Sa školskih časova matematike svi se sjećaju sinusnog grafa koji se proteže u daljinu u uniformnim valovima. Mnoge druge funkcije imaju slično svojstvo - ponavljanje nakon određenog intervala. Zovu se periodične. Periodičnost je vrlo važno svojstvo funkcije, koje se često susreće u različitim zadacima. Stoga je korisno moći odrediti da li je funkcija periodična.

Instrukcije

• Ako je F(x) funkcija argumenta x, onda se naziva periodičnim ako postoji broj T takav da je za bilo koji x F(x + T) = F(x). Ovaj broj T naziva se period funkcije.Može biti nekoliko perioda. Na primjer, funkcija F = const uzima istu vrijednost za bilo koju vrijednost argumenta, pa se stoga svaki broj može smatrati njenim periodom.Matematičari su obično zainteresovani za najmanji period funkcije različit od nule. Radi kratkoće, jednostavno se zove tačka.
• Klasičan primjer periodičnih funkcija je trigonometrijski: sinus, kosinus i tangent. Njihov period je isti i jednak 2π, odnosno sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) i tako dalje. Međutim, naravno, trigonometrijske funkcije nisu jedine periodične.
• Za jednostavne, osnovne funkcije, jedini način da se utvrdi da li su periodične ili neperiodične je proračun. Ali za složene funkcije već postoji nekoliko jednostavnih pravila.
• Ako je F(x) periodična funkcija s periodom T, i za nju je definiran izvod, onda je i ovaj izvod f(x) = F′(x) također periodična funkcija s periodom T. Na kraju krajeva, vrijednost izvod u tački x jednak je tangenti grafa uglova tangente, njegov antiderivat u ovoj tački na x-osu, a pošto se antiderivat periodično ponavlja, izvod se takođe mora ponavljati. Na primjer, derivacija funkcije sin(x) jednaka je cos(x) i periodična je. Uzimajući derivaciju cos(x) dobijate –sin(x). Frekvencija ostaje nepromijenjena, ali suprotno nije uvijek tačno. Dakle, funkcija f(x) = const je periodična, ali njen antiderivat F(x) = const*x + C nije.
• Ako je F(x) periodična funkcija s periodom T, onda je G(x) = a*F(kx + b), gdje su a, b i k konstante i k nije jednako nuli - također je periodična funkcija , a njegov period je T/k. Na primjer, sin(2x) je periodična funkcija, a njen period je π. Ovo se može vizualno predstaviti na sljedeći način: množenjem x nekim brojem, čini se da kompresujete grafik funkcije horizontalno točno toliko puta
• Ako su F1(x) i F2(x) periodične funkcije, a njihovi periodi su jednaki T1 i T2, respektivno, onda i zbir ovih funkcija može biti periodičan. Međutim, njegov period neće biti prost zbir perioda T1 i T2. Ako je rezultat dijeljenja T1/T2 racionalan broj, tada je zbir funkcija periodičan, a njegov period je jednak najmanjem zajedničkom višekratniku (LCM) perioda T1 i T2. Na primjer, ako je period prve funkcije 12, a period druge 15, tada će period njihove sume biti jednak LCM (12, 15) = 60. To se može vizualno predstaviti na sljedeći način: funkcije dolaze s različitim "širinama koraka", ali ako je omjer njihovih širina racionalan, onda će prije ili kasnije (tačnije kroz LCM koraka) one ponovo postati jednake, a njihov zbir će započeti novi period.
• Međutim, ako je omjer perioda iracionalan, onda ukupna funkcija uopće neće biti periodična. Na primjer, neka je F1(x) = x mod 2 (ostatak kada je x podijeljen sa 2), a F2(x) = sin(x). T1 će ovdje biti jednak 2, a T2 će biti jednak 2π. Omjer perioda je jednak π - iracionalan broj. Dakle, funkcija sin(x) + x mod 2 nije periodična.

Sa školskih časova matematike svi se sjećaju sinusnog grafa koji se proteže u daljinu u uniformnim valovima. Mnoge druge funkcije imaju slično svojstvo - ponavljanje u određenom intervalu. Zovu se periodične. Periodičnost je vrlo značajan kvalitet funkcije, koji se često nalazi u različitim zadacima. Prema tome, korisno je moći odrediti da li je funkcija periodična.

Instrukcije

1. Ako je F(x) funkcija argumenta x, onda se naziva periodičnim ako postoji broj T takav da je za svaki x F(x + T) = F(x). Ovaj broj T naziva se period funkcije.Može biti nekoliko perioda. Recimo da funkcija F = const uzima istu vrijednost za sve vrijednosti argumenta, pa se stoga bilo koji broj može smatrati njenim periodom.Tradicionalno, matematika se bavi minimalnim periodom funkcije koji nije nula. Radi kratkoće, naziva se primitivnim periodom.

2. Tipičan primjer periodičnih funkcija je trigonometrijski: sinus, kosinus i tangent. Njihov period je identičan i jednak 2?, odnosno sin(x) = sin(x + 2?) = sin(x + 4?) i tako dalje. Međutim, naravno, trigonometrijske funkcije nisu isključivo periodične.

3. Što se tiče primitivnih, osnovnih funkcija, jedini način za utvrđivanje njihove periodičnosti ili neperiodičnosti su proračuni. Ali za teške funkcije već postoji nekoliko primitivnih pravila.

4. Ako je F(x) periodična funkcija s periodom T, i za nju je definiran izvod, onda je ovaj izvod f(x) = F?(x) također periodična funkcija s periodom T. Vrijednost izvoda u tački x je jednako tangentu ugla tangente grafika njegovog antiderivata u ovoj tački na x-osu, a pošto se antiderivat periodično ponavlja, derivacija se takođe mora ponavljati. Recimo da je derivacija funkcije sin(x) jednaka cos(x), i da je periodična. Uzimajući derivaciju cos(x) dobijate –sin(x). Periodičnost ostaje konstantna, ali suprotno nije uvijek tačno. Dakle, funkcija f(x) = const je periodična, ali njen antiderivat F(x) = const*x + C nije.

5. Ako je F(x) periodična funkcija s periodom T, onda je G(x) = a*F(kx + b), gdje su a, b i k konstante i k nije jednako nuli - također je periodična funkcija , a njegov period je T/k. Recimo da je sin(2x) periodična funkcija, a njen period je jednak?. Ovo se može vizualno predstaviti na sljedeći način: množenjem x bilo kojim brojem, čini se da kompresujete grafik funkcije horizontalno točno toliko puta

6. Ako su F1(x) i F2(x) periodične funkcije, a njihovi periodi su jednaki T1 i T2, respektivno, onda i zbir ovih funkcija može biti periodičan. Međutim, njegov period neće biti lak zbir perioda T1 i T2. Ako je rezultat dijeljenja T1/T2 razuman broj, tada je zbir funkcija periodičan, a njegov period jednak je najmanjem univerzalnom višekratniku (LCM) perioda T1 i T2. Recimo, ako je period prve funkcije 12, a period 2. 15, tada će period njihove sume biti jednak LCM (12, 15) = 60. To se može vizualno predstaviti na sljedeći način: funkcije dolaze sa različitim „širinama koraka“, ali ako je odnos njihovih širina smislen, onda će pre ili kasnije (tačnije, kroz LCM koraka), oni ponovo postati jednaki, a njihov zbir će započeti novi period.

7. Međutim, ako je omjer perioda iracionalan, onda ukupna funkcija uopće neće biti periodična. Recimo neka je F1(x) = x mod 2 (ostatak dijeljenja x sa 2), a F2(x) = sin(x). T1 će ovdje biti jednak 2, a T2 će biti jednak 2?. Da li je odnos perioda jednak? - iracionalan broj. Prema tome, funkcija sin(x) + x mod 2 nije periodična.

Mnoge matematičke funkcije imaju jednu specifičnu osobinu koja ih čini lakšim za konstruiranje - to je periodičnost, odnosno ponovljivost grafa na koordinatnoj mreži u jednakim intervalima.

Instrukcije

1. Najpoznatije periodične funkcije u matematici su sinus i kosinus. Ove funkcije imaju talasnu prirodu i period pivotiranja jednak 2P. Također poseban slučaj periodične funkcije je f(x)=const. Bilo koji broj se uklapa u poziciju x; ova funkcija nema glavnu tačku, jer je prava linija.

2. Općenito, funkcija je periodična ako postoji cijeli broj N koji nije nula i zadovoljava pravilo f(x)=f(x+N), čime se osigurava ponovljivost. Period funkcije je najmanji broj N, ali ne i nula. To jest, recimo, funkcija sin x je jednaka funkciji sin (x+2PN), gdje je N=±1, ±2, itd.

3. Povremeno, funkcija može imati množitelj (recimo, sin 2x), onaj koji će povećati ili smanjiti period funkcije. Da bi se otkrio period po grafika, morate odrediti ekstreme funkcije - najvišu i najnižu tačku grafa funkcije. Budući da sinusni i kosinusni valovi imaju talasnu prirodu, ovo je prilično lako učiniti. Iz ovih tačaka konstruišite okomite prave sve dok se ne preseku sa X osom.

4. Udaljenost od gornjeg ekstremuma do donjeg bit će polovina perioda funkcije. Svakome je pogodnije izračunati period od presjeka grafika s Y osom i, shodno tome, nulte oznake na x osi. Nakon toga, trebate pomnožiti rezultirajuću vrijednost sa dva i dobiti pivot period funkcije.

5. Da biste olakšali crtanje sinusnih i kosinusnih krivulja, morate imati na umu da ako funkcija ima cjelobrojnu vrijednost, tada će se njen period produžiti (to jest, 2P se mora pomnožiti s ovim indikatorom) i graf će izgledati mekše i glatko ; a ako je broj razlomačan, naprotiv, smanjit će se i graf će postati „oštriji“, nalik na skok.

Video na temu

Instrukcije

Najmanje pozitivno period kosinus je takođe jednak 2?. Razmotrite dokaz ovoga na primjeru funkcije y=cos(x). Ako je T proizvoljan period om kosinus, zatim cos(a+T)=cos(a). U slučaju da je a=0, cos(T)=cos(0)=1. S obzirom na to, najmanja pozitivna vrijednost T pri kojoj je cos(x) = 1 je 2?.

S obzirom na činjenicu da 2? – period sinus i kosinus, takođe će biti period ohm kotangens, kao i tangens, ali ne minimalan, budući da je, kao, najmanji pozitivni period tangens i kotangens su jednaki?. To možete provjeriti uzimajući u obzir sljedeće: tačke koje odgovaraju (x) i (x+?) na trigonometrijskom krugu imaju dijametralno suprotne lokacije. Udaljenost od tačke (x) do tačke (x+2?) odgovara pola kruga. Po definiciji tangente i kotangensa tg(x+?)=tgx, i ctg(x+?)=ctgx, što znači najmanji pozitivni period kotangens i ?.

Bilješka

Nemojte brkati funkcije y=cos(x) i y=sin(x) - koje imaju isti period, ove funkcije su predstavljene različito.

Koristan savjet

Radi veće jasnoće nacrtajte trigonometrijsku funkciju za koju se izračunava najmanji pozitivni period.

Izvori:

• Priručnik iz matematike, školska matematika, viša matematika

Trigonometrijski funkcije periodično, odnosno ponavljaju se nakon određenog perioda. Zahvaljujući tome, dovoljno je proučiti funkciju na ovom intervalu i proširiti pronađena svojstva na sve ostale periode.

Instrukcije

Da biste pronašli period trigonometrijske funkcije podignute na stepen, procijenite paritet stepena. Smanjiti standardni period za polovinu. Na primjer, ako vam je data funkcija y=3 cos^2x, tada će se standardni period 2P smanjiti za 2 puta, tako da će period biti jednak P. Imajte na umu da su funkcije tg, ctg periodične na P na bilo koju stepen.

Sa školskih časova matematike svi se sjećaju sinusnog grafa koji se proteže u daljinu u uniformnim valovima. Mnoge druge funkcije imaju slično svojstvo - ponavljanje nakon određenog intervala. Zovu se periodične. Periodičnost je vrlo važno svojstvo funkcije, koje se često susreće u različitim zadacima. Stoga je korisno moći odrediti da li je funkcija periodična.

Instrukcije

Ako je F(x) funkcija argumenta x, onda se naziva periodičnim ako postoji broj T takav da je za bilo koji x F(x + T) = F(x). Ovaj broj T naziva se period funkcije.

Može postojati nekoliko perioda. Na primjer, funkcija F = const uzima istu vrijednost za bilo koju vrijednost argumenta, i stoga se svaki broj može smatrati njenom periodom.

Matematičare obično zanima najmanji period funkcije koji nije nula. Radi kratkoće, jednostavno se zove tačka.

Klasičan primjer periodičnih funkcija je trigonometrijski: sinus, kosinus i tangent. Njihov period je isti i jednak 2?, odnosno sin(x) = sin(x + 2?) = sin(x + 4?) i tako dalje. Međutim, naravno, trigonometrijske funkcije nisu jedine periodične.

Za jednostavne, osnovne funkcije, jedini način da se utvrdi da li su periodične ili neperiodične je proračun. Ali za složene funkcije već postoji nekoliko jednostavnih pravila.

Ako je F(x) periodična funkcija s periodom T, i za nju je definiran izvod, onda je i ovaj izvod f(x) = F?(x) također periodična funkcija s periodom T. Na kraju krajeva, vrijednost izvod u tački x jednak je tangenti grafa uglova tangente, njegov antiderivat u ovoj tački na x-osu, a pošto se antiderivat periodično ponavlja, izvod se takođe mora ponavljati. Na primjer, derivacija funkcije sin(x) jednaka je cos(x) i periodična je. Uzimajući derivaciju cos(x) dobijate –sin(x). Frekvencija ostaje nepromijenjena.

Međutim, suprotno nije uvijek tačno. Dakle, funkcija f(x) = const je periodična, ali njen antiderivat F(x) = const*x + C nije.

Ako je F(x) periodična funkcija s periodom T, onda je G(x) = a*F(kx + b), gdje su a, b i k konstante i k nije jednako nuli - također je periodična funkcija , a njegov period je T/k. Na primjer, sin(2x) je periodična funkcija, a njen period je jednak?. Ovo se može vizualno predstaviti na sljedeći način: množenjem x nekim brojem, čini se da kompresujete grafik funkcije horizontalno točno toliko puta

Ako su F1(x) i F2(x) periodične funkcije, a njihovi periodi su jednaki T1 i T2, respektivno, onda i zbir ovih funkcija može biti periodičan. Međutim, njegov period neće biti prost zbir perioda T1 i T2. Ako je rezultat dijeljenja T1/T2 racionalan broj, tada je zbir funkcija periodičan, a njegov period je jednak najmanjem zajedničkom višekratniku (LCM) perioda T1 i T2. Na primjer, ako je period prve funkcije 12, a period druge 15, tada će period njihove sume biti jednak LCM (12, 15) = 60.

To se može vizualno predstaviti na sljedeći način: funkcije dolaze s različitim "širinama koraka", ali ako je omjer njihovih širina racionalan, tada će prije ili kasnije (ili bolje rečeno, upravo kroz LCM koraka), one ponovo postati jednake, i njihov iznos će započeti novi period.

Međutim, ako je omjer perioda iracionalan, onda ukupna funkcija uopće neće biti periodična. Na primjer, neka je F1(x) = x mod 2 (ostatak kada je x podijeljen sa 2), a F2(x) = sin(x). T1 će ovdje biti jednak 2, a T2 će biti jednak 2?. Da li je odnos perioda jednak? - iracionalan broj. Dakle, funkcija sin(x) + x mod 2 nije periodična.

Mnoge matematičke funkcije imaju jednu osobinu koja ih čini lakšima za konstruiranje: periodičnost, odnosno ponovljivost grafa na koordinatnoj mreži u pravilnim intervalima.

Instrukcije

Najpoznatije periodične funkcije u matematici su sinusne i kosinusne funkcije. Ove funkcije imaju talasni karakter i glavni period od 2P. Također poseban slučaj periodične funkcije je f(x)=const. Bilo koji broj je pogodan za poziciju x; ova funkcija nema glavnu tačku, jer je prava linija.

Općenito, funkcija je periodična ako postoji cijeli broj N koji nije nula i zadovoljava pravilo f(x)=f(x+N), čime se osigurava ponovljivost. Period funkcije je najmanji broj N, ali ne i nula. To jest, na primjer, funkcija sin x je jednaka funkciji sin (x+2PN), gdje je N=±1, ±2, itd.

Ponekad funkcija može imati množitelj (na primjer, sin 2x), koji će povećati ili smanjiti period funkcije. Da biste pronašli period po grafika, potrebno je odrediti ekstreme funkcije - najvišu i najnižu tačku grafa funkcije. Pošto sinusni i kosinusni talasi imaju talasnu prirodu, to je prilično lako učiniti. Iz ovih tačaka konstruišite okomite prave sve dok se ne preseku sa X osom.

Udaljenost od gornjeg ekstremuma do donjeg bit će polovina perioda funkcije. Najpogodnije je izračunati period od presjeka grafika s Y osom i, shodno tome, nulte oznake na x osi. Nakon toga, trebate pomnožiti rezultirajuću vrijednost sa dva i dobiti glavni period funkcije.

Da bi se pojednostavila konstrukcija sinusnih i kosinusnih grafova, treba napomenuti da ako funkcija ima cjelobrojnu vrijednost, tada će se njen period produžiti (to jest, 2P se mora pomnožiti s ovim koeficijentom) i graf će izgledati mekše, glađe - i ako je broj razlomačan, naprotiv, smanjit će se i graf će postati "oštriji" i skokovitog izgleda.

Kako proučavati funkciju i izgraditi njen graf?

Čini se da počinjem da shvatam duhovno pronicljivo lice vođe svetskog proletarijata, autora sabranih dela u 55 tomova... Dugo putovanje počelo je sa osnovnim informacijama o funkcije i grafovi, a sada se rad na radno intenzivnoj temi završava logičnim rezultatom - člankom o potpunom proučavanju funkcije. Dugo očekivani zadatak formuliran je na sljedeći način:

Proučite funkciju koristeći metode diferencijalnog računa i izgradite njen graf na osnovu rezultata studije

Ili ukratko: ispitajte funkciju i napravite graf.

Zašto istraživati? U jednostavnim slučajevima, neće nam biti teško razumjeti elementarne funkcije i nacrtati graf dobiven korištenjem elementarne geometrijske transformacije i tako dalje. Međutim, svojstva i grafički prikazi složenijih funkcija daleko su od očiglednih, zbog čega je potrebna cijela studija.

Glavni koraci rješenja su sažeti u referentnom materijalu Shema proučavanja funkcija, ovo je vaš vodič za sekciju. Dumkama je potrebno objašnjenje teme korak po korak, neki čitaoci ne znaju odakle da počnu ili kako da organizuju svoje istraživanje, a napredne studente može zanimati samo nekoliko tačaka. Ali ko god da ste, dragi posjetitelju, predloženi sažetak sa uputama za razne lekcije brzo će vas orijentirati i voditi u smjeru interesovanja. Roboti su lili suze =) Priručnik je postavljen kao pdf fajl i zauzeo je zasluženo mesto na stranici Matematičke formule i tabele.

Navikao sam da raščlanim istraživanje funkcije na 5-6 tačaka:

6) Dodatne tačke i grafikon na osnovu rezultata istraživanja.

Što se tiče završne akcije, mislim da je svima sve jasno - bit će jako razočaravajuće ako se za nekoliko sekundi precrta i zadatak vrati na doradu. ISPRAVAN I TAČAN CRTEŽ je glavni rezultat rješenja! Vjerovatno će "prikriti" analitičke greške, dok će netačan i/ili nemaran raspored uzrokovati probleme čak i sa savršeno provedenom studijom.

Treba napomenuti da se u drugim izvorima broj istraživačkih točaka, redoslijed njihove implementacije i stil dizajna mogu značajno razlikovati od sheme koju sam predložio, ali je u većini slučajeva sasvim dovoljan. Najjednostavnija verzija problema sastoji se od samo 2-3 faze i formulisana je otprilike ovako: “istraži funkciju koristeći derivaciju i napravi graf” ili “istraži funkciju koristeći 1. i 2. izvode, napravi graf”.

Naravno, ako vaš priručnik detaljno opisuje neki drugi algoritam ili vaš nastavnik striktno zahtijeva da se pridržavate njegovih predavanja, tada ćete morati izvršiti neke prilagodbe rješenja. Ništa teže nego zamijeniti viljušku motorne pile kašikom.

Provjerimo funkciju parno/neparno:

Nakon toga slijedi obrazac odgovora:
, što znači da ova funkcija nije parna ili neparna.

Budući da je funkcija kontinuirana na , ne postoje vertikalne asimptote.

Nema ni kosih asimptota.

Bilješka : Podsjećam da je viši redosled rasta, nego , stoga je konačna granica tačno “ plus beskonačnost."

Hajde da saznamo kako se funkcija ponaša u beskonačnosti:

Drugim riječima, ako idemo desno, onda graf ide beskonačno daleko gore, ako idemo lijevo, ide beskonačno daleko dolje. Da, postoje i dva ograničenja pod jednim unosom. Ako imate poteškoća s dešifriranjem znakova, posjetite lekciju o beskonačno male funkcije.

Dakle, funkcija nije ograničeno odozgo I nije ograničeno odozdo. S obzirom da nemamo graničnih tačaka, postaje jasno opseg funkcija: – također bilo koji realni broj.

KORISNA TEHNIČKA TEHNIKA

Svaka faza zadatka donosi nove informacije o grafu funkcije, stoga je tokom rješavanja zgodno koristiti neku vrstu LAYOUT-a. Nacrtajmo kartezijanski koordinatni sistem na nacrtu. Šta se već sigurno zna? Prvo, graf nema asimptote, stoga nema potrebe za crtanjem pravih linija. Drugo, znamo kako se funkcija ponaša u beskonačnosti. Prema analizi, pravimo prvu aproksimaciju:

Imajte na umu da zbog kontinuitet funkcija uključena i činjenica da graf mora prijeći os barem jednom. Ili možda postoji nekoliko tačaka ukrštanja?

3) Nule funkcije i intervali predznaka konstante.

Prvo, pronađimo tačku preseka grafa sa ordinatnom osom. To je jednostavno. Potrebno je izračunati vrijednost funkcije na:

Jedan i pol iznad nivoa mora.

Da bismo pronašli točke presjeka s osom (nule funkcije), moramo riješiti jednačinu i tu nas čeka neugodno iznenađenje:

Na kraju vreba slobodan član, što znatno otežava zadatak.

Takva jednadžba ima barem jedan pravi korijen, a najčešće je iracionalan. U najgoroj bajci čekaju nas tri praščića. Jednačina je rješiva ​​pomoću tzv Cardano formule, ali šteta na papiru je uporediva sa gotovo cijelom studijom. U tom smislu, mudrije je pokušati odabrati barem jedan, bilo usmeno ili u nacrtu. cijeli root. Provjerimo da li su ovi brojevi:
– nije prikladno;
- Tu je!

Lucky here. U slučaju neuspjeha, možete i testirati, a ako se ovi brojevi ne uklapaju, bojim se da su vrlo male šanse za isplativo rješenje jednadžbe. Tada je bolje potpuno preskočiti tačku istraživanja - možda će nešto postati jasnije u završnom koraku, kada će se probiti dodatne točke. A ako su korijen(i) očito "loši", onda je bolje skromno šutjeti o intervalima postojanosti znakova i pažljivije crtati.

Međutim, imamo lijep korijen, pa dijelimo polinom bez ostatka:

Algoritam za dijeljenje polinoma polinomom detaljno je razmotren u prvom primjeru lekcije Kompleksne granice.

Kao rezultat, lijeva strana originalne jednadžbe razgrađuje se u proizvod:

A sada malo o zdravom načinu života. Ja to, naravno, razumem kvadratne jednačine treba rješavati svaki dan, ali danas ćemo napraviti izuzetak: jednadžbu ima dva prava korena.

Iscrtajmo pronađene vrijednosti na brojevnoj liniji I intervalna metoda Definirajmo znakove funkcije:


Dakle, na intervalima raspored se nalazi
ispod x-ose i u intervalima – iznad ove ose.

Nalazi nam omogućavaju da preciziramo naš izgled, a druga aproksimacija grafa izgleda ovako:

Imajte na umu da funkcija mora imati najmanje jedan maksimum u intervalu i najmanje jedan minimum u intervalu. Ali još ne znamo koliko puta, gdje i kada će se raspored petljati. Usput, funkcija može imati beskonačno mnogo ekstremi.

4) Povećanje, smanjenje i ekstremi funkcije.

Nađimo kritične tačke:

Ova jednadžba ima dva realna korijena. Stavimo ih na brojevnu pravu i odredimo predznake derivacije:


Stoga se funkcija povećava za i smanjuje se za .
U trenutku kada funkcija dostigne svoj maksimum: .
U trenutku kada funkcija dosegne minimum: .

Utvrđene činjenice dovode naš predložak u prilično krut okvir:

Nepotrebno je reći da je diferencijalni račun moćna stvar. Hajde da konačno shvatimo oblik grafa:

5) Konveksnost, konkavnost i pregibne tačke.

Nađimo kritične tačke drugog izvoda:

Hajde da definišemo znakove:


Graf funkcije je konveksan na i konkavan na . Izračunajmo ordinatu prevojne tačke: .

Gotovo sve je postalo jasno.

6) Ostaje pronaći dodatne točke koje će vam pomoći da preciznije konstruirate graf i izvršite samotestiranje. U ovom slučaju ih je malo, ali ih nećemo zanemariti:

Napravimo crtež:

Prevojna tačka je označena zelenom bojom, dodatne tačke su označene krstićima. Graf kubične funkcije je simetričan u odnosu na njenu prevojnu tačku, koja se uvijek nalazi striktno u sredini između maksimuma i minimuma.

Kako je zadatak napredovao, dao sam tri hipotetička privremena crteža. U praksi je dovoljno nacrtati koordinatni sistem, označiti pronađene tačke i nakon svake tačke istraživanja mentalno procijeniti kako bi grafik funkcije mogao izgledati. Studentima sa dobrim nivoom pripremljenosti neće biti teško izvršiti takvu analizu samo u svojim glavama, bez uključivanja nacrta.

Da to sami riješite:

Primjer 2

Istražite funkciju i napravite graf.

Ovdje je sve brže i zabavnije, približni primjer konačnog dizajna na kraju lekcije.

Proučavanje frakcionih racionalnih funkcija otkriva mnoge tajne:

Primjer 3

Koristite metode diferencijalnog računa za proučavanje funkcije i, na osnovu rezultata studije, konstruirajte njen graf.

Rješenje: prva faza studije ne odlikuje se ničim izvanrednim, izuzev rupe u području definicije:

1) Funkcija je definirana i kontinuirana na cijeloj brojevnoj pravoj osim tačke, domena: .

, što znači da ova funkcija nije parna ili neparna.

Očigledno je da je funkcija neperiodična.

Graf funkcije predstavlja dvije kontinuirane grane koje se nalaze u lijevoj i desnoj poluravni - ovo je možda najvažniji zaključak točke 1.

2) Asimptote, ponašanje funkcije u beskonačnosti.

a) Koristeći jednostrane granice, ispitujemo ponašanje funkcije u blizini sumnjive tačke, gdje bi jasno trebala postojati vertikalna asimptota:

Zaista, funkcije traju beskrajni jaz u tački
a prava linija (osa) je vertikalna asimptota grafike.

b) Provjerimo da li postoje kose asimptote:

Da, pravo je kosa asimptota grafika , ako .

Nema smisla analizirati granice, jer je već jasno da funkcija obuhvata svoju kosu asimptotu nije ograničeno odozgo I nije ograničeno odozdo.

Druga tačka istraživanja dala je mnogo važnih informacija o funkciji. Hajde da napravimo grubu skicu:

Zaključak br. 1 odnosi se na intervale konstantnog predznaka. Na “minus beskonačnosti” graf funkcije se jasno nalazi ispod x-ose, a na “plus beskonačnosti” je iznad ove ose. Osim toga, jednostrane granice nam govore da je i lijevo i desno od tačke funkcija također veća od nule. Imajte na umu da u lijevoj poluravni graf mora barem jednom preći x-osu. Ne može biti nula funkcije u desnoj poluravni.

Zaključak broj 2 je da se funkcija povećava na i lijevo od tačke (ide “odozdo prema gore”). Desno od ove tačke, funkcija se smanjuje (ide „od vrha do dna“). Desna grana grafa svakako mora imati barem jedan minimum. Na lijevoj strani, ekstremi nisu zagarantovani.

Zaključak br. 3 daje pouzdane informacije o konkavnosti grafa u blizini tačke. Još ne možemo ništa reći o konveksnosti/konkavnosti u beskonačnosti, jer se prava može pritisnuti prema svojoj asimptoti i odozgo i odozdo. Uopšteno govoreći, postoji analitički način da se ovo otkrije upravo sada, ali će oblik grafikona postati jasniji u kasnijoj fazi.

Zašto toliko riječi? Za kontrolu narednih tačaka istraživanja i izbjegavanje grešaka! Dalji proračuni ne bi trebali biti u suprotnosti sa izvedenim zaključcima.

3) Tačke preseka grafika sa koordinatnim osama, intervali konstantnog predznaka funkcije.

Grafikon funkcije ne siječe os.

Metodom intervala određujemo znakove:

, Ako ;
, Ako .

Rezultati ove tačke su u potpunosti u skladu sa Zaključkom br. 1. Nakon svake faze pogledajte nacrt, mentalno provjerite istraživanje i dovršite graf funkcije.

U primjeru koji se razmatra, brojilac je pojam po član podijeljen nazivnikom, što je vrlo korisno za diferencijaciju:

Zapravo, to je već učinjeno prilikom pronalaženja asimptota.

- kritična tačka.

Hajde da definišemo znakove:

povećava za i smanjuje se za

U trenutku kada funkcija dosegne minimum: .

Takođe nije bilo odstupanja sa Zaključkom br. 2 i, najvjerovatnije, na dobrom smo putu.

To znači da je graf funkcije konkavan u cijeloj domeni definicije.

Odlično - i ne morate ništa crtati.

Nema prevojnih tačaka.

Konkavnost je u skladu sa Zaključkom br. 3, štoviše, ukazuje da se u beskonačnosti (i tamo i tamo) nalazi graf funkcije viši njena kosa asimptota.

6) Zadatak ćemo savjesno zakačiti dodatnim bodovima. Tu ćemo se morati potruditi, jer znamo samo dvije tačke iz istraživanja.

I slika koju su mnogi ljudi vjerovatno davno zamislili:

Tokom izvršavanja zadatka, morate pažljivo osigurati da nema kontradikcija između faza istraživanja, ali ponekad je situacija hitna ili čak očajnički ćorsokak. Analitika se "ne sabira" - to je sve. U ovom slučaju preporučujem hitnu tehniku: pronađemo što više tačaka koje pripadaju grafu (koliko imamo strpljenja) i označimo ih na koordinatnoj ravni. Grafička analiza pronađenih vrijednosti će vam u većini slučajeva reći gdje je istina, a gdje laž. Osim toga, graf se može unaprijed izraditi pomoću nekog programa, na primjer, u Excelu (naravno, to zahtijeva vještine).

Primjer 4

Koristite metode diferencijalnog računa da proučavate funkciju i konstruišete njen graf.

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. U njemu je samokontrola pojačana paritetom funkcije - graf je simetričan u odnosu na os, i ako u vašem istraživanju nešto protivreči ovoj činjenici, potražite grešku.

Parna ili neparna funkcija se može proučavati samo na , a zatim koristiti simetriju grafa. Ovo rješenje je optimalno, ali, po mom mišljenju, izgleda vrlo neobično. Lično gledam cijelu brojevnu pravu, ali još uvijek nalazim dodatne točke samo na desnoj strani:

Primjer 5

Izvršite potpunu studiju funkcije i konstruirajte njen graf.

Rješenje: stvari su postale teške:

1) Funkcija je definirana i kontinuirana na cijeloj brojevnoj pravoj: .

To znači da je ova funkcija neparna, njen graf je simetričan u odnosu na ishodište.

Očigledno je da je funkcija neperiodična.

2) Asimptote, ponašanje funkcije u beskonačnosti.

Budući da je funkcija kontinuirana na , ne postoje vertikalne asimptote

Za funkciju koja sadrži eksponent, to je tipično odvojeno proučavanje "plusa" i "minusa beskonačnosti", međutim, naš život olakšava simetrija grafa - ili postoji asimptota i lijevo i desno, ili je nema. Stoga se oba beskonačna ograničenja mogu napisati pod jednim unosom. Tokom rješenja koje koristimo L'Hopitalovo pravilo:

Prava linija (osa) je horizontalna asimptota grafa na .

Imajte na umu kako sam lukavo izbjegao cijeli algoritam za pronalaženje kose asimptote: granica je potpuno legalna i pojašnjava ponašanje funkcije u beskonačnosti, a horizontalna asimptota je otkrivena „kao u isto vrijeme“.

Iz kontinuiteta nadalje i postojanja horizontalne asimptote slijedi da je funkcija omeđen iznad I ograničen ispod.

3) Tačke preseka grafika sa koordinatnim osama, intervali konstantnog predznaka.

Ovdje također skraćujemo rješenje:
Graf prolazi kroz ishodište.

Nema drugih tačaka preseka sa koordinatnim osama. Štaviše, intervali konstantnosti predznaka su očigledni, a os ne treba crtati: , što znači da predznak funkcije zavisi samo od “x”:
, Ako ;
, Ako .

4) Povećanje, smanjenje, ekstremi funkcije.


– kritične tačke.

Tačke su simetrične oko nule, kako i treba da bude.

Odredimo predznake derivacije:


Funkcija se povećava u intervalu i smanjuje na intervalima

U trenutku kada funkcija dostigne svoj maksimum: .

Zbog imovine (neobičnost funkcije) minimum se ne mora izračunati:

Pošto funkcija opada u intervalu, onda se, očito, graf nalazi na "minus beskonačnost" ispod njegova asimptota. Tokom intervala, funkcija se također smanjuje, ali ovdje je obrnuto - nakon što prođe kroz maksimalnu tačku, prava se približava osi odozgo.

Iz gore navedenog također slijedi da je graf funkcije konveksan na “minus beskonačnost” i konkavan na “plus beskonačnost”.

Nakon ove tačke proučavanja, nacrtan je raspon vrijednosti funkcije:

Ako imate bilo kakvo nesporazume u nekoj tački, još jednom vas pozivam da nacrtate koordinatne ose u svojoj svesci i sa olovkom u rukama ponovo analizirate svaki zaključak zadatka.

5) Konveksnost, konkavnost, nagibi grafa.

– kritične tačke.

Simetrija tačaka je očuvana i, najvjerovatnije, ne griješimo.

Hajde da definišemo znakove:


Graf funkcije je konveksan na i konkavno na .

Potvrđena je konveksnost/konkavnost u ekstremnim intervalima.

Na svim kritičnim tačkama postoje pregibi na grafikonu. Nađimo ordinate prevojnih tačaka i opet smanjimo broj izračuna koristeći neparnost funkcije: