1 احسب محدد المصفوفة. محدد المصفوفة

يمارس.احسب المحدد عن طريق تحليله إلى عناصر من صف ما أو عمود ما.

حل.دعونا أولًا نقوم بإجراء تحويلات أولية على صفوف المحدد، مع عمل أكبر عدد ممكن من الأصفار إما في الصف أو في العمود. للقيام بذلك، نطرح أولاً تسعة أثلاث من السطر الأول، وخمسة أثلاث من الثاني، وثلاثة أثلاث من الرابع، نحصل على:

دعونا نحلل المحدد الناتج إلى عناصر العمود الأول:

سنقوم أيضًا بتوسيع المحدد الثالث الناتج إلى عناصر الصف والعمود، بعد الحصول مسبقًا على الأصفار، على سبيل المثال، في العمود الأول. للقيام بذلك، قم بطرح السطرين الثاني من السطر الأول، والسطر الثاني من الثالث:

إجابة.

12. المستنقع من الدرجة الثالثة

1. قاعدة المثلث

من الناحية التخطيطية، يمكن تصوير هذه القاعدة على النحو التالي:

يتم أخذ حاصل ضرب عناصر المحدد الأول المرتبطة بخطوط مستقيمة بعلامة زائد؛ وبالمثل، بالنسبة للمحدد الثاني، يتم أخذ المنتجات المقابلة بعلامة الطرح، أي.

2. حكم ساروس

على يمين المحدد، أضف العمودين الأولين وأخذ منتجات العناصر على القطر الرئيسي وعلى الأقطار الموازية له بعلامة زائد؛ وحاصل عناصر القطر الثانوي والأقطار الموازية له بعلامة الطرح:

3. توسيع المحدد في صف أو عمود

المحدد يساوي مجموع منتجات عناصر صف المحدد ومكملاتها الجبرية. عادةً ما يتم تحديد الصف/العمود الذي يحتوي على أصفار. سيتم الإشارة إلى الصف أو العمود الذي يتم من خلاله التحلل بواسطة سهم.

يمارس.بالتوسع على طول الصف الأول، احسب المحدد

حل.

إجابة.

4. تحويل المحدد إلى الشكل الثلاثي

باستخدام التحويلات الأولية على الصفوف أو الأعمدة، يتم تقليل المحدد إلى شكل مثلث ثم تكون قيمته، وفقا لخصائص المحدد، مساوية لمنتج العناصر الموجودة على القطر الرئيسي.

مثال

يمارس.المحدد الحسابي إحضاره إلى شكل الثلاثي.

حل.أولاً نقوم بعمل أصفار في العمود الأول أسفل القطر الرئيسي. ستكون جميع التحويلات أسهل إذا كان العنصر يساوي 1. للقيام بذلك، سنقوم بتبديل العمودين الأول والثاني من المحدد، والذي، وفقًا لخصائص المحدد، سيؤدي إلى تغيير إشارته إلى عكس:

حساب المحددات ن- الترتيب الرابع :

مفهوم المحدد ن- الترتيب

باستخدام هذه المقالة عن المحددات، ستتعلم بالتأكيد كيفية حل المشكلات مثل ما يلي:

حل المعادلة:

وغيرها الكثير التي يحب المعلمون التوصل إليها.

يلعب محدد المصفوفة، أو المحدد ببساطة، دورًا مهمًا في حل أنظمة المعادلات الخطية. وبشكل عام، تم اختراع المحددات لهذا الغرض. وبما أنهم كثيرًا ما يقولون أيضًا "محدد المصفوفة"، فسنذكر المصفوفات هنا أيضًا. مصفوفةهو جدول مستطيل مكون من أرقام لا يمكن تبديلها. المصفوفة المربعة عبارة عن جدول يكون فيه عدد الصفوف والأعمدة متساويًا. فقط المصفوفة المربعة يمكن أن يكون لها محدد.

من السهل فهم منطق كتابة المحددات باستخدام المخطط التالي. لنأخذ نظامًا من معادلتين بمجهولين مألوفين لك من المدرسة:

في المحدد تُكتب معاملات المجهولين بالتسلسل: في السطر الأول - من المعادلة الأولى، في السطر الثاني - من المعادلة الثانية:

على سبيل المثال، إذا أعطيت نظام المعادلات

ومن ثم يتكون المحدد التالي من معاملات المجهولات:

لذلك، دعونا نحصل على جدول مربع يتكون من أرقام مرتبة نالخطوط (الصفوف الأفقية) وفي نالأعمدة (الصفوف العمودية). وباستخدام هذه الأرقام، وبحسب بعض القواعد التي سندرسها فيما يلي، يجدون الرقم الذي يسمى المحدد ن-الترتيب ويشار إليه على النحو التالي:

(1)

يتم استدعاء الأرقام عناصرالمحدد (1) (المؤشر الأول يعني رقم الصف، والثاني - رقم العمود عند التقاطع الذي يقف فيه العنصر؛ أنا = 1, 2, ..., ن؛ ي= 1، 2، ...، ن). ترتيب المحدد هو عدد صفوفه وأعمدته.

خط مستقيم وهمي يربط عناصر المحدد الذي يكون كلا الرقمين متماثلين، أي. عناصر

مُسَمًّى قطري الرئيسي، قطري آخر – جانب.

حساب محددات الدرجة الثانية والثالثة

دعونا نوضح كيف يتم حساب محددات الأوامر الثلاثة الأولى.

محدد الدرجة الأولى هو العنصر نفسه، أي.

المحدد الثاني هو الرقم الذي تم الحصول عليه على النحو التالي:

, (2)

نتاج العناصر الموجودة على القطرين الرئيسي والثانوي على التوالي.

وتبين المساواة (2) أن حاصل ضرب عناصر القطر الرئيسي يؤخذ بالعلامة الخاصة به، وحاصل ضرب عناصر القطر الثانوي بالعلامة المقابلة .

مثال 1.حساب محددات الدرجة الثانية:

حل. وباستخدام الصيغة (2) نجد:

المحدد من الدرجة الثالثة هو رقم يتم الحصول عليه على النحو التالي:

(3)

من الصعب تذكر هذه الصيغة. ومع ذلك، هناك قاعدة بسيطة تسمى حكم المثلث مما يسهل إعادة إنتاج التعبير (3). عند الإشارة إلى عناصر المحدد بالنقاط، نقوم بتوصيل الأجزاء المستقيمة منها التي تعطي حاصل ضرب عناصر المحدد (الشكل 1).

وتبين الصيغة (3) أن حاصل ضرب عناصر القطر الرئيسي، وكذلك العناصر الواقعة عند رؤوس مثلثين قاعدتيهما متوازيتان، تؤخذ بإشاراتها؛ مع العناصر المتقابلة - نتاج عناصر القطر الجانبي، وكذلك العناصر الموجودة عند رؤوس مثلثين متوازيين له .

في الشكل 1، تم تمييز القطر الرئيسي والقواعد المقابلة للمثلثات والقطر الثانوي والقواعد المقابلة للمثلثات باللون الأحمر.

عند حساب المحددات، من المهم جدًا، كما هو الحال في المدرسة الثانوية، أن تتذكر أن الرقم الذي يحمل علامة الطرح مضروبًا في الرقم الذي يحمل علامة الطرح يؤدي إلى رقم يحمل علامة زائد، والرقم الذي يحمل علامة زائد مضروبًا في يؤدي الرقم الذي يحتوي على علامة الطرح إلى الحصول على رقم بعلامة الطرح.

مثال 2.حساب محدد الدرجة الثالثة:

حل. وباستخدام قاعدة المثلث نحصل على

حساب المحددات ن- الترتيب

توسيع المحدد حسب الصف أو العمود

لحساب المحدد ن-الترتيب الرابع، عليك أن تعرف وتستخدم النظرية التالية.

نظرية لابلاس.المحدد يساوي مجموع منتجات عناصر أي صف ومكملاتها الجبرية، أي.

تعريف. إذا في المحدد نالنظام - اختر بشكل تعسفي صخطوط و صالأعمدة ( ص < ن)، فإن العناصر الموجودة عند تقاطع هذه الصفوف والأعمدة تشكل مصفوفة ترتيب.

يسمى محدد هذه المصفوفة صغير المحدد الأصلي. على سبيل المثال، النظر في المحدد:

لنقم ببناء مصفوفة من صفوف وأعمدة ذات أرقام زوجية:

محدد

مُسَمًّى صغيرالمحدد لقد حصلنا على قاصر من الدرجة الثانية. ومن الواضح أنه يمكننا من هذا بناء مختلف القاصرين من الدرجة الأولى والثانية والثالثة.

إذا أخذنا عنصرًا وشطبنا الصف والعمود في المحدد عند التقاطع الذي يقف فيه، نحصل على عنصر ثانوي يسمى العنصر الأصغر، والذي نشير إليه من خلال:

.

إذا تم ضرب الأصغر في حيث 3 + 2 هو مجموع أرقام الصفوف والأعمدة التي يوجد عند تقاطعها عنصر، فإن الناتج الناتج يسمى مكمل جبريالعنصر ويرمز له

بشكل عام، سوف نشير إلى العنصر الأصغر، والمكمل الجبري،

(4)

على سبيل المثال، لنحسب المكملات الجبرية للعناصر والمحددات من الدرجة الثالثة:

وباستخدام الصيغة (4) نحصل على

عند تحلل المحدد، غالبا ما يتم استخدام الخاصية التالية للمحدد ن- الترتيب الرابع :

إذا أضفت إلى عناصر صف أو عمود منتج العناصر المقابلة لصف أو عمود آخر بعامل ثابت، فلن تتغير قيمة المحدد.

مثال 4.

أولا، طرح عناصر الصف الرابع من الصفين الأول والثالث، ثم سيكون لدينا

يحتوي العمود الرابع للمحدد الناتج على ثلاثة عناصر - أصفار. ولذلك، فمن المربح أكثر توسيع هذا المحدد ليشمل عناصر العمود الرابع، لأن المنتجات الثلاثة الأولى ستكون أصفار. لهذا

يمكنك التحقق من الحل باستخدام حاسبة المحدد على الانترنت .

ويوضح المثال التالي كيف يمكن اختزال حساب محدد أي ترتيب (في هذه الحالة، الرابع) إلى حساب محدد من الدرجة الثانية.

مثال 5.احسب المحدد:

لنطرح عناصر السطر الأول من السطر الثالث، ونضيف عناصر السطر الأول إلى عناصر السطر الرابع، فيكون لدينا

في العمود الأول، جميع العناصر باستثناء الأول هي أصفار. أي أنه يمكن بالفعل توسيع المحدد على العمود الأول. لكننا لا نريد حقًا حساب محدد الدرجة الثالثة. لذلك، سنقوم بإجراء المزيد من التحولات: سنضيف إلى عناصر السطر الثالث عناصر السطر الثاني مضروبة في 2، ومن عناصر السطر الرابع سنطرح عناصر السطر الثاني. ونتيجة لذلك، فإن المحدد، وهو مكمل جبري، يمكن توسيعه على طول العمود الأول وسيتعين علينا فقط حساب المحدد الثاني وعدم الخلط بين العلامات:

تقليل المحدد إلى الشكل الثلاثي

المحدد الذي تكون فيه جميع العناصر الواقعة على جانب واحد من أحد الأقطار تساوي صفرًا يسمى مثلثيًا. من خلال عكس ترتيب الصفوف أو الأعمدة، يتم تقليل حالة القطر الثانوي إلى حالة القطر الرئيسي. هذا المحدد يساوي حاصل ضرب عناصر القطر الرئيسي.

وللاختزال إلى الشكل الثلاثي، يتم استخدام نفس خاصية المحدد ن-الترتيب الرابع الذي طبقناه في الفقرة السابقة: إذا تمت إضافة حاصل ضرب العناصر المتناظرة لصف أو عمود آخر بعامل ثابت إلى عناصر صف أو عمود، فلن تتغير قيمة المحدد.

يمكنك التحقق من الحل باستخدام حاسبة المحدد على الانترنت .

خصائص المحدد ن- الترتيب

لقد سبق أن استخدمنا في الفقرتين السابقتين إحدى خصائص المحدد ن- الترتيب. في بعض الحالات، لتبسيط حساب المحدد، يمكنك استخدام خصائص أخرى مهمة للمحدد. على سبيل المثال، يمكن للمرء تقليل المحدد إلى مجموع محددين، يمكن توسيع أحدهما أو كليهما بسهولة في بعض الصفوف أو الأعمدة. هناك الكثير من حالات هذا التبسيط، ويجب حل مسألة استخدام خاصية أو أخرى من خصائص المحدد بشكل فردي.

محدد المصفوفة

يعد العثور على محدد المصفوفة مشكلة شائعة جدًا في الرياضيات العليا والجبر. كقاعدة عامة، من المستحيل الاستغناء عن قيمة محدد المصفوفة عند حل أنظمة المعادلات المعقدة. تعتمد طريقة كرامر لحل أنظمة المعادلات على حساب محدد المصفوفة. باستخدام تعريف المحدد، يتم تحديد وجود وتفرد الحل لنظام المعادلات. لذلك، من الصعب المبالغة في تقدير أهمية القدرة على العثور بشكل صحيح ودقيق على محدد المصفوفة في الرياضيات. تعتبر طرق حل المحددات بسيطة للغاية من الناحية النظرية، ولكن مع زيادة حجم المصفوفة، تصبح الحسابات مرهقة للغاية وتتطلب عناية كبيرة والكثير من الوقت. من السهل جدًا ارتكاب خطأ بسيط أو خطأ مطبعي في مثل هذه الحسابات الرياضية المعقدة، مما سيؤدي إلى خطأ في الإجابة النهائية. لذلك حتى لو وجدت محدد المصفوفةبنفسك، من المهم التحقق من النتيجة. يمكن القيام بذلك من خلال خدمتنا العثور على محدد المصفوفة عبر الإنترنت. تقدم خدمتنا دائمًا نتائج دقيقة تمامًا، ولا تحتوي على أخطاء أو أخطاء كتابية. يمكنك رفض الحسابات المستقلة، لأنه من وجهة نظر تطبيقية، تجد محدد المصفوفةإنها ليست تعليمية بطبيعتها، ولكنها تتطلب ببساطة الكثير من الوقت والحسابات الرقمية. لذلك، إذا كان في مهمتك تعريف محدد المصفوفةهي حسابات مساعدة وجانبية، استخدم خدمتنا و العثور على محدد المصفوفة على الانترنت!

يتم إجراء جميع الحسابات تلقائيًا وبأعلى دقة وهي مجانية تمامًا. لدينا واجهة مريحة للغاية لإدخال عناصر المصفوفة. لكن الاختلاف الرئيسي بين خدماتنا والخدمات المشابهة هو إمكانية الحصول على حل مفصل. خدمتنا في حساب محدد المصفوفة على الانترنتيستخدم دائمًا الطريقة الأبسط والأقصر ويصف بالتفصيل كل خطوة من خطوات التحويلات والتبسيطات. لذا، لن تحصل على قيمة محدد المصفوفة فحسب، أي النتيجة النهائية، بل ستحصل أيضًا على حل تفصيلي كامل.