تأكد من أن الخطوط تقع في نفس المستوى. الموقف النسبي للخطوط

سنراجع في هذا الدرس المبادئ الأساسية للنظرية ونحل مسائل أكثر تعقيدًا حول موضوع "توازي الخطوط والمستويات".
في بداية الدرس، لنتذكر تعريف الخط المستقيم الموازي للمستوى ونظرية التوازي بين الخط المستقيم والمستوى. دعونا نتذكر أيضًا تعريف المستويات المتوازية ونظرية توازي المستويات. بعد ذلك، دعونا نتذكر تعريف خطوط الانحراف ونظرية اختبار خطوط الانحراف، بالإضافة إلى النظرية القائلة بأنه من خلال أي من خطوط الانحراف يمكن رسم مستوى موازيًا لخط آخر. دعونا نستنتج من هذه النظرية - العبارة التي مفادها أن خطين منحرفين يتوافقان مع زوج واحد من المستويات المتوازية.
بعد ذلك، سنحل بعض المشكلات الأكثر تعقيدًا باستخدام النظرية المتكررة.

الموضوع: توازي الخطوط والمستويات

الدرس: مراجعة النظرية. حل المشكلات الأكثر تعقيدًا حول موضوع "توازي الخطوط والطائرات"

سنراجع في هذا الدرس المبادئ الأساسية للنظرية ونحل المسائل الأكثر تعقيدًا حول الموضوع "توازي الخطوط والطائرات".

تعريف.يسمى الخط والمستوى متوازيين إذا لم يكن لديهم نقاط مشتركة.

إذا كان المستقيم الذي لا يقع في مستوى معين يوازي خطًا ما يقع في هذا المستوى، فهو موازي للمستوى المعطى.

دع الخط المستقيم يعطى أوالطائرة (الشكل 1). يوجد خط مستقيم في المستوى ب، وهو موازي للخط أ. من توازي الخطوط أو بويترتب على ذلك أن الخط الموازي أوالطائرات.

1. الهندسة. الصفوف 10-11: كتاب مدرسي لطلاب مؤسسات التعليم العام (المستويات الأساسية والمتخصصة) / I. M. Smirnova، V. A. Smirnov. - الطبعة الخامسة، مصححة وموسعة - م: منيموسين، 2008. - 288 ص: مريض.

المهام 9، 10 ص 23

2. ثلاثة خطوط تتقاطع في أزواج. هل يمكن لأي مستوى أن يكون موازيا لجميع هذه الخطوط؟

3. من خلال النقطة M، يمكن رسم خط مستقيم واحد فقط موازياً للطائرات α و β. هل هذه الطائرات متوازية؟

4. شبه منحرفين لهما خط وسط مشترك. يمر المستوى α عبر القواعد الأصغر لشبه المنحرف، ويمر المستوى β عبر القواعد الأكبر لشبه المنحرف. هل المستويان α و β متوازيان؟

5. ا ب ت ث- رباعي. تقع النقطة M خارج مستواها. هل نقاط منتصف القطع تقع في نفس المستوى؟ ماجستير، MV، MS، Mد?

الخطوط المستقيمة تقع في نفس المستوى. إذا كانت 1) متقاطعة 2) متوازية.

بالنسبة للخطين L 1: و L 2: أن ينتميا إلى نفس المستوى  بحيث تكون المتجهات م 1 م 2 =(س 2 -س 1 ;ص 2 -ص 1 ;ض 2 -ض 1 ), س 1 =(ل 1 ;م 1 ;ن 1 ) و س 2 =(l 2 ;m 2 ;n 2 ) كانت مستوية. وهذا هو، وفقا لشرط المستوى المشترك لثلاثة ناقلات، المنتج المختلط م 1 م 2 ·س 1 ·س 2 =Δ==0 (8)

لأن شرط التوازي بين خطين له الشكل: ثم لتقاطع الخطين L 1 و L 2 ، بحيث يستوفيان الشرط (8) وبذلك يتم انتهاك أحد النسب على الأقل.

مثال. استكشاف المواضع النسبية للخطوط:

متجه الاتجاه للخط المستقيم L 1 – س 1 =(1;3;-2). يتم تعريف الخط L 2 على أنه تقاطع مستويين α 1: x-y-z+1=0; α 2: س+ص+2ض-2=0. لأن يقع الخط L 2 في كلا المستويين، وبالتالي يكون متجه اتجاهه متعامدًا مع الخطوط العمودية ن 1 و ن 2 . وبالتالي فإن متجه الاتجاه س 2 هو المنتج الاتجاهي للمتجهات ن 1 و ن 2 ، أي. س 2 =ن 1 X ن 2 ==-أنا-3ي+2ك.

الذي - التي. س 1 =-س 2 , وهذا يعني أن الخطوط إما متوازية أو متطابقة.

للتحقق من تطابق الخطوط المستقيمة، نستبدل إحداثيات النقطة M 0 (1;2;-1)L 1 في المعادلات العامة L 2: 1-2+2+1=0 - مساواة غير صحيحة، أي. نقطة م 0 لتر 2,

وبالتالي فإن الخطوط متوازية.

المسافة من نقطة إلى خط.

المسافة من النقطة M 1 (x 1;y 1;z 1) إلى الخط المستقيم L، المعطاة بالمعادلة الأساسية L: يمكن حسابها باستخدام حاصل الضرب المتجه.

من المعادلة الأساسية للخط المستقيم، يترتب على النقطة M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0)L، ومتجه الاتجاه للخط المستقيم س=(ل؛م؛ن)

دعونا نبني متوازي الأضلاع باستخدام المتجهات سو م 0 م 1 . ثم المسافة من النقطة M 1 إلى الخط المستقيم L تساوي ارتفاع h لمتوازي الأضلاع هذا. لأن س=| سس م 0 م 1 |=ح| س| إذن

ح= (9)

المسافة بين خطين مستقيمين في الفضاء.

ل 1: و ل 2:

1) ل 1 ل 2 .

د=

2) إل 1 و إل 2 – معبر

د=

الموقع النسبي للخط المستقيم والمستوى في الفضاء.

بالنسبة لموقع الخط المستقيم والمستوى في الفضاء، هناك ثلاث حالات محتملة:

يتقاطع خط مستقيم ومستوى عند نقطة واحدة؛

الخط المستقيم والمستوى متوازيان؛

الخط المستقيم يقع في الطائرة.

دع الخط المستقيم يُعطى بمعادلته القانونية، والمستوى – بالعام

α: Аh+Бу+Сz+D=0

معادلات الخط المستقيم تعطي النقطة M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0)L ومتجه الاتجاه س=(l;m;n)، والمعادلة المستوية هي متجه عادي ن=(أ;ب;ج).

1. تقاطع الخط والمستوى.

إذا تقاطع خط ومستوى، فإن متجه اتجاه الخط سليس موازيًا للمستوى α، وبالتالي ليس متعامدًا مع المتجه الطبيعي للمستوى ن.أولئك. منتجهم النقطي نس≠0 أو من خلال إحداثياتهم،

صباحا+بن+CP≠0 (10)

لنحدد إحداثيات النقطة M - نقاط تقاطع الخط المستقيم L والمستوى α.

دعنا ننتقل من المعادلة الأساسية للخط إلى المعادلة البارامترية: , tR

دعونا نعوض بهذه العلاقات في معادلة المستوى

أ(س 0 +lt)+ب(ص 0 +طن)+ج(ض 0 +nt)+د=0

A,B,C,D,l,m,n,x 0 ,y 0 ,z 0 – معروفة، فلنجد المعلمة t:

ر(Al+Bm+Cn)= -D-الفأس 0 -بواسطة 0 -Cz 0

إذا كانت Am+Bn+Cp≠0، فإن المعادلة لها حل فريد يحدد إحداثيات النقطة M:

ر م = -→ (11)

الزاوية المحصورة بين الخط المستقيم والمستوى. شروط التوازي والتعامد.

الزاوية φ المحصورة بين الخط المستقيم L :

مع ناقل الدليل س=(ل;م;ن) والطائرة

: Аkh+Ву+Сz+D=0 مع ناقل عادي نتتراوح =(A;B;C) من 0˚ (في حالة الخط والمستوى المتوازيين) إلى 90˚ (في حالة الخط المتعامد والمستوى). (الزاوية بين المتجه سوإسقاطه على المستوى α).

– الزاوية بين المتجهات سو ن.

لأن الزاوية  بين الخط المستقيم L والمستوى  مكملة للزاوية ، إذن sin φ=sin(-)=cos =- (يتم أخذ القيمة المطلقة بعين الاعتبار لأن الزاوية φ حادة sin φ=sin( -) أو sin φ =sin(+) حسب اتجاه الخط المستقيم L)

الفصل الرابع. الخطوط المستقيمة والطائرات في الفضاء. متعددات الوجوه

§ 46. الترتيب المتبادل للخطوط في الفضاء

في الفضاء، قد يقع أو لا يقع خطان مختلفان في نفس المستوى. دعونا نلقي نظرة على الأمثلة ذات الصلة.

دع النقاط A، B، C لا تقع على نفس الخط المستقيم. دعونا نرسم طائرة من خلالهم رواختر نقطة S التي لا تنتمي إلى المستوى ر(الشكل 130).

ثم يقع الخطان المستقيمان AB و BC في نفس المستوى، أي في المستوى ر، الخطان المستقيمان AS و CB لا يقعان في نفس المستوى. في الواقع، إذا كانوا يقعون في نفس المستوى، فإن النقاط A، B، C، S تقع أيضًا في هذا المستوى، وهو أمر مستحيل، لأن S لا تقع في المستوى الذي يمر عبر النقاط A، B، C.

يسمى الخطان المختلفان اللذان يقعان في نفس المستوى ولا يتقاطعان بالتوازي. تسمى الخطوط المتطابقة أيضًا بالتوازي. إذا كان مستقيما 1 1 و 1 2 بالتوازي، ثم الكتابة 1 1 || 1 2 .

هكذا، 1 1 || 1 2 إذا، أولا، هناك طائرة رمثل ذلك
1 1 رو 1 2 روثانيا، أو 1 1 1 2 = أو 1 1 = 1 2 .

يسمى الخطان المستقيمان اللذان لا يقعان في نفس المستوى بالخطوط المنحرفة. ومن الواضح أن الخطوط المتقاطعة لا تتقاطع ولا تكون متوازية.

دعونا نثبت خاصية مهمة للخطوط المتوازية، والتي تسمى متعدية التوازي.

نظرية. إذا كان المستقيمان متوازيين مع خط ثالث، فإنهما متوازيان مع بعضهما البعض.

يترك 1 1 || 1 2 و 1 2 || 1 3. ومن الضروري إثبات ذلك 1 1 || 1 3

إذا كان مستقيما 1 1 , 1 2 , 1 3ـ يقعان في نفس المستوى، ثم ثبت هذا القول في القياسات. وسوف نفترض أن الخطوط المستقيمة 1 1 , 1 2 , 1 3 لا تقع في نفس الطائرة.

من خلال الخطوط المستقيمة 1 1 و 1 2 رسم طائرة ر 1، ومن خلال 1 2 و 1 3 - الطائرة ر 2 (الشكل 131).

لاحظ أن الخط المستقيم 1 3 يحتوي على نقطة واحدة M على الأقل لا تنتمي إلى المستوى
ر 1 .

ارسم مستوى عبر الخط المستقيم وحدد النقطة M ر 3، الذي يتقاطع مع الطائرة ر 2 على طول خط مستقيم ل. دعونا نثبت ذلك ليتزامن مع 1 3. وسوف نثبت ذلك "بالتناقض".

لنفترض أن الخط المستقيم 1 لا يتزامن مع خط مستقيم 1 3. ثم 1 يتقاطع مع خط 1 2 في مرحلة ما أ. ويترتب على ذلك أن الطائرة ر 3 يمر عبر النقطة أ ر 1 ومستقيم 1 1 ر 1 وبالتالي يتزامن مع الطائرة ر 1 . هذا الاستنتاج يتناقض مع حقيقة أن النقطة M ر 3 لا تنتمي إلى الطائرة ر 1 .
ولذلك فإن افتراضنا غير صحيح، وبالتالي 1 = 1 3 .

وهكذا ثبت أن الخطوط المستقيمة 1 1 و 1 3 تقع في نفس الطائرة ر 3. دعونا نثبت أن الخطوط المستقيمة 1 1 و 1 3 لا تتقاطع.

في الواقع، إذا 1 1 و 1 3 يتقاطع مثلا عند النقطة B ثم المستوى ر 2 سوف يمر عبر خط مستقيم 1 2 ومن خلال النقطة ب 1 1، وبالتالي، سوف تتزامن مع ر 1، وهو أمر مستحيل.

مهمة.أثبت أن الزوايا التي لها جوانب متماثلة الاتجاه لها أبعاد متساوية.

دع الزاويتين MAN وM 1 A 1 N 1 لهما جوانب مشتركة في الاتجاه: الشعاع AM مشترك في التوجيه مع الشعاع A 1 M 1، والشعاع AN مشترك في التوجيه مع الشعاع A 1 N 1 (الشكل 132).

على الأشعة AM و A 1 M 1 سنضع القطع AB و A 1 B 1 متساوية في الطول. ثم

|| و |ب ب 1 | = |أأ 1 |

مثل الجانبين المتقابلين لمتوازي الأضلاع.

وبالمثل، على الشعاعين AN وA 1 N 1، سنرسم القطع AC وA 1 C 1 متساوية في الطول. ثم

|| و |CC 1 | = |أأ 1 |

من تعدية التوازي يترتب على ذلك || . ومنذ |BB1| = |CC 1 | ، فإن BB 1 C 1 C هو متوازي أضلاع، وبالتالي |BC| = |ب1ج1 |.
لذلك، /\ اي بي سي /\ أ 1 ب 1 ج 1 و .

بالنسبة لخطين في الفضاء، أربع حالات ممكنة:

الخطوط المستقيمة تتطابق.

الخطوط متوازية (ولكنها غير متطابقة)؛

تتقاطع الخطوط؛

الخطوط المستقيمة متقاطعة، أي. ليس لديهم نقاط مشتركة وليست متوازية.

دعونا نفكر في طريقتين لوصف الخطوط المستقيمة: المعادلات القانونية والمعادلات العامة. دع الخطين L 1 و L 2 يُعطىان بواسطة المعادلات الأساسية:

ل 1: (س - س 1)/ل 1 = (ص - ص 1)/م 1 = (ض - ض 1)/ن 1، ل 2: (س - س 2)/ل 2 = (ص - ص 2)/م2 = (ض - ض 2)/ن 2 (6.9)

لكل سطر من معادلاته الأساسية نحدد فورًا النقطة الواقعة عليه M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) ∈ L 1, M 2 (x 2 ; y 2 ​​​​ ; z 2) ∈ L 2 والإحداثيات من متجهات الاتجاه s 1 = (l 1; m 1; n 1) لـ L 1, s 2 = (l 2; m 2; n 2) لـ L 2.

إذا كانت الخطوط متطابقة أو متوازية، فإن متجهات اتجاهها s 1 و s 2 تكون على خط واحد، وهو ما يعادل تساوي نسب إحداثيات هذه المتجهات:

ل 1 /ل 2 = م 1 /م 2 = ن 1 /ن 2. (6.10)

إذا تطابقت الخطوط، فإن المتجه M 1 M 2 يكون على خط واحد مع متجهات الاتجاه:

(س 2 - س 1)/ل 1 = (ص 2 - ص 1)/م 1 = (ض 2 - ض 1)/ن 1. (6.11)

هذه المساواة المزدوجة تعني أيضًا أن النقطة M 2 تنتمي إلى الخط L 1. وبالتالي، فإن شرط تطابق المستقيمين هو تحقيق المعادلتين (6.10) و(6.11) في وقت واحد.

إذا تقاطعت الخطوط أو تقاطعت، فإن متجهات اتجاهها تكون غير خطية، أي: تم انتهاك الشرط (6.10). المستقيمات المتقاطعة تقع في نفس المستوى وبالتالي ثلاثة أبعادق 1 , ق 2 و م 1 م 2 هم متحد المستوىمحدد الدرجة الثالثة، مؤلفة من إحداثياتها (انظر 3.2):

يتم استيفاء الشرط (6.12) في ثلاث من أصل أربع حالات، حيث أنه بالنسبة لـ Δ ≠ 0 لا تنتمي الخطوط إلى نفس المستوى وبالتالي تتقاطع.

دعونا نجمع كل الشروط معًا:

يتميز الموقع النسبي للخطوط بعدد حلول النظام (6.13). إذا تطابقت الخطوط، فإن النظام لديه عدد لا نهائي من الحلول. إذا تقاطعت الخطوط، فهذا النظام لديه حل فريد. وفي حالة التوازي أو التقاطع لا توجد حلول مباشرة. ويمكن فصل الحالتين الأخيرتين من خلال إيجاد متجهات اتجاه الخطوط. للقيام بذلك، يكفي حساب اثنين ناقلات العمل الفني n 1 × n 2 و n 3 × n 4، حيث n i = (A i؛ B i؛ C i)، i = 1، 2، 3,4. إذا كانت المتجهات الناتجة على خط واحد، فإن الخطوط المعطاة تكون متوازية. وإلا فإنهم يتزاوجون.

مثال 6.4.

تم العثور على متجه الاتجاه s 1 للخط المستقيم L 1 باستخدام المعادلات الأساسية لهذا الخط المستقيم: s 1 = (1; 3; -2). يتم حساب متجه الاتجاه s 2 للخط المستقيم L 2 باستخدام حاصل ضرب المتجهات للمتجهات العادية للمستويات التي يكون تقاطعها:

بما أن s 1 = -s 2، فإن الخطوط متوازية أو متطابقة. دعونا نتعرف على أي من هذه المواقف يتم تحقيقه لهذه الخطوط. للقيام بذلك، نعوض بإحداثيات النقطة M 0 (1; 2; -1) ∈ L 1 في المعادلات العامة للخط المستقيم L 2 . بالنسبة للأول منهم نحصل على 1 = 0. وبالتالي فإن النقطة M 0 لا تنتمي إلى الخط L 2 والخطوط قيد النظر متوازية.

الزاوية بين الخطوط المستقيمة. يمكن إيجاد الزاوية المحصورة بين خطين مستقيمين باستخدام ناقلات الاتجاهمستقيم الزاوية الحادة بين الخطوط المستقيمة تساوي الزاوية بين متجهات اتجاهها (الشكل 6.5) أو تكون مضافة إليها إذا كانت الزاوية بين متجهات الاتجاه منفرجة. وبالتالي، إذا كان متجها الاتجاه للخطين L 1 و L 2 s x و s 2 معروفين، فسيتم تحديد الزاوية الحادة φ بين هذين الخطين من خلال حاصل الضرب القياسي:

cosφ = |S 1 S 2 |/|S 1 ||S 2 |

على سبيل المثال، لنفترض أن s i = (l i ; m i ; n i )، i = 1، 2. استخدام الصيغتين (2.9) و(2.14) للحساب طول المتجهاتوالمنتج العددي في الإحداثيات، نحصل عليه

هذه المقالة هي عن الخطوط المتوازية والخطوط المتوازية. أولاً، يتم تقديم تعريف الخطوط المتوازية على المستوى وفي الفضاء، ويتم تقديم الرموز، ويتم تقديم الأمثلة والرسوم التوضيحية للخطوط المتوازية. بعد ذلك، تتم مناقشة علامات وشروط توازي الخطوط. في الختام، يتم عرض حلول للمسائل النموذجية لإثبات توازي الخطوط، والتي تعطى من خلال معادلات معينة لخط في نظام إحداثيات مستطيل على مستوى وفي الفضاء ثلاثي الأبعاد.

التنقل في الصفحة.

الخطوط المتوازية - معلومات أساسية.

تعريف.

يتم استدعاء خطين في الطائرة موازي، إذا لم يكن لديهم نقاط مشتركة.

تعريف.

يتم استدعاء خطين في الفضاء ثلاثي الأبعاد موازي، إذا كانوا يقعون في نفس المستوى وليس لديهم نقاط مشتركة.

يرجى ملاحظة أن عبارة "إذا كانا يقعان في مستوى واحد" في تعريف المستقيمات المتوازية في الفضاء مهمة جدًا. دعونا نوضح هذه النقطة: الخطان الموجودان في الفضاء ثلاثي الأبعاد، وليس لهما نقاط مشتركة ولا يقعان في نفس المستوى، ليسا متوازيين، بل متقاطعين.

فيما يلي بعض الأمثلة على الخطوط المتوازية. تقع الحواف المقابلة لورقة دفتر الملاحظات على خطوط متوازية. الخطوط المستقيمة التي يتقاطع بها مستوى جدار المنزل مع مستويات السقف والأرضية متوازية. يمكن أيضًا اعتبار قضبان السكك الحديدية الموجودة على أرض مستوية بمثابة خطوط متوازية.

للإشارة إلى الخطوط المتوازية، استخدم الرمز "". أي أنه إذا كان الخطان a وb متوازيين، فيمكننا كتابة a b باختصار.

يرجى ملاحظة: إذا كان المستقيمان a وb متوازيين، فيمكننا القول أن المستقيم a موازي للخط b، وأيضًا أن الخط b موازي للخط a.

دعونا نعرب عن عبارة تلعب دورًا مهمًا في دراسة الخطوط المتوازية على المستوى: من خلال نقطة لا تقع على خط معين، يمر الخط المستقيم الوحيد الموازي للخط المعطى. يتم قبول هذا البيان كحقيقة (لا يمكن إثباته على أساس البديهيات المعروفة لقياس التخطيط)، ويسمى بديهية الخطوط المتوازية.

بالنسبة للحالة في الفضاء، فإن النظرية صحيحة: من خلال أي نقطة في الفضاء لا تقع على خط معين، يمر خط مستقيم واحد موازٍ للخط المعطى. يمكن إثبات هذه النظرية بسهولة باستخدام البديهية المذكورة أعلاه للخطوط المتوازية (يمكنك العثور على دليل عليها في كتاب الهندسة المدرسي للصفوف 10-11، والمدرج في نهاية المقالة في قائمة المراجع).

بالنسبة للحالة في الفضاء، فإن النظرية صحيحة: من خلال أي نقطة في الفضاء لا تقع على خط معين، يمر خط مستقيم واحد موازٍ للخط المعطى. يمكن إثبات هذه النظرية بسهولة باستخدام بديهية الخط الموازي أعلاه.

توازي الخطوط - علامات وشروط التوازي.

علامة على توازي الخطوطهو شرط كاف لتكون المستقيمات متوازية، أي الشرط الذي يحققه يضمن أن تكون المستقيمات متوازية. وبعبارة أخرى فإن تحقق هذا الشرط يكفي لإثبات توازي المستقيمين.

هناك أيضًا شروط ضرورية وكافية لتوازي الخطوط على المستوى وفي الفضاء ثلاثي الأبعاد.

دعونا نوضح معنى عبارة "الشرط الضروري والكافي للمستقيمين المتوازيين".

لقد تعاملنا بالفعل مع الشرط الكافي للخطوط المتوازية. ما هو "الشرط الضروري للخطوط المتوازية"؟ ومن اسم "ضروري" يتضح أن استيفاء هذا الشرط ضروري للخطوط المتوازية. بمعنى آخر، إذا لم يتحقق الشرط اللازم ليكون المستقيمان متوازيين، فإن المستقيمين غير متوازيين. هكذا، شرط ضروري وكاف للخطوط المتوازيةهو شرط يكون تحقيقه ضروريًا وكافيًا للمستقيمين المتوازيين. وهذا هو، من ناحية، هذه علامة على توازي الخطوط، ومن ناحية أخرى، هذه خاصية تمتلكها الخطوط المتوازية.

قبل صياغة الشرط الضروري والكافي لتوازي الخطوط، من المستحسن أن نتذكر عدة تعريفات مساعدة.

خط قاطعهو الخط الذي يتقاطع مع كل من الخطين غير المتطابقين.

عندما يتقاطع خطان مستقيمان مع قاطع تتشكل ثمانية خطوط غير مكتملة. ما يسمى الكذب بالعرض، المقابلةو زوايا أحادية الجانب. دعونا نظهر لهم في الرسم.

نظرية.

إذا تقاطع خطان مستقيمان في المستوى بمستعرض، فإنه لكي يكونا متوازيين لا بد ويكفي أن تكون الزوايا المتقاطعة متساوية، أو الزوايا المتناظرة متساوية، أو مجموع الزوايا من جانب واحد يساوي 180 درجات.

دعونا نعرض رسمًا توضيحيًا لهذا الشرط الضروري والكافي لتوازي الخطوط على المستوى.

يمكنك العثور على أدلة على هذه الشروط لتوازي الخطوط في كتب الهندسة المدرسية للصفوف 7-9.

لاحظ أنه يمكن أيضًا استخدام هذه الشروط في الفضاء ثلاثي الأبعاد - الشيء الرئيسي هو أن الخطين المستقيمين والقاطع يقعان في نفس المستوى.

فيما يلي بعض النظريات الأخرى التي تُستخدم عادةً لإثبات توازي الخطوط.

نظرية.

إذا كان مستقيمان في المستوى موازيين لخط ثالث، فإنهما متوازيان. والدليل على هذا المعيار يأتي من بديهية الخطوط المتوازية.

هناك حالة مماثلة للخطوط المتوازية في الفضاء ثلاثي الأبعاد.

نظرية.

إذا كان مستقيمان في الفضاء موازيين لخط ثالث، فإنهما متوازيان. تمت مناقشة إثبات هذا المعيار في دروس الهندسة في الصف العاشر.

دعونا توضيح النظريات المذكورة.

دعونا نقدم نظرية أخرى تسمح لنا بإثبات توازي الخطوط على المستوى.

نظرية.

إذا كان مستقيمان في المستوى متعامدين مع مستقيم ثالث، فإنهما متوازيان.

هناك نظرية مماثلة للخطوط في الفضاء.

نظرية.

إذا كان مستقيمان في فضاء ثلاثي الأبعاد متعامدين على نفس المستوى، فإنهما متوازيان.

دعونا نرسم الصور المقابلة لهذه النظريات.

جميع النظريات والمعايير والشروط الضرورية والكافية المذكورة أعلاه ممتازة لإثبات توازي الخطوط باستخدام طرق الهندسة. وهذا يعني أنه لإثبات التوازي بين خطين محددين، عليك إظهار أنهما متوازيان لخط ثالث، أو إظهار تساوي الزوايا المتقاطعة، وما إلى ذلك. يتم حل العديد من المشكلات المماثلة في دروس الهندسة في المدرسة الثانوية. ومع ذلك، تجدر الإشارة إلى أنه في كثير من الحالات يكون من المناسب استخدام طريقة الإحداثيات لإثبات توازي الخطوط على المستوى أو في الفضاء ثلاثي الأبعاد. دعونا نقوم بصياغة الشروط الضرورية والكافية لتوازي الخطوط المحددة في نظام الإحداثيات المستطيل.

توازي الخطوط في نظام الإحداثيات المستطيل.

في هذه الفقرة من المقال سنقوم بصياغة الشروط الضرورية والكافية للخطوط المتوازيةفي نظام إحداثي مستطيل، اعتمادًا على نوع المعادلات التي تحدد هذه الخطوط، وسنقدم أيضًا حلولاً تفصيلية للمسائل المميزة.

لنبدأ بحالة التوازي بين خطين مستقيمين على مستوى في نظام الإحداثيات المستطيل أوكسي. يعتمد برهانه على تعريف متجه الاتجاه للخط وتعريف المتجه الطبيعي للخط على المستوى.

نظرية.

لكي يكون خطان غير متطابقين متوازيين في مستوى، من الضروري والكافي أن تكون متجهات الاتجاه لهذه الخطوط على خط واحد، أو أن تكون المتجهات العمودية لهذه الخطوط على خط واحد، أو أن يكون متجه الاتجاه لخط واحد متعامدًا على العمودي ناقلات السطر الثاني.

ومن الواضح أن حالة التوازي بين خطين على المستوى تختزل إلى (متجهات الاتجاه للخطوط أو المتجهات العادية للخطوط) أو إلى (متجه الاتجاه لخط واحد ومتجه عادي للخط الثاني). وبالتالي، إذا كانت متجهات الاتجاه للخطوط a و b، و و هي ناقلات عادية للخطين a و b، على التوالي، فسيتم كتابة الشرط الضروري والكافي لتوازي الخطين a و b على النحو التالي ، أو أو حيث t هو عدد حقيقي. في المقابل، يتم العثور على إحداثيات الأدلة و (أو) المتجهات العادية للخطوط a و b باستخدام معادلات الخطوط المعروفة.

على وجه الخصوص، إذا كان الخط المستقيم a في نظام الإحداثيات المستطيل أوكسي على المستوى يحدد معادلة خط مستقيم عامة من النموذج ، والخط المستقيم ب - ، فإن المتجهات العادية لهذه الخطوط لها إحداثيات، وعلى التوالي، وسيتم كتابة شرط التوازي للخطين a و b كـ .

إذا كان الخط a يتوافق مع معادلة خط ذو معامل زاوي للشكل، والخط b - فإن المتجهات العادية لهذه الخطوط لها إحداثيات و، وشرط توازي هذه الخطوط يأخذ الشكل . وبالتالي، إذا كانت الخطوط الموجودة على المستوى في نظام الإحداثيات المستطيل متوازية ويمكن تحديدها بمعادلات الخطوط ذات المعاملات الزاوية، فإن المعاملات الزاوية للخطوط ستكون متساوية. والعكس صحيح: إذا كان من الممكن تحديد الخطوط غير المتطابقة على المستوى في نظام الإحداثيات المستطيل بمعادلات خط ذات معاملات زاوية متساوية، فإن هذه الخطوط متوازية.

إذا تم تحديد الخط أ والخط ب في نظام إحداثي مستطيل بواسطة المعادلات الأساسية لخط على مستوى النموذج و أو المعادلات البارامترية لخط مستقيم على مستوى النموذج و وفقًا لذلك، فإن متجهات الاتجاه لهذه الخطوط لها إحداثيات و، ويتم كتابة شرط توازي الخطوط a و b كـ .

دعونا نلقي نظرة على حلول لعدة أمثلة.

مثال.

هل الخطوط متوازية؟ و ؟

حل.

دعونا نعيد كتابة معادلة الخط المقسم إلى شرائح على شكل معادلة عامة للخط: . والآن يمكننا أن نرى أن هذا هو المتجه العمودي للخط المستقيم ، a هو المتجه الطبيعي للخط. هذه المتجهات ليست على خط مستقيم، لأنه لا يوجد عدد حقيقي t الذي تكون المساواة فيه ( ). وبالتالي، فإن الشرط الضروري والكافي لتوازي المستقيمات على المستوى غير متوافر، وبالتالي فإن المستقيمات المعطاة ليست متوازية.

إجابة:

لا، الخطوط ليست متوازية.

مثال.

هل الخطوط مستقيمة ومتوازية؟

حل.

دعونا نختصر المعادلة القانونية للخط المستقيم إلى معادلة الخط المستقيم بمعامل زاوية: . من الواضح أن معادلات الخطوط و ليست هي نفسها (في هذه الحالة، الخطوط المعطاة ستكون هي نفسها) والمعاملات الزاوية للخطوط متساوية، وبالتالي فإن الخطوط الأصلية متوازية.