تمثيل سلسلة المتغيرات العشوائية المنفصلة. قوانين التوزيع للمتغيرات العشوائية المنفصلة

19.04.2022

قانون التوزيع والخصائص

المتغيرات العشوائية

المتغيرات العشوائية وتصنيفها وطرق وصفها.

الكمية العشوائية هي الكمية التي، نتيجة للتجربة، يمكن أن تأخذ قيمة أو أخرى، ولكن أي منها غير معروف مسبقًا. بالنسبة للمتغير العشوائي، يمكنك فقط تحديد القيم، والتي سيتم أخذ إحداها بالتأكيد نتيجة للتجربة. وفيما يلي سنسمي هذه القيم بالقيم المحتملة للمتغير العشوائي. نظرًا لأن المتغير العشوائي يميز كميًا النتيجة العشوائية للتجربة، فيمكن اعتباره خاصية كمية لحدث عشوائي.

يُشار إلى المتغيرات العشوائية عادة بأحرف كبيرة من الأبجدية اللاتينية، على سبيل المثال، X..Y..Z، وقيمها المحتملة بالأحرف الصغيرة المقابلة.

هناك ثلاثة أنواع من المتغيرات العشوائية:

منفصلة؛ مستمر؛ مختلط.

منفصلةهو متغير عشوائي يشكل عدد قيمه المحتملة مجموعة قابلة للعد. وفي المقابل، فإن المجموعة التي يمكن ترقيم عناصرها تسمى قابلة للعد. كلمة "منفصلة" تأتي من الكلمة اللاتينية discretus، وتعني "متقطع، يتكون من أجزاء منفصلة".

مثال 1. المتغير العشوائي المنفصل هو عدد الأجزاء المعيبة X في مجموعة من المنتجات n. وبالفعل فإن القيم المحتملة لهذا المتغير العشوائي هي سلسلة من الأعداد الصحيحة من 0 إلى n.

مثال 2. المتغير العشوائي المنفصل هو عدد الطلقات قبل الضربة الأولى على الهدف. هنا، كما في المثال 1، يمكن ترقيم القيم المحتملة، على الرغم من أن القيمة المحتملة في الحالة المقيدة تكون عددًا كبيرًا بلا حدود.

مستمرهو متغير عشوائي تملأ قيمه المحتملة بشكل مستمر فترة معينة من المحور العددي، تسمى أحيانًا فترة وجود هذا المتغير العشوائي. وبالتالي، في أي فترة وجود محدودة، يكون عدد القيم المحتملة للمتغير العشوائي المستمر كبيرًا بشكل لا نهائي.

مثال 3. المتغير العشوائي المستمر هو الاستهلاك الشهري للمؤسسة من الكهرباء.

مثال 4. المتغير العشوائي المستمر هو الخطأ في قياس الارتفاع باستخدام مقياس الارتفاع. وليعلم من مبدأ تشغيل مقياس الارتفاع أن الخطأ يقع في المدى من 0 إلى 2 م، وبالتالي فإن فترة وجود هذا المتغير العشوائي هي الفترة من 0 إلى 2 م.

قانون توزيع المتغيرات العشوائية.

يعتبر المتغير العشوائي محددا تماما إذا تم تحديد قيمه المحتملة على المحور العددي وتم وضع قانون التوزيع.

قانون توزيع متغير عشوائي هي العلاقة التي تنشئ اتصالاً بين القيم المحتملة للمتغير العشوائي والاحتمالات المقابلة لها.

يقال إن المتغير العشوائي يتم توزيعه وفقًا لقانون معين، أو يخضع لقانون توزيع معين. يتم استخدام عدد من الاحتمالات ووظيفة التوزيع وكثافة الاحتمالية والوظيفة المميزة كقوانين توزيع.

يعطي قانون التوزيع وصفًا محتملاً كاملاً للمتغير العشوائي. وفقًا لقانون التوزيع، يمكن للمرء أن يحكم قبل التجربة على القيم المحتملة للمتغير العشوائي التي ستظهر كثيرًا وأيها أقل.

بالنسبة للمتغير العشوائي المنفصل، يمكن تحديد قانون التوزيع في شكل جدول، تحليليا (في شكل صيغة) وبيانيا.

إن أبسط شكل لتحديد قانون توزيع المتغير العشوائي المنفصل هو الجدول (المصفوفة)، الذي يسرد بترتيب تصاعدي جميع القيم الممكنة للمتغير العشوائي والاحتمالات المقابلة لها، أي.

ويسمى هذا الجدول بسلسلة التوزيع لمتغير عشوائي منفصل. 1

الأحداث X 1, X 2,..., X n، تتكون من حقيقة أنه نتيجة للاختبار، فإن المتغير العشوائي X سيأخذ القيم x 1، x 2،... x n، على التوالي، هي غير متناسقة والوحيدة الممكنة (نظرًا لأن الجدول يسرد جميع القيم الممكنة للمتغير العشوائي)، أي تشكيل مجموعة كاملة. ولذلك، فإن مجموع احتمالاتها يساوي 1. وبالتالي، لأي متغير عشوائي منفصل

(يتم توزيع هذه الوحدة بطريقة ما بين قيم المتغير العشوائي، ومن هنا جاء مصطلح "التوزيع").

يمكن تصوير سلسلة التوزيع بيانياً إذا تم رسم قيم المتغير العشوائي على طول محور الإحداثي، وتم رسم الاحتمالات المقابلة لها على طول المحور الإحداثي. يشكل اتصال النقاط التي تم الحصول عليها خطًا متقطعًا يسمى مضلع أو مضلع التوزيع الاحتمالي (الشكل 1).

مثاليشمل اليانصيب: سيارة بقيمة 5000 دن. وحدات، 4 أجهزة تلفزيون بتكلفة 250 دن. وحدات، 5 مسجلات فيديو بقيمة 200 دن. وحدات تم بيع إجمالي 1000 تذكرة لمدة 7 أيام. وحدات وضع قانون توزيع لصافي المكاسب التي يحصل عليها المشارك في اليانصيب الذي اشترى تذكرة واحدة.

حل. القيم المحتملة للمتغير العشوائي X - صافي المكاسب لكل تذكرة - تساوي 0-7 = -7 أموال. وحدات (إذا لم تفز التذكرة)، 200-7 = 193، 250-7 = 243، 5000-7 = 4993 دن. وحدات (إذا كانت التذكرة تحتوي على أرباح جهاز فيديو أو تلفزيون أو سيارة على التوالي). مع الأخذ في الاعتبار أنه من بين 1000 تذكرة، فإن عدد غير الفائزين هو 990، والمكاسب المشار إليها هي 5 و4 و1 على التوالي، وباستخدام التعريف الكلاسيكي للاحتمال، نحصل على ذلك.

عشوائية منفصلةالمتغيرات هي متغيرات عشوائية تأخذ فقط القيم البعيدة عن بعضها البعض ويمكن إدراجها مسبقًا.
قانون التوزيع
قانون توزيع المتغير العشوائي هو العلاقة التي تنشئ علاقة بين القيم المحتملة للمتغير العشوائي والاحتمالات المقابلة لها.
سلسلة التوزيع للمتغير العشوائي المنفصل هي قائمة بقيمه المحتملة والاحتمالات المقابلة.
دالة التوزيع للمتغير العشوائي المنفصل هي الدالة:
,
تحديد لكل قيمة للوسيطة x احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي X قيمة أقل من x.

توقع وجود متغير عشوائي منفصل
,
أين هي قيمة المتغير العشوائي المنفصل؟ - احتمال قبول المتغير العشوائي لقيم X.
إذا كان المتغير العشوائي يأخذ مجموعة معدودة من القيم الممكنة، فإن:
.
التوقع الرياضي لعدد تكرارات الحدث في التجارب المستقلة n:
,

التشتت والانحراف المعياري للمتغير العشوائي المنفصل
تشتت متغير عشوائي منفصل:
أو .
تباين عدد تكرارات الحدث في التجارب المستقلة n
,
حيث p هو احتمال وقوع الحدث.
الانحراف المعياري للمتغير العشوائي المنفصل:
.

مثال 1
قم بوضع قانون التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي المنفصل (DRV) X - عدد تكرارات k لـ "ستة" واحدة على الأقل في n = 8 رميات لزوج من النرد. بناء مضلع التوزيع. أوجد الخصائص العددية للتوزيع (وضع التوزيع، التوقع الرياضي M(X)، التشتت D(X)، الانحراف المعياري s(X)). حل:دعونا نقدم الترميز: الحدث أ – "عند رمي زوج من النرد، ظهر الرقم ستة مرة واحدة على الأقل". للعثور على الاحتمال P(A) = p للحدث A، من الأفضل أولاً العثور على الاحتمال P(Ā) = q للحدث المعاكس Ā - "عند رمي زوج من النرد، لم يظهر الرقم ستة أبدًا."
بما أن احتمال عدم ظهور الرقم "ستة" عند رمي نرد واحد هو 5/6، إذن وفقًا لنظرية الضرب الاحتمالية
ف(Ā) = ف = = .
على التوالى،
ف(أ) = ع = 1 – ف(Ā) = .
الاختبارات في المشكلة تتبع مخطط برنولي، لذلك d.s.v. ضخامة X- رقم كحدوث ما لا يقل عن ستة عند رمي حجري النرد يخضع لقانون التوزيع الاحتمالي ذي الحدين:

حيث = هو عدد مجموعات نبواسطة ك.

يمكن تقديم الحسابات التي تم إجراؤها لهذه المشكلة بسهولة في شكل جدول:
التوزيع الاحتمالي d.s.v. X º ك (ن = 8; ص = ; س = )

ك

ب(ك)

مضلع (مضلع) للتوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي منفصل Xيظهر في الشكل:

أرز. مضلع التوزيع الاحتمالي d.s.v. X=ك.
يوضح الخط العمودي التوقع الرياضي للتوزيع م(X).

دعونا نجد الخصائص العددية للتوزيع الاحتمالي لـ d.s.v. X. وضع التوزيع هو 2 (هنا ص 8(2) = 0.2932 كحد أقصى). التوقع الرياضي حسب التعريف يساوي:
م(X) = = 2,4444,
أين xk = ك- القيمة المأخوذة بواسطة d.s.v X. التباين د(X) نجد التوزيع باستخدام الصيغة:
د(X) = = 4,8097.
الانحراف المعياري (RMS):
س( X) = = 2,1931.

مثال2
المتغير العشوائي المنفصل Xالمنصوص عليها في قانون التوزيع

أوجد دالة التوزيع F(x) ثم ارسمها.

حل.إذاً (الخاصية الثالثة).
اذا ثم. حقًا، Xيمكن أن تأخذ القيمة 1 مع احتمال 0.3.
اذا ثم. في الواقع، إذا كان يرضي عدم المساواة
، ثم يساوي احتمال وقوع حدث ما Xسوف تأخذ القيمة 1 (احتمال هذا الحدث هو 0.3) أو القيمة 4 (احتمال هذا الحدث هو 0.1). نظرًا لأن هذين الحدثين غير متوافقين، وفقًا لنظرية الجمع، فإن احتمال وقوع حدث ما يساوي مجموع الاحتمالات 0.3 + 0.1 = 0.4. اذا ثم. وبالفعل فإن الحدث مؤكد، وبالتالي فإن احتماله يساوي واحدًا. لذلك يمكن كتابة دالة التوزيع تحليليا على النحو التالي:

الرسم البياني لهذه الوظيفة:
دعونا نجد الاحتمالات المقابلة لهذه القيم. بشرط أن تكون احتمالات تعطل الأجهزة متساوية: إذن تكون احتمالات عمل الأجهزة خلال فترة الضمان متساوية:

قانون التوزيع له الشكل:

التعريف 1

يسمى المتغير العشوائي $X$ منفصلا (متقطعا) إذا كانت مجموعة قيمه لا نهائية أو منتهية ولكنها قابلة للعد.

بمعنى آخر، تسمى الكمية منفصلة إذا كان من الممكن ترقيم قيمها.

يمكن وصف المتغير العشوائي باستخدام قانون التوزيع.

يمكن تحديد قانون توزيع المتغير العشوائي المنفصل $X$ على شكل جدول، يشير السطر الأول منه إلى جميع القيم الممكنة للمتغير العشوائي بترتيب تصاعدي، ويحتوي السطر الثاني على الاحتمالات المقابلة لهذه قيم:

الصورة 1.

حيث $χ1+ Р2+... + Рn = 1$.

هذا الجدول بالقرب من توزيع متغير عشوائي منفصل.

إذا كانت مجموعة القيم الممكنة للمتغير العشوائي لا نهائية، فإن المتسلسلة $Р1+ Р2+ ... + Рn+ ...$ تتقارب وسيكون مجموعها مساويًا لـ $1$.

يمكن تمثيل قانون توزيع المتغير العشوائي المنفصل $X$ بيانياً، حيث يتم إنشاء خط متقطع في نظام الإحداثيات (المستطيل)، والذي يربط النقاط بالإحداثيات $(xi;pi), i=1,2, ... ن $. الخط الذي حصلنا عليه يسمى مضلع التوزيع.

الشكل 2.

يمكن أيضًا تمثيل قانون التوزيع للمتغير العشوائي المنفصل $X$ تحليليًا (باستخدام الصيغة):

$P(X=xi)= \varphi (xi),i =1,2,3 ... n$.

العمليات على الاحتمالات المنفصلة

عند حل العديد من المسائل في نظرية الاحتمالات، من الضروري إجراء عمليات ضرب متغير عشوائي منفصل بثابت، وإضافة متغيرين عشوائيين، وضربهما، واستبدالهما بقوة. وفي هذه الحالات، من الضروري الالتزام بالقواعد التالية للكميات المنفصلة العشوائية:

التعريف 3

عمليه الضربلمتغير عشوائي منفصل $X$ بواسطة ثابت $K$ هو متغير عشوائي منفصل $Y=KX,$ والذي يتم تحديده من خلال التساويات: $y_i=Kx_i,\ \ p\left(y_i\right)=p\ left(x_i\right)= p_i,\ \ i=\overline(1,\ n).$

التعريف 4

يتم استدعاء متغيرين عشوائيين $x$ و $y$ مستقلإذا كان قانون توزيع أحدهما لا يعتمد على القيم الممكنة للكمية الثانية المكتسبة.

التعريف 5

كميةيُطلق على متغيرين عشوائيين منفصلين $X$ و$Y$ اسم المتغير العشوائي $Z=X+Y،$ ويتم تحديده بالمعادلات: $z_(ij)=x_i+y_j$, $P\left(z_(ij) )\right)= P\left(x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$ , $P\left (x_i\right)=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.

التعريف 6

عمليه الضربيُطلق على متغيرين عشوائيين منفصلين $X$ و$Y$ اسم المتغير العشوائي $Z=XY،$ ويتم تحديده بالمعادلات: $z_(ij)=x_iy_j$, $P\left(z_(ij)\right) =P\left( x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$, $P\ left(x_i\right )=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.

دعونا نأخذ في الاعتبار أن بعض المنتجات $x_(i\ \ \ \ \ )y_j$ يمكن أن تكون متساوية مع بعضها البعض. في هذه الحالة، احتمال إضافة المنتج يساوي مجموع الاحتمالات المقابلة.

على سبيل المثال، إذا كان $x_2\ \ y_3=x_5\ \ y_7,\ $فإن احتمال $x_2y_3$ (أو نفس $x_5y_7$) سيكون مساوياً لـ $p_2\cdot p"_3+p_5\cdot p"_7 .$

ما ورد أعلاه ينطبق أيضا على المبلغ. إذا كان $x_1+\ y_2=x_4+\ \ y_6,$ فإن احتمال $x_1+\ y_2$ (أو نفس $x_4+\ y_6$) سيكون مساويًا لـ $p_1\cdot p"_2+p_4\cdot p"_6. $

يتم تحديد المتغيرات العشوائية $X$ و $Y$ بواسطة قوانين التوزيع:

الشكل 3.

حيث $p_1+p_2+p_3=1,\ \ \ p"_1+p"_2=1.$ ثم قانون توزيع المجموع $X+Y$ سيكون له الشكل

الشكل 4.

وقانون توزيع المنتج $XY$ سيكون له الشكل

الشكل 5.

وظيفة التوزيع

يتم أيضًا تقديم وصف كامل للمتغير العشوائي بواسطة دالة التوزيع.

هندسيًا، يتم تفسير دالة التوزيع على أنها احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي $X$ القيمة الممثلة على خط الأعداد بالنقطة الواقعة على يسار النقطة $x$.

يمكننا تسليط الضوء على القوانين الأكثر شيوعاً لتوزيع المتغيرات العشوائية المنفصلة:

قانون التوزيع ذو الحدين
قانون توزيع بواسون
قانون التوزيع الهندسي
قانون التوزيع الهندسي الزائد

بالنسبة لتوزيعات معينة للمتغيرات العشوائية المنفصلة، يتم حساب احتمالات قيمها، وكذلك الخصائص العددية (التوقع الرياضي، التباين، وما إلى ذلك) باستخدام "صيغ" معينة. لذلك، من المهم جدًا معرفة هذه الأنواع من التوزيعات وخصائصها الأساسية.

1. قانون التوزيع ذي الحدين.

المتغير العشوائي المنفصل $X$ يخضع لقانون التوزيع الاحتمالي ذو الحدين إذا كان يأخذ قيم $0,\ 1,\ 2,\\dots ,\n$ مع الاحتمالات $P\left(X=k\right)= C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k)$. في الواقع، المتغير العشوائي $X$ هو عدد تكرارات الحدث $A$ في التجارب المستقلة $n$. قانون التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي $X$:

$\begin(صفيف)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \dots & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\right) & P_n\left(1\right) & \dots & P_n\left(n\right) \\
\hline
\end(صفيف)$

لمثل هذا المتغير العشوائي، التوقع الرياضي هو $M\left(X\right)=np$، والتباين هو $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.

مثال . الأسرة لديها طفلان. بافتراض أن احتمال إنجاب ولد وبنت يساوي 0.5$، أوجد قانون توزيع المتغير العشوائي $\xi$ - عدد الأولاد في الأسرة.

اجعل المتغير العشوائي $\xi $ هو عدد الأولاد في الأسرة. القيم التي يمكن أن يأخذها $\xi:\ 0,\ 1,\ 2$. يمكن إيجاد احتمالات هذه القيم باستخدام الصيغة $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k )$، حيث $n =2$ هو عدد التجارب المستقلة، $p=0.5$ هو احتمال وقوع حدث في سلسلة من التجارب $n$. نحن نحصل:

$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-0)=(0, 5)^2=0.25;$

$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-1)=2\cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5;$

$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0.5)^2\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-2)=(0, 5)^2 =0.25.$

إذن قانون توزيع المتغير العشوائي $\xi $ هو المراسلات بين القيم $0,\1,\2$ واحتمالاتها، أي:

$\begin(صفيف)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0.25 & 0.5 & 0.25 \\
\hline
\end(صفيف)$

مجموع الاحتمالات في قانون التوزيع يجب أن يساوي $1$، أي $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0.25+0.5+ 0, 25=1 دولار.

التوقع $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0.5=1$، التباين $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5$، الانحراف المعياري $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0.5 )\approx $0.707.

2. قانون توزيع بواسون.

إذا كان المتغير العشوائي المنفصل $X$ يمكنه فقط أن يأخذ قيمًا صحيحة غير سالبة $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ مع الاحتمالات $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}

تعليق. خصوصية هذا التوزيع هو أنه بناءً على البيانات التجريبية، نجد التقديرات $M\left(X\right)،\D\left(X\right)$، إذا كانت التقديرات التي تم الحصول عليها قريبة من بعضها البعض، فلدينا سبب للتأكيد على أن المتغير العشوائي يخضع لقانون توزيع بواسون.

مثال . من أمثلة المتغيرات العشوائية الخاضعة لقانون توزيع بواسون: عدد السيارات التي ستخدمها محطة الوقود غدًا؛ عدد العناصر المعيبة في المنتجات المصنعة.

مثال . أرسل المصنع منتجات بقيمة 500 دولار إلى القاعدة. احتمال تلف المنتج أثناء النقل هو 0.002$. أوجد قانون توزيع المتغير العشوائي $X$ الذي يساوي عدد المنتجات التالفة؛ ما هو $M\left(X\right),\D\left(X\right)$.

دع المتغير العشوائي المنفصل $X$ هو عدد المنتجات التالفة. يخضع مثل هذا المتغير العشوائي لقانون توزيع بواسون مع المعلمة $\lambda =np=500\cdot 0.002=1$. احتمالات القيم تساوي $P\left(X=k\right)=((\lambda )^k)\over (k)}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}

$P\left(X=0\right)=((1^0)\over (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=1\right)=((1^1)\over (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=2\right)=((1^2)\over (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}

$P\left(X=3\right)=((1^3)\over (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}

$P\left(X=4\يمين)=((1^4)\over (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}

$P\left(X=5\right)=((1^5)\over (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}

$P\left(X=6\right)=((1^6)\over (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}

$P\left(X=k\right)=((\lambda )^k)\over (k)}\cdot e^{-\lambda }$!}

قانون توزيع المتغير العشوائي $X$:

$\begin(صفيف)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & ك \\
\hline
بي & 0.368؛ & 0.368 & 0.184 & 0.061 & 0.015 & 0.003 & 0.001 & ... & (((\lambda )^k)\over (k)}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(صفيف)$

بالنسبة لمثل هذا المتغير العشوائي، يكون التوقع الرياضي والتباين متساويين مع بعضهما البعض ويساويان المعلمة $\lambda $، أي $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1$.

3. قانون التوزيع الهندسي.

إذا كان المتغير العشوائي المنفصل $X$ يمكنه فقط أن يأخذ القيم الطبيعية $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ مع الاحتمالات $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\ right)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $، ثم يقولون إن مثل هذا المتغير العشوائي $X$ يخضع للقانون الهندسي للتوزيع الاحتمالي. في الواقع، التوزيع الهندسي هو اختبار برنولي حتى النجاح الأول.

مثال . ومن أمثلة المتغيرات العشوائية التي لها توزيع هندسي: عدد الطلقات قبل الضربة الأولى على الهدف؛ عدد اختبارات الجهاز حتى الفشل الأول؛ عدد مرات رمي العملة حتى ظهور الصورة الأولى، وما إلى ذلك.

التوقع الرياضي والتباين لمتغير عشوائي يخضع للتوزيع الهندسي يساوي على التوالي $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right) )/ع^ $2.

مثال . في طريق حركة الأسماك إلى موقع التفريخ يوجد قفل بقيمة 4 دولارات. احتمال مرور الأسماك عبر كل قفل هو $p=3/5$. أنشئ سلسلة توزيع للمتغير العشوائي $X$ - عدد الأقفال التي مرت بها السمكة قبل الحجز الأول عند الهويس. ابحث عن $M\left(X\right),\D\left(X\right),\ \sigma \left(X\right)$.

دع المتغير العشوائي $X$ هو عدد الأقفال التي مرت بها السمكة قبل الاعتقال الأول عند القفل. يخضع مثل هذا المتغير العشوائي للقانون الهندسي للتوزيع الاحتمالي. القيم التي يمكن أن يأخذها المتغير العشوائي $X:$ 1، 2، 3، 4. يتم حساب احتمالات هذه القيم باستخدام الصيغة: $P\left(X=k\right)=pq^(k -1)$، حيث: $ p=2/5$ - احتمال احتجاز الأسماك عبر القفل، $q=1-p=3/5$ - احتمال مرور الأسماك عبر القفل، $k=1,\ 2,\3,\4$.

$P\left(X=1\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^0=((2)\ أكثر من (5))=0.4;$

$P\left(X=2\right)=((2)\over (5))\cdot ((3)\over (5))=((6)\over (25))=0.24; $

$P\left(X=3\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^2=((2)\ أكثر من (5))\cdot ((9)\فوق (25))=((18)\فوق (125))=0.144;$

$P\left(X=4\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^3+(\left(( (3)\فوق (5))\يمين))^4=((27)\فوق (125))=0.216.$

$\begin(صفيف)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\left(X_i\right) & 0.4 & 0.24 & 0.144 & 0.216 \\
\hline
\end(صفيف)$

القيمة المتوقعة:

$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0.4+2\cdot 0.24+3\cdot 0.144+4\cdot 0.216=2.176.$

تشتت:

$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0.4\cdot (\ left( 1-2,176\يمين))^2+0,24\cdot (\left(2-2,176\right))^2+0,144\cdot (\left(3-2,176\right))^2+$

$+\0.216\cdot (\left(4-2,176\right))^2\حوالي 1.377.$

الانحراف المعياري:

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1,377)\حوالي 1,173.$

4. قانون التوزيع الهندسي الزائد.

إذا كانت كائنات $N$، من بينها كائنات $m$ لها خاصية معينة. يتم استرجاع كائنات $n$ بشكل عشوائي دون إرجاعها، ومن بينها كائنات $k$ التي لها خاصية معينة. يتيح التوزيع الهندسي الفائق إمكانية تقدير احتمال أن يكون للكائنات $k$ بالضبط في العينة خاصية معينة. اجعل المتغير العشوائي $X$ هو عدد الكائنات في العينة التي لها خاصية معينة. ثم احتمالات قيم المتغير العشوائي $X$:

$P\left(X=k\right)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$

تعليق. تتيح لك الوظيفة الإحصائية HYPERGEOMET لمعالج دالة Excel $f_x$ تحديد احتمالية نجاح عدد معين من الاختبارات.

$f_x\إلى$ إحصائية$\إلى$ هايبرجيوميت$\إلى$ نعم. سيظهر مربع حوار تحتاج إلى ملؤه. في العمود Number_of_successes_in_sampleتشير إلى القيمة $k$. حجم العينةيساوي $ن$. في العمود Number_of_successes_in_togetherتشير إلى القيمة $m$. حجم السكانيساوي $N$.

التوقع الرياضي والتباين للمتغير العشوائي المنفصل $X$، الخاضع لقانون التوزيع الهندسي، يساوي على التوالي $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)= ((nm\left(1 -((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right))\over (N-1))$.

مثال . يوظف قسم الائتمان بالبنك 5 متخصصين حاصلين على تعليم مالي عالي و3 متخصصين حاصلين على تعليم قانوني عالي. وقررت إدارة البنك إرسال 3 متخصصين لتحسين مؤهلاتهم، وتم اختيارهم بشكل عشوائي.

أ) عمل سلسلة توزيع لعدد المتخصصين ذوي التعليم المالي العالي الذين يمكن إرسالهم لتحسين مهاراتهم؛

ب) أوجد الخصائص العددية لهذا التوزيع.

دع المتغير العشوائي $X$ هو عدد المتخصصين ذوي التعليم المالي العالي من بين الثلاثة المختارين. القيم التي يمكن أن يأخذها $X: 0,\1,\2,\3$. يتم توزيع هذا المتغير العشوائي $X$ وفقًا لتوزيع هندسي فائق مع المعلمات التالية: $N=8$ - حجم السكان، $m=5$ - عدد النجاحات في السكان، $n=3$ - حجم العينة، $ k=0,\ 1, \2,\3$ - عدد مرات النجاح في العينة. ثم يمكن حساب الاحتمالات $P\left(X=k\right)$ باستخدام الصيغة: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ على C_( N)^(n) ) $. لدينا:

$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\حوالي 0.018;$

$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\حوالي 0.268;$

$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\حوالي 0.536;$

$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\حوالي 0.179.$

ثم سلسلة التوزيع للمتغير العشوائي $X$:

$\begin(صفيف)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0.018 & 0.268 & 0.536 & 0.179 \\
\hline
\end(صفيف)$

دعونا نحسب الخصائص العددية للمتغير العشوائي $X$ باستخدام الصيغ العامة للتوزيع الهندسي الزائد.

$M\left(X\right)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1,875.$

$D\left(X\right)=((nm\left(1-((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8) )\يمين))\فوق (8-1))=((225)\فوق (448))\حوالي 0.502.$

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0.502)\حوالي 0.7085.$

يتم إعطاء سلسلة توزيع لمتغير عشوائي منفصل. أوجد الاحتمال المفقود وارسم دالة التوزيع. احسب التوقع الرياضي والتباين لهذه الكمية.

يأخذ المتغير العشوائي X أربع قيم فقط: -4، -3، 1، 2. ويأخذ كل من هذه القيم باحتمال معين. وبما أن مجموع كل الاحتمالات يجب أن يساوي 1، فإن الاحتمال المفقود يساوي:

0,3 + ? + 0,1 + 0,4 = 1,

لنؤلف دالة التوزيع للمتغير العشوائي X ومن المعروف أن دالة التوزيع إذن:

لذلك،

دعونا نرسم الوظيفة F(س) .

التوقع الرياضي للمتغير العشوائي المنفصل يساوي مجموع منتجات قيمة المتغير العشوائي والاحتمال المقابل، أي.

نجد تباين المتغير العشوائي المنفصل باستخدام الصيغة:

طلب

عناصر التوافقيات

هنا: - مضروب العدد

الإجراءات على الأحداث

الحدث هو أي حقيقة قد تحدث أو لا تحدث نتيجة لتجربة ما.

دمج الأحداث أو في- هذا الحدث معوالذي يتكون من مظهر أو حدث أ، أو الأحداث فيأو كلا الحدثين في وقت واحد.

تعيين:
;

أحداث العبور أو في- هذا الحدث مع، والذي يتكون من حدوث كلا الحدثين في وقت واحد.

تعيين:
;

التعريف الكلاسيكي للاحتمال

احتمالية وقوع الحدث أهي نسبة عدد التجارب
، مواتية لحدوث حدث ما أ، إلى العدد الإجمالي للتجارب
:

صيغة الضرب الاحتمالية

احتمالية وقوع الحدث
يمكن العثور عليها باستخدام الصيغة:

- احتمال الحدث أ،

- احتمال الحدث في،

- احتمال الحدث فيبشرط أن يكون الحدث ألقد حدث بالفعل.

إذا كان الحدثان A وB مستقلين (وقوع أحدهما لا يؤثر على وقوع الآخر)، فإن احتمال الحدث يساوي:

صيغة لإضافة الاحتمالات

يمكن العثور على احتمال وقوع حدث باستخدام الصيغة:

احتمالية وقوع الحدث أ،

احتمالية وقوع الحدث في،

- احتمال حدوث الأحداث أو في.

إذا كان الحدثان A وB غير متوافقين (لا يمكن أن يحدثا في وقت واحد)، فإن احتمال الحدث يساوي:

صيغة الاحتمال الإجمالي

دع الحدث أيمكن أن يحدث في وقت واحد مع أحد الأحداث
,
, …,
- دعنا نسميها فرضيات. معروف ايضا
- احتمال التنفيذ أنا-الفرضية و
- احتمال وقوع الحدث أ عند التنفيذ أنا-الفرضية. ثم احتمال الحدث أيمكن العثور عليها من خلال الصيغة:

مخطط برنولي

يجب ألا تكون هناك اختبارات مستقلة. احتمالية حدوث (نجاح) حدث ما أفي كل منهما ثابت ومتساوي ص، احتمال الفشل (أي عدم وقوع الحدث أ) س = 1 - ص. ثم احتمال الحدوث كالنجاح في نيمكن العثور على الاختبارات باستخدام صيغة برنولي: