قسمة الأعداد بقوى وأسس مختلفة. قاعدة مضاعفة القوى بقواعد مختلفة

06.09.2021

صيغ الدرجةتستخدم في عملية اختزال وتبسيط التعابير المعقدة، وفي حل المعادلات والمتباينات.

رقم جيكون ن-القوة رقم أمتى:

العمليات بالدرجات.

1. بضرب الدرجات بنفس الأساس تضاف مؤشراتها:

أكون· أ ن = أ م + ن .

2. عند قسمة الدرجات ذات الأساس نفسه يتم طرح أسسها:

3. درجة حاصل ضرب عاملين أو أكثر تساوي حاصل ضرب درجات هذه العوامل:

(اي بي سي…) ن = أ ن · ب ن · ج ن …

4. درجة الكسر تساوي نسبة درجات المقسوم إلى المقسوم عليه:

(أ/ب) ن = أ ن /ب ن .

5. برفع قوة إلى قوة، يتم ضرب الأسس:

(أ م) ن = أ م ن .

كل صيغة أعلاه صحيحة في الاتجاهات من اليسار إلى اليمين والعكس صحيح.

على سبيل المثال. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

العمليات مع الجذور.

1. جذر منتج عدة عوامل يساوي منتج جذور هذه العوامل:

2. جذر النسبة يساوي نسبة المقسوم على الجذور ومقسومها:

3. عند رفع الجذر إلى قوة ما، يكفي رفع العدد الجذري إلى هذه القوة:

4. إذا قمت بزيادة درجة الجذر في نمرة واحدة وفي نفس الوقت بناء على نالقوة رقم جذري، فإن قيمة الجذر لن تتغير:

5. إذا قمت بتقليل درجة الجذر في ناستخراج الجذر في نفس الوقت ن-القوة رقم جذري، فإن قيمة الجذر لن تتغير:

درجة ذات أس سلبي.يتم تعريف قوة رقم معين مع الأس غير الموجب (عدد صحيح) على أنها مقسومة على قوة نفس الرقم مع الأس يساوي القيمة المطلقة للأس غير الموجب:

معادلة أكون:أ ن =أ م - نيمكن استخدامها ليس فقط ل م> ن، ولكن أيضًا مع م< ن.

على سبيل المثال. أ4:أ 7 = أ 4 - 7 = أ -3.

إلى الصيغة أكون:أ ن =أ م - نأصبح عادلا عندما م = ن، يشترط وجود درجة الصفر.

درجة بمؤشر صفر.أس أي عدد لا يساوي صفرًا وأسه صفر يساوي واحدًا.

على سبيل المثال. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

درجة مع الأس الكسرية.لرفع عدد حقيقي أإلى درجة م / ن، تحتاج إلى استخراج الجذر نالدرجة ال م-القوة رقم هذا الرقم أ.

في المقالة السابقة شرحنا ما هي أحاديات الحد. في هذه المادة سوف ننظر في كيفية حل الأمثلة والمسائل التي يتم استخدامها فيها. سننظر هنا في إجراءات مثل الطرح والجمع والضرب وتقسيم أحاديات الحد ورفعها إلى قوة ذات أس طبيعي. سنبين كيف يتم تعريف هذه العمليات، ونحدد القواعد الأساسية لتنفيذها وما ينبغي أن تكون النتيجة. سيتم توضيح جميع المفاهيم النظرية، كالعادة، بأمثلة للمسائل مع وصف الحلول.

يعد العمل مع التدوين القياسي للأحاديات أكثر ملاءمة، لذلك نقدم جميع التعبيرات التي سيتم استخدامها في المقالة في النموذج القياسي. إذا تم تحديدها في الأصل بشكل مختلف، فمن المستحسن إحضارها أولاً إلى نموذج مقبول بشكل عام.

قواعد جمع وطرح أحاديات الحد

أبسط العمليات التي يمكن إجراؤها باستخدام وحيدات الحد هي الطرح والجمع. بشكل عام، ستكون نتيجة هذه الإجراءات كثيرة الحدود (من الممكن وجود أحادية الحد في بعض الحالات الخاصة).

عندما نجمع أو نطرح أحاديات الحد، نكتب أولاً المجموع المقابل والفرق في الصورة المقبولة عمومًا، ثم نبسط التعبير الناتج. إذا كانت هناك مصطلحات مماثلة، فيجب ذكرها، ويجب فتح القوسين. دعونا نشرح مع مثال.

مثال 1

حالة:قم بإجراء عملية جمع وحيدات الحد − 3 x و 2, 72 x 3 y 5 z.

حل

دعونا نكتب مجموع التعبيرات الأصلية. دعونا نضيف قوسين ونضع علامة الجمع بينهما. سوف نحصل على ما يلي:

(− 3 س) + (2, 72 × 3 ص 5 ض)

عندما نقوم بفك الأقواس، نحصل على - 3 x + 2, 72 x 3 y 5 z. هذه كثيرة الحدود، مكتوبة في الصورة القياسية، والتي ستكون نتيجة إضافة هذه الأحاديات.

إجابة:(− 3 x) + (2.72 x 3 y 5 z) = − 3 x + 2.72 x 3 y 5 z.

إذا كان لدينا ثلاثة أو أربعة حدود أو أكثر، فإننا ننفذ هذا الإجراء بنفس الطريقة تمامًا.

مثال 2

حالة:تنفيذ العمليات المشار إليها مع كثيرات الحدود بالترتيب الصحيح

3 أ 2 - (- 4 أ ج) + أ 2 - 7 أ 2 + 4 9 - 2 2 3 أ ج

حل

لنبدأ بفتح الأقواس.

3 أ 2 + 4 أ ج + أ 2 - 7 أ 2 + 4 9 - 2 2 3 أ ج

نرى أنه يمكن تبسيط التعبير الناتج بإضافة مصطلحات مشابهة:

3 أ 2 + 4 أ ج + أ 2 - 7 أ 2 + 4 9 - 2 2 3 أ ج = = (3 أ 2 + أ 2 - 7 أ 2) + 4 أ ج - 2 2 3 أ ج + 4 9 = = - 3 أ 2 + 1 1 3 أ ج + 4 9

لدينا كثيرة الحدود، والتي ستكون نتيجة هذا الإجراء.

إجابة: 3 أ 2 - (- 4 أ ج) + أ 2 - 7 أ 2 + 4 9 - 2 2 3 أ ج = - 3 أ 2 + 1 1 3 أ ج + 4 9

من حيث المبدأ، يمكننا جمع وطرح اثنين من وحيدات الحد، مع مراعاة بعض القيود، بحيث ننتهي بواحدة حد. للقيام بذلك، تحتاج إلى استيفاء بعض الشروط فيما يتعلق بالإضافات وطرح أحاديات الحد. سنخبرك كيف يتم ذلك في مقال منفصل.

قواعد ضرب أحاديات الحد

لا يفرض إجراء الضرب أي قيود على العوامل. ليس من الضروري أن تستوفي أحاديات الحد التي يتم ضربها أي شروط إضافية حتى تكون النتيجة أحادية الحد.

لإجراء عملية ضرب أحاديات الحد، عليك اتباع الخطوات التالية:

اكتب القطعة بشكل صحيح.
قم بتوسيع الأقواس في التعبير الناتج.
إذا أمكن، قم بتجميع العوامل التي لها نفس المتغيرات والعوامل الرقمية بشكل منفصل.
إجراء العمليات اللازمة على الأرقام وتطبيق خاصية ضرب القوى ذات الأساس نفسه على العوامل المتبقية.

دعونا نرى كيف يتم ذلك في الممارسة العملية.

مثال 3

حالة:اضرب وحيدات الحد 2 x 4 y z و - 7 16 t 2 x 2 z 11.

حل

لنبدأ بتأليف العمل.

نفتح الأقواس فيه ونحصل على ما يلي:

2 × 4 ذ - 7 16 ر 2 × 2 ض 11

2 - 7 16 ر 2 × 4 × 2 ذ 3 ض 11

كل ما علينا فعله هو ضرب الأعداد الموجودة بين القوسين الأولين وتطبيق خاصية القوى على القوس الثاني. ونتيجة لذلك نحصل على ما يلي:

2 - 7 16 ر 2 × 4 × 2 ص ض 3 ض 11 = - 7 8 ر 2 × 4 + 2 ص ض 3 + 11 = = - 7 8 ر 2 × 6 ص ض 14

إجابة: 2 × 4 ص ض - 7 16 ر 2 × 2 ض 11 = - 7 8 ر 2 × 6 ص ض 14 .

إذا كانت حالتنا تحتوي على ثلاثة كثيرات حدود أو أكثر، فإننا نضربها باستخدام نفس الخوارزمية تمامًا. سننظر في مسألة ضرب أحاديات الحد بمزيد من التفصيل في مادة منفصلة.

قواعد لرفع monomial إلى السلطة

نحن نعلم أن القوة ذات الأس الطبيعي هي حاصل ضرب عدد معين من العوامل المتماثلة. يشار إلى عددهم بالرقم الموجود في المؤشر. ووفقا لهذا التعريف، فإن رفع أحادية الحد إلى قوة يعادل ضرب العدد المحدد من أحاديات الحد المتطابقة. دعونا نرى كيف يتم ذلك.

مثال 4

حالة:ارفع أحادية الحد − 2 · a · b 4 للأس 3 .

حل

يمكننا استبدال الأس بضرب 3 وحيدات الحد − 2 · a · b 4 . دعنا نكتبها ونحصل على الإجابة المطلوبة:

(− 2 · أ · ب 4) 3 = (− 2 · أ · ب 4) · (− 2 · أ · ب 4) · (− 2 · أ · ب 4) = = ((− 2) · (− 2) · (− 2)) · (أ · أ · أ) · (ب 4 · ب 4 · ب 4) = − 8 · أ 3 · ب 12

إجابة:(− 2 · أ · ب 4) 3 = − 8 · أ 3 · ب 12 .

ولكن ماذا لو كان للدرجة مؤشر كبير؟ من غير المناسب تسجيل عدد كبير من العوامل. ومن ثم، لحل مثل هذه المشكلة، نحتاج إلى تطبيق خصائص الدرجة، وهي خاصية درجة المنتج وخاصية الدرجة في الدرجة.

دعونا نحل المشكلة التي قدمناها أعلاه باستخدام الطريقة المشار إليها.

مثال 5

حالة:ارفع − 2 · أ · ب 4 إلى القوة الثالثة.

حل

بمعرفة خاصية القدرة إلى الدرجة، يمكننا أن ننتقل إلى تعبير بالصيغة التالية:

(− 2 · أ · ب 4) 3 = (− 2) 3 · أ 3 · (ب 4) 3 .

بعد ذلك نرفع إلى الأس - 2 ونطبق خاصية القوى على القوى:

(− 2) 3 · (أ) 3 · (ب 4) 3 = − 8 · أ 3 · ب 4 · 3 = − 8 · أ 3 · ب 12 .

إجابة:− 2 · أ · ب 4 = − 8 · أ 3 · ب 12 .

لقد خصصنا أيضًا مقالًا منفصلاً لرفع أحادية الحد إلى القوة.

قواعد تقسيم أحاديات الحد

العملية الأخيرة مع وحيدات الحد التي سندرسها في هذه المادة هي قسمة وحيدة الحد على وحيدة الحد. ونتيجة لذلك، يجب أن نحصل على كسر عقلاني (جبري) (في بعض الحالات من الممكن الحصول على أحادي الحد). دعونا نوضح على الفور أن القسمة على صفر أحادية الحد غير محددة، حيث أن القسمة على 0 غير محددة.

لإجراء القسمة، نحتاج إلى كتابة أحاديات الحد المشار إليها في شكل كسر وتقليلها، إن أمكن.

مثال 6

حالة:قسّم أحادية الحد − 9 · x 4 · y 3 · z 7 على − 6 · p 3 · t 5 · x 2 · y 2 .

حل

لنبدأ بكتابة أحاديات الحد في صورة كسر.

9 × 4 ص 3 ض 7 - 6 ع 3 ر 5 × 2 ص 2

يمكن تقليل هذا الجزء. بعد تنفيذ هذا الإجراء نحصل على:

3 × 2 ذ ض 7 2 ع 3 ر 5

إجابة:- 9 × 4 ص 3 ض 7 - 6 ع 3 ر 5 × 2 ص 2 = 3 × 2 ص ض 7 2 ع 3 ر 5 .

الشروط التي بموجبها، نتيجة لتقسيم أحاديات الحد، نحصل على أحادية الحد، ترد في مقالة منفصلة.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

تعلمنا في الدرس الفيديوي الأخير أن درجة أساس معين هي مقدار يمثل حاصل ضرب الأساس في نفسه، مأخوذًا بكمية مساوية للأس. ولندرس الآن بعضًا من أهم خواص القوى وعملياتها.

على سبيل المثال، دعونا نضرب قوتين مختلفتين لهما نفس الأساس:

دعونا نقدم هذا العمل في مجمله:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

بعد حساب قيمة هذا التعبير، نحصل على الرقم 32. ومن ناحية أخرى، كما يتبين من نفس المثال، يمكن تمثيل 32 كحاصل ضرب نفس الأساس (2)، مأخوذة 5 مرات. وبالفعل إذا حسبتها:

ومن ثم يمكننا أن نستنتج بكل ثقة ما يلي:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

تعمل هذه القاعدة بنجاح لأي مؤشرات ولأي أسباب. تتبع خاصية مضاعفة القوة هذه من القاعدة التي تنص على الحفاظ على معنى التعبيرات أثناء التحويلات في المنتج. بالنسبة لأي قاعدة a، فإن حاصل ضرب التعبيرين (a)x و (a)y يساوي a(x + y). بمعنى آخر، عند إنتاج أي تعبيرات لها نفس الأساس، فإن أحادية الحد الناتجة لها درجة إجمالية تتشكل عن طريق جمع درجات التعبيرين الأول والثاني.

تعمل القاعدة المقدمة أيضًا بشكل رائع عند ضرب عدة تعبيرات. الشرط الرئيسي هو أن كل شخص لديه نفس القواعد. على سبيل المثال:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

ومن المستحيل إضافة درجات، بل والقيام بأي أعمال مشتركة قائمة على القوة مع عنصرين من العبارات إذا كانت أسسها مختلفة.
كما يظهر الفيديو الخاص بنا، نظرًا لتشابه عمليتي الضرب والقسمة، فإن قواعد إضافة القوى في المنتج يتم نقلها بشكل مثالي إلى إجراء القسمة. خذ بعين الاعتبار هذا المثال:

دعونا نحول التعبير مصطلحًا تلو الآخر إلى شكله الكامل ونقوم بتقليل نفس العناصر في المقسوم والمقسوم:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

النتيجة النهائية لهذا المثال ليست مثيرة للاهتمام، لأنه بالفعل في عملية حلها من الواضح أن قيمة التعبير تساوي مربع اثنين. وهما يتم الحصول عليهما بطرح درجة التعبير الثاني من درجة الأول.

لتحديد درجة حاصل القسمة، من الضروري طرح درجة المقسوم عليه من درجة المقسوم. وتعمل القاعدة بنفس الأساس لجميع قيمها ولكل القوى الطبيعية. وفي صيغة التجريد لدينا:

(أ) س / (أ) ص = (أ) س - ص

ومن قاعدة قسمة الأساسات المتماثلة على الدرجات يأتي تعريف درجة الصفر. من الواضح أن التعبير التالي يبدو كالتالي:

(أ) س / (أ) س = (أ) (س - س) = (أ) 0

ومن ناحية أخرى، إذا قمنا بعملية القسمة بطريقة بصرية أكثر، فسنحصل على:

(أ) 2 / (أ) 2 = (أ) (أ) / (أ) (أ) = 1

عند تقليل جميع العناصر المرئية للكسر، يتم الحصول دائمًا على التعبير 1/1، أي واحد. لذلك، من المقبول عمومًا أن أي قاعدة مرفوعة للأس صفر تساوي واحدًا:

بغض النظر عن قيمة أ.

ومع ذلك، سيكون الأمر سخيفًا إذا كان 0 (الذي لا يزال يعطي 0 لأي عملية ضرب) يساوي بطريقة أو بأخرى واحدًا، لذا فإن التعبير بالشكل (0) 0 (صفر أس الصفر) ببساطة لا معنى له، والصيغة ( أ) 0 = 1 أضف شرطًا: "إذا كان a لا يساوي 0."

دعونا نحل التمرين. لنجد قيمة التعبير:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

بما أن الأساس هو نفسه في كل مكان ويساوي 34، فإن القيمة النهائية ستكون لها نفس الأساس بدرجة (وفقًا للقواعد المذكورة أعلاه):

بعبارة أخرى:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

الجواب: التعبير يساوي واحداً.

محتوى الدرس

ما هي الدرجة العلمية؟

درجةيسمى منتج عدة عوامل متطابقة. على سبيل المثال:

2 × 2 × 2

قيمة هذا التعبير هي 8

2 × 2 × 2 = 8

يمكن تقصير الجانب الأيسر من هذه المساواة - قم أولاً بتدوين عامل التكرار والإشارة فوقه إلى عدد مرات تكراره. مضاعف التكرار في هذه الحالة هو 2. ويتكرر ثلاث مرات. ولذلك نكتب ثلاثة فوق الاثنين:

2 3 = 8

يقرأ هذا التعبير مثل هذا: " اثنان أس ثلاثة يساوي ثمانية" أو " القوة الثالثة للرقم 2 هي 8."

يتم استخدام الشكل القصير للتدوين لضرب العوامل المتطابقة في كثير من الأحيان. لذلك، يجب أن نتذكر أنه إذا تم كتابة رقم آخر فوق الرقم، فهذا ضرب لعدة عوامل متطابقة.

على سبيل المثال، إذا تم إعطاء التعبير 5 3، فيجب أن يؤخذ في الاعتبار أن هذا التعبير يعادل كتابة 5 × 5 × 5.

يتم استدعاء الرقم الذي يتكرر أساس الدرجة. في التعبير 5 3 أساس القوة هو الرقم 5.

والرقم المكتوب فوق الرقم 5 يسمى الأس. في التعبير 5 3، الأس هو الرقم 3. يوضح الأس عدد مرات تكرار قاعدة الأس. في حالتنا، يتم تكرار الأساس 5 ثلاث مرات

تسمى عملية ضرب العوامل المتطابقة عن طريق الأس.

على سبيل المثال، إذا كنت بحاجة إلى إيجاد حاصل ضرب أربعة عوامل متطابقة، كل منها يساوي 2، فإنهم يقولون أن الرقم هو 2 مرفوع إلى القوة الرابعة:

نرى أن الرقم 2 أس أربعة هو الرقم 16.

لاحظ أننا في هذا الدرس ننظر درجات مع الأس الطبيعي. هذا هو نوع من الدرجة التي يكون أسها عددًا طبيعيًا. تذكر أن الأعداد الطبيعية هي أعداد صحيحة أكبر من الصفر. على سبيل المثال، 1، 2، 3 وهكذا.

بشكل عام، تعريف الدرجة ذات الأس الطبيعي يبدو كما يلي:

درجة أمع المؤشر الطبيعي نهو تعبير عن النموذج ن، وهو ما يعادل المنتج نالعوامل، وكل منها متساوي أ

أمثلة:

يجب أن تكون حذرًا عند رفع الرقم إلى قوة. في كثير من الأحيان، من خلال عدم الانتباه، يقوم الشخص بضرب أساس الأس بالأس.

على سبيل المثال، العدد 5 أس الثانية هو حاصل ضرب عاملين، كل منهما يساوي 5. هذا حاصل الضرب يساوي 25

تخيل الآن أننا ضربنا الأساس 5 بالأس 2 عن غير قصد

حدث خطأ لأن الرقم 5 أس الثانية لا يساوي 10.

بالإضافة إلى ذلك، تجدر الإشارة إلى أن قوة الرقم الذي الأس 1 هي الرقم نفسه:

على سبيل المثال، الرقم 5 أس الأول هو الرقم 5 نفسه

وبناء على ذلك، إذا كان الرقم ليس له مؤشر، فيجب أن نفترض أن المؤشر يساوي واحدا.

على سبيل المثال، يتم إعطاء الأرقام 1، 2، 3 بدون أس، وبالتالي فإن أسسها ستكون مساوية لواحد. يمكن كتابة كل من هذه الأرقام بالأس 1

وإذا قمت برفع 0 إلى قوة ما، فإنك تحصل على 0. وفي الواقع، بغض النظر عن عدد المرات التي تضاعف فيها أي شيء في نفسه، فلن تحصل على شيء. أمثلة:

والتعبير 0 0 لا معنى له. لكن في بعض فروع الرياضيات، وخاصة التحليل ونظرية المجموعات، قد يكون التعبير 0 0 منطقيًا.

للتدريب، دعونا نحل بعض الأمثلة على رفع الأعداد إلى القوى.

مثال 1.ارفع الرقم 3 إلى القوة الثانية.

الرقم 3 أس الثاني هو حاصل ضرب عاملين، كل منهما يساوي 3

3 2 = 3 × 3 = 9

مثال 2.ارفع الرقم 2 إلى القوة الرابعة.

الرقم 2 أس أربعة هو حاصل ضرب أربعة عوامل، كل عامل منها يساوي 2

2 4 =2 × 2 × 2 × 2 = 16

مثال 3.ارفع الرقم 2 إلى القوة الثالثة.

العدد 2 أس ثلاثة هو حاصل ضرب ثلاثة عوامل، كل عامل منها يساوي 2

2 3 =2 × 2 × 2 = 8

رفع الرقم 10 للقوة

ولرفع الرقم 10 إلى قوة، يكفي أن نضيف بعد الواحد عددًا من الأصفار يساوي الأس.

على سبيل المثال، لنرفع الرقم 10 إلى القوة الثانية. أولاً نكتب الرقم 10 نفسه ونشير إلى الرقم 2 كمؤشر

10 2

الآن نضع علامة يساوي، نكتب واحد وبعد هذه نكتب صفرين، حيث أن عدد الأصفار يجب أن يكون مساوياً للأس

10 2 = 100

وهذا يعني أن العدد 10 أس الثانية هو الرقم 100. وذلك لأن العدد 10 أس الثانية هو حاصل ضرب عاملين، كل منهما يساوي 10

10 2 = 10 × 10 = 100

مثال 2. لنرفع العدد 10 إلى القوة الثالثة.

في هذه الحالة سيكون هناك ثلاثة أصفار بعد الواحد:

10 3 = 1000

مثال 3. لنرفع العدد 10 إلى القوة الرابعة.

في هذه الحالة سيكون هناك أربعة أصفار بعد الواحد:

10 4 = 10000

مثال 4. لنرفع العدد 10 إلى القوة الأولى.

في هذه الحالة، سيكون هناك صفر بعد الواحد:

10 1 = 10

تمثيل الأرقام 10، 100، 1000 كقوى ذات الأساس 10

لتمثيل الأرقام 10 و100 و1000 و10000 كقوة بأساس 10، تحتاج إلى كتابة الأساس 10، وكأس حدد رقمًا يساوي عدد أصفار الرقم الأصلي.

لنتخيل الرقم 10 كقوة أساسها 10. نرى أن عددها صفر واحد. وهذا يعني أن الرقم 10 كقوة ذات أساس 10 سيتم تمثيله على أنه 10 1

10 = 10 1

مثال 2. لنتخيل الرقم 100 كقوة أساسها 10. نرى أن الرقم 100 يحتوي على صفرين. وهذا يعني أن الرقم 100 كقوة ذات أساس 10 سيتم تمثيله على أنه 10 2

100 = 10 2

مثال 3. لنمثل الرقم 1000 كقوة أساسها 10.

1 000 = 10 3

مثال 4. لنمثل الرقم 10000 كقوة أساسها 10.

10 000 = 10 4

رفع رقم سالب للقوة

عند رفع رقم سالب إلى قوة، يجب وضعه بين قوسين.

على سبيل المثال، لنرفع الرقم السالب −2 إلى القوة الثانية. الرقم −2 أس الثانية هو حاصل ضرب عاملين، كل منهما يساوي (−2)

(−2) 2 = (−2) × (−2) = 4

إذا لم نضع الرقم −2 بين قوسين، فسيتبين أننا نحسب التعبير −2 2، والذي غير متساوي 4 . التعبير −2² سيكون مساوياً لـ −4. لفهم السبب، دعونا نتطرق إلى بعض النقاط.

عندما نضع علامة ناقص أمام رقم موجب، فإننا بذلك نؤدي عملية أخذ القيمة المعاكسة.

لنفترض أنك أعطيت الرقم 2، وتحتاج إلى العثور على الرقم المقابل له. نحن نعلم أن معكوس 2 هو −2. بمعنى آخر، للعثور على الرقم المقابل للرقم 2، ما عليك سوى وضع علامة ناقص أمام هذا الرقم. يعتبر إدخال علامة ناقص قبل الرقم عملية كاملة في الرياضيات. وتسمى هذه العملية، كما ذكرنا أعلاه، بعملية أخذ القيمة المعاكسة.

في حالة التعبير −2 2، تحدث عمليتان: عملية أخذ القيمة المعاكسة ورفعها إلى قوة. إن الرفع إلى قوة له أولوية أعلى من أخذ القيمة المعاكسة.

لذلك، يتم حساب التعبير −2 2 على مرحلتين. أولا، يتم إجراء عملية الأس. في هذه الحالة، تم رفع العدد الموجب 2 إلى القوة الثانية

ثم تم أخذ القيمة المعاكسة. تم العثور على هذه القيمة المعاكسة للقيمة 4. والقيمة المعاكسة للقيمة 4 هي −4

−2 2 = −4

الأقواس لها أعلى أولوية في التنفيذ. لذلك، في حالة حساب التعبير (−2) 2، يتم أخذ القيمة المعاكسة أولاً، ثم يتم رفع الرقم السالب −2 إلى القوة الثانية. والنتيجة هي إجابة موجبة بقيمة 4، حيث أن حاصل ضرب الأعداد السالبة هو عدد موجب.

مثال 2. ارفع الرقم −2 إلى القوة الثالثة.

الرقم −2 أس ثلاثة هو حاصل ضرب ثلاثة عوامل، كل عامل منها يساوي (−2)

(−2) 3 = (−2) × (−2) × (−2) = −8

مثال 3. ارفع الرقم −2 إلى القوة الرابعة.

الرقم −2 أس أربعة هو حاصل ضرب أربعة عوامل، كل عامل منها يساوي (−2)

(−2) 4 = (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = 16

من السهل أن ترى أنه عند رفع رقم سالب إلى قوة ما، يمكنك الحصول على إجابة موجبة أو إجابة سالبة. وعلامة الجواب تعتمد على دليل الدرجة الأصلية.

إذا كان الأس زوجيًا، فستكون الإجابة إيجابية. إذا كان الأس فرديا، فإن الجواب سيكون سلبيا. دعونا نظهر ذلك باستخدام مثال الرقم −3

وفي الحالتين الأولى والثالثة كان المؤشر غريبرقم، لذلك أصبح الجواب سلبي.

وفي الحالتين الثانية والرابعة كان المؤشر حتىرقم، لذلك أصبح الجواب إيجابي.

مثال 7.ارفع −5 إلى القوة الثالثة.

الرقم −5 مرفوعًا للقوة الثالثة هو حاصل ضرب ثلاثة عوامل، كل عامل منها يساوي −5. الأس 3 هو عدد فردي، لذا يمكننا أن نقول مقدمًا أن الإجابة ستكون سالبًا:

(−5) 3 = (−5) × (−5) × (−5) = −125

مثال 8.ارفع −4 إلى القوة الرابعة.

الرقم −4 مرفوعًا للقوة الرابعة هو حاصل ضرب أربعة عوامل، كل عامل منها يساوي −4. علاوة على ذلك، فإن الأس 4 زوجي، لذلك يمكننا أن نقول مقدمًا أن الإجابة ستكون إيجابية:

(−4) 4 = (−4) × (−4) × (−4) × (−4) = 256

العثور على قيم التعبير

عند العثور على قيم التعبيرات التي لا تحتوي على أقواس، سيتم إجراء عملية الأس أولا، يليها الضرب والقسمة بترتيب ظهورها، ثم الجمع والطرح بترتيب ظهورها.

مثال 1. أوجد قيمة التعبير 2 + 5 2

أولا، يتم إجراء الأسي. في هذه الحالة، يتم رفع الرقم 5 إلى القوة الثانية - نحصل على 25. ثم تضاف هذه النتيجة إلى الرقم 2

2 + 5 2 = 2 + 25 = 27

مثال 10. أوجد قيمة التعبير −6 2 × (−12)

أولا، يتم إجراء الأسي. لاحظ أن الرقم −6 ليس بين قوسين، لذلك سيتم رفع الرقم 6 إلى القوة الثانية، ثم سيتم وضع علامة الطرح أمام النتيجة:

−6 2 × (−12) = −36 × (−12)

نكمل المثال بضرب −36 في (−12)

−6 2 × (−12) = −36 × (−12) = 432

مثال 11. أوجد قيمة التعبير −3 × 2 2

أولا، يتم إجراء الأسي. ثم يتم ضرب النتيجة الناتجة بالرقم −3

−3 × 2 2 = −3 × 4 = −12

إذا كان التعبير يحتوي على أقواس، فيجب عليك أولاً إجراء العمليات داخل هذه الأقواس، ثم الأس، ثم الضرب والقسمة، ثم الجمع والطرح.

مثال 12. أوجد قيمة التعبير (٣ ٢ + ١ × ٣) − ١٥ + ٥

أولا نقوم بتنفيذ الإجراءات بين قوسين. داخل الأقواس نطبق القواعد التي تعلمناها سابقا وهي أولا نرفع الرقم 3 للقوة الثانية ثم نضرب 1 × 3 ثم نضيف نتائج رفع الرقم 3 للقوة الثانية والضرب 1 × 3 . بعد ذلك، يتم إجراء الطرح والجمع بالترتيب الذي تظهر به. لنرتب الترتيب التالي لتنفيذ الإجراء على التعبير الأصلي:

(3 2 + 1 × 3) − 15 + 5 = 12 − 15 + 5 = 2

مثال 13. أوجد قيمة التعبير 2 × 5 3 + 5 × 2 3

أولاً، لنرفع الأعداد إلى قوى، ثم نضربها ونجمع النتائج:

2 × 5 3 + 5 × 2 3 = 2 × 125 + 5 × 8 = 250 + 40 = 290

تحولات الطاقة المتطابقة

يمكن إجراء تحولات هوية مختلفة على القوى، وبالتالي تبسيطها.

لنفترض أننا بحاجة إلى حساب التعبير (2 3) 2. في هذا المثال، اثنان أس ثلاثة مرفوع إلى القوة الثانية. وبعبارة أخرى، يتم رفع درجة إلى درجة أخرى.

(2 3) 2 هو حاصل ضرب قوتين، كل منهما تساوي 2 3

علاوة على ذلك، فإن كل قوة من هذه القوى هي نتاج ثلاثة عوامل، كل منها يساوي 2

حصلنا على حاصل الضرب 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 وهو يساوي 64. وهذا يعني قيمة التعبير (3 2) 2 أو يساوي 64

يمكن تبسيط هذا المثال إلى حد كبير. للقيام بذلك، يمكن ضرب أسس التعبير (2 3) 2 وكتابة هذا الناتج على الأساس 2

لقد حصلنا على 2 6. اثنان أس ستة هو حاصل ضرب ستة عوامل، كل عامل منها يساوي 2. هذا حاصل الضرب يساوي 64

تعمل هذه الخاصية لأن 2 3 هو حاصل ضرب 2 × 2 × 2، والذي بدوره يتكرر مرتين. ثم يتبين أن الأساس 2 يتكرر ست مرات. من هنا يمكننا أن نكتب أن 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 يساوي 2 6

بشكل عام، لأي سبب من الأسباب أمع المؤشرات مو ن، المساواة التالية تحمل:

(ن)م = ن × م

ويسمى هذا التحول المتطابق رفع قوة إلى قوة. ويمكن قراءتها على النحو التالي: "عند رفع قوة إلى قوة، يُترك الأساس دون تغيير، ويتم ضرب الأسس" .

وبعد ضرب المؤشرات تحصل على درجة أخرى يمكن معرفة قيمتها.

مثال 2. أوجد قيمة التعبير (3 2) 2

في هذا المثال، الأساس هو 3، والرقمان 2 و 2 هما من الأسس. دعونا نستخدم قاعدة رفع قوة إلى قوة. سنترك القاعدة دون تغيير، ونضرب المؤشرات:

حصلنا على 3 4. والعدد 3 أس أربعة هو 81

دعونا ننظر في التحولات المتبقية.

مضاعفة القوى

لمضاعفة القوى، تحتاج إلى حساب كل قوة بشكل منفصل ومضاعفة النتائج.

على سبيل المثال، لنضرب 2 2 في 3 3.

2 2 هو الرقم 4، و3 3 هو الرقم 27. اضرب الرقمين 4 و 27 نحصل على 108

2 2 × 3 3 = 4 × 27 = 108

في هذا المثال، كانت قواعد الدرجة مختلفة. إذا كانت القواعد هي نفسها، فيمكنك كتابة قاعدة واحدة، وكتابة مجموع مؤشرات الدرجات الأصلية كمؤشر.

على سبيل المثال، اضرب 2 2 في 2 3

في هذا المثال، أسس الدرجات هي نفسها. في هذه الحالة، يمكنك كتابة أساس واحد 2 وكتابة مجموع أسس القوى 2 2 و2 3 كأسس. بمعنى آخر، اترك الأساس دون تغيير، وأضف مؤشرات الدرجات الأصلية. سوف يبدو مثل هذا:

لقد تلقينا 25. الرقم 2 أس خمسة هو 32

تعمل هذه الخاصية لأن 2 2 هو حاصل ضرب 2 × 2، و2 3 هو حاصل ضرب 2 × 2 × 2. ثم نحصل على حاصل ضرب خمسة عوامل متطابقة، كل منها يساوي 2. يمكن تمثيل هذا المنتج كـ 2 5

بشكل عام، لأي شخص أوالمؤشرات مو نالمساواة التالية تحمل:

ويسمى هذا التحول المتطابق الخاصية الأساسية للدرجة. ويمكن قراءتها على النحو التالي: " صعند ضرب القوى بنفس الأساس، يُترك الأساس دون تغيير، وتُضاف الأسس. .

لاحظ أنه يمكن تطبيق هذا التحويل على أي عدد من الدرجات. الشيء الرئيسي هو أن القاعدة هي نفسها.

على سبيل المثال، لنوجد قيمة التعبير 2 1 × 2 2 × 2 3. القاعدة 2

في بعض المسائل، قد يكفي إجراء التحويل المناسب دون حساب الدرجة النهائية. وهذا بالطبع مريح جدًا، نظرًا لأن حساب القوى الكبيرة ليس بهذه السهولة.

مثال 1. عبر بقوة عن التعبير 5 8 × 25

في هذه المشكلة، عليك التأكد من أنه بدلاً من التعبير 5 8 × 25، تحصل على قوة واحدة.

يمكن تمثيل الرقم 25 على أنه 5 2. ثم نحصل على التعبير التالي:

في هذا التعبير، يمكنك تطبيق الخاصية الأساسية للدرجة - اترك الأساس 5 دون تغيير، وأضف الأسين 8 و2:

دعونا نكتب الحل باختصار:

مثال 2. عبّر بقوة عن التعبير 2 9 × 32

يمكن تمثيل الرقم 32 على أنه 2 5. ثم نحصل على التعبير 2 9 × 2 5. بعد ذلك، يمكنك تطبيق الخاصية الأساسية للدرجة - اترك الأساس 2 دون تغيير، وأضف الأسين 9 و5. وستكون النتيجة الحل التالي:

مثال 3. احسب حاصل الضرب 3 × 3 باستخدام الخاصية الأساسية للقوى.

يعلم الجميع جيدًا أن ثلاثة في ثلاثة يساوي تسعة، لكن المشكلة تتطلب استخدام الخاصية الأساسية للدرجات في الحل. كيف افعلها؟

ونتذكر أنه إذا تم إعطاء رقم بدون مؤشر، فيجب اعتبار المؤشر مساويًا لواحد. لذلك، يمكن كتابة العوامل 3 و3 بالصورة 3 1 و3 1

3 1 × 3 1

الآن دعونا نستخدم الخاصية الأساسية للدرجة. نترك الأساس 3 دون تغيير، ونضيف المؤشرين 1 و1:

3 1 × 3 1 = 3 2 = 9

مثال 4. احسب حاصل الضرب 2 × 2 × 3 2 × 3 3 باستخدام الخاصية الأساسية للقوى.

نستبدل الناتج 2 × 2 بـ 2 1 × 2 1، ثم بـ 2 1 + 1، ثم بـ 2 2. استبدل الناتج 3 2 × 3 3 بـ 3 2 + 3 ثم بـ 3 5

مثال 5. إجراء الضرب س × س

هذان عاملان متماثلان من الحروف وأسهما 1. وللتوضيح، دعونا نكتب هذه الأسس. التالي هو القاعدة سدعنا نترك الأمر دون تغيير ونضيف المؤشرات:

أثناء وجودك على السبورة، لا ينبغي عليك كتابة عمليات ضرب القوى ذات الأساس نفسه بنفس القدر من التفاصيل كما هو الحال هنا. يجب إجراء مثل هذه الحسابات في رأسك. من المرجح أن تزعج الملاحظة التفصيلية المعلم وسيخفض درجتها. هنا، يتم تقديم تسجيل مفصل لجعل المادة سهلة الفهم قدر الإمكان.

من المستحسن كتابة الحل لهذا المثال على النحو التالي:

مثال 6. إجراء الضرب س 2 × س

وأس العامل الثاني يساوي واحدًا. من أجل الوضوح، دعونا نكتب ذلك. بعد ذلك، سنترك القاعدة دون تغيير ونضيف المؤشرات:

مثال 7. إجراء الضرب ذ 3 ذ 2 ذ

وأس العامل الثالث يساوي واحدًا. من أجل الوضوح، دعونا نكتب ذلك. بعد ذلك، سنترك القاعدة دون تغيير ونضيف المؤشرات:

مثال 8. إجراء الضرب أأ 3 أ 2 أ 5

وأس العامل الأول يساوي واحدًا. من أجل الوضوح، دعونا نكتب ذلك. بعد ذلك، سنترك القاعدة دون تغيير ونضيف المؤشرات:

مثال 9. قم بتمثيل القوة 3 8 كحاصل ضرب القوى التي لها نفس القواعد.

في هذه المسألة، عليك إنشاء حاصل ضرب القوى التي أساسها يساوي 3، ومجموع أسسها يساوي 8. يمكن استخدام أي مؤشرات. دعونا نمثل القوة 3 8 كحاصل ضرب القوى 3 5 و3 3

في هذا المثال، اعتمدنا مرة أخرى على الخاصية الأساسية للدرجة. بعد كل شيء، يمكن كتابة التعبير 3 5 × 3 3 بالشكل 3 5 + 3، ومن هنا 3 8.

بالطبع، كان من الممكن تمثيل القوة 3 8 كناتج لقوى أخرى. على سبيل المثال، في الصورة 3 7 × 3 1، لأن هذا حاصل الضرب يساوي أيضًا 3 8

إن تمثيل الدرجة العلمية على أنها نتاج قوى لها نفس الأسس هو في الغالب عمل إبداعي. لذلك، لا داعي للخوف من التجربة.

مثال 10. إرسال الدرجة س 12 على شكل منتجات متنوعة من القوى ذات القواعد س .

دعونا نستخدم الخاصية الأساسية للدرجات. دعنا نتخيل س 12 على شكل منتجات ذات قواعد سومجموع المؤشرات هو 12

تم تسجيل الإنشاءات مع مجموعات من المؤشرات من أجل الوضوح. في أغلب الأحيان يمكنك تخطيها. ثم تحصل على حل مدمج:

رفع إلى قوة المنتج

لرفع منتج إلى قوة، تحتاج إلى رفع كل عامل من هذا المنتج إلى القوة المحددة ومضاعفة النتائج.

على سبيل المثال، لنرفع حاصل الضرب 2 × 3 إلى القوة الثانية. لنأخذ هذا المنتج بين قوسين ونشير إلى الرقم 2 كمؤشر

الآن لنرفع كل عامل من حاصل الضرب 2 × 3 إلى القوة الثانية ونضرب النتائج:

يعتمد مبدأ تشغيل هذه القاعدة على تعريف الدرجة الذي تم تقديمه في البداية.

رفع الناتج 2×3 إلى القوة الثانية يعني تكرار الناتج مرتين. وإذا كررتها مرتين يمكنك الحصول على ما يلي:

2 × 3 × 2 × 3

إعادة ترتيب أماكن العوامل لا يغير الناتج. يتيح لك ذلك تجميع العوامل المتشابهة:

2 × 2 × 3 × 3

يمكن استبدال العوامل المتكررة بإدخالات قصيرة - قواعد ذات مؤشرات. يمكن استبدال المنتج 2 × 2 بـ 2 2، ويمكن استبدال المنتج 3 × 3 بـ 3 2. فيصبح التعبير 2 × 2 × 3 × 3 هو التعبير 2 2 × 3 2.

يترك أبالعمل الأصلي. لرفع منتج معين إلى السلطة ن، تحتاج إلى مضاعفة العوامل بشكل منفصل أو بإلى الدرجة المحددة ن

هذه الخاصية صحيحة لأي عدد من العوامل. التعبيرات التالية صالحة أيضًا:

مثال 2. أوجد قيمة التعبير (2 × 3 × 4) 2

في هذا المثال، تحتاج إلى رفع المنتج 2 × 3 × 4 إلى القوة الثانية. للقيام بذلك، تحتاج إلى رفع كل عامل من هذا المنتج إلى القوة الثانية ومضاعفة النتائج:

مثال 3. ارفع المنتج إلى القوة الثالثة أ×ب×ج

دعونا نضع هذا المنتج بين قوسين ونشير إلى الرقم 3 كمؤشر

مثال 4. ارفع المنتج 3 إلى القوة الثالثة xyz

دعونا نضع هذا المنتج بين قوسين ونشير إلى الرقم 3 كمؤشر

(3xyz) 3

دعونا نرفع كل عامل من هذا المنتج إلى القوة الثالثة:

(3xyz) 3 = 3 3 س 3 ذ 3 ض 3

الرقم 3 أس ثلاثة يساوي الرقم 27. سنترك الباقي دون تغيير:

(3xyz) 3 = 3 3 س 3 ذ 3 ض 3 = 27س 3 ذ 3 ض 3

في بعض الأمثلة، يمكن استبدال ضرب القوى التي لها نفس الأسس بمنتج الأساسات التي لها نفس الأسس.

على سبيل المثال، لنحسب قيمة التعبير 5 2 × 3 2. لنرفع كل رقم إلى القوة الثانية ونضرب النتائج:

5 2 × 3 2 = 25 × 9 = 225

لكن ليس عليك حساب كل درجة على حدة. بدلًا من ذلك، يمكن استبدال منتج القوى هذا بمنتج له أس واحد (5 × 3) 2 . بعد ذلك، احسب القيمة الموجودة بين قوسين وارفع النتيجة إلى القوة الثانية:

5 2 × 3 2 = (5 × 3) 2 = (15) 2 = 225

في هذه الحالة، تم استخدام قاعدة الأس للمنتج مرة أخرى. بعد كل شيء، إذا (أ × ب)ن = أ ن × ب ن ، الذي - التي أ ن × ب ن = (أ × ب) ن. وهذا يعني أن الجانبين الأيسر والأيمن من المساواة قد تبادلا الأماكن.

رفع درجة إلى قوة

لقد اعتبرنا هذا التحول كمثال عندما حاولنا فهم جوهر التحولات المتطابقة للدرجات.

عند رفع قوة إلى قوة، يتم ترك الأساس دون تغيير، ويتم ضرب الأسس:

(ن)م = ن × م

على سبيل المثال، التعبير (2 3) 2 هو أس مرفوع إلى أس - اثنان أس ثلاثة مرفوع إلى الأس الثاني. للعثور على قيمة هذا التعبير، يمكن ترك الأساس دون تغيير ويمكن ضرب الأسس:

(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6

(3 2) 2 = 2 3 × 2 = 2 6 = 64

تعتمد هذه القاعدة على القواعد السابقة: أس حاصل الضرب والخاصية الأساسية للدرجة.

دعنا نعود إلى التعبير (2 3) 2. التعبير بين القوسين 2 3 هو حاصل ضرب ثلاثة عوامل متطابقة، كل منها يساوي 2. ثم في التعبير (2 3) يمكن استبدال القوة 2 داخل القوسين بالمنتج 2 × 2 × 2.

(2 × 2 × 2) 2

وهذه هي أسية حاصل الضرب الذي درسناه سابقًا. دعونا نتذكر أنه لرفع منتج ما إلى قوة، تحتاج إلى رفع كل عامل من منتج معين إلى القوة المشار إليها وضرب النتائج التي تم الحصول عليها:

(2 × 2 × 2) 2 = 2 2 × 2 2 × 2 2

الآن نحن نتعامل مع الخاصية الأساسية للدرجة. نترك القاعدة دون تغيير ونضيف المؤشرات:

(2 × 2 × 2) 2 = 2 2 × 2 2 × 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6

كما كان من قبل، تلقينا 2 6. قيمة هذه الدرجة هي 64

(2 × 2 × 2) 2 = 2 2 × 2 2 × 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6 = 64

يمكن أيضًا رفع المنتج الذي تكون عوامله أيضًا قوى إلى قوة.

على سبيل المثال، لنوجد قيمة التعبير (2 2 × 3 2) 3. وهنا يجب ضرب مؤشرات كل مضاعف بالمؤشر الإجمالي 3. بعد ذلك، أوجد قيمة كل درجة واحسب حاصل الضرب:

(2 2 × 3 2) 3 = 2 2 × 3 × 3 2 × 3 = 2 6 × 3 6 = 64 × 729 = 46656

ويحدث نفس الشيء تقريبًا عند رفع المنتج إلى مستوى القوة. قلنا أنه عند رفع منتج ما إلى قوة، يتم رفع كل عامل من هذا المنتج إلى القوة المشار إليها.

على سبيل المثال، لرفع حاصل الضرب 2 × 4 إلى القوة الثالثة، يمكنك كتابة التعبير التالي:

ولكن قيل سابقًا أنه إذا تم إعطاء رقم بدون مؤشر، فيجب اعتبار المؤشر مساويًا لواحد. اتضح أن عوامل المنتج 2 × 4 لها في البداية أسس تساوي 1. وهذا يعني أن التعبير 2 1 × 4 1 مرفوع إلى القوة الثالثة. وهذا رفع درجة إلى درجة.

دعونا نعيد كتابة الحل باستخدام قاعدة رفع قوة إلى قوة. يجب أن نحصل على نفس النتيجة:

مثال 2. أوجد قيمة التعبير (3 3) 2

نترك القاعدة دون تغيير، ونضرب المؤشرات:

حصلنا على 3 6. الرقم 3 أس ستة هو الرقم 729

مثال 3xy)³

مثال 4. إجراء الأس في التعبير ( اي بي سي)⁵

دعونا نرفع كل عامل من عوامل الضرب إلى القوة الخامسة:

مثال 5فأس) 3

دعونا نرفع كل عامل من عوامل الضرب إلى القوة الثالثة:

بما أن العدد السالب −2 مرفوع إلى القوة الثالثة، فقد تم وضعه بين قوسين.

مثال 6. إجراء الأس في التعبير (10 xy) 2

مثال 7. إجراء الأس في التعبير (-5 س) 3

مثال 8. قم بإجراء الأسي في التعبير (−3 ذ) 4

مثال 9. إجراء الأس في التعبير (−2 abx)⁴

مثال 10. تبسيط التعبير س 5×( س 2) 3

درجة سدعونا نترك 5 دون تغيير في الوقت الراهن، وفي التعبير ( س 2) 3 نقوم برفع قوة إلى قوة:

س 5 × (س 2) 3 = س 5 × س 2×3 = س 5 × س 6

الآن دعونا نفعل الضرب س 5 × س 6. للقيام بذلك، سوف نستخدم الخاصية الأساسية للدرجة - القاعدة سدعنا نترك الأمر دون تغيير ونضيف المؤشرات:

س 5 × (س 2) 3 = س 5 × س 2×3 = س 5 × س 6 = س 5 + 6 = س 11

مثال 9. أوجد قيمة التعبير 4 3 × 2 2 باستخدام خاصية القوة الأساسية.

يمكن استخدام الخاصية الأساسية للدرجة إذا كانت أسس الدرجات الأصلية هي نفسها. في هذا المثال، القواعد مختلفة، لذا عليك أولاً تعديل التعبير الأصلي قليلاً، أي التأكد من أن أسس القوى أصبحت هي نفسها.

دعونا ننظر عن كثب إلى الدرجة 4 3. أساس هذه الدرجة هو الرقم 4، والذي يمكن تمثيله بالرقم 2 2. فيكون التعبير الأصلي بالشكل (2 2) 3 × 2 2. وبرفع الأس إلى الأس في التعبير (2 2) 3، نحصل على 2 6. بعد ذلك، سيأخذ التعبير الأصلي الصورة 2 6 × 2 2، والتي يمكن حسابها باستخدام الخاصية الأساسية للقوة.

دعونا نكتب الحل لهذا المثال:

تقسيم الدرجات

لتقسيم القوى، عليك إيجاد قيمة كل قوة، ثم قسمة الأعداد العادية.

على سبيل المثال، لنقسم 4 3 على 2 2.

لنحسب 4 3، نحصل على 64. احسب 2 2، احصل على 4. الآن اقسم 64 على 4، احصل على 16

إذا تبين أن القواعد هي نفسها عند تقسيم القوى، فيمكن ترك الأساس دون تغيير، ويمكن طرح أس المقسوم عليه من أس المقسوم.

على سبيل المثال، لنجد قيمة التعبير 2 3: 2 2

نترك الأساس 2 دون تغيير، ونطرح أس المقسوم عليه من أس المقسوم:

وهذا يعني أن قيمة التعبير 2 3: 2 2 تساوي 2.

وتقوم هذه الخاصية على ضرب القوى ذات الأساس نفسه، أو كما كنا نقول، الخاصية الأساسية للقوة.

لنعود إلى المثال السابق 2 3 : 2 2. هنا المقسوم هو 2 3 والمقسوم عليه 2 2.

قسمة رقم على آخر تعني إيجاد الرقم الذي، عند ضربه بالمقسوم عليه، سيؤدي إلى المقسوم.

في حالتنا، قسمة 2 3 على 2 2 تعني إيجاد القوة التي، عند ضربها بالمقسوم عليه 2 2، تنتج 2 3. ما القوة التي يمكن ضربها في 2 2 للحصول على 2 3؟ ومن الواضح أن الدرجة 2 فقط هي 1. من الخاصية الأساسية للدرجة لدينا:

يمكنك التحقق من أن قيمة التعبير 2 3: 2 2 تساوي 2 1 عن طريق الحساب المباشر للتعبير 2 3: 2 2 نفسه. للقيام بذلك، نوجد أولًا قيمة القوة 2 3، ونحصل على 8. ثم نوجد قيمة القوة 2 2، فنحصل على 4. بقسمة 8 على 4 نحصل على 2 أو 2 1، لأن 2 = 2 1.

2 3: 2 2 = 8: 4 = 2

وهكذا عند تقسيم السلطات على نفس الأسس تتحقق المساواة التالية:

قد يحدث أيضًا أنه ليس فقط الأسباب، ولكن أيضًا المؤشرات قد تكون هي نفسها. في هذه الحالة ستكون الإجابة واحدة.

على سبيل المثال، لنجد قيمة التعبير 2 2: 2 2. لنحسب قيمة كل درجة ونقسم الأعداد الناتجة:

عند حل المثال 2 2: 2 2، يمكنك أيضًا تطبيق قاعدة تقسيم القوى على نفس الأساسات. والنتيجة هي رقم مرفوع للأس صفر، لأن الفرق بين أسس الأستين 2 2 و2 2 يساوي صفر:

لقد اكتشفنا أعلاه لماذا الرقم 2 أس صفر يساوي واحدًا. إذا قمت بحساب 2 2: 2 2 بالطريقة المعتادة، دون استخدام قاعدة تقسيم القوى، فستحصل على واحدة.

مثال 2. أوجد قيمة التعبير 4 12: 4 10

دعونا نترك 4 دون تغيير، ونطرح أس المقسوم عليه من أس المقسوم:

4 12: 4 10 = 4 12 − 10 = 4 2 = 16

مثال 3. تقديم الحاصل س 3: سعلى شكل قوة ذات قاعدة س

دعونا نستخدم قاعدة تقسيم السلطة. قاعدة سدعونا نترك الأمر دون تغيير، ونطرح أس المقسوم عليه من أس المقسوم. أس المقسوم عليه يساوي واحد. من أجل الوضوح، دعونا نكتب ذلك:

مثال 4. تقديم الحاصل س 3: س 2 كقوة ذات قاعدة س

دعونا نستخدم قاعدة تقسيم السلطة. قاعدة س

يمكن كتابة تقسيم السلطات على شكل كسر. لذلك يمكن كتابة المثال السابق على النحو التالي:

يمكن كتابة بسط ومقام الكسر بشكل موسع، أي في شكل حاصل ضرب عوامل متطابقة. درجة س 3 يمكن كتابتها كما س × س × س، والدرجة س 2 كيف س × س. ثم التصميم سيمكن تخطي 3 − 2 ويمكن تقليل الكسر. سيكون من الممكن تقليل عاملين في البسط والمقام س. ونتيجة لذلك، سيبقى مضاعف واحد س

أو حتى أقصر:

من المفيد أيضًا أن تكون قادرًا على تقليل الكسور التي تتكون من القوى بسرعة. على سبيل المثال، يمكن تخفيض جزء من س 2. لتقليل جزء من س 2 تحتاج إلى قسمة البسط والمقام على الكسر س 2

ليس من الضروري وصف تقسيم الدرجات بالتفصيل. يمكن إجراء الاختصار أعلاه بشكل أقصر: