Rregulli i seksionit të artë c. Në konceptin e raportit të artë

21.09.2019

Një person i dallon objektet rreth tij nga forma e tyre. Interesi për formën e një objekti mund të diktohet nga nevoja jetike, ose mund të shkaktohet nga bukuria e formës. Forma, ndërtimi i së cilës bazohet në një kombinim të simetrisë dhe raportit të artë, kontribuon në perceptimin më të mirë vizual dhe shfaqjen e një ndjenje bukurie dhe harmonie. E tëra gjithmonë përbëhet nga pjesë, pjesë të madhësive të ndryshme janë në një marrëdhënie të caktuar me njëra-tjetrën dhe me të tërën. Parimi i raportit të artë është manifestimi më i lartë i përsosmërisë strukturore dhe funksionale të tërësisë dhe pjesëve të saj në art, shkencë, teknologji dhe natyrë.

Raporti i artë - proporcioni harmonik

Në matematikë proporcioni(lat. proportio) quaj barazinë e dy marrëdhënieve: a : b = c : d.

Segment i drejtë AB mund të ndahet në dy pjesë në mënyrat e mëposhtme:

në dy pjesë të barabarta - AB : AC = AB : dielli;

në dy pjesë të pabarabarta në çdo aspekt (pjesë të tilla nuk formojnë përmasa);

pra, kur AB : AC = AC : dielli.

Kjo e fundit është ndarja e artë ose ndarja e një segmenti në raport ekstrem dhe mesatar.

Raporti i artë është një ndarje e tillë proporcionale e një segmenti në pjesë të pabarabarta, në të cilën i gjithë segmenti lidhet me pjesën më të madhe, ashtu siç lidhet vetë pjesa më e madhe me atë më të vogël; ose me fjalë të tjera, segmenti më i vogël është për më i madhi, ashtu si më i madhi është për të tërën

a : b = b : c ose Me : b = b : A.

Oriz. 1. Imazhi gjeometrik i raportit të artë

Njohja praktike me raportin e artë fillon me ndarjen e një segmenti të vijës së drejtë në proporcionin e artë duke përdorur një busull dhe vizore.

Oriz. 2. Ndarja e një segmenti të drejtë duke përdorur raportin e artë. B.C. = 1/2 AB; CD = B.C.

Nga pika NË rikthehet një pingul i barabartë me gjysmën AB. Pika e marrë ME i lidhur me një vijë në një pikë A. Një segment vizatohet në vijën që rezulton dielli duke përfunduar me një pikë D. Segmenti pas Krishtit transferuar në të drejtpërdrejtë AB. Pika që rezulton E ndan një segment AB në raportin e artë.

Segmentet e raportit të artë shprehen si një fraksion i pafund irracional A.E.= 0,618..., nëse AB marrë si një BËHET= 0,382... Për qëllime praktike, shpesh përdoren vlera të përafërta prej 0,62 dhe 0,38. Nëse segmenti AB marrë si 100 pjesë, atëherë pjesa më e madhe e segmentit është e barabartë me 62, dhe pjesa më e vogël është 38 pjesë.

Vetitë e raportit të artë përshkruhen nga ekuacioni:

x 2 - x - 1 = 0.

Zgjidhja e këtij ekuacioni:

Vetitë e raportit të artë kanë krijuar një atmosferë romantike të misterit dhe adhurimit pothuajse mistik rreth këtij numri.

Raporti i dytë i artë

Revista bullgare “Atdheu” (nr. 10, 1983) botoi një artikull të Cvetan Cekov-Karandash “Për pjesën e dytë të artë”, i cili vijon nga pjesa kryesore dhe jep një raport tjetër 44:56.

Ky proporcion gjendet në arkitekturë, dhe gjithashtu ndodh kur ndërtohen kompozime të imazheve të një formati të zgjatur horizontal.

Oriz. 3. Ndërtimi i raportit të dytë të artë

Ndarja kryhet si më poshtë (shih Fig. 3). Segmenti AB ndahet sipas raportit të artë. Nga pika ME rikthehet pingulja CD. Rrezja AB ka një pikë D, e cila lidhet me një vijë me një pikë A. Këndi i drejtë ACD ndahet në gjysmë. Nga pika ME vizatohet një vijë derisa të kryqëzohet me vijën pas Krishtit. Pika E ndan një segment pas Krishtit në lidhje me 56:44.

Oriz. 4. Ndarja e një drejtkëndëshi me vijën e raportit të dytë të artë

Në Fig. Figura 4 tregon pozicionin e vijës së raportit të dytë të artë. Ndodhet në mes të vijës së raportit të artë dhe vijës së mesme të drejtkëndëshit.

Trekëndëshi i Artë

Për të gjetur segmente të proporcionit të artë të serisë ngjitëse dhe zbritëse, mund të përdorni pentagram.

Oriz. 5. Ndërtimi i një pesëkëndëshi dhe pentagrami të rregullt

Për të ndërtuar një pentagram, duhet të ndërtoni një pesëkëndësh të rregullt. Metoda e ndërtimit të saj u zhvillua nga piktori dhe grafisti gjerman Albrecht Durer (1471...1528). Le O- qendra e rrethit, A- një pikë në një rreth dhe E- mesi i segmentit OA. pingul me rreze OA, restauruar në pikë RRETH, pret rrethin në pikë D. Duke përdorur një busull, vizatoni një segment në diametër C.E. = ED. Gjatësia anësore e një pesëkëndëshi të rregullt të gdhendur në një rreth është DC. Vendosni segmente në rreth DC dhe marrim pesë pikë për të vizatuar një pesëkëndësh të rregullt. Ne lidhim qoshet e pesëkëndëshit përmes njëri-tjetrit me diagonale dhe marrim një pentagram. Të gjitha diagonalet e pesëkëndëshit ndajnë njëra-tjetrën në segmente të lidhura me raportin e artë.

Çdo skaj i yllit pesëkëndor përfaqëson një trekëndësh të artë. Anët e saj formojnë një kënd prej 36° në majë, dhe baza, e vendosur anash, e ndan atë në proporcion të raportit të artë.

Oriz. 6. Ndërtimi i trekëndëshit të artë

Ne kryejmë një direktivë AB. Nga pika A vendosni një segment mbi të tre herë RRETH vlerë arbitrare, përmes pikës që rezulton R vizatoni një pingul me vijën AB, në pingul në të djathtë dhe në të majtë të pikës R lini mënjanë segmentet RRETH. Pikët e marra d Dhe d 1 lidheni me vija të drejta në një pikë A. Segmenti dd vendosni 1 në linjë Ad 1, duke marrë një pikë ME. Ajo ndau vijën Ad 1 në raport me raportin e artë. Linjat Ad 1 dhe dd 1 përdoret për të ndërtuar një drejtkëndësh "të artë".

Historia e raportit të artë

Në përgjithësi pranohet se koncepti i ndarjes së artë u fut në përdorim shkencor nga Pitagora, një filozof dhe matematikan i lashtë grek (shekulli VI para Krishtit). Ekziston një supozim se Pitagora e huazoi njohurinë e tij për ndarjen e artë nga egjiptianët dhe babilonasit. Në të vërtetë, përmasat e piramidës së Keopsit, tempujt, relievet, sendet shtëpiake dhe bizhuteritë nga varri i Tutankhamun tregojnë se mjeshtrit egjiptianë përdorën raportet e ndarjes së artë kur i krijuan ato. Arkitekti francez Le Corbusier zbuloi se në relievin nga tempulli i faraonit Seti I në Abydos dhe në relievin që përshkruan faraonin Ramses, përmasat e figurave korrespondojnë me vlerat e ndarjes së artë. Arkitekti Khesira, i përshkruar në një reliev të një dërrase druri nga një varr i quajtur pas tij, mban në duar instrumente matëse në të cilat janë regjistruar përmasat e ndarjes së artë.

Grekët ishin gjeometër të aftë. Ata madje u mësuan fëmijëve të tyre aritmetikë duke përdorur figura gjeometrike. Sheshi i Pitagorës dhe diagonalja e këtij sheshi ishin baza për ndërtimin e drejtkëndëshave dinamikë.

Oriz. 7. Drejtkëndësha dinamikë

Për ndarjen e artë dinte edhe Platoni (427...347 p.e.s.). Dialogu i tij "Timaeus" i kushtohet pikëpamjeve matematikore dhe estetike të shkollës së Pitagorës dhe, në veçanti, çështjeve të ndarjes së artë.

Fasada e tempullit të lashtë grek të Partenonit përmban përmasa të arta. Gjatë gërmimeve të tij u zbuluan busulla që përdoreshin nga arkitektë dhe skulptorë të botës antike. Busulla Pompeiane (muzeu në Napoli) gjithashtu përmban përmasat e ndarjes së artë.

Oriz. 8. Busulla antike me raport të artë

Në literaturën e lashtë që ka ardhur deri tek ne, ndarja e artë u përmend për herë të parë në Elementet e Euklidit. Në librin e 2-të të "Parimeve" jepet ndërtimi gjeometrik i ndarjes së artë Pas Euklidit, studimi i ndarjes së artë u krye nga Hypsicle (shek. II para Krishtit), Pappus (shek. III pas Krishtit) dhe të tjerë Evropa mesjetare, me ndarjen e artë U takuam nëpërmjet përkthimeve arabe të Elementeve të Euklidit. Përkthyesi J. Campano nga Navarra (shek. III) bëri komente për përkthimin. Sekretet e ndarjes së artë ruheshin me xhelozi dhe ruheshin në fshehtësi të rreptë. Ata njiheshin vetëm për iniciues.

Gjatë Rilindjes, interesi për ndarjen e artë u rrit midis shkencëtarëve dhe artistëve për shkak të përdorimit të tij si në gjeometri ashtu edhe në art, veçanërisht në arkitekturë, Leonardo da Vinci, një artist dhe shkencëtar, pa që artistët italianë kishin shumë përvojë empirike, por pak. njohuri . Ai u ngjiz dhe filloi të shkruante një libër mbi gjeometrinë, por në atë kohë u shfaq një libër i murgut Luca Pacioli dhe Leonardo e braktisi idenë e tij. Sipas bashkëkohësve dhe historianëve të shkencës, Luca Pacioli ishte një ndriçues i vërtetë, matematikani më i madh i Italisë në periudhën midis Fibonacci dhe Galileos. Luca Pacioli ishte një student i artistit Piero della Franceschi, i cili shkroi dy libra, njëri prej të cilëve u quajt "Për perspektivën në pikturë". Ai konsiderohet si krijuesi i gjeometrisë përshkruese.

Luca Pacioli e kuptoi në mënyrë të përsosur rëndësinë e shkencës për artin. Në vitin 1496, me ftesë të Dukës së Moreau, ai erdhi në Milano, ku mbajti leksione për matematikën. Leonardo da Vinci gjithashtu punonte në Milano në oborrin e Moro-s në atë kohë. Në vitin 1509, libri i Luca Paciolit "Përpjesëtimi hyjnor" u botua në Venecia me ilustrime të ekzekutuara shkëlqyeshëm, prandaj besohet se ato janë bërë nga Leonardo da Vinci. Libri ishte një himn entuziast me raportin e artë. Ndër avantazhet e shumta të proporcionit të artë, murgu Luca Pacioli nuk mungoi të emërtojë "esencën hyjnore" të tij si një shprehje të trinisë hyjnore - Zoti biri, Zoti babai dhe Zoti shpirti i shenjtë (u nënkuptua se i vogël segmenti është personifikimi i Zotit biri, segmenti më i madh - Zoti Ati, dhe i gjithë segmenti - Zoti i Frymës së Shenjtë).

Leonardo da Vinci gjithashtu i kushtoi shumë vëmendje studimit të ndarjes së artë. Ai bëri seksione të një trupi stereometrik të formuar nga pesëkëndësha të rregullt dhe çdo herë merrte drejtkëndësha me raporte të aspektit në ndarjen e artë. Kjo është arsyeja pse ai i dha emrin kësaj ndarjeje raporti i artë. Kështu që mbetet ende si më popullorja.

Në të njëjtën kohë, në veri të Evropës, në Gjermani, Albrecht Dürer punonte për të njëjtat probleme. Ai skicon hyrjen në versionin e parë të traktatit mbi përmasat. shkruan Dürer. “Është e nevojshme që dikush që di të bëjë diçka duhet t'ua mësojë atë të tjerëve që kanë nevojë. Kjo është ajo që kam vendosur të bëj.”

Duke gjykuar nga një nga letrat e Dürer-it, ai u takua me Luca Paciolin ndërsa ishte në Itali. Albrecht Durer zhvillon në detaje teorinë e përmasave të trupit të njeriut. Dürer i caktoi një vend të rëndësishëm në sistemin e tij të marrëdhënieve seksionit të artë. Gjatësia e një personi ndahet në përmasa të arta nga vija e rripit, si dhe nga një vijë e tërhequr përmes majave të gishtave të mesëm të duarve të ulura, pjesës së poshtme të fytyrës nga goja, etj. Busulla proporcionale e Dürer është e njohur.

Astronom i madh i shekullit të 16-të. Johannes Kepler e quajti raportin e artë një nga thesaret e gjeometrisë. Ai ishte i pari që tërhoqi vëmendjen për rëndësinë e proporcionit të artë për botanikën (rritja e bimëve dhe struktura e tyre).

Kepler e quajti proporcionin e artë vetë-vazhdues: "Është e strukturuar në atë mënyrë," shkroi ai, "që dy termat më të ulët të kësaj proporcioni të pafund të mblidhen deri në termin e tretë, dhe çdo dy terma të fundit, nëse mblidhen së bashku. , jepni termin tjetër dhe i njëjti proporcion ruhet deri në pafundësi."

Ndërtimi i një sërë segmentesh të proporcionit të artë mund të bëhet si në drejtim të rritjes (seritë në rritje) ashtu edhe në drejtim të zvogëlimit (seri zbritëse).

Nëse është në një vijë të drejtë me gjatësi arbitrare, lini mënjanë segmentin m, vendosni segmentin pranë tij M. Bazuar në këto dy segmente, ne ndërtojmë një shkallë segmentesh të proporcionit të artë të serisë ngjitëse dhe zbritëse.

Oriz. 9. Ndërtimi i një shkalle të segmenteve të proporcionit të artë

Në shekujt e mëvonshëm, rregulli i proporcionit të artë u shndërrua në një kanun akademik dhe kur me kalimin e kohës filloi lufta kundër rutinës akademike në art, në vapën e luftës "ata hodhën foshnjën me ujin e banjës". Raporti i artë u "zbulua" përsëri në mesin e shekullit të 19-të. Në vitin 1855, studiuesi gjerman i raportit të artë, profesor Zeising, botoi veprën e tij "Studime estetike". Ajo që ndodhi me Zeising ishte pikërisht ajo që duhej të ndodhte në mënyrë të pashmangshme me një studiues që e konsideron një fenomen si të tillë, pa lidhje me dukuri të tjera. Ai absolutizoi proporcionin e seksionit të artë, duke e shpallur atë universale për të gjitha fenomenet e natyrës dhe të artit. Zeising kishte pasues të shumtë, por kishte edhe kundërshtarë që e deklaruan doktrinën e tij të përmasave si "estetikë matematikore".

Oriz. 10. Përmasa të arta në pjesë të trupit të njeriut

Zeising bëri një punë të jashtëzakonshme. Ai mati rreth dy mijë trupa njerëzish dhe arriti në përfundimin se raporti i artë shpreh ligjin mesatar statistikor. Ndarja e trupit me pikën e kërthizës është treguesi më i rëndësishëm i raportit të artë. Përmasat e trupit të mashkullit luhaten brenda raportit mesatar prej 13: 8 = 1,625 dhe janë disi më afër raportit të artë sesa proporcionet e trupit të femrës, në lidhje me të cilat vlera mesatare e proporcionit shprehet në raportin 8: 5 = 1,6. Në një të porsalindur proporcioni është 1:1, në