Mësimi "forma standarde e polinomit". Video mësimi “Polinomi dhe forma e tij standarde

29.09.2019

Sipas përkufizimit, një polinom është një shprehje algjebrike që përfaqëson shumën e monomëve.

Për shembull: 2*a^2 + 4*a*x^7 - 3*a*b^3 + 4; 6 + 4*b^3 janë polinome dhe shprehja z/(x - x*y^2 + 4) nuk është polinom sepse nuk është shumë monomësh. Një polinom nganjëherë quhet edhe polinom, dhe monomët që janë pjesë e një polinomi janë anëtarë të një polinomi ose monomësh.

Koncepti kompleks i polinomit

Nëse një polinom përbëhet nga dy terma, atëherë ai quhet binom, nëse përbëhet nga tre, quhet trinom. Emrat katërnom, pesënom e të tjerë nuk përdoren dhe në raste të tilla thonë thjesht polinom. Emra të tillë, në varësi të numrit të termave, vendosin gjithçka në vendin e vet.

Dhe termi monom bëhet intuitiv. Nga pikëpamja matematikore, një monom është një rast i veçantë i një polinomi. Një monom është një polinom që përbëhet nga një term.

Ashtu si një monom, një polinom ka formën e tij standarde. Forma standarde e një polinomi është një shënim i tillë i një polinomi në të cilin të gjithë monomët e përfshirë në të si terma shkruhen në një formë standarde dhe jepen terma të ngjashëm.

Forma standarde e polinomit

Procedura për reduktimin e një polinomi në formë standarde është të reduktoni secilin prej monomëve në formën standarde dhe më pas të shtoni të gjithë monomët e ngjashëm së bashku. Shtimi i termave të ngjashëm të një polinomi quhet reduktim i ngjashëm.
Për shembull, le të japim terma të ngjashëm në polinomin 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b.

Termat 4*a*b^2*c^3 dhe 6*a*b^2*c^3 janë të ngjashëm këtu. Shuma e këtyre termave do të jetë monomi 10*a*b^2*c^3. Prandaj, polinomi origjinal 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b mund të rishkruhet si 10*a*b^2*c^3 - a* b . Kjo hyrje do të jetë forma standarde e një polinomi.

Nga fakti se çdo monom mund të reduktohet në një formë standarde, rrjedh gjithashtu se çdo polinom mund të reduktohet në një formë standarde.

Kur një polinom reduktohet në një formë standarde, mund të flasim për një koncept të tillë si shkalla e një polinomi. Shkalla e një polinomi është shkalla më e lartë e një monomi të përfshirë në një polinom të caktuar.
Kështu, për shembull, 1 + 4*x^3 - 5*x^3*y^2 është një polinom i shkallës së pestë, pasi shkalla maksimale e monomit të përfshirë në polinomin (5*x^3*y^ 2) është i pesti.

Në këtë mësim, ne do të kujtojmë përkufizimet themelore të kësaj teme dhe do të shqyrtojmë disa probleme tipike, përkatësisht, zvogëlimin e një polinomi në një formë standarde dhe llogaritjen e një vlere numerike për vlerat e dhëna të variablave. Ne do të zgjidhim disa shembuj në të cilët reduktimi në një formë standarde do të përdoret për të zgjidhur lloje të ndryshme problemesh.

Tema:Polinome. Veprimet aritmetike mbi monomët

Mësim:Reduktimi i një polinomi në formë standarde. Detyrat tipike

Le të kujtojmë përkufizimin bazë: një polinom është shuma e monomëve. Çdo monom që është pjesë e një polinomi si term quhet anëtar i tij. Për shembull:

Binomi;

Polinom;

Binomi;

Meqenëse një polinom përbëhet nga monomë, veprimi i parë me një polinom pason nga këtu - ju duhet t'i sillni të gjithë monomët në një formë standarde. Le t'ju kujtojmë se për ta bërë këtë ju duhet të shumëzoni të gjithë faktorët numerikë - të merrni një koeficient numerik dhe të shumëzoni fuqitë përkatëse - të merrni pjesën e shkronjës. Përveç kësaj, le t'i kushtojmë vëmendje teoremës për produktin e fuqive: kur shumëzojmë fuqitë, eksponentët e tyre mblidhen.

Le të shqyrtojmë një operacion të rëndësishëm - reduktimin e një polinomi në formë standarde. Shembull:

Koment: për të sjellë një polinom në një formë standarde, duhet të sillni të gjithë monomët e përfshirë në përbërjen e tij në një formë standarde, pas së cilës, nëse ka monomë të ngjashëm - dhe këto janë monomë me të njëjtën pjesë shkronjash - kryeni veprime me ta. .

Pra, ne shikuam problemin e parë tipik - sjelljen e një polinomi në një formë standarde.

Problemi tjetër tipik është llogaritja e vlerës specifike të një polinomi për vlerat e dhëna numerike të variablave të përfshirë në të. Le të vazhdojmë të shikojmë shembullin e mëparshëm dhe të vendosim vlerat e variablave:

Koment: le të kujtojmë se një për çdo fuqi natyrore është e barabartë me një, dhe zero për çdo fuqi natyrore është e barabartë me zero, përveç kësaj, kujtojmë se kur shumëzojmë çdo numër me zero, marrim zero.

Le të shohim një numër shembujsh të operacioneve tipike të sjelljes së një polinomi në një formë standarde dhe llogaritjes së vlerës së tij:

Shembulli 1 - sillni në formën standarde:

Koment: hapi i parë është të sillni monomët në formën standarde, duhet të sillni të parën, të dytën dhe të gjashtën; veprimi i dytë - sjellim terma të ngjashëm, domethënë kryejmë veprimet e dhëna aritmetike mbi to: të parën e shtojmë me të pestën, të dytin me të tretën, pjesën tjetër e rishkruajmë pa ndryshime, pasi nuk kanë të ngjashme.

Shembulli 2 - llogarit vlerën e polinomit nga shembulli 1 duke pasur parasysh vlerat e variablave:

Koment: kur llogaritni, duhet të mbani mend se një njësi për çdo fuqi natyrore është një, nëse është e vështirë të llogaritni fuqitë e dyve, mund të përdorni tabelën e fuqive.

Shembulli 3 - në vend të një ylli, vendosni një monom të tillë që rezultati të mos përmbajë një ndryshore:

Koment: pavarësisht nga detyra, veprimi i parë është gjithmonë i njëjtë - sillni polinomin në një formë standarde. Në shembullin tonë, ky veprim zbret në sjelljen e termave të ngjashëm. Pas kësaj, duhet të lexoni përsëri me kujdes gjendjen dhe të mendoni se si mund të shpëtojmë nga monomi. Natyrisht, për ta bërë këtë, duhet të shtoni të njëjtin monom në të, por me shenjën e kundërt - . Më pas, ne zëvendësojmë yllin me këtë monom dhe sigurohemi që zgjidhja jonë të jetë e saktë.

Tema:Polinome. Veprimet aritmetike mbi monomët

Mësim:Reduktimi i një polinomi në formë standarde. Detyrat tipike

Le të kujtojmë përkufizimin bazë: një polinom është shuma e monomëve. Çdo monom që është pjesë e një polinomi si term quhet anëtar i tij. Për shembull:

Binomi;

Polinom;

Binomi;

Le të shqyrtojmë një operacion të rëndësishëm - reduktimin e një polinomi në formë standarde. Shembull:

Pra, ne shikuam problemin e parë tipik - sjelljen e një polinomi në një formë standarde.

Le të shohim një numër shembujsh të operacioneve tipike të sjelljes së një polinomi në një formë standarde dhe llogaritjes së vlerës së tij:

Shembulli 1 - sillni në formën standarde:

Shembulli 2 - llogarit vlerën e polinomit nga shembulli 1 duke pasur parasysh vlerat e variablave:

Koment: kur llogaritni, duhet të mbani mend se një njësi për çdo fuqi natyrore është një, nëse është e vështirë të llogaritni fuqitë e dyve, mund të përdorni tabelën e fuqive.

Shembulli 3 - në vend të një ylli, vendosni një monom të tillë që rezultati të mos përmbajë një ndryshore:

Për shembull, shprehjet:

a - b + c, x 2 - y 2 , 5x - 3y - z- polinomet

Monomet që përbëjnë një polinom quhen anëtarët e polinomit. Merrni parasysh polinomin:

7a + 2b - 3c - 11

shprehjet: 7 a, 2b, -3c dhe -11 janë termat e polinomit. Vini re se anëtari -11 nuk përmban një variabël të tillë që përbëhet vetëm nga një numër falas.

Në përgjithësi pranohet se çdo monom është një rast i veçantë i një polinomi, i përbërë nga një term. Në këtë rast, një monom është emri për një polinom me një term. Për polinomet që përbëhen nga dy dhe tre terma, ekzistojnë edhe emra të veçantë - përkatësisht binom dhe trinom:

7a- monom

7a + 2b- binom

7a + 2b - 3c- trinom

Anëtarë të ngjashëm

Anëtarë të ngjashëm- monomët e përfshirë në një polinom që ndryshojnë nga njëri-tjetri vetëm nga koeficienti, shenja ose nuk ndryshojnë fare (monomët e kundërt mund të quhen edhe të ngjashëm). Për shembull, në një polinom:

3a 2 b

5abc 2

2a 2 b

7abc 2

2a 2 b

anëtarët 3 a 2 b, 2a 2 b dhe 2 a 2 b, si dhe anëtarët 5 abc 2 dhe -7 abc 2 janë terma të ngjashëm.

Sjellja e anëtarëve të ngjashëm

Nëse një polinom përmban terma të ngjashëm, atëherë ai mund të reduktohet në një formë më të thjeshtë duke kombinuar terma të ngjashëm në një. Ky veprim quhet duke sjellë anëtarë të ngjashëm. Para së gjithash, le t'i bashkojmë të gjithë termat e ngjashëm veçmas në kllapa:

(3a 2 b + 2a 2 b - 2a 2 b) + (5abc 2 - 7abc 2)

Për të kombinuar disa monomë të ngjashëm në një, duhet të shtoni koeficientët e tyre dhe t'i lini faktorët e shkronjave të pandryshuara:

((3 + 2 - 2)a 2 b) + ((5 - 7)abc 2) = (3a 2 b) + (-2abc 2) = 3a 2 b - 2abc 2

Reduktimi i termave të ngjashëm është operacioni i zëvendësimit të shumës algjebrike të disa monomëve të ngjashëm me një monom.

Polinom i formës standarde

Polinom i formës standardeështë një polinom, të gjithë termat e të cilit janë monomë të formës standarde, ndër të cilët nuk ka terma të ngjashëm.

Për të sjellë një polinom në formën standarde, mjafton të zvogëloni termat e ngjashëm. Për shembull, paraqisni shprehjen si një polinom të formës standarde:

3xy + x 3 - 2xy - y + 2x 3

Së pari, le të gjejmë terma të ngjashëm:

Nëse të gjithë anëtarët e një polinomi të formës standarde përmbajnë të njëjtën ndryshore, atëherë anëtarët e tij zakonisht renditen nga shkalla më e madhe në më të vogël. Termi i lirë i polinomit, nëse ka një të tillë, vendoset në vendin e fundit - në të djathtë.

Për shembull, një polinom

3x + x 3 - 2x 2 - 7

duhet të shkruhet kështu:

x 3 - 2x 2 + 3x - 7

Mësim me temë: "Koncepti dhe përkufizimi i një polinomi. Forma standarde e një polinomi"

Materiale shtesë
Të dashur përdorues, mos harroni të lini komentet, komentet, dëshirat tuaja. Të gjitha materialet janë kontrolluar nga një program antivirus.

Mjete mësimore dhe simulatorë në dyqanin online Integral për klasën e 7-të
Libër shkollor elektronik i bazuar në tekstin shkollor nga Yu.N. Makaryçeva
Libër shkollor elektronik bazuar në tekstin shkollor të Sh.A. Alimova

Djema, ju keni studiuar tashmë monomët në temën: Forma standarde e një monomi. Përkufizimet. Shembuj. Le të shqyrtojmë përkufizimet bazë.

Monomial– një shprehje e përbërë nga një prodhim i numrave dhe ndryshoreve. Variablat mund të ngrihen në fuqi natyrore. Një monom nuk përmban asnjë veprim tjetër përveç shumëzimit.

Forma standarde e monomit- ky lloj kur koeficienti (faktori numerik) vjen i pari, i ndjekur nga shkallët e variablave të ndryshëm.

Monome të ngjashme– këto janë ose monomë identikë, ose monomë që ndryshojnë nga njëri-tjetri për nga një koeficient.

Koncepti i një polinomi

Një polinom, si një monom, është një emër i përgjithësuar për shprehjet matematikore të një lloji të caktuar. Përgjithësime të tilla kemi hasur edhe më parë. Për shembull, "shuma", "produkt", "shprehje". Kur dëgjojmë "ndryshim në numra", mendimi i shumëzimit ose pjesëtimit as që na vjen në mendje. Gjithashtu, një polinom është një shprehje e një lloji të përcaktuar rreptësisht.

Përkufizimi i një polinomi

Polinomështë shuma e monomëve.

Monomet që përbëjnë një polinom quhen anëtarët e polinomit. Nëse ka dy terma, atëherë kemi të bëjmë me një binom, nëse janë tre, atëherë me një trinom. Nëse ka më shumë terma, ai është një polinom.

Shembuj të polinomeve.

1) 2аb + 4сd (binom);

2) 4ab + 3cd + 4x (trinom);

3) 4a 2 b 4 + 4c 8 d 9 + 2xу 3 ;

3с 7 d 8 - 2b 6 c 2 d + 7xу - 5xy 2.

Le të shohim me kujdes shprehjen e fundit. Sipas përkufizimit, një polinom është shuma e monomëve, por në shembullin e fundit ne jo vetëm mbledhim, por edhe zbresim monomë.
Për ta sqaruar, le të shohim një shembull të vogël.

Le të shkruajmë shprehjen a + b - c(le të biem dakord me këtë a ≥ 0, b ≥ 0 dhe c ≥0) dhe përgjigjuni pyetjes: kjo është shuma apo ndryshimi? Vështirë të thuash.
Në të vërtetë, nëse e rishkruajmë shprehjen si a + b + (-c), marrim shumën e dy termave pozitivë dhe një negativ.
Nëse shikoni shembullin tonë, kemi të bëjmë konkretisht me shumën e monomëve me koeficientë: 3, - 2, 7, -5. Në matematikë ekziston një term "shuma algjebrike". Kështu, në përkufizimin e një polinomi nënkuptojmë një "shumë algjebrike".

Por një shënim i formës 3a: b + 7c nuk është një polinom sepse 3a: b nuk është një monom.
Shënimi i formës 3b + 2a * (c 2 + d) gjithashtu nuk është një polinom, pasi 2a * (c 2 + d) nuk është një monom. Nëse hapni kllapat, shprehja që rezulton do të jetë një polinom.
3b + 2a * (c 2 + d) = 3b + 2ac 2 + 2ad.

Shkalla polinomialeështë shkalla më e lartë e anëtarëve të saj.
Polinomi a 3 b 2 + a 4 ka shkallën e pestë, pasi shkalla e monomit a 3 b 2 është 2 + 3= 5, dhe shkalla e monomit a 4 është 4.

Forma standarde e polinomit

Një polinom që nuk ka terma të ngjashëm dhe shkruhet në rend zbritës të fuqive të termave të polinomit është një polinom i formës standarde.

Polinomi është sjellë në një formë standarde për të hequr shkrimin e panevojshëm të rëndë dhe për të thjeshtuar veprimet e mëtejshme me të.

Në të vërtetë, pse, për shembull, të shkruhet shprehja e gjatë 2b 2 + 3b 2 + 4b 2 + 2a 2 + a 2 + 4 + 4, kur mund të shkruhet më e shkurtër se 9b 2 + 3a 2 + 8.

Për të sjellë një polinom në formën standarde, ju duhet:
1. sillni të gjithë anëtarët e tij në një formë standarde,
2. shtoni terma të ngjashëm (identikë ose me koeficientë të ndryshëm numerikë). Kjo procedurë shpesh quhet duke sjellë të ngjashme.

Shembull.
Zvogëloni polinomin aba + 2y 2 x 4 x + y 2 x 3 x 2 + 4 + 10a 2 b + 10 në formën standarde.

Zgjidhje.

a 2 b + 2 x 5 y 2 + x 5 y 2 + 10a 2 b + 14= 11a 2 b + 3 x 5 y 2 + 14.

Le të përcaktojmë fuqitë e monomëve të përfshirë në shprehje dhe t'i renditim ato në rend zbritës.
11a 2 b ka shkallën e tretë, 3 x 5 y 2 ka shkallën e shtatë, 14 ka shkallën zero.
Kjo do të thotë se ne do të vendosim 3 x 5 y 2 (shkalla e 7-të) në vendin e parë, 12a 2 b (shkalla 3) në vendin e dytë dhe 14 (shkalla zero) në vendin e tretë.
Si rezultat, marrim një polinom të formës standarde 3x 5 y 2 + 11a 2 b + 14.

Shembuj për vetë-zgjidhje

Reduktoni polinomet në formën standarde.

1) 4b 3 aa - 5x 2 y + 6ac - 2b 3 a 2 - 56 + ac + x 2 y + 50 * (2 a 2 b 3 - 4x 2 y + 7ac - 6);

2) 6a 5 b + 3x 2 y + 45 + x 2 y + ab - 40 * (6a 5 b + 4xy + ab + 5);

3) 4ax 2 + 5bc - 6a - 24bc + xx 4 x (5ax 6 - 19bc - 6a);

4) 7abc 2 + 5acbc + 7ab 2 - 6bab + 2cabc (14abc 2 + ab 2).