ما هو التدرج؟ أنواع التدرجات.

نعلم من مقرر الرياضيات بالمدرسة أن المتجه على المستوى هو قطعة موجهة. بدايته ونهايته لهما إحداثيان. يتم حساب إحداثيات المتجهات بطرح إحداثيات البداية من إحداثيات النهاية.

يمكن توسيع مفهوم المتجه إلى الفضاء ذي الأبعاد n (بدلاً من الإحداثيين سيكون هناك إحداثيات n).

الانحدار gradzfunctionz=f(x 1, x 2, ...x n) هو متجه المشتقات الجزئية للدالة عند نقطة ما، أي. ناقلات مع الإحداثيات.

يمكن إثبات أن تدرج الدالة يحدد اتجاه أسرع نمو لمستوى الدالة عند نقطة ما.

على سبيل المثال، بالنسبة للدالة z = 2x 1 + x 2 (انظر الشكل 5.8)، سيكون للتدرج عند أي نقطة إحداثيات (2؛ 1). يمكنك بنائه على مستوى بعدة طرق، مع اعتبار أي نقطة هي بداية المتجه. على سبيل المثال، يمكنك توصيل النقطة (0; 0) بالنقطة (2; 1)، أو النقطة (1; 0) بالنقطة (3; 1)، أو النقطة (0; 3) بالنقطة (2; 4)، أو نحو ذلك. (انظر الشكل 5.8). جميع المتجهات التي تم إنشاؤها بهذه الطريقة سيكون لها إحداثيات (2 – 0؛ 1 – 0) = = (3 – 1؛ 1 – 0) = (2 – 0؛ 4 – 3) = (2؛ 1).

من الشكل 5.8، من الواضح أن مستوى الوظيفة يزداد في اتجاه التدرج، لأن خطوط المستوى المبنية تتوافق مع قيم المستوى 4 > 3 > 2.

الشكل 5.8 - تدرج الدالة z= 2x 1 + x 2

لنفكر في مثال آخر - الدالة z = 1/(x 1 x 2). لن يكون تدرج هذه الدالة هو نفسه دائمًا عند نقاط مختلفة، حيث يتم تحديد إحداثياتها بواسطة الصيغ (-1/(x 1 2 x 2); -1/(x 1 x 2 2)).

يوضح الشكل 5.9 خطوط مستوى الوظيفة z = 1/(x 1 x 2) للمستويات 2 و10 (يُشار إلى الخط المستقيم 1/(x 1 x 2) = 2 بخط منقط، والخط المستقيم 1/( × 1 × 2) = 10 خط متصل).

الشكل 5.9 - تدرجات الدالة z= 1/(x 1 x 2) في نقاط مختلفة

خذ على سبيل المثال النقطة (0.5; 1) واحسب التدرج عند هذه النقطة: (-1/(0.5 2 *1); -1/(0.5*1 2)) = (-4; - 2). لاحظ أن النقطة (0.5; 1) تقع على خط المستوى 1/(x 1 x 2) = 2، لأن z=f(0.5; 1) = 1/(0.5*1) = 2. لرسم المتجه ( -4; -2) في الشكل 5.9، قم بتوصيل النقطة (0.5; 1) بالنقطة (-3.5; -1)، لأن (-3.5 – 0.5; -1 - 1) = (-4; -2).

لنأخذ نقطة أخرى على نفس خط المستوى، على سبيل المثال، النقطة (1; 0.5) (z=f(1; 0.5) = 1/(0.5*1) = 2). لنحسب التدرج عند هذه النقطة (-1/(1 2 *0.5); -1/(1*0.5 2)) = (-2; -4). ولتصويرها في الشكل 5.9، نربط النقطة (1؛ 0.5) بالنقطة (-1؛ -3.5)، لأن (-1 - 1؛ -3.5 - 0.5) = (-2؛ - 4).

لنأخذ نقطة أخرى على نفس خط المستوى، ولكن الآن فقط في ربع إحداثي غير موجب. على سبيل المثال، النقطة (-0.5; -1) (z=f(-0.5; -1) = 1/((-1)*(-0.5)) = 2). التدرج عند هذه النقطة سيكون مساويًا لـ (-1/((-0.5) 2 *(-1)); -1/((-0.5)*(-1) 2)) = (4; 2). لنصورها في الشكل 5.9 من خلال ربط النقطة (-0.5; -1) بالنقطة (3.5; 1)، لأن (3.5 – (-0.5); 1 – (-1)) = (4 ; 2).

وتجدر الإشارة إلى أنه في جميع الحالات الثلاث التي تم النظر فيها، يظهر التدرج اتجاه نمو مستوى الوظيفة (نحو خط المستوى 1/(x1x2) = 10 > 2).

يمكن إثبات أن التدرج يكون دائمًا متعامدًا مع خط المستوى (سطح المستوى) الذي يمر بنقطة معينة.

الحدود القصوى لدالة ذات عدة متغيرات

دعونا نحدد المفهوم أقصىلوظيفة العديد من المتغيرات.

دالة للعديد من المتغيرات f(X) عند النقطة X (0) ما في وسعنا)،إذا كان هناك حي لهذه النقطة بحيث تكون المتباينات f(X)f(X (0)) () راضية لجميع النقاط X من هذا الحي.

إذا تم استيفاء هذه المتباينات على أنها صارمة، فسيتم استدعاء الحد الأقصى قوي، وإذا لم يكن كذلك، ثم ضعيف.

لاحظ أن الحد الأقصى المحدد بهذه الطريقة هو محليالشخصية، نظرًا لأن هذه المتباينات لا يتم تلبيتها إلا في منطقة معينة من النقطة القصوى.

الشرط الضروري للوصول إلى الحد الأقصى المحلي لدالة قابلة للتفاضل z=f(x 1, . . ., x n) عند نقطة ما هو المساواة مع الصفر لجميع المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى عند هذه النقطة:
.

تسمى النقاط التي يتم عندها هذه المساواة ثابت.

وبطريقة أخرى، يمكن صياغة الشرط الضروري لوجود الحد الأقصى على النحو التالي: عند نقطة الحد الأقصى، يكون التدرج صفرًا. ويمكن أيضًا إثبات عبارة أكثر عمومية: عند النقطة القصوى، تختفي مشتقات الدالة في جميع الاتجاهات.

يجب أن تخضع النقاط الثابتة لأبحاث إضافية لتحديد ما إذا كانت الشروط الكافية لوجود حد متطرف محلي قد استوفيت. للقيام بذلك، حدد علامة التفاضل من الدرجة الثانية. إذا كان أي شيء لا يساوي الصفر في نفس الوقت، فهو دائمًا سالب (موجب)، فإن الدالة لها قيمة عظمى (أدنى). إذا كان يمكن أن يصل إلى الصفر ليس فقط بزيادات صفرية، فإن مسألة الحد الأقصى تظل مفتوحة. إذا كان يمكن أن يأخذ قيمًا موجبة وسالبة معًا، فلا يوجد حد أقصى عند نقطة ثابتة.

بشكل عام، يعد تحديد علامة التفاضل مشكلة معقدة إلى حد ما، والتي لن نتناولها هنا. بالنسبة لدالة ذات متغيرين، يمكن إثبات ذلك إذا كانت عند نقطة ثابتة
، فالأقصى موجود. في هذه الحالة، إشارة التفاضل الثاني تتزامن مع الإشارة
، أي. لو
فهذا هو الحد الأقصى، وإذا
، فهذا هو الحد الأدنى. لو
، فلا يوجد حد أقصى في هذه المرحلة، وإذا
، فإن مسألة الحد الأقصى تظل مفتوحة.

مثال 1. أوجد الحد الأقصى للدالة
.

دعونا نجد المشتقات الجزئية باستخدام طريقة التمايز اللوغاريتمي.

ln z = ln 2 + ln (x + y) + ln (1 + xy) – ln (1 + x 2) – ln (1 + y 2)

على نفس المنوال
.

لنجد النقاط الثابتة من نظام المعادلات:

وهكذا تم العثور على أربع نقاط ثابتة (1؛ 1)، (1؛ -1)، (-1؛ 1) و (-1؛ -1).

لنجد المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية:

ln (z x `) = ln 2 + ln (1 - x 2) -2ln (1 + x 2)

على نفس المنوال
;
.

لأن
، علامة التعبير
يعتمد فقط على
. لاحظ أنه في كل من هذه المشتقات يكون المقام موجبًا دائمًا، لذلك يمكنك فقط التفكير في إشارة البسط، أو حتى إشارة التعبيرين x(x 2 – 3) وy(y 2 – 3). دعونا نحدده عند كل نقطة حرجة ونتأكد من استيفاء الشرط الكافي للحد الأقصى.

بالنسبة للنقطة (1; 1) نحصل على 1*(1 2 - 3) = -2< 0. Т.к. произведение двух отрицательных чисел
> 0، و
< 0, в точке (1; 1) можно найти максимум. Он равен
= 2*(1 + 1)*(1 +1*1)/((1 +1 2)*(1 +1 2)) = = 8/4 = 2.

بالنسبة للنقطة (1; -1) نحصل على 1*(1 2 – 3) = -2< 0 и (-1)*((-1) 2 – 3) = 2 >0. لأن نتاج هذه الأرقام
< 0, в этой точке экстремума нет. Аналогично можно показать, что нет экстремума в точке (-1; 1).

بالنسبة للنقطة (-1; -1) نحصل على (-1)*((-1) 2 – 3) = 2 > 0. لأن نتاج رقمين موجبين
> 0، و
> 0، عند النقطة (-1؛ -1) يمكن العثور على الحد الأدنى. وهي تساوي 2*((-1) + (-1))*(1 +(-1)*(-1))/((1 +(-1) 2)*(1 +(-1) 2) ) = -8/4 = = -2.

يجد عالميالحد الأقصى أو الأدنى (أكبر أو أصغر قيمة للدالة) أكثر تعقيدًا إلى حد ما من الحد الأقصى المحلي، حيث يمكن تحقيق هذه القيم ليس فقط عند النقاط الثابتة، ولكن أيضًا عند حدود مجال التعريف. ليس من السهل دائمًا دراسة سلوك دالة عند حدود هذه المنطقة.

التدرج (ناقل) الانحدار(من اللاتينية gradients، gradientis بين الجنسين - المشي)، المتجه، يوضح اتجاه أسرع تغير لكمية معينة، والتي تختلف قيمتها من نقطة في الفضاء إلى أخرى (انظر. نظرية المجال). إذا تم التعبير عن الكمية بواسطة دالة u (x, y, z)، فإن مكونات G. تساوي lagG. يُشار إليه بعلامة grad u. عند نقطة معينة يتم توجيه الهندسة بشكل عمودي إلى سطح المستوى عند هذه النقطة يكون طول الهندسة مساوياً لـ، ويستخدم مفهوم الهندسة على نطاق واسع في الفيزياء والأرصاد الجوية وعلم المحيطات وغيرها، لتوصيف المعدل التغير في الفضاء بأي كمية عند التحرك لكل وحدة طول في الاتجاه G.: على سبيل المثال، G. الضغط، G. درجة الحرارة، G. الرطوبة، G. سرعة الرياح، G. الملوحة، G. كثافة مياه البحر. يُطلق على الجهد الكهربائي اسم قوة المجال الكهربائي.

الموسوعة السوفيتية الكبرى. - م: الموسوعة السوفيتية. 1969-1978 .

انظر ما هو "التدرج (المتجه)" في القواميس الأخرى:

قاموس المتجهات للمرادفات الروسية. اسم التدرج، عدد المرادفات: 2 ناقل (5) ... قاموس المرادفات

ناقلات التدرج، ناقلات التدرج... كتاب مرجعي القاموس الإملائي

الانحدار- تغيير قيمة كمية معينة لكل وحدة مسافة في اتجاه معين. التدرج الطبوغرافي هو التغير في ارتفاع التضاريس على مسافة مقاسة أفقيًا. )