الشكل التربيعي f(x 1, x 2,...,x n) من المتغيرات n هو مجموع، كل حد منها هو إما مربع أحد المتغيرات، أو منتج اثنين من المتغيرات المختلفة، مأخوذة بمعامل معين: f (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij =a ji).

تسمى المصفوفة (أ) المكونة من هذه المعاملات بمصفوفة ذات الصورة التربيعية. إنه دائما متماثلالمصفوفة (أي مصفوفة متناظرة حول القطر الرئيسي، a ij = a ji).

في تدوين المصفوفة، الصيغة التربيعية هي f(X) = X T AX، حيث

بالفعل

على سبيل المثال، لنكتب الصورة التربيعية على صورة المصفوفة.

للقيام بذلك، نجد مصفوفة على الصورة التربيعية. عناصرها القطرية تساوي معاملات المتغيرات التربيعية، والعناصر المتبقية تساوي أنصاف المعاملات المقابلة لها في الصورة التربيعية. لهذا

دع عمود المصفوفة للمتغيرات X يتم الحصول عليه عن طريق تحويل خطي غير منحط لعمود المصفوفة Y، أي. X = CY، حيث C هي مصفوفة غير مفردة من الرتبة n. ثم الصيغة التربيعية f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) =Y T (CT AC)Y.

وهكذا، مع التحول الخطي غير المنحل C، تأخذ مصفوفة الشكل التربيعي الشكل: A * =C T AC.

على سبيل المثال، لنوجد الصيغة التربيعية f(y 1, y 2) الناتجة من الصيغة التربيعية f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 بالتحويل الخطي.

يسمى الشكل التربيعي العنوان الأساسي(لقد عرض قانوني) ، إذا كانت جميع معاملاتها أ ij = 0 لـ i≠j، أي f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

مصفوفتها قطرية.

نظرية(لم يتم تقديم الدليل هنا). يمكن اختزال أي شكل تربيعي إلى الشكل القانوني باستخدام تحويل خطي غير منحط.

على سبيل المثال، لنضع الصيغة الأساسية في الصيغة التربيعية f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3.

للقيام بذلك، حدد أولاً مربعًا كاملاً يحتوي على المتغير x 1:

و(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5×22 –×2×3 .

الآن نختار مربعًا كاملاً بالمتغير x 2:

و(x 1، x 2، x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)× 3 2 = = 2(× 1 + × 2) 2 - 5(× 2 - (1/10) × 3) 2 - (1/20) × 3 2.

ثم التحويل الخطي غير المنحل y 1 = x 1 + x 2,y 2 = x 2 – (1/10)x 3 و y 3 = x 3 يجلب هذا الشكل التربيعي إلى الصيغة الأساسية f(y 1,y 2, ص 3) = 2ص 1 2 - 5ص 2 2 - (1/20)ص 3 2 .

لاحظ أن الشكل القانوني للشكل التربيعي يتم تحديده بشكل غامض (يمكن اختزال نفس الشكل التربيعي إلى الشكل القانوني بطرق مختلفة 1). ومع ذلك، فإن الأشكال القانونية التي تم الحصول عليها بطرق مختلفة لها عدد من الخصائص المشتركة. على وجه الخصوص، لا يعتمد عدد المصطلحات ذات المعاملات الإيجابية (السلبية) للشكل التربيعي على طريقة اختزال النموذج إلى هذا النموذج (على سبيل المثال، في المثال الذي تم النظر فيه سيكون هناك دائمًا معاملان سلبيان ومعامل إيجابي واحد). هذه الخاصية تسمى قانون القصور الذاتي للأشكال التربيعية.

دعونا نتحقق من ذلك عن طريق جلب نفس الصورة التربيعية إلى الصورة القانونية بطريقة مختلفة. لنبدأ التحويل بالمتغير x 2:f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = -3(x 2 2 – - 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3)x 1) +((1/6) x 3 + (2 /3) × 1) 2) – 3((1/6) × 3 + (2/3) × 1) 2 + 2x 1 2 = = -3(x 2 – (1/6) × 3 - (2) /3) × 1) 2 - 3((1/6) × 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =f(y 1 ,y 2 ,y 3) = -3y 1 2 - - 3y 2 2 + 2y 3 2 ، حيث y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3 ,y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 و ص 3 = س 1 . يوجد هنا معامل موجب 2 لـ y 3 ومعاملان سالبان (-3) لـ y 1 وy 2 (وباستخدام طريقة أخرى، حصلنا على معامل موجب 2 لـ y 1 ومعاملين سالبين - (-5) لـ y 2 و (-1/20) لـ y 3 ).

وتجدر الإشارة أيضًا إلى أن رتبة المصفوفة ذات الشكل التربيعي تسمى رتبة الشكل التربيعي، يساوي عدد المعاملات غير الصفرية للشكل القانوني ولا يتغير في ظل التحولات الخطية.

تسمى الصيغة التربيعية f(X). بشكل ايجابي(سلبي)تأكيد، إذا كانت جميع قيم المتغيرات التي ليست صفرًا في وقت واحد، فهي موجبة، أي f(X) > 0 (سلبية، أي f(X)< 0).

على سبيل المثال، الصيغة التربيعية f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 هي موجبة ومحددة، لأن هو مجموع المربعات، والصيغة التربيعية f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 سالبة بالتأكيد، لأن يمكن تمثيله بالصيغة 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

في معظم المواقف العملية، يكون تحديد العلامة المحددة للشكل التربيعي أكثر صعوبة إلى حد ما، لذلك نستخدم إحدى النظريات التالية (سنقوم بصياغتها بدون دليل).

نظرية. يكون الشكل التربيعي موجبًا (سلبيًا) محددًا إذا وفقط إذا كانت جميع القيم الذاتية لمصفوفته موجبة (سلبية).

نظرية (معيار سيلفستر). تكون الصورة التربيعية موجبة محددة إذا وفقط إذا كانت جميع العناصر الثانوية الرئيسية للمصفوفة من هذه الصورة موجبة.

الرئيسية (الزاوية) الثانويةتسمى مصفوفات الترتيب k من الترتيب An-th محدد المصفوفة، وتتكون من الصفوف والأعمدة الأولى من المصفوفة A ().

لاحظ أنه بالنسبة للأشكال التربيعية المحددة السالبة، فإن علامات الفروع الرئيسية تتناوب، ويجب أن تكون العلامات الثانوية من الدرجة الأولى سالبة.

على سبيل المثال، دعونا نتفحص الصيغة التربيعية f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 لمعرفة دقة الإشارة.

= (2 -)* *(3 -) – 4 = (6 - 2- 3+ 2) – 4 = 2 - 5+ 2 = 0;د= 25 – 8 = 17; . ولذلك، فإن الصورة التربيعية إيجابية محددة.

الطريقة الثانية. الثانوية الرئيسية من الدرجة الأولى للمصفوفة A  1 =a 11 = 2 > 0. الثانوية الرئيسية من الدرجة الثانية  2 = = 6 – 4 = 2 > 0. لذلك، وفقًا لمعيار سيلفستر، فإن المعادلة التربيعية النموذج إيجابي محدد.

سنفحص صيغة تربيعية أخرى لتحديد الإشارة، f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

الطريقة الأولى: لنقم ببناء مصفوفة ذات صيغة تربيعية A = . المعادلة المميزة سيكون لها الشكل = (-2 -)* *(-3 -) – 4 = (6 + 2+ 3+ 2) – 4 = 2 + 5+ 2 = 0;د= 25 – 8 = 17 ; . ولذلك، فإن الصورة التربيعية هي سلبية محددة.

الطريقة الثانية. القاصر الرئيسي من الدرجة الأولى للمصفوفة A  1 =a 11 = = -2< 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 >0. لذلك، وفقًا لمعيار سيلفستر، تكون الصورة التربيعية سالبة محددة (تتناوب علامات الفروع الرئيسية بدءًا من الناقص).

وكمثال آخر، سنفحص الصيغة التربيعية المحددة بالإشارة f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

الطريقة الأولى: لنقم ببناء مصفوفة ذات صيغة تربيعية A = . المعادلة المميزة سيكون لها الشكل = (2 -)* *(-3 -) – 4 = (-6 - 2+ 3+ 2) – 4 = 2 +- 10 = 0;د= 1 + 40 = 41; . أحد هذه الأرقام سلبي والآخر إيجابي. علامات القيم الذاتية مختلفة. وبالتالي، فإن الصورة التربيعية لا يمكن أن تكون محددة سلبا أو إيجابا، أي. هذا الشكل التربيعي ليس محدد الإشارة (يمكن أن يأخذ قيم أي علامة).

الطريقة الثانية. القاصر الرئيسي من الدرجة الأولى للمصفوفة A  1 =a 11 = 2 > 0. القاصر الرئيسي من الدرجة الثانية  2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).

1 تعتبر الطريقة المدروسة لتقليل الشكل التربيعي إلى الشكل القانوني ملائمة للاستخدام عند مواجهة معاملات غير الصفر مع مربعات المتغيرات. إذا لم تكن هناك، فلا يزال من الممكن إجراء التحويل، ولكن عليك استخدام بعض التقنيات الأخرى. على سبيل المثال، افترض أن f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 - x 1 2 - x 2 2 =

= (x 1 + x 2) 2 - x 1 2 - x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 2 - 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 1 x 2 = (x 1) + س 2) 2 - - (س 1 - س 2) 2 - 2س 1 س 2 ; 4x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 - (x 1 - x 2) 2 ;f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = (1/2)* *(x 1 + x 2) ) 2 – (1/2)*(x 1 - x 2) 2 =f(y 1 ,y 2) = (1/2)y 1 2 – (1/2)y 2 2, حيث y 1 = x 1 + س 2، أي 2 = س 1 - س 2.

تسمى كثيرة الحدود المتجانسة من الدرجة الثانية في عدة متغيرات بالشكل التربيعي.

يتكون الشكل التربيعي للمتغيرات من مصطلحات من نوعين: مربعات المتغيرات وحاصل ضربها الزوجي بمعاملات معينة. عادة ما يتم كتابة النموذج التربيعي على النحو التالي الرسم البياني المربع:

تتم كتابة أزواج من المصطلحات المتشابهة بمعاملات متساوية، بحيث يشكل كل منها نصف معامل حاصل الضرب المقابل للمتغيرات. وبالتالي، فإن كل شكل تربيعي يرتبط بشكل طبيعي بمصفوفة معاملاته، وهي متماثلة.

من الملائم تمثيل الشكل التربيعي في تدوين المصفوفة التالي. دعونا نشير بـ X إلى عمود من المتغيرات خلال X - صف، أي مصفوفة منقولة بـ X. ثم

توجد الأشكال التربيعية في العديد من فروع الرياضيات وتطبيقاتها.

في نظرية الأعداد وعلم البلورات، يتم النظر في الأشكال التربيعية على افتراض أن المتغيرات تأخذ قيمًا صحيحة فقط. في الهندسة التحليلية، يعتبر الشكل التربيعي جزءًا من معادلة منحنى (أو سطح) النظام. في الميكانيكا والفيزياء، يبدو أن الصورة التربيعية تعبر عن الطاقة الحركية للنظام من خلال مكونات السرعات المعممة، وما إلى ذلك. ولكن بالإضافة إلى ذلك، فإن دراسة الصور التربيعية ضرورية أيضًا في التحليل عند دراسة وظائف العديد من المتغيرات، في الأسئلة ومن المهم معرفة كيف تنحرف هذه الدالة في جوار نقطة معينة عن الدالة الخطية التي تقاربها. مثال على مشكلة من هذا النوع هو دراسة الدالة لأقصى حد لها وأدنى حد لها.

لنأخذ على سبيل المثال مشكلة دراسة الحد الأقصى والأدنى لدالة ذات متغيرين لهما مشتقات جزئية متصلة حتى الترتيب. من الشروط الضرورية لكي تعطي نقطة ما قيمة عظمى أو صغرى للدالة هو أن تكون المشتقات الجزئية للترتيب عند النقطة تساوي الصفر، ولنفترض أن هذا الشرط قد تحقق. لنعطي المتغيرين x و y زيادات صغيرة و k و نأخذ في الاعتبار الزيادة المقابلة للدالة وفقا لصيغة تايلور هذه الزيادة حتى الرتب الأعلى الصغيرة تساوي الصيغة التربيعية حيث تكون قيم المشتقات الثانية محسوبة عند النقطة إذا كانت هذه الصيغة التربيعية موجبة لجميع قيم و k (ما عدا )، فإن الدالة لها قيمة صغرى عند النقطة؛ وإذا كانت سالبة، فإن لها قيمة عظمى. وأخيرًا، إذا كان النموذج يأخذ قيمًا موجبة وسالبة، فلن يكون هناك حد أقصى أو أدنى. تتم دراسة وظائف عدد أكبر من المتغيرات بطريقة مماثلة.

تتكون دراسة الأشكال التربيعية بشكل أساسي من دراسة مشكلة تكافؤ الأشكال فيما يتعلق بمجموعة أو أخرى من التحولات الخطية للمتغيرات. يقال إن شكلين تربيعيين متكافئين إذا كان من الممكن تحويل أحدهما إلى الآخر عن طريق أحد تحويلات مجموعة معينة. ترتبط بشكل وثيق بمشكلة التكافؤ مشكلة اختزال الشكل، أي. تحويله إلى بعض أشكال ربما أبسط.

في الأسئلة المختلفة المتعلقة بالصيغ التربيعية، يتم أيضًا أخذ مجموعات مختلفة من التحويلات المسموح بها للمتغيرات في الاعتبار.

في مسائل التحليل، يتم استخدام أي تحويلات غير خاصة للمتغيرات؛ ولأغراض الهندسة التحليلية، تعتبر التحولات المتعامدة ذات أهمية أكبر، أي تلك التي تتوافق مع الانتقال من نظام ذو إحداثيات ديكارتية متغيرة إلى آخر. أخيرًا، في نظرية الأعداد وعلم البلورات، يتم أخذ التحولات الخطية ذات المعاملات الصحيحة ومحدد يساوي الوحدة في الاعتبار.

سننظر في اثنتين من هذه المسائل: مسألة اختزال الصورة التربيعية إلى أبسط صورها من خلال أي تحويلات غير مفردة ونفس السؤال للتحويلات المتعامدة. أولاً، دعونا نتعرف على كيفية تحويل مصفوفة ذات صورة تربيعية أثناء التحويل الخطي للمتغيرات.

دع حيث A عبارة عن مصفوفة متماثلة لمعاملات الشكل، X عبارة عن عمود من المتغيرات.

لنقم بإجراء تحويل خطي للمتغيرات، ونكتبه باختصار . هنا تشير C إلى مصفوفة معاملات هذا التحويل، و X عبارة عن عمود من المتغيرات الجديدة. وبالتالي فإن مصفوفة الصورة التربيعية المحولة هي

تصبح المصفوفة متماثلة تلقائيًا، وهو أمر يسهل التحقق منه. وبالتالي، فإن مشكلة اختزال الصورة التربيعية إلى أبسط صورة تعادل مشكلة اختزال مصفوفة متماثلة إلى أبسط صورة عن طريق ضربها على اليسار واليمين في مصفوفات منقولة بشكل متبادل.

سنركز في هذا القسم على فئة خاصة ولكنها مهمة من الصور التربيعية الإيجابية.

التعريف 3. يسمى الشكل التربيعي الحقيقي غير سلبي (غير موجب) إذا كان لأي قيم حقيقية للمتغيرات

. (35)

في هذه الحالة، تسمى المصفوفة المتماثلة للمعاملات شبه محددة موجبة (شبه محددة سالبة).

التعريف 4. يُطلق على الشكل التربيعي الحقيقي اسم موجب محدد (سلبي محدد) إذا كان لأي قيم حقيقية للمتغيرات التي ليست صفرًا في نفس الوقت ،

. (36)

في هذه الحالة، تسمى المصفوفة أيضًا محددة موجبة (محددة سالبة).

فئة الأشكال الإيجابية المحددة (السلبية المحددة) هي جزء من فئة الأشكال غير السلبية (غير الإيجابية).

دع إعطاء شكل غير سلبي. لنتخيلها كمجموع مربعات مستقلة:

. (37)

في هذا التمثيل، يجب أن تكون جميع المربعات موجبة:

. (38)

في الواقع، إذا كان هناك أي منها، فسيكون من الممكن تحديد قيم من هذا القبيل

ولكن بعد ذلك، مع هذه القيم للمتغيرات، سيكون للنموذج قيمة سالبة، وهو أمر مستحيل بالشرط. ومن الواضح، على العكس من ذلك، من (37) و (38) يترتب على ذلك أن الصورة إيجابية.

وهكذا، فإن الشكل التربيعي غير السلبي يتميز بالمساواة.

دعونا الآن يكون شكلا إيجابيا محددا. ثم إنه شكل غير سلبي. ولذلك يمكن تمثيلها بالشكل (37) حيث تكون جميعها موجبة. ومن التحديد الإيجابي للشكل يتبع ذلك . في الواقع، في هذه الحالة، من الممكن تحديد قيم لا تساوي الصفر في نفس الوقت، حيث يتحول الكل إلى الصفر. ولكن بعد ذلك، بحكم (37)، في، وهو ما ينافي الشرط (36).

ومن السهل أن نرى ذلك على العكس من ذلك، إذا كان في (37) وكلها إيجابية، فهي صورة إيجابية محددة.

بمعنى آخر، تكون الصورة غير السالبة إيجابية محددة إذا وفقط إذا لم تكن مفردة.

تعطي النظرية التالية معيارًا للتحديد الإيجابي لشكل ما في صورة المتباينات التي يجب أن تلبيها معاملات الشكل. في هذه الحالة، يتم استخدام التدوين الذي تمت مواجهته بالفعل في الفقرات السابقة للفرعين الرئيسيين المتعاقبين للمصفوفة:

.

النظرية 3. لكي تكون الصورة التربيعية موجبة ومحددة، من الضروري والكافي استيفاء المتباينات

دليل. وكفاية الشروط (39) تتبع مباشرة من صيغة جاكوبي (28). وتثبت ضرورة الشروط (39) على النحو التالي. من التحديد الإيجابي للنموذج يتبع التحديد الإيجابي للأشكال "المبتورة".

.

ولكن بعد ذلك يجب أن تكون جميع هذه الأشكال غير مفردة، أي.

الآن لدينا الفرصة لاستخدام صيغة جاكوبي (28) (في). وبما أنه على الجانب الأيمن من هذه الصيغة، يجب أن تكون جميع المربعات موجبة

وهذا يعني عدم المساواة (39). لقد تم إثبات النظرية.

نظرًا لأنه يمكن وضع أي فرع رئيسي للمصفوفة، مع إعادة ترقيم المتغيرات بشكل صحيح، في الزاوية اليسرى العليا، فلدينا

عاقبة. في الصيغة التربيعية المحددة الموجبة، تكون جميع العناصر الثانوية الرئيسية لمصفوفة المعاملات موجبة:

تعليق. من عدم سلبية القاصرين الرئيسيين المتعاقبين

لا يتبع عدم سلبية النموذج. والواقع أن النموذج

,

حيث مستوفية الشروط ولكنها ليست غير سلبية.

ومع ذلك، فإن ما يلي يحمل

النظرية 4. لكي تكون الصيغة التربيعية غير سالبة، من الضروري والكافي أن تكون جميع العناصر الثانوية الرئيسية في مصفوفة معاملاتها غير سالبة:

دليل. ولندخل على الشكل المساعد كان غير موجب فهو ضروري وكافي لحدوث المتباينات

أشكال مربعة.
علامة تحديد النماذج. معيار سيلفستر

صفة "تربيعي" تشير على الفور إلى أن شيئًا ما هنا مرتبط بمربع (الدرجة الثانية)، وقريبًا جدًا سنكتشف هذا "الشيء" وما هو شكله. اتضح أنه أعاصير اللسان :)

مرحبًا بكم في درسي الجديد، وكإحماء فوري سننظر إلى الشكل المخطط خطي. شكل خطي المتغيراتمُسَمًّى متجانسالدرجة الأولى متعددة الحدود:

- بعض الأرقام المحددة * (نفترض أن واحدًا منهم على الأقل ليس صفرًا)، a عبارة عن متغيرات يمكن أن تأخذ قيمًا عشوائية.

* في إطار هذا الموضوع سننظر فقط أرقام حقيقية .

لقد واجهنا بالفعل مصطلح "متجانس" في الدرس حول أنظمة متجانسة من المعادلات الخطية، وفي هذه الحالة يعني ذلك أن كثير الحدود لا يحتوي على ثابت زائد.

على سبيل المثال: - الشكل الخطي لمتغيرين

والآن أصبح الشكل تربيعيًا. الشكل التربيعي المتغيراتمُسَمًّى متجانسمتعدد الحدود من الدرجة الثانية, كل مصطلح منهايحتوي إما على مربع المتغير أو الزوجينتاج المتغيرات. على سبيل المثال، الصيغة التربيعية لمتغيرين لها الصيغة التالية:

انتباه!هذا إدخال قياسي وليس هناك حاجة لتغيير أي شيء فيه! على الرغم من المظهر "المخيف"، كل شيء بسيط هنا - تشير الثوابت المزدوجة إلى المتغيرات المضمنة في أي مصطلح:
- يحتوي هذا المصطلح على المنتج و (المربع)؛
- هنا العمل؛
- وهنا العمل.

- أتوقع على الفور حدوث خطأ فادح عندما يفقدون "سالب" المعامل، دون أن يفهموا أنه يشير إلى مصطلح:

في بعض الأحيان يكون هناك خيار تصميم "مدرسة" في الروح، ولكن في بعض الأحيان فقط. بالمناسبة، لاحظ أن الثوابت لا تخبرنا بأي شيء هنا على الإطلاق، وبالتالي يصعب تذكر "الترميز السهل". خاصة عندما يكون هناك المزيد من المتغيرات.

والصيغة التربيعية لثلاثة متغيرات تحتوي بالفعل على ستة حدود:

... لماذا يتم وضع عاملين "اثنين" في مصطلحات "مختلطة"؟ وهذا أمر مناسب، وسيتضح السبب قريبًا.

ومع ذلك، دعونا نكتب الصيغة العامة، ومن الملائم كتابتها في "ورقة":

– نحن ندرس كل سطر بعناية – فلا حرج في ذلك!

يحتوي النموذج التربيعي على حدود مع مربعات المتغيرات وحدود مع منتجاتها المقترنة (سم. صيغة الجمع اندماجي) . لا شيء أكثر من ذلك - لا "X وحيد" ولا ثابت مضاف (عندها لن تحصل على شكل تربيعي، ولكن غير متجانسةمتعدد الحدود من الدرجة الثانية).

تدوين المصفوفة من الشكل التربيعي

اعتمادًا على القيم، يمكن أن يأخذ النموذج المعني قيمًا موجبة وسالبة، وينطبق الشيء نفسه على أي شكل خطي - إذا كان أحد معاملاته على الأقل مختلفًا عن الصفر، فيمكن أن يكون إما موجبًا أو سالبًا (اعتمادًا على قيم).

هذا النموذج يسمى علامة بالتناوب. وإذا كان كل شيء شفافًا في الشكل الخطي، فإن الأمور في الشكل التربيعي تكون أكثر إثارة للاهتمام:

ومن الواضح تمامًا أن هذا النموذج يمكن أن يأخذ معنى أي علامة، وبالتالي يمكن أيضًا أن يكون الشكل التربيعي متناوبًا.

قد لا يكون:

- دائمًا، ما لم يساوي الصفر في نفس الوقت.

- لأي احد المتجهباستثناء الصفر.

وبشكل عام،إذا لأي شخص غير صفريةالمتجه ، ثم يسمى الشكل التربيعي إيجابية محددة; إذا كان الأمر كذلك ثم سلبي محدد.

وسيكون كل شيء على ما يرام، لكن دقة الشكل التربيعي لا تظهر إلا في الأمثلة البسيطة، وتضيع هذه الرؤية حتى مع وجود تعقيد بسيط:
– ?

قد يفترض المرء أن النموذج محدد بشكل إيجابي، ولكن هل هذا صحيح حقا؟ ماذا لو كانت هناك قيم أقل من الصفر؟

هناك نظرية: اذا الجميع القيم الذاتيةالمصفوفات ذات الشكل التربيعي إيجابية * ، فهو موجب محدد. إذا كانت كلها سلبية، فهي سلبية.

* لقد ثبت من الناحية النظرية أن جميع القيم الذاتية لمصفوفة متماثلة حقيقية صالح

لنكتب مصفوفة النموذج أعلاه:
ومن مكافئ. دعونا نجدها القيم الذاتية:

دعونا نحل القديم الجيد معادلة من الدرجة الثانية:

، وهو ما يعني النموذج يتم تعريفه بشكل إيجابي، أي. لأي قيم غير الصفر فهي أكبر من الصفر.

يبدو أن الطريقة المدروسة ناجحة، ولكن هناك طريقة واحدة كبيرة. بالنسبة لمصفوفة مكونة من ثلاثة في ثلاثة، يعد البحث عن الأعداد الصحيحة مهمة طويلة وغير سارة؛ مع احتمال كبير، سوف تحصل على متعدد الحدود من الدرجة الثالثة مع جذور غير عقلانية.

ماذا علي أن أفعل؟ هناك طريقة أسهل!

معيار سيلفستر

لا، ليس سيلفستر ستالون :) أولا، اسمحوا لي أن أذكركم ما هو عليه قاصرون الزاويةالمصفوفات. هذا تصفيات والتي "تنمو" من الزاوية اليسرى العليا:

والأخير يساوي تمامًا محدد المصفوفة.

الآن، في الواقع، معيار:

1) يتم تعريف الشكل التربيعي بشكل ايجابيإذا وفقط إذا كانت جميع الزوايا الصغرى أكبر من الصفر: .

2) يتم تعريف الشكل التربيعي سلبيإذا وفقط إذا كانت صغراته الزاوية تتناوب في الإشارة، حيث يكون القاصر الأول أقل من الصفر: , , إذا - زوجي أو، إذا - فردي.

إذا كان هناك زاوي صغير واحد على الأقل ذو علامة معاكسة، ثم النموذج علامة بالتناوب. إذا كانت الزوايا الصغرى من العلامة "اليمنى"، ولكن يوجد بينها أصفار، فهذه حالة خاصة، سأدرسها بعد قليل، بعد أن ننظر إلى أمثلة أكثر شيوعًا.

دعونا نحلل القصر الزاوي للمصفوفة :

وهذا يخبرنا على الفور أن الصورة لم يتم تعريفها بشكل سلبي.

خاتمة: جميع القاصرات الزاوية أكبر من الصفر وهو ما يعني الشكل يتم تعريفه بشكل إيجابي.

هل هناك فرق مع طريقة القيمة الذاتية؟ ;)

دعونا نكتب مصفوفة النموذج من مثال 1:

الأول هو قاصر الزاوي، والثاني ، ويترتب على ذلك أن الشكل متناوب في الإشارة، أي. اعتمادًا على القيم، يمكن أن يأخذ القيم الإيجابية والسلبية. ومع ذلك، هذا واضح بالفعل.

لنأخذ النموذج ومصفوفته من مثال 2:

لا توجد طريقة لمعرفة ذلك دون البصيرة. لكن بمعيار سيلفستر لا يهمنا:
وبالتالي فإن النموذج ليس سلبيًا بالتأكيد.

، وبالتأكيد ليست إيجابية (نظرًا لأن جميع القاصرين الزاويين يجب أن يكونوا إيجابيين).

خاتمة: الشكل بالتناوب.

أمثلة للإحماء لحلها بنفسك:

مثال 4

التحقيق في الأشكال التربيعية لتحديد الإشارة

أ)

في هذه الأمثلة، كل شيء سلس (انظر نهاية الدرس)، ولكن في الواقع، لإكمال هذه المهمة قد لا يكون معيار سيلفستر كافيا.

والمقصود أن هناك حالات "حافة" وهي: إن وجدت غير صفريةالمتجه، ثم يتم تحديد الشكل غير سلبي، اذا ثم سلبي. هذه الأشكال لديها غير صفريةناقلات التي.

هنا يمكنك اقتباس "الأكورديون" التالي:

تسليط الضوء مربع ممتاز، نرى على الفور عدم السلبيةعلى الشكل: ، وهي تساوي صفراً لأي متجه له إحداثيات متساوية، على سبيل المثال: .

مثال "المرآة". سلبيشكل معين:

ومثال أكثر تافهة:
- هنا الشكل يساوي صفر لأي متجه، حيث يكون الرقم اعتباطي.

كيفية التعرف على النماذج غير السلبية أو غير الإيجابية؟

لهذا نحن بحاجة إلى هذا المفهوم القاصرين الكبرى المصفوفات. والثانوي الأكبر هو ثانوي يتكون من عناصر تقف عند تقاطع الصفوف والأعمدة ذات الأرقام نفسها. وبالتالي، تحتوي المصفوفة على فرعين رئيسيين من الدرجة الأولى:
(العنصر عند تقاطع الصف الأول والعمود الأول)؛
(العنصر عند تقاطع الصف الثاني والعمود الثاني)،

وقاصر رئيسي واحد من الدرجة الثانية:
– تتكون من عناصر الصف الأول والثاني والعمود الأول والثاني.

المصفوفة هي "ثلاثة في ثلاثة" هناك سبعة قاصرين رئيسيين، وهنا سيتعين عليك ثني العضلة ذات الرأسين:
– ثلاثة قاصرين من الدرجة الأولى،
ثلاثة قاصرين من الدرجة الثانية:
- تتكون من عناصر الصف الأول والثاني والعمود الأول والثاني؛
- تتكون من عناصر الصف الأول والثالث والعمود الأول والثالث؛
- مكون من عناصر الصف الثاني والثالث والعمود الثاني والثالث،
وقاصر من الدرجة الثالثة:
– تتكون من عناصر الصف الأول والثاني والثالث والعمود الأول والثاني والثالث.
يمارسللفهم: اكتب جميع العناصر الثانوية الرئيسية للمصفوفة .
نتحقق في نهاية الدرس ونستمر.

معيار شوارزنيجر:

1) تعريف الصيغة التربيعية غير الصفرية* غير سلبيإذا وفقط إذا كان جميع القاصرين الرئيسيين غير سلبي(أكبر من أو يساوي الصفر).

* الصيغة التربيعية الصفرية (المنحطة) جميع معاملاتها تساوي الصفر.

2) يتم تعريف الصيغة التربيعية غير الصفرية مع المصفوفة سلبيإذا وفقط إذا:
– القصر الكبار من الدرجة الأولى غير إيجابي(أقل من أو يساوي الصفر)؛
- القصر الكبار من الدرجة الثانية غير سلبي;
– القصر الكبار من الدرجة الثالثة غير إيجابي(بدأ التناوب)؛
…
– الصغرى الكبرى من الدرجة الرابعة غير إيجابي، إذا - غريب أو غير سلبي، حتى لو.

إذا كان هناك قاصر واحد على الأقل من العلامة المعاكسة، فإن النموذج هو تناوب الإشارة.

دعونا نرى كيف يعمل المعيار في الأمثلة المذكورة أعلاه:

لنقم بإنشاء مصفوفة شكل، و أولاًدعونا نحسب الزوايا الصغرى - ماذا لو تم تعريفها بشكل إيجابي أو سلبي؟

القيم التي تم الحصول عليها لا تفي بمعيار سيلفستر بل القاصر الثاني ليست سلبيةوهذا يجعل من الضروري التحقق من المعيار الثاني (في حالة المعيار الثاني لن يتم استيفاءه تلقائيا، أي أنه سيتم استخلاص الاستنتاج على الفور حول علامة التناوب في النموذج).

القصر الرئيسيون من الدرجة الأولى:
- إيجابي،
الصغرى الكبرى من الدرجة الثانية:
- ليست سلبية.

وبالتالي، فإن جميع القاصرين الكبار ليسوا سلبيين، وهو ما يعني الشكل غير سلبي.

لنكتب مصفوفة الشكل ، والذي من الواضح أن معيار سيلفستر غير راضٍ عنه. لكننا أيضًا لم نتلق إشارات معاكسة (لأن كلا من الزوايا الصغرى تساوي الصفر). ولذلك، فإننا نتحقق من استيفاء معيار عدم السلبية/اللاإيجابية. القصر الرئيسيون من الدرجة الأولى:
- غير إيجابي،
الصغرى الكبرى من الدرجة الثانية:
- ليست سلبية.

وبالتالي، وفقا لمعيار شوارزنيجر (النقطة 2)، فإن الشكل غير محدد بشكل إيجابي.

الآن دعونا نلقي نظرة فاحصة على مشكلة أكثر إثارة للاهتمام:

مثال 5

افحص الصيغة التربيعية للتأكد من الإشارة

تم تزيين هذا النموذج بالترتيب "ألفا" الذي يمكن أن يساوي أي رقم حقيقي. لكنها ستكون أكثر متعة فقط نحن نقرر.

أولاً، دعونا نكتب مصفوفة النموذج؛ ربما اعتاد العديد من الأشخاص بالفعل على القيام بذلك شفهيًا: على قطري الرئيسينضع معاملات المربعات، وفي الأماكن المتماثلة نضع نصف معاملات المنتجات "المختلطة" المقابلة:

دعونا نحسب القاصرين الزاويين:

سأقوم بتوسيع المحدد الثالث في السطر الثالث: