الوظيفة: مجال التعريف ومجال قيم الوظائف. موضوع الدرس: “مجموعة قيم الدالة في مسائل امتحان الدولة الموحدة كيفية العثور على مجموعة قيم الدالة من خلال المشتقة

سننتقل اليوم في الدرس إلى أحد المفاهيم الأساسية في الرياضيات - مفهوم الوظيفة؛ دعونا نلقي نظرة فاحصة على إحدى خصائص الدالة - مجموعة قيمها.

خلال الفصول الدراسية

مدرس. أثناء حل المشكلات، نلاحظ أنه في بعض الأحيان يكون العثور على مجموعة قيم الدالة هو ما يضعنا في مواقف صعبة. لماذا؟ يبدو أننا، بعد أن درسنا وظيفة ما منذ الصف السابع، نعرف الكثير عنها. ولذلك، لدينا كل الأسباب لاتخاذ خطوة استباقية. دعونا "نلعب" مع العديد من القيم الوظيفية اليوم من أجل الإجابة على العديد من الأسئلة حول هذا الموضوع في الاختبار القادم.

مجموعات من قيم الوظائف الأولية

مدرس. أولاً، تحتاج إلى تكرار الرسوم البيانية والمعادلات ومجموعات قيم الوظائف الأولية الأساسية في جميع أنحاء مجال التعريف بأكمله.

يتم عرض الرسوم البيانية للوظائف على الشاشة: الخطية، التربيعية، الكسرية، المثلثية، الأسية واللوغاريتمية، لكل منها يتم تحديد مجموعة من القيم شفهيًا. لفت انتباه الطلاب إلى حقيقة أن الدالة الخطية E(f) = رأو رقم واحد، لخطي كسري

هذه هي الأبجدية لدينا. ومن خلال إضافة معرفتنا بالتحولات البيانية: الترجمة المتوازية، والتمدد، والضغط، والانعكاس، سنكون قادرين على حل مشاكل الجزء الأول امتحان الدولة الموحدة أصعب قليلاً. دعونا التحقق من ذلك.

عمل مستقل

ش تتم طباعة مصطلحات المشكلة وأنظمة الإحداثيات لكل طالب.

1. ابحث عن مجموعة قيم الوظائف في مجال التعريف بأكمله:

أ) ذ= 3 خطيئة X ;
ب) ذ = 7 – 2 X ;
الخامس) ذ= -أركوس ( س + 5):
ز) ذ= | com.arctg س |;
د)

2. ابحث عن مجموعة قيم الوظائف ذ = س 2 بينهما ج، لو:

أ) ج = ;
ب) ج = [–1; 5).

3. تعريف الدالة تحليلياً (بواسطة معادلة) إذا كانت مجموعة قيمها هي:

1) ه(F(س)) = (–∞ ; 2] و F(س) - وظيفة

أ) تربيعية،
ب) لوغاريتمي،
ج) توضيحي.

2) ه(F(س)) = ر \{7}.

عند مناقشة مهمة ما 2العمل المستقل، لفت انتباه الطلاب إلى حقيقة أنه في حالة الرتابة واستمرارية الوظيفة=F(س)في فترة زمنية معينة[أ;ب],معانيها كثيرة-فاصلة,التي نهاياتها هي قيم f(أ)و و(ب).

خيارات الإجابة للمهمة 3.

1.
أ) ذ = –س 2 + 2 , ذ = –(س + 18) 2 + 2,
ذ= أ(س – سج) 2 + 2 ص أ < 0.

ب) ذ= –| سجل 8 س | + 2,

الخامس) ذ = –| 3 س – 7 | + 2, ذ = –5 | س | + 3.

2.
أ) ب)

الخامس) ذ = 12 – 5س، أين س ≠ 1 .

العثور على قيم متعددة للدالة باستخدام المشتقة

مدرس. في الصف العاشر، تعرفنا على خوارزمية إيجاد الحدود القصوى لدالة متصلة على قطعة وإيجاد مجموعة قيمها، دون الاعتماد على الرسم البياني للدالة. هل تتذكر كيف فعلنا هذا؟ ( باستخدام مشتق.) دعونا نتذكر هذه الخوارزمية .

1. تأكد من الوظيفة ذ = F(س) محددة ومستمرة في المقطع ج = [أ; ب]. 2. ابحث عن قيم الدالة في نهايات المقطع: و(أ) و(ب). تعليق. إذا علمنا أن الدالة مستمرة ورتيبة ج، فيمكنك الإجابة على الفور: ه(F) = [F(أ); F(ب)] أو ه(F) = [F(ب); F(أ)]. 3. أوجد المشتقة ثم النقاط الحرجة س كج. 4. أوجد قيم الدالة عند النقاط الحرجة F(س ك). 5. قارن قيم الوظائف F(أ), F(ب) و F(س ك)، حدد القيم الأكبر والأصغر للوظيفة وأعطي الإجابة: ه(F)= [Fاسم؛ Fنايب].

تم العثور على المشاكل التي تنطوي على استخدام هذه الخوارزمية في إصدارات امتحان الدولة الموحدة. على سبيل المثال، في عام 2008 تم اقتراح مثل هذه المهمة. عليك حلها منازل .

المهمة ج1.أوجد أكبر قيمة للدالة

F(س) = (0,5س + 1) 4 – 50(0,5س + 1) 2

في | س + 1| ≤ 3.

يتم طباعة شروط الواجب المنزلي لكل طالب .

العثور على مجموعة قيم دالة معقدة

مدرس. الجزء الرئيسي من درسنا سيكون المسائل غير القياسية التي تحتوي على دوال معقدة، ومشتقاتها عبارة عن تعبيرات معقدة للغاية. والرسوم البيانية لهذه الوظائف غير معروفة لنا. لذلك، للحل، سنستخدم تعريف دالة معقدة، أي الاعتماد بين المتغيرات في ترتيب تداخلها في دالة معينة، وتقدير نطاق قيمها (فترة التغير في قيم). تم العثور على مشاكل من هذا النوع في الجزء الثاني من امتحان الدولة الموحدة. دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة.

التمرين 1.للوظائف ذ = F(س) و ذ = ز(س) كتابة وظيفة معقدة ذ = F(ز(س)) وابحث عن مجموعة القيم الخاصة بها:

أ) F(س) = –س 2 + 2س + 3, ز(س) = خطيئة س;
ب) F(س) = –س 2 + 2س + 3, ز(س) = سجل 7 س;
الخامس) ز(س) = س 2 + 1;
ز)

حل.أ) الوظيفة المعقدة لها الشكل: ذ= -الخطيئة 2 س+ 2خطيئة س + 3.

تقديم حجة وسيطة ر، يمكننا كتابة هذه الدالة هكذا:

ذ= –ر 2 + 2ر+ 3، حيث ر= خطيئة س.

في الوظيفة الداخلية ر= خطيئة ستأخذ الوسيطة أي قيم، ومجموعة قيمها هي المقطع [-1؛ 1].

وهكذا بالنسبة للوظيفة الخارجية ذ = –ر 2 +2ر+3 اكتشفنا الفاصل الزمني لتغيير قيم وسيطته ر: ر[-1؛ 1]. دعونا نلقي نظرة على الرسم البياني للوظيفة ذ = –ر 2 +2ر + 3.

نلاحظ أن الدالة التربيعية عند ر[-1؛ 1] يأخذ القيم الصغرى والأكبر في طرفيه: ذالاسم = ذ(–1) = 0 و ذنايب = ذ(1) = 4. وبما أن هذه الدالة متصلة على الفترة [–1; 1] فيقبل جميع القيم بينهما.

إجابة: ذ .

ب) يقودنا تركيب هذه الدوال إلى دالة معقدة يمكن تمثيلها بعد إدخال وسيط وسيط على النحو التالي:

ذ= –ر 2 + 2ر+ 3، حيث ر= سجل 7 س,

وظيفة ر= سجل 7 س

س (0; +∞ ), ر (–∞ ; +∞ ).

وظيفة ذ = –ر 2 + 2ر+ 3 (انظر الرسم البياني) وسيطة رتأخذ أي قيم، والدالة التربيعية نفسها تأخذ جميع القيم بما لا يزيد عن 4.

إجابة: ذ (–∞ ; 4].

ج) الوظيفة المعقدة لها الشكل التالي:

بتقديم وسيطة وسيطة، نحصل على:

أين ر = س 2 + 1.

منذ للوظيفة الداخلية س ر ، أ ر .

إجابة: ذ (0; 3].

د) تكوين هاتين الوظيفتين يعطينا وظيفة معقدة

والتي يمكن كتابتها ك

لاحظ أن

اذن متى

أين ك ز , ر [–1; 0) (0; 1].

من خلال رسم رسم بياني للوظيفة ونحن نرى ذلك مع هذه القيم ر

ذ(–∞ ; –4] ج ;

ب) في جميع أنحاء منطقة التعريف بأكملها.

حل.أولا، نقوم بفحص هذه الوظيفة للرتابة. وظيفة ر= arcctg س- المستمر والتناقص بنسبة ر ومجموعة قيمها (0؛ π). وظيفة ذ= سجل 5 ريتم تعريفه على الفترة (0؛ π)، وهو مستمر ويزيد عليه. هذا يعني أن هذه الوظيفة المعقدة تتناقص على المجموعة ر . وهي، كتركيبة من وظيفتين متصلتين، ستكون مستمرة ر .

دعونا نحل المشكلة "أ".

بما أن الدالة متصلة على خط الأعداد بأكمله، فهي متصلة على أي جزء منه، وعلى وجه الخصوص، على قطعة معينة. ثم على هذه القطعة لها القيم الصغرى والأكبر وتأخذ كل القيم بينهما:

F(4) = سجل 5 arcctg 4.

أي من القيم الناتجة أكبر؟ لماذا؟ وماذا ستكون مجموعة القيم؟

إجابة:

دعونا نحل المشكلة "ب".

إجابة: في(–∞ ؛ سجل 5 π) على كامل منطقة التعريف.

مشكلة في المعلمة

الآن دعونا نحاول إنشاء وحل معادلة بسيطة بمعلمة النموذج F(س) = أ، أين F(س) - نفس الوظيفة كما في المهمة 4.

المهمة 5.تحديد عدد جذور المعادلة سجل 5 (arcctg س) = ألكل قيمة المعلمة أ.

حل.كما أظهرنا بالفعل في المهمة 4، الوظيفة في= سجل 5(arcctg س) - يتناقص ويستمر ر ويأخذ قيمًا أقل من السجل 5 π. هذه المعلومات كافية لإعطاء إجابة.

إجابة:لو أ < log 5 π, то уравнение имеет единственный корень;

لو أ≥ سجل 5 π، فلا توجد جذور.

مدرس. نظرنا اليوم إلى المشكلات المتعلقة بإيجاد مجموعة قيم الدالة. وعلى طول هذا المسار، اكتشفنا طريقة جديدة لحل المعادلات والمتباينات - طريقة التقدير، لذلك أصبح العثور على مجموعة قيم الدالة وسيلة لحل المشكلات ذات المستوى الأعلى. ومن خلال القيام بذلك، رأينا كيف يتم إنشاء مثل هذه المشكلات وكيف أن خصائص رتابة الوظيفة تسهل حلها.

وأود أن أتمنى أن يكون المنطق الذي ربط المهام التي تمت مناقشتها اليوم قد أذهلكم أو على الأقل فاجأكم. لا يمكن أن يكون الأمر خلاف ذلك: التسلق إلى قمة جديدة لا يترك أحداً غير مبال! نحن نلاحظ ونقدر اللوحات الجميلة والمنحوتات وما إلى ذلك. لكن للرياضيات أيضًا جمالها الخاص والجذاب والساحر - جمال المنطق. يقول علماء الرياضيات أن الحل الجميل عادة ما يكون حلا صحيحا، وهذه ليست مجرد عبارة. والآن عليك أن تجد مثل هذه الحلول بنفسك، وقد أشرنا إلى أحد الطرق لها اليوم. كل التوفيق لك! وتذكر: من يمشي سيتقن الطريق!

في كثير من الأحيان، كجزء من حل المشكلات، يتعين علينا البحث عن العديد من قيم الوظيفة في مجال التعريف أو المقطع. على سبيل المثال، يجب القيام بذلك عند حل أنواع مختلفة من المتباينات، وتقييم التعبيرات، وما إلى ذلك.

في هذه المادة، سنخبرك ما هو نطاق قيم الوظيفة، ونقدم الطرق الرئيسية التي يمكن من خلالها حسابها، ونحلل المشكلات بدرجات متفاوتة من التعقيد. وللتوضيح، تم توضيح الأحكام الفردية بالرسوم البيانية. بعد قراءة هذه المقالة، سوف تحصل على فهم شامل لنطاق الوظيفة.

لنبدأ بالتعاريف الأساسية.

التعريف 1

مجموعة قيم الدالة y = f (x) في فترة معينة x هي مجموعة كل القيم التي تأخذها هذه الدالة عند التكرار على كل القيم x ∈ X.

التعريف 2

نطاق قيم الدالة y = f (x) هو مجموعة جميع قيمها التي يمكن أن تأخذها عند البحث في قيم x من النطاق x ∈ (f).

يُشار عادةً إلى نطاق قيم دالة معينة بالرمز E (f).

يرجى ملاحظة أن مفهوم مجموعة قيم الدالة لا يتطابق دائمًا مع نطاق قيمها. ستكون هذه المفاهيم متكافئة فقط إذا كان الفاصل الزمني لقيم x عند العثور على مجموعة من القيم يتزامن مع مجال تعريف الوظيفة.

ومن المهم أيضًا التمييز بين نطاق القيم ومدى القيم المقبولة للمتغير x للتعبير الموجود على الجانب الأيمن y = f (x). سيكون نطاق القيم المسموح بها x للتعبير f (x) هو مجال تعريف هذه الوظيفة.

وفيما يلي رسم توضيحي يوضح بعض الأمثلة. الخطوط الزرقاء عبارة عن رسوم بيانية وظيفية، والخطوط الحمراء عبارة عن خطوط مقاربة، والنقاط الحمراء والخطوط الموجودة على المحور الإحداثي هي نطاقات وظيفية.

من الواضح أنه يمكن الحصول على نطاق قيم الدالة من خلال إسقاط الرسم البياني للدالة على المحور O y. علاوة على ذلك، يمكن أن يمثل إما رقمًا واحدًا أو مجموعة من الأرقام، أو قطعة، أو فاصلًا، أو شعاعًا مفتوحًا، أو اتحادًا للفواصل الرقمية، وما إلى ذلك.

دعونا نلقي نظرة على الطرق الرئيسية للعثور على نطاق قيم الوظيفة.

لنبدأ بتحديد مجموعة قيم الدالة المستمرة y = f (x) على مقطع معين يُشار إليه بـ [ a ; ب ] . نحن نعلم أن الدالة المستمرة على قطعة معينة تصل إلى الحد الأدنى والحد الأقصى عليها، أي أكبر m a x x ∈ a ; b f (x) وأصغر قيمة m i n x ∈ a ; ب و (خ) . هذا يعني أننا حصلنا على القطعة المستقيمة m i n x ∈ a ; فرنك بلجيكي (خ) ؛ م أ س س ∈ أ ; b f (x) ، والذي سيحتوي على مجموعات قيم الدالة الأصلية. ثم كل ما يتعين علينا القيام به هو العثور على الحد الأدنى والحد الأقصى للنقاط المشار إليها في هذا الجزء.

لنأخذ مسألة نحتاج فيها إلى تحديد نطاق قيم قوس الجيب.

مثال 1

حالة:أوجد نطاق القيم y = a r c sin x .

حل

في الحالة العامة، يقع مجال تعريف قوس الجيب على المقطع [ - 1 ; 1] . نحن بحاجة إلى تحديد أكبر وأصغر قيمة للوظيفة المحددة عليها.

y " = a r c sin x " = 1 1 - x 2

نحن نعلم أن مشتق الدالة سيكون موجبًا لجميع قيم x الموجودة في الفترة [ - 1 ; 1 ]، أي أنه في جميع أنحاء مجال التعريف بأكمله، ستزداد وظيفة arcsine. هذا يعني أنها ستأخذ أصغر قيمة عندما تكون x مساوية لـ -1، والقيمة الأكبر عندما تكون x مساوية لـ 1.

م أنا ن س ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - π 2 m a x x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin 1 = π 2

وبالتالي فإن نطاق قيم دالة arcsine سيكون مساوياً لـ E (a r c sin x) = - π 2; بي 2.

إجابة: E (a r c sin x) = - π 2 ; بي 2

مثال 2

حالة:احسب نطاق القيم y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 في الفترة المحددة [ 1 ; 4 ] .

حل

كل ما علينا فعله هو حساب القيمة الأكبر والأصغر للدالة في فترة زمنية معينة.

لتحديد النقاط القصوى يجب إجراء الحسابات التالية:

y " = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 " = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1; 4 و l و 4 x 2 - 15 x + 12 = 0 D = - 15 2 - 4 4 12 = 33 x 2 = 15 - 33 8 ≈ 1. 16 ∈ 1 ; 4 ؛ س 3 = 15 + 33 8 ≈ 2 . 59 ∈ 1 ; 4

الآن لنجد قيم الدالة المعطاة في نهايات المقطع والنقاط x 2 = 15 - 33 8; × 3 = 15 + 33 8:

ص (1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 ص 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 512 ≈ 2. 08 ص 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 · 15 + 33 8 3 + 6 · 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 ص (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32

وهذا يعني أنه سيتم تحديد مجموعة قيم الوظائف من خلال المقطع 117 - 165 33 512؛ 32.

إجابة: 117 - 165 33 512 ; 32 .

دعنا ننتقل إلى إيجاد مجموعة قيم الدالة المستمرة y = f (x) في الفترات (a ; b) وa ; + ∞ , - ∞ ; ب , - ∞ ; + ∞ .

لنبدأ بتحديد أكبر وأصغر النقاط، بالإضافة إلى فترات الزيادة والتناقص في فترة معينة. بعد ذلك، سنحتاج إلى حساب النهايات أحادية الجانب عند نهايات الفترة و/أو النهايات عند ما لا نهاية. بمعنى آخر، نحن بحاجة إلى تحديد سلوك الوظيفة في ظل ظروف معينة. لدينا جميع البيانات اللازمة لذلك.

مثال 3

حالة:احسب مدى الدالة y = 1 x 2 - 4 على الفترة (- 2 ; 2) .

حل

تحديد أكبر وأصغر قيمة للدالة في مقطع معين

y " = 1 x 2 - 4 " = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2)

لقد حصلنا على قيمة قصوى تساوي 0، لأنه عند هذه النقطة تتغير إشارة الدالة ويبدأ الرسم البياني في الانخفاض. انظر الرسم التوضيحي:

أي أن y (0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 ستكون القيمة القصوى للدالة.

الآن دعونا نحدد سلوك الدالة لـ x التي تميل إلى - 2 على الجانب الأيمن و+2 على الجانب الأيسر. بمعنى آخر نجد الحدود من جانب واحد:

الحد x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = الحد x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 · 1 + 0 = - ∞ الحد x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = الحد x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = - ∞

اتضح أن قيم الدالة ستزداد من ناقص اللانهاية إلى - 1 4 عندما يتغير الوسيط من - 2 إلى 0. وعندما يتغير الوسيط من 0 إلى 2، تتناقص قيم الدالة نحو سالب ما لا نهاية. وبالتالي، فإن مجموعة قيم دالة معينة في الفترة التي نحتاجها ستكون (- ∞ ; - 1 4 ] .

إجابة: (- ∞ ; - 1 4 ] .

مثال 4

حالة: الإشارة إلى مجموعة القيم y = t g x في فترة زمنية معينة - π 2; بي 2.

حل

نحن نعلم أنه في الحالة العامة، يكون مشتق المماس هو - π 2؛ π 2 ستكون موجبة، أي أن الدالة ستزداد. الآن دعونا نحدد كيف تتصرف الدالة ضمن الحدود المعطاة:

lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞

حصلنا على زيادة في قيم الدالة من سالب ما لا نهاية إلى زائد ما لا نهاية عندما يتغير الوسيط من - π 2 إلى π 2، ويمكننا القول أن مجموعة الحلول لهذه الدالة ستكون مجموعة جميع الأعداد الحقيقية .

إجابة: - ∞ ; + ∞ .

مثال 5

حالة:حدد مدى دالة اللوغاريتم الطبيعي y = ln x.

حل

نحن نعلم أن هذه الوظيفة محددة للقيم الموجبة للوسيطة D (y) = 0؛ + ∞ . المشتقة في فترة معينة ستكون موجبة: y " = ln x " = 1 x . وهذا يعني أن الدالة تزيد عليه. بعد ذلك نحتاج إلى تحديد حد من جانب واحد للحالة عندما تميل الوسيطة إلى 0 (على الجانب الأيمن) وعندما تذهب x إلى ما لا نهاية:

lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞

وجدنا أن قيم الدالة ستزداد من سالب ما لا نهاية إلى موجب ما لا نهاية حيث تتغير قيم x من صفر إلى موجب ما لا نهاية. وهذا يعني أن مجموعة جميع الأعداد الحقيقية هي نطاق قيم دالة اللوغاريتم الطبيعي.

إجابة:مجموعة جميع الأعداد الحقيقية هي نطاق قيم دالة اللوغاريتم الطبيعي.

مثال 6

حالة:أوجد مدى الدالة y = 9 x 2 + 1 .

حل

يتم تعريف هذه الوظيفة بشرط أن يكون x رقمًا حقيقيًا. دعونا نحسب القيم الأكبر والأصغر للدالة، وكذلك فترات الزيادة والنقصان:

y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≥ 0

ونتيجة لذلك، قررنا أن هذه الدالة ستنخفض إذا كانت x ≥ 0؛ زيادة إذا س ≥ 0 ; لها نقطة عظمى y (0) = 9 0 2 + 1 = 9 بمتغير يساوي 0.

دعونا نرى كيف تتصرف الدالة عند اللانهاية:

ليم x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 ليم x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0

ويتضح من السجل أن قيم الدالة في هذه الحالة ستقترب بشكل مقارب من 0.

لتلخيص ذلك: عندما تتغير الوسيطة من ناقص اللانهاية إلى الصفر، تزيد قيم الدالة من 0 إلى 9. عندما تتغير قيم الوسيطة من 0 إلى زائد اللانهاية، ستنخفض قيم الدالة المقابلة من 9 إلى 0. وقد بينا ذلك في الشكل:

يوضح أن نطاق قيم الدالة سيكون الفاصل الزمني E (y) = (0 ; 9 ]

إجابة:ه (ص) = (0 ; 9 ]

إذا أردنا تحديد مجموعة قيم الدالة y = f (x) على الفترات [ a ; b) , (a ; b ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; b ] , فسنحتاج إلى إجراء نفس الدراسات بالضبط. لن نحلل هذه الحالات في الوقت الحالي: سنواجهها لاحقًا مشاكل.

ولكن ماذا لو كان مجال تعريف دالة معينة عبارة عن اتحاد لعدة فترات؟ ثم نحتاج إلى حساب مجموعات القيم في كل فترة من هذه الفترات ودمجها.

مثال 7

حالة:تحديد نطاق القيم الذي سيكون y = x x - 2 .

حل

بما أنه لا ينبغي تحويل مقام الدالة إلى 0، فإن D (y) = - ∞; 2 ∪ 2 ; + ∞ .

لنبدأ بتحديد مجموعة قيم الوظائف في الجزء الأول - ∞؛ 2، وهو شعاع مفتوح. ونحن نعلم أن الدالة الموجودة عليها ستنخفض، أي أن مشتقة هذه الدالة ستكون سالبة.

lim x → 2 - 0 x x - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ x x - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 س - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0

بعد ذلك، في الحالات التي تتغير فيها الوسيطة نحو ناقص اللانهاية، ستقترب قيم الدالة بشكل مقارب من 1. إذا تغيرت قيم x من ناقص ما لا نهاية إلى 2، فإن القيم ستنخفض من 1 إلى ناقص ما لا نهاية، أي. ستأخذ الوظيفة في هذا المقطع قيمًا من الفاصل الزمني - ∞؛ 1 . نستبعد الوحدة من اعتباراتنا، إذ أن قيم الدالة لا تصل إليها، بل تقترب منها فقط بشكل تقاربي.

للشعاع المفتوح 2؛ + ∞ نقوم بنفس الإجراءات تمامًا. الوظيفة الموجودة عليها تتناقص أيضًا:

ليم x → 2 + 0 x x - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x x - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 س - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0

يتم تحديد قيم الوظيفة في مقطع معين بواسطة المجموعة 1؛ + ∞ . وهذا يعني أن نطاق القيم التي نحتاجها للدالة المحددة في الشرط سيكون اتحاد المجموعات - ∞ ؛ 1 و 1؛ + ∞ .

إجابة:ه (ص) = - ∞ ؛ 1 ∪ 1 ; + ∞ .

ويمكن ملاحظة ذلك على الرسم البياني:

حالة خاصة هي الوظائف الدورية. يتزامن نطاق قيمها مع مجموعة القيم في الفاصل الزمني الذي يتوافق مع فترة هذه الوظيفة.

مثال 8

حالة:تحديد نطاق قيم الجيب y = sin x.

حل

جيب الجيب هو دالة دورية ودورتها هي 2 باي. خذ القطعة 0؛ 2 π وانظر ماذا ستكون مجموعة القيم عليه.

y " = (sin x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z

ضمن 0 ; 2 π سيكون للدالة نقاط قصوى π 2 و x = 3 π 2 . لنحسب ما ستكون عليه قيم الدالة، وكذلك على حدود المقطع، ثم نختار القيمة الأكبر والأصغر.

y (0) = sin 0 = 0 y π 2 = sin π 2 = 1 y 3 π 2 = sin 3 π 2 = - 1 y (2 π) = sin (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π خطيئة x = خطيئة 3 π 2 = - 1, الحد الأقصى x ∈ 0; 2 π خطيئة x = خطيئة π 2 = 1

إجابة:ه (الخطيئة س) = - 1 ; 1 .

إذا كنت بحاجة إلى معرفة نطاقات الدوال مثل القوة، الأسية، اللوغاريتمية، المثلثية، المثلثية العكسية، فننصحك بإعادة قراءة المقال الخاص بالدوال الأولية الأساسية. النظرية التي نقدمها هنا تسمح لنا بالتحقق من القيم المذكورة هناك. يُنصح بتعلمها لأنها مطلوبة غالبًا عند حل المشكلات. إذا كنت تعرف نطاقات الدوال الأساسية، فيمكنك بسهولة العثور على نطاقات الدوال التي تم الحصول عليها من الدوال الأولية باستخدام التحويل الهندسي.

مثال 9

حالة:حدد مدى القيم y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 .

حل

نحن نعلم أن الجزء من 0 إلى pi هو نطاق جيب التمام القوسي. بمعنى آخر، E (a r c cos x) = 0؛ π أو 0 ≥ a r c cos x ≥ π . يمكننا الحصول على الدالة a r c cos x 3 + 5 π 7 من قوس جيب التمام عن طريق تحريكها وتمديدها على طول المحور O x، لكن مثل هذه التحولات لن تعطينا أي شيء. هذا يعني 0 ≥ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≥ π .

يمكن الحصول على الدالة 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 من قوس جيب التمام a r c cos x 3 + 5 π 7 عن طريق التمديد على طول المحور الإحداثي، أي. 0 ≥ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 ≥ 3 π . التحول النهائي هو التحول على طول المحور O بمقدار 4 قيم. ونتيجة لذلك نحصل على عدم المساواة المزدوجة:

0 - 4 ≥ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≥ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≥ 3 arccos x 3 + 5 π 7 - 4 ≥ 3 π - 4

وجدنا أن نطاق القيم التي نحتاجها سيكون مساوياً لـ E (y) = - 4؛ 3 ط - 4 .

إجابة:ه (ص) = - 4 ; 3 ط - 4 .

سنكتب مثالا آخر دون شرح، لأنه إنه مشابه تمامًا للسابق.

مثال 10

حالة:احسب مدى الدالة y = 2 2 x - 1 + 3.

حل

لنعيد كتابة الدالة المحددة في الشرط بالشكل y = 2 · (2 ​​x - 1) - 1 2 + 3. بالنسبة لوظيفة الطاقة y = x - 1 2 سيتم تحديد نطاق القيم على الفاصل الزمني 0؛ + ∞، أي س - 1 2 > 0 . في هذه الحالة:

2 س - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 س - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 س - 1) - 1 2 + 3 > 3

إذن E(y) = 3; + ∞ .

إجابة:ه(ص) = 3؛ + ∞ .

الآن دعونا نلقي نظرة على كيفية العثور على نطاق قيم دالة غير متصلة. للقيام بذلك، نحتاج إلى تقسيم المنطقة بأكملها إلى فترات وإيجاد مجموعات من القيم في كل منها، ثم دمج ما نحصل عليه. لفهم ذلك بشكل أفضل، ننصحك بمراجعة الأنواع الرئيسية لنقاط توقف الوظائف.

مثال 11

حالة:بالنظر إلى الدالة y = 2 sin x 2 - 4 , x ≥ - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3. احسب نطاق قيمه.

حل

يتم تعريف هذه الوظيفة لجميع قيم x. دعونا نحللها من أجل الاستمرارية مع قيم الوسيطة التي تساوي - 3 و 3:

ليم x → - 3 - 0 و (x) = ليم x → - 3 2 خطيئة x 2 - 4 = 2 خطيئة - 3 2 - 4 = - 2 خطيئة 3 2 - 4 ليم x → - 3 + 0 و (x) = ليم س → - 3 (1) = - 1 ⇒ ليم س → - 3 - 0 و (س) ≠ ليم س → - 3 + 0 و (س)

لدينا انقطاع غير قابل للإزالة من النوع الأول عندما تكون قيمة الوسيطة -3. عندما نقترب منها، تميل قيم الدالة إلى - 2 sin 3 2 - 4 ، وعندما تميل x إلى - 3 على الجانب الأيمن، فإن القيم ستميل إلى - 1 .

lim x → 3 - 0 f (x) = lim x → 3 - 0 (- 1) = 1 lim x → 3 + 0 f (x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞

لدينا انقطاع غير قابل للإزالة من النوع الثاني عند النقطة 3. عندما تميل الدالة إليها، تقترب قيمها - 1، عندما تميل إلى نفس النقطة على اليمين - إلى ناقص ما لا نهاية.

وهذا يعني أن مجال تعريف هذه الدالة بأكمله مقسم إلى ثلاث فترات (- ∞ ; - 3 ], (- 3 ; 3 ], (3 ; + ∞).

في أولها، حصلنا على الدالة y = 2 sin x 2 - 4. بما أن - 1 ≥ الخطيئة x ≥ 1، نحصل على:

1 ≥ الخطيئة × 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2

هذا يعني أنه في فترة زمنية معينة (- ∞ ; - 3 ] تكون مجموعة قيم الدالة [ - 6 ; 2 ] .

في نصف الفترة (- 3; 3 ]، تكون النتيجة دالة ثابتة y = - 1. وبالتالي، سيتم تخفيض مجموعة قيمها بأكملها في هذه الحالة إلى رقم واحد - 1.

في الفترة الثانية 3 ; + ∞ لدينا الدالة y = 1 x - 3 . وهي متناقصة لأن y " = - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:

ليم x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ ليم x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0

هذا يعني أن مجموعة قيم الدالة الأصلية لـ x > 3 هي المجموعة 0؛ + ∞ . الآن دعونا نجمع النتائج: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; + ∞ .

إجابة:ه (ص) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; + ∞ .

الحل موضح في الرسم البياني:

مثال 12

الحالة: توجد دالة y = x 2 - 3 e x. تحديد مجموعة قيمها.

حل

يتم تعريفه لجميع قيم الوسيطات التي هي أرقام حقيقية. دعونا نحدد الفترات التي ستزيد فيها هذه الوظيفة وفي أيها ستنخفض:

y " = x 2 - 3 e x " = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x

نحن نعلم أن المشتق سيصبح 0 إذا كانت x = - 1 و x = 3. لنضع هاتين النقطتين على المحور ونكتشف الإشارات التي سيحملها المشتق على الفترات الناتجة.

ستنخفض الدالة بمقدار (- ∞ ; - 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞) وتزيد بمقدار [ - 1 ; 3]. الحد الأدنى سيكون - 1، والحد الأقصى - 3.

الآن لنجد قيم الدالة المقابلة:

ص (- 1) = - 1 2 - 3 ه - 1 = - 2 ه y (3) = 3 2 - 3 ه 3 = 6 ه - 3

دعونا نلقي نظرة على سلوك الوظيفة عند اللانهاية:

ليم x → - ∞ x 2 - 3 ه x = - ∞ 2 - 3 ه - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ ليم x → + ∞ x 2 - 3 ه x = + ∞ 2 - 3 ه + ∞ = + ∞ + ∞ = = ليم x → + ∞ x 2 - 3 " e x " = ليم x → + ∞ 2 x e x = + ∞ + ∞ = = ليم x → + ∞ 2 x " (e x) " = 2 ليم x → + ∞ 1 ه س = 2 1 + ∞ = + 0

تم استخدام قاعدة لوبيتال لحساب النهاية الثانية. دعونا نصور التقدم المحرز في حلنا على الرسم البياني.

يوضح أن قيم الدالة ستنخفض من زائد اللانهاية إلى - 2 e عندما تتغير الوسيطة من ناقص اللانهاية إلى - 1. إذا تغير من 3 إلى زائد ما لا نهاية، فإن القيم ستنخفض من 6 ه - 3 إلى 0، ولكن لن يتم الوصول إلى 0.

وبالتالي، E(y) = [ - 2 e ; + ∞) .

إجابة: E(y) = [ - 2 e ; + ∞)

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

الدالة هي واحدة من أهم المفاهيم الرياضية.

التعريف: إذا كان كل رقم من مجموعة معينة x مرتبطًا برقم واحد y، فيقولون أن الدالة y(x) محددة في هذه المجموعة. في هذه الحالة، يسمى x المتغير المستقل أو الوسيطة، ويسمى y المتغير التابع أو قيمة دالة أو مجرد دالة.

يقال أيضًا أن المتغير y هو دالة للمتغير x.

بعد الإشارة إلى تطابق بحرف، على سبيل المثال f، فمن الملائم الكتابة: y=f (x)، أي يتم الحصول على القيمة y من الوسيطة x باستخدام المطابقة f. (اقرأ: y يساوي f x.) يشير الرمز f (x) إلى قيمة الدالة المقابلة لقيمة الوسيطة التي تساوي x.

مثال 1 دع الدالة تعطى بالصيغة y=2x 2 –6. ثم يمكننا أن نكتب أن f(x)=2x 2 –6. لنجد قيم الدالة لقيم x تساوي، على سبيل المثال، 1؛ 2.5؛-3؛ أي أننا نجد f(1)، f(2.5)، f(–3):

و(1)=2 1 2 –6=–4;
و(2.5)=2 2.5 2 –6=6.5;
و(–3)=2 (–3) 2 –6= 12.

لاحظ أنه في تدوين النموذج y=f (x) يتم استخدام أحرف أخرى بدلاً من f: g، وما إلى ذلك.

التعريف: مجال الدالة هو كل قيم x التي توجد لها الدالة.

إذا تم تحديد دالة بواسطة صيغة ولم يتم تحديد مجال تعريفها، فإن مجال تعريف الدالة يعتبر يتكون من جميع قيم الوسيطة التي تكون الصيغة منطقية لها.

بمعنى آخر، مجال الدالة المعطاة بواسطة الصيغة هو جميع قيم الوسيطة باستثناء تلك التي تؤدي إلى إجراءات لا يمكننا تنفيذها. في الوقت الحالي، لا نعرف سوى إجراءين من هذا القبيل. لا يمكننا القسمة على صفر ولا يمكننا أخذ الجذر التربيعي لعدد سالب.

التعريف: جميع القيم التي يأخذها المتغير التابع تشكل نطاق الدالة.

يعتمد مجال تعريف الوظيفة التي تصف العملية الحقيقية على الظروف المحددة لحدوثها. على سبيل المثال، يتم التعبير عن اعتماد الطول l لقضيب حديدي على درجة حرارة التسخين t بالصيغة، حيث l 0 هو الطول الأولي للقضيب، وهو معامل التمدد الخطي. هذه الصيغة منطقية لأي قيم t. ومع ذلك، فإن مجال تعريف الدالة l=g(t) هو فاصل زمني من عدة عشرات من الدرجات، والذي يكون قانون التوسع الخطي صالحًا له.

مثال.

حدد نطاق الوظيفة y = arcsinx.

حل.

مجال تعريف قوس الجيب هو القطعة [-1; 1] . دعونا نجد أكبر وأصغر قيمة للدالة في هذا القطاع.

المشتق إيجابي للجميع سمن الفاصل (-1; 1) أي أن دالة arcsine تزيد على نطاق التعريف بأكمله. ولذلك، فإنه يأخذ أصغر قيمة عندما س = -1، والأعظم في س = 1.

لقد حصلنا على نطاق وظيفة أركسين .

أوجد مجموعة قيم الدالة على الجزء .

حل.

دعونا نجد أكبر وأصغر قيمة للدالة في قطعة معينة.

دعونا نحدد النقاط القصوى التي تنتمي إلى هذا الجزء :