استكشاف حلول أمثلة الوظائف. وظيفة البحث على الانترنت

إذا كانت المشكلة تتطلب دراسة كاملة للدالة f (x) = x 2 4 x 2 - 1 مع بناء الرسم البياني الخاص بها، فسننظر في هذا المبدأ بالتفصيل.

لحل مسألة من هذا النوع، يجب عليك استخدام الخصائص والرسوم البيانية للوظائف الأولية الأساسية. تتضمن خوارزمية البحث الخطوات التالية:

Yandex.RTB RA-A-339285-1

العثور على مجال التعريف

وبما أن البحث يتم في مجال تعريف الوظيفة، فمن الضروري البدء بهذه الخطوة.

مثال 1

يتضمن المثال الموضح إيجاد أصفار المقام لاستبعادها من ODZ.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

ونتيجة لذلك، يمكنك الحصول على الجذور واللوغاريتمات وما إلى ذلك. ثم يمكن البحث في ODZ عن جذر درجة زوجية من النوع g (x) 4 بواسطة عدم المساواة g (x) ≥ 0، لسجل اللوغاريتم a g (x) بواسطة عدم المساواة g (x) > 0.

دراسة حدود ODZ وإيجاد الخطوط المقاربة الرأسية

توجد خطوط مقاربة رأسية عند حدود الدالة، عندما تكون الحدود أحادية الجانب عند هذه النقاط لا نهائية.

مثال 2

على سبيل المثال، اعتبر أن النقاط الحدودية تساوي x = ± 1 2.

ثم من الضروري دراسة الدالة للعثور على النهاية من جانب واحد. ثم نحصل على ما يلي: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = الحد x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ الحد x → 1 2 - 0 f (x) = الحد x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = الحد x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞

يوضح هذا أن الحدود أحادية الجانب لا نهائية، مما يعني أن الخطوط المستقيمة x = ± 1 2 هي الخطوط المقاربة الرأسية للرسم البياني.

دراسة الدالة وهل هي زوجية أم فردية

عندما يتم استيفاء الشرط y (- x) = y (x)، تعتبر الدالة زوجية. يشير هذا إلى أن الرسم البياني يقع بشكل متماثل بالنسبة لـ Oy. عندما يتم استيفاء الشرط y (- x) = - y (x)، تعتبر الدالة فردية. وهذا يعني أن التماثل يتعلق بأصل الإحداثيات. إذا لم يتم تحقيق متباينة واحدة على الأقل، فسنحصل على دالة ذات صورة عامة.

تشير المساواة y (- x) = y (x) إلى أن الدالة زوجية. عند البناء، من الضروري أن نأخذ في الاعتبار أنه سيكون هناك تناظر فيما يتعلق بـ Oy.

لحل المتراجحة، يتم استخدام فترات التزايد والتناقص مع الشروط f " (x) ≥ 0 و f " (x) ≥ 0، على التوالي.

التعريف 1

نقاط ثابتة- هذه هي النقاط التي تحول المشتقة إلى الصفر.

نقاط حرجة- هذه نقاط داخلية من مجال التعريف حيث مشتقة الدالة تساوي صفراً أو غير موجودة.

وعند اتخاذ القرار يجب مراعاة الملاحظات التالية:

• بالنسبة للفواصل الزمنية الحالية لزيادة وتناقص عدم المساواة بالشكل f " (x) > 0، لا يتم تضمين النقاط الحرجة في الحل؛
• يجب تضمين النقاط التي يتم تعريف الدالة عندها بدون مشتق محدود في فترات الزيادة والتناقص (على سبيل المثال، y = x 3، حيث النقطة x = 0 تجعل الدالة محددة، ويكون للمشتق قيمة اللانهاية عند هذا النقطة، y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 متضمنة في الفترة المتزايدة);
• لتجنب الخلافات، يوصى باستخدام الأدبيات الرياضية الموصى بها من قبل وزارة التعليم.

إدراج النقاط الحرجة في فترات التزايد والتناقص إذا كانت تلبي مجال تعريف الدالة.

التعريف 2

ل تحديد فترات الزيادة والنقصان من وظيفة، فمن الضروري العثور عليها:

• المشتق؛
• نقاط حرجة؛
• تقسيم مجال التعريف إلى فترات باستخدام النقاط الحرجة؛
• حدد إشارة المشتقة في كل فترة حيث + زيادة و - نقصان.

مثال 3

أوجد المشتقة في مجال التعريف f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

حل

لحل تحتاج:

• ابحث عن نقاط ثابتة، هذا المثال لديه x = 0؛
• أوجد أصفار المقام، يأخذ المثال القيمة صفر عند x = ± 1 2.

نضع نقاطًا على محور الأعداد لتحديد المشتقة في كل فترة. للقيام بذلك، يكفي أن تأخذ أي نقطة من الفاصل الزمني وإجراء عملية حسابية. إذا كانت النتيجة إيجابية، فإننا نرسم + على الرسم البياني، مما يعني أن الدالة تتزايد، و - تعني أنها تتناقص.

على سبيل المثال، f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0، مما يعني أن الفترة الأولى على اليسار بها علامة +. فكر في ذلك على خط الأعداد.

إجابة:

• تزيد الدالة على الفاصل الزمني - ∞؛ - 1 2 و (- 1 2 ; 0 ] ;
• هناك انخفاض في الفاصل الزمني [ 0 ; 1 2) و 1 2 ; + ∞ .

في الرسم التخطيطي، باستخدام + و-، يتم توضيح إيجابية وسلبية الوظيفة، وتشير الأسهم إلى النقصان والزيادة.

النقاط القصوى للدالة هي النقاط التي يتم فيها تعريف الدالة والتي من خلالها يتم تسجيل التغييرات المشتقة.

مثال 4

إذا أخذنا مثالاً حيث x = 0، فإن قيمة الدالة فيه تساوي f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0. عندما تتغير إشارة المشتق من + إلى - ويمر بالنقطة x = 0، فإن النقطة ذات الإحداثيات (0؛ 0) تعتبر النقطة القصوى. عندما تتغير الإشارة من - إلى +، نحصل على نقطة الحد الأدنى.

يتم تحديد التحدب والتقعر عن طريق حل المتباينات بالشكل f "" (x) ≥ 0 و f "" (x) ≥ 0. والأقل استخدامًا هو اسم التحدب للأسفل بدلًا من التقعر، والتحدب للأعلى بدلًا من التحدب.

التعريف 3

ل تحديد فترات التقعر والتحدبضروري:

• أوجد المشتقة الثانية؛
• أوجد أصفار الدالة المشتقة الثانية؛
• تقسيم منطقة التعريف إلى فترات مع النقاط التي تظهر؛
• تحديد علامة الفاصل الزمني.

مثال 5

أوجد المشتقة الثانية من مجال التعريف.

حل

و "" (x) = - 2 × (4 × 2 - 1) 2 " = = (- 2 ×) " (4 × 2 - 1) 2 - - 2 × 4 × 2 - 1 2 " (4 × 2) - 1) 4 = 24 × 2 + 2 (4 × 2 - 1) 3

نجد أصفار البسط والمقام، حيث لدينا في مثالنا أن أصفار المقام x = ± 1 2

أنت الآن بحاجة إلى رسم النقاط على خط الأعداد وتحديد إشارة المشتقة الثانية من كل فترة. لقد حصلنا على ذلك

إجابة:

• الدالة محدبة من الفاصل - 1 2 ; 12 ؛
• الدالة مقعرة من الفترات - ∞ ; - 1 2 و 1 2؛ + ∞ .

التعريف 4

نقطة الأنحراف– هذه نقطة من النموذج x 0 ; و (× 0) . عندما يكون لها مماس للرسم البياني للدالة، فعندما تمر عبر x 0 تتغير إشارة الدالة إلى الاتجاه المعاكس.

بمعنى آخر، هذه نقطة يمر من خلالها المشتق الثاني وتتغير الإشارة، وعند النقاط نفسها تساوي صفرًا أو غير موجودة. تعتبر جميع النقاط هي مجال الوظيفة.

في المثال، كان من الواضح أنه لا توجد نقاط انعطاف، حيث أن المشتقة الثانية تتغير أثناء مرورها بالنقاط x = ± 1 2. وهم، بدورهم، لا يدخلون في نطاق التعريف.

إيجاد الخطوط المقاربة الأفقية والمائلة

عند تحديد دالة عند اللانهاية، عليك البحث عن الخطوط المقاربة الأفقية والمائلة.

التعريف 5

الخطوط المقاربة المائلةتم تصويرها باستخدام الخطوط المستقيمة المعطاة بالمعادلة y = k x + b، حيث k = lim x → ∞ f (x) x و b = lim x → ∞ f (x) - k x.

بالنسبة لـ k = 0 و b لا تساوي ما لا نهاية، نجد أن الخط المقارب المائل يصبح أفقي.

بمعنى آخر، تعتبر الخطوط المقاربة خطوطًا يقترب منها الرسم البياني للدالة عند اللانهاية. وهذا يسهل البناء السريع للرسم البياني للدالة.

إذا لم تكن هناك خطوط مقاربة، ولكن تم تعريف الدالة عند كلا اللانهاية، فمن الضروري حساب حد الدالة عند هذه اللانهاية لفهم كيفية تصرف الرسم البياني للدالة.

مثال 6

دعونا نعتبر كمثال على ذلك

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 4 1 ⇒ ص = 4 1

هو الخط المقارب الأفقي. بعد فحص الوظيفة، يمكنك البدء في إنشائها.

حساب قيمة الدالة عند النقاط المتوسطة

لجعل الرسم البياني أكثر دقة، يوصى بالعثور على عدة قيم دالة عند نقاط متوسطة.

مثال 7

من المثال الذي تناولناه، من الضروري إيجاد قيم الدالة عند النقاط x = - 2، x = - 1، x = - 3 4، x = - 1 4. وبما أن الدالة زوجية، فإننا نحصل على أن القيم تتوافق مع القيم عند هذه النقاط، أي نحصل على x = 2، x = 1، x = 3 4، x = 1 4.

لنكتب ونحل:

و (- 2) = و (2) = 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 و (- 1) - و (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 و - 3 4 = و 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 و - 1 4 = و 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0.08

لتحديد الحد الأقصى والحد الأدنى للدالة، ونقاط الانعطاف، والنقاط المتوسطة، من الضروري إنشاء الخطوط المقاربة. للتعيين المناسب، يتم تسجيل فترات الزيادة والنقصان والتحدب والتقعر. دعونا ننظر إلى الصورة أدناه.

من الضروري رسم خطوط بيانية من خلال النقاط المحددة، مما سيسمح لك بالاقتراب من الخطوط المقاربة باتباع الأسهم.

وبهذا ينتهي الاستكشاف الكامل للوظيفة. هناك حالات لبناء بعض الوظائف الأولية التي تستخدم فيها التحويلات الهندسية.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

تتم دراسة الدالة وفق مخطط واضح وتتطلب أن يكون لدى الطالب معرفة قوية بالمفاهيم الرياضية الأساسية مثل مجال التعريف والقيم، واستمرارية الدالة، والخط المقارب، والنقاط القصوى، والتكافؤ، والدورة، وما إلى ذلك . يجب أن يكون الطالب قادرًا على التمييز بين الوظائف بحرية وحل المعادلات التي قد تكون معقدة للغاية في بعض الأحيان.

أي أن هذه المهمة تختبر طبقة كبيرة من المعرفة، وأي فجوة فيها ستصبح عائقًا أمام الحصول على الحل الصحيح. في كثير من الأحيان، تنشأ صعوبات في إنشاء الرسوم البيانية للوظائف. سيلاحظ المعلم هذا الخطأ على الفور ويمكن أن يلحق الضرر بدرجتك بشكل كبير، حتى لو تم تنفيذ كل شيء آخر بشكل صحيح. هنا يمكنك أن تجد مشاكل البحث عن وظيفة على الانترنت: أمثلة دراسية، تنزيل الحلول، طلب الواجبات.

استكشف دالة وارسم رسمًا بيانيًا: أمثلة وحلول عبر الإنترنت

لقد أعددنا لك الكثير من الدراسات الوظيفية الجاهزة، سواء المدفوعة في كتاب الحلول أو المجانية في قسم أمثلة الدراسات الوظيفية. بناءً على هذه المهام التي تم حلها، ستتمكن من التعرف بالتفصيل على منهجية أداء مهام مماثلة وإجراء بحثك عن طريق القياس.

نحن نقدم أمثلة جاهزة للبحث الكامل وتخطيط الدوال من الأنواع الأكثر شيوعًا: متعددو الحدود، والكسر العقلاني، وغير العقلاني، والأسي، واللوغاريتمي، والدوال المثلثية. تكون كل مشكلة تم حلها مصحوبة برسم بياني جاهز مع النقاط الرئيسية المميزة والخطوط المقاربة والحد الأقصى والحد الأدنى، ويتم تنفيذ الحل باستخدام خوارزمية لدراسة الوظيفة.

على أية حال، فإن الأمثلة التي تم حلها ستكون ذات فائدة كبيرة لك لأنها تغطي أنواع الوظائف الأكثر شيوعًا. نحن نقدم لك المئات من المشكلات التي تم حلها بالفعل، ولكن، كما تعلم، هناك عدد لا حصر له من الوظائف الرياضية في العالم، والمعلمون خبراء رائعون في اختراع المزيد والمزيد من المهام الصعبة للطلاب الفقراء. لذا أيها الطلاب الأعزاء، المساعدة المؤهلة لن تؤذيكم.

حل مشاكل البحث عن وظيفة مخصصة

في هذه الحالة، سيقدم لك شركاؤنا خدمة أخرى - البحث عن وظيفة كاملة على الانترنتلكي يطلب. سيتم إكمال المهمة لك وفقًا لجميع متطلبات الخوارزمية لحل مثل هذه المشكلات، الأمر الذي سيسعد معلمك كثيرًا.

سنجري لك دراسة كاملة للدالة: سنجد مجال التعريف ومجال القيم، ونفحص الاستمرارية والانقطاع، ونحقق التكافؤ، ونتحقق من دورية وظيفتك، ونجد نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات . وبالطبع، نستخدم حساب التفاضل والتكامل: سنجد الخطوط المقاربة، ونحسب النقاط القصوى، ونقاط الانعطاف، ونبني الرسم البياني نفسه.

النقاط المرجعية عند دراسة الوظائف وإنشاء الرسوم البيانية الخاصة بها هي نقاط مميزة - نقاط الانقطاع، أقصى نقطة، انعطاف، تقاطع مع محاور الإحداثيات. باستخدام حساب التفاضل والتكامل، من الممكن تحديد السمات المميزة للتغيرات في الوظائف: الزيادة والنقصان، والحد الأقصى والحد الأدنى، واتجاه التحدب وتقعر الرسم البياني، ووجود الخطوط المقاربة.

يمكن (ويجب) رسم رسم تخطيطي للرسم البياني للدالة بعد العثور على الخطوط المقاربة والنقاط القصوى، ومن الملائم ملء الجدول الموجز لدراسة الدالة مع تقدم الدراسة.

عادة ما يتم استخدام مخطط دراسة الوظيفة التالي.

1.أوجد مجال التعريف وفترات الاستمرارية ونقاط التوقف للدالة.

2.افحص الدالة لمعرفة التساوي أو الغرابة (التماثل المحوري أو المركزي للرسم البياني.

3.ابحث عن الخطوط المقاربة (عمودية أو أفقية أو مائلة).

4.إيجاد ودراسة فترات الزيادة والنقصان للدالة ونقاطها القصوى.

5.أوجد فترات التحدب وتقعر المنحنى ونقاط انعطافه.

6.أوجد نقاط تقاطع المنحنى مع محاور الإحداثيات إن وجدت.

7.إعداد جدول ملخص للدراسة.

8.يتم إنشاء رسم بياني مع الأخذ في الاعتبار دراسة الوظيفة المنفذة وفقًا للنقاط الموضحة أعلاه.

مثال.استكشاف الوظيفة

وبناء الرسم البياني الخاص به.

7. لنقم بتجميع جدول ملخص لدراسة الدالة، حيث سندخل جميع النقاط المميزة والمسافات بينها. ومع مراعاة تكافؤ الدالة نحصل على الجدول التالي:

				ميزات الرسم البياني
[-1, 0[			في ازدياد	محدب
				(0; 1) – النقطة القصوى
]0, 1[			تنازلي	محدب
				تتشكل نقطة الانعطاف مع المحور ثورزاوية منفرجة

إجراء دراسة كاملة ورسم بياني للوظيفة

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) نطاق الوظيفة. بما أن الدالة عبارة عن كسر، علينا إيجاد أصفار المقام.

1−x=0,⇒x=1.1−x=0,⇒x=1.

نستبعد النقطة الوحيدة x=1x=1 من مجال تعريف الدالة ونحصل على:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) دعونا ندرس سلوك الوظيفة بالقرب من نقطة الانقطاع. دعونا نجد الحدود من جانب واحد:

بما أن النهايات تساوي ما لا نهاية، فإن النقطة x=1x=1 هي انقطاع من النوع الثاني، والخط المستقيم x=1x=1 هو خط مقارب رأسي.

3) دعونا نحدد نقاط تقاطع الرسم البياني للدالة مع محاور الإحداثيات.

لنجد نقاط التقاطع مع المحور الإحداثي OyOy، والتي نساوي لها x=0x=0:

وبالتالي، فإن نقطة التقاطع مع محور OyOy لها الإحداثيات (0;8)(0;8).

لنجد نقاط التقاطع مع المحور الإحداثي OxOx، والتي قمنا بتعيين y=0y=0 عليها:

المعادلة ليس لها جذور، لذلك لا توجد نقاط تقاطع مع محور OxOx.

لاحظ أن x2+8>0x2+8>0 لأي xx. لذلك، بالنسبة إلى x∈(−∞;1)x∈(−∞;1)، الدالة y>0y>0 (تأخذ قيمًا موجبة، يكون الرسم البياني أعلى المحور x)، بالنسبة إلى x∈(1;+∞ )x∈(1; +∞) الدالة y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) الدالة ليست زوجية ولا فردية للأسباب التالية:

5) دعونا نفحص وظيفة الدورية. الدالة ليست دورية، لأنها دالة كسرية.

6) دعونا نفحص وظيفة النغمات القصوى والرتابة. للقيام بذلك، نجد المشتقة الأولى للدالة:

دعونا نساوي المشتقة الأولى بالصفر ونجد النقاط الثابتة (عندها y′=0y′=0):

حصلنا على ثلاث نقاط حرجة: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. دعونا نقسم مجال تعريف الدالة بالكامل إلى فترات بهذه النقاط ونحدد علامات المشتق في كل فترة:

من أجل x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) المشتق y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

بالنسبة إلى x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) المشتق y′>0y′>0، تزيد الدالة على هذه الفواصل الزمنية.

في هذه الحالة، x=−2x=−2 هي نقطة صغرى محلية (تقل الدالة ثم تزيد)، وx=4x=4 هي نقطة عظمى محلية (تزيد الدالة ثم تقل).

لنجد قيم الوظيفة عند هذه النقاط:

وبالتالي، فإن النقطة الدنيا هي (−2;4)(−2;4)، والنقطة القصوى هي (4;−8)(4;−8).

7) دعونا نتفحص وظيفة مكامن الخلل والتحدب. لنجد المشتقة الثانية للدالة:

دعونا نساوي المشتقة الثانية بالصفر:

المعادلة الناتجة ليس لها جذور، لذلك لا توجد نقاط انعطاف. علاوة على ذلك، عندما تكون x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 راضية، أي أن الدالة مقعرة، عندما x∈(1;+∞)x∈( 1;+ ∞) راضٍ بـ y''<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) دعونا نتفحص سلوك الدالة عند اللانهاية، أي عند .

وبما أن النهايات لا نهائية، فلا توجد خطوط مقاربة أفقية.

دعونا نحاول تحديد الخطوط المقاربة المائلة للشكل y=kx+by=kx+b. نحسب قيم k,bk,b باستخدام الصيغ المعروفة:

لقد وجدنا أن الدالة لها خط تقارب مائل واحد y=−x−1y=−x−1.

9) نقاط إضافية. دعونا نحسب قيمة الدالة في بعض النقاط الأخرى من أجل إنشاء الرسم البياني بشكل أكثر دقة.

y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.

10) بناءً على البيانات التي تم الحصول عليها، سنقوم بإنشاء رسم بياني، ونكمله بالخطوط المقاربة x=1x=1 (أزرق)، y=−x−1y=−x−1 (أخضر) ونضع علامة على النقاط المميزة (تقاطع أرجواني مع الإحداثي المحور، الحدود القصوى البرتقالية، النقاط الإضافية السوداء):

المهمة 4: المشكلات الهندسية والاقتصادية (ليس لدي أي فكرة عن ذلك، إليك مجموعة تقريبية من المشكلات مع الحلول والصيغ)

مثال 3.23. أ

حل. سو ذ ذ
ص = أ - 2×أ/4 =أ/2. بما أن x = a/4 هي النقطة الحرجة الوحيدة، فلنتحقق مما إذا كانت إشارة المشتقة تتغير عند المرور بهذه النقطة. بالنسبة إلى xa/4 S " > 0، وبالنسبة إلى x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

مثال 3.24.

حل.
ص = 2، ح = 16/4 = 4.

مثال 3.22.أوجد الحدود القصوى للدالة f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

حل.بما أن f "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x ​​​​-2)(x - 3)، فإن النقاط الحرجة للدالة x 1 = 2 وx 2 = 3. يمكن أن تكون الحدود القصوى عند فقط هذه النقاط. لذا، عند المرور بالنقطة x 1 = 2 تغير المشتقة إشارتها من موجب إلى ناقص، عند هذه النقطة يكون للدالة قيمة عظمى. عند المرور بالنقطة x 2 = 3 تغير المشتقة إشارتها من ناقص إلى علامة الجمع، وبالتالي عند النقطة x 2 = 3 يكون للدالة حد أدنى، وبعد حساب قيم الدالة عند النقاط
x 1 = 2 و x 2 = 3، نجد الحدود القصوى للدالة: الحد الأقصى f(2) = 14 والحد الأدنى f(3) = 13.

مثال 3.23.من الضروري بناء منطقة مستطيلة بالقرب من الجدار الحجري بحيث تكون مسيجة من ثلاث جهات بشبكة سلكية، والجانب الرابع مجاور للجدار. لهذا هناك أمتر خطي من الشبكة. في أي نسبة عرض إلى ارتفاع سيكون للموقع أكبر مساحة؟

حل.دعونا نشير إلى جوانب المنصة بواسطة سو ذ. مساحة الموقع S = xy. يترك ذ- هذا هو طول الضلع المجاور للجدار. ثم، بشرط، يجب أن تكون المساواة 2x + y = a. وبالتالي y = a - 2x وS = x(a - 2x)، حيث
0 ≥ x ≥ a/2 (لا يمكن أن يكون طول وعرض اللوحة سالبًا). S " = أ - 4س، أ - 4س = 0 عند س = أ/4، من أين
ص = أ - 2×أ/4 =أ/2. بما أن x = a/4 هي النقطة الحرجة الوحيدة، فلنتحقق مما إذا كانت إشارة المشتقة تتغير عند المرور بهذه النقطة. بالنسبة إلى xa/4 S " > 0، وبالنسبة إلى x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

مثال 3.24.يشترط تصنيع خزان أسطواني مغلق بسعة V=16p ≈ 50 m3 . ما هي أبعاد الخزان (نصف القطر R والارتفاع H) بحيث يتم استخدام أقل كمية من المواد في تصنيعه؟

حل.المساحة الإجمالية للأسطوانة هي S = 2pR(R+H). نحن نعرف حجم الاسطوانة V = pR 2 N Þ N = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . وهذا يعني S(R) = 2p(R 2 +16/R). نجد مشتقة هذه الدالة:
S " (R) = 2p(2R- 16/R 2) = 4p (R- 8/R 2). S " (R) = 0 لـ R 3 = 8، وبالتالي،
ص = 2، ح = 16/4 = 4.

معلومات ذات صله.

لدراسة الدالة بشكل كامل ورسم الرسم البياني الخاص بها، يوصى بالمخطط التالي:
أ) العثور على مجال التعريف، ونقاط التوقف؛ استكشاف سلوك الدالة بالقرب من نقاط الانقطاع (ابحث عن حدود الدالة على اليسار واليمين عند هذه النقاط). أشر إلى الخطوط المقاربة العمودية.
ب) حدد ما إذا كانت الدالة زوجية أم فردية واستنتج وجود تماثل. إذا كانت الدالة زوجية ومتماثلة حول محور OY؛ عندما تكون الدالة فردية ومتماثلة بالنسبة للأصل؛ و if هي دالة ذات شكل عام.
ج) ابحث عن نقاط تقاطع الدالة مع محوري الإحداثيات OY وOX (إن أمكن)، وحدد فترات الإشارة الثابتة للدالة. يتم تحديد حدود فترات الإشارة الثابتة للدالة من خلال النقاط التي تكون فيها الدالة صفر (أصفار دالة) أو غير موجودة وحدود مجال تعريف هذه الوظيفة. في الفواصل الزمنية التي يقع فيها الرسم البياني للدالة فوق محور OX، وأين - أسفل هذا المحور.
د) أوجد المشتقة الأولى للدالة، وحدد أصفارها وفترات الإشارة الثابتة. في الفترات التي تزيد فيها الدالة وحيث تقل. استنتج وجود النقاط القصوى (النقاط التي توجد فيها دالة ومشتقة وعند المرور من خلالها تتغير الإشارة. إذا تغيرت العلامة من زائد إلى ناقص، ففي هذه المرحلة يكون للدالة حد أقصى، وإذا تغيرت من ناقص إلى زائد ثم الحد الأدنى). أوجد قيم الدالة عند النقاط القصوى.
د) أوجد المشتقة الثانية وأصفارها وفترات الإشارة الثابتة. على فترات حيث< 0 график функции выпуклый, а где – вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках.
هـ) ابحث عن الخطوط المقاربة المائلة (الأفقية) التي يكون لمعادلاتها الشكل ; أين
.
في سيحتوي الرسم البياني للدالة على خطين مقاربين مائلين، وكل قيمة x at ويمكن أن تتوافق أيضًا مع قيمتين b.
ز) ابحث عن نقاط إضافية لتوضيح الرسم البياني (إذا لزم الأمر) وإنشاء رسم بياني.

مثال 1 استكشاف الدالة وإنشاء الرسم البياني الخاص بها. الحل: أ) مجال التعريف ; الدالة مستمرة في مجال تعريفها؛ - نقطة الاستراحة، لأن ;. ثم - الخط المقارب العمودي.
ب)
أولئك. y(x) هي دالة ذات شكل عام.
ج) ابحث عن نقاط تقاطع الرسم البياني مع محور OY: set x=0; ثم y(0)=–1، أي الرسم البياني للدالة يتقاطع مع المحور عند النقطة (0;-1). أصفار الدالة (نقاط تقاطع الرسم البياني مع محور OX): set y=0; ثم
.
مميز المعادلة التربيعية أقل من الصفر، مما يعني عدم وجود أصفار. إذن حدود فترات الإشارة الثابتة هي النقطة x=1، حيث لا توجد الدالة.
يتم تحديد علامة الدالة في كل فترة من الفترات بطريقة القيم الجزئية:

يتضح من الرسم البياني أنه في الفاصل الزمني يقع الرسم البياني للدالة تحت محور OX، وفي الفاصل الزمني - فوق محور OX.
د) نكتشف وجود النقاط الحرجة.
.
نجد النقاط الحرجة (حيث أو غير موجودة) من المساواة و .

نحصل على: x1=1، x2=0، x3=2. لنقم بإنشاء جدول مساعد

الجدول 1

(يحتوي السطر الأول على النقاط الحرجة والفواصل التي تنقسم إليها هذه النقاط بواسطة محور OX؛ أما السطر الثاني فيشير إلى قيم المشتق عند النقاط الحرجة والإشارات على الفواصل. ويتم تحديد العلامات بالقيمة الجزئية الطريقة يشير السطر الثالث إلى قيم الدالة y(x) عند النقاط الحرجة ويوضح سلوك الدالة - زيادة أو نقصانًا عند الفواصل الزمنية المقابلة للمحور العددي.بالإضافة إلى ذلك، فإن وجود الحد الأدنى أو الحد الأقصى هو مبين.
د) أوجد فترات التحدب وتقعر الدالة.
; بناء جدول كما في النقطة د)؛ فقط في السطر الثاني نكتب العلامات، وفي الثالث نشير إلى نوع التحدب. لأن ; ثم النقطة الحرجة هي واحد س = 1.
الجدول 2

النقطة x=1 هي نقطة الانعطاف.
هـ) ابحث عن الخطوط المقاربة المائلة والأفقية

ثم y=x هو خط مقارب مائل.
ز) بناءً على البيانات التي تم الحصول عليها، قمنا ببناء رسم بياني للدالة

مثال2 إجراء دراسة كاملة للدالة وإنشاء الرسم البياني الخاص بها. حل.

1). نطاق الوظيفة.
ومن الواضح أن هذه الدالة محددة على خط الأعداد بأكمله، باستثناء النقطتين "" و""، لأن عند هذه النقاط يكون المقام يساوي صفرًا، وبالتالي فإن الدالة غير موجودة، والخطوط المستقيمة وخطوط مقاربة رأسية.

2). سلوك الدالة حيث يميل الوسيط إلى اللانهاية، ووجود نقاط الانقطاع، والتحقق من وجود الخطوط المقاربة المائلة.
دعونا أولاً نتحقق من سلوك الدالة عندما تقترب من اللانهاية إلى اليسار واليمين.

وبالتالي، عندما تميل الدالة إلى 1، أي. - الخط المقارب الأفقي.
في محيط نقاط الانقطاع، يتم تحديد سلوك الوظيفة على النحو التالي:


أولئك. عند الاقتراب من نقاط الانقطاع على اليسار، تقل الدالة إلى ما لا نهاية، وعلى اليمين، تزداد إلى ما لا نهاية.
نحدد وجود خط مقارب مائل من خلال النظر في المساواة:

لا توجد الخطوط المقاربة المائلة.

3). نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات.
هنا من الضروري النظر في حالتين: العثور على نقطة التقاطع مع محور الثور ومحور أوي. علامة التقاطع مع محور الثور هي القيمة صفر للدالة، أي. من الضروري حل المعادلة:

هذه المعادلة ليس لها جذور، وبالتالي فإن الرسم البياني لهذه الدالة لا يحتوي على نقاط تقاطع مع محور الثور.
علامة التقاطع مع محور Oy هي القيمة x = 0. في هذه الحالة
,
أولئك. - نقطة تقاطع الرسم البياني للدالة مع محور أوي.

4).تحديد النقاط القصوى وفترات الزيادة والنقصان.
ولدراسة هذه المسألة نحدد المشتقة الأولى:
.
دعونا نساوي قيمة المشتقة الأولى بالصفر.
.
الكسر يساوي صفرًا عندما يكون بسطه يساوي صفرًا، أي. .
دعونا نحدد فترات الزيادة والنقصان في الوظيفة.

وبالتالي، فإن الدالة لها نقطة قصوى واحدة ولا توجد عند نقطتين.
وبالتالي، فإن الدالة تزيد على الفواصل الزمنية وتنقص على الفواصل الزمنية و .

5). نقاط الانعطاف ومناطق التحدب والتقعر.
يتم تحديد هذه الخاصية لسلوك الوظيفة باستخدام المشتق الثاني. دعونا أولا تحديد وجود نقاط انعطاف. المشتقة الثانية للدالة تساوي

عندما تكون الدالة مقعرة؛

عندما تكون الوظيفة محدبة.

6). رسم بياني وظيفة.
باستخدام القيم الموجودة في النقاط، سنقوم بشكل تخطيطي ببناء رسم بياني للوظيفة:

مثال3 استكشاف الوظيفة وبناء الرسم البياني الخاص به.

حل
الدالة المعطاة هي دالة غير دورية ذات شكل عام. الرسم البياني الخاص به يمر عبر أصل الإحداثيات، منذ .
مجال تعريف دالة معينة هو جميع قيم المتغير باستثناء التي يصبح مقام الكسر فيها صفراً.
وبالتالي، فإن النقاط هي نقاط انقطاع الدالة.
لأن ,

لأن ,
فإن النقطة هي نقطة انقطاع من النوع الثاني.
الخطوط المستقيمة هي الخطوط المقاربة الرأسية للرسم البياني للدالة.
معادلات الخطوط المقاربة المائلة، حيث، .
في ,
.
وبالتالي، فإن الرسم البياني للدالة يحتوي على خط مقارب واحد.
دعنا نوجد فترات الزيادة والنقصان للدالة والنقاط القصوى.
.
المشتق الأول للدالة at، وبالتالي، at وتزيد الدالة.
متى، إذن، متى، تنخفض الدالة.
غير موجود ل .
، لذلك متى الرسم البياني للدالة مقعر.
في ، لذلك متى الرسم البياني للوظيفة محدب.

عند المرور عبر النقاط، علامة التغييرات. عندما لا يتم تعريف الدالة، فإن الرسم البياني للدالة له نقطة انعطاف واحدة.
دعونا نبني رسمًا بيانيًا للوظيفة.