 bilangan (misalnya, 80 dan 20), yang salah satunya (80) habis dibagi (20), maka bilangan tersebut (80) adalah kelipatan terkecil keduanya dua angka.

KPK(80, 20) = 80.

2. Jika dua bilangan tidak mempunyai pembagi persekutuan, maka KPKnya dapat dikatakan merupakan hasil kali kedua bilangan tersebut.

KPK(6, 7) = 42.

Mari kita lihat contoh terakhir. 6 dan 7 terhadap 42 adalah pembagi. Mereka membagi kelipatan suatu bilangan tanpa sisa.

Dalam contoh ini, 6 dan 7 merupakan faktor berpasangan. Hasil kali mereka sama dengan kelipatan terbanyak (42).

Suatu bilangan disebut bilangan prima jika bilangan tersebut hanya habis dibagi oleh dirinya sendiri atau oleh 1 (3:1=3; 3:3=1). Sisanya disebut komposit.

Contoh lainnya adalah menentukan apakah 9 merupakan pembagi dari 42.

42:9=4 (sisa 6)

Jawaban : 9 bukan merupakan pembagi dari 42 karena jawabannya mempunyai sisa.

Pembagi berbeda dari kelipatan karena pembagi adalah bilangan yang membagi bilangan asli, dan kelipatan itu sendiri dibagi dengan bilangan tersebut.

Pembagi bilangan persekutuan terbesar A Dan B, dikalikan dengan kelipatan terkecilnya, akan menghasilkan hasil kali bilangan itu sendiri A Dan B.

Yaitu: gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b.

Kelipatan persekutuan untuk bilangan yang lebih kompleks dapat dicari dengan cara berikut.

Misalnya, cari KPK dari 168, 180, 3024.

Kita memfaktorkan bilangan-bilangan ini menjadi faktor prima dan menuliskannya sebagai hasil perkalian pangkat:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

KPK(168, 180, 3024) = 15120.