المنشور هو شكل هندسي ثلاثي الأبعاد، تتم دراسة خصائصه وخصائصه في المدارس الثانوية. كقاعدة عامة، عند دراستها، يتم أخذ الكميات مثل الحجم ومساحة السطح في الاعتبار. سنناقش في هذه المقالة سؤالًا مختلفًا بعض الشيء: سنقدم طريقة لتحديد طول أقطار المنشور باستخدام مثال الشكل الرباعي الزوايا.

ما الشكل الذي يسمى المنشور؟

في الهندسة، يتم تقديم التعريف التالي للمنشور: إنه شكل ثلاثي الأبعاد يحده جانبان متطابقان متعدد الأضلاع ومتوازيان مع بعضهما البعض وعدد معين من متوازيات الأضلاع. يوضح الشكل أدناه مثالاً للمنشور الذي يناسب هذا التعريف.

نلاحظ أن الشكلين الخماسيين الأحمرين متساويان، ويقعان في مستويين متوازيين. خمسة متوازيات أضلاع وردية تربط هذه الأضلاع الخماسية بجسم صلب - المنشور. يُطلق على الخماسيين اسم قاعدتي الشكل، ومتوازيات أضلاعه هي الأوجه الجانبية.

يمكن أن يكون المنشور مستقيمًا أو مائلًا، ويسمى أيضًا مستطيلًا أو مائلًا. يكمن الفرق بينهما في الزوايا بين القاعدة والحواف الجانبية. بالنسبة للمنشور المستطيل، كل هذه الزوايا تساوي 90 درجة.

بناءً على عدد أضلاع أو رؤوس المضلع عند القاعدة، يتحدثون عن المنشورات الثلاثية والخماسية والرباعية الزوايا وما إلى ذلك. علاوة على ذلك، إذا كان هذا المضلع منتظما، والمنشور نفسه مستقيما، فإن هذا الشكل يسمى منتظما.

المنشور الموضح في الشكل السابق هو منشور خماسي مائل. يوجد أدناه منشور خماسي قائم، وهو منتظم.

من الملائم إجراء جميع العمليات الحسابية، بما في ذلك طريقة تحديد أقطار المنشور، خصيصًا للأشكال الصحيحة.

ما هي العناصر التي تميز المنشور؟

عناصر الشكل هي المكونات التي تشكله. بالنسبة للمنشور على وجه التحديد، يمكن التمييز بين ثلاثة أنواع رئيسية من العناصر:

• قمم.
• حواف أو جوانب
• ضلوع

تعتبر الوجوه هي القواعد والمستويات الجانبية، وتمثل متوازيات الأضلاع في الحالة العامة. في المنشور، يكون كل ضلع دائمًا أحد نوعين: إما أن يكون مضلعًا أو متوازي أضلاع.

حواف المنشور هي تلك الأجزاء التي تحد كل جانب من جوانب الشكل. مثل الوجوه، تأتي الحواف أيضًا في نوعين: تلك التي تنتمي إلى القاعدة والسطح الجانبي أو تلك التي تنتمي إلى السطح الجانبي فقط. يوجد دائمًا ضعف عدد الأولين، بغض النظر عن نوع المنشور.

القمم هي نقاط تقاطع ثلاث حواف للمنشور، اثنان منها يقعان في مستوى القاعدة، والثالث ينتمي إلى الوجهين الجانبيين. جميع رؤوس المنشور موجودة في مستويات قواعد الشكل.

ترتبط أعداد العناصر الموصوفة في مساواة واحدة لها الشكل التالي:

ف = ب + ج - 2.

هنا P هو عدد الحواف، B - القمم، C - الجوانب. وتسمى هذه المساواة نظرية أويلر للمتعدد السطوح.

يوضح الشكل منشورًا مثلثيًا منتظمًا. يمكن للجميع أن يحسبوا أن لها 6 رؤوس و5 جوانب و9 حواف. هذه الأرقام تتفق مع نظرية أويلر.

أقطار المنشور

بعد خصائص مثل الحجم ومساحة السطح، غالبًا ما نواجه في المسائل الهندسية معلومات حول طول قطر معين من الشكل المعني، والتي إما تكون معطاة أو يجب العثور عليها باستخدام معلمات أخرى معروفة. دعونا نفكر في الأقطار التي يمتلكها المنشور.

يمكن تقسيم جميع الأقطار إلى نوعين:

1. الكذب في مستوى الوجوه. وهي تربط القمم غير المتجاورة إما لمضلع عند قاعدة المنشور أو متوازي الأضلاع على السطح الجانبي. ويتم تحديد قيمة أطوال هذه الأقطار بناءً على معرفة أطوال الحواف المتناظرة والزوايا الموجودة بينها. لتحديد أقطار متوازي الأضلاع، تُستخدم دائمًا خصائص المثلثات.
2. المنشورات الموجودة داخل المجلد. تربط هذه الأقطار القمم المتباينة لقاعدتين. هذه الأقطار موجودة بالكامل داخل الشكل. يعد حساب أطوالها أكثر صعوبة إلى حد ما مقارنة بالنوع السابق. تتضمن طريقة الحساب مراعاة أطوال الأضلاع والقاعدة ومتوازيات الأضلاع. بالنسبة للمنشورات المستقيمة والمنتظمة، يكون الحساب بسيطًا نسبيًا حيث يتم إجراؤه باستخدام نظرية فيثاغورس وخصائص الدوال المثلثية.

أقطار جوانب المنشور الأيمن رباعي الزوايا

يوضح الشكل أعلاه أربعة منشورات مستقيمة متطابقة، ومعلمات حوافها معطاة. في المنشور القطري A، والقطري B، والقطري C، يُظهر الخط الأحمر المتقطع أقطار ثلاثة وجوه مختلفة. نظرًا لأن المنشور عبارة عن خط مستقيم يبلغ ارتفاعه 5 سم، وقاعدته ممثلة بمستطيل بأضلاع 3 سم و2 سم، فليس من الصعب العثور على الأقطار المحددة. للقيام بذلك، تحتاج إلى استخدام نظرية فيثاغورس.

طول قطري قاعدة المنشور (قطري أ) يساوي:

د أ = √(3 2 +2 2) = √13 ≈ 3.606 سم.

بالنسبة للوجه الجانبي للمنشور، يكون القطر متساويًا (انظر القطر B):

د ب = √(3 2 +5 2) = √34 ≈ 5.831 سم.

وأخيرًا، طول الضلع الآخر هو (انظر القطر C):

D C = √(2 2 +5 2) = √29 ≈ 5.385 سم.

الطول القطري الداخلي

الآن دعونا نحسب طول قطري المنشور الرباعي، والذي يظهر في الشكل السابق (قطري D). ليس من الصعب القيام بذلك إذا لاحظت أن هذا هو الوتر للمثلث الذي سيكون فيه ارتفاع المنشور (5 سم) والقطر D A الموضح في الشكل في أعلى اليسار (قطري A). ثم نحصل على:

د د = √(د أ 2 +5 2) = √(2 2 +3 2 +5 2) = √38 ≈ 6.164 سم.

المنشور الرباعي المنتظم

يتم حساب قطر المنشور المنتظم الذي قاعدته مربع، بنفس الطريقة الموضحة في المثال أعلاه. الصيغة المقابلة هي:

د = √(2*أ2 +ج2).

حيث a وc هما طولا جانب القاعدة والحافة الجانبية على التوالي.

لاحظ أننا استخدمنا في الحسابات نظرية فيثاغورس فقط. لتحديد أطوال أقطار المنشورات المنتظمة ذات عدد كبير من القمم (الخماسي، السداسي، وما إلى ذلك)، من الضروري بالفعل استخدام الدوال المثلثية.

تعريف.

هذا شكل سداسي، قاعدتاه مربعان متساويان، وأضلاعه مستطيلات متساوية

ضلع جانبي- هو الضلع المشترك لوجهين متجاورين

ارتفاع المنشور- هذه القطعة متعامدة مع قاعدتي المنشور

المنشور قطري- قطعة تربط بين رأسين من القواعد التي لا تنتمي إلى نفس الوجه

طائرة قطرية- المستوى الذي يمر عبر قطري المنشور وحوافه الجانبية

قسم قطري- حدود تقاطع المنشور والمستوى القطري. المقطع العرضي القطري للمنشور الرباعي المنتظم هو مستطيل

القسم العمودي (القسم المتعامد)- هذا هو تقاطع المنشور والمستوى المرسوم بشكل عمودي على حوافه الجانبية

عناصر المنشور الرباعي المنتظم

يوضح الشكل منشورين رباعيين منتظمين، يُشار إليهما بالحروف المقابلة:

• القاعدتان ABCD و A 1 B 1 C 1 D 1 متساويتان ومتوازيتان مع بعضهما البعض
• الوجوه الجانبية AA 1 D 1 D و AA 1 B 1 B و BB 1 C 1 C و CC 1 D 1 D وكل منها مستطيل
• السطح الجانبي - مجموع مساحات جميع الوجوه الجانبية للمنشور
• إجمالي السطح - مجموع مساحات جميع القواعد والأوجه الجانبية (مجموع مساحة السطح الجانبي والقواعد)
• الأضلاع الجانبية AA 1، BB 1، CC 1 و DD 1.
• قطري ب 1 د
• قاعدة قطرية BD
• القسم القطري BB 1 D 1 D
• المقطع العمودي أ 2 ب 2 ج 2 د 2.

خصائص المنشور الرباعي المنتظم

• القاعدتان عبارة عن مربعين متساويين
• القواعد متوازية مع بعضها البعض
• الوجوه الجانبية مستطيلة
• الحواف الجانبية متساوية مع بعضها البعض
• الوجوه الجانبية متعامدة مع القواعد
• الأضلاع الجانبية متوازية مع بعضها البعض ومتساوية
• مقطع عمودي متعامد على جميع الأضلاع الجانبية ومتوازي مع القواعد
• زوايا المقطع المتعامد - مستقيمة
• المقطع العرضي القطري للمنشور الرباعي المنتظم هو مستطيل
• عمودي (مقطع متعامد) موازي للقواعد

صيغ المنشور الرباعي المنتظم

تعليمات لحل المشاكل

عند حل المشكلات حول الموضوع " المنشور الرباعي المنتظم" يعني أن:

المنشور الصحيح- منشور يوجد في قاعدته مضلع منتظم، وتكون حوافه الجانبية متعامدة مع مستويات القاعدة. أي أن المنشور الرباعي المنتظم يحتوي على قاعدته مربع. (انظر خصائص المنشور الرباعي المنتظم أعلاه) ملحوظة. هذا جزء من درس يتعلق بالمسائل الهندسية (قسم القياس المجسم - المنشور). وهنا المشاكل التي يصعب حلها. إذا كنت بحاجة إلى حل مشكلة هندسية غير موجودة هنا، فاكتب عنها في المنتدى. للدلالة على إجراء استخراج الجذر التربيعي في حل المشاكل، يتم استخدام الرمز√ .

مهمة.

في منشور رباعي منتظم مساحة القاعدة 144 سم2 والارتفاع 14 سم أوجد قطر المنشور ومساحة السطح الكلية.

حل.
الشكل الرباعي المنتظم هو مربع.
وبناء على ذلك، فإن جانب القاعدة سيكون متساويا

√144 = 12 سم.
من حيث سيساوي قطر قاعدة المنشور المستطيل المنتظم
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

يشكل قطر المنشور المنتظم مثلثًا قائمًا بقطر القاعدة وارتفاع المنشور. وفقًا لذلك، وفقًا لنظرية فيثاغورس، فإن قطر المنشور الرباعي المنتظم المعطى سيكون مساويًا لـ:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 سم

إجابة: 22 سم

مهمة

أوجد السطح الكلي لمنشور رباعي منتظم إذا كان قطره ٥ سم وقطر وجهه الجانبي ٤ سم.

حل.
بما أن قاعدة المنشور الرباعي المنتظم هي مربع، فإننا نجد جانب القاعدة (يشار إليه بـ a) باستخدام نظرية فيثاغورس:

أ 2 + أ 2 = 5 2
2أ 2 = 25
أ = √12.5

سيكون ارتفاع الوجه الجانبي (المشار إليه بـ h) مساويًا لـ:

ح 2 + 12.5 = 4 2
ح 2 + 12.5 = 16
ح 2 = 3.5
ح = √3.5

ستكون مساحة السطح الإجمالية مساوية لمجموع مساحة السطح الجانبية ومرتين مساحة القاعدة

ق = 2 أ 2 + 4 آه
س = 25 + 4√12.5 * √3.5
ص = 25 + 4√43.75
ص = 25 + 4√(175/4)
ص = 25 + 4√(7*25/4)
ق = 25 + 10√7 ≈ 51.46 سم2.

الإجابة: 25 + 10√7 ≈ 51.46 سم2.

وصف العرض التقديمي من خلال الشرائح الفردية:

1 شريحة

وصف الشريحة:

2 شريحة

وصف الشريحة:

التعريف 1. يسمى متعدد السطوح، الذي يكون اثنان من وجوهه مضلعات تحمل نفس الاسم وتقع في مستويات متوازية، وأي حافتين غير متواجدتين في هذه المستويات متوازيتين، بالمنشور. مصطلح "المنشور" من أصل يوناني ويعني حرفيا "منشار" (الجسم). تسمى المضلعات الموجودة في مستويات متوازية بقواعد المنشور، وتسمى الوجوه المتبقية بالأوجه الجانبية. وبالتالي يتكون سطح المنشور من مضلعين متساويين (القواعد) ومتوازيات الأضلاع (الأوجه الجانبية). هناك منشورات ثلاثية ورباعية وخماسية وما إلى ذلك. اعتمادا على عدد رؤوس القاعدة.

3 شريحة

وصف الشريحة:

تنقسم جميع المنشورات إلى مستقيمة ومائلة. (الشكل 2) إذا كانت الحافة الجانبية للمنشور متعامدة مع مستوى قاعدته، فإن هذا المنشور يسمى مستقيما؛ إذا كانت الحافة الجانبية للمنشور متعامدة مع مستوى قاعدته، فإن هذا المنشور يسمى مائل. المنشور المستقيم له وجوه جانبية مستطيلة. ويسمى العمودي على مستويات القواعد، التي تنتمي نهاياتها إلى هذه المستويات، بارتفاع المنشور.

4 شريحة

وصف الشريحة:

خصائص المنشور. 1. قاعدتا المنشور مضلعتان متساويتان. 2. الوجوه الجانبية للمنشور متوازية الأضلاع. 3. الحواف الجانبية للمنشور متساوية.

5 شريحة

وصف الشريحة:

مساحة سطح المنشور ومساحة السطح الجانبية للمنشور. يتكون سطح متعدد السطوح من عدد محدود من المضلعات (الوجوه). مساحة سطح متعدد السطوح هي مجموع مساحات جميع وجوهه. مساحة سطح المنشور (Spr) تساوي مجموع مساحات أوجهه الجانبية (مساحة السطح الجانبي Sside) ومساحة قاعدتين (2Sbas) – مضلعات متساوية: Spop = Sside + 2Sbas. نظرية. مساحة السطح الجانبي للمنشور تساوي ناتج محيط مقطعه المتعامد وطول الحافة الجانبية.

6 شريحة

وصف الشريحة:

دليل. الوجوه الجانبية للمنشور المستقيم عبارة عن مستطيلات، قاعدتها هي جوانب قاعدة المنشور، وارتفاعاتها تساوي ارتفاع h للمنشور. جانب سطح المنشور يساوي مجموع S للمثلثات المشار إليها، أي. يساوي مجموع منتجات جوانب القاعدة والارتفاع ح. بإخراج العامل h من الأقواس، نحصل بين قوسين على مجموع جوانب قاعدة المنشور، أي. المحيط P. لذا، Sside = Ph. لقد تم إثبات النظرية. عاقبة. مساحة السطح الجانبية للمنشور المستقيم تساوي ناتج محيط قاعدته وارتفاعه. في الواقع، في المنشور المستقيم، يمكن اعتبار القاعدة مقطعًا متعامدًا، والحافة الجانبية هي الارتفاع.

7 شريحة

وصف الشريحة:

قسم المنشور 1. قسم المنشور بمستوى موازٍ للقاعدة. يشكل القسم مضلعًا يساوي المضلع الموجود عند القاعدة. 2. مقطع من المنشور بواسطة مستوى يمر عبر حافتين جانبيتين غير متجاورتين. يتم تشكيل متوازي الأضلاع في المقطع العرضي. يسمى هذا القسم بالقسم القطري للمنشور. في بعض الحالات، قد تكون النتيجة ماسة أو مستطيلة أو مربعة.

8 شريحة

وصف الشريحة:

الشريحة 9

وصف الشريحة:

التعريف 2. المنشور القائم، الذي قاعدته مضلع منتظم، يسمى المنشور العادي. خواص المنشور المنتظم 1. قواعد المنشور المنتظم هي مضلعات منتظمة. 2. الأوجه الجانبية للمنشور المنتظم مستطيلات متساوية. 3. الحواف الجانبية للمنشور المنتظم متساوية.

10 شريحة

وصف الشريحة:

قسم من المنشور العادي. 1. مقطع منشور منتظم بمستوى موازٍ للقاعدة. يشكل القسم مضلعًا منتظمًا يساوي المضلع الموجود عند القاعدة. 2. مقطع منشور منتظم بواسطة مستوى يمر عبر حافتين جانبيتين غير متجاورتين. يتم تشكيل مستطيل في المقطع العرضي. في بعض الحالات، قد يتشكل مربع.

11 شريحة

وصف الشريحة:

تماثل المنشور المنتظم 1. مركز التماثل مع عدد زوجي من جوانب القاعدة هو نقطة تقاطع أقطار المنشور المنتظم (الشكل 6)

المنشور الثلاثي هو جسم صلب ثلاثي الأبعاد يتكون من ربط المستطيلات والمثلثات. ستتعلم في هذا الدرس كيفية إيجاد الحجم الداخلي (الحجم) والخارجي (مساحة السطح) للمنشور الثلاثي.

منشور ثلاثي هو مجسم خماسي يتكون من مستويين متوازيين يقع فيهما مثلثان يشكلان وجهين لمنشور، والأوجه الثلاثة المتبقية عبارة عن متوازيات أضلاع مكونة من جوانب المثلثين.

عناصر المنشور الثلاثي

المثلثان ABC و A 1 B 1 C 1 هما قواعد المنشور .

الرباعيات A 1 B 1 BA و B 1 BCC 1 و A 1 C 1 CA هي الوجوه الجانبية للمنشور .

جوانب الوجوه هي أضلاع المنشور(A 1 B 1، A 1 C 1، C 1 B 1، AA 1، CC 1، BB 1، AB، BC، AC)، المنشور الثلاثي له 9 وجوه في المجموع.

ارتفاع المنشور هو القطعة المتعامدة التي تصل بين وجهي المنشور (في الشكل هو h).

قطر المنشور هو القطعة التي تنتهي عند رأسين للمنشور لا ينتميان إلى نفس الوجه. بالنسبة للمنشور الثلاثي، لا يمكن رسم مثل هذا القطر.

منطقة قاعدة هي مساحة الوجه الثلاثي للمنشور.

هو مجموع مساحات الوجوه الرباعية للمنشور.

أنواع المنشور الثلاثي

هناك نوعان من المنشور الثلاثي: مستقيم ومائل.

المنشور المستقيم له وجوه جانبية مستطيلة، والمنشور المائل له وجوه جانبية متوازية الأضلاع (انظر الشكل)

يسمى المنشور الذي تكون حوافه الجانبية متعامدة مع مستويات قاعدتيه بالخط المستقيم.

يسمى المنشور الذي تميل حوافه الجانبية إلى مستويات القواعد مائلًا.

الصيغ الأساسية لحساب المنشور الثلاثي

حجم المنشور الثلاثي

للعثور على حجم المنشور الثلاثي، عليك ضرب مساحة قاعدته بارتفاع المنشور.

حجم المنشور = مساحة القاعدة × الارتفاع

V = S الأساسية ح

مساحة السطح الجانبية المنشور

للعثور على مساحة السطح الجانبية للمنشور الثلاثي، عليك ضرب محيط قاعدته بارتفاعه.

مساحة السطح الجانبي للمنشور الثلاثي = محيط القاعدة × الارتفاع

الجانب S = P الرئيسي ح

إجمالي مساحة سطح المنشور

للعثور على إجمالي مساحة سطح المنشور، تحتاج إلى إضافة مساحة القاعدة ومساحة السطح الجانبية.

بما أن الجانب S = P الرئيسي. ح، فنحصل على:

S دورة كاملة = ف الأساسية ح + 2S الأساسية

المنشور الصحيح - منشور مستقيم قاعدته مضلع منتظم.

خصائص المنشور:

القاعدتان العلوية والسفلية للمنشور عبارة عن مضلعات متساوية.
الوجوه الجانبية للمنشور لها شكل متوازي الأضلاع.
الحواف الجانبية للمنشور متوازية ومتساوية.

نصيحة: عند حساب المنشور الثلاثي، يجب الانتباه إلى الوحدات المستخدمة. على سبيل المثال، إذا تمت الإشارة إلى مساحة القاعدة بالسم 2، فيجب التعبير عن الارتفاع بالسنتيمتر والحجم بالسم 3. إذا كانت مساحة القاعدة بالملم 2، فينبغي التعبير عن الارتفاع بالملم والحجم بالملم 3، وما إلى ذلك.

مثال المنشور

في هذا المثال:
— يشكل ABC وDEF القواعد المثلثية للمنشور
- ABED وBCFE وACFD هي وجوه جانبية مستطيلة
— تتوافق الحواف الجانبية DA وEB وFC مع ارتفاع المنشور.
- النقاط A، B، C، D، E، F هي رؤوس المنشور.

مشاكل لحساب المنشور الثلاثي

المشكلة 1. قاعدة المنشور الثلاثي القائم هي مثلث قائم الزاوية أرجله 6 و8، وضلعه الجانبي 5. أوجد حجم المنشور.
حل:حجم المنشور المستقيم يساوي V = Sh، حيث S هي مساحة القاعدة وh هي الحافة الجانبية. مساحة القاعدة في هذه الحالة هي مساحة المثلث القائم الزاوية (مساحته تساوي نصف مساحة مستطيل ذو ضلعين 6 و 8). وبالتالي فإن الحجم يساوي:

ح = 1/2 6 8 5 = 120.

المهمة 2.

يتم رسم مستوى موازٍ للحافة الجانبية من خلال الخط الأوسط لقاعدة المنشور الثلاثي. حجم المنشور الثلاثي المقطوع هو 5. أوجد حجم المنشور الأصلي.

حل:

حجم المنشور يساوي حاصل ضرب مساحة القاعدة والارتفاع: V = S base h.

المثلث الواقع عند قاعدة المنشور الأصلي يشبه المثلث الواقع عند قاعدة المنشور المقطوع. معامل التشابه هو 2، حيث يتم رسم القسم من خلال الخط الأوسط (الأبعاد الخطية للمثلث الأكبر أكبر مرتين من الأبعاد الخطية للمثلث الأصغر). ومن المعروف أن مساحات الأشكال المتشابهة ترتبط كمربع معامل التشابه، أي S 2 = S 1 k 2 = S 1 2 2 = 4S 1 .

مساحة قاعدة المنشور بأكمله أكبر بأربع مرات من مساحة قاعدة المنشور المقطوع. ارتفاعات كلا المنشورين متساوية، وبالتالي فإن حجم المنشور بأكمله يساوي 4 أضعاف حجم المنشور المقطوع.

وبالتالي فإن الحجم المطلوب هو 20.

المقاطع القطرية يُسمى مقطع المنشور بواسطة مستوى يمر عبر قطري القاعدة والحافتين الجانبيتين المجاورتين له بالقسم القطري للمنشور. يُسمى قسم الهرم الذي يمر مستوى خلاله قطري القاعدة والجزء العلوي بالقسم القطري للهرم. ليتقاطع المستوى مع الهرم ويكون موازيا لقاعدته. ويسمى جزء الهرم المحصور بين هذا المستوى والقاعدة بالهرم المقطوع. يُطلق على المقطع العرضي للهرم أيضًا اسم قاعدة الهرم المقطوع.

بناء المقاطع عند إنشاء مقاطع متعددات الوجوه، فإن العناصر الأساسية هي بناء نقطة تقاطع خط مستقيم ومستوى، وكذلك خط تقاطع مستويين. إذا تم إعطاء نقطتين A وB من الخط وكانت إسقاطاتهما A' وB' على المستوى معروفة، فإن النقطة C من تقاطع بيانات الخط والمستوى ستكون نقطة تقاطع الخطوط AB و A'B' إذا كانت النقاط الثلاث A، B، C من المستوى معطاة ومعروفة إسقاطاتها A'، B'، C' على مستوى آخر، ثم للعثور على خط تقاطع هذه المستويات، النقاط P وQ تم العثور على تقاطع الخطين AB وAC مع المستوى الثاني. سيكون الخط المستقيم PQ هو خط التقاطع المطلوب للطائرات.

التمرين 1 قم ببناء مقطع من مكعب بحيث يمر مستوى عبر النقطتين E وF الواقعتين على حواف المكعب والرأس B. الحل. لإنشاء مقطع من مكعب يمر عبر النقاط E وF والقمة B، نربط النقاط E وB وF وB بالقطاعات، ومن خلال النقطتين E وF نرسم خطوطًا موازية للخطين BF وBE على التوالي. سيكون متوازي الأضلاع الناتج BFGE هو القسم المطلوب.

التمرين 2 قم ببناء قسم من المكعب بحيث يمر مستوى عبر النقاط E، F، G الواقعة على حواف المكعب. حل. لإنشاء مقطع من مكعب يمر عبر النقاط E، F، G، ارسم خطًا مستقيمًا EF وأشر إلى P نقطة تقاطعه مع AD. دع Q تشير إلى نقطة تقاطع الخطين PG و AB. دعونا نربط النقاط E و Q و F و G. وسيكون شبه المنحرف الناتج EFGQ هو القسم المطلوب.

التمرين 3 قم ببناء جزء من المكعب بحيث يمر مستوى عبر النقاط E، F، G الواقعة على حواف المكعب. حل. لإنشاء مقطع من مكعب يمر عبر النقاط E، F، G، ارسم خطًا مستقيمًا EF وأشر إلى P نقطة تقاطعه مع AD. دعونا نشير بـ Q و R إلى نقاط تقاطع الخط المستقيم PG مع AB و DC. دعونا نشير بـ S إلى نقطة تقاطع FR مع CC 1. دعنا نربط النقاط E و Q و G و S. وسيكون البنتاغون الناتج EFSGQ هو القسم المطلوب.

التمرين 4 قم ببناء جزء من المكعب بحيث يمر مستوى عبر النقاط E، F، G الواقعة على حواف المكعب. حل. لإنشاء مقطع من مكعب يمر بالنقاط E، F، G، نجد النقطة P تقاطع الخط المستقيم EF والمستوى الوجهي ABCD. دعونا نشير بالرمز Q، R إلى نقاط تقاطع الخط المستقيم PG مع AB وCD. ارسم خطًا RF ودل على S وT نقاط تقاطعه مع CC 1 وDD 1. ارسم خط TE ودل على U نقطة تقاطعه مع A 1 D 1. قم بتوصيل النقاط E وQ وG وS وU وF سيكون الشكل السداسي EUFSGQ الناتج هو القسم المطلوب.

التمرين 5 قم ببناء قسم من المكعب بمستوى يمر عبر النقاط E، F، G، التي تنتمي إلى الوجوه BB 1 C 1 C، CC 1 D 1 D، AA 1 B 1 B، على التوالي. حل. من هذه النقاط، نخفض الخطوط المتعامدة EE'، FF'، GG' إلى مستوى الوجه ABCD، ونجد النقطتين I وH من تقاطع الخطين FE وFG مع هذا المستوى. سيكون IH هو خط تقاطع المستوى المطلوب ومستوى الوجه ABCD. دعونا نشير بالرمز Q، R إلى نقاط تقاطع الخط المستقيم IH مع AB وBC. لنرسم الخطين PG وQE ونشير إلى R وS في نقاط تقاطعهما مع AA 1 وCC 1. لنرسم الخطوط SU وUV وRV، الموازية لـ PR وPQ وQS. سيكون السداسي الناتج RPQSUV هو القسم المطلوب.

التمرين 6 قم ببناء جزء من المكعب بحيث يمر مستوى عبر النقطتين E وF الواقعتين على حواف المكعب، بالتوازي مع القطر BD. حل. دعونا نرسم الخطين FG وEH الموازيين لـ BD. لنرسم خطًا مستقيمًا FP موازيًا لـ EG ونربط النقطتين P وG. نربط النقاط E وG وF وH. سيكون الشكل الخماسي الناتجEGFH هو القسم المطلوب.

أنشئ مقطعًا من المنشور ABCA 1 B 1 C 1 بمستوى يمر عبر النقاط E، F، G. حل التمرين 8. لنربط النقطتين E وF. لنرسم الخط FG ونقطة تقاطعه مع CC 1 للإشارة إلى H. لنرسم الخط EH ونقطة تقاطعه مع A 1 C 1 للإشارة إلى I. لنربط النقطتين I وG. سيكون EFGI الرباعي الناتج هو القسم المطلوب.

أنشئ مقطعًا من المنشور ABCA 1 B 1 C 1 بمستوى يمر عبر النقاط E، F، G. حل التمرين 9. لنرسم خطًا مستقيمًا EG ونشير إلى H وI نقطتي تقاطعه مع CC 1 وAC. لنرسم خطًا مستقيمًا IF ونقطة تقاطعه مع AB سنشير إلى K. سنرسم خطًا FH ونقطة تقاطعه مع B 1 C 1 سنشير إلى L. لنوصل النقطتين E وK، G و L. سيكون البنتاغون EKFLG الناتج هو القسم المطلوب.

أنشئ مقطعًا من المنشور ABCA 1 B 1 C 1 بمستوى موازٍ لـ AC 1 ويمر عبر النقاط D 1. حل التمرين 10. من خلال النقطة D نرسم خطًا موازيًا لـ AC 1 ونشير إلى E نقطة تقاطعه مع الخط BC 1. وستنتمي هذه النقطة إلى مستوى الوجه ADD 1 A 1. نرسم خط DE ونشير إلى F نقطة تقاطعه مع حافة قبل الميلاد. دعونا نربط النقطتين F و D بقطعة، ومن خلال النقطة D نرسم خطاً موازياً للخط المستقيم FD ونشير بـ G إلى نقطة تقاطعه مع الحافة A 1 C 1, H – نقطة تقاطعه مع الخط A 1 ب 1. نرسم خطًا مستقيمًا DH ونشير بـ P إلى نقطة تقاطعه مع الحافة AA 1. نربط النقطتين P و G بقطعة، وسيكون الشكل الرباعي EFIK الناتج هو القسم المطلوب.

أنشئ مقطعًا من المنشور ABCA 1 B 1 C 1 بمستوى يمر عبر النقاط E على الحافة BC، وF على الوجه ABB 1 A 1، وG على الوجه ACC 1 A 1. حل التمرين 11. لنرسم الخط GF ونجد النقطة H لتقاطعه مع المستوى ABC. دعونا نرسم خطًا مستقيمًا EH، ونشير بـ P وI إلى نقاط تقاطعه مع AC وAB. لنرسم خطوطًا مستقيمة PG وIF، ونشير إلى S وR وQ نقاط تقاطعها مع A 1 C 1 وA 1 B 1 وBB 1. لنربط النقاط E وQ وS وR. الشكل الخماسي الناتج EQRSP سيكون القسم المطلوب.

أنشئ مقطعًا من منشور سداسي منتظم بمستوى يمر عبر النقاط A، B، D 1. حل التمرين 12. لاحظ أن المقطع سيمر بالنقطة E 1. لنرسم الخط AB ونجد نقطتي تقاطعه K وL مع الخطين CD وFE. دعونا نرسم الخطين KD 1، LE 1 ونجد نقاط تقاطعهما P، Q مع الخطين CC 1 و FF 1. سيكون الشكل السداسي ABPD 1 E 1 Q هو القسم المطلوب.

أنشئ مقطعًا من المنشور السداسي المنتظم الذي يمر فيه المستوى بالنقاط A، B'، F'. حل التمرين 13 لنرسم المقطعين AB وAF. من خلال النقطة B' نرسم خطًا موازيًا لـ AF'، ونقطة تقاطعه مع EE 1 نرمز إليها E'. من خلال النقطة F' نرسم خطًا موازيًا للخط AB'، ونشير إلى نقطة تقاطعه مع CC 1 بالرمز C'. من خلال النقطتين E’ و C’ نرسم خطوطًا موازية لـ AB’ و AF’، ونشير إلى نقاط تقاطعها مع D 1 E 1 و C 1 D 1 بالرمز D’، D”. دعونا نربط النقاط B'، C'؛ د'، د"؛ ف، ه. سيكون الشكل السباعي الناتج AB’C’D’D’E’F’ هو القسم المطلوب.

أنشئ مقطعًا من المنشور السداسي المنتظم الذي يمر فيه المستوى بالنقاط F'، B'، D'. حل التمرين 14 لنرسم الخطين المستقيمين F'B' وF'D' ونوجد نقطتي تقاطعهما P وQ مع المستوى ABC. دعونا نفعل PQ المباشر. دع R تشير إلى نقطة تقاطع PQ وFC. دعونا نشير إلى نقطة التقاطع بين F'R وCC 1 بالرمز C'. دعونا نربط النقاط B'، C'، و C'، D'. من خلال النقطة F' نرسم خطوطًا موازية للخطين C'D' وB'C'، ونشير إلى نقطتي تقاطعهما مع AA 1 وEE 1 بالرمز A' وE'. دعونا نربط النقاط A' وB' وE' وD'. سيكون الشكل السداسي الناتج A’B’C’D’E’F’ هو القسم المطلوب.