Funkcija: domena definicije i domena vrijednosti funkcija. Tema lekcije: „Skup vrijednosti funkcija u problemima objedinjenog državnog ispita Kako pronaći skup vrijednosti funkcije kroz izvod

Danas ćemo se u lekciji osvrnuti na jedan od osnovnih pojmova matematike – koncept funkcije; Pogledajmo pobliže jedno od svojstava funkcije - skup njenih vrijednosti.

Tokom nastave

Učitelju. Prilikom rješavanja problema primjećujemo da je ponekad pronalaženje skupa vrijednosti funkcije koja nas dovodi u teške situacije. Zašto? Čini se da, pošto smo učili funkciju od 7. razreda, znamo dosta o njoj. Stoga imamo sve razloge za proaktivan potez. Hajdemo danas da se „poigramo“ sa mnogim vrednostima funkcija kako bismo odgovorili na mnoga pitanja o ovoj temi na predstojećem ispitu.

Skupovi vrijednosti elementarnih funkcija

Učitelju. Prvo, trebate ponoviti grafikone, jednadžbe i skupove vrijednosti osnovnih elementarnih funkcija u cijeloj domeni definicije.

Na ekran se projiciraju grafovi funkcija: linearni, kvadratni, frakciono-racionalni, trigonometrijski, eksponencijalni i logaritamski, za svaku od njih se usmeno određuje skup vrijednosti. Skrenuti pažnju studentima na činjenicu da je linearna funkcija E(f) = R ili jedan broj, za razlomak linearnog

Ovo je naša abeceda. Dodajući tome naše znanje o transformacijama grafova: paralelno prevođenje, rastezanje, kompresija, refleksija, moći ćemo riješiti probleme iz prvog dijela Jedinstveni državni ispit je čak i malo teži. Hajde da to proverimo.

Samostalan rad

U Termini problema i koordinatni sistemi su štampani za svakog učenika.

1. Pronađite skup vrijednosti funkcije u cijeloj domeni definicije:

A) y= 3 sin X ;
b) y = 7 – 2 X ;
V) y= –arccos ( x + 5):
G) y= | arctg x |;
d)

2. Pronađite skup vrijednosti funkcije y = x 2 između J, Ako:

A) J = ;
b) J = [–1; 5).

3. Definirajte funkciju analitički (jednakom), ako je skup njenih vrijednosti:

1) E(f(x)) = (–∞ ; 2] i f(x) - funkcija

a) kvadratni,
b) logaritamski,
c) demonstrativna;

2) E(f(x)) = R \{7}.

Kada raspravljate o zadatku 2samostalnog rada skrenuti pažnju učenicima da, u slučaju monotonosti i kontinuiteta funkcije y=f(x)u datom intervalu[a;b],njegova mnoga značenja-interval,čiji su krajevi vrijednosti f(a)i f(b).

Opcije odgovora za zadatak 3.

1.
A) y = –x 2 + 2 , y = –(x + 18) 2 + 2,
y= a(x – x c) 2 + 2 at A < 0.

b) y= –| dnevnik 8 x | + 2,

V) y = –| 3 x – 7 | + 2, y = –5 | x | + 3.

2.
a) b)

V) y = 12 – 5x, Gdje x ≠ 1 .

Pronalaženje više vrijednosti funkcije pomoću izvoda

Učitelju. U 10. razredu smo se upoznali sa algoritmom za pronalaženje ekstrema funkcije kontinuirane na segmentu i pronalaženje njenog skupa vrijednosti, bez oslanjanja na graf funkcije. Sjećaš li se kako smo ovo uradili? ( Korištenje derivata.) Prisjetimo se ovog algoritma .

1. Provjerite je li funkcija y = f(x) je definiran i kontinuiran na segmentu J = [a; b]. 2. Pronađite vrijednosti funkcije na krajevima segmenta: f(a) i f(b). Komentar. Ako znamo da je funkcija kontinuirana i monotona uključena J, tada možete odmah odgovoriti: E(f) = [f(a); f(b)] ili E(f) = [f(b); f(A)]. 3. Pronađite izvod, a zatim kritične tačke x kJ. 4. Pronađite vrijednosti funkcije u kritičnim tačkama f(x k). 5. Usporedite vrijednosti funkcije f(a), f(b) I f(x k), odaberite najveću i najmanju vrijednost funkcije i dajte odgovor: E(f)= [f ime; f naib].

Problemi koji uključuju korištenje ovog algoritma nalaze se u verzijama Jedinstvenog državnog ispita. Na primjer, 2008. je predložen takav zadatak. Moraš to riješiti Kuće .

Zadatak C1. Pronađite najveću vrijednost funkcije

f(x) = (0,5x + 1) 4 – 50(0,5x + 1) 2

kod | x + 1| ≤ 3.

Uslovi domaćeg zadatka su štampani za svakog učenika .

Pronalaženje skupa vrijednosti složene funkcije

Učitelju. Glavni dio naše lekcije bit će nestandardni problemi koji sadrže složene funkcije, čiji su derivati ​​vrlo složeni izrazi. A grafovi ovih funkcija su nam nepoznati. Stoga ćemo za rješavanje koristiti definiciju složene funkcije, odnosno ovisnost između varijabli po redoslijedu njihovog ugniježđenja u datoj funkciji i procjenu njihovog raspona vrijednosti (interval promjene njihovih vrijednosti). Problemi ovog tipa nalaze se u drugom dijelu Jedinstvenog državnog ispita. Pogledajmo neke primjere.

Vježba 1. Za funkcije y = f(x) I y = g(x) napisati složenu funkciju y = f(g(x)) i pronađite njegov skup vrijednosti:

A) f(x) = –x 2 + 2x + 3, g(x) = grijeh x;
b) f(x) = –x 2 + 2x + 3, g(x) = log 7 x;
V) g(x) = x 2 + 1;
G)

Rješenje. a) Kompleksna funkcija ima oblik: y= –sin 2 x+ 2sin x + 3.

Uvođenje srednjeg argumenta t, ovu funkciju možemo napisati ovako:

y= –t 2 + 2t+ 3, gdje t= grijeh x.

Na internoj funkciji t= grijeh x argument uzima bilo koju vrijednost, a skup njegovih vrijednosti je segment [–1; 1].

Dakle, za vanjsku funkciju y = –t 2 +2t+ 3 smo pronašli interval za promjenu vrijednosti njegovog argumenta t: t[-1; 1]. Pogledajmo graf funkcije y = –t 2 +2t + 3.

Napominjemo da je kvadratna funkcija na t[-1; 1] uzima najmanju i najveću vrijednost na svojim krajevima: y ime = y(–1) = 0 i y naib = y(1) = 4. A pošto je ova funkcija kontinuirana na intervalu [–1; 1], tada prihvata sve vrijednosti između njih.

Odgovori: y .

b) Kompozicija ovih funkcija nas vodi do složene funkcije koja se, nakon uvođenja međuargumenata, može predstaviti na sljedeći način:

y= –t 2 + 2t+ 3, gdje t= dnevnik 7 x,

Funkcija t= dnevnik 7 x

x (0; +∞ ), t (–∞ ; +∞ ).

Funkcija y = –t 2 + 2t+ 3 (vidi grafikon) argument t uzima bilo koje vrijednosti, a sama kvadratna funkcija sve vrijednosti ne više od 4.

Odgovori: y (–∞ ; 4].

c) Kompleksna funkcija ima sljedeći oblik:

Uvodeći međuargument, dobijamo:

Gdje t = x 2 + 1.

Pošto za unutrašnju funkciju x R , A t .

Odgovori: y (0; 3].

d) Kompozicija ove dvije funkcije daje nam složenu funkciju

koji se može napisati kao

primeti, to

Dakle, kada

Gdje k Z , t [–1; 0) (0; 1].

Crtanjem grafa funkcije vidimo to sa ovim vrijednostima t

y(–∞ ; –4] c ;

b) kroz cijelo područje definicije.

Rješenje. Prvo, ispitujemo monotonost ove funkcije. Funkcija t= arcctg x- kontinuirano i opadajuće za R i skup njegovih vrijednosti (0; π). Funkcija y= dnevnik 5 t je definisan na intervalu (0; π), kontinuiran je i na njemu raste. To znači da se ova složena funkcija smanjuje na skupu R . I ona će, kao sastav od dvije kontinuirane funkcije, biti kontinuirana R .

Hajde da rešimo problem "a".

Pošto je funkcija neprekidna na cijeloj brojevnoj pravoj, kontinuirana je na bilo kojem njenom dijelu, posebno na datom segmentu. I onda na ovom segmentu ima najmanju i najveću vrijednost i uzima sve vrijednosti između njih:

f(4) = log 5 arcctg 4.

Koja je od dobijenih vrijednosti veća? Zašto? A kakav će biti skup vrijednosti?

odgovor:

Rešimo problem "b".

odgovor: at(–∞ ; log 5 π) na cijelom području definicije.

Problem sa parametrom

Pokušajmo sada stvoriti i riješiti jednostavnu jednačinu s parametrom forme f(x) = a, Gdje f(x) - ista funkcija kao u zadatku 4.

Zadatak 5. Odrediti broj korijena jednadžbe log 5 (arcctg x) = A za svaku vrijednost parametra A.

Rješenje. Kao što smo već pokazali u zadatku 4, funkcija at= log 5 (arcctg x) - smanjuje se i nastavlja se R i uzima vrijednosti manje od log 5 π. Ova informacija je dovoljna da se da odgovor.

odgovor: Ako A < log 5 π, то уравнение имеет единственный корень;

Ako A≥ log 5 π, tada nema korijena.

Učitelju. Danas smo razmatrali probleme vezane za pronalaženje skupa vrijednosti funkcije. Na tom putu smo otkrili novu metodu za rješavanje jednadžbi i nejednačina - metodu procjene, pa je pronalaženje skupa vrijednosti funkcije postalo sredstvo rješavanja problema višeg nivoa. Pritom smo vidjeli kako se takvi problemi konstruiraju i kako svojstva monotonosti funkcije olakšavaju njihovo rješavanje.

I ja se nadam da vas je logika koja povezuje zadatke o kojima se danas raspravljalo zadivila ili barem iznenadila. Ne može drugačije: penjanje na novi vrh nikoga ne ostavlja ravnodušnim! Primjećujemo i cijenimo lijepe slike, skulpture itd. Ali matematika ima i svoju ljepotu, privlačnu i očaravajuću - ljepotu logike. Matematičari kažu da je lijepo rješenje obično ispravno rješenje, a ovo nije samo fraza. Sada morate sami pronaći takva rješenja, a mi smo danas naznačili jedan od puteva do njih. Sretno ti! I zapamtite: onaj ko hoda savladaće put!

Često, kao dio rješavanja problema, moramo tražiti mnoge vrijednosti funkcije u domeni definicije ili segmentu. Na primjer, to je potrebno učiniti kada se rješavaju različite vrste nejednakosti, procjenjuju izrazi itd.

U ovom materijalu ćemo vam reći koji je raspon vrijednosti funkcije, dati glavne metode pomoću kojih se ona može izračunati i analizirati probleme različitog stepena složenosti. Radi jasnoće, pojedinačne odredbe su ilustrovane grafikonima. Nakon čitanja ovog članka, dobit ćete sveobuhvatno razumijevanje raspona funkcije.

Počnimo s osnovnim definicijama.

Definicija 1

Skup vrijednosti funkcije y = f (x) na određenom intervalu x je skup svih vrijednosti koje ova funkcija preuzima prilikom iteracije preko svih vrijednosti x ∈ X.

Definicija 2

Raspon vrijednosti funkcije y = f (x) je skup svih njenih vrijednosti koje ona može uzeti kada pretražuje vrijednosti x iz raspona x ∈ (f).

Raspon vrijednosti određene funkcije obično se označava sa E (f).

Imajte na umu da koncept skupa vrijednosti funkcije nije uvijek identičan njenom rasponu vrijednosti. Ovi koncepti će biti ekvivalentni samo ako se interval vrijednosti x pri pronalaženju skupa vrijednosti poklapa s domenom definicije funkcije.

Također je važno razlikovati raspon vrijednosti i raspon prihvatljivih vrijednosti varijable x za izraz na desnoj strani y = f (x). Raspon dozvoljenih vrijednosti x za izraz f (x) bit će domen definicije ove funkcije.

Ispod je ilustracija koja prikazuje neke primjere. Plave linije su funkcionalni grafovi, crvene linije su asimptote, crvene tačke i linije na osi ordinata su rasponi funkcija.

Očigledno, raspon vrijednosti funkcije može se dobiti projektiranjem grafa funkcije na O y os. Štaviše, može predstavljati ili jedan broj ili skup brojeva, segment, interval, otvoreni zrak, uniju numeričkih intervala, itd.

Pogledajmo glavne načine za pronalaženje raspona vrijednosti funkcije.

Počnimo s definiranjem skupa vrijednosti kontinuirane funkcije y = f (x) na određenom segmentu označenom s [ a ; b ] . Znamo da funkcija koja je kontinuirana na određenom segmentu dostiže svoj minimum i maksimum na njemu, odnosno najveći m a x x ∈ a ; b f (x) i najmanju vrijednost m i n x ∈ a ; b f (x) . To znači da dobijamo segment m i n x ∈ a ; bf(x); m a x x ∈ a ; b f (x) , koji će sadržavati skupove vrijednosti originalne funkcije. Zatim sve što treba da uradimo je da pronađemo naznačene minimalne i maksimalne tačke na ovom segmentu.

Uzmimo problem u kojem trebamo odrediti raspon arcsinusnih vrijednosti.

Primjer 1

Stanje: pronađite raspon vrijednosti y = a r c sin x .

Rješenje

U opštem slučaju, domen definicije arksinusa nalazi se na segmentu [ - 1 ; 1 ] . Moramo odrediti najveću i najmanju vrijednost navedene funkcije na njoj.

y " = a r c sin x " = 1 1 - x 2

Znamo da će izvod funkcije biti pozitivan za sve vrijednosti x koje se nalaze u intervalu [-1; 1 ], odnosno, u cijelom domenu definicije, funkcija arcsinusa će se povećavati. To znači da će imati najmanju vrijednost kada je x jednako - 1, a najveća vrijednost kada je x jednako 1.

m i n x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - π 2 m a x x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin 1 = π 2

Dakle, raspon vrijednosti funkcije arcsinusa bit će jednak E (a r c sin x) = - π 2; π 2.

odgovor: E (a r c sin x) = - π 2 ; π 2

Primjer 2

Stanje: izračunajte raspon vrijednosti y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 na datom intervalu [ 1 ; 4 ] .

Rješenje

Sve što treba da uradimo je da izračunamo najveću i najmanju vrednost funkcije u datom intervalu.

Da bi se odredile tačke ekstrema, potrebno je izvršiti sljedeće proračune:

y " = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 " = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1; 4 i l i 4 x 2 - 15 x + 12 = 0 D = - 15 2 - 4 4 12 = 33 x 2 = 15 - 33 8 ≈ 1. 16 ∈ 1 ; 4 x 3 = 15 + 33 8 ≈ 2. 59 ∈ 1 ; 4

Sada pronađimo vrijednosti date funkcije na krajevima segmenta i tačkama x 2 = 15 - 33 8; x 3 = 15 + 33 8:

y (1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 ≈ 512 2. 08 y 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 · 15 + 33 8 3 + 6 · 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 y (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32

To znači da će skup vrijednosti funkcije biti određen segmentom 117 - 165 33 512; 32.

odgovor: 117 - 165 33 512 ; 32 .

Pređimo na pronalaženje skupa vrijednosti kontinuirane funkcije y = f (x) u intervalima (a ; b) i a ; + ∞ , - ∞ ; b , - ∞ ; + ∞ .

Počnimo određivanjem najveće i najmanje tačke, kao i intervala povećanja i smanjenja na datom intervalu. Nakon toga, morat ćemo izračunati jednostrane granice na krajevima intervala i/ili granice na beskonačnosti. Drugim riječima, potrebno je odrediti ponašanje funkcije pod datim uvjetima. Za to imamo sve potrebne podatke.

Primjer 3

Stanje: izračunajte opseg funkcije y = 1 x 2 - 4 na intervalu (- 2 ; 2) .

