من دروس الرياضيات المدرسية، يتذكر الجميع رسم بياني جيبي يمتد إلى المسافة في موجات موحدة. العديد من الوظائف الأخرى لها خاصية مماثلة - التكرار بعد فترة زمنية معينة. يطلق عليهم الدورية. تعد الدورية خاصية مهمة جدًا للوظيفة، وغالبًا ما يتم مواجهتها في مهام مختلفة. لذلك، من المفيد أن تكون قادرًا على تحديد ما إذا كانت الوظيفة دورية أم لا.

تعليمات

• إذا كانت F(x) دالة للوسيطة x، فإنها تسمى دورية إذا كان هناك رقم T بحيث يكون لأي x F(x + T) = F(x). هذا الرقم T يسمى دورة الدالة، ويمكن أن يكون هناك عدة فترات. على سبيل المثال، تأخذ الدالة F = const نفس القيمة لأي قيمة للوسيطة، وبالتالي يمكن اعتبار أي رقم دورته. يهتم علماء الرياضيات عادة بأصغر فترة غير الصفر للدالة. للإيجاز، يطلق عليها ببساطة فترة.
• المثال الكلاسيكي للدوال الدورية هو حساب المثلثات: جيب التمام وجيب التمام والظل. دورتهم هي نفسها وتساوي 2π، أي sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) وهكذا. ومع ذلك، بطبيعة الحال، فإن الدوال المثلثية ليست هي الدالات الدورية الوحيدة.
• بالنسبة للوظائف الأساسية البسيطة، الطريقة الوحيدة لتحديد ما إذا كانت دورية أم غير دورية هي من خلال الحساب. ولكن بالنسبة للوظائف المعقدة، هناك بالفعل عدة قواعد بسيطة.
• إذا كانت F(x) دالة دورية ذات فترة T، وتم تعريف مشتق لها، فإن هذه المشتقة f(x) = F'(x) هي أيضًا دالة دورية ذات فترة T. بعد كل شيء، قيمة الدالة المشتق عند النقطة x يساوي ظل الرسم البياني لزاوية الظل، ومشتقه العكسي عند هذه النقطة للمحور x، وبما أن المشتق العكسي يتكرر بشكل دوري، فيجب تكرار المشتق أيضًا. على سبيل المثال، مشتق الدالة sin(x) يساوي cos(x)، وهو دوري. أخذ مشتق cos(x) يعطيك –sin(x). يبقى التردد دون تغيير، لكن العكس ليس صحيحا دائما. وبالتالي، فإن الدالة f(x) = const دورية، لكن مشتقها العكسي F(x) = const*x + C ليس كذلك.
• إذا كانت F(x) دالة دورية ذات فترة T، فإن G(x) = a*F(kx + b)، حيث a وb وk ثوابت وk لا تساوي الصفر - فهي أيضًا دالة دورية ، ومدته T/k. على سبيل المثال، sin(2x) هي دالة دورية، ودورتها هي π. يمكن تمثيل ذلك بصريًا على النحو التالي: بضرب x في رقم ما، يبدو أنك تضغط الرسم البياني للدالة أفقيًا عدة مرات بالضبط
• إذا كانت F1(x) وF2(x) دالتين دوريتين، وكانت فتراتهما تساوي T1 وT2، على التوالي، فإن مجموع هذه الوظائف يمكن أن يكون دوريًا أيضًا. ومع ذلك، فإن دورته لن تكون عبارة عن مجموع بسيط من الفترتين T1 وT2. إذا كانت نتيجة القسمة T1/T2 عددًا نسبيًا، فإن مجموع الدوال يكون دوريًا، ودورته تساوي المضاعف المشترك الأصغر (LCM) للفترتين T1 وT2. على سبيل المثال، إذا كانت دورة الدالة الأولى هي 12، ودورة الثانية هي 15، فإن دورة مجموعهما ستكون مساوية LCM (12، 15) = 60. ويمكن تمثيل ذلك بصريًا على النحو التالي: تأتي الوظائف بـ "عروض خطوات" مختلفة، ولكن إذا كانت نسبة عروضها عقلانية، فستصبح عاجلاً أم آجلاً (أو بالأحرى من خلال LCM للخطوات)، متساوية مرة أخرى، وسيبدأ مجموعها فترة جديدة.
• ومع ذلك، إذا كانت نسبة الدورات غير منطقية، فإن الدالة الإجمالية لن تكون دورية على الإطلاق. على سبيل المثال، لنفترض أن F1(x) = x mod 2 (الباقي عند قسمة x على 2)، وF2(x) = sin(x). T1 هنا سيكون مساويا لـ 2، و T2 سيكون مساويا لـ 2π. نسبة الفترات تساوي π - رقم غير منطقي. ولذلك، فإن الدالة sin(x) + x mod 2 ليست دورية.

من دروس الرياضيات المدرسية، يتذكر الجميع رسم بياني جيبي يمتد إلى المسافة في موجات موحدة. العديد من الوظائف الأخرى لها خاصية مماثلة - التكرار على فترات زمنية معينة. يطلق عليهم الدورية. الدورية هي نوعية مهمة جدًا للوظيفة، وغالبًا ما توجد في مهام مختلفة. وبالتالي، من المفيد أن تكون قادرًا على تحديد ما إذا كانت الوظيفة دورية أم لا.

تعليمات

1. إذا كانت F(x) دالة للوسيطة x، فإنها تسمى دورية إذا كان هناك رقم T بحيث يكون لكل x F(x + T) = F(x). هذا الرقم T يسمى دورة الدالة، ويمكن أن يكون هناك عدة فترات. لنفترض أن الدالة F = const تأخذ نفس القيمة لجميع قيم الوسيطة، وبالتالي يمكن اعتبار أي رقم دورته، تقليديًا، تهتم الرياضيات بالحد الأدنى من الدورة غير الصفرية للدالة. وللإيجاز يطلق عليها الفترة البدائية.

2. مثال نموذجي للوظائف الدورية هو حساب المثلثات: جيب التمام وجيب التمام والظل. دورتهما متطابقة وتساوي 2؟، أي sin(x) = sin(x + 2?) = sin(x + 4?) وهكذا. ومع ذلك، بطبيعة الحال، فإن الدوال المثلثية ليست دورية بشكل حصري.

3. فيما يتعلق بالوظائف الأساسية البدائية، فإن الطريقة الوحيدة لتحديد دوريتها أو عدم دوريتها هي الحسابات. ولكن بالنسبة للوظائف الصعبة، هناك بالفعل العديد من القواعد البدائية.

4. إذا كانت F(x) دالة دورية ذات فترة T، وتم تعريف مشتق لها، فإن هذه المشتقة f(x) = F?(x) هي أيضًا دالة دورية ذات فترة T. قيمة المشتق عند النقطة x يساوي ظل زاوية الظل الرسم البياني لمشتقها العكسي عند هذه النقطة إلى المحور x، وبما أن المشتق العكسي يتكرر بشكل دوري، يجب أيضًا تكرار المشتق. لنفترض أن مشتق الدالة sin(x) يساوي cos(x)، وهو دوري. أخذ مشتق cos(x) يعطيك –sin(x). تظل الدورية ثابتة، إلا أن العكس ليس صحيحًا دائمًا. وبالتالي، فإن الدالة f(x) = const دورية، لكن مشتقها العكسي F(x) = const*x + C ليس كذلك.

5. إذا كانت F(x) دالة دورية ذات فترة T، فإن G(x) = a*F(kx + b)، حيث a وb وk ثوابت وk لا تساوي الصفر - فهي أيضًا دالة دورية ، ومدته T/k. لنفترض أن sin(2x) دالة دورية، ودورتها تساوي؟. يمكن تمثيل ذلك بصريًا على النحو التالي: بضرب x في أي رقم، يبدو أنك تضغط الرسم البياني للدالة أفقيًا عدة مرات بالضبط

6. إذا كانت F1(x) وF2(x) دالتين دوريتين، وكانت فتراتهما تساوي T1 وT2، على التوالي، فإن مجموع هذه الوظائف يمكن أن يكون دوريًا أيضًا. ومع ذلك، فإن فترتها لن تكون مجموعًا سهلاً للفترتين T1 وT2. إذا كانت نتيجة القسمة T1/T2 عددًا معقولًا، فإن مجموع الدوال يكون دوريًا، ودورته تساوي المضاعف العالمي الأصغر (LCM) للفترتين T1 وT2. لنفترض أنه إذا كانت دورة الدالة الأولى هي 12، ودورة الثانية هي 15، فإن دورة مجموعهما ستكون مساوية LCM (12، 15) = 60. ويمكن تمثيل ذلك بصريًا على النحو التالي: تأتي مع "عروض خطوات" مختلفة، ولكن إذا كانت نسبة عروضها ذات معنى، فسوف تصبح متساوية مرة أخرى عاجلاً أم آجلاً (أو بالأحرى من خلال LCM للخطوات)، وسيبدأ مجموعها الفترة الجديدة.

7. ومع ذلك، إذا كانت نسبة الدورات غير منطقية، فإن الدالة الإجمالية لن تكون دورية على الإطلاق. لنفترض أن F1(x) = x mod 2 (باقي قسمة x على 2)، وF2(x) = sin(x). T1 هنا سيكون مساوياً لـ 2، وT2 سيكون مساوياً لـ 2؟. هل الفترة الزمنية متساوية؟ - عدد غير منطقي. وبالتالي، فإن الدالة sin(x) + x mod 2 ليست دورية.

تحتوي العديد من الوظائف الرياضية على ميزة واحدة محددة تجعلها أسهل في الإنشاء - وهي دورية، أي تكرار الرسم البياني على شبكة الإحداثيات على فترات زمنية متساوية.

تعليمات

1. الدوال الدورية الأكثر شهرة في الرياضيات هي الجيب وجيب التمام. هذه الوظائف لها طبيعة موجية وفترة محورية تساوي 2P. هناك أيضًا حالة خاصة للدالة الدورية وهي f(x)=const. أي رقم يناسب الموضع x؛ هذه الدالة ليس لها دورة رئيسية، لأنها خط مستقيم.

2. بشكل عام، تكون الدالة دورية إذا كان هناك عدد صحيح N غير صفر ويلبي القاعدة f(x)=f(x+N)، وبالتالي ضمان التكرار. دورة الدالة هي أصغر رقم N، ولكنها ليست صفرًا. أي، على سبيل المثال، الدالة sin x تساوي الدالة sin (x+2PN)، حيث N=±1، ±2، إلخ.

3. في بعض الأحيان، قد تحتوي الدالة على مضاعف (على سبيل المثال، sin 2x)، مما يؤدي إلى زيادة أو تقليل فترة الدالة. من أجل الكشف عن الفترة التي الرسومات، تحتاج إلى تحديد الحدود القصوى للدالة - أعلى وأدنى نقطة في الرسم البياني للدالة. نظرًا لأن موجات الجيب وجيب التمام لها طبيعة موجية، فمن السهل جدًا القيام بذلك. من هذه النقاط، قم بإنشاء خطوط مستقيمة متعامدة حتى تتقاطع مع المحور X.

4. المسافة من الحد الأعلى إلى الحد الأدنى ستكون نصف مدة الدالة. من الملائم للجميع حساب الفترة من تقاطع الرسم البياني مع المحور Y، وبالتالي علامة الصفر على المحور x. بعد ذلك، تحتاج إلى مضاعفة القيمة الناتجة بمقدار اثنين والحصول على الفترة المحورية للدالة.

5. لتسهيل رسم منحنيات الجيب وجيب التمام، عليك ملاحظة أنه إذا كانت الدالة تحتوي على قيمة عددية، فسوف تطول دورتها (أي أنه يجب ضرب 2P بهذا المؤشر) وسيبدو الرسم البياني أكثر نعومة وسلاسة ; وإذا كان الرقم كسريًا، على العكس من ذلك، فسوف يتناقص وسيصبح الرسم البياني أكثر "حادة" وأشبه بالقفز في المظهر.

فيديو حول الموضوع

تعليمات

الأقل إيجابية فترةجيب التمام يساوي أيضًا 2؟. النظر في دليل على ذلك مع مثال المهامص = كوس (س). إذا كان T تعسفيًا فترةأوم جيب التمام، ثم cos(a+T)=cos(a). في حالة أن a=0، cos(T)=cos(0)=1. في ضوء ذلك، فإن أصغر قيمة موجبة لـ T حيث cos(x) = 1 هي 2؟.

مع الأخذ في الاعتبار حقيقة أن 2؟ - فترةجيب التمام وجيب التمام، وسوف يكون أيضا فترةأوم ظل التمام، وكذلك الظل، ولكن ليس الحد الأدنى، لأنه، مثل أصغر موجب فترةظل وظل التمام متساويان؟. يمكنك التحقق من ذلك من خلال مراعاة ما يلي: النقاط المقابلة لـ (x) و(x+؟) على الدائرة المثلثية لها موقعان متقابلان تمامًا. المسافة من النقطة (x) إلى النقطة (x+2؟) تعادل نصف دائرة. من خلال تعريف الظل وظل التمام tg(x+?)=tgx، وctg(x+?)=ctgx، وهو ما يعني أصغر موجب فترةظل التمام و؟

ملحوظة

لا تخلط بين الدالتين y=cos(x) وy=sin(x) - نظرًا لوجود نفس الفترة، يتم تمثيل هذه الوظائف بشكل مختلف.

نصائح مفيدة

لمزيد من الوضوح، ارسم دالة مثلثية يتم من خلالها حساب أصغر فترة موجبة.

مصادر:

• دليل الرياضيات، الرياضيات المدرسية، الرياضيات العليا

حساب المثاثات المهام دوريةأي أنها تتكرر بعد فترة معينة. بفضل هذا، يكفي دراسة الوظيفة في هذه الفترة وتوسيع الخصائص الموجودة لجميع الفترات الأخرى.

تعليمات

للعثور على الدورة الدورية لدالة مثلثية مرفوعة إلى قوة، قم بتقييم تكافؤ القوة. لتقليل الفترة القياسية بمقدار النصف. على سبيل المثال، إذا تم إعطاؤك الدالة y=3 cos^2x، فإن الفترة القياسية 2P ستنخفض بمقدار مرتين، وبالتالي ستكون الفترة مساوية لـ P. يرجى ملاحظة أن الدالات tg, ctg دورية من P إلى أي درجة.

من دروس الرياضيات المدرسية، يتذكر الجميع رسم بياني جيبي يمتد إلى المسافة في موجات موحدة. العديد من الوظائف الأخرى لها خاصية مماثلة - التكرار بعد فترة زمنية معينة. يطلق عليهم الدورية. تعد الدورية خاصية مهمة جدًا للوظيفة، وغالبًا ما يتم مواجهتها في مهام مختلفة. لذلك، من المفيد أن تكون قادرًا على تحديد ما إذا كانت الوظيفة دورية أم لا.

تعليمات

إذا كانت F(x) دالة للوسيطة x، فإنها تسمى دورية إذا كان هناك رقم T بحيث يكون لأي x F(x + T) = F(x). هذا الرقم T يسمى فترة الدالة.

قد تكون هناك عدة فترات. على سبيل المثال، تأخذ الدالة F = const نفس القيمة لأي قيمة للوسيطة، وبالتالي يمكن اعتبار أي رقم دورته.

يهتم علماء الرياضيات عادةً بأصغر فترة غير صفرية للدالة. للإيجاز، يطلق عليها ببساطة فترة.

المثال الكلاسيكي للدوال الدورية هو حساب المثلثات: جيب التمام وجيب التمام والظل. دورتهم هي نفسها وتساوي 2؟، أي، sin(x) = sin(x + 2?) = sin(x + 4?) وهكذا. ومع ذلك، بطبيعة الحال، فإن الدوال المثلثية ليست هي الدالات الدورية الوحيدة.

بالنسبة للوظائف الأساسية البسيطة، الطريقة الوحيدة لتحديد ما إذا كانت دورية أم غير دورية هي من خلال الحساب. ولكن بالنسبة للوظائف المعقدة، هناك بالفعل عدة قواعد بسيطة.

إذا كانت F(x) دالة دورية ذات فترة T، وتم تعريف مشتق لها، فإن هذه المشتقة f(x) = F?(x) هي أيضًا دالة دورية ذات فترة T. بعد كل شيء، قيمة الدالة المشتق عند النقطة x يساوي ظل الرسم البياني لزاوية الظل، ومشتقه العكسي عند هذه النقطة للمحور x، وبما أن المشتق العكسي يتكرر بشكل دوري، فيجب تكرار المشتق أيضًا. على سبيل المثال، مشتق الدالة sin(x) يساوي cos(x)، وهو دوري. أخذ مشتق cos(x) يعطيك –sin(x). يبقى التردد دون تغيير.

ومع ذلك، فإن العكس ليس صحيحا دائما. وبالتالي، فإن الدالة f(x) = const دورية، لكن مشتقها العكسي F(x) = const*x + C ليس كذلك.

إذا كانت F(x) دالة دورية ذات فترة T، فإن G(x) = a*F(kx + b)، حيث a وb وk ثوابت وk لا تساوي الصفر - فهي أيضًا دالة دورية ، ومدته T/k. على سبيل المثال، sin(2x) هي دالة دورية، ودورتها تساوي؟. يمكن تمثيل ذلك بصريًا على النحو التالي: بضرب x في رقم ما، يبدو أنك تضغط الرسم البياني للدالة أفقيًا عدة مرات بالضبط

إذا كانت F1(x) وF2(x) دالتين دوريتين، وكانت فتراتهما تساوي T1 وT2، على التوالي، فإن مجموع هذه الوظائف يمكن أن يكون دوريًا أيضًا. ومع ذلك، فإن دورته لن تكون عبارة عن مجموع بسيط من الفترتين T1 وT2. إذا كانت نتيجة القسمة T1/T2 عددًا نسبيًا، فإن مجموع الدوال يكون دوريًا، ودورته تساوي المضاعف المشترك الأصغر (LCM) للفترتين T1 وT2. على سبيل المثال، إذا كانت دورة الدالة الأولى هي 12، ودورة الثانية هي 15، فإن دورة مجموعهما ستكون مساوية لـ م م م (12، 15) = 60.

يمكن تمثيل ذلك بصريًا على النحو التالي: تأتي الوظائف بـ "عروض خطوات" مختلفة، ولكن إذا كانت نسبة عروضها عقلانية، فعاجلاً أم آجلاً (أو بالأحرى، على وجه التحديد من خلال المضاعف المشترك الأصغر للخطوات)، ستصبح متساوية مرة أخرى، و سيبدأ مجموعهم فترة جديدة.

ومع ذلك، إذا كانت نسبة الدورات غير منطقية، فإن الدالة الإجمالية لن تكون دورية على الإطلاق. على سبيل المثال، لنفترض أن F1(x) = x mod 2 (الباقي عند قسمة x على 2)، وF2(x) = sin(x). T1 هنا سيكون مساوياً لـ 2، وT2 سيكون مساوياً لـ 2؟. هل الفترة الزمنية متساوية؟ - عدد غير منطقي. ولذلك، فإن الدالة sin(x) + x mod 2 ليست دورية.

تحتوي العديد من الوظائف الرياضية على ميزة واحدة تجعل من السهل بناؤها: دورية، أي تكرار الرسم البياني على شبكة الإحداثيات على فترات منتظمة.

تعليمات

أشهر الدوال الدورية في الرياضيات هي دوال الجيب وجيب التمام. هذه الوظائف لها طابع يشبه الموجة وفترة رئيسية تبلغ 2P. هناك أيضًا حالة خاصة للدالة الدورية وهي f(x)=const. أي رقم مناسب للموضع x؛ هذه الدالة ليس لها فترة رئيسية، لأنها خط مستقيم.

بشكل عام، تكون الدالة دورية إذا كان هناك عدد صحيح N غير صفر ويلبي القاعدة f(x)=f(x+N)، وبالتالي ضمان التكرار. دورة الدالة هي أصغر رقم N، ولكنها ليست صفرًا. أي، على سبيل المثال، الدالة sin x تساوي الدالة sin (x+2PN)، حيث N=±1، ±2، إلخ.

في بعض الأحيان قد تحتوي الدالة على مضاعف (على سبيل المثال، sin 2x)، مما يؤدي إلى زيادة أو تقليل فترة الدالة. من أجل العثور على الفترة التي الرسومات، من الضروري تحديد الحدود القصوى للدالة - أعلى وأدنى نقطة في الرسم البياني للدالة. نظرًا لأن موجات الجيب وجيب التمام لها طبيعة موجية، فمن السهل جدًا القيام بذلك. من هذه النقاط، قم بإنشاء خطوط مستقيمة متعامدة حتى تتقاطع مع المحور X.

المسافة من الحد الأعلى إلى الحد الأدنى ستكون نصف مدة الدالة. من الأكثر ملاءمة حساب الفترة من تقاطع الرسم البياني مع المحور Y، وبالتالي علامة الصفر على المحور x. بعد ذلك، تحتاج إلى مضاعفة القيمة الناتجة بمقدار اثنين والحصول على الفترة الرئيسية للوظيفة.

لتبسيط إنشاء الرسوم البيانية الجيبية وجيب التمام، تجدر الإشارة إلى أنه إذا كانت الدالة لها قيمة عددية، فسوف تطول دورتها (أي أنه يجب ضرب 2P بهذا المعامل) وسيبدو الرسم البياني أكثر ليونة وسلاسة - و إذا كان الرقم كسريًا، على العكس من ذلك، فسوف يتناقص وسيصبح الرسم البياني أكثر "حادة" وثباتًا في المظهر.

كيفية دراسة وظيفة وبناء الرسم البياني الخاص بها؟

يبدو أنني بدأت أفهم الوجه الروحي الثاقب لزعيم البروليتاريا العالمية، مؤلف الأعمال المجمعة في 55 مجلدا... بدأت الرحلة الطويلة بالمعلومات الأساسية عنها الوظائف والرسوم البيانيةوالآن العمل على موضوع كثيف العمالة ينتهي بنتيجة منطقية - مقال حول دراسة كاملة للوظيفة. تمت صياغة المهمة التي طال انتظارها على النحو التالي:

دراسة دالة باستخدام طرق حساب التفاضل والتكامل وبناء الرسم البياني لها بناء على نتائج الدراسة

أو باختصار: افحص الوظيفة وأنشئ رسمًا بيانيًا.

لماذا الاستكشاف؟في الحالات البسيطة، لن يكون من الصعب علينا فهم الوظائف الأولية ورسم رسم بياني تم الحصول عليه باستخدامها التحولات الهندسية الأوليةوما إلى ذلك وهلم جرا. ومع ذلك، فإن الخصائص والتمثيلات الرسومية للوظائف الأكثر تعقيدًا بعيدة كل البعد عن الوضوح، ولهذا السبب هناك حاجة إلى دراسة كاملة.

تم تلخيص الخطوات الرئيسية للحل في المادة المرجعية مخطط دراسة الوظيفة، هذا هو دليلك لهذا القسم. تحتاج الدمى إلى شرح موضوع ما خطوة بخطوة، وبعض القراء لا يعرفون من أين يبدأون أو كيفية تنظيم بحثهم، وقد يهتم الطلاب المتقدمون ببضع نقاط فقط. ولكن أياً كنت عزيزي الزائر، فإن الملخص المقترح مع مؤشرات لمختلف الدروس سوف يوجهك بسرعة ويوجهك في اتجاه اهتمامك. الروبوتات تذرف الدموع =) تم وضع الدليل كملف pdf واحتل مكانه الصحيح على الصفحة الصيغ والجداول الرياضية.

لقد اعتدت على تقسيم بحث الوظيفة إلى 5-6 نقاط:

6) نقاط إضافية ورسم بياني بناءً على نتائج البحث.

فيما يتعلق بالإجراء النهائي، أعتقد أن كل شيء واضح للجميع - سيكون مخيبا للآمال للغاية إذا تم شطبه في غضون ثوان وتم إرجاع المهمة للمراجعة. الرسم الصحيح والدقيق هو النتيجة الرئيسية للحل! فمن المرجح أن "يغطي" الأخطاء التحليلية، في حين أن الجدول الزمني غير الصحيح و/أو الإهمال سوف يسبب مشاكل حتى مع إجراء دراسة مثالية.

تجدر الإشارة إلى أنه في مصادر أخرى، قد يختلف عدد نقاط البحث وترتيب تنفيذها وأسلوب التصميم بشكل كبير عن المخطط الذي اقترحته، ولكنه يكفي في معظم الحالات. تتكون أبسط نسخة من المشكلة من 2-3 مراحل فقط ويتم صياغتها على النحو التالي: "تحقيق الدالة باستخدام المشتق وإنشاء رسم بياني" أو "تحقيق الدالة باستخدام المشتقتين الأولى والثانية، إنشاء رسم بياني".

بطبيعة الحال، إذا كان دليلك يصف خوارزمية أخرى بالتفصيل أو كان معلمك يطلب منك بشدة الالتزام بمحاضراته، فسيتعين عليك إجراء بعض التعديلات على الحل. ليس أكثر صعوبة من استبدال شوكة المنشار بالملعقة.

دعونا نتحقق من الدالة الزوجية/الفردية:

يتبع ذلك رد القالب:
مما يعني أن هذه الدالة ليست زوجية أو فردية.

بما أن الدالة مستمرة على ، فلا توجد خطوط مقاربة رأسية.

لا توجد خطوط تقارب مائلة أيضًا.

ملحوظة : أذكرك أن الأعلى ترتيب النمو، وبالتالي فإن الحد النهائي هو بالضبط " زائدما لا نهاية."

دعنا نكتشف كيف تتصرف الدالة عند اللانهاية:

بمعنى آخر، إذا اتجهنا إلى اليمين، فإن الرسم البياني يتجه إلى الأعلى بشكل لا نهائي، وإذا اتجهنا إلى اليسار، فإنه يتجه إلى ما لا نهاية إلى الأسفل. نعم، هناك أيضًا حدان تحت الإدخال الواحد. إذا كنت تواجه صعوبة في فك رموز العلامات، يرجى زيارة الدرس حول وظائف متناهية الصغر.

وبالتالي فإن الوظيفة لا يقتصر من فوقو لا يقتصر من الأسفل. وبالنظر إلى أنه ليس لدينا نقاط توقف، يصبح الأمر واضحا نطاق الوظيفة: - أي رقم حقيقي .

تقنية فنية مفيدة

تقدم كل مرحلة من المهمة معلومات جديدة حول الرسم البياني للوظيفةلذلك، أثناء الحل، من الملائم استخدام نوع من التخطيط. لنرسم نظام الإحداثيات الديكارتية على المسودة. ما هو معروف بالفعل على وجه اليقين؟ أولاً، الرسم البياني لا يحتوي على خطوط مقاربة، لذلك ليست هناك حاجة لرسم خطوط مستقيمة. ثانيًا، نحن نعرف كيف تتصرف الدالة عند ما لا نهاية. وفقًا للتحليل، نرسم التقريب الأول:

يرجى ملاحظة أنه بسبب استمراريةتعمل وحقيقة أن الرسم البياني يجب أن يعبر المحور مرة واحدة على الأقل. أو ربما هناك عدة نقاط تقاطع؟

3) أصفار الدالة وفواصل الإشارة الثابتة.

أولاً، دعونا نوجد نقطة تقاطع الرسم البياني مع المحور الإحداثي. انه سهل. من الضروري حساب قيمة الدالة في:

واحد ونصف فوق مستوى سطح البحر.

ولإيجاد نقاط التقاطع مع المحور (أصفار الدالة) علينا حل المعادلة، وهنا تنتظرنا مفاجأة غير سارة:

هناك عضو حر كامن في النهاية، مما يجعل المهمة أكثر صعوبة.

تحتوي هذه المعادلة على جذر حقيقي واحد على الأقل، وغالبًا ما يكون هذا الجذر غير نسبي. في أسوأ القصص الخيالية، الخنازير الثلاثة الصغيرة تنتظرنا. المعادلة قابلة للحل باستخدام ما يسمى صيغ كاردانولكن الضرر الذي لحق بالورق يمكن مقارنته بالدراسة بأكملها تقريبًا. وفي هذا الصدد، من الحكمة محاولة اختيار واحد على الأقل، سواء شفهيًا أو في مسودة. جميعجذر. دعونا نتحقق مما إذا كانت هذه الأرقام هي:
- غير مناسب؛
- هنالك!

محظوظ هنا. في حالة الفشل، يمكنك أيضًا الاختبار، وإذا كانت هذه الأرقام غير مناسبة، فأنا أخشى أن فرصة التوصل إلى حل مربح للمعادلة ضئيلة جدًا. ثم من الأفضل تخطي نقطة البحث تمامًا - ربما يصبح شيء ما أكثر وضوحًا في الخطوة الأخيرة، عندما يتم اختراق النقاط الإضافية. وإذا كان الجذر (الجذور) "سيئًا" بشكل واضح، فمن الأفضل أن تظل صامتًا بشكل متواضع بشأن فترات ثبات العلامات وأن ترسم بعناية أكبر.

ومع ذلك، لدينا جذر جميل، لذلك نقسم كثيرة الحدود بدون باقي:

تمت مناقشة خوارزمية قسمة كثيرة الحدود على كثيرة الحدود بالتفصيل في المثال الأول من الدرس الحدود المعقدة.

ونتيجة لذلك، فإن الجانب الأيسر من المعادلة الأصلية يتحلل في المنتج:

والآن قليلا عن نمط حياة صحي. وأنا بالطبع أفهم ذلك المعادلات التربيعيةتحتاج إلى حل كل يوم، ولكن اليوم سنجري استثناءً: المعادلة له جذرين حقيقيين

دعونا نرسم القيم الموجودة على خط الأعداد و طريقة الفاصلدعونا نحدد علامات الوظيفة:


وهكذا على فترات يقع الجدول الزمني
تحت المحور السيني، وعلى فترات - فوق هذا المحور.

تتيح لنا النتائج تحسين تخطيطنا، ويبدو التقريب الثاني للرسم البياني كما يلي:

برجاء ملاحظة أن الدالة يجب أن يكون لها حد أقصى واحد على الأقل في الفترة، وواحد على الأقل في الفترة. لكننا لا نعرف حتى الآن عدد المرات وأين ومتى سيتم تكرار الجدول الزمني. بالمناسبة، يمكن أن تحتوي الدالة على عدد لا نهائي من العناصر التطرف.

4) تزايد وتناقص وأقصى الدالة.

دعونا نجد النقاط الحرجة:

هذه المعادلة لها جذرين حقيقيين. لنضعها على خط الأعداد ونحدد علامات المشتقة:


وبالتالي تزيد الدالة بمقدار ويتناقص بنسبة .
عند النقطة التي تصل فيها الدالة إلى الحد الأقصى: .
عند هذه النقطة تصل الدالة إلى الحد الأدنى: .

الحقائق الراسخة تدفع قالبنا إلى إطار صارم إلى حد ما:

وغني عن القول أن حساب التفاضل والتكامل هو شيء قوي. دعونا أخيرًا نفهم شكل الرسم البياني:

5) التحدب والتقعر ونقاط الانعطاف.

دعونا نجد النقاط الحرجة للمشتق الثاني:

دعونا نحدد العلامات:


الرسم البياني للدالة محدب ومقعر. دعونا نحسب إحداثيات نقطة الانقلاب: .

لقد أصبح كل شيء واضحًا تقريبًا.

6) يبقى العثور على نقاط إضافية ستساعدك على إنشاء رسم بياني وإجراء اختبار ذاتي بدقة أكبر. وفي هذه الحالة فهي قليلة ولكننا لن نهملها:

لنقم بالرسم:

يتم تمييز نقطة الانعطاف باللون الأخضر، ويتم تمييز النقاط الإضافية بالصلبان. الرسم البياني للدالة المكعبة متماثل حول نقطة انعطافها، والتي تقع دائمًا في المنتصف بين الحد الأقصى والحد الأدنى.

ومع تقدم المهمة، قدمت ثلاث رسومات مؤقتة افتراضية. في الممارسة العملية، يكفي رسم نظام الإحداثيات، ووضع علامة على النقاط التي تم العثور عليها، وبعد كل نقطة بحث، قم بتقدير الشكل الذي قد يبدو عليه الرسم البياني للوظيفة. لن يكون من الصعب على الطلاب ذوي المستوى الجيد من الإعداد إجراء مثل هذا التحليل في رؤوسهم فقط دون الحاجة إلى مسودة.

لحلها بنفسك:

مثال 2

استكشف الوظيفة وأنشئ رسمًا بيانيًا.

كل شيء أسرع وأكثر متعة هنا، مثال تقريبي للتصميم النهائي في نهاية الدرس.

تكشف دراسة الدوال العقلانية الكسرية العديد من الأسرار:

مثال 3

استخدم طرق حساب التفاضل والتكامل لدراسة دالة، وبناءً على نتائج الدراسة، قم ببناء الرسم البياني الخاص بها.

حل: المرحلة الأولى من الدراسة لا تتميز بأي شيء ملحوظ باستثناء وجود ثقب في منطقة التعريف:

1) الدالة محددة ومستمرة على خط الأعداد بأكمله ما عدا النقطة، اِختِصاص: .

مما يعني أن هذه الدالة ليست زوجية أو فردية.

من الواضح أن الوظيفة غير دورية.

يمثل الرسم البياني للدالة فرعين متواصلين يقعان في نصف المستوى الأيسر والأيمن - وربما يكون هذا هو الاستنتاج الأكثر أهمية للنقطة 1.

2) الخطوط المقاربة، سلوك الدالة عند اللانهاية.

أ) باستخدام الحدود من جانب واحد، نقوم بفحص سلوك الدالة بالقرب من نقطة مشبوهة، حيث يجب أن يكون هناك خط مقارب رأسي بوضوح:

في الواقع، تستمر الوظائف فجوة لا نهاية لهاعند هذه النقطة
والخط المستقيم (المحور) هو الخط المقارب الرأسيالفنون التصويرية .

ب) دعونا نتحقق من وجود الخطوط المقاربة المائلة:

نعم، إنه مستقيم الخط المقاربالرسومات إذا .

ليس من المنطقي تحليل النهايات، لأنه من الواضح بالفعل أن الدالة تتضمن خط التقارب المائل لا يقتصر من فوقو لا يقتصر من الأسفل.

أسفرت نقطة البحث الثانية عن الكثير من المعلومات المهمة حول الوظيفة. لنقم بعمل رسم تقريبي:

الاستنتاج رقم 1 يتعلق بفترات الإشارة الثابتة. عند "ناقص اللانهاية" يقع الرسم البياني للدالة بوضوح أسفل المحور السيني، وعند "زائد اللانهاية" يكون فوق هذا المحور. بالإضافة إلى ذلك، تخبرنا النهايات من جانب واحد أن الدالة على يسار النقطة وعلى يمينها أكبر أيضًا من صفر. يرجى ملاحظة أنه في نصف المستوى الأيسر، يجب أن يعبر الرسم البياني المحور السيني مرة واحدة على الأقل. قد لا يكون هناك أي أصفار للدالة في نصف المستوى الأيمن.

الاستنتاج رقم 2 هو أن الدالة تزداد على يسار النقطة (تنتقل من الأسفل إلى الأعلى). على يمين هذه النقطة، تنخفض الدالة (تنتقل من الأعلى إلى الأسفل). من المؤكد أن الفرع الأيمن من الرسم البياني يجب أن يحتوي على حد أدنى واحد على الأقل. على اليسار، التطرف غير مضمون.

يوفر الاستنتاج رقم 3 معلومات موثوقة حول تقعر الرسم البياني بالقرب من النقطة. لا يمكننا حتى الآن قول أي شيء عن التحدب/التقعر عند اللانهاية، حيث يمكن ضغط الخط باتجاه الخط المقارب له من الأعلى ومن الأسفل. بشكل عام، هناك طريقة تحليلية لمعرفة ذلك في الوقت الحالي، لكن شكل الرسم البياني سيصبح أكثر وضوحًا في مرحلة لاحقة.

لماذا الكثير من الكلمات؟ للتحكم في نقاط البحث اللاحقة وتجنب الأخطاء! يجب ألا تتعارض الحسابات الإضافية مع الاستنتاجات المستخلصة.

3) نقاط تقاطع الرسم البياني مع محاور الإحداثيات، فترات الإشارة الثابتة للدالة.

الرسم البياني للدالة لا يتقاطع مع المحور.

باستخدام طريقة الفاصل نحدد العلامات:

، لو ؛
، لو .

نتائج هذه النقطة تتفق تماما مع الاستنتاج رقم 1. بعد كل مرحلة، انظر إلى المسودة، وتحقق من البحث عقليًا وأكمل الرسم البياني للوظيفة.

في المثال قيد النظر، يتم تقسيم البسط حدًا تلو الآخر على المقام، وهو أمر مفيد جدًا للتمايز:

في الواقع، لقد تم ذلك بالفعل عند العثور على الخطوط المقاربة.

- نقطة حرجة.

دعونا نحدد العلامات:

يزيد بنسبة ويتناقص بنسبة

عند هذه النقطة تصل الدالة إلى الحد الأدنى: .

كما لم تكن هناك أي تناقضات مع الاستنتاج رقم 2، وعلى الأرجح أننا نسير على الطريق الصحيح.

وهذا يعني أن الرسم البياني للدالة مقعر على كامل مجال التعريف.

رائع - ولست بحاجة إلى رسم أي شيء.

لا توجد نقاط انعطاف.

يتوافق التقعر مع الاستنتاج رقم 3، علاوة على ذلك، فهو يشير إلى أنه عند اللانهاية (هناك وهناك) يوجد الرسم البياني للدالة أعلىخط التقارب المائل.

6) سنثبت المهمة بضمير حي بنقاط إضافية. هذا هو المكان الذي سيتعين علينا أن نعمل فيه بجد، لأننا نعرف نقطتين فقط من البحث.

والصورة التي ربما تخيلها الكثير من الناس منذ زمن طويل:

أثناء تنفيذ المهمة، تحتاج إلى التأكد بعناية من عدم وجود تناقضات بين مراحل البحث، ولكن في بعض الأحيان يكون الوضع عاجلاً أو حتى طريق مسدود للغاية. التحليلات "لا تضيف ما يصل" - هذا كل شيء. في هذه الحالة، أوصي بتقنية الطوارئ: العثور على أكبر عدد ممكن من النقاط التي تنتمي إلى الرسم البياني (بقدر ما لدينا من الصبر)، ووضع علامة عليها على المستوى الإحداثي. سيخبرك التحليل الرسومي للقيم الموجودة في معظم الحالات بمكان الحقيقة وأين هو الخطأ. بالإضافة إلى ذلك، يمكن إنشاء الرسم البياني مسبقًا باستخدام بعض البرامج، على سبيل المثال، في Excel (بالطبع، يتطلب هذا مهارات).

مثال 4

استخدم طرق حساب التفاضل والتكامل لدراسة دالة وإنشاء رسمها البياني.

هذا مثال لك لحله بنفسك. فيه، يتم تعزيز ضبط النفس من خلال تكافؤ الوظيفة - الرسم البياني متماثل حول المحور، وإذا كان هناك شيء في بحثك يتناقض مع هذه الحقيقة، فابحث عن الخطأ.

يمكن دراسة الدالة الزوجية أو الفردية فقط في ، ثم استخدام تماثل الرسم البياني. هذا الحل هو الأمثل، ولكن، في رأيي، يبدو غير عادي للغاية. أنا شخصياً أنظر إلى خط الأعداد بأكمله، لكني لا أزال أجد نقاطًا إضافية على اليمين فقط:

مثال 5

إجراء دراسة كاملة للدالة وإنشاء الرسم البياني الخاص بها.

حل:الأمور أصبحت صعبة:

1) الدالة محددة ومستمرة على خط الأعداد بأكمله: .

وهذا يعني أن هذه الدالة فردية، ورسمها البياني متماثل بالنسبة لنقطة الأصل.

من الواضح أن الوظيفة غير دورية.

2) الخطوط المقاربة، سلوك الدالة عند اللانهاية.

بما أن الدالة مستمرة على ، فلا توجد خطوط مقاربة رأسية

بالنسبة للدالة التي تحتوي على الأس، فهذا أمر نموذجي متفرقدراسة "زائد" و "ناقص اللانهاية"، ومع ذلك، أصبحت حياتنا أسهل بسبب تماثل الرسم البياني - إما أن يكون هناك خط مقارب على اليسار واليمين، أو لا يوجد شيء. لذلك، يمكن كتابة كلا النهايتين اللانهائيتين تحت مدخل واحد. أثناء الحل نستخدم قاعدة لوبيتال:

الخط المستقيم (المحور) هو الخط المقارب الأفقي للرسم البياني عند .

يرجى ملاحظة كيف تجنبت بمكر الخوارزمية الكاملة للعثور على الخط المقارب المائل: الحد قانوني تمامًا ويوضح سلوك الوظيفة عند اللانهاية، وتم اكتشاف الخط المقارب الأفقي "كما لو كان في نفس الوقت".

من الاستمرارية ووجود الخط المقارب الأفقي يترتب على ذلك الدالة يحدها فوقو يحدها أدناه.

3) نقاط تقاطع الرسم البياني مع محاور الإحداثيات، فترات الإشارة الثابتة.

وهنا نختصر الحل أيضًا:
الرسم البياني يمر عبر الأصل.

لا توجد نقاط تقاطع أخرى مع محاور الإحداثيات. علاوة على ذلك، فإن فترات ثبات الإشارة واضحة، ولا يلزم رسم المحور: مما يعني أن إشارة الدالة تعتمد فقط على "x":
، لو ؛
، لو .

4) تزايد وتناقص القيم القصوى للدالة.


- نقاط حرجة.

النقاط متناظرة حول الصفر، كما ينبغي أن تكون.

دعونا نحدد علامات المشتق:


تزداد الدالة على فترات وتتناقص على فترات

عند النقطة التي تصل فيها الدالة إلى الحد الأقصى: .

بسبب العقار (غرابة الوظيفة) لا يلزم حساب الحد الأدنى:

نظرًا لأن الدالة تتناقص خلال الفترة، فمن الواضح أن الرسم البياني يقع عند "ناقص اللانهاية" تحتالخط المقارب له. خلال الفاصل الزمني، تنخفض الدالة أيضًا، ولكن هنا العكس هو الصحيح - بعد المرور عبر النقطة القصوى، يقترب الخط من المحور من الأعلى.

ويترتب على ما سبق أيضًا أن الرسم البياني للدالة يكون محدبًا عند "ناقص اللانهاية" ومقعرًا عند "زائد اللانهاية".

بعد هذه النقطة من الدراسة تم رسم نطاق القيم الوظيفية:

إذا كان لديك أي سوء فهم لأي نقطة، فإنني أحثك ​​مرة أخرى على رسم محاور إحداثية في دفتر الملاحظات الخاص بك، ومع وجود قلم رصاص في يديك، قم بإعادة تحليل كل نتيجة للمهمة.

5) التحدب، التقعر، مكامن الخلل في الرسم البياني.

- نقاط حرجة.

تم الحفاظ على تماثل النقاط، وعلى الأرجح أننا لسنا مخطئين.

دعونا نحدد العلامات:


الرسم البياني للدالة محدب ومقعرة على .

تم تأكيد التحدب/التقعر في الفترات القصوى.

في جميع النقاط الحرجة هناك مكامن الخلل في الرسم البياني. لنجد إحداثيات نقاط الانعطاف، ونقوم مرة أخرى بتقليل عدد العمليات الحسابية باستخدام غرابة الوظيفة: