Funksionet trigonometrike të argumenteve numerike dhe këndore. Formulat e reduktimit
Mësim dhe prezantim me temën: "Funksioni trigonometrik i argumentit këndor, masa e shkallës së këndit dhe radianeve"
Materiale shtesë
Të dashur përdorues, mos harroni të lini komentet, komentet, dëshirat tuaja. Të gjitha materialet janë kontrolluar nga një program antivirus.
Manualë dhe simulatorë në dyqanin online Integral për klasën 10 nga 1C
Ne zgjidhim probleme në gjeometri. Detyrat ndërvepruese të ndërtimit
Ne zgjidhim probleme në gjeometri. Detyra ndërvepruese për ndërtimin në hapësirë
Çfarë do të studiojmë:
1. Le të kujtojmë gjeometrinë.
2. Përkufizimi i argumentit këndor.
3. Masa e shkallës së këndit.
4. Masa radiane e këndit.
5. Çfarë është një radian?
6. Shembuj dhe detyra për zgjidhje të pavarur.
Përsëritja e gjeometrisë
Djema, në funksionet tona:
y= sin(t), y= cos(t), y= tg(t), y= ctg(t)
Ndryshorja t mund të marrë jo vetëm vlera numerike, domethënë të jetë një argument numerik, por mund të konsiderohet edhe si masë e një këndi - një argument këndor.
Le të kujtojmë gjeometrinë!
Si e përkufizuam atje sinusin, kosinusin, tangjentën, kotangjentin?
Sinusi i një këndi - raporti i anës së kundërt me hipotenuzën
Kosinusi i këndit - raporti i këmbës ngjitur me hipotenuzën
Tangjentja e një këndi është raporti i anës së kundërt me anën fqinje.
Kotangjentja e një këndi është raporti i anës ngjitur me anën e kundërt.
Përkufizimi i funksionit trigonometrik të argumentit të këndit
Le të përcaktojmë funksionet trigonometrike si funksione të argumentit këndor në rrethin e numrave:Duke përdorur rrethin e numrave dhe sistemin e koordinatave, ne gjithmonë mund të gjejmë lehtësisht sinusin, kosinusin, tangjentën dhe kotangjentën e një këndi:
Le të vendosim kulmin e këndit tonë α në qendër të rrethit, d.m.th. në qendër të boshtit të koordinatave dhe vendoseni njërën nga anët në mënyrë që të përputhet me drejtimin pozitiv të boshtit të abshisës (OA)
Pastaj ana e dytë pret rrethin numerik në pikën M.
Ordinoni pika M: sinusi i këndit α
Abshisa pika M: kosinus i këndit α
Vini re se gjatësia e harkut AM është e njëjta pjesë e rrethit të njësisë si këndi ynë α nga 360 gradë: 
ku t është gjatësia e harkut AM.
Masa e shkallës së këndit
1) Djema, morëm një formulë për përcaktimin e masës së shkallës së një këndi përmes gjatësisë së harkut të një rrethi numerik, le ta shohim më nga afër:Më pas shkruajmë funksionet trigonometrike në formën:
Për shembull:
Masa radiane e këndeve
Kur llogaritni shkallën ose masën radian të një këndi, mbani mend! : Për shembull:
Meqe ra fjala! Emërtimi rad. mund ta ulni!
Çfarë është një radian?
Të dashur miq, ne jemi përballur me një koncept të ri - Radiani. Pra, çfarë është ajo?Ka matje të ndryshme të gjatësisë, kohës, peshës, për shembull: metër, kilometër, sekondë, orë, gram, kilogram e të tjera. Pra, Radiani është një nga masat e këndit. Vlen të merren parasysh këndet qendrore, domethënë ato që ndodhen në qendër të rrethit të numrave.
Një kënd prej 1 shkallë është këndi qendror i nënshtruar nga një hark i barabartë me 1/360 të perimetrit.
Një kënd prej 1 radian është këndi qendror i nënshtruar nga një hark i barabartë me 1 në një rreth njësi, dhe në një rreth arbitrar nga një hark i barabartë me rrezen e rrethit.
Shembuj:
Shembuj të konvertimit nga një masë shkallë e një këndi në një masë radian, dhe anasjelltas
Probleme për t'u zgjidhur në mënyrë të pavarur
1. Gjeni masën radiane të këndeve:a) 55° b) 450° c) 15° d) 302°
2. Gjeni:
a) sin(150°) b) cos(45°) c) tg(120°)
3. Gjeni masën e shkallës së këndeve: 
Cilido qoftë numri real t që merret, ai mund të shoqërohet me një numër të përcaktuar në mënyrë unike sin t. Vërtetë, rregulli i përputhjes është mjaft kompleks, siç e pamë më lart, është si më poshtë;
Për të gjetur vlerën e sin t duke përdorur numrin t, ju duhet:
1) poziciononi rrethin numerik në planin koordinativ në mënyrë që qendra e rrethit të përkojë me origjinën e koordinatave, dhe pika fillestare A e rrethit të bjerë në pikën (1; 0);
2) gjeni një pikë në rreth që korrespondon me numrin t;
3) gjeni ordinatën e kësaj pike.
Kjo ordinate eshte mekat t.
Në fakt, bëhet fjalë për funksionin u = sin t, ku t është çdo numër real.
Të gjitha këto funksione thirren funksionet trigonometrike të argumentit numerik t.
Ekzistojnë një numër marrëdhëniesh që lidhin vlerat e funksioneve të ndryshme trigonometrike, ne kemi marrë tashmë disa nga këto marrëdhënie:
sin 2 t+cos 2 t = 1
Nga dy formulat e fundit është e lehtë të merret një marrëdhënie që lidh tg t dhe ctg t:
Të gjitha këto formula përdoren në rastet kur, duke ditur vlerën e një funksioni trigonometrik, është e nevojshme të llogariten vlerat e funksioneve të tjera trigonometrike.
Termat "sinus", "kosinus", "tangent" dhe "kotangjent" ishin në të vërtetë të njohur, megjithatë, ato ende përdoreshin në një interpretim paksa të ndryshëm: në gjeometri dhe fizikë ata konsideronin sinus, kosinus, tangjentë dhe kotangjent. në krye(por jo
numrat, siç ishte në paragrafët e mëparshëm).
Nga gjeometria dihet se sinusi (kosinusi) i një këndi akut është raporti i këmbëve të një trekëndëshi kënddrejtë me hipotenuzën e tij, dhe tangjentja (kotangjentja) e një këndi është raporti i këmbëve të një trekëndëshi kënddrejtë. Një qasje e ndryshme ndaj koncepteve të sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës u zhvillua në paragrafët e mëparshëm. Në fakt, këto qasje janë të ndërlidhura.
Le të marrim një kënd me masën e shkallës b o dhe ta vendosim në modelin "rrethi numerik në një sistem koordinativ drejtkëndor" siç tregohet në Fig. 14
maja e këndit është e pajtueshme me qendrën
rrathët (me origjinën e sistemit të koordinatave),
dhe njëra anë e këndit është e pajtueshme me
rrezja pozitive e boshtit x. Ndalesa e plotë
prerja e anës së dytë të këndit me
shënojmë me rreth shkronjën M. Ordina-
Fig. 14 b o, dhe abshisa e kësaj pike është kosinusi i këndit b o.
Për të gjetur sinusin ose kosinusin e një këndi b o nuk është aspak e nevojshme të bëhen çdo herë këto ndërtime shumë komplekse.
Mjafton të theksohet se harku AM përbën të njëjtën pjesë të gjatësisë së rrethit numerik si këndi b o nga këndi 360°. Nëse gjatësia e harkut AM shënohet me shkronjën t, marrim:
Kështu,
Për shembull,
Besohet se 30° është një masë shkallë e një këndi, dhe një masë radiane e të njëjtit kënd: 30° = rad. Në përgjithësi:
Në veçanti, më vjen mirë se nga e marrim, nga ana tjetër.
Pra, çfarë është 1 radian? Ekzistojnë masa të ndryshme të gjatësisë së segmenteve: centimetra, metra, oborre, etj. Ekzistojnë gjithashtu masa të ndryshme për të treguar madhësinë e këndeve. Ne konsiderojmë këndet qendrore të rrethit njësi. Një kënd prej 1° është këndi qendror i nënshtruar nga një hark që është pjesë e një rrethi. Një kënd prej 1 radian është këndi qendror i nënshtruar nga një hark me gjatësi 1, d.m.th. në një hark gjatësia e të cilit është e barabartë me rrezen e rrethit. Nga formula, gjejmë se 1 rad = 57.3°.
Kur shqyrtojmë funksionin u = sin t (ose ndonjë funksion tjetër trigonometrik), mund ta konsiderojmë variablin e pavarur t si një argument numerik, siç ishte rasti në paragrafët e mëparshëm, por gjithashtu mund ta konsiderojmë këtë variabël si një masë të këndi, d.m.th. argumenti i këndit. Prandaj, kur flasim për një funksion trigonometrik, në një farë kuptimi nuk ka dallim ta konsiderojmë atë si funksion të një argumenti numerik ose këndor.
Funksionet trigonometrike të argumentit numerik e zgjidhëm. Ne morëm pikën A në rreth dhe kërkuam sinuset dhe kosinuset e këndit që rezulton β.
Pikën e caktuam si A, por në algjebër shpesh caktohet si t dhe jepen të gjitha formulat/funksionet me të. Ne gjithashtu nuk do të devijojmë nga kanunet. Ato. t - ky do të jetë një numër i caktuar, pra funksioni numerik(për shembull, sint)
Është logjike që meqë kemi një rreth me rreze një, atëherë
Funksionet trigonometrike të argumentit të këndit ne gjithashtu e analizuam me sukses - sipas kanoneve, do të shkruajmë për funksione të tilla: sin α°, që do të thotë me α° çdo kënd me numrin e shkallëve që na duhen.
Rrezja e këtij këndi do të na japë pikën e dytë në rreth (OA - pika A) dhe pikat përkatëse C dhe B për funksionin e argumentit numerik, nëse na nevojitet: sin t = mëkat α°
Vijat e sinuseve, kosinuseve, tangjentëve dhe kotangjenteve
Mos e harro kurrë atë Boshti Y është vija e sinuseve, Boshti X është vija e kosinusit! Në këto boshte shënohen pikat e marra nga rrethi.
A drejtëzat e tangjentave dhe kotangjentave janë paralele me to dhe kalojnë nëpër pikat (1; 0) dhe (0; 1) përkatësisht.
Mësimi me video “Funksionet trigonometrike të një argumenti këndor” ofron material pamor për zhvillimin e një ore të matematikës në temën përkatëse. Videoja është krijuar në mënyrë që materiali që studiohet të prezantohet sa më lehtë që të jetë e mundur për studentët, të mbahet mend lehtë dhe të zbulojë mirë lidhjen midis informacionit të disponueshëm rreth funksioneve trigonometrike nga seksioni për studimin e trekëndëshave dhe përkufizimin e tyre duke përdorur njësinë. rrethi. Mund të bëhet pjesë e pavarur e mësimit, pasi mbulon plotësisht këtë temë, e plotësuar me komente të rëndësishme gjatë zërit.
Për të demonstruar qartë marrëdhënien midis përkufizimeve të ndryshme të funksioneve trigonometrike, përdoren efektet e animacionit. Theksimi i tekstit me një font me ngjyra, ndërtime të qarta, të kuptueshme dhe shtimi i komenteve ju ndihmon të zotëroni dhe mbani mend shpejt materialin dhe të arrini shpejt qëllimet e mësimit. Lidhjet midis përkufizimeve të funksioneve trigonometrike demonstrohen qartë përmes efekteve të animacionit dhe theksimit të ngjyrave, duke nxitur të kuptuarit dhe mbajtjen e materialit. Manuali ka për qëllim rritjen e efektivitetit të trajnimit.
Mësimi fillon me hyrjen e temës. Më pas kujtohen përkufizimet e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës së një këndi akut të një trekëndëshi kënddrejtë. Përkufizimi i theksuar në kornizë na kujton se sinusi dhe kosinusi formohen si raporti i këmbës me hipotenuzën, tangjentja dhe kotangjentja formohen nga raporti i këmbëve. Nxënësve u kujtohet gjithashtu materiali i mësuar së fundmi se kur merret parasysh një pikë në rrethin njësi, abshisa e pikës është kosinusi dhe ordinata është sinusi i numrit që i korrespondon asaj pike. Lidhja midis këtyre koncepteve demonstrohet duke përdorur ndërtimin. Ekrani shfaq një rreth njësi të vendosur në mënyrë që qendra e tij të përputhet me origjinën. Nga origjina e koordinatave, ndërtohet një rreze që bën një kënd α me gjysmëboshtin pozitiv të abshisave. Kjo rreze pret rrethin njësi në pikën O. Nga pika, pingulët zbresin në boshtin e abshisës dhe të ordinatave, duke demonstruar se koordinatat e kësaj pike përcaktojnë kosinusin dhe sinusin e këndit α. Vërehet se gjatësia e harkut AO nga pika e prerjes së rrethit të njësisë me drejtimin pozitiv të boshtit të abshisës deri në pikën O është e njëjta pjesë e të gjithë harkut me këndin α nga 360°. Kjo ju lejon të krijoni proporcionin α/360=t/2π, i cili shfaqet menjëherë dhe theksohet me të kuqe për memorizimin. Nga ky proporcion nxirret vlera t=πα/180°. Duke marrë parasysh këtë, përcaktohet marrëdhënia midis përkufizimeve të sinusit dhe kosinusit: sinα°= sint= sinπα/180, cosα°=kosto=cosπα/180. Për shembull, është dhënë gjetja e sin60°. Duke zëvendësuar masën e shkallës së këndit në formulë, marrim sin π·60°/180°. Duke e zvogëluar thyesën me 60, marrim sin π/3, që është e barabartë me √3/2. Vërehet se nëse 60° është një masë shkallë e një këndi, atëherë π/3 quhet masë radiane e një këndi. Ekzistojnë dy shënime të mundshme për raportin e masës së shkallës së një këndi me masën radian: 60°=π/3 dhe 60°=π/3 rad.
Koncepti i një këndi prej një shkalle përkufizohet si këndi qendror i nënshtruar nga një hark, gjatësia e të cilit 1/360 përfaqëson një pjesë të perimetrit. Përkufizimi i mëposhtëm zbulon konceptin e një këndi prej një radiani - këndi qendror i bazuar në një hark me gjatësi 1, ose të barabartë me rrezen e rrethit. Përkufizimet janë shënuar si të rëndësishme dhe të theksuara për t'u mbajtur mend.
Për të kthyer një shkallë të masës së një këndi në një masë radian dhe anasjelltas, përdorni formulën α°=πα/180 rad. Kjo formulë theksohet në një kornizë në ekran. Nga kjo formulë del se 1° = π/180 rad. Në këtë rast, një radian korrespondon me një kënd prej 180°/π≈57.3°. Vihet re se kur gjejmë vlerat e funksioneve trigonometrike të ndryshores së pavarur t, mund të konsiderohet si një argument numerik ashtu edhe një këndor.
Në vijim janë paraqitur shembuj të përdorimit të njohurive të marra në zgjidhjen e problemeve matematikore. Në shembullin 1, ju duhet të konvertoni vlerat nga gradë në radian 135° dhe 905°. Në anën e djathtë të ekranit ka një formulë që tregon marrëdhënien midis shkallëve dhe radianeve. Pas zëvendësimit të vlerës në formulë, marrim (π/180)·135. Pasi ta zvogëlojmë këtë fraksion me 45, marrim vlerën 135° = 3π/4. Për të kthyer një kënd prej 905° në një masë radian, përdoret e njëjta formulë. Pas zëvendësimit të vlerës në të, rezulton (π/180)·905=181π/36 rad.
Në shembullin e dytë zgjidhet problemi i anasjelltë - gjendet masa e shkallës së këndeve e shprehur në radiane π/12, -21π/20, 2,4π. Në anën e djathtë të ekranit, kujtojmë formulën e studiuar për lidhjen midis masës së shkallës dhe radianit të këndit 1 rad = 180°/π. Çdo shembull zgjidhet duke zëvendësuar masën e radianit në formulë. Duke zëvendësuar π/12, marrim (180°/π)·(π/12)=15°. Vlerat e këndeve të mbetura gjenden në mënyrë të ngjashme -21π/20=-189° dhe 2,4π=432°.
Mësimi video "Funksionet trigonometrike të argumentit këndor" rekomandohet për përdorim në mësimet tradicionale të matematikës për të rritur efikasitetin e të mësuarit. Materiali do të ndihmojë në sigurimin e dukshmërisë së të mësuarit gjatë mësimit në distancë për këtë temë. Një shpjegim i detajuar, i kuptueshëm i temës dhe zgjidhjet e problemeve në të mund ta ndihmojë studentin të zotërojë në mënyrë të pavarur materialin.
DEKODIMI I TEKSTIT:
"Funksionet trigonometrike të argumentit këndor."
Ne tashmë e dimë nga gjeometria se sinusi (kosinusi) i një këndi akut të një trekëndëshi kënddrejtë është raporti i këmbës me hipotenuzën, dhe tangjentja (kotangjentja) është raporti i këmbëve. Dhe në algjebër ne e quajmë abshisën e një pike në rrethin njësi kosinus dhe ordinatën e kësaj pike sinus. Le të sigurohemi që e gjithë kjo të jetë e ndërlidhur ngushtë.
Le të vendosim një kënd me masë shkallë α° (gradë alfa), siç tregohet në figurën 1: kulmi i këndit është i pajtueshëm me qendrën e rrethit të njësisë (me origjinën e sistemit të koordinatave) dhe njërën anë të këndit është kompatibil me rrezen pozitive të boshtit të abshisave. Ana e dytë e këndit pret rrethin në pikën O. Ordinata e pikës O është sinusi i këndit alfa dhe abshisa e kësaj pike është kosinusi i alfa.
Vini re se harku AO është e njëjta pjesë e gjatësisë së rrethit njësi me këndin alfa nga këndi treqind e gjashtëdhjetë gradë. Le të shënojmë gjatësinë e harkut AO me t(te), atëherë do të përpilojmë proporcionin =
(alfa është të besosh gjashtëdhjetë si te është me dy pi Nga këtu gjejmë te: t = = (te është e barabartë me pi alfa pjesëtuar me njëqind e tetëdhjetë).
Kështu, për të gjetur sinusin ose kosinusin e shkallëve alfa të këndit, mund të përdorni formulën:
sin α° = sint = mëkat (gradat sine alfa janë të barabarta me sine te dhe e barabartë me sinusin e pi alfa pjesore me njëqind e tetëdhjetë),
cosα° = kosto = cos (kosinusi i shkallëve alfa është i barabartë me kosinusin e te dhe është i barabartë me kosinusin e pi alfa pjesërisht me njëqind e tetëdhjetë).
Për shembull, sin 60 ° = sin = sin = (sinusi prej gjashtëdhjetë gradë është i barabartë me sinusin e pi me tre, sipas tabelës së vlerave bazë të sinuseve, është i barabartë me rrënjën tre nga dy) .
Besohet se 60° është një masë shkallë e një këndi, dhe (pi me tre) është një masë radiane e të njëjtit kënd, domethënë 60° = i gëzuar(Gjashtëdhjetë gradë është e barabartë me pi shumëfish tre radian). Për shkurtësi, ne ramë dakord për përcaktimin i gëzuar hiq, domethënë, hyrja e mëposhtme është e pranueshme: 60°= (shfaq shkurtesat radian masë = rad.)
Një kënd prej një shkalle është një kënd qendror që nënshtron një hark që është (një e treqind e gjashtëdhjetë) pjesë e harkut. Një kënd prej një radiani është këndi qendror që mbështetet në një hark me gjatësi një, domethënë në një hark gjatësia e të cilit është e barabartë me rrezen e rrethit (ne konsiderojmë që këndet qendrore të një rrethi njësi të tregojnë një kënd në pi radianët në një rreth).
Le të kujtojmë formulën e rëndësishme për konvertimin e shkallëve në radiane:
α° = i gëzuar. (alfa është e barabartë me pi alfa pjesëtuar me njëqind e tetëdhjetë, radianë) Konkretisht, 1° = i gëzuar(një shkallë është e barabartë me pi e pjesëtuar me njëqind e tetëdhjetë, radianë).
Nga kjo mund të gjejmë se një radian është i barabartë me raportin e njëqind e tetëdhjetë gradë me pi dhe është afërsisht i barabartë me pesëdhjetë e shtatë pikë tre gradë: 1 i gëzuar= ≈ 57,3°.
Nga sa më sipër: kur flasim për ndonjë funksion trigonometrik, për shembull për funksionin s = sint (es është i barabartë me sine te), ndryshorja e pavarur t(te) mund të konsiderohet si një argument numerik ashtu edhe një argument këndor.
Le të shohim shembuj.
SHEMBULL 1. Shndërroni nga gradë në radiane: a) 135°; b) 905°.
Zgjidhje. Le të përdorim formulën për konvertimin e shkallëve në radiane:
a) 135° = 1° ∙ 135 = i gëzuar ∙ 135 = i gëzuar
(njëqind e tridhjetë e pesë gradë është e barabartë me pi shumëzuar njëqind e tetëdhjetë radianë shumëzuar me njëqind e tridhjetë e pesë, dhe pas zvogëlimit është e barabartë me tre pi shumëfishuar katër radianë)
b) Në mënyrë të ngjashme, duke përdorur formulën për shndërrimin e masës së shkallës në masë radian, marrim
905° = i gëzuar ∙ 905 = i gëzuar.
(nëntëqind e pesë gradë është e barabartë me njëqind e tetëdhjetë e një pi në tridhjetë e gjashtë radianë).
SHEMBULL 2. Shprehni në shkallë: a) ; b) - ; c) 2.4π
(pi mbi dymbëdhjetë; minus njëzet e një pi mbi njëzet; dy pikë katër pi).
Zgjidhje. a) Le të shprehim pi me dymbëdhjetë në gradë, të përdorim formulën për shndërrimin e masës radian të një këndi në një shkallë në 1 i gëzuar=, marrim
i gëzuar = 1 i gëzuar∙ = ∙ = 15° (pi herë dymbëdhjetë radian është i barabartë me produktin e një radian dhe pi shumë i dymbëdhjetë. Duke zëvendësuar njëqind e tetëdhjetë për pi në vend të një radian dhe duke reduktuar, marrim pesëmbëdhjetë gradë)
Ngjashëm me b) - = 1 i gëzuar∙ (-) = ∙ (-)= - 189° (minus njëzet e një pi herë njëzet është e barabartë me minus njëqind e tetëdhjetë e nëntë gradë),
c) 2.4π = 1 i gëzuar∙ 2,4π = ∙ 2,4π = 432° (dy pika katër pi janë të barabarta me katërqind e tridhjetë e dy gradë).