Rješenje

Odredite najveću i najmanju vrijednost funkcije na datom segmentu

y " = 1 x 2 - 4 " = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2)

Dobili smo maksimalnu vrijednost jednaku 0, jer se u tom trenutku mijenja predznak funkcije i graf počinje opadati. Pogledajte ilustraciju:

To jest, y (0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 će biti maksimalna vrijednost funkcije.

Sada odredimo ponašanje funkcije za x koji teži - 2 na desnoj strani i + 2 na lijevoj strani. Drugim riječima, nalazimo jednostrane granice:

lim x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 · 1 + 0 = - ∞ lim x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = - ∞

Ispada da će se vrijednosti funkcije povećati sa minus beskonačnosti na - 1 4 kada se argument promijeni sa - 2 na 0. A kada se argument promijeni sa 0 na 2, vrijednosti funkcije se smanjuju prema minus beskonačnosti. Shodno tome, skup vrijednosti date funkcije na intervalu koji nam je potreban bit će (- ∞ ; - 1 4 ] .

odgovor: (- ∞ ; - 1 4 ] .

Primjer 4

Stanje: označava skup vrijednosti y = t g x na datom intervalu - π 2; π 2.

Rješenje

Znamo da je u opštem slučaju derivacija tangente - π 2; π 2 će biti pozitivan, odnosno funkcija će se povećati. Sada odredimo kako se funkcija ponaša unutar datih granica:

lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞

Dobili smo povećanje vrijednosti funkcije od minus beskonačno do plus beskonačno kada se argument promijeni sa - π 2 na π 2, i možemo reći da će skup rješenja ove funkcije biti skup svih realnih brojeva .

odgovor: - ∞ ; + ∞ .

Primjer 5

Stanje: odrediti opseg funkcije prirodnog logaritma y = ln x.

Rješenje

Znamo da je ova funkcija definirana za pozitivne vrijednosti argumenta D (y) = 0; + ∞ . Izvod na datom intervalu će biti pozitivan: y " = ln x " = 1 x . To znači da se funkcija na njemu povećava. Zatim moramo definirati jednostrano ograničenje za slučaj kada argument teži 0 (na desnoj strani) i kada x ide u beskonačnost:

lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞

Otkrili smo da će se vrijednosti funkcije povećati od minus beskonačnosti do plus beskonačnosti kako se vrijednosti x mijenjaju od nule do plus beskonačnosti. To znači da je skup svih realnih brojeva raspon vrijednosti funkcije prirodnog logaritma.

odgovor: skup svih realnih brojeva je raspon vrijednosti funkcije prirodnog logaritma.

Primjer 6

Stanje: odrediti opseg funkcije y = 9 x 2 + 1 .

Rješenje

Ova funkcija je definirana pod uvjetom da je x realan broj. Izračunajmo najveću i najmanju vrijednost funkcije, kao i intervale njenog povećanja i smanjenja:

y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0

Kao rezultat, utvrdili smo da će se ova funkcija smanjiti ako je x ≥ 0; povećati ako je x ≤ 0 ; ima maksimalnu tačku y (0) = 9 0 2 + 1 = 9 sa promenljivom jednakom 0.

Pogledajmo kako se funkcija ponaša u beskonačnosti:

lim x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0

Iz zapisa je jasno da će se vrijednosti funkcije u ovom slučaju asimptotski približiti 0.

Da rezimiramo: kada se argument promijeni sa minus beskonačnosti na nulu, vrijednosti funkcije se povećavaju od 0 do 9. Kada se vrijednosti argumenata promijene od 0 do plus beskonačnost, odgovarajuće vrijednosti funkcije će se smanjiti sa 9 na 0. To smo pokazali na slici:

Pokazuje da će raspon vrijednosti funkcije biti interval E (y) = (0 ; 9 ]

odgovor: E (y) = (0 ; 9 ]

Ako trebamo odrediti skup vrijednosti funkcije y = f (x) na intervalima [ a ; b) , (a ; b ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; b ] , tada ćemo morati provesti potpuno ista istraživanja. Za sada nećemo analizirati ove slučajeve: naići ćemo na njih kasnije u probleme.

Ali šta ako je domen definicije određene funkcije unija nekoliko intervala? Zatim moramo izračunati skupove vrijednosti ​​na svakom od ovih intervala i kombinirati ih.

Primjer 7

Stanje: odrediti koji će raspon vrijednosti biti y = x x - 2.

Rješenje

Pošto nazivnik funkcije ne treba okrenuti na 0, onda je D (y) = - ∞; 2 ∪ 2 ; + ∞ .

Počnimo s definiranjem skupa vrijednosti funkcije na prvom segmentu - ∞; 2, koja je otvorena greda. Znamo da će se funkcija na njemu smanjiti, odnosno da će derivacija ove funkcije biti negativna.

lim x → 2 - 0 x x - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ x x - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0

Zatim, u slučajevima kada se argument mijenja prema minus beskonačnosti, vrijednosti funkcije će se asimptotski približiti 1. Ako se vrijednosti x promijene sa minus beskonačnost na 2, tada će se vrijednosti smanjiti sa 1 na minus beskonačnost, tj. funkcija na ovom segmentu će uzeti vrijednosti iz intervala - ∞; 1 . Jedinstvo isključujemo iz naših razmatranja, budući da joj vrijednosti funkcije ne dosežu, već joj se samo asimptotski približavaju.

Za otvorenu gredu 2; + ∞ izvodimo potpuno iste radnje. Funkcija na njemu se također smanjuje:

lim x → 2 + 0 x x - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x x - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0

Vrijednosti funkcije na datom segmentu određene su skupom 1; + ∞ . To znači da će raspon vrijednosti koje nam treba za funkciju navedenu u uvjetu biti unija skupova - ∞ ; 1 i 1; + ∞ .

odgovor: E (y) = - ∞ ; 1 ∪ 1 ; + ∞ .

To se može vidjeti na grafikonu:

Poseban slučaj su periodične funkcije. Njihov raspon vrijednosti poklapa se sa skupom vrijednosti na intervalu koji odgovara periodu ove funkcije.

Primjer 8

Stanje: odrediti raspon vrijednosti sinusa y = sin x.

Rješenje

Sinus je periodična funkcija i njen period je 2 pi. Uzmite segment 0; 2 π i pogledajte kakav će biti skup vrijednosti ​​na njemu.

y " = (sin x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z

Unutar 0 ; 2 π funkcija će imati tačke ekstrema π 2 i x = 3 π 2 . Izračunajmo koliko će biti jednake vrijednosti funkcije u njima, kao i na granicama segmenta, a zatim odaberite najveću i najmanju vrijednost.

y (0) = sin 0 = 0 y π 2 = sin π 2 = 1 y 3 π 2 = sin 3 π 2 = - 1 y (2 π) = sin (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π sin x = sin 3 π 2 = - 1, max x ∈ 0; 2 π sin x = sin π 2 = 1

odgovor: E (sin x) = - 1 ; 1 .

Ako trebate znati opsege funkcija kao što su snaga, eksponencijalna, logaritamska, trigonometrijska, inverzna trigonometrijska, savjetujemo vam da ponovo pročitate članak o osnovnim elementarnim funkcijama. Teorija koju ovdje predstavljamo omogućava nam da provjerimo vrijednosti koje su tamo navedene. Preporučljivo ih je naučiti jer su često potrebni prilikom rješavanja problema. Ako poznajete opsege osnovnih funkcija, lako možete pronaći opsege funkcija koji se dobijaju iz elementarnih pomoću geometrijske transformacije.

Primjer 9

Stanje: odrediti raspon vrijednosti y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 .

Rješenje

Znamo da je segment od 0 do pi arc kosinus raspon. Drugim riječima, E (a r c cos x) = 0; π ili 0 ≤ a r c cos x ≤ π . Funkciju a r c cos x 3 + 5 π 7 možemo dobiti iz arc kosinusa pomicanjem i rastezanjem duž ose O x, ali takve transformacije nam neće dati ništa. To znači 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ π .

Funkcija 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 se može dobiti iz arc kosinusa a r c cos x 3 + 5 π 7 rastezanjem duž ordinatne ose, tj. 0 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . Konačna transformacija je pomak duž ose O y za 4 vrijednosti. Kao rezultat, dobijamo dvostruku nejednakost:

0 - 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4

Otkrili smo da će raspon vrijednosti koje su nam potrebne biti jednak E (y) = - 4; 3 π - 4 .

odgovor: E (y) = - 4 ; 3 π - 4 .

Zapisaćemo još jedan primjer bez objašnjenja, jer potpuno je sličan prethodnom.

Primjer 10

Stanje: izračunaj koliki će biti opseg funkcije y = 2 2 x - 1 + 3.

Rješenje

Prepišimo funkciju specificiranu u uvjetu kao y = 2 · (2 ​​x - 1) - 1 2 + 3. Za funkciju stepena y = x - 1 2 raspon vrijednosti će biti definiran na intervalu 0; + ∞, tj. x - 1 2 > 0 . U ovom slučaju:

2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3

Dakle, E(y) = 3; + ∞ .

odgovor: E(y) = 3; + ∞ .

Pogledajmo sada kako pronaći raspon vrijednosti funkcije koja nije kontinuirana. Da bismo to učinili, moramo podijeliti cijelo područje na intervale i pronaći skupove vrijednosti u svakom od njih, a zatim kombinirati ono što dobijemo. Da biste ovo bolje razumjeli, savjetujemo vam da pregledate glavne tipove prijelomnih tačaka funkcija.

Primjer 11

Stanje: s obzirom na funkciju y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3. Izračunajte njegov raspon vrijednosti.

Rješenje

Ova funkcija je definirana za sve vrijednosti x. Analizirajmo ga za kontinuitet sa vrijednostima argumenta jednakim - 3 i 3:

lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 sin x 2 - 4 = 2 sin - 3 2 - 4 = - 2 sin 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim x → - 3 - 0 f (x) ≠ lim x → - 3 + 0 f (x)

Imamo neuklonjivi diskontinuitet prve vrste kada je vrijednost argumenta - 3. Kako joj se približavamo, vrijednosti funkcije teže - 2 sin 3 2 - 4, a kako x teži - 3 na desnoj strani, vrijednosti će težiti - 1.

lim x → 3 - 0 f (x) = lim x → 3 - 0 (- 1) = 1 lim x → 3 + 0 f (x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞

Imamo neuklonjivi diskontinuitet druge vrste u tački 3. Kada funkcija teži njoj, njene vrijednosti se približavaju - 1, kada teži istoj tački desno - minus beskonačnosti.

To znači da je cijeli domen definicije ove funkcije podijeljen na 3 intervala (- ∞ ; - 3 ], (- 3 ; 3 ], (3 ; + ∞).

U prvom od njih dobili smo funkciju y = 2 sin x 2 - 4. Kako je - 1 ≤ sin x ≤ 1, dobijamo:

1 ≤ sin x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2

To znači da je na datom intervalu (- ∞ ; - 3 ] skup vrijednosti funkcije [- 6 ; 2 ] .

Na poluintervalu (- 3; 3 ], rezultat je konstantna funkcija y = - 1. Posljedično, cijeli skup njenih vrijednosti u ovom slučaju će se svesti na jedan broj - 1.

U drugom intervalu 3 ; + ∞ imamo funkciju y = 1 x - 3 . Opada jer je y" = - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:

lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0

To znači da je skup vrijednosti originalne funkcije za x > 3 skup 0; + ∞ . Sada kombinujmo rezultate: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; + ∞ .

odgovor: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; + ∞ .

Rješenje je prikazano na grafikonu:

Primjer 12

Uslov: postoji funkcija y = x 2 - 3 e x. Odredite skup njegovih vrijednosti.

Rješenje

Definiran je za sve vrijednosti argumenata koji su realni brojevi. Odredimo u kojim intervalima će se ova funkcija povećavati, a u kojima će se smanjivati:

y " = x 2 - 3 e x " = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x

Znamo da će derivacija postati 0 ako je x = - 1 i x = 3. Postavimo ove dvije tačke na osu i saznamo koji će predznak imati derivacija na rezultujućim intervalima.

Funkcija će se smanjiti za (- ∞ ; - 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞) i povećati za [ - 1 ; 3]. Minimalni bod će biti - 1, maksimalni - 3.

Sada pronađimo odgovarajuće vrijednosti funkcije:

y (- 1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3

Pogledajmo ponašanje funkcije u beskonačnosti:

lim x → - ∞ x 2 - 3 e x = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 e x = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 - 3 " e x " = lim x → + ∞ 2 x e x = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x " (e x) " = 2 lim x → + ∞ 1 e x = 2 1 + ∞ = + 0

Za izračunavanje druge granice korišteno je L'Hopitalovo pravilo. Opišimo napredak našeg rješenja na grafu.

Pokazuje da će se vrijednosti funkcije smanjiti sa plus beskonačnosti na - 2 e kada se argument promijeni sa minus beskonačnosti na - 1. Ako se promijeni sa 3 na plus beskonačno, tada će se vrijednosti smanjiti sa 6 e - 3 na 0, ali 0 neće biti dostignuta.

Dakle, E(y) = [ - 2 e ; + ∞) .

odgovor: E(y) = [ - 2 e ; + ∞)

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Funkcija je jedan od najvažnijih matematičkih pojmova.

Definicija: Ako je svaki broj iz određenog skupa x povezan s jednim brojem y, onda kažu da je funkcija y(x) definirana na ovom skupu. U ovom slučaju, x se naziva nezavisna varijabla ili argument, a y se naziva zavisna varijabla ili vrijednost funkcije ili jednostavno funkcija.

Za varijablu y se također kaže da je funkcija varijable x.

Nakon što smo označili podudaranje slovom, na primjer f, zgodno je napisati: y=f (x), odnosno vrijednost y se dobija iz argumenta x pomoću podudaranja f. (Pročitajte: y je jednako f od x.) Simbol f (x) označava vrijednost funkcije koja odgovara vrijednosti argumenta jednakom x.

Primjer 1 Neka je funkcija data formulom y=2x 2 –6. Tada možemo napisati da je f(x)=2x 2 –6. Nađimo vrijednosti funkcije za vrijednosti x jednake, na primjer, 1; 2,5;–3; tj. nalazimo f(1), f(2.5), f(–3):

f(1)=2 1 2 –6=–4;
f(2,5)=2 2,5 2 –6=6,5;
f(–3)=2 (–3) 2 –6= 12.

Imajte na umu da se u zapisu oblika y=f (x) koriste druga slova umjesto f: g, itd.

Definicija: Domen funkcije su sve vrijednosti x za koje funkcija postoji.

Ako je funkcija specificirana formulom, a njezin domen definicije nije specificiran, tada se smatra da se domena definicije funkcije sastoji od svih vrijednosti argumenta za koje formula ima smisla.

Drugim riječima, domen funkcije date formulom su sve vrijednosti argumenta osim onih koje rezultiraju radnjama koje ne možemo izvršiti. U ovom trenutku znamo samo dvije takve akcije. Ne možemo dijeliti sa nulom i ne možemo uzeti kvadratni korijen negativnog broja.

Definicija: Sve vrijednosti koje zavisna varijabla preuzima formiraju raspon funkcije.

Domen definicije funkcije koja opisuje stvarni proces zavisi od specifičnih uslova njenog nastanka. Na primjer, ovisnost dužine l željezne šipke o temperaturi grijanja t izražava se formulom gdje je l 0 početna dužina šipke, a koeficijent linearne ekspanzije. Ova formula ima smisla za sve vrijednosti t. Međutim, domen definicije funkcije l=g(t) je interval od nekoliko desetina stepeni, za koji važi zakon linearne ekspanzije.

Primjer.

Odredite opseg funkcije y = arcsinx.

Rješenje.

Domen definicije arcsinusa je segment [-1; 1] . Nađimo najveću i najmanju vrijednost funkcije na ovom segmentu.

Izvod je pozitivan za sve x iz intervala (-1; 1) , odnosno, arcsinusna funkcija raste u cijelom domenu definicije. Stoga, uzima najmanju vrijednost kada x = -1, a najveći u x = 1.

Dobili smo raspon arcsinusne funkcije .

Pronađite skup vrijednosti funkcije na segmentu .

Rješenje.

Nađimo najveću i najmanju vrijednost funkcije na datom segmentu.

Odredimo tačke ekstrema koje pripadaju segmentu :