إيجاد مجموعة قيم الدالة نطاق الوظيفة (مجموعة قيم الوظائف)

يسمى اعتماد متغير واحد على آخر الاعتماد الوظيفي.متغير التبعية ذمن متغير سمُسَمًّى وظيفة، إذا كانت كل قيمة سيطابق قيمة واحدة ذ.

تعيين:

عامل سيسمى المتغير المستقل أو دعوى، والمتغير ذ- متكل. ويقولون ان ذهي وظيفة س. معنى ذ، المقابلة للقيمة المحددة س، مُسَمًّى قيمة الوظيفة.

كل القيم التي يقبلها س، استمارة مجال الوظيفة; كل القيم التي يتطلبها ذ، استمارة مجموعة من القيم الوظيفية.

التسميات:

د(و)- قيم الوسيطة. ه(و)- القيم الوظيفية. إذا تم إعطاء دالة بواسطة صيغة، فإن مجال التعريف يعتبر يتكون من جميع قيم المتغير الذي تكون هذه الصيغة منطقية له.

الرسم البياني الوظيفيهي مجموعة من جميع النقاط على المستوى الإحداثي التي تتساوى حدودها مع قيم الوسيطة، وتكون إحداثياتها مساوية للقيم المقابلة للدالة. إذا كانت بعض القيمة س=س 0يتطابق مع قيم متعددة (وليس واحدة فقط) ذ، فإن مثل هذه المراسلات ليست وظيفة. لكي تكون مجموعة النقاط على المستوى الإحداثي رسمًا بيانيًا لدالة معينة، من الضروري والكافي أن يتقاطع أي خط مستقيم موازٍ لمحور أوي مع الرسم البياني عند نقطة واحدة فقط.

طرق تحديد الوظيفة

1) يمكن ضبط الوظيفة تحليليافي شكل صيغة. على سبيل المثال،

2) يمكن تحديد الوظيفة من خلال جدول مكون من عدة أزواج (س؛ ص).

3) يمكن تحديد الوظيفة بيانيا. أزواج القيمة (س؛ ص)تم تصويرها على المستوى الإحداثي.

رتابة الوظيفة

وظيفة و (خ)مُسَمًّى في ازديادعلى فاصل رقمي محدد، إذا كانت القيمة الأكبر للوسيطة تتوافق مع قيمة أكبر للدالة. تخيل أن نقطة معينة تتحرك على طول الرسم البياني من اليسار إلى اليمين. ثم يبدو أن النقطة "تصعد" إلى أعلى الرسم البياني.

وظيفة و (خ)مُسَمًّى متناقصعلى فاصل رقمي معين، إذا كانت القيمة الأكبر للوسيطة تتوافق مع قيمة أصغر للدالة. تخيل أن نقطة معينة تتحرك على طول الرسم البياني من اليسار إلى اليمين. عندها ستبدو النقطة وكأنها "تتدحرج" إلى أسفل الرسم البياني.

تسمى الدالة التي تزيد أو تنقص فقط خلال فترة رقمية معينة رتيبفي هذه الفترة.

أصفار الدالة وفترات الإشارة الثابتة

قيم X، الذي ص=0، مُسَمًّى وظيفة الأصفار. هذه هي حدود نقاط تقاطع الرسم البياني للوظيفة مع محور الثور.

مثل هذه النطاقات من القيم س، حيث تكون قيم الدالة ذيتم استدعاء إما الإيجابية فقط أو السلبية فقط فترات الإشارة الثابتة للدالة.

وظائف زوجية وغريبة

دالة زوجية
1) مجال التعريف متماثل بالنسبة للنقطة (0؛ 0)، أي إذا كانت النقطة أينتمي إلى مجال التعريف، ثم هذه النقطة -أينتمي أيضًا إلى مجال التعريف.
2) لأي قيمة س و(-س)=و(خ)
3) الرسم البياني للدالة الزوجية متماثل حول محور أوي.

وظيفة غريبةلديه الخصائص التالية:
1) مجال التعريف متماثل حول النقطة (0؛ 0).
2) لأي قيمة س، تنتمي إلى مجال التعريف، المساواة و(-س)=-و(خ)
3) الرسم البياني للدالة الفردية متماثل بالنسبة إلى الأصل (0؛ 0).

ليست كل دالة زوجية أو فردية. المهام منظر عامليست حتى ولا غريبة.

وظائف دورية

وظيفة Fيسمى الدوري إذا كان هناك رقم من هذا القبيل لأي سمن مجال تعريف المساواة و(س)=و(س-T)=و(س+T). تهي فترة الوظيفة.

كل دالة دورية لها عدد لا نهائي من الفترات. ومن الناحية العملية، عادة ما تؤخذ في الاعتبار أصغر فترة إيجابية.

تتكرر قيم الدالة الدورية بعد فترة تساوي الفترة. يتم استخدامه عند إنشاء الرسوم البيانية.

سننتقل اليوم في الدرس إلى أحد المفاهيم الأساسية في الرياضيات - مفهوم الوظيفة؛ دعونا نلقي نظرة فاحصة على إحدى خصائص الدالة - مجموعة قيمها.

خلال الفصول الدراسية

مدرس. أثناء حل المشكلات، نلاحظ أنه في بعض الأحيان يكون العثور على مجموعة قيم الدالة هو ما يضعنا في مواقف صعبة. لماذا؟ يبدو أننا، بعد أن درسنا وظيفة ما منذ الصف السابع، نعرف الكثير عنها. ولذلك، لدينا كل الأسباب لاتخاذ خطوة استباقية. دعونا "نلعب" مع العديد من القيم الوظيفية اليوم من أجل الإجابة على العديد من الأسئلة حول هذا الموضوع في الاختبار القادم.

مجموعات من قيم الوظائف الأولية

مدرس. أولاً، تحتاج إلى تكرار الرسوم البيانية والمعادلات ومجموعات قيم الوظائف الأولية الأساسية في جميع أنحاء مجال التعريف بأكمله.

يتم عرض الرسوم البيانية للوظائف على الشاشة: الخطية، التربيعية، الكسرية، المثلثية، الأسية واللوغاريتمية، لكل منها يتم تحديد مجموعة من القيم شفهيًا. لفت انتباه الطلاب إلى حقيقة أن الدالة الخطية E(f) = رأو رقم واحد، لخطي كسري

هذه هي الأبجدية لدينا. ومن خلال إضافة معرفتنا بالتحولات البيانية: الترجمة المتوازية، والتمدد، والضغط، والانعكاس، سنكون قادرين على حل مشاكل الجزء الأول امتحان الدولة الموحدة أصعب قليلاً. دعونا التحقق من ذلك.

عمل مستقل

ش تتم طباعة مصطلحات المشكلة وأنظمة الإحداثيات لكل طالب.

1. ابحث عن مجموعة قيم الوظائف في مجال التعريف بأكمله:

أ) ذ= 3 خطيئة X ;
ب) ذ = 7 – 2 X ;
الخامس) ذ= -أركوس ( س + 5):
ز) ذ= | com.arctg س |;
د)

2. ابحث عن مجموعة قيم الوظائف ذ = س 2 بينهما ج، لو:

أ) ج = ;
ب) ج = [–1; 5).

3. تعريف الدالة تحليلياً (بواسطة معادلة) إذا كانت مجموعة قيمها هي:

1) ه(F(س)) = (–∞ ; 2] و F(س) - وظيفة

أ) تربيعية،
ب) لوغاريتمي،
ج) توضيحي.

2) ه(F(س)) = ر \{7}.

عند مناقشة مهمة ما 2العمل المستقل، لفت انتباه الطلاب إلى حقيقة أنه في حالة الرتابة واستمرارية الوظيفة=F(س)في فترة زمنية معينة[أ;ب],معانيها كثيرة-فاصلة,التي نهاياتها هي قيم f(أ)و و(ب).

خيارات الإجابة للمهمة 3.

1.
أ) ذ = –س 2 + 2 , ذ = –(س + 18) 2 + 2,
ذ= أ(س – سج) 2 + 2 ص أ < 0.

ب) ذ= –| سجل 8 س | + 2,

الخامس) ذ = –| 3 س – 7 | + 2, ذ = –5 | س | + 3.

2.
أ) ب)

الخامس) ذ = 12 – 5س، أين س ≠ 1 .

العثور على قيم متعددة للدالة باستخدام المشتقة

مدرس. في الصف العاشر، تعرفنا على خوارزمية إيجاد الحدود القصوى لدالة متصلة على قطعة وإيجاد مجموعة قيمها، دون الاعتماد على الرسم البياني للدالة. هل تتذكر كيف فعلنا هذا؟ ( باستخدام مشتق.) دعونا نتذكر هذه الخوارزمية .

1. تأكد من الوظيفة ذ = F(س) محددة ومستمرة في المقطع ج = [أ; ب]. 2. ابحث عن قيم الدالة في نهايات المقطع: و(أ) و(ب). تعليق. إذا علمنا أن الدالة مستمرة ورتيبة ج، فيمكنك الإجابة على الفور: ه(F) = [F(أ); F(ب)] أو ه(F) = [F(ب); F(أ)]. 3. أوجد المشتقة ثم النقاط الحرجة س كج. 4. أوجد قيم الدالة عند النقاط الحرجة F(س ك). 5. قارن قيم الوظائف F(أ), F(ب) و F(س ك) ، حدد القيم الأكبر والأصغر للوظيفة وأعطي الإجابة: ه(F)= [Fاسم؛ Fنايب].

تم العثور على المشاكل التي تنطوي على استخدام هذه الخوارزمية في إصدارات امتحان الدولة الموحدة. على سبيل المثال، في عام 2008 تم اقتراح مثل هذه المهمة. عليك حلها منازل .

المهمة ج1.أوجد أكبر قيمة للدالة

F(س) = (0,5س + 1) 4 – 50(0,5س + 1) 2

في | س + 1| ≤ 3.

يتم طباعة شروط الواجب المنزلي لكل طالب .

العثور على مجموعة قيم دالة معقدة

مدرس. الجزء الرئيسي من درسنا سيكون المسائل غير القياسية التي تحتوي على دوال معقدة، ومشتقاتها عبارة عن تعبيرات معقدة للغاية. والرسوم البيانية لهذه الوظائف غير معروفة لنا. لذلك، للحل، سنستخدم تعريف دالة معقدة، أي الاعتماد بين المتغيرات في ترتيب تداخلها في دالة معينة، وتقدير نطاق قيمها (فترة التغير في قيم). تم العثور على مشاكل من هذا النوع في الجزء الثاني من امتحان الدولة الموحدة. دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة.

التمرين 1.للوظائف ذ = F(س) و ذ = ز(س) كتابة وظيفة معقدة ذ = F(ز(س)) وابحث عن مجموعة القيم الخاصة بها:

أ) F(س) = –س 2 + 2س + 3, ز(س) = خطيئة س;
ب) F(س) = –س 2 + 2س + 3, ز(س) = سجل 7 س;
الخامس) ز(س) = س 2 + 1;
ز)

حل.أ) الوظيفة المعقدة لها الشكل: ذ= -الخطيئة 2 س+ 2خطيئة س + 3.

تقديم حجة وسيطة ر، يمكننا كتابة هذه الدالة هكذا:

ذ= –ر 2 + 2ر+ 3، حيث ر= خطيئة س.

في الوظيفة الداخلية ر= خطيئة ستأخذ الوسيطة أي قيم، ومجموعة قيمها هي المقطع [-1؛ 1].

وهكذا بالنسبة للوظيفة الخارجية ذ = –ر 2 +2ر+3 اكتشفنا الفاصل الزمني لتغيير قيم وسيطته ر: ر[-1؛ 1]. دعونا نلقي نظرة على الرسم البياني للوظيفة ذ = –ر 2 +2ر + 3.

نلاحظ أن الدالة التربيعية عند ر[-1؛ 1] يأخذ القيم الصغرى والأكبر في طرفيه: ذالاسم = ذ(–1) = 0 و ذنايب = ذ(1) = 4. وبما أن هذه الدالة متصلة على الفترة [–1; 1] فيقبل جميع القيم بينهما.

إجابة: ذ .

ب) يقودنا تركيب هذه الدوال إلى دالة معقدة يمكن تمثيلها بعد إدخال وسيط وسيط على النحو التالي:

ذ= –ر 2 + 2ر+ 3، حيث ر= سجل 7 س,

وظيفة ر= سجل 7 س

س (0; +∞ ), ر (–∞ ; +∞ ).

وظيفة ذ = –ر 2 + 2ر+ 3 (انظر الرسم البياني) وسيطة رتأخذ أي قيم، والدالة التربيعية نفسها تأخذ جميع القيم بما لا يزيد عن 4.

إجابة: ذ (–∞ ; 4].

ج) الوظيفة المعقدة لها الشكل التالي:

بتقديم وسيطة وسيطة، نحصل على:

أين ر = س 2 + 1.

منذ للوظيفة الداخلية س ر ، أ ر .

إجابة: ذ (0; 3].

د) تكوين هاتين الوظيفتين يعطينا وظيفة معقدة

والتي يمكن كتابتها ك

لاحظ أن

اذن متى

أين ك ز , ر [–1; 0) (0; 1].

من خلال رسم رسم بياني للوظيفة ونحن نرى ذلك مع هذه القيم ر

ذ(–∞ ; –4] ج ;

ب) في جميع أنحاء منطقة التعريف بأكملها.

حل.أولا، نقوم بفحص هذه الوظيفة للرتابة. وظيفة ر= arcctg س- المستمر والتناقص بنسبة ر ومجموعة قيمها (0؛ π). وظيفة ذ= سجل 5 ريتم تعريفه على الفترة (0؛ π)، وهو مستمر ويزيد عليه. هذا يعني أن هذه الوظيفة المعقدة تتناقص على المجموعة ر . وهي، كتركيبة من وظيفتين متصلتين، ستكون مستمرة ر .

دعونا نحل المشكلة "أ".

بما أن الدالة متصلة على خط الأعداد بأكمله، فهي متصلة على أي جزء منه، وعلى وجه الخصوص، على قطعة معينة. ثم على هذه القطعة لها القيم الصغرى والأكبر وتأخذ كل القيم بينهما:

F(4) = سجل 5 arcctg 4.

أي من القيم الناتجة أكبر؟ لماذا؟ وماذا ستكون مجموعة القيم؟

إجابة:

دعونا نحل المشكلة "ب".

إجابة: في(–∞ ؛ سجل 5 π) على كامل منطقة التعريف.

مشكلة في المعلمة

الآن دعونا نحاول إنشاء وحل معادلة بسيطة بمعلمة النموذج F(س) = أ، أين F(س) - نفس الوظيفة كما في المهمة 4.

المهمة 5.تحديد عدد جذور المعادلة سجل 5 (arcctg س) = ألكل قيمة المعلمة أ.

حل.كما أظهرنا بالفعل في المهمة 4، الوظيفة في= سجل 5(arcctg س) - يتناقص ويستمر ر ويأخذ قيمًا أقل من السجل 5 π. هذه المعلومات كافية لإعطاء إجابة.

إجابة:لو أ < log 5 π, то уравнение имеет единственный корень;

لو أ≥ سجل 5 π، فلا توجد جذور.

مدرس. نظرنا اليوم إلى المشكلات المتعلقة بإيجاد مجموعة قيم الدالة. وعلى طول هذا المسار، اكتشفنا طريقة جديدة لحل المعادلات والمتباينات - طريقة التقدير، لذلك أصبح العثور على مجموعة قيم الدالة وسيلة لحل المشكلات ذات المستوى الأعلى. ومن خلال القيام بذلك، رأينا كيف يتم إنشاء مثل هذه المشكلات وكيف أن خصائص رتابة الوظيفة تسهل حلها.

وأود أن أتمنى أن يكون المنطق الذي ربط المهام التي تمت مناقشتها اليوم قد أذهلكم أو على الأقل فاجأكم. لا يمكن أن يكون الأمر خلاف ذلك: التسلق إلى قمة جديدة لا يترك أحداً غير مبال! نحن نلاحظ ونقدر اللوحات الجميلة والمنحوتات وما إلى ذلك. لكن للرياضيات أيضًا جمالها الخاص والجذاب والساحر - جمال المنطق. يقول علماء الرياضيات أن الحل الجميل عادة ما يكون حلا صحيحا، وهذه ليست مجرد عبارة. والآن عليك أن تجد مثل هذه الحلول بنفسك، وقد أشرنا إلى أحد الطرق لها اليوم. كل التوفيق لك! وتذكر: من يمشي سيتقن الطريق!

الدالة هي واحدة من أهم المفاهيم الرياضية.

التعريف: إذا كان كل رقم من مجموعة معينة x مرتبطًا برقم واحد y، فيقولون أن الدالة y(x) محددة في هذه المجموعة. في هذه الحالة، يسمى x المتغير المستقل أو الوسيطة، ويسمى y المتغير التابع أو قيمة دالة أو مجرد دالة.

يقال أيضًا أن المتغير y هو دالة للمتغير x.

بعد الإشارة إلى تطابق بحرف، على سبيل المثال f، فمن الملائم الكتابة: y=f (x)، أي يتم الحصول على القيمة y من الوسيطة x باستخدام المطابقة f. (اقرأ: y يساوي f x.) يشير الرمز f (x) إلى قيمة الدالة المقابلة لقيمة الوسيطة التي تساوي x.

مثال 1 دع الدالة تعطى بالصيغة y=2x 2 –6. ثم يمكننا أن نكتب أن f(x)=2x 2 –6. لنجد قيم الدالة لقيم x تساوي، على سبيل المثال، 1؛ 2.5؛-3؛ أي أننا نجد f(1)، f(2.5)، f(–3):

و(1)=2 1 2 –6=–4;
و(2.5)=2 2.5 2 –6=6.5;
و(–3)=2 (–3) 2 –6= 12.

لاحظ أنه في تدوين النموذج y=f (x) يتم استخدام أحرف أخرى بدلاً من f: g، وما إلى ذلك.

التعريف: مجال الدالة هو كل قيم x التي توجد لها الدالة.

إذا تم تحديد دالة بواسطة صيغة ولم يتم تحديد مجال تعريفها، فإن مجال تعريف الدالة يعتبر يتكون من جميع قيم الوسيطة التي تكون الصيغة منطقية لها.

بمعنى آخر، مجال الدالة المعطاة بواسطة الصيغة هو جميع قيم الوسيطة باستثناء تلك التي تؤدي إلى إجراءات لا يمكننا تنفيذها. في الوقت الحالي، لا نعرف سوى إجراءين من هذا القبيل. لا يمكننا القسمة على صفر ولا يمكننا أخذ الجذر التربيعي لعدد سالب.

التعريف: جميع القيم التي يأخذها المتغير التابع تشكل نطاق الدالة.

يعتمد مجال تعريف الوظيفة التي تصف العملية الحقيقية على الظروف المحددة لحدوثها. على سبيل المثال، يتم التعبير عن اعتماد الطول l لقضيب حديدي على درجة حرارة التسخين t بالصيغة، حيث l 0 هو الطول الأولي للقضيب، وهو معامل التمدد الخطي. هذه الصيغة منطقية لأي قيم t. ومع ذلك، فإن مجال تعريف الدالة l=g(t) هو فاصل زمني من عدة عشرات من الدرجات، والذي يكون قانون التوسع الخطي صالحًا له.

مثال.

حدد نطاق الوظيفة y = arcsinx.

حل.

مجال تعريف قوس الجيب هو القطعة [-1; 1] . دعونا نجد أكبر وأصغر قيمة للدالة في هذا القطاع.

المشتق إيجابي للجميع سمن الفاصل (-1; 1) أي أن دالة arcsine تزيد على نطاق التعريف بأكمله. ولذلك، فإنه يأخذ أصغر قيمة عندما س = -1، والأعظم في س = 1.

لقد حصلنا على نطاق وظيفة أركسين .

أوجد مجموعة قيم الدالة على الجزء .

حل.

دعونا نجد أكبر وأصغر قيمة للدالة في قطعة معينة.

دعونا نحدد النقاط القصوى التي تنتمي إلى هذا الجزء :

في كثير من الأحيان، كجزء من حل المشكلات، يتعين علينا البحث عن العديد من قيم الوظيفة في مجال التعريف أو المقطع. على سبيل المثال، يجب القيام بذلك عند حل أنواع مختلفة من المتباينات، وتقييم التعبيرات، وما إلى ذلك.

في هذه المادة، سنخبرك ما هو نطاق قيم الوظيفة، ونقدم الطرق الرئيسية التي يمكن من خلالها حسابها، ونحلل المشكلات بدرجات متفاوتة من التعقيد. وللتوضيح، تم توضيح الأحكام الفردية بالرسوم البيانية. بعد قراءة هذه المقالة، سوف تحصل على فهم شامل لنطاق الوظيفة.

لنبدأ بالتعاريف الأساسية.

التعريف 1

مجموعة قيم الدالة y = f (x) في فترة معينة x هي مجموعة كل القيم التي تأخذها هذه الدالة عند التكرار على كل القيم x ∈ X.

التعريف 2

نطاق قيم الدالة y = f (x) هو مجموعة جميع قيمها التي يمكن أن تأخذها عند البحث في قيم x من النطاق x ∈ (f).

يُشار عادةً إلى نطاق قيم دالة معينة بالرمز E (f).

يرجى ملاحظة أن مفهوم مجموعة قيم الدالة لا يتطابق دائمًا مع نطاق قيمها. ستكون هذه المفاهيم متكافئة فقط إذا كان الفاصل الزمني لقيم x عند العثور على مجموعة من القيم يتزامن مع مجال تعريف الوظيفة.

ومن المهم أيضًا التمييز بين نطاق القيم ومدى القيم المقبولة للمتغير x للتعبير الموجود على الجانب الأيمن y = f (x). سيكون نطاق القيم المسموح بها x للتعبير f (x) هو مجال تعريف هذه الوظيفة.

وفيما يلي رسم توضيحي يوضح بعض الأمثلة. الخطوط الزرقاء عبارة عن رسوم بيانية وظيفية، والخطوط الحمراء عبارة عن خطوط مقاربة، والنقاط الحمراء والخطوط الموجودة على المحور الإحداثي هي نطاقات وظيفية.

من الواضح أنه يمكن الحصول على نطاق قيم الدالة من خلال إسقاط الرسم البياني للدالة على المحور O y. علاوة على ذلك، يمكن أن يمثل إما رقمًا واحدًا أو مجموعة من الأرقام، أو قطعة، أو فاصلًا، أو شعاعًا مفتوحًا، أو اتحادًا للفواصل الرقمية، وما إلى ذلك.

دعونا نلقي نظرة على الطرق الرئيسية للعثور على نطاق قيم الوظيفة.

لنبدأ بتحديد مجموعة قيم الدالة المستمرة y = f (x) على مقطع معين يُشار إليه بـ [ a ; ب ] . نحن نعلم أن الدالة المستمرة على قطعة معينة تصل إلى الحد الأدنى والحد الأقصى عليها، أي أكبر m a x x ∈ a ; b f (x) وأصغر قيمة m i n x ∈ a ; ب و (خ) . هذا يعني أننا حصلنا على القطعة المستقيمة m i n x ∈ a ; فرنك بلجيكي (خ) ؛ م أ س س ∈ أ ; b f (x) ، والذي سيحتوي على مجموعات قيم الدالة الأصلية. ثم كل ما يتعين علينا القيام به هو العثور على الحد الأدنى والحد الأقصى للنقاط المشار إليها في هذا الجزء.

لنأخذ مسألة نحتاج فيها إلى تحديد نطاق قيم قوس الجيب.

مثال 1

حالة:أوجد نطاق القيم y = a r c sin x .

حل

في الحالة العامة، يقع مجال تعريف قوس الجيب على المقطع [ - 1 ; 1] . نحن بحاجة إلى تحديد أكبر وأصغر قيمة للوظيفة المحددة عليها.

y " = a r c sin x " = 1 1 - x 2

نحن نعلم أن مشتق الدالة سيكون موجبًا لجميع قيم x الموجودة في الفترة [ - 1 ; 1 ]، أي أنه في جميع أنحاء مجال التعريف بأكمله، ستزداد وظيفة arcsine. هذا يعني أنها ستأخذ أصغر قيمة عندما تكون x مساوية لـ -1، والقيمة الأكبر عندما تكون x مساوية لـ 1.

م أنا ن س ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - π 2 m a x x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin 1 = π 2

وبالتالي فإن نطاق قيم دالة arcsine سيكون مساوياً لـ E (a r c sin x) = - π 2; بي 2.

إجابة: E (a r c sin x) = - π 2 ; بي 2

مثال 2

حالة:احسب نطاق القيم y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 في الفترة المحددة [ 1 ; 4 ] .

حل

كل ما علينا فعله هو حساب القيمة الأكبر والأصغر للدالة في فترة زمنية معينة.

لتحديد النقاط القصوى يجب إجراء الحسابات التالية:

y " = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 " = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1; 4 و l و 4 x 2 - 15 x + 12 = 0 D = - 15 2 - 4 4 12 = 33 x 2 = 15 - 33 8 ≈ 1. 16 ∈ 1 ; 4 ؛ س 3 = 15 + 33 8 ≈ 2 . 59 ∈ 1 ; 4

الآن لنجد قيم الدالة المعطاة في نهايات المقطع والنقاط x 2 = 15 - 33 8; × 3 = 15 + 33 8:

ص (1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 ص 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33512 ≈ 2. 08 ص 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 · 15 + 33 8 3 + 6 · 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 ص (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32

وهذا يعني أنه سيتم تحديد مجموعة قيم الوظائف من خلال المقطع 117 - 165 33 512؛ 32.

إجابة: 117 - 165 33 512 ; 32 .

دعنا ننتقل إلى إيجاد مجموعة قيم الدالة المستمرة y = f (x) في الفترات (a ; b) وa ; + ∞ , - ∞ ; ب , - ∞ ; + ∞ .

لنبدأ بتحديد أكبر وأصغر النقاط، بالإضافة إلى فترات الزيادة والتناقص في فترة معينة. بعد ذلك، سنحتاج إلى حساب النهايات أحادية الجانب عند نهايات الفترة و/أو النهايات عند ما لا نهاية. بمعنى آخر، نحن بحاجة إلى تحديد سلوك الوظيفة في ظل ظروف معينة. لدينا جميع البيانات اللازمة لذلك.

مثال 3

حالة:احسب مدى الدالة y = 1 x 2 - 4 على الفترة (- 2 ; 2) .

حل

تحديد أكبر وأصغر قيمة للدالة في مقطع معين

y " = 1 x 2 - 4 " = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2)

لقد حصلنا على قيمة قصوى تساوي 0، لأنه عند هذه النقطة تتغير إشارة الدالة ويبدأ الرسم البياني في الانخفاض. انظر الرسم التوضيحي:

أي أن y (0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 ستكون القيمة القصوى للدالة.

الآن دعونا نحدد سلوك الدالة لـ x التي تميل إلى - 2 على الجانب الأيمن و+2 على الجانب الأيسر. بمعنى آخر نجد الحدود من جانب واحد:

الحد x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = الحد x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 · 1 + 0 = - ∞ الحد x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = الحد x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = - ∞

اتضح أن قيم الدالة ستزداد من ناقص اللانهاية إلى - 1 4 عندما يتغير الوسيط من - 2 إلى 0. وعندما يتغير الوسيط من 0 إلى 2، تتناقص قيم الدالة نحو سالب ما لا نهاية. وبالتالي، فإن مجموعة قيم دالة معينة في الفترة التي نحتاجها ستكون (- ∞ ; - 1 4 ] .

إجابة: (- ∞ ; - 1 4 ] .

مثال 4

حالة: الإشارة إلى مجموعة القيم y = t g x في فترة زمنية معينة - π 2; بي 2.

حل

نحن نعلم أنه في الحالة العامة، يكون مشتق المماس هو - π 2؛ π 2 ستكون موجبة، أي أن الدالة ستزداد. الآن دعونا نحدد كيف تتصرف الدالة ضمن الحدود المعطاة:

lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞

حصلنا على زيادة في قيم الدالة من سالب ما لا نهاية إلى زائد ما لا نهاية عندما يتغير الوسيط من - π 2 إلى π 2، ويمكننا القول أن مجموعة الحلول لهذه الدالة ستكون مجموعة جميع الأعداد الحقيقية .

إجابة: - ∞ ; + ∞ .

مثال 5

حالة:حدد مدى دالة اللوغاريتم الطبيعي y = ln x.

حل

نحن نعلم أن هذه الوظيفة محددة للقيم الموجبة للوسيطة D (y) = 0؛ + ∞ . المشتقة في فترة معينة ستكون موجبة: y " = ln x " = 1 x . وهذا يعني أن الدالة تزيد عليه. بعد ذلك نحتاج إلى تحديد حد من جانب واحد للحالة عندما تميل الوسيطة إلى 0 (على الجانب الأيمن) وعندما تذهب x إلى ما لا نهاية:

lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞

وجدنا أن قيم الدالة ستزداد من سالب ما لا نهاية إلى موجب ما لا نهاية حيث تتغير قيم x من صفر إلى موجب ما لا نهاية. وهذا يعني أن مجموعة جميع الأعداد الحقيقية هي نطاق قيم دالة اللوغاريتم الطبيعي.

إجابة:مجموعة جميع الأعداد الحقيقية هي نطاق قيم دالة اللوغاريتم الطبيعي.

مثال 6

حالة:أوجد مدى الدالة y = 9 x 2 + 1 .

حل

يتم تعريف هذه الوظيفة بشرط أن يكون x رقمًا حقيقيًا. دعونا نحسب القيم الأكبر والأصغر للدالة، وكذلك فترات الزيادة والنقصان:

y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≥ 0

ونتيجة لذلك، قررنا أن هذه الدالة ستنخفض إذا كانت x ≥ 0؛ زيادة إذا س ≥ 0 ; لها نقطة عظمى y (0) = 9 0 2 + 1 = 9 بمتغير يساوي 0.

دعونا نرى كيف تتصرف الدالة عند اللانهاية:

ليم x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 ليم x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0

ويتضح من السجل أن قيم الدالة في هذه الحالة ستقترب بشكل مقارب من 0.

لتلخيص ذلك: عندما تتغير الوسيطة من ناقص اللانهاية إلى الصفر، تزيد قيم الدالة من 0 إلى 9. عندما تتغير قيم الوسيطة من 0 إلى زائد اللانهاية، ستنخفض قيم الدالة المقابلة من 9 إلى 0. وقد بينا ذلك في الشكل:

يوضح أن نطاق قيم الدالة سيكون الفاصل الزمني E (y) = (0 ; 9 ]

إجابة:ه (ص) = (0 ; 9 ]

إذا أردنا تحديد مجموعة قيم الدالة y = f (x) على الفترات [ a ; b) , (a ; b ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; b ] , فسنحتاج إلى إجراء نفس الدراسات بالضبط. لن نحلل هذه الحالات في الوقت الحالي: سنواجهها لاحقًا مشاكل.

ولكن ماذا لو كان مجال تعريف دالة معينة عبارة عن اتحاد لعدة فترات؟ ثم نحتاج إلى حساب مجموعات القيم في كل فترة من هذه الفترات ودمجها.

مثال 7

حالة:تحديد نطاق القيم الذي سيكون y = x x - 2 .

حل

بما أنه لا ينبغي تحويل مقام الدالة إلى 0، فإن D (y) = - ∞; 2 ∪ 2 ; + ∞ .

لنبدأ بتحديد مجموعة قيم الوظائف في الجزء الأول - ∞؛ 2، وهو شعاع مفتوح. ونحن نعلم أن الدالة الموجودة عليها ستنخفض، أي أن مشتقة هذه الدالة ستكون سالبة.

lim x → 2 - 0 x x - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ x x - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 س - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0

بعد ذلك، في الحالات التي تتغير فيها الوسيطة نحو ناقص اللانهاية، ستقترب قيم الدالة بشكل مقارب من 1. إذا تغيرت قيم x من ناقص ما لا نهاية إلى 2، فإن القيم ستنخفض من 1 إلى ناقص ما لا نهاية، أي. ستأخذ الوظيفة في هذا المقطع قيمًا من الفاصل الزمني - ∞؛ 1 . نستبعد الوحدة من اعتباراتنا، إذ أن قيم الدالة لا تصل إليها، بل تقترب منها فقط بشكل تقاربي.

للشعاع المفتوح 2؛ + ∞ نقوم بنفس الإجراءات تمامًا. الوظيفة الموجودة عليها تتناقص أيضًا:

ليم x → 2 + 0 x x - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x x - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 س - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0

يتم تحديد قيم الوظيفة في مقطع معين بواسطة المجموعة 1؛ + ∞ . وهذا يعني أن نطاق القيم التي نحتاجها للدالة المحددة في الشرط سيكون اتحاد المجموعات - ∞ ؛ 1 و 1؛ + ∞ .

إجابة:ه (ذ) = - ∞ ؛ 1 ∪ 1 ; + ∞ .

ويمكن ملاحظة ذلك على الرسم البياني:

حالة خاصة هي الوظائف الدورية. يتزامن نطاق قيمها مع مجموعة القيم في الفاصل الزمني الذي يتوافق مع فترة هذه الوظيفة.

مثال 8

حالة:تحديد نطاق قيم الجيب y = sin x.

حل

جيب الجيب هو دالة دورية ودورتها هي 2 باي. خذ القطعة 0؛ 2 π وانظر ماذا ستكون مجموعة القيم عليه.

y " = (sin x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z

ضمن 0 ; 2 π سيكون للدالة نقاط قصوى π 2 و x = 3 π 2 . لنحسب ما ستكون عليه قيم الدالة، وكذلك على حدود المقطع، ثم نختار القيمة الأكبر والأصغر.

y (0) = sin 0 = 0 y π 2 = sin π 2 = 1 y 3 π 2 = sin 3 π 2 = - 1 y (2 π) = sin (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π خطيئة x = خطيئة 3 π 2 = - 1, الحد الأقصى x ∈ 0; 2 π خطيئة x = خطيئة π 2 = 1

إجابة:ه (الخطيئة س) = - 1 ; 1 .

إذا كنت بحاجة إلى معرفة نطاقات الدوال مثل القوة، الأسية، اللوغاريتمية، المثلثية، المثلثية العكسية، فننصحك بإعادة قراءة المقال الخاص بالدوال الأولية الأساسية. النظرية التي نقدمها هنا تسمح لنا بالتحقق من القيم المذكورة هناك. يُنصح بتعلمها لأنها مطلوبة غالبًا عند حل المشكلات. إذا كنت تعرف نطاقات الدوال الأساسية، فيمكنك بسهولة العثور على نطاقات الدوال التي تم الحصول عليها من الدوال الأولية باستخدام التحويل الهندسي.

مثال 9

حالة:حدد مدى القيم y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 .

حل

نحن نعلم أن الجزء من 0 إلى pi هو نطاق جيب التمام القوسي. بمعنى آخر، E (a r c cos x) = 0؛ π أو 0 ≥ a r c cos x ≥ π . يمكننا الحصول على الدالة a r c cos x 3 + 5 π 7 من قوس جيب التمام عن طريق تحريكها وتمديدها على طول المحور O x، لكن مثل هذه التحولات لن تعطينا أي شيء. هذا يعني 0 ≥ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≥ π .

يمكن الحصول على الدالة 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 من قوس جيب التمام a r c cos x 3 + 5 π 7 عن طريق التمديد على طول المحور الإحداثي، أي. 0 ≥ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 ≥ 3 π . التحول النهائي هو التحول على طول المحور O بمقدار 4 قيم. ونتيجة لذلك نحصل على عدم المساواة المزدوجة:

0 - 4 ≥ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≥ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≥ 3 arccos x 3 + 5 π 7 - 4 ≥ 3 π - 4

وجدنا أن نطاق القيم التي نحتاجها سيكون مساوياً لـ E (y) = - 4؛ 3 ط - 4 .

إجابة:ه (ص) = - 4 ; 3 ط - 4 .

سنكتب مثالا آخر دون شرح، لأنه إنه مشابه تمامًا للسابق.

مثال 10

حالة:احسب مدى الدالة y = 2 2 x - 1 + 3.

حل

لنعيد كتابة الدالة المحددة في الشرط بالشكل y = 2 · (2 ​​x - 1) - 1 2 + 3. بالنسبة لوظيفة الطاقة y = x - 1 2 سيتم تحديد نطاق القيم على الفاصل الزمني 0؛ + ∞، أي س - 1 2 > 0 . في هذه الحالة:

2 س - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 س - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 س - 1) - 1 2 + 3 > 3

إذن E(y) = 3; + ∞ .

إجابة:ه(ص) = 3؛ + ∞ .

الآن دعونا نلقي نظرة على كيفية العثور على نطاق قيم دالة غير متصلة. للقيام بذلك، نحتاج إلى تقسيم المنطقة بأكملها إلى فترات وإيجاد مجموعات من القيم في كل منها، ثم دمج ما نحصل عليه. لفهم ذلك بشكل أفضل، ننصحك بمراجعة الأنواع الرئيسية لنقاط توقف الوظائف.

مثال 11

حالة:بالنظر إلى الدالة y = 2 sin x 2 - 4 , x ≥ - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3. احسب نطاق قيمه.

حل

يتم تعريف هذه الوظيفة لجميع قيم x. دعونا نحللها من أجل الاستمرارية مع قيم الوسيطة التي تساوي - 3 و 3:

ليم x → - 3 - 0 و (x) = ليم x → - 3 2 خطيئة x 2 - 4 = 2 خطيئة - 3 2 - 4 = - 2 خطيئة 3 2 - 4 ليم x → - 3 + 0 و (س) = ليم س → - 3 (1) = - 1 ⇒ ليم س → - 3 - 0 و (س) ≠ ليم س → - 3 + 0 و (س)

لدينا انقطاع غير قابل للإزالة من النوع الأول عندما تكون قيمة الوسيطة -3. عندما نقترب منها، تميل قيم الدالة إلى - 2 sin 3 2 - 4 ، وعندما تميل x إلى - 3 على الجانب الأيمن، فإن القيم ستميل إلى - 1 .

lim x → 3 - 0 f (x) = lim x → 3 - 0 (- 1) = 1 lim x → 3 + 0 f (x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞

لدينا انقطاع غير قابل للإزالة من النوع الثاني عند النقطة 3. عندما تميل الدالة إليها، تقترب قيمها - 1، عندما تميل إلى نفس النقطة على اليمين - إلى ناقص ما لا نهاية.

وهذا يعني أن مجال تعريف هذه الدالة بأكمله مقسم إلى ثلاث فترات (- ∞ ; - 3 ], (- 3 ; 3 ], (3 ; + ∞).

في أولها، حصلنا على الدالة y = 2 sin x 2 - 4. بما أن - 1 ≥ الخطيئة x ≥ 1، نحصل على:

1 ≥ الخطيئة × 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2

هذا يعني أنه في فترة زمنية معينة (- ∞ ; - 3 ] تكون مجموعة قيم الدالة [ - 6 ; 2 ] .

في نصف الفترة (- 3; 3 ]، تكون النتيجة دالة ثابتة y = - 1. وبالتالي، سيتم تخفيض مجموعة قيمها بأكملها في هذه الحالة إلى رقم واحد - 1.

في الفترة الثانية 3 ; + ∞ لدينا الدالة y = 1 x - 3 . وهي متناقصة لأن y " = - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:

ليم x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ ليم x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0

هذا يعني أن مجموعة قيم الدالة الأصلية لـ x > 3 هي المجموعة 0؛ + ∞ . الآن دعونا نجمع النتائج: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; + ∞ .

إجابة:ه (ص) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; + ∞ .

الحل موضح في الرسم البياني:

مثال 12

الحالة: توجد دالة y = x 2 - 3 e x. تحديد مجموعة قيمها.

حل

يتم تعريفه لجميع قيم الوسيطات التي هي أرقام حقيقية. دعونا نحدد الفترات التي ستزيد فيها هذه الوظيفة وفي أيها ستنخفض:

y " = x 2 - 3 e x " = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x

نحن نعلم أن المشتق سيصبح 0 إذا كانت x = - 1 و x = 3. لنضع هاتين النقطتين على المحور ونكتشف الإشارات التي سيحملها المشتق على الفترات الناتجة.

ستنخفض الدالة بمقدار (- ∞ ; - 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞) وتزيد بمقدار [ - 1 ; 3]. الحد الأدنى سيكون - 1، والحد الأقصى - 3.

الآن لنجد قيم الدالة المقابلة:

ص (- 1) = - 1 2 - 3 ه - 1 = - 2 ه y (3) = 3 2 - 3 ه 3 = 6 ه - 3

دعونا نلقي نظرة على سلوك الوظيفة عند اللانهاية:

ليم x → - ∞ x 2 - 3 ه x = - ∞ 2 - 3 ه - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ ليم x → + ∞ x 2 - 3 ه x = + ∞ 2 - 3 ه + ∞ = + ∞ + ∞ = = ليم x → + ∞ x 2 - 3 " e x " = ليم x → + ∞ 2 x e x = + ∞ + ∞ = = ليم x → + ∞ 2 x " (e x) " = 2 ليم x → + ∞ 1 ه س = 2 1 + ∞ = + 0

تم استخدام قاعدة لوبيتال لحساب النهاية الثانية. دعونا نصور التقدم المحرز في حلنا على الرسم البياني.

يوضح أن قيم الدالة ستنخفض من زائد اللانهاية إلى - 2 e عندما تتغير الوسيطة من ناقص اللانهاية إلى - 1. إذا تغير من 3 إلى زائد ما لا نهاية، فإن القيم ستنخفض من 6 ه - 3 إلى 0، ولكن لن يتم الوصول إلى 0.

وبالتالي، E(y) = [ - 2 e ; + ∞) .

إجابة: E(y) = [ - 2 e ; + ∞)

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

تقودنا العديد من المشكلات إلى البحث عن مجموعة من قيم الوظائف على شريحة معينة أو عبر مجال التعريف بأكمله. وتشمل هذه المهام تقييمات مختلفة للتعبيرات وحل عدم المساواة.

في هذه المقالة، سنحدد نطاق قيم الدالة، وننظر في طرق العثور عليها، ونحلل بالتفصيل حل الأمثلة من البسيط إلى الأكثر تعقيدًا. سيتم تزويد جميع المواد برسوم توضيحية من أجل الوضوح. لذا فإن هذه المقالة عبارة عن إجابة تفصيلية لسؤال حول كيفية العثور على مدى الدالة.

تعريف.

مجموعة قيم الدالة y = f(x) على الفاصل الزمني Xهي مجموعة جميع قيم الدالة التي تأخذها عند التكرار على كل شيء.

تعريف.

نطاق الوظيفة ص = و(خ)هي مجموعة جميع قيم الدالة التي تأخذها عند التكرار على كل x من مجال التعريف.

يُشار إلى نطاق الدالة بالرمز E(f) .

نطاق الدالة ومجموعة قيم الدالة ليسا نفس الشيء. سنعتبر هذه المفاهيم متكافئة إذا كان الفاصل الزمني X عند العثور على مجموعة قيم الدالة y = f(x) يتزامن مع مجال تعريف الدالة.

أيضًا، لا تخلط بين مدى الدالة والمتغير x للتعبير الموجود على الجانب الأيمن من المعادلة y=f(x) . نطاق القيم المسموح بها للمتغير x للتعبير f(x) هو مجال تعريف الدالة y=f(x) .

ويبين الشكل عدة أمثلة.

تظهر الرسوم البيانية للوظائف بخطوط زرقاء سميكة، والخطوط الحمراء الرفيعة هي الخطوط المقاربة، والنقاط والخطوط الحمراء على محور أوي توضح نطاق قيم الدالة المقابلة.

كما ترون، يتم الحصول على نطاق قيم الدالة من خلال إسقاط الرسم البياني للدالة على المحور الصادي. يمكن أن يكون رقمًا واحدًا (الحالة الأولى)، مجموعة أرقام (الحالة الثانية)، مقطعًا (الحالة الثالثة)، فاصلًا (الحالة الرابعة)، شعاعًا مفتوحًا (الحالة الخامسة)، اتحادًا (الحالة السادسة)، إلخ .

إذن ما الذي عليك فعله للعثور على نطاق قيم الوظيفة؟

لنبدأ بأبسط حالة: سنوضح كيفية تحديد مجموعة قيم دالة مستمرة y = f(x) على المقطع.

من المعروف أن الدالة المستمرة على فترة تصل إلى قيمها القصوى والصغرى عليها. وبالتالي فإن مجموعة قيم الدالة الأصلية على القطعة ستكون القطعة . وبالتالي، فإن مهمتنا تتلخص في العثور على أكبر وأصغر قيم الدالة على القطعة.

على سبيل المثال، لنجد نطاق قيم دالة أركسين.

مثال.

حدد نطاق الدالة y = arcsinx .

حل.

منطقة تعريف قوس الجيب هي القطعة [-1؛ 1] . دعونا نجد أكبر وأصغر قيمة للدالة في هذا القطاع.

المشتق موجب لكل x من الفاصل الزمني (-1; 1)، أي أن دالة قوس الجيب تزيد على مجال التعريف بأكمله. وبالتالي، فإنه يأخذ القيمة الأصغر عند x = -1، والقيمة الأكبر عند x = 1.

لقد حصلنا على نطاق وظيفة أركسين .

مثال.

أوجد مجموعة قيم الدالة على الجزء.

حل.

دعونا نجد أكبر وأصغر قيمة للدالة في قطعة معينة.

دعونا نحدد النقاط القصوى التي تنتمي إلى القطعة:

نحسب قيم الدالة الأصلية في نهايات القطعة وعند النقاط :

ولذلك، فإن مجموعة قيم الدالة على فترة ما هي الفترة .

سنبين الآن كيفية إيجاد مجموعة قيم الدالة المستمرة y = f(x) في الفترات (a; b) , .

أولاً، نحدد النقاط القصوى والنقاط القصوى للدالة وفترات الزيادة والنقصان للدالة في فترة معينة. بعد ذلك، نحسب نهايات الفترة و (أو) الحدود عند اللانهاية (أي أننا ندرس سلوك الوظيفة عند حدود الفترة أو عند اللانهاية). هذه المعلومات كافية للعثور على مجموعة قيم الوظائف في مثل هذه الفواصل الزمنية.

مثال.

تحديد مجموعة قيم الدالة على الفاصل الزمني (-2; 2) .

حل.

دعونا نجد النقاط القصوى للدالة التي تقع على الفترة (-2؛ 2):

نقطة x = 0 هي نقطة عظمى، حيث أن التغييرات المشتقة تشير من الموجب إلى الناقص عند المرور عبرها، وينتقل الرسم البياني للدالة من الزيادة إلى التناقص.

هناك الحد الأقصى المقابل للوظيفة.

دعونا نكتشف سلوك الدالة عندما يميل x إلى -2 على اليمين وعندما يميل x إلى 2 على اليسار، أي أننا نجد حدودًا من جانب واحد:

ما حصلنا عليه: عندما تتغير الوسيطة من -2 إلى صفر، تزداد قيم الدالة من ناقص ما لا نهاية إلى سالب الربع (الحد الأقصى للدالة عند x = 0)، وعندما تتغير الوسيطة من صفر إلى 2، فإن تنخفض قيم الدالة إلى ناقص اللانهاية. وبالتالي، فإن مجموعة قيم الدالة على الفاصل الزمني (-2؛ 2) هي .

مثال.

حدد مجموعة قيم دالة الظل y = tgx على الفاصل الزمني.

حل.

مشتقة دالة الظل على الفترة موجبة مما يدل على زيادة في الوظيفة. دعونا ندرس سلوك الوظيفة عند حدود الفاصل الزمني:

وبالتالي، عندما تتغير الوسيطة من إلى، تزداد قيم الدالة من سالب ما لا نهاية إلى زائد ما لا نهاية، أي أن مجموعة قيم الظل في هذا الفاصل الزمني هي مجموعة جميع الأعداد الحقيقية.

مثال.

أوجد مدى دالة اللوغاريتم الطبيعي y = lnx.

حل.

يتم تعريف وظيفة اللوغاريتم الطبيعي للقيم الإيجابية للوسيطة . في هذه الفترة تكون المشتقة موجبة فهذا يدل على زيادة الدالة عليه. دعونا نوجد النهاية من جانب واحد للدالة حيث تميل الوسيطة إلى الصفر على اليمين، والحد عندما تميل x إلى زائد ما لا نهاية:

نرى أنه عندما تتغير x من صفر إلى زائد ما لا نهاية، فإن قيم الدالة تزداد من سالب ما لا نهاية إلى زائد ما لا نهاية. ومن ثم، فإن مدى دالة اللوغاريتم الطبيعي هو المجموعة الكاملة للأعداد الحقيقية.

مثال.

حل.

يتم تعريف هذه الوظيفة لجميع القيم الحقيقية لـ x. دعونا نحدد النقاط القصوى، وكذلك فترات الزيادة والنقصان للدالة.

وبالتالي، فإن الدالة تتناقص عند، وتزداد عند، x = 0 هي النقطة القصوى، الحد الأقصى المقابل للوظيفة.

دعونا نلقي نظرة على سلوك الوظيفة عند اللانهاية:

وبالتالي، عند اللانهاية، تقترب قيم الدالة بشكل مقارب من الصفر.

اكتشفنا أنه عندما تتغير الوسيطة من سالب ما لا نهاية إلى صفر (النقطة القصوى)، تزداد قيم الدالة من صفر إلى تسعة (إلى الحد الأقصى للدالة)، وعندما تتغير x من صفر إلى زائد ما لا نهاية، فإن الدالة تنخفض القيم من تسعة إلى صفر.

انظر إلى الرسم التخطيطي.

الآن أصبح من الواضح أن نطاق قيم الدالة هو .

يتطلب العثور على مجموعة قيم الدالة y = f(x) على فترات إجراء بحث مماثل. لن نتناول هذه الحالات بالتفصيل الآن. سنلتقي بهم مرة أخرى في الأمثلة أدناه.

اجعل مجال تعريف الدالة y = f(x) هو اتحاد عدة فترات. عند العثور على نطاق قيم هذه الدالة، يتم تحديد مجموعات القيم في كل فترة ويتم أخذ اتحادها.

مثال.

أوجد نطاق الدالة.

حل.

يجب ألا يصل مقام الدالة إلى الصفر، أي .

أولاً، دعونا نوجد مجموعة قيم الدالة على الشعاع المفتوح.

مشتق من وظيفة سالبة في هذه الفترة، أي أن الدالة تتناقص عليها.

لقد وجدنا أنه بما أن الوسيطة تميل إلى ما لا نهاية، فإن قيم الدالة تقترب بشكل مقارب من الوحدة. عندما تتغير x من ناقص ما لا نهاية إلى اثنين، تنخفض قيم الدالة من واحد إلى ناقص ما لا نهاية، أي أنه على الفترة قيد النظر، تأخذ الدالة مجموعة من القيم. نحن لا نشمل الوحدة، إذ أن قيم الدالة لا تصل إليها، بل تميل إليها فقط بشكل مقارب عند سالب ما لا نهاية.

نتصرف بالمثل بالنسبة للشعاع المفتوح.

في هذه الفترة تنخفض الدالة أيضًا.

مجموعة قيم الدالة في هذا الفاصل الزمني هي المجموعة .

وبالتالي، فإن النطاق المطلوب من قيم الوظيفة هو اتحاد المجموعات و .

الرسم التوضيحي.

ينبغي إيلاء اهتمام خاص للوظائف الدورية. يتزامن نطاق قيم الدوال الدورية مع مجموعة القيم في الفترة المقابلة لفترة هذه الوظيفة.

مثال.

أوجد مدى دالة الجيب y = sinx.

حل.

هذه الوظيفة دورية بفترة 2 بي. لنأخذ مقطعًا ونحدد مجموعة القيم عليه.

يحتوي الجزء على نقطتين متطرفتين و .

نحسب قيم الدالة عند هذه النقاط وعلى حدود المقطع نختار القيم الأصغر والأكبر:

لذلك، .

مثال.

أوجد نطاق الدالة .

حل.

نحن نعلم أن نطاق قوس جيب التمام هو الجزء من صفر إلى pi، أي أو في مشاركة أخرى. وظيفة يمكن الحصول عليها من arccosx عن طريق التحول والتمدد على طول محور الإحداثي السيني. مثل هذه التحولات لا تؤثر على نطاق القيم، وبالتالي، . وظيفة تم الحصول عليها من تمتد ثلاث مرات على طول محور أوي، وهذا هو، . والمرحلة الأخيرة من التحول هي إزاحة أربع وحدات لأسفل على طول الإحداثي. وهذا يقودنا إلى مضاعفة عدم المساواة

وبالتالي فإن النطاق المطلوب من القيم هو .

لنعطي الحل بمثال آخر ولكن بدون شرح (ليست مطلوبة لأنها متشابهة تماما).

مثال.

تحديد نطاق الوظيفة .

حل.

دعونا نكتب الوظيفة الأصلية في النموذج . نطاق قيم دالة الطاقة هو الفاصل الزمني. إنه، . ثم

لذلك، .

لإكمال الصورة، يجب أن نتحدث عن إيجاد مدى قيم دالة غير متصلة في مجال التعريف. في هذه الحالة، نقوم بتقسيم مجال التعريف إلى فترات حسب نقاط الفاصل، ونجد مجموعات من القيم على كل منها. من خلال الجمع بين مجموعات القيم الناتجة، نحصل على نطاق قيم الدالة الأصلية. ننصح بتذكر 3 على اليسار، فقيم الدالة تميل إلى سالب واحد، وبما أن x تميل إلى 3 على اليمين، فإن قيم الدالة تميل إلى زائد ما لا نهاية.

ومن ثم، فإننا نقسم مجال تعريف الدالة إلى ثلاث فترات.

على الفاصل الزمني لدينا الدالة . منذ ذلك الحين

وبالتالي فإن مجموعة قيم الدالة الأصلية على الفاصل الزمني هي [-6;2] .

في نصف الفترة لدينا دالة ثابتة y = -1. أي أن مجموعة قيم الدالة الأصلية على الفاصل الزمني تتكون من عنصر واحد.

يتم تعريف الدالة لجميع قيم الوسيطات الصالحة. دعونا نكتشف فترات الزيادة والنقصان في الوظيفة.

يختفي المشتق عند x=-1 وx=3. لنضع علامة على هذه النقاط على خط الأعداد ونحدد علامات المشتقة على الفترات الناتجة.

الدالة تنخفض بنسبة ، يزيد بمقدار [-1؛ 3] , x=-1 نقطة دنيا، x=3 نقطة قصوى.

دعونا نحسب الحد الأدنى والحد الأقصى المقابل للوظيفة:

دعونا نتحقق من سلوك الوظيفة عند اللانهاية:

تم حساب الحد الثاني باستخدام .

لنقم بعمل رسم تخطيطي.

عندما تتغير الوسيطة من -1 إلى -1، تنخفض قيم الدالة من زائد ما لا نهاية إلى -2e، عندما تتغير الوسيطة من -1 إلى 3، تزيد قيم الدالة من -2e إلى، عندما تتغير الوسيطة من من 3 إلى زائد ما لا نهاية، تتناقص قيم الدالة من إلى الصفر، لكنها لا تصل إلى الصفر.