Nga shënimi a = b q del se b është pjesëtues i a dhe se a është shumëfish i b. Pjesëtuesit dhe shumëfishat

"Shënimi dhjetor i një numri" - Cila pjesë e një metri është 1 dm? Zgjidhe ekuacionin Cila pjesë e segmentit CD është nga segmenti AB. Pashieva Lyubov Nikolaevna mësuese e matematikës e kategorisë së parë. Shënimi dhjetor i numrave thyesorë. Thyesat dhjetore. John Napier. Qyteti i Azisë Qendrore i Samarkandit ishte një qendër e pasur kulturore në shekullin e 15-të. Rregullat për shënimin dhjetor të numrave thyesorë.

“Sistemet e numrave të shkruar” - Sistemet e numrave jopozicionalë. Si i shkruanin njerëzit numrat më parë? Nëse numri 56 shkruhet në sistemin e numrave dhjetorë, atëherë shkruhet kështu: Le të kujtojmë konceptin e një fuqie të një numri: Historia e numrave dhe sistemet e numrave. Seritë natyrore të numrave në sistemin e numrave pozicional. Regjistrimi i zgjeruar i një numri. Koncepti i "sistemit të numrave".

"Regjistrimi i informacionit në disk" - Regjistrimet nga disqet audio luhen duke përdorur luajtës optik (lazer). Disqe të tillë prodhohen me stampim dhe kanë një ngjyrë argjendi. Disqet me lazer. Ka disqe CD-R dhe DVD-R (R - të regjistruar) që kanë ngjyrë të artë. Parimi i regjistrimit optik. Kohëzgjatja e programit të zërit arrin një orë.

"Shkrimi i numrave në sistemet e numrave" - ​​Në sistemin alfabetik të numrave sllavë, 27 shkronja cirilike u përdorën si "numra". Sistemet alfabetike ishin sisteme më të avancuara numrash jopozicionale. Sistemet alfabetike. Përmbajtja e çdo skedari paraqitet në këtë formë. Sistemi dhjetor jopozicional i lashtë egjiptian. Sistemi romak i numrave.

“Shënimi dhjetor i numrave thyesorë” - Shkruani numëruesin e pjesës thyesore. “Çfarë është aritmetika? Shënimi dhjetor i numrave thyesorë. Simon Stevin (1548 - 1620). Barazoni, nëse është e nevojshme, numrin e shifrave pas pikës dhjetore. L.F. Magnitsky (1669-1739). M.V. Abanina. Përdorni presje për të ndarë të gjithë pjesën nga pjesa thyesore.

“Pjestuesit dhe shumëfishat” - TEMA: Pjesëtuesit dhe shumëfishat. Numrat perfekt. Llogaritni me gojë. Zgjidhni nga numrat: Tre duartrokitje, tre duartrokitje, tre tundje me kokë. Përkuluni një herë - drejtohuni lart, Përkuluni dy herë - tërhiqeni lart. Edukimi fizik. Cilët pjesëtues të numrit 24 nuk janë në mesin e këtyre numrave? Shkruani numrin dhe temën e mësimit në fletoret tuaja: “Pjestuesit dhe shumëfishat”.

Përkufizimi 1. Lëreni numrin a 1) është prodhim i dy numrave b Dhe q Kështu që a=bq. Pastaj a quhet shumëfish b.

1) Në këtë artikull, fjala numër do të kuptohet si një numër i plotë.

Dikush mund të thotë gjithashtu a i ndarë nga b, ose b ka një pjesëtues a, ose b ndan a, ose b përfshihet si shumëzues në a.

Deklaratat e mëposhtme vijojnë nga Përkufizimi 1:

deklaratë1. Nëse a- të shumëfishta b, b- të shumëfishta c, Kjo a të shumëfishta c.

Vërtet. Sepse

Ku m Dhe n disa numra atëherë

Prandaj a i ndarë nga c.

Nëse në një seri numrash, secili është i pjesëtueshëm me tjetrin, atëherë çdo numër është shumëfish i të gjithë numrave të mëpasshëm.

deklaratë 2. Nëse numrat a Dhe b- të shumëfishta c, atëherë shuma dhe diferenca e tyre janë gjithashtu shumëfishe c.

Vërtet. Sepse

a+b=mc+nc=(m+n)c,

a−b=mc−nc=(m−n)c.

Prandaj a+b i ndarë nga c Dhe a−b i ndarë nga c .

Shenjat e pjesëtueshmërisë

Le të nxjerrim një formulë të përgjithshme për përcaktimin e testit për pjesëtueshmërinë e numrave me ndonjë numër natyror m, i cili quhet testi i pjesëtueshmërisë së Paskalit.

Le të gjejmë mbetjet e pjesëtimit me m sekuencën e mëposhtme. Le të pjesëtohet pjesa e mbetur e 10 me m do r 1, 10 dhe pika e mesme r 1 për m do r 2, etj. Atëherë mund të shkruajmë:

Le të vërtetojmë se pjesa e mbetur e pjesëtimit të një numri A në m e barabartë me pjesën e mbetur të pjesëtimit të numrit

(3)

Siç e dini, nëse dy numra ndahen me një numër m jepni të njëjtën mbetje, atëherë diferenca pjesëtohet me m pa lënë gjurmë.

Le të shqyrtojmë ndryshimin A-A"

(6)

(7)

Çdo term në anën e djathtë të (5) ndahet me m prandaj edhe ana e majtë e ekuacionit pjesëtohet me m. Duke arsyetuar në mënyrë të ngjashme, marrim se ana e djathtë e (6) ndahet me m, prandaj edhe ana e majtë e (6) pjesëtohet me m, ana e djathtë e (7) ndahet në m, prandaj edhe ana e majtë e (7) ndahet në m. Ne zbuluam se ana e djathtë e ekuacionit (4) është e pjesëtueshme me m. Prandaj A Dhe A" kanë të njëjtën mbetje kur pjesëtohet me m. Në këtë rast ata thonë se A Dhe A" mbetje e barabartë ose e krahasueshme në modul m.

Kështu, nëse A" i ndarë nga m m), Kjo A e ndarë edhe në m(ka një mbetje zero kur pjesëtohet me m). Ne kemi treguar se për të përcaktuar pjesëtueshmërinë A ju mund të përcaktoni pjesëtueshmërinë e një numri më të thjeshtë A".

Bazuar në shprehjen (3), është e mundur të merren kriteret e pjesëtueshmërisë për numra të caktuar.

Shenjat e pjesëtueshmërisë së numrave 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Test për pjesëtueshmërinë me 2.

Procedura vijuese (1) për m=2, marrim:

Të gjitha mbetjet kur pjesëtohen me 2 janë zero. Atëherë, nga ekuacioni (3) kemi

Të gjitha mbetjet nga pjesëtimi me 3 janë të barabartë me 1. Atëherë, nga ekuacioni (3) kemi

Të gjitha mbetjet nga pjesëtimi me 4 përveç të parës janë të barabarta me 0. Pastaj, nga ekuacioni (3) kemi

Të gjitha mbetjet janë zero. Atëherë, nga ekuacioni (3) kemi

Të gjitha mbetjet janë të barabarta me 4. Atëherë, nga ekuacioni (3) kemi

Prandaj, një numër pjesëtohet me 6 nëse dhe vetëm nëse numri katërfish i dhjetësheve i shtuar numrit të njësive është i plotpjesëtueshëm me 6. Kjo do të thotë, ne hedhim shifrën e duhur nga numri, pastaj mbledhim numrin që rezulton me 4 dhe shtojmë numër i hedhur poshtë. Nëse një numër i caktuar plotpjesëtohet me 6, atëherë numri fillestar plotpjesëtohet me 6.

Shembull. 2742 plotpjesëtohet me 6 sepse 274*4+2=1098, 1098=109*4+8=444, 444=44*4+4=180 pjesëtohet me 6.

Një shenjë më e thjeshtë e pjesëtueshmërisë. Një numër pjesëtohet me 6 nëse pjesëtohet me 2 dhe 3 (d.m.th. nëse është numër çift dhe nëse shuma e shifrave pjesëtohet me 3). Numri 2742 ndahet me 6 sepse... numri është çift dhe 2+7+4+2=15 pjesëtohet me 3.

Test për pjesëtueshmërinë me 7.

Procedura vijuese (1) për m=7, marrim:

Të gjitha mbetjet janë të ndryshme dhe përsëriten pas 7 hapash. Atëherë, nga ekuacioni (3) kemi

Të gjitha mbetjet janë të gjitha zero, përveç dy të parave. Atëherë, nga ekuacioni (3) kemi

Të gjitha mbetjet nga pjesëtimi me 9 janë të barabarta me 1. Atëherë, nga ekuacioni (3) kemi

Të gjitha mbetjet nga pjesëtimi me 10 janë të barabarta me 0. Atëherë, nga ekuacioni (3) kemi

Prandaj, një numër pjesëtohet me 10 nëse dhe vetëm nëse shifra e fundit pjesëtohet me 10 (d.m.th., shifra e fundit është zero).

Në këtë artikull do të diskutojmë pjesëtuesit dhe shumëfishat. Këtu do të japim përkufizimet e pjesëtuesit dhe shumëfishit. Këto përkufizime do të na lejojnë të japim shembuj të pjesëtuesve dhe shumëfishave të numrave të plotë të ndryshëm. Ne do të shqyrtojmë veçmas pjesëtuesit e një dhe minus një, dhe gjithashtu do të flasim për pjesëtuesit dhe shumëfishat e zeros.

Navigimi i faqes.

Pjesëtuesit e numrave - përkufizimi, shembuj

Së pari le të japim përkufizimi i pjesëtuesit numër i plotë.

Përkufizimi.

Ndarëse numri i plotë a është numri i plotë b me të cilin a pjesëtohet me një numër të plotë.

Numri natyror 1 ka një pjesëtues të vetëm pozitiv - numrin 1. Ky fakt e dallon njërin nga numrat e tjerë natyrorë, pasi numrat natyrorë përveç njërit kanë të paktën dy pjesëtues, përkatësisht vetveten dhe 1. Në varësi të mungesës ose pranisë së pjesëtuesve të ndryshëm nga vetë numri natyror dhe një, dallohen numrat e thjeshtë dhe të përbërë.

Njëri është pjesëtuesi më i vogël pozitiv i një numri natyror që nuk është 1, dhe numri a në vetvete është pjesëtuesi më i madh pozitiv (ne folëm për numrat më të mëdhenj dhe më të vegjël në seksion). Kjo do të thotë, për çdo numër natyror a, çdo pjesëtues i tij pozitiv b plotëson kushtin.

Shumëfisha - përkufizim, shembuj

Le të japim përkufizimi i shumëfishtë.

Përkufizimi.

Të shumëfishta numër i plotë b është një numër i plotë a që pjesëtohet me b.

Me fjalë të tjera, një shumëfish i një numri të plotë b është një numër i plotë a që mund të përfaqësohet në formën a=b·q, ku q është një numër i plotë.

Nëse a është shumëfish i një numri të plotë b, atëherë a thuhet se është shumëfish i b. Në këtë rast, përdoret shënimi ab.

Përkufizimi i shumëfishtë dhe i pjesëtueshëm tregon qartë lidhjen midis tyre. Në të vërtetë, sipas përkufizimit, nëse a është një shumëfish i b, atëherë b është një pjesëtues i a, dhe anasjelltas, nëse b është një pjesëtues i a, atëherë a është një shumëfish i b.

Le të japim shembuj të shumëfishave. Për shembull, numri i plotë −12 është shumëfish i 3, pasi −12=3·(−4) . Shumëfisha të tjerë të 3 janë numrat e plotë 0, 3, −3, 6, −6, 9, −9, e kështu me radhë. Por numri 7 nuk është shumëfish i numrit të plotë 3, pasi 7 nuk pjesëtohet me 3 pa mbetje, domethënë nuk ka numër të plotë q të jetë i tillë që të jetë barazia 7=3·q.

Nga përkufizimi i një shumëfishi, është e qartë se zero është një shumëfish i çdo numri të plotë b, duke përfshirë zeron. Barazia 0=b·0 në këtë rast duket shumë bindës.

Vini re se ka pafundësisht shumëfisha të çdo numri të plotë b, pasi ka pafundësisht shumë numra të plotë, dhe çdo numër i plotë i barabartë me prodhimin b·q, ku q është një numër i plotë arbitrar, është shumëfish i b.

Shumëfishi më i vogël pozitiv i një numri të dhënë pozitiv a është vetë numri a. Vlen gjithashtu t'i kushtohet vëmendje faktit që shumëfishi më pak pozitiv nuk duhet të ngatërrohet me shumëfishin më të vogël të përbashkët (LCM) të disa numrave.

Më tej ne mund të konsiderojmë vetëm shumëfisha natyralë të numrave të plotë pozitivë. Ne mund ta bëjmë këtë për të njëjtat arsye që u përmendën në paragrafin e parë të këtij neni dhe përgjithësimi i paraqitjes nuk do të cenohet.

Bibliografi.

• Vilenkin N.Ya. dhe të tjerët. Klasa e 6-të: tekst shkollor për institucionet e arsimit të përgjithshëm.
• Vinogradov I.M. Bazat e teorisë së numrave.
• Mikhelovich Sh.H. Teoria e numrave.
• Kulikov L.Ya. dhe të tjera Mbledhja e problemave në algjebër dhe teoria e numrave: Libër mësuesi për studentët e fizikës dhe matematikës. specialitete të instituteve pedagogjike.

Tema “Numrat shumëfish” studiohet në klasën e V-të të shkollës së mesme. Qëllimi i tij është të përmirësojë aftësitë e llogaritjes matematikore me shkrim dhe me gojë. Në këtë mësim prezantohen koncepte të reja - "numra të shumëfishtë" dhe "pjesëtues", praktikohet teknika e gjetjes së pjesëtuesve dhe shumëfishave të një numri natyror dhe aftësia për të gjetur LCM në mënyra të ndryshme.

Kjo temë është shumë e rëndësishme. Njohuritë për të mund të zbatohen gjatë zgjidhjes së shembujve me thyesa. Për ta bërë këtë, ju duhet të gjeni emëruesin e përbashkët duke llogaritur shumëfishin më të vogël të përbashkët (LCM).

Një shumëfish i A është një numër i plotë që pjesëtohet me A pa mbetje.

Çdo numër natyror ka një numër të pafund të shumëfishave të tij. Ai vetë konsiderohet më i vogli. Shumëfishi nuk mund të jetë më i vogël se vetë numri.

Duhet të vërtetoni se numri 125 është shumëfish i numrit 5. Për ta bërë këtë, duhet të ndani numrin e parë me të dytin. Nëse 125 pjesëtohet me 5 pa mbetje, atëherë përgjigja është po.

Kjo metodë është e zbatueshme për numra të vegjël.

Ka raste të veçanta gjatë llogaritjes së LOC.

1. Nëse ju duhet të gjeni një shumëfish të përbashkët të 2 numrave (për shembull, 80 dhe 20), ku njëri prej tyre (80) është i pjesëtueshëm me tjetrin (20), atëherë ky numër (80) është shumëfishi më i vogël i këtyre. dy numra.

LCM(80, 20) = 80.

2. Nëse dy nuk kanë pjesëtues të përbashkët, atëherë mund të themi se LCM e tyre është prodhimi i këtyre dy numrave.

LCM(6, 7) = 42.

Le të shohim shembullin e fundit. 6 dhe 7 në raport me 42 janë pjesëtues. Ata ndajnë një shumëfish të një numri pa mbetje.

Në këtë shembull, 6 dhe 7 janë faktorë të çiftuar. Prodhimi i tyre është i barabartë me numrin më të shumëfishtë (42).

Një numër quhet i thjeshtë nëse pjesëtohet vetëm me vetveten ose me 1 (3:1=3; 3:3=1). Pjesa tjetër quhen të përbëra.

Një shembull tjetër përfshin përcaktimin nëse 9 është pjesëtues i 42.

42:9=4 (e mbetura 6)

Përgjigje: 9 nuk është pjesëtues i 42 sepse përgjigja ka një mbetje.

Një pjesëtues ndryshon nga një shumëfish në atë që pjesëtuesi është numri me të cilin ndahen numrat natyrorë dhe vetë shumëfishi është i pjesëtueshëm me këtë numër.

Pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave a Dhe b, shumëzuar me shumëfishin e tyre më të vogël, do të japë produktin e vetë numrave a Dhe b.

Domethënë: gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b.

Shumëfishat e përbashkët për numrat më kompleks gjenden në mënyrën e mëposhtme.

Për shembull, gjeni LCM për 168, 180, 3024.

I faktorizojmë këta numra në faktorë të thjeshtë dhe i shkruajmë si produkt i fuqive:

168=2³x3¹x7¹

24х3³х5¹х7¹=15120

LCM(168, 180, 3024) = 15120.