سنتناول في هذا الدرس عمليتين أخريين باستخدام المتجهات: ناقلات المنتج من ناقلاتو منتج مختلط من المتجهات (رابط فوري لمن يحتاجه). لا بأس، أحيانًا يحدث ذلك من أجل السعادة الكاملة، بالإضافة إلى ذلك المنتج العددي للمتجهات، مطلوب المزيد والمزيد. هذا هو إدمان المتجهات. قد يبدو أننا ندخل في غابة الهندسة التحليلية. هذا خطأ. في هذا القسم من الرياضيات العليا، يوجد القليل من الخشب عمومًا، ربما باستثناء ما يكفي لبينوكيو. في الواقع، المادة شائعة جدًا وبسيطة - ولا تكاد تكون أكثر تعقيدًا من نفس المادة المنتج العددي، سيكون هناك عدد أقل من المهام النموذجية. الشيء الرئيسي في الهندسة التحليلية، كما سيقتنع الكثيرون أو اقتنعوا بالفعل، هو عدم ارتكاب الأخطاء في الحسابات. كرر مثل التعويذة وستكون سعيدًا =)

إذا كانت المتجهات تتألق في مكان ما بعيدًا، مثل البرق في الأفق، فلا يهم، ابدأ بالدرس ناقلات للدمىلاستعادة أو إعادة اكتساب المعرفة الأساسية حول المتجهات. يمكن للقراء الأكثر استعدادًا التعرف على المعلومات بشكل انتقائي، وقد حاولت جمع المجموعة الأكثر اكتمالًا من الأمثلة التي غالبًا ما توجد في العمل العملي

ما الذي سيجعلك سعيدا على الفور؟ عندما كنت صغيرًا، كنت قادرًا على التوفيق بين كرتين وحتى ثلاث كرات. لقد سار الأمر بشكل جيد. الآن لن تضطر إلى التوفيق على الإطلاق، لأننا سننظر في ذلك المتجهات المكانية فقط، وسيتم استبعاد المتجهات المسطحة ذات الإحداثيتين. لماذا؟ هذه هي الطريقة التي ولدت بها هذه الإجراءات - يتم تعريف المتجه والمنتج المختلط للمتجهات ويعملان في مساحة ثلاثية الأبعاد. إنه بالفعل أسهل!

تتضمن هذه العملية، تمامًا مثل المنتج العددي، اثنين من المتجهات. لتكن هذه الحروف خالدة.

الفعل نفسه يُشار إليه بـبالطريقة الآتية: . توجد خيارات أخرى، لكنني معتاد على الإشارة إلى حاصل ضرب المتجهات للمتجهات بهذه الطريقة، بين قوسين مربعين مع علامة علامة متقاطعة.

وعلى الفور سؤال: إذا في المنتج العددي للمتجهاتهناك متجهان متضمنان، وهنا يتم ضرب متجهين أيضًا ماهو الفرق؟ الفرق الواضح هو أولاً وقبل كل شيء في النتيجة:

نتيجة المنتج العددي للمتجهات هي NUMBER:

نتيجة الضرب الاتجاهي للمتجهات هي VECTOR: أي أننا نضرب المتجهات ونحصل على متجه مرة أخرى. نادي مغلق . في الواقع، هذا هو المكان الذي يأتي منه اسم العملية. في الأدبيات التعليمية المختلفة، قد تختلف التعيينات أيضا، سأستخدم الرسالة.

تعريف المنتج المتقاطع

أولا سيكون هناك تعريف بالصورة، ثم التعليقات.

تعريف: المنتج المتجهات غير خطيةثلاثة أبعاد، اتخذت بهذا الترتيب، يسمى المتجه، طولوهو رقميا يساوي مساحة متوازي الأضلاع، مبني على هذه النواقل؛ المتجه متعامد على المتجهات، ويتم توجيهه بحيث يكون للأساس اتجاه صحيح:

دعونا نحلل التعريف، هناك الكثير من الأشياء المثيرة للاهتمام هنا!

لذا يمكن تسليط الضوء على النقاط الهامة التالية:

1) المتجهات الأصلية، المشار إليها بالأسهم الحمراء، حسب التعريف لا خطية. سيكون من المناسب النظر في حالة المتجهات الخطية بعد ذلك بقليل.

2) يتم أخذ المتجهات بترتيب محدد بدقة: – "أ" مضروبة في "كن"، وليس "يكون" مع "أ". نتيجة مضاعفة المتجهاتهو VECTOR، وهو موضح باللون الأزرق. إذا تم ضرب المتجهات بترتيب عكسي، نحصل على متجه متساوي في الطول ومعاكس في الاتجاه (لون التوت). أي أن المساواة صحيحة .

3) الآن دعونا نتعرف على المعنى الهندسي للمنتج المتجه. هذه نقطة مهمة جدا! طول المتجه الأزرق (وبالتالي المتجه القرمزي) يساوي عدديًا مساحة متوازي الأضلاع المبني على المتجهات. في الشكل، متوازي الأضلاع هذا مظلل باللون الأسود.

ملحوظة : الرسم تخطيطي، وبطبيعة الحال، فإن الطول الاسمي للمنتج المتجه لا يساوي مساحة متوازي الأضلاع.

لنتذكر إحدى الصيغ الهندسية: مساحة متوازي الأضلاع تساوي حاصل ضرب الجوانب المجاورة وجيب الزاوية بينهما. لذلك، بناءً على ما ورد أعلاه، تكون صيغة حساب طول المنتج المتجه صالحة:

أؤكد أن الصيغة تدور حول طول المتجه، وليس حول المتجه نفسه. ما هو المعنى العملي؟ والمعنى هو أنه في مشاكل الهندسة التحليلية، غالبًا ما يتم العثور على مساحة متوازي الأضلاع من خلال مفهوم المنتج المتجه:

دعونا نحصل على الصيغة المهمة الثانية. قطري متوازي الأضلاع (الخط الأحمر المنقط) يقسمه إلى مثلثين متساويين. لذلك، يمكن إيجاد مساحة المثلث المبني على المتجهات (التظليل الأحمر) باستخدام الصيغة:

4) هناك حقيقة لا تقل أهمية وهي أن المتجه متعامد مع المتجهات، أي . وبطبيعة الحال، فإن المتجه ذو الاتجاه المعاكس (سهم التوت) متعامد أيضًا مع المتجهات الأصلية.

5) يتم توجيه المتجه بحيث أساسلقد يمينتوجيه. في الدرس حول الانتقال إلى أساس جديدلقد تحدثت بتفاصيل كافية عنه اتجاه الطائرةوالآن سنكتشف ما هو الاتجاه الفضائي. سأشرح على أصابعك اليد اليمنى. الجمع عقليا السبابةمع ناقلات و الاصبع الوسطىمع ناقلات. البنصر والإصبع الصغيراضغط عليه في راحة يدك. نتيجة ل إبهام- سوف يبحث المنتج المتجه عن الأعلى. هذا أساس موجه نحو اليمين (هذا هو الموجود في الشكل). الآن قم بتغيير المتجهات ( السبابة والأصابع الوسطى) في بعض الأماكن، نتيجة لذلك، سوف يستدير الإبهام، وسوف ينظر المنتج المتجه إلى الأسفل بالفعل. وهذا أيضًا أساس موجه نحو اليمين. قد يكون لديك سؤال: ما هو الأساس الذي ترك التوجه؟ "تعيين" لنفس الأصابع اليد اليسرىالمتجهات، والحصول على الأساس الأيسر والاتجاه الأيسر للفضاء (في هذه الحالة، سيتم وضع الإبهام في اتجاه المتجه السفلي). بالمعنى المجازي، هذه القواعد "تلتف" أو توجه الفضاء في اتجاهات مختلفة. ولا ينبغي اعتبار هذا المفهوم شيئًا بعيد المنال أو مجردًا - على سبيل المثال، يتم تغيير اتجاه الفضاء بواسطة المرآة الأكثر عادية، وإذا قمت "بسحب الجسم المنعكس من الزجاج المنظر"، ففي الحالة العامة يكون ذلك لن يكون من الممكن دمجها مع "الأصل". بالمناسبة، ضع ثلاثة أصابع أمام المرآة وقم بتحليل الانعكاس ;-)

... كم هو جيد أنك تعرف الآن عنه موجهة لليمين واليسارقواعد، لأن تصريحات بعض المحاضرين عن تغيير التوجه مخيفة =)

المنتج الاتجاهي للمتجهات الخطية المتسامتة

تمت مناقشة التعريف بالتفصيل، ويبقى معرفة ما يحدث عندما تكون المتجهات على خط واحد. إذا كانت المتجهات على خط واحد، فيمكن وضعها على خط مستقيم واحد كما أن متوازي الأضلاع الخاص بنا "يطوي" أيضًا في خط مستقيم واحد. مساحة هذا، كما يقول علماء الرياضيات، منحطمتوازي الأضلاع يساوي الصفر. ويترتب على ذلك نفس الصيغة - جيب الزاوية صفر أو 180 درجة يساوي صفرًا، مما يعني أن المساحة تساوي صفرًا

وهكذا إذاً و . يرجى ملاحظة أن منتج المتجه نفسه يساوي المتجه الصفري، ولكن في الممارسة العملية غالبًا ما يتم إهمال هذا ويتم كتابته أنه يساوي أيضًا الصفر.

هناك حالة خاصة وهي الضرب الاتجاهي للمتجه مع نفسه:

باستخدام المنتج المتجه، يمكنك التحقق من العلاقة الخطية المتداخلة للمتجهات ثلاثية الأبعاد، وسنقوم أيضًا بتحليل هذه المشكلة، من بين أمور أخرى.

لحل الأمثلة العملية قد تحتاج الجدول المثلثيللعثور على قيم الجيوب منه.

حسنًا، فلنشعل النار:

مثال 1

أ) أوجد طول المنتج المتجه للمتجهات إذا

ب) أوجد مساحة متوازي الأضلاع المبني على المتجهات إذا

حل: لا، هذا ليس خطأ مطبعي، لقد تعمدت جعل البيانات الأولية في البنود هي نفسها. لأن تصميم الحلول سيكون مختلفاً!

أ) وفقا للحالة، تحتاج إلى العثور عليها طولالمتجه (المنتج المتقاطع). وفقا للصيغة المقابلة:

إجابة:

إذا سئلت عن الطول، فإننا في الإجابة نشير إلى البعد - الوحدات.

ب) وفقا للحالة، تحتاج إلى العثور عليها مربعمتوازي الأضلاع مبني على المتجهات. مساحة متوازي الأضلاع هذا تساوي عدديًا طول منتج المتجه:

إجابة:

مع ملاحظة أن الإجابة لا تتحدث عن المنتج المتجه إطلاقاً، فقد سئلنا عنه مساحة الشكلوبناء على ذلك، فإن البعد هو وحدات مربعة.

نحن ننظر دائمًا إلى ما نحتاج إلى العثور عليه وفقًا للحالة، وعلى هذا الأساس نقوم بصياغته واضحإجابة. قد يبدو الأمر وكأنه حرفية، ولكن هناك الكثير من الحرفيين بين المعلمين، والمهمة لديها فرصة جيدة للرجوع للمراجعة. على الرغم من أن هذا ليس مراوغة بعيدة المنال بشكل خاص - إذا كانت الإجابة غير صحيحة، فسيحصل المرء على انطباع بأن الشخص لا يفهم الأشياء البسيطة و/أو لم يفهم جوهر المهمة. يجب أن تظل هذه النقطة تحت السيطرة دائمًا عند حل أي مشكلة في الرياضيات العليا وفي المواد الأخرى أيضًا.

أين ذهب الحرف الكبير "en"؟ من حيث المبدأ، كان من الممكن إرفاقه بشكل إضافي بالحل، ولكن من أجل تقصير الإدخال، لم أفعل ذلك. أتمنى أن يفهم الجميع ذلك ويكون بمثابة تسمية لنفس الشيء.

مثال شائع لحل DIY:

مثال 2

أوجد مساحة المثلث المبني على المتجهات إذا

ترد صيغة العثور على مساحة المثلث من خلال المنتج المتجه في التعليقات على التعريف. الحل والجواب في نهاية الدرس .

في الممارسة العملية، المهمة شائعة جدًا حقًا، يمكن للمثلثات أن تعذبك بشكل عام.

لحل المشاكل الأخرى سنحتاج إلى:

خصائص المنتج المتجه للنواقل

لقد نظرنا بالفعل في بعض خصائص المنتج المتجه، ومع ذلك، سأقوم بإدراجها في هذه القائمة.

بالنسبة للمتجهات العشوائية والأرقام العشوائية، تكون الخصائص التالية صحيحة:

1) في مصادر المعلومات الأخرى، عادة لا يتم تسليط الضوء على هذا العنصر في الخصائص، ولكنه مهم جدًا من الناحية العملية. لذا فليكن.

2) – تمت مناقشة الخاصية أيضًا أعلاه، وأحيانًا يطلق عليها اسم مكافحة التبادل. وبعبارة أخرى، فإن ترتيب المتجهات مهم.

3) - النقابي أو ترابطيقوانين المنتجات ناقلات. يمكن نقل الثوابت بسهولة خارج المنتج المتجه. حقاً، ماذا عليهم أن يفعلوا هناك؟

4) – التوزيع أو التوزيعيةقوانين المنتجات ناقلات. لا توجد مشاكل في فتح الأقواس أيضًا.

للتوضيح، دعونا نلقي نظرة على مثال قصير:

مثال 3

اكتشف إذا

حل:يتطلب الشرط مرة أخرى إيجاد طول منتج المتجه. دعونا نرسم المنمنمة لدينا:

(1) وفقًا للقوانين الترابطية، فإننا نأخذ الثوابت خارج نطاق حاصل الضرب المتجه.

(2) ننقل الثابت خارج الوحدة، و"تأكل" الوحدة علامة الطرح. لا يمكن أن يكون الطول سالبًا.

(٣) والباقي واضح.

إجابة:

حان الوقت لإضافة المزيد من الخشب إلى النار:

مثال 4

احسب مساحة المثلث المبني على المتجهات إذا

حل: أوجد مساحة المثلث باستخدام الصيغة . المشكلة هنا هي أن المتجهين "tse" و"de" يتم تقديمهما كمجموعات من المتجهات. الخوارزمية هنا قياسية وتذكرنا إلى حد ما بالمثالين رقم 3 و4 من الدرس المنتج النقطي للمتجهات. وللتوضيح سنقسم الحل إلى ثلاث مراحل:

1) في الخطوة الأولى، نعبر عن حاصل الضرب المتجه من خلال حاصل الضرب المتجه، في الواقع، دعونا نعبر عن المتجه بدلالة المتجه. لا توجد كلمة حتى الآن على أطوال!

(1) استبدل تعبيرات المتجهات.

(2) باستخدام قوانين التوزيع، نفتح الأقواس وفقًا لقاعدة ضرب كثيرات الحدود.

(3) باستخدام القوانين الترابطية، نقوم بنقل جميع الثوابت إلى ما هو أبعد من منتجات المتجهات. مع القليل من الخبرة، يمكن تنفيذ الخطوتين 2 و 3 في وقت واحد.

(4) الحدان الأول والأخير يساويان صفر (متجه صفر) بسبب الخاصية اللطيفة. في المصطلح الثاني نستخدم خاصية عكس التبادل لمنتج متجه:

(5) نقدم مصطلحات مماثلة.

ونتيجة لذلك، تبين أن المتجه يتم التعبير عنه من خلال ناقل، وهو ما كان مطلوب تحقيقه:

2) في الخطوة الثانية، نجد طول المنتج المتجه الذي نحتاجه. هذا الإجراء مشابه للمثال 3:

3) أوجد مساحة المثلث المطلوب:

يمكن كتابة المراحل 2-3 من الحل في سطر واحد.

إجابة:

المشكلة التي يتم تناولها شائعة جدًا في الاختبارات، إليك مثال لحلها بنفسك:

مثال 5

اكتشف إذا

حل قصير وإجابة في نهاية الدرس. لنرى مدى انتباهك عند دراسة الأمثلة السابقة ;-)

المنتج الاتجاهي للمتجهات في الإحداثيات

، محددة على أساس متعامد ، يتم التعبير عنها بواسطة الصيغة:

الصيغة بسيطة حقًا: في السطر العلوي من المحدد، نكتب المتجهات الإحداثية، وفي السطرين الثاني والثالث "نضع" إحداثيات المتجهات، ونضعها بترتيب صارم- أولاً إحداثيات المتجه "ve"، ثم إحداثيات المتجه "ve المزدوج". إذا كانت هناك حاجة إلى ضرب المتجهات بترتيب مختلف، فيجب تبديل الصفوف:

مثال 10

تحقق مما إذا كانت المتجهات الفضائية التالية على خط واحد:
أ)
ب)

حل: يعتمد التحقق على إحدى العبارات الواردة في هذا الدرس: إذا كانت المتجهات على خط واحد، فإن حاصل ضربها المتجه يساوي صفر (متجه صفر): .

أ) ابحث عن المنتج المتجه:

وبالتالي، فإن المتجهات ليست على خط واحد.

ب) ابحث عن المنتج المتجه:

إجابة: أ) ليست على خط واحد، ب)

ربما تكون هنا جميع المعلومات الأساسية حول حاصل ضرب المتجهات للمتجهات.

لن يكون هذا القسم كبيرًا جدًا، حيث توجد مشكلات قليلة حيث يتم استخدام المنتج المختلط للمتجهات. في الواقع، كل شيء سيعتمد على التعريف والمعنى الهندسي واثنين من صيغ العمل.

المنتج المختلط للمتجهات هو منتج ثلاثة ناقلات:

لذلك اصطفوا مثل القطار ولا يمكنهم الانتظار حتى يتم التعرف عليهم.

أولا، مرة أخرى، تعريف وصورة:

تعريف: العمل المختلط غير متحد المستوىثلاثة أبعاد، اتخذت بهذا الترتيب، مُسَمًّى حجم متوازي، مبني على هذه المتجهات، مزود بعلامة "+" إذا كان الأساس صحيحا، وعلامة "-" إذا كان الأساس يسارا.

دعونا نفعل الرسم. يتم رسم الخطوط غير المرئية بالنسبة لنا بخطوط منقطة:

دعونا نتعمق في التعريف:

2) يتم أخذ المتجهات بترتيب معينأي أن إعادة ترتيب المتجهات في المنتج، كما قد تتخيل، لا يحدث بدون عواقب.

3) قبل التعليق على المعنى الهندسي، أود أن أشير إلى حقيقة واضحة: المنتج المختلط للمتجهات هو رقم: . في الأدبيات التعليمية، قد يكون التصميم مختلفًا بعض الشيء، فأنا معتاد على الإشارة إلى المنتج المختلط بالحرف "pe" ونتيجة العمليات الحسابية.

أ-بريوري المنتج المختلط هو حجم متوازي السطوح، مبني على المتجهات (الشكل مرسوم بمتجهات حمراء وخطوط سوداء). أي أن العدد يساوي حجم متوازي السطوح المعطى.

ملحوظة : الرسم تخطيطي.

4) دعونا لا نقلق مرة أخرى بشأن مفهوم اتجاه الأساس والمساحة. معنى الجزء الأخير هو أنه يمكن إضافة علامة الطرح إلى المجلد. بكلمات بسيطة، يمكن أن يكون المنتج المختلط سلبيًا: .

مباشرة من التعريف يتبع صيغة حساب حجم متوازي السطوح المبني على المتجهات.

الاختبار رقم 1

ثلاثة أبعاد. عناصر الجبر العالي

1-20. أطوال المتجهات و و معروفة؛ - الزاوية بين هذه المتجهات.

احسب: 1) و، 2).3) أوجد مساحة المثلث المبني على المتجهات و.

جعل الرسم.

حل. باستخدام تعريف المنتج النقطي للمتجهات:

وخصائص المنتج العددي: ,

1) أوجد المربع العددي للمتجه:

أي إذن.

بحجة بالمثل، نحصل على

أي إذن.

حسب تعريف المنتج المتجه:،

مع الأخذ بعين الاعتبار أن

مساحة المثلث المبني من المتجهات وتساوي

21-40. الإحداثيات المعروفة للقمم الثلاثة أ، ب، دمتوازي الاضلاع ا ب ت ث. باستخدام الجبر المتجه، تحتاج إلى:

أ(3;0;-7), ب(2;4;6), د(-7;-5;1)

حل.

من المعروف أن أقطار متوازي الأضلاع تنقسم إلى نصفين عند نقطة التقاطع. وبالتالي إحداثيات النقطة ه- تقاطع الأقطار - ابحث عن إحداثيات منتصف القطعة دينار بحريني. تدل عليهم س ه ,ذ ه , ض هلقد حصلنا على ذلك

نحن نحصل.

معرفة إحداثيات النقطة ه- منتصف القطر دينار بحرينيوإحداثيات أحد طرفيه أ(3;0;-7), باستخدام الصيغ نحدد الإحداثيات المطلوبة للقمة معمتوازي الاضلاع:

لذلك، القمة.

2) للعثور على إسقاط متجه على متجه، نجد إحداثيات هذه المتجهات: ،

بصورة مماثلة . تم العثور على إسقاط المتجه على المتجه باستخدام الصيغة:

3) تم العثور على الزاوية بين أقطار متوازي الأضلاع على أنها الزاوية بين المتجهات

وبخاصية المنتج العددي:

ثم

4) أوجد مساحة متوازي الأضلاع كمعامل منتج المتجه:

5) تم العثور على حجم الهرم باعتباره سدس معامل المنتج المختلط للمتجهات، حيث O(0;0;0)، إذن

ثم الحجم المطلوب (وحدات مكعبة)

41-60. المصفوفات المعطاة:

V C -1 +3A T

التسميات:

أولًا، نوجد المصفوفة العكسية للمصفوفة C.

وللقيام بذلك نجد محدده:

المحدد يختلف عن الصفر لذلك المصفوفة غير مفردة ومن أجلها يمكنك العثور على المصفوفة العكسية C -1

دعونا نجد المكملات الجبرية باستخدام الصيغة، حيث يوجد العنصر الأصغر:

ثم ، .

61–80. حل نظام المعادلات الخطية:

طريقة كريمر 2. طريقة المصفوفة.

حل.

أ) طريقة كريمر

دعونا نجد محدد النظام

منذ , النظام لديه حل فريد.

لنجد المحددات ونستبدل الأعمدة الأول والثاني والثالث في مصفوفة المعاملات بعمود المصطلحات الحرة، على التوالي.

وفقا لصيغ كريمر:

ب)طريقة المصفوفة (باستخدام مصفوفة معكوسة).

نكتب هذا النظام على شكل مصفوفة ونحله باستخدام المصفوفة العكسية.

يترك أ- مصفوفة معاملات المجهول؛ X- عمود المصفوفة للمجهول س, ذ, ضو ن- عمود المصفوفة للأعضاء الأحرار:

يمكن كتابة الجانب الأيسر من النظام (1) كحاصل ضرب المصفوفات، والجانب الأيمن كمصفوفة ن. لذلك لدينا معادلة المصفوفة

منذ محدد المصفوفة أيختلف عن الصفر (النقطة "أ")، ثم المصفوفة ألديه مصفوفة معكوسة. دعونا نضرب طرفي المساواة (2) على اليسار بالمصفوفة، نحصل عليها

منذ أين ههي مصفوفة الهوية، و، ثم

دعونا نحصل على مصفوفة غير مفردة A:

ثم نجد المصفوفة العكسية باستخدام الصيغة:

أين أ اي جاي- المكمل الجبري للعنصر أ اي جايفي محدد المصفوفة أوهو حاصل ضرب (-1) i+j والقاصر (المحدد) ن-1الطلب الذي تم الحصول عليه عن طريق الحذف ط-الخطوط و jthالعمود في محدد المصفوفة A:

ومن هنا نحصل على المصفوفة العكسية:

العمود X: X=A -1 H

81–100. حل نظام من المعادلات الخطية باستخدام طريقة غاوس

حل. لنكتب النظام على شكل مصفوفة موسعة:

نقوم بإجراء تحويلات أولية باستخدام السلاسل.

من السطر الثاني نطرح السطر الأول مضروبًا في 2. من السطر 3 نطرح السطر الأول مضروبًا في 4. من السطر 4 نطرح السطر الأول، نحصل على المصفوفة:

بعد ذلك، نحصل على صفر في العمود الأول من الصفوف اللاحقة؛ للقيام بذلك، قم بطرح الصف الثالث من الصف الثاني. من الصف الثالث، اطرح الصف الثاني مضروبًا في 2. من الصف الرابع، اطرح الصف الثاني مضروبًا في 3. ونتيجة لذلك، نحصل على مصفوفة بالشكل:

من السطر الرابع نطرح الثالث.

دعنا نستبدل السطر قبل الأخير والأخير:

المصفوفة الأخيرة تعادل نظام المعادلات:

من المعادلة الأخيرة للنظام نجد .

وبالتعويض في المعادلة قبل الأخيرة نحصل على .

ومن المعادلة الثانية للنظام يتبع ذلك

من المعادلة الأولى نجد x :

إجابة:

الاختبار رقم 2

الهندسة التحليلية

1-20. مع مراعاة إحداثيات رؤوس المثلث اي بي سي.يجد:

1) طول الضلع أفي;

2) معادلات الجوانب أ.بو شمسومعاملاتها الزاوية.

3) الزاوية فيبالراديان بدقة تصل إلى رقمين؛

4) معادلة الارتفاع قرص مضغوطوطوله؛

5) المعادلة المتوسطة إ

ارتفاع قرص مضغوط;

لبالتوازي مع الجانب أب،

7) قم بالرسم.

أ(3;6)، ب(15;-3)، ج(13;11)

حل.

وبتطبيق (1) نجد طول الضلع أ.ب:

2) معادلات الجوانب أ.بو شمسومعاملاتها الزاوية:

معادلة خط مستقيم يمر بالنقاط وله الشكل

استبدال إحداثيات النقاط في (2) أو في، نحصل على معادلة الجانب أ.ب:

(أ.ب).

(قبل الميلاد).

3) الزاوية فيبالراديان بدقة رقمين.

من المعروف أن ظل الزاوية المحصورة بين خطين مستقيمين تكون معاملاتهما الزاوية متساوية على التوالي ويتم حسابه بالصيغة

الزاوية المطلوبة فيتتكون من خطوط مستقيمة أ.بو شمس، تم العثور على معاملاتها الزاوية: ؛ . وبتطبيق (3) نحصل على

; ، أو

4) معادلة الارتفاع قرص مضغوطوطوله.

المسافة من النقطة C إلى الخط المستقيم AB:

5) المعادلة المتوسطة إوإحداثيات النقطة K لتقاطع هذا الوسيط مع

ارتفاع قرص مضغوط.

منتصف جهة الشمس:

ثم المعادلة AE:

نحل نظام المعادلات:

6) معادلة الخط الذي يمر بنقطة لبالتوازي مع الجانب أ.ب:

لأن الخط المطلوب موازي للجانب أ.بفإن معاملها الزاوي سيكون مساوياً للمعامل الزاوي للخط المستقيم أ.ب. استبدال إحداثيات النقطة الموجودة في (4) لوالمنحدر، نحصل عليه

; (كف).

تبلغ مساحة متوازي الأضلاع 12 مترًا مربعًا. الوحدات، رأساها نقطتان أ(-1;3)و ب(-2;4).أوجد الرأسين الآخرين لمتوازي الأضلاع هذا إذا علمت أن نقطة تقاطع قطريه تقع على المحور السيني. جعل الرسم.

حل. دع نقطة تقاطع الأقطار لها إحداثيات.

ثم فمن الواضح أن

وبالتالي فإن إحداثيات المتجهات هي .

نجد مساحة متوازي الأضلاع باستخدام الصيغة

ثم إحداثيات القمتين الأخريين هي .

في المسائل 51-60 يتم إعطاء إحداثيات النقاط أ و ب. مطلوب:

اكتب معادلة قانونية للقطع الزائد الذي يمر بهذه النقاط أ و ب،إذا كانت بؤر القطع الزائد تقع على المحور السيني؛

أوجد أنصاف المحاور والبؤر والانحراف ومعادلات الخطوط المقاربة لهذا القطع الزائد؛

ابحث عن جميع نقاط تقاطع القطع الزائد مع دائرة مركزها نقطة الأصل، إذا كانت هذه الدائرة تمر عبر بؤر القطع الزائد؛

أنشئ القطع الزائد وخطوطه المقاربة ودوائره.

أ(6؛-2)، ب(-8؛12).

حل. تتم كتابة معادلة القطع الزائد المطلوب بالشكل القانوني

أين أ- نصف المحور الحقيقي للقطع الزائد، ب-نصف محور وهمي. استبدال إحداثيات النقاط أو فيوفي هذه المعادلة نجد أنصاف المحاور:

– معادلة القطع الزائد : .

أنصاف المحاور أ=4،

البعد البؤري البؤري (-8.0) و (8.0)

الانحراف

الخطوط المقاربة:

إذا مرت دائرة بنقطة الأصل فإن معادلتها هي

بالتعويض عن إحدى البؤرتين نجد معادلة الدائرة

أوجد نقاط تقاطع القطع الزائد والدائرة:

نحن نبني الرسم:

في المسائل من 61 إلى 80، قم بإنشاء رسم بياني للدالة في نظام الإحداثيات القطبية نقطة بنقطة، مع إعطاء قيم  خلال الفاصل الزمني  /8 (0   2). أوجد معادلة الخط في نظام الإحداثيات الديكارتية المستطيل (يتزامن نصف المحور الموجب للإحداثي السيني مع المحور القطبي والقطب مع الأصل).

حل.دعونا نبني خطًا بالنقاط، بعد أن قمنا أولاً بملء جدول القيم وφ.

رقم	φ ,	φ، درجات			رقم	φ , مسرور	درجات
								3∙(x 2 +2∙1x + 1) -3∙1 = 3(x+1) 2 - 3 نستنتج أن هذه المعادلة تحدد القطع الناقص: يتم إعطاء النقاط أ،في , ج، د . تحتاج لتجد: 1. معادلة الطائرة (س), المرور عبر النقاط أ، ب، ج دفي الطائرة (س); 2. المعادلة الخطية (أنا)،المرور عبر النقاط فيود؛ 3. الزاوية بين الطائرة (س)ومستقيم (أنا); 4. المعادلة المستوية (ص)،المرور عبر نقطة أعمودي على خط مستقيم (أنا); 5. الزاوية بين الطائرات (ص)و (س) ; 6. معادلة الخط (ت)،المرور عبر نقطة أفي اتجاه ناقل نصف القطر؛ 7. الزاوية بين الخطوط المستقيمة (أنا)و (ت). أ(9;-8;1), ب(-9;4;5), ج(9;-5;5),د(6;4;0) 1. معادلة الطائرة (س), المرور عبر النقاط أ، ب، جوتحقق مما إذا كانت النقطة تكمن دفي المستوى يتم تحديده بواسطة الصيغة Find: 1) . 2) مربعمتوازي الاضلاع، مبني علىو. 3) حجم متوازي السطوح، مبني على ثلاثة أبعاد، و. يتحكم وظيفةحول هذا الموضوع " عناصرنظرية الفضاءات الخطية توصيات منهجية لاستكمال اختبارات الدراسات الجامعية بدوام جزئي في التأهيل 080100. 62 في الاتجاه القواعد الارشادية متوازي الأضلاع وحجم الهرم, مبني على ثلاثة أبعاد، و. الحل: 2-=2(1;1;1)-(2;1;4)= (2;2;2)-(2;1;4)=(0;1;-2)... . . . 4. المهام الخاصة بـ يتحكم يعملالقسم الأول. الخطي الجبر. 1 - 10. نظرا...

في هذه المقالة سوف نلقي نظرة فاحصة على مفهوم الضرب الاتجاهي لمتجهين. سنقدم التعريفات اللازمة، ونكتب صيغة للعثور على إحداثيات المنتج المتجه، ونسرد خصائصه ونبررها. بعد ذلك، سنتناول المعنى الهندسي للمنتج المتجه لمتجهين ونفكر في حلول لأمثلة نموذجية مختلفة.

التنقل في الصفحة.

تعريف المنتج المتقاطع.

قبل تحديد حاصل الضرب المتجه، دعونا نفهم اتجاه ثلاثية المتجهات المرتبة في الفضاء ثلاثي الأبعاد.

دعونا نرسم المتجهات من نقطة واحدة. اعتمادًا على اتجاه المتجه، يمكن أن يكون الثلاثة يمينًا أو يسارًا. دعونا ننظر من نهاية المتجه إلى كيفية تحول أقصر من المتجه إلى . إذا حدث أقصر دوران عكس اتجاه عقارب الساعة، فسيتم استدعاء ثلاثية المتجهات يمين، خلاف ذلك - غادر.

الآن لنأخذ متجهين غير خطيين و . دعونا نرسم المتجهات ومن النقطة A. دعونا نبني بعض المتجهات المتعامدة على كل من و و . من الواضح أنه عند إنشاء متجه، يمكننا القيام بشيئين، بإعطائه إما اتجاهًا واحدًا أو الاتجاه المعاكس (انظر الشكل التوضيحي).

اعتمادًا على اتجاه المتجه، يمكن أن تكون المتجهات الثلاثية المرتبة أيمن أو أعسر.

هذا يجعلنا نقترب من تعريف المنتج المتجه. يتم تقديمه لمتجهين محددين في نظام إحداثيات مستطيل لمساحة ثلاثية الأبعاد.

تعريف.

المنتج الاتجاهي لمتجهينو، المحدد في نظام إحداثي مستطيل لمساحة ثلاثية الأبعاد، يسمى متجهًا من هذا القبيل

المنتج المتقاطع للمتجهات ويشار إليه بـ .

إحداثيات المنتج المتجه.

سنقدم الآن التعريف الثاني للمنتج المتجه، والذي يسمح لك بالعثور على إحداثياته ​​من إحداثيات المتجهات المعطاة و.

تعريف.

في نظام إحداثي مستطيل للفضاء ثلاثي الأبعاد المنتج المتجه لمتجهين و هو متجه، أين هي ناقلات الإحداثيات.

يعطينا هذا التعريف حاصل الضرب الاتجاهي في الصورة الإحداثية.

من الملائم تمثيل حاصل الضرب المتجه كمحدد لمصفوفة مربعة من الدرجة الثالثة، الصف الأول منها هو المتجهات، والصف الثاني يحتوي على إحداثيات المتجه، والثالث يحتوي على إحداثيات المتجه في قيمة معينة نظام الإحداثيات المستطيلة:

إذا قمنا بتوسيع هذا المحدد إلى عناصر الصف الأول، نحصل على المساواة من تعريف المنتج المتجه في الإحداثيات (إذا لزم الأمر، راجع المقال):

تجدر الإشارة إلى أن الشكل الإحداثي للمنتج المتجه يتوافق تمامًا مع التعريف الوارد في الفقرة الأولى من هذه المقالة. علاوة على ذلك، فإن هذين التعريفين للمنتج المتقاطع متكافئان. ويمكنك رؤية الدليل على هذه الحقيقة في الكتاب المدرج في نهاية المقال.

خصائص المنتج المتجه.

نظرًا لأنه يمكن تمثيل منتج المتجه في الإحداثيات كمحدد للمصفوفة، فيمكن تبرير ما يلي بسهولة على الأساس خصائص المنتج المتقاطع:

على سبيل المثال، دعونا نثبت الخاصية المضادة للتبديل للمنتج المتجه.

أ-بريوري و . نحن نعلم أن قيمة محدد المصفوفة يتم عكسها إذا تم تبديل صفين، لذلك، ، مما يثبت الخاصية المضادة للتبديل للمنتج المتجه.

منتج المتجهات - الأمثلة والحلول.

هناك أساسا ثلاثة أنواع من المشاكل.

في المسائل من النوع الأول، يتم إعطاء طولي متجهين والزاوية بينهما، وتحتاج إلى إيجاد طول حاصل ضرب المتجه. في هذه الحالة، يتم استخدام الصيغة .

مثال.

أوجد طول حاصل ضرب المتجهات للمتجهات و، إذا كان معروفًا .

حل.

نعلم من التعريف أن طول حاصل ضرب المتجهات للمتجهات يساوي حاصل ضرب أطوال المتجهات وجيب الزاوية بينهما، وبالتالي، .

إجابة:

.

أما المسائل من النوع الثاني فهي تتعلق بإحداثيات المتجهات، حيث يتم البحث عن حاصل الضرب المتجه أو طوله أو أي شيء آخر من خلال إحداثيات المتجهات المعطاة و .

هناك الكثير من الخيارات المختلفة الممكنة هنا. على سبيل المثال، لا يمكن تحديد إحداثيات المتجهات، ولكن توسعاتها في المتجهات الإحداثية للنموذج و، أو المتجهات ويمكن تحديدها بإحداثيات نقطتي البداية والنهاية.

دعونا نلقي نظرة على الأمثلة النموذجية.

مثال.

يتم إعطاء متجهين في نظام الإحداثيات المستطيل . ابحث عن منتجهم المتقاطع.

حل.

وفقًا للتعريف الثاني، يتم كتابة المنتج المتجه لمتجهين في الإحداثيات على النحو التالي:

كنا سنصل إلى النتيجة نفسها إذا كتب حاصل الضرب المتجه بدلالة المحدد

إجابة:

.

مثال.

أوجد طول حاصل ضرب المتجهات للمتجهات، وأين توجد متجهات الوحدة لنظام الإحداثيات الديكارتية المستطيل.

حل.

أولا نجد إحداثيات المنتج المتجه في نظام إحداثيات مستطيل معين.

نظرًا لأن المتجهات لها إحداثيات وعلى التوالي (إذا لزم الأمر، راجع إحداثيات المقالة للمتجه في نظام إحداثيات مستطيل)، فمن خلال التعريف الثاني لمنتج المتجه لدينا

وهذا هو، المنتج المتجه لديه إحداثيات في نظام إحداثيات معين.

نجد طول منتج المتجه باعتباره الجذر التربيعي لمجموع مربعات إحداثياته ​​(حصلنا على هذه الصيغة لطول المتجه في القسم الخاص بإيجاد طول المتجه):

إجابة:

.

مثال.

في نظام الإحداثيات الديكارتي المستطيل، يتم إعطاء إحداثيات ثلاث نقاط. أوجد متجهًا متعامدًا وفي نفس الوقت.

حل.

المتجهات ولها إحداثيات وعلى التوالي (راجع المقالة العثور على إحداثيات المتجه من خلال إحداثيات النقاط). إذا وجدنا المنتج المتجه للمتجهات و ، فهو بحكم التعريف متجه عمودي على كل من و، أي أنه حل لمشكلتنا. دعونا نجده

إجابة:

- أحد المتجهات المتعامدة.

وفي مسائل النوع الثالث يتم اختبار مهارة استخدام خواص حاصل الضرب المتجه للمتجهات. بعد تطبيق الخصائص، يتم تطبيق الصيغ المقابلة.

مثال.

المتجهان متعامدان وأطوالهما 3 و4 على التوالي. أوجد طول المنتج الاتجاهي .

حل.

من خلال خاصية التوزيع للمنتج المتجه، يمكننا الكتابة

بسبب الخاصية التجميعية، نخرج المعاملات العددية من إشارة حاصل الضرب المتجه في التعبير الأخير:

منتجات المتجهات وتساوي الصفر، منذ ذلك الحين و ، ثم .

بما أن المنتج المتجه مضاد للتبديل، إذن .

لذا، باستخدام خصائص حاصل الضرب المتجه، وصلنا إلى المساواة .

بالشرط، تكون المتجهات و متعامدة، أي أن الزاوية بينهما تساوي . وهذا يعني أن لدينا جميع البيانات للعثور على الطول المطلوب

إجابة:

.

المعنى الهندسي للمنتج المتجه.

بحكم التعريف، طول المنتج المتجه للمتجهات هو . ومن مقرر الهندسة في المدرسة الثانوية نعلم أن مساحة المثلث تساوي نصف حاصل ضرب طولي ضلعي المثلث وجيب الزاوية بينهما. وبالتالي فإن طول حاصل الضرب المتجه يساوي ضعف مساحة المثلث الذي تكون أضلاعه هي المتجهات و، إذا تم رسمها من نقطة واحدة. وبعبارة أخرى، طول المنتج المتجه للمتجهات ويساوي مساحة متوازي الأضلاع مع الجوانب والزاوية بينهما تساوي . هذا هو المعنى الهندسي للمنتج المتجه.