المساحات الخطية. الفضاءات الجزئية
عندما درسنا مفاهيم المتجهات ذات الأبعاد n وأدخلنا العمليات على المتجهات، اكتشفنا أن مجموعة جميع المتجهات ذات الأبعاد n تولد مساحة خطية. سنتحدث في هذه المقالة عن أهم المفاهيم ذات الصلة - البعد وأساس الفضاء المتجه. سننظر أيضًا في نظرية توسيع المتجه التعسفي إلى الأساس والاتصال بين القواعد المختلفة للفضاء ذي الأبعاد n. دعونا نفحص بالتفصيل حلول الأمثلة النموذجية.
التنقل في الصفحة.
مفهوم البعد من الفضاء المتجه والأساس.
يرتبط مفهوما البعد وأساس الفضاء المتجه ارتباطًا مباشرًا بمفهوم نظام المتجهات المستقل خطيًا، لذلك، إذا لزم الأمر، نوصي بالرجوع إلى مقالة الاعتماد الخطي لنظام المتجهات وخصائص الاعتماد الخطي والاستقلال .
تعريف.
البعد من الفضاء المتجههو رقم يساوي الحد الأقصى لعدد المتجهات المستقلة خطيًا في هذا الفضاء.
تعريف.
أساس الفضاء المتجههي مجموعة مرتبة من المتجهات المستقلة خطيا لهذا الفضاء، وعددها يساوي بعد الفضاء.
دعونا نعطي بعض المنطق بناء على هذه التعريفات.
خذ بعين الاعتبار مساحة المتجهات ذات الأبعاد n.
دعونا نبين أن البعد لهذا الفضاء هو ن.
دعونا نأخذ نظامًا من متجهات الوحدة n للنموذج
لنأخذ هذه المتجهات كصفوف من المصفوفة A. في هذه الحالة، ستكون المصفوفة A مصفوفة هوية البعد n في n. رتبة هذه المصفوفة هي n (انظر المقالة إذا لزم الأمر). وبالتالي فإن نظام المتجهات 
مستقل خطيًا، ولا يمكن إضافة متجه واحد إلى هذا النظام دون انتهاك استقلاله الخطي. منذ عدد المتجهات في النظام يساوي ن، ثم بعد الفضاء للمتجهات ذات الأبعاد n هو n، ومتجهات الوحدة هي أساس هذا الفضاء.
ومن البيان الأخير وتعريف الأساس يمكن أن نستنتج ذلك أي نظام من المتجهات ذات الأبعاد n، عدد المتجهات فيه أقل من n، ليس أساسًا.
والآن دعونا نبدل بين المتجهين الأول والثاني للنظام . فمن السهل أن نبين أن النظام الناتج من المتجهات 
هو أيضًا أساس لمساحة متجهة ذات أبعاد n. لنقم بإنشاء مصفوفة عن طريق أخذ متجهات هذا النظام كصفوف لها. يمكن الحصول على هذه المصفوفة من مصفوفة الهوية عن طريق تبديل الصفين الأول والثاني، وبالتالي ستكون رتبتها n. وبالتالي، نظام من المتجهات ن مستقلة خطيًا وهي أساس الفضاء المتجه ذو الأبعاد n.
إذا قمنا بإعادة ترتيب المتجهات الأخرى للنظام ، ثم نحصل على أساس آخر.
إذا أخذنا نظامًا مستقلاً خطيًا من المتجهات غير الوحدة، فهو أيضًا أساس الفضاء المتجهي ذو الأبعاد n.
هكذا، يحتوي الفضاء المتجه ذو البعد n على العديد من القواعد كما توجد أنظمة مستقلة خطيًا من نواقل ذات أبعاد n.
إذا تحدثنا عن مساحة متجهة ثنائية الأبعاد (أي حول مستوى)، فإن أساسها هو أي متجهين غير خطيين. أساس الفضاء ثلاثي الأبعاد هو أي ثلاثة ناقلات غير متحدة المستوى.
دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة.
مثال.
هل المتجهات هي أساس الفضاء المتجه ثلاثي الأبعاد؟
حل.
دعونا نتفحص نظام المتجهات هذا للاعتماد الخطي. للقيام بذلك، دعونا ننشئ مصفوفة ستكون صفوفها هي إحداثيات المتجهات ونوجد رتبتها: 
وبالتالي، فإن المتجهات a وb وc مستقلة خطيًا وعددها يساوي بُعد الفضاء المتجه، وبالتالي فهي أساس هذا الفضاء.
إجابة:
نعم إنهم هم.
مثال.
هل يمكن لنظام المتجهات أن يكون أساسًا لمساحة متجهة؟
حل.
يعتمد نظام المتجهات هذا خطيًا، حيث أن الحد الأقصى لعدد المتجهات ثلاثية الأبعاد المستقلة خطيًا هو ثلاثة. وبالتالي، لا يمكن لنظام المتجهات هذا أن يكون أساسًا لفضاء متجه ثلاثي الأبعاد (على الرغم من أن النظام الفرعي للنظام الأصلي للمتجهات هو الأساس).
إجابة:
لا، هو لا يستطيع.
مثال.
تأكد من المتجهات 
يمكن أن يكون أساسًا لمساحة متجهة رباعية الأبعاد.
حل.
لنقم بإنشاء مصفوفة عن طريق أخذ المتجهات الأصلية كصفوف لها: 
دعونا نجد: 
وبالتالي، فإن نظام المتجهات a، b، c، d مستقل خطيًا وعددهم يساوي بُعد مساحة المتجه، وبالتالي فإن a، b، c، d هي أساسه.
إجابة:
المتجهات الأصلية هي بالفعل أساس الفضاء رباعي الأبعاد.
مثال.
هل تشكل المتجهات أساس الفضاء المتجه ذي البعد 4؟
حل.
حتى لو كان النظام الأصلي للمتجهات مستقلاً خطيًا، فإن عدد المتجهات فيه لا يكفي ليكون أساسًا لفضاء رباعي الأبعاد (أساس مثل هذا الفضاء يتكون من 4 متجهات).
إجابة:
لا، لا.
تحلل المتجه حسب أساس مساحة المتجه.
دعونا ناقلات التعسفية هي أساس الفضاء المتجه n الأبعاد. إذا أضفنا بعض المتجهات n ذات الأبعاد x إليها، فسيكون نظام المتجهات الناتج معتمدًا خطيًا. من خصائص الاعتماد الخطي، نعلم أن ناقلًا واحدًا على الأقل من النظام المعتمد خطيًا يتم التعبير عنه خطيًا من خلال المتجهات الأخرى. بمعنى آخر، يتم توسيع واحد على الأقل من متجهات النظام التابع خطيًا إلى المتجهات المتبقية.
وهذا يقودنا إلى نظرية مهمة جدًا.
نظرية.
يمكن تحليل أي متجه للفضاء المتجه ذي الأبعاد n بشكل فريد إلى أساس.
دليل.
يترك - أساس الفضاء المتجه ن الأبعاد. دعونا نضيف متجهًا ذو أبعاد n x إلى هذه المتجهات. بعد ذلك، سيكون نظام المتجهات الناتج معتمدًا خطيًا ويمكن التعبير عن المتجه x خطيًا من حيث المتجهات : ، أين بعض الأرقام. هذه هي الطريقة التي حصلنا بها على توسيع المتجه x بالنسبة للأساس. يبقى أن نثبت أن هذا التحلل فريد من نوعه.
لنفترض أن هناك تحللًا آخر، حيث 
- بعض الأرقام. دعونا نطرح من الجانبين الأيسر والأيمن للمساواة الأخيرة الجانبين الأيسر والأيمن للمساواة، على التوالي:
منذ نظام المتجهات الأساسية مستقلة خطيًا، ومن خلال تعريف الاستقلال الخطي لنظام المتجهات، فإن المساواة الناتجة تكون ممكنة فقط عندما تكون جميع المعاملات مساوية للصفر. وبالتالي، مما يثبت تفرد تحلل المتجهات بالنسبة للأساس.
تعريف.
تسمى المعاملات إحداثيات المتجه x في الأساس .
بعد التعرف على نظرية تحلل المتجه إلى أساس، نبدأ في فهم جوهر التعبير "لقد حصلنا على متجه ذو أبعاد n" 
" يعني هذا التعبير أننا نفكر في متجه للفضاء المتجه ذي الأبعاد x n، والذي يتم تحديد إحداثياته على أساس ما. في الوقت نفسه، نحن نفهم أن نفس المتجه x في أساس آخر لمساحة المتجه n الأبعاد سيكون له إحداثيات مختلفة عن .
دعونا نفكر في المشكلة التالية.
دعونا نعطي نظامًا من المتجهات المستقلة خطيًا n في بعض أسس مساحة المتجهات ذات الأبعاد n 
وناقلات . ثم المتجهات هي أيضًا أساس مساحة المتجهات هذه.
دعونا نحتاج إلى إيجاد إحداثيات المتجه x في الأساس . دعونا نشير إلى هذه الإحداثيات .
ناقل x في الأساس لديه فكرة. دعونا نكتب هذه المساواة في شكل إحداثي:
هذه المساواة تعادل نظامًا من المعادلات الجبرية الخطية n مع n من المتغيرات غير المعروفة :
المصفوفة الرئيسية لهذا النظام لها الشكل 
دعنا نشير إليه بالحرف أ. تمثل أعمدة المصفوفة A ناقلات لنظام ناقلات مستقل خطيا ، فرتبة هذه المصفوفة هي n، وبالتالي محددها غير صفر. تشير هذه الحقيقة إلى أن نظام المعادلات له حل فريد يمكن العثور عليه بأي طريقة، على سبيل المثال، أو.
بهذه الطريقة سيتم العثور على الإحداثيات المطلوبة المتجه x في الأساس .
دعونا نلقي نظرة على النظرية باستخدام الأمثلة.
مثال.
في بعض أسس الفضاء المتجه ثلاثي الأبعاد، تكون المتجهات 
تأكد من أن نظام المتجهات هو أيضًا أساس هذا الفضاء وابحث عن إحداثيات المتجه x في هذا الأساس.
حل.
لكي يكون نظام المتجهات أساسًا لمساحة متجهة ثلاثية الأبعاد، يجب أن يكون مستقلاً خطيًا. دعنا نكتشف ذلك من خلال تحديد رتبة المصفوفة A، التي تكون صفوفها متجهات. دعونا نجد الرتبة باستخدام الطريقة الغوسية 
وبالتالي، الرتبة (أ) = 3، والتي توضح الاستقلال الخطي لنظام المتجهات.
لذلك، المتجهات هي الأساس. دع المتجه x له إحداثيات على هذا الأساس. بعد ذلك، كما أظهرنا أعلاه، يتم تحديد العلاقة بين إحداثيات هذا المتجه من خلال نظام المعادلات 
باستبدال القيم المعروفة من الشرط به نحصل عليه 
دعونا نحلها باستخدام طريقة كريمر: 
وبالتالي، فإن المتجه x في الأساس له إحداثيات 
.
إجابة:
مثال.
على أساس ما 
لمساحة متجهة رباعية الأبعاد، يتم إعطاء نظام مستقل خطيًا من المتجهات 
ومن المعروف أن 
. أوجد إحداثيات المتجه x في الأساس .
حل.
منذ نظام المتجهات 
مستقلة خطيًا بشرط، فهي أساس الفضاء رباعي الأبعاد. ثم المساواة يعني أن المتجه x في الأساس لديه إحداثيات. دعونا نشير إلى إحداثيات المتجه x في الأساس كيف .
نظام المعادلات الذي يحدد العلاقة بين إحداثيات المتجه x في القواعد و يشبه 
نستبدل فيه القيم المعروفة ونجد الإحداثيات المطلوبة: 
إجابة:
.
العلاقة بين القواعد.
لنفترض أن هناك نظامين مستقلين خطيًا من المتجهات على أساس ما لمساحة متجهة ذات أبعاد n 
و
أي أنها أيضًا أساس هذا الفضاء.
لو 
- إحداثيات المتجه في الأساس ، ثم الاتصال الإحداثي 
و يتم تقديمه بواسطة نظام المعادلات الخطية (تحدثنا عن ذلك في الفقرة السابقة): 
، والتي يمكن كتابتها في شكل مصفوفة 
وبالمثل بالنسبة للمتجه يمكننا الكتابة 
يمكن دمج معادلات المصفوفة السابقة في مصفوفة واحدة، والتي تحدد بشكل أساسي العلاقة بين متجهات قاعدتين مختلفتين 
وبالمثل، يمكننا التعبير عن جميع المتجهات الأساسية من خلال الأساس 
:
تعريف.
مصفوفة 
مُسَمًّى مصفوفة الانتقال من الأساس إلى القاعدة ، فالمساواة صحيحة 
بضرب طرفي هذه المساواة من اليمين ب
نحن نحصل 
دعونا نجد المصفوفة الانتقالية، لكننا لن نتناول بالتفصيل العثور على المصفوفة العكسية ومصفوفات الضرب (انظر المقالات وإذا لزم الأمر): 
يبقى معرفة العلاقة بين إحداثيات المتجه x في القواعد المعطاة.
دع المتجه x له إحداثيات في الأساس، إذن 
وفي الأساس فإن المتجه x له إحداثيات 
بما أن الطرفين الأيسرين من المتساويتين الأخيرتين متماثلان، فيمكننا مساواة الطرفين الأيمنين: 
إذا ضربنا كلا الطرفين على اليمين في
ثم نحصل 
على الجانب الآخر 
(ابحث عن المصفوفة العكسية بنفسك).
المساواة الأخيرتين تعطينا العلاقة المطلوبة بين إحداثيات المتجه x في القواعد و .
إجابة:
مصفوفة الانتقال من الأساس إلى الأساس لها الشكل 
;
إحداثيات المتجه x في القواعد وترتبط بالعلاقات 
أو .
لقد درسنا مفاهيم البعد وأساس الفضاء المتجه، وتعلمنا تحليل المتجه إلى أساس، واكتشفنا العلاقة بين القواعد المختلفة للفضاء المتجه ذي الأبعاد n من خلال مصفوفة الانتقال.
يسمى الفضاء الخطي V ن الأبعاد، إذا كان هناك نظام من n متجهات مستقلة خطيًا، وأي نظام يحتوي على المزيد من المتجهات يعتمد خطيًا. يتم استدعاء الرقم n البعد (عدد الأبعاد)المساحة الخطية V ويشار إليها \ اسم المشغل (خافت) V. بمعنى آخر، بُعد الفضاء هو الحد الأقصى لعدد المتجهات المستقلة خطيًا لهذا الفضاء. إذا كان هذا الرقم موجودا، فإن الفضاء يسمى الفضاء محدود الأبعاد. إذا كان هناك، بالنسبة لأي عدد طبيعي n، في الفضاء V نظام يتكون من ن متجهات مستقلة خطيًا، فإن مثل هذا الفضاء يسمى الأبعاد اللانهائية (اكتب: \ اسم المشغل (خافت) V = \ infty). في ما يلي، ما لم ينص على خلاف ذلك، سيتم النظر في المساحات محدودة الأبعاد.
أساسالفضاء الخطي ذو الأبعاد n عبارة عن مجموعة مرتبة من المتجهات المستقلة خطيًا (n) ناقلات الأساس).
النظرية 8.1 حول توسيع المتجه من حيث الأساس. إذا كان أساس الفضاء الخطي ذو الأبعاد n V، فيمكن تمثيل أي متجه \mathbf(v)\in V كمجموعة خطية من المتجهات الأساسية:
\mathbf(v)=\mathbf(v)_1\cdot \mathbf(e)_1+\mathbf(v)_2\cdot \mathbf(e)_2+\ldots+\mathbf(v)_n\cdot \mathbf(e)_n
علاوة على ذلك، بالطريقة الوحيدة، أي. احتمال \mathbf(v)_1, \mathbf(v)_2,\ldots, \mathbf(v)_nيتم تحديدها بشكل لا لبس فيه.بمعنى آخر، يمكن توسيع أي متجه للفضاء إلى أساس، وعلاوة على ذلك، بطريقة فريدة من نوعها.
في الواقع، بعد الفضاء V يساوي n. نظام المتجهات \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_nمستقلة خطيا (هذا هو الأساس). بعد إضافة أي متجه \mathbf(v) إلى الأساس، نحصل على نظام يعتمد خطيًا \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n, \mathbf(v)(بما أن هذا النظام يتكون من (n+1) متجهات للفضاء ذو الأبعاد n). باستخدام خاصية 7 ناقلات تعتمد خطيا ومستقلة خطيا، نحصل على نتيجة النظرية.
النتيجة الطبيعية 1. لو \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_nهو أساس الفضاء V، إذن V=\اسم المشغل(لين) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_n)، أي. المساحة الخطية هي المدى الخطي للمتجهات الأساسية.
في الواقع، لإثبات المساواة V=\operatorname(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots, \mathbf(e)_n)مجموعتين، وهو ما يكفي لبيان أن الادراج V\subset \operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_n)ويتم تنفيذها في وقت واحد. في الواقع، من ناحية، أي مجموعة خطية من المتجهات في الفضاء الخطي تنتمي إلى الفضاء الخطي نفسه، أي. \operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n)\subset V. من ناحية أخرى، وفقا للنظرية 8.1، يمكن تمثيل أي متجه للفضاء كمجموعة خطية من المتجهات الأساسية، أي. V\subset \operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n). وهذا يعني المساواة بين المجموعات قيد النظر.
النتيجة الطبيعية 2. لو \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n- يمكن تمثيل نظام مستقل خطيًا لمتجهات الفضاء الخطي V وأي متجه \mathbf(v)\in V كمجموعة خطية (8.4): \mathbf(v)=v_1\mathbf(e)_1+ v_2\mathbf(e)_2+\ldots+v_n\mathbf(e)_n، فإن الفضاء V له البعد n، والنظام \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_nهو أساسها.
في الواقع، يوجد في الفضاء V نظام من المتجهات المستقلة خطيًا، وأي نظام \mathbf(u)_1,\mathbf(u)_2,\ldots,\mathbf(u)_nعدد أكبر من المتجهات (k>n) يعتمد خطيًا، حيث يتم التعبير عن كل متجه من هذا النظام خطيًا من حيث المتجهات \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n. وسائل، \اسم المشغل(خافت) V=nو \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n- الأساس الخامس .
النظرية 8.2 حول إضافة نظام من المتجهات إلى الأساس. أي نظام مستقل خطيًا لمتجهات k للفضاء الخطي ذو الأبعاد n (1\leqslant k في الواقع، دعونا نكون نظامًا مستقلاً خطيًا من المتجهات في الفضاء ذي الأبعاد n V~(1\leqslant k ملاحظات 8.4 1. يتم تحديد أساس الفضاء الخطي بشكل غامض. على سبيل المثال، إذا \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots, \mathbf(e)_nهو أساس الفضاء V، ثم نظام المتجهات \lambda \mathbf(e)_1,\lambda \mathbf(e)_2,\ldots,\lambda \mathbf(e)_nلأي \lambda\ne0 هو أيضًا أساس V . عدد المتجهات الأساسية في القواعد المختلفة لنفس الفضاء محدود الأبعاد هو بالطبع نفسه، لأن هذا العدد يساوي بُعد الفضاء. 2. في بعض المساحات، التي غالبًا ما تتم مواجهتها في التطبيقات، يُطلق على إحدى القواعد المحتملة، والأكثر ملاءمة من الناحية العملية، اسم المعيار. 3. تسمح لنا النظرية 8.1 بأن نقول إن الأساس هو نظام كامل من عناصر الفضاء الخطي، بمعنى أن أي متجه للفضاء يتم التعبير عنه خطيًا من حيث المتجهات الأساسية. 4. إذا كانت المجموعة \mathbb(L) عبارة عن امتداد خطي \اسم المشغل(لين)(\mathbf(v)_1,\mathbf(v)_2,\ldots,\mathbf(v)_k)ثم المتجهات \mathbf(v)_1,\mathbf(v)_2,\ldots,\mathbf(v)_kتسمى مولدات المجموعة \mathbb(L) . النتيجة الطبيعية 1 للنظرية 8.1 بسبب المساواة V=\اسم المشغل(لين) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n)يسمح لنا أن نقول أن الأساس هو الحد الأدنى من نظام المولداتالفضاء الخطي V، لأنه من المستحيل تقليل عدد المولدات (قم بإزالة متجه واحد على الأقل من المجموعة \mathbf(e)_1, \mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n) دون انتهاك المساواة V=\operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n). 5. النظرية 8.2 تسمح لنا بالقول أن الأساس هو أقصى نظام مستقل خطيا من المتجهاتالفضاء الخطي، نظرًا لأن الأساس عبارة عن نظام مستقل خطيًا من المتجهات، ولا يمكن استكماله بأي متجه دون فقدان الاستقلال الخطي. 6. النتيجة الطبيعية 2 للنظرية 8.1 ملائمة للاستخدام للعثور على أساس وأبعاد الفضاء الخطي. ويؤخذ في بعض الكتب المدرسية تحديد الأساس، وهو: نظام مستقل خطيا \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_nتسمى متجهات الفضاء الخطي أساسًا إذا تم التعبير عن أي متجه للفضاء خطيًا من حيث المتجهات \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n. يحدد عدد المتجهات الأساسية حجم الفضاء. وبطبيعة الحال، هذه التعريفات تعادل تلك المذكورة أعلاه. دعونا نشير إلى البعد والأساس لأمثلة المساحات الخطية التي تمت مناقشتها أعلاه. 1. لا تحتوي المساحة الخطية الصفرية \(\mathbf(o)\) على متجهات مستقلة خطيًا. ولذلك يفترض أن البعد لهذا الفضاء هو صفر: \dim\(\mathbf(o)\)=0. هذا الفضاء ليس له أساس. 2. المسافات V_1,\,V_2,\,V_3 لها أبعاد 1، 2، 3، على التوالي. في الواقع، أي متجه غير صفري للفضاء V_1 يشكل نظامًا مستقلاً خطيًا (انظر النقطة 1 في الملاحظات 8.2)، وأي متجهين غير صفريين للفضاء V_1 يكونان على خط واحد، أي. تعتمد خطيا (انظر المثال 8.1). وبالتالي، \dim(V_1)=1، وأساس المساحة V_1 هو أي متجه غير الصفر. وبالمثل، ثبت أن \dim(V_2)=2 و \dim(V_3)=3 . أساس الفضاء V_2 هو أي متجهين غير خطيين مأخوذين بترتيب معين (أحدهما يعتبر المتجه الأساسي الأول والآخر هو الثاني). أساس الفضاء V_3 هو أي ثلاثة نواقل غير مستوية (لا تقع في نفس المستويات أو متوازية)، مأخوذة بترتيب معين. الأساس القياسي في V_1 هو متجه الوحدة \vec(i) على الخط. الأساس القياسي في V_2 هو الأساس \vec(i),\,\vec(j)، يتكون من متجهي وحدة متعامدين بشكل متبادل للمستوى. يعتبر الأساس القياسي في الفضاء V_3 هو الأساس \vec(i),\,\vec(j),\,\vec(k)، مكونة من ثلاثة متجهات وحدة، متعامدة بشكل زوجي، وتشكل ثلاثية قائمة. 3. لا تحتوي المساحة \mathbb(R)^n على أكثر من n متجهات مستقلة خطيًا. في الواقع، لنأخذ k من الأعمدة \mathbb(R)^n وننشئ منها مصفوفة بأحجام n\times k. إذا كان k>n، فإن الأعمدة تعتمد خطيًا حسب النظرية 3.4 على رتبة المصفوفة. لذلك، \dim(\mathbb(R)^n)\leqslant n. في الفضاء \mathbb(R)^n ليس من الصعب العثور على n أعمدة مستقلة خطيًا. على سبيل المثال، أعمدة مصفوفة الهوية \mathbf(e)_1=\begin(pmatrix)1\\0\\\vdots\\0\end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_2= \begin(pmatrix)0\\1\ \\vdots\\0\end(pmatrix)\!,\quad \ldots,\quad \mathbf(e)_n= \begin(pmatrix) 0\\0\\\vdots\\1 \end(pmatrix)\ !. مستقل خطيا. لذلك، \dim(\mathbb(R)^n)=n. يتم استدعاء المساحة \mathbb(R)^n الفضاء الحسابي الحقيقي ذو الأبعاد n. تعتبر مجموعة المتجهات المحددة هي الأساس القياسي للمساحة \mathbb(R)^n . وكذا ثبت ذلك \dim(\mathbb(C)^n)=nلذلك يتم استدعاء المساحة \mathbb(C)^n الفضاء الحسابي المركب ذو الأبعاد n. 4. تذكر أن أي حل للنظام المتجانس Ax=o يمكن تمثيله في الصورة x=C_1\varphi_1+C_2\varphi_2+\ldots+C_(n-r)\varphi_(n-r)، أين r=\اسم المشغل(rg)أ، أ \varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_(n-r)- النظام الأساسي للحلول. لذلك، \(Ax=o\)=\operatorname(Lin) (\varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_(n-r))، أي. أساس مساحة \(Ax=0\) حلول النظام المتجانس هو نظام حلوله الأساسي، وبُعد الفضاء \(Ax=o\)=n-r، حيث n هو عدد المجهولين و r هي رتبة مصفوفة النظام. 5. في الفراغ M_(2\times3) للمصفوفات ذات الحجم 2\times3، يمكنك اختيار 6 مصفوفات: \begin(gathered)\mathbf(e)_1= \begin(pmatrix)1&0&0\\0&0&0\end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_2= \begin(pmatrix)0&1&0\\0&0&0\end( pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_3= \begin(pmatrix) 0&0&1\\0&0&0\end(pmatrix)\!,\hfill\\ \mathbf(e)_4= \begin(pmatrix) 0&0&0\\ 1&0&0 \end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_5= \begin(pmatrix)0&0&0\\0&1&0\end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_6= \begin(pmatrix)0&0&0 \\0&0&1\end(pmatrix)\!,\hfill \end(مجمع) \alpha_1\cdot \mathbf(e)_1+\alpha_2\cdot \mathbf(e)_2+\alpha_3\cdot \mathbf(e)_3+ \alpha_4\cdot \mathbf(e)_4+\alpha_5\cdot \mathbf(e)_5+ \alpha_6\cdot \mathbf(e)_6= \begin(pmatrix)\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3\\ \alpha_4&\alpha_5&\alpha_6\end(pmatrix) تساوي المصفوفة الصفرية فقط في الحالة التافهة \alpha_1=\alpha_2= \ldots= \alpha_6=0. بعد قراءة المساواة (8.5) من اليمين إلى اليسار، نستنتج أن أي مصفوفة من M_(2\times3) يتم التعبير عنها خطيًا من خلال المصفوفات الستة المختارة، أي. M_(2\times)= \operatorname(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_6). لذلك، \dim(M_(2\times3))=2\cdot3=6، والمصفوفات \mathbf(e)_1, \mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_6هي الأساس (المعياري) لهذا الفضاء. وكذا ثبت ذلك \dim(M_(m\times n))=m\cdot n. 6. بالنسبة لأي عدد طبيعي n في الفضاء P(\mathbb(C)) من متعددات الحدود ذات المعاملات المعقدة، يمكن العثور على عناصر مستقلة خطيًا. على سبيل المثال، كثيرات الحدود \mathbf(e)_1=1, \mathbf(e)_2=z, \mathbf(e)_3=z^2,\,\ldots, \mathbf(e)_n=z^(n-1)مستقلة خطيا، منذ تركيبتها الخطية a_1\cdot \mathbf(e)_1+a_2\cdot \mathbf(e)_2+\ldots+a_n\cdot \mathbf(e)_n= a_1+a_2z+\ldots+a_nz^(n-1) يساوي الصفر متعدد الحدود (o(z)\equiv0) فقط في الحالة التافهة a_1=a_2=\ldots=a_n=0. نظرًا لأن نظام كثيرات الحدود هذا مستقل خطيًا عن أي عدد طبيعي l، فإن الفضاء P(\mathbb(C)) هو لانهائي الأبعاد. وبالمثل، نستنتج أن الفضاء P(\mathbb(R)) لكثيرات الحدود ذات المعاملات الحقيقية له بعد لا نهائي. الفضاء P_n(\mathbb(R)) لكثيرات الحدود ذات الدرجة التي لا تزيد عن n هو ذو أبعاد محدودة. في الواقع، المتجهات \mathbf(e)_1=1, \mathbf(e)_2=x, \mathbf(e)_3=x^2,\,\ldots, \mathbf(e)_(n+1)=x^nقم بتكوين أساس (قياسي) لهذه المساحة، نظرًا لأنها مستقلة خطيًا ويمكن تمثيل أي متعددة الحدود من P_n(\mathbb(R)) كمجموعة خطية من هذه المتجهات: a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0=a_0\cdot \mathbf(e)_1+a_1 \mathbf(e)_2+\ldots+a_n\cdot \mathbf(e)_(n+1)أمثلة على قواعد الفضاء الخطي
والتي تكون مستقلة خطيا. في الواقع، مزيجهم الخطي
7. الفضاء C(\mathbb(R)) للدوال المستمرة له أبعاد لا نهائية. في الواقع، لأي عدد طبيعي ن كثيرات الحدود 1,x,x^2,\ldots, x^(n-1)، تعتبر وظائف مستمرة، وتشكل أنظمة مستقلة خطيا (انظر المثال السابق).
في الفضاء T_(\omega)(\mathbb(R))ذوات الحدين المثلثية (من التردد \omega\ne0) ذات أساس معاملات حقيقية تشكل أحادية الحد \mathbf(e)_1(t)=\sin\omega t,~\mathbf(e)_2(t)=\cos\omega t. إنهم مستقلون خطيا، لأن المساواة متطابقة a\sin\omega t+b\cos\omega t\equiv0ممكن فقط في الحالة التافهة (a=b=0) . أي وظيفة من النموذج f(t)=a\sin\omega t+b\cos\omega tيتم التعبير عنها خطيًا من خلال العناصر الأساسية: f(t)=a\,\mathbf(e)_1(t)+b\,\mathbf(e)_2(t).
8. الفضاء \mathbb(R)^X للدوال الحقيقية المحددة في المجموعة X، اعتمادًا على مجال تعريف X، يمكن أن يكون محدود الأبعاد أو غير محدود الأبعاد. إذا كانت X مجموعة محدودة، فإن المساحة \mathbb(R)^X تكون ذات أبعاد محدودة (على سبيل المثال، X=\(1,2,\ldots,n\)). إذا كانت X مجموعة لا نهائية، فإن المساحة \mathbb(R)^X هي أبعاد لا نهائية (على سبيل المثال، المساحة \mathbb(R)^N للمتتابعات).
9. في الفضاء \mathbb(R)^(+) أي رقم موجب \mathbf(e)_1 لا يساوي واحدًا يمكن استخدامه كأساس. لنأخذ على سبيل المثال الرقم \mathbf(e)_1=2 . يمكن التعبير عن أي رقم موجب r من خلال \mathbf(e)_1 ، أي تمثل في النموذج \alpha\cdot \mathbf(e)_1\colon r=2^(\log_2r)=\log_2r\ast2=\alpha_1\ast \mathbf(e)_1، حيث \alpha_1=\log_2r . وبالتالي، فإن بُعد هذه المساحة هو 1، والرقم \mathbf(e)_1=2 هو الأساس.
10. دع \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_nهو أساس الفضاء الخطي الحقيقي V. دعونا نحدد الدوال العددية الخطية على V عن طريق الإعداد:
\mathcal(E)_i(\mathbf(e)_j)=\begin(cases)1,&i=j,\\ 0,&i\ne j.\end(cases)
في هذه الحالة، نظرًا لخطية الدالة \mathcal(E)_i، نحصل على متجه عشوائي \mathcal(E)(\mathbf(v))=\sum_(j=1)^(n)v_j \mathcal(E)(\mathbf(e)_j)=v_i.
لذلك، يتم تعريف العناصر n (الناقلات). \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2, \ldots, \mathcal(E)_nالمساحة المترافقة V^(\ast) . دعونا نثبت ذلك \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n- الأساس V^(\ast) .
أولا، نظهر أن النظام \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_nمستقل خطيا. في الواقع، دعونا نأخذ مجموعة خطية من هذه المسخنات (\alpha_1 \mathcal(E)_1+\ldots+\alpha_n\mathcal(E)_n)(\mathbf(v))=ومساواتها بالدالة صفر
\mathbf(o)(\mathbf(v))~~ (\mathbf(o)(\mathbf(v))=0~ \forall \mathbf(v)\in V)\colon~ \alpha_1\mathcal(E )_1(\mathbf(v))+\ldots+\alpha_n\mathcal(E)_n(\mathbf(v))= \mathbf(o)(\mathbf(v))=0~~\forall \mathbf(v) )\في V.
استبدال في هذه المساواة \mathbf(v)=\mathbf(e)_i,~ i=1,\ldots,n، نحن نحصل \alpha_1=\alpha_2\cdot= \alpha_n=0. وبالتالي فإن نظام العناصر \mathcal(E)_1,\mathcal(E)_2,\ldots,\mathcal(E)_nالفضاء V^(\ast) مستقل خطيًا، حيث أن المساواة \alpha_1\mathcal(E)_1+\ldots+ \alpha_n\mathcal(E)_n =\mathbf(o)ممكن فقط في حالة تافهة.
ثانيًا، نثبت أن أي دالة خطية f\in V^(\ast) يمكن تمثيلها كمجموعة خطية من التغطيات \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n. في الواقع، لأي ناقل \mathbf(v)=v_1 \mathbf(e)_1+v_2 \mathbf(e)_2+\ldots+v_n \mathbf(e)_nبسبب خطية الدالة f نحصل على:
\begin(aligned)f(\mathbf(v))&= f(v_1 \mathbf(e)_1+\ldots+v_n \mathbf(e)_n)= v_1 f(\mathbf(e)_1)+\ldots+ v_n f(\mathbf(e)_n)= f(\mathbf(e)_1)\mathcal(E)_1(\mathbf(v))+ \ldots+ f(\mathbf(e)_n)\mathcal(E) _n (\mathbf(v))=\\ &=(f(\mathbf(e)_1)\mathcal(E)_1+\ldots+ f(\mathbf(e)_n)\mathcal(E)_n)(\mathbf ( v))= (\beta_1\mathcal(E)_1+ \ldots+\beta_n\mathcal(E)_n) (\mathbf(v)),\end(محاذاة)
أولئك. يتم تمثيل الدالة f كمجموعة خطية f=\beta_1 \mathcal(E)_1+\ldots+\beta_n\mathcal(E)_nالمهام \mathcal(E)_1,\mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n(أعداد \beta_i=f(\mathbf(e)_i)- معاملات الجمع الخطية). لذلك، نظام covector \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_nهو أساس الفضاء المزدوج V^(\ast) و \dim(V^(\ast))=\dim(V)(للمساحة محدودة الأبعاد V ).
إذا لاحظت خطأ أو خطأ مطبعي أو لديك أي اقتراحات، فاكتب في التعليقات.
تشكل المجموعة الفرعية من الفضاء الخطي فضاءً جزئيًا إذا تم إغلاقها تحت إضافة المتجهات والضرب بالكميات القياسية.
مثال 6.1. هل يشكل الفضاء الجزئي في المستوى مجموعة من المتجهات التي تقع نهاياتها: أ) في الربع الأول؛ ب) على خط مستقيم يمر بنقطة الأصل؟ (أصول المتجهات تكمن في أصل الإحداثيات)
حل.
أ) لا، نظرًا لأن المجموعة غير مغلقة عند الضرب بمقدار عددي: عند الضرب بعدد سالب، تقع نهاية المتجه في الربع الثالث.
ب) نعم، لأنه عند جمع المتجهات وضربها في أي عدد، تبقى نهاياتها على نفس الخط المستقيم.
التمرين 6.1. هل تشكل المجموعات الفرعية التالية من المسافات الخطية المقابلة مساحة فرعية:
أ) مجموعة من المتجهات المستوية التي تقع نهايتها في الربع الأول أو الثالث؛
ب) مجموعة من المتجهات المستوية التي تقع نهاياتها على خط مستقيم لا يمر بنقطة الأصل؛
ج) مجموعة من خطوط الإحداثيات ((x 1, x 2, x 3)ï x 1 + x 2 + x 3 = 0);
د) مجموعة خطوط الإحداثيات ((x 1, x 2, x 3)ï x 1 + x 2 + x 3 = 1);
هـ) مجموعة من الخطوط الإحداثية ((x 1, x 2, x 3)ï x 1 = x 2 2).
بُعد الفضاء الخطي L هو العدد الخافت L للمتجهات المضمنة في أي أساس منه.
ترتبط أبعاد مجموع وتقاطع المساحات الجزئية بالعلاقة
خافت (U + V) = خافت U + خافت V – خافت (U ç V).
مثال 6.2. أوجد أساس وأبعاد مجموع وتقاطع المساحات الجزئية الممتدة عبر أنظمة المتجهات التالية:
الحل: كل نظام من أنظمة المتجهات التي تولد الفضاءين الجزئيين U وV مستقل خطياً، مما يعني أنه أساس الفضاء الفرعي المقابل. دعونا نبني مصفوفة من إحداثيات هذه المتجهات، ونرتبها في أعمدة ونفصل نظامًا عن الآخر بخط. دعونا نختصر المصفوفة الناتجة إلى شكل تدريجي.
~ 
~ 
~ 
.
الأساس U + V يتكون من المتجهات، ،، التي تتوافق معها العناصر الرائدة في مصفوفة الخطوة. لذلك خافت (U + V) = 3. ثم
خافت (UçV) = خافت U + خافت V – خافت (U + V) = 2 + 2 – 3 = 1.
يشكل تقاطع الفضاءات الجزئية مجموعة من المتجهات التي تحقق المعادلة (تقف على الجانبين الأيسر والأيمن من هذه المعادلة). نحصل على أساس التقاطع باستخدام النظام الأساسي للحلول لنظام المعادلات الخطية المقابلة لهذه المعادلة المتجهة. لقد تم بالفعل تخفيض مصفوفة هذا النظام إلى شكل تدريجي. وبناء عليه نستنتج أن y 2 متغير حر، ونضع y 2 = c. ثم 0 = ص 1 - ص 2، ص 1 = ج،. ويشكل تقاطع الفضاءات الجزئية مجموعة من متجهات النموذج 
= ج (3، 6، 3، 4). وبالتالي، فإن أساس UUCV يشكل المتجه (3، 6، 3، 4).
ملحوظات. 1. إذا واصلنا حل النظام، وإيجاد قيم المتغيرات x، نحصل على x 2 = c، x 1 = c، وعلى الجانب الأيسر من معادلة المتجهات نحصل على متجه يساوي ذلك الذي تم الحصول عليه أعلاه .
2. باستخدام الطريقة المشار إليها، يمكنك الحصول على أساس المجموع بغض النظر عما إذا كانت أنظمة توليد المتجهات مستقلة خطيًا. ولكن لن يتم الحصول على أساس التقاطع بشكل صحيح إلا إذا كان النظام الذي يولد الفضاء الفرعي الثاني على الأقل مستقلاً خطيًا.
3. إذا تقرر أن بعد التقاطع هو 0 فإن التقاطع ليس له أساس ولا داعي للبحث عنه.
التمرين 6.2. أوجد أساس وأبعاد مجموع وتقاطع المساحات الجزئية الممتدة عبر أنظمة المتجهات التالية:
أ) 
ب) 
الفضاء الإقليدي
الفضاء الإقليدي هو الفضاء الخطي فوق الحقل ر، حيث يتم تعريف الضرب العددي الذي يعين كل زوج من المتجهات، عدديًا، ويتم استيفاء الشروط التالية:
2) (أ + ب) = أ() + ب()؛
3) ¹Þ > 0.
يتم حساب المنتج العددي القياسي باستخدام الصيغ
(أ 1 ، … ، أ ن) (ب 1 ، … ، ب ن) = أ 1 ب 1 + … + أ ن ب ن.
تسمى المتجهات متعامدة، وتكتب ^ إذا كان منتجها القياسي يساوي 0.
يسمى نظام المتجهات متعامدًا إذا كانت المتجهات فيه متعامدة بشكل زوجي.
النظام المتعامد للمتجهات مستقل خطيًا.
تتكون عملية التعامد لنظام من المتجهات، ... ، من الانتقال إلى نظام متعامد مكافئ، ...، يتم إجراؤه وفقًا للصيغ:
، حيث ك = 2، …، ن.
مثال 7.1. متعامد نظام من المتجهات
= (1, 2, 2, 1), = (3, 2, 1, 1), = (4, 1, 3, -2).
الحل لدينا = = (1، 2، 2، 1)؛
, = 
= = 1;
= (3, 2, 1, 1) – (1, 2, 2, 1) = (2, 0, -1, 0).
, = 
= =1;
= 
=1;
= (4, 1, 3, -2) – (1, 2, 2, 1) – (2, 0, -1, 0) = (1, -1, 2, -3).
التمرين 7.1. أنظمة المتجهات المتعامدة:
أ) = (1، 1، 0، 2)، = (3، 1، 1، 1)، = (-1، -3، 1، -1)؛
ب) = (1، 2، 1، 1)، = (3، 4، 1، 1)، = (0، 3، 2، -1).
مثال 7.2. النظام الكامل للمتجهات = (1، -1، 1، -1)،
= (1، 1، -1، -1)، على الأساس المتعامد للمساحة.
الحل: النظام الأصلي متعامد، لذا فإن المشكلة منطقية. بما أن المتجهات معطاة في فضاء رباعي الأبعاد، علينا إيجاد متجهين آخرين. يتم تحديد المتجه الثالث = (x 1، x 2، x 3، x 4) من الشروط = 0، = 0. تعطي هذه الشروط نظامًا من المعادلات، تتشكل مصفوفتها من خطوط إحداثيات المتجهات و . نحن نحل النظام:
~ 
~ 
.
يمكن إعطاء المتغيرين الحرين x 3 و x 4 لأي مجموعة قيم غير الصفر. نفترض، على سبيل المثال، x 3 = 0، x 4 = 1. ثم x 2 = 0، x 1 = 1، و= (1، 0، 0، 1).
وبالمثل نجد = (ص 1، ص 2، ص 3، ص 4). للقيام بذلك، نضيف خط إحداثي جديد إلى المصفوفة المتدرجة التي تم الحصول عليها أعلاه ونختصرها إلى شكل متدرج:
~ 
~ 
.
بالنسبة للمتغير الحر y 3، قمنا بتعيين y 3 = 1. ثم y 4 = 0، y 2 = 1، y 1 = 0، و= (0، 1، 1، 0).
معيار المتجه في الفضاء الإقليدي هو عدد حقيقي غير سالب.
يُسمى المتجه مُطبيعًا إذا كان معياره هو 1.
لتطبيع المتجه، يجب قسمته على معياره.
يسمى النظام المتعامد من النواقل الطبيعية المتعامدة.
التمرين 7.2. أكمل نظام المتجهات إلى الأساس المتعامد للفضاء:
أ) = (1/2، 1/2، 1/2، 1/2)، = (-1/2، 1/2، -1/2، 1/2)؛
ب) = (1/3، -2/3، 2/3).
التعيينات الخطية
دع U و V يكونان مسافات خطية فوق الحقل F. التعيين f: U ® V يسمى الخطي if و .
مثال 8.1. هل التحويلات الفضائية ثلاثية الأبعاد خطية:
أ) و(س 1، × 2، × 3) = (2 × 1، × 1 - × 3، 0)؛
ب) و(س 1، × 2، × 3) = (1، × 1 + × 2، × 3).
حل.
أ) لدينا f((x 1, x 2, x 3) + (y 1, y 2, y 3)) = f(x 1 + y 1, x 2 + y 2, x 3 + y 3) =
= (2(س 1 + ص 1)، (س 1 + ص 1) – (س 3 + ص 3)، 0) = (2س 1، س 1 – س 3، 0) + (2ص 1، ص 1 - ص 3 , 0) =
F((x 1, x 2, x 3) + f(y 1, y 2, y 3));
f(l(x 1 , x 2 , x 3)) = f(lx 1 , lx 2 , lx 3) = (2lx 1 , lx 1 – lx 3 , 0) = l(2x 1 , x 1 – x 3 ، 0) =
ل و(× 1، × 2، × 3).
ولذلك، فإن التحول خطي.
ب) لدينا f((x 1 , x 2 , x 3) + (y 1 , y 2 , y 3)) = f(x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , x 3 + y 3) =
= (1, (س 1 + ص 1) + (س 2 + ص 2), س 3 + ص 3);
f((x 1 , x 2 , x 3) + f(y 1 , y 2 , y 3)) = (1, x 1 + x 2 , x 3) + (1, y 1 + y 2 , y 3) ) =
= (2، (x 1 + y 1) + (x 2 + y 2)، x 3 + y 3) ¹ f ((x 1، x 2، x 3) + (y 1، y 2، y 3) ).
ولذلك، فإن التحول ليس خطيا.
صورة التعيين الخطي f: U ® V هي مجموعة صور المتجهات من U، أي
ايم (و) = (و() ï О U). + … + م1
التمرين 8.1. ابحث عن الرتبة والعيوب وقواعد الصورة ونواة التعيين الخطي f الذي توفره المصفوفة:
أ) أ =؛ ب) أ =؛ ج) أ = 
.
وفقا لتعريف الفضاء الخطي، لذلك أكان فضاء فرعيا فمن الضروري التحقق من الجدوى فيه أعمليات:
1) : 
;
2) 
: 
;
والتأكد من وجود العمليات أتخضع لثمانية بديهيات. ومع ذلك، فإن الأخير سيكون زائدا عن الحاجة (نظرا لحقيقة أن هذه البديهيات تحمل حرف L)، أي. ما يلي صحيح
نظرية.دع L يكون مساحة خطية فوق الحقل P و 
. المجموعة A هي فضاء فرعي من L إذا وفقط إذا تم استيفاء المتطلبات التالية:
إفادة.لو ل – ن- الفضاء الخطي الأبعاد و أالفضاء الجزئي لها، ثم أكما أنه فضاء خطي محدود الأبعاد ولا يتجاوز بعده ن.
ص 
مثال 1.
هل الفضاء الجزئي لفضاء متجهات القطعة V 2 هو المجموعة S لجميع المتجهات المستوية، التي يقع كل منها على أحد محاور الإحداثيات 0x أو 0y؟
حل: يترك 
, 
و 
, 
. ثم 
. وبالتالي فإن S ليس فضاء فرعيا 
.
مثال 2.هو فضاء فرعي خطي من الفضاء الخطي الخامس 2 هناك العديد من ناقلات الجزء المستوي سجميع المتجهات المستوية التي تقع بداياتها ونهاياتها على خط معين لهذه الطائرة؟
حل.
ه 
ناقل سلي 
الضرب بالعدد الحقيقي ك، ثم نحصل على المتجه 
، ينتمي أيضًا إلى S. If 
و 
هما متجهان من S، إذن 
(حسب قاعدة جمع المتجهات على خط مستقيم). لذلك S هو فضاء فرعي 
.
مثال 3.هو فضاء فرعي خطي من الفضاء الخطي الخامس 2 مجموعة من أجميع المتجهات المستوية التي تقع نهاياتها على خط معين ل(افترض أن أصل أي متجه يتطابق مع أصل الإحداثيات)؟
ر 
قرار.
في حالة وجود الخط المستقيم لالمجموعة لا تمر عبر الأصل أالفضاء الجزئي الخطي للفضاء الخامس 2
ليس، لأن 
.
في حالة وجود الخط المستقيم ل
يمر عبر الأصل، مجموعة أهو مساحة فرعية خطية من الفضاء الخامس 2
,
لأن 
وعند ضرب أي ناقل 
إلى عدد حقيقي α
من الميدان رنحن نحصل 
. وهكذا، فإن متطلبات المساحة الخطية لمجموعة أمكتمل.
مثال 4.دعونا نعطي نظامًا من المتجهات 
من الفضاء الخطي لفوق الميدان ص. اثبات أن مجموعة من كل التركيبات الخطية الممكنة 
مع احتمالات 
من صهو مساحة فرعية ل(هذا هو الفضاء الفرعي أيسمى الفضاء الجزئي الناتج عن نظام من المتجهات أو قذيفة خطية نظام المتجهات هذا، والمشار إليها على النحو التالي: 
أو 
).
حل. في الواقع، منذ ذلك الحين، لأية عناصر س,
ذ
ألدينا: 
, 
، أين 
, 
. ثم
منذ ذلك الحين 
، لهذا 
.
دعونا نتحقق من استيفاء الشرط الثاني للنظرية. لو س– أي ناقل من أو ر– أي رقم من ص، الذي - التي . بسبب ال 
و 
،، الذي - التي 
، ، لهذا 
. وبالتالي، وفقا للنظرية، المجموعة أ- الفضاء الجزئي للفضاء الخطي ل.
أما بالنسبة للمساحات الخطية ذات الأبعاد المحدودة فإن العكس صحيح أيضًا.
نظرية.أي مساحة فرعية أالفضاء الخطي لفوق الميدان 
هو المدى الخطي لبعض أنظمة المتجهات.
عند حل مشكلة إيجاد أساس وأبعاد الغلاف الخطي، يتم استخدام النظرية التالية.
نظرية.أساس القشرة الخطية 
يتزامن مع أساس نظام المتجهات. يتطابق بُعد الغلاف الخطي مع رتبة نظام المتجهات.
مثال 4.العثور على أساس وأبعاد الفضاء الجزئي 
الفضاء الخطي ر 3
[
س]
، لو 
, 
, 
, 
.
حل. من المعروف أن المتجهات وصفوفها الإحداثية (الأعمدة) لها نفس الخصائص (فيما يتعلق بالاعتماد الخطي). صنع مصفوفة أ=
من أعمدة الإحداثيات من المتجهات 
في الأساس 
.
دعونا نجد رتبة المصفوفة أ.
. م 3
=
. 
.
ولذلك الرتبة ص(أ)=
3. إذن، رتبة نظام المتجهات هي 3. وهذا يعني أن بعد الفضاء الجزئي S هو 3، وأساسه يتكون من ثلاثة متجهات 
(منذ في القاصر الأساسي 
يتم تضمين إحداثيات هذه المتجهات فقط).
مثال 5.اثبات أن المجموعة حناقلات الفضاء الحسابية 
، التي إحداثياتها الأولى والأخيرة هي 0، تشكل مساحة فرعية خطية. أوجد أساسها وأبعادها.
حل. يترك 
.
ثم و . لذلك، 
لأي . لو 
, 
، الذي - التي . وهكذا، وفقا لنظرية الفضاء الجزئي الخطي، المجموعة حهو مساحة فرعية خطية من الفضاء. دعونا نجد الأساس ح. النظر في المتجهات التالية من ح: 
, 
، . هذا النظام من المتجهات مستقل خطياً. في الواقع، فليكن.
1. اسمحوا مساحة فرعية ل = ل(أ 1 , أ 2 , …, و م) ، إنه ل- الغلاف الخطي للنظام أ 1 , أ 2 , …, و م; ثلاثة أبعاد أ 1 , أ 2 , …, و م– نظام مولدات هذا الفضاء الفرعي. ثم الأساس لهو أساس نظام المتجهات أ 1 , أ 2 , …, و مأي أساس نظام المولدات. البعد ليساوي رتبة نظام المولدات.
2. اسمحوا مساحة فرعية لهو مجموع المساحات الفرعية ل 1 و ل 2. يمكن الحصول على نظام توليد مساحات فرعية للمجموع من خلال الجمع بين أنظمة توليد مساحات فرعية، وبعد ذلك يتم العثور على أساس المجموع. يتم تحديد حجم المبلغ بالصيغة التالية:
خافت(ل 1 + ل 2) = خافتL 1 + خافتL 2 – خافت(ل 1 ج ل 2).
3. دع مجموع المساحات الجزئية ل 1 و ل 2 هو مستقيم، وهذا هو ل = ل 1 أ ل 2. حيث ل 1 ج ل 2 = {يا) و خافت(ل 1 ج ل 2) = 0. أساس المجموع المباشر يساوي اتحاد أسس الحدود. البعد للمجموع المباشر يساوي مجموع أبعاد الحدود.
4. دعونا نعطي مثالا هاما على الفضاء الجزئي والمشعب الخطي.
النظر في نظام متجانس مالمعادلات الخطية مع نمجهول. العديد من الحلول م 0 من هذا النظام هو مجموعة فرعية من المجموعة آر إنويتم إغلاقه تحت جمع المتجهات والضرب في عدد حقيقي. وهذا يعني أن هناك الكثير م 0 - الفضاء الجزئي للفضاء آر إن. أساس الفضاء الجزئي هو مجموعة الحلول الأساسية لنظام متجانس، وأبعاد الفضاء الجزئي يساوي عدد المتجهات في مجموعة الحلول الأساسية للنظام.
مجموعة من محلول النظام الموحد مالمعادلات الخطية مع نالمجهولة هي أيضًا مجموعة فرعية من المجموعة آر إنويساوي مجموع المجموعة م 0 والمتجه أ، أين أهو بعض الحل معين من النظام الأصلي، والمجموعة م 0 – مجموعة الحلول لنظام متجانس من المعادلات الخطية المصاحبة لهذا النظام (يختلف عن الأصل في الحدود الحرة فقط)،
م = أ + م 0 = {أ = م, م Î م 0 }.
وهذا يعني أن الكثير مهو مشعب خطي من الفضاء آر إنمع ناقلات التحول أوالاتجاه م 0 .
مثال 8.6.أوجد أساس وأبعاد الفضاء الجزئي المحدد بواسطة نظام متجانس من المعادلات الخطية:
حل. دعونا نجد حلاً عامًا لهذا النظام ومجموعة حلوله الأساسية: 
مع 1 = (–21, 12, 1, 0, 0), مع 2 = (12, –8, 0, 1, 0), مع 3 = (11, –8, 0, 0, 1).
أساس الفضاء الفرعي يتكون من المتجهات مع 1 , مع 2 , مع 3، البعد هو ثلاثة.
نهاية العمل -
هذا الموضوع ينتمي إلى القسم:
الجبر الخطي
جامعة ولاية كوستروما سميت باسم ن. نيكراسوف..
إذا كنت بحاجة إلى مواد إضافية حول هذا الموضوع، أو لم تجد ما كنت تبحث عنه، نوصي باستخدام البحث في قاعدة بيانات الأعمال لدينا:
ماذا سنفعل بالمواد المستلمة:
إذا كانت هذه المادة مفيدة لك، فيمكنك حفظها على صفحتك على الشبكات الاجتماعية:
| سقسقة |
جميع المواضيع في هذا القسم:
بنك البحرين والكويت 22.174ya73-5
M350 صدر بقرار من مجلس التحرير والنشر بجامعة الملك سعود. N. A. Nekrasova المراجع A. V. Cherednikov
بنك البحرين والكويت 22.174ya73-5
à T. N. Matytsina, E. K. Korzhevina 2013 à جامعة الملك سعود سميت باسمها. ن.أ. نيكراسوفا، 2013
الاتحاد (أو المبلغ)
التعريف 1.9 اتحاد المجموعتين A وB هو المجموعة A È B، التي تتكون من تلك العناصر التي تنتمي إليها فقط
التقاطع (أو المنتج)
التعريف 1.10. تقاطع المجموعتين A وB هو المجموعة A ç B التي تتكون من تلك العناصر التي تنتمي إلى نفس المجموعة فقط
اختلاف
التعريف 1.11 الفرق بين المجموعتين A وB هو المجموعة A B، التي تتكون من تلك العناصر التي تنتمي إلى المجموعة A فقط
المنتج الديكارتي (أو المنتج المباشر)
التعريف 1.14. الزوج (أو الزوج) المرتب (أ، ب) هو عنصران أ، ب مأخوذان بترتيب معين. أزواج (أ1
خصائص العمليات المحددة
تُسمى أحيانًا خصائص عمليات الاتحاد والتقاطع والتكامل بقوانين مجموعة الجبر. دعونا ندرج الخصائص الرئيسية للعمليات على المجموعات. دع المجموعة العالمية U تعطى
طريقة الاستقراء الرياضي
يتم استخدام طريقة الاستقراء الرياضي لإثبات البيانات التي تتضمن صياغتها المعلمة الطبيعية n. طريقة الاستقراء الرياضي – طريقة إثبات الرياضيات
ارقام مركبة
يعد مفهوم العدد أحد الإنجازات الرئيسية للثقافة الإنسانية. أولاً ظهرت الأعداد الطبيعية N = (1، 2، 3، …، n، …)، ثم الأعداد الصحيحة Z = (…، –2، –1، 0، 1، 2، …)، عقلانية Q
التفسير الهندسي للأعداد المركبة
ومن المعروف أنه تم إدخال الأرقام السالبة فيما يتعلق بحل المعادلات الخطية في متغير واحد. في مهام محددة، تم تفسير الإجابة السلبية على أنها قيمة كمية الاتجاه (
الشكل المثلثي لعدد مركب
يمكن تحديد المتجه ليس فقط عن طريق الإحداثيات في نظام الإحداثيات المستطيل، ولكن أيضًا عن طريق الطول و
العمليات على الأعداد المركبة في الصورة المثلثية
يعد إجراء عمليات الجمع والطرح مع الأعداد المركبة في الصورة الجبرية أكثر ملاءمة، والضرب والقسمة في الصورة المثلثية. 1. الضرب: ليعطى اثنان ك
الأس
إذا z = r(cosj + i×sinj)، إذن zn = rn(cos(nj) + i×sin(nj)))، حيث n Î
الشكل الأسي لعدد مركب
ومن المعروف من التحليل الرياضي أن e = , e هو عدد غير نسبي. إيلي
مفهوم العلاقة
التعريف 2.1. علاقة n-ary (أو n-ary) P في المجموعات A1، A2، ...، An هي أي مجموعة فرعية
خصائص العلاقات الثنائية
دع العلاقة الثنائية P يتم تعريفها على مجموعة غير فارغة A، أي P Í A2. التعريف 2.9 العلاقة الثنائية P على المجموعة
علاقة التكافؤ
التعريف 2.15. تسمى العلاقة الثنائية في المجموعة A علاقة التكافؤ إذا كانت انعكاسية ومتماثلة ومتعدية. ما يعادل النسبة
المهام
التعريف 2.20 تسمى العلاقة الثنائية ƒ Í A ´ B دالة من المجموعة A إلى المجموعة B إذا كانت لأي x
المفاهيم العامة
التعريف 3.1. المصفوفة عبارة عن جدول مستطيل من الأرقام يحتوي على صفوف m وأعمدة n. يسمى الرقمان m و n بالترتيب (أو
إضافة مصفوفات من نفس النوع
يمكن إضافة المصفوفات من نفس النوع فقط. التعريف 3.12. مجموع المصفوفتين A = (aij) وB = (bij)، حيث i = 1،
خصائص إضافة المصفوفة
1) التبادلية: "أ، ب: أ + ب = ب + أ؛ 2) الترابط: "أ، ب، ج: (أ + ب) + ج = أ
ضرب مصفوفة بعدد
التعريف 3.13. منتج المصفوفة A = (aij) بعدد حقيقي k هو المصفوفة C = (сij)، والتي
خصائص ضرب المصفوفة بعدد
1) " أ: 1×أ = أ؛ 2) " α, β О R, " أ: (αβ)×A = α×(β×A) = β×
ضرب المصفوفة
دعونا نحدد ضرب مصفوفتين؛ للقيام بذلك، من الضروري تقديم بعض المفاهيم الإضافية. التعريف 3.14. تسمى المصفوفات A و B متسقة
خصائص ضرب المصفوفات
1) ضرب المصفوفة ليس تبادلياً: A×B ≠ B×A. ويمكن إثبات هذه الخاصية بالأمثلة. مثال 3.6. أ)
نقل المصفوفات
التعريف 3.16. تسمى المصفوفة "أ" التي يتم الحصول عليها من مصفوفة معينة عن طريق استبدال كل صف من صفوفها بعمود يحمل نفس الرقم، منقولة إلى المصفوفة المعطاة "أ"
محددات المصفوفات من الدرجة الثانية والثالثة
ترتبط كل مصفوفة مربعة A من الرتبة n برقم يسمى محدد هذه المصفوفة. التعيين: د، |أ|، ديت أ،
التعريف 4.6.
1. بالنسبة إلى n = 1، تتكون المصفوفة A من رقم واحد: |A| = أ11. 2. ليكن محدد مصفوفة الرتبة (ن – 1) معروفا. 3. تحديد
خصائص المحددات
من أجل حساب محددات الرتب الأكبر من 3، يتم استخدام خصائص المحددات ونظرية لابلاس. نظرية 4.1 (لابلاس). محدد المصفوفة المربعة
الحساب العملي للمحددات
إحدى طرق حساب محددات الترتيب الأعلى من ثلاثة هي توسيعها على عمود أو صف ما. مثال 4.4: احسب المحدد D =
مفهوم رتبة المصفوفة
لتكن A مصفوفة البعد m´n. دعونا نختار بشكل تعسفي صفوف k وأعمدة k في هذه المصفوفة، حيث 1 ≥ k ≥ min(m, n).
إيجاد رتبة مصفوفة باستخدام طريقة الحدود الصغرى
إحدى طرق العثور على رتبة المصفوفة هي طريقة تعداد القاصرين. تعتمد هذه الطريقة على تحديد رتبة المصفوفة. جوهر الطريقة على النحو التالي. إذا كان هناك عنصر واحد على الأقل ma
إيجاد رتبة المصفوفة باستخدام التحويلات الأولية
لنفكر في طريقة أخرى للعثور على رتبة المصفوفة. التعريف 5.4. تسمى التحويلات التالية تحويلات المصفوفة الأولية: 1. الضرب
مفهوم المصفوفة العكسية وطرق إيجادها
دع المصفوفة المربعة تعطى A. التعريف 5.7. تسمى المصفوفة A-1 معكوس المصفوفة A إذا كانت A×A-1
خوارزمية لإيجاد المصفوفة العكسية
لنفكر في إحدى طرق العثور على المصفوفة العكسية لمصفوفة معينة باستخدام الإضافات الجبرية. لنحصل على مصفوفة مربعة A. 1. أوجد محدد المصفوفة |A|. الاتحاد الأوروبي
إيجاد المصفوفة العكسية باستخدام التحويلات الأولية
لنفكر في طريقة أخرى للعثور على المصفوفة العكسية باستخدام التحويلات الأولية. دعونا صياغة المفاهيم والنظريات اللازمة. التعريف 5.11 المصفوفة بالاسم
طريقة كريمر
لنفكر في نظام من المعادلات الخطية يكون فيه عدد المعادلات مساويًا لعدد المجهولين، أي m = n ويكون النظام على الشكل التالي:
طريقة المصفوفة العكسية
تنطبق طريقة المصفوفة العكسية على أنظمة المعادلات الخطية التي يكون فيها عدد المعادلات مساوياً لعدد المجهولين ومحدد المصفوفة الرئيسية لا يساوي الصفر. شكل مصفوفة لتدوين النظام
طريقة غاوس
لوصف هذه الطريقة المناسبة لحل أنظمة المعادلات الخطية العشوائية، هناك حاجة إلى بعض المفاهيم الجديدة. التعريف 6.7. معادلة النموذج 0×
وصف طريقة غاوس
تتمثل طريقة غاوس - وهي طريقة للتخلص المتسلسل للمجهول - في حقيقة أنه بمساعدة التحويلات الأولية، يتم تقليل النظام الأصلي إلى نظام مكافئ من التدرج أو t
دراسة نظام المعادلات الخطية
دراسة نظام من المعادلات الخطية يعني، دون حل النظام، الإجابة على السؤال: هل النظام متسق أم لا، وإذا كان متسقا، كم عدد الحلول لديه؟ الرد على هذا في
أنظمة متجانسة من المعادلات الخطية
التعريف 6.11 يسمى نظام المعادلات الخطية متجانسًا إذا كانت حدوده الحرة تساوي الصفر. نظام متجانس من المعادلات الخطية م
خصائص الحلول لنظام متجانس من المعادلات الخطية
1. إذا كان المتجه a = (a1, a2, …, an) هو حل لنظام متجانس، فإن المتجه k×a = (k×a1, k&t
مجموعة الحلول الأساسية لنظام متجانس من المعادلات الخطية
لتكن M0 هي مجموعة الحلول للنظام المتجانس (4) من المعادلات الخطية. التعريف 6.12 المتجهات c1، c2، ...، c
الاعتماد الخطي واستقلال نظام المتجهات
لنفترض أن a1، a2، ...، m عبارة عن مجموعة من المتجهات ذات الأبعاد m، والتي يشار إليها عادةً باسم نظام المتجهات، و k1
خصائص الاعتماد الخطي لنظام المتجهات
1) نظام المتجهات الذي يحتوي على المتجه الصفري يعتمد خطياً. 2) يعتمد نظام المتجهات خطيًا إذا كان أي من أنظمته الفرعية يعتمد خطيًا. عاقبة. إذا سي
نظام ناقلات الوحدة
التعريف 7.13. نظام متجهات الوحدة في الفضاء Rn هو نظام من المتجهات e1، e2، ...، en
نظريتان حول الاعتماد الخطي
نظرية 7.1. إذا تم التعبير خطيًا عن نظام أكبر من المتجهات من خلال نظام أصغر، فإن النظام الأكبر يعتمد خطيًا. دعونا نصوغ هذه النظرية بمزيد من التفصيل: دع a1
أساس ورتبة نظام المتجهات
لتكن S عبارة عن نظام من المتجهات في الفضاء Rn؛ يمكن أن تكون إما محدودة أو لا نهائية. S" هو نظام فرعي للنظام S، S" Ì S. دعنا نعطي اثنين
رتبة نظام المتجهات
دعونا نعطي تعريفين متكافئين لرتبة نظام من المتجهات. التعريف 7.16. رتبة نظام المتجهات هي عدد المتجهات في أي أساس لهذا النظام.
التحديد العملي لرتبة وأساس نظام المتجهات
من هذا النظام من المتجهات نقوم بتكوين مصفوفة، ونرتب المتجهات كصفوف في هذه المصفوفة. نقوم بتقليل المصفوفة إلى شكل الصف باستخدام التحويلات الأولية عبر صفوف هذه المصفوفة. في
تعريف الفضاء المتجه على حقل تعسفي
دع P يكون حقلاً تعسفيًا. ومن الأمثلة على المجالات المعروفة لدينا مجال الأعداد العقلانية والحقيقية والمركبة. التعريف 8.1. تم استدعاء المجموعة V
أبسط خصائص الفضاءات المتجهة
1) o - متجه صفري (عنصر)، محدد بشكل فريد في مساحة متجهة عشوائية فوق الحقل. 2) لأي متجه О V هناك فريد من نوعه
الفضاءات الجزئية. المتشعبات الخطية
دع V يكون مساحة متجهة، L М V (L هي مجموعة فرعية من V). التعريف 8.2. مجموعة فرعية L من ناقلات الموالية
تقاطع ومجموع المساحات الجزئية
دع V يكون مساحة متجهة فوق المجال P وL1 وL2 ومساحاته الفرعية. التعريف 8.3. عن طريق عبور السؤال الفرعي
المتشعبات الخطية
دع V يكون مساحة متجهة، L مساحة فرعية، متجهًا عشوائيًا من الفضاء V. التعريف 8.6.
الفضاءات المتجهة ذات الأبعاد المحدودة
التعريف 8.7 يُسمى الفضاء المتجه V بأبعاد n إذا كان يحتوي على نظام مستقل خطيًا من المتجهات يتكون من n متجهات، ومن أجل
أساس الفضاء المتجه محدود الأبعاد
V عبارة عن مساحة متجهة محدودة الأبعاد فوق المجال P، S عبارة عن نظام من المتجهات (محدود أو لا نهائي). التعريف 8.10. أساس النظام S
إحداثيات المتجهات بالنسبة إلى أساس معين
النظر في الفضاء المتجه محدود الأبعاد V من البعد n، النواقل e1، e2، ...، en تشكل أساسها. دع المنتج يكون
إحداثيات المتجهات في قواعد مختلفة
دع V يكون فضاء متجه ذو أبعاد n حيث يتم إعطاء قاعدتين: e1، e2، …، en - الأساس القديم، e"1، e
فضاءات المتجهات الإقليدية
نظرا لمساحة متجهة V على مجال الأعداد الحقيقية. يمكن أن يكون هذا الفضاء إما فضاء متجهًا محدود الأبعاد للبعد n أو لانهائي الأبعاد
نقطة المنتج في الإحداثيات
في الفضاء المتجه الإقليدي V للبعد n، يتم إعطاء الأساس e1، e2، …، en. تتحلل المتجهات x و y إلى متجهات
المفاهيم المترية
في فضاءات المتجهات الإقليدية، من المنتج القياسي الذي تم تقديمه، يمكننا الانتقال إلى مفاهيم قاعدة المتجهات والزاوية بين المتجهات. التعريف 8.16. نورما (
خصائص القاعدة
1) ||أ|| = 0 Û أ = س. 2) ||لا|| = |ل|×||أ||، لأن ||لا|| =
أساس متعامد للفضاء المتجه الإقليدي
التعريف 8.21. يسمى أساس الفضاء المتجه الإقليدي متعامدًا إذا كانت المتجهات الأساسية متعامدة بشكل زوجي، أي إذا كانت a1، a
عملية التعامد
نظرية 8.12. في كل فضاء إقليدي ذو أبعاد نية يوجد أساس متعامد. دليل. دع a1، a2
المنتج النقطي على أساس متعامد
بالنظر إلى الأساس المتعامد e1، e2، …، en للمساحة الإقليدية V. بما أن (ei، ej) = 0 لـ i
تكملة متعامدة للفضاء الفرعي
V هو فضاء متجه إقليدي، L هو فضاءه الجزئي. التعريف 8.23. يقال أن المتجه a متعامد مع الفضاء الجزئي L إذا كان المتجه
العلاقة بين إحداثيات المتجه وإحداثيات صورته
يتم إعطاء عامل خطي j في الفضاء V، ويتم العثور على مصفوفته M(j) في بعض الأساس e1، e2، …، en. فليكن هذا هو الأساس
مصفوفات مماثلة
دعونا ننظر في مجموعة Рn´n من المصفوفات المربعة من الرتبة n مع عناصر من حقل عشوائي P. في هذه المجموعة نقدم العلاقة
خصائص علاقات التشابه المصفوفة
1. الانعكاسية. أي مصفوفة تشبه نفسها أي A ~ A. 2. التماثل. إذا كانت المصفوفة A تشبه B، فإن B تشبه A، أي.
خصائص المتجهات الذاتية
1. ينتمي كل ناقل ذاتي إلى قيمة ذاتية واحدة فقط. دليل. دع x يكون متجهًا ذاتيًا بقيمتين ذاتيتين
كثير الحدود المميزة للمصفوفة
نظرا لمصفوفة A О Рn´n (أو A О Rn´n). يُعرِّف
الشروط التي تكون فيها المصفوفة مشابهة للمصفوفة القطرية
لتكن A مصفوفة مربعة. يمكننا أن نفترض أن هذه مصفوفة لبعض العوامل الخطية المحددة في بعض الأساس. ومن المعروف أنه على أساس آخر مصفوفة العامل الخطي
الأردن شكل طبيعي
التعريف 10.5. خلية الأردن من الرتبة k المتعلقة بالرقم l0 هي مصفوفة من الرتبة k، 1 ≥ k ≥ n،
اختزال المصفوفة إلى الشكل الأردني (العادي).
نظرية 10.3. يتم تحديد الشكل العادي للأردن بشكل فريد للمصفوفة حتى ترتيب ترتيب خلايا الأردن على القطر الرئيسي. إلخ
أشكال ثنائية الخط
التعريف 11.1. الشكل الثنائي هو دالة (تعيين) f: V ´ V ® R (أو C)، حيث V متجه تعسفي
خصائص الأشكال الثنائية
يمكن تمثيل أي شكل ثنائي الخط كمجموع من الأشكال المتماثلة والمتماثلة المنحرفة. مع الأساس المحدد e1، e2، …، en في المتجه
تحويل مصفوفة ذات شكل ثنائي عند الانتقال إلى أساس جديد. رتبة الشكل الثنائي
دع القاعدتين e = (e1, e2, …, en) و f = (f1, f2,
الأشكال التربيعية
دع A(x, y) يكون شكلًا ثنائيًا متماثلًا محددًا في الفضاء المتجه V. التعريف 11.6.
تقليل الشكل التربيعي إلى الشكل القانوني
بالنظر إلى الصيغة التربيعية (2) A(x, x) = , حيث x = (x1
قانون القصور الذاتي للأشكال التربيعية
لقد ثبت أن عدد المعاملات القانونية غير الصفرية للصورة التربيعية يساوي رتبتها ولا يعتمد على اختيار تحويل غير منحط بمساعدته الشكل A(x)
شرط ضروري وكاف لعلامة الشكل التربيعي
البيان 11.1. من أجل أن تكون الصيغة التربيعية A(x, x)، المحددة في الفضاء المتجه ذو الأبعاد n V، محددة الإشارة، فمن الضروري أن
شرط ضروري وكاف للشكل التربيعي شبه المتناوب
البيان 11.3. من أجل أن يكون الشكل التربيعي A(x, x)، المحدد في الفضاء المتجه ذو الأبعاد n V، شبه متناوب للإشارة (أي،
معيار سيلفستر للعلامة المحددة للشكل التربيعي
دع النموذج A(x, x) في الأساس e = (e1, e2, …, en) يتم تحديده بواسطة المصفوفة A(e) = (aij)
خاتمة
يعد الجبر الخطي جزءًا إلزاميًا من أي برنامج رياضيات عليا. أي قسم آخر يفترض وجود المعرفة والمهارات والقدرات التي تم تطويرها أثناء تدريس هذا التخصص
فهرس
بورميستروفا إي.بي.، ولوبانوف إس.جي. الجبر الخطي مع عناصر الهندسة التحليلية. - م.: دار النشر HSE، 2007. Beklemishev D.V. دورة الهندسة التحليلية والجبر الخطي.
الجبر الخطي
الدليل التعليمي والمنهجي المحرر والمصحح G. D. Neganova الكتابة بالكمبيوتر بواسطة T. N. Matytsina، E. K. Korzhevina
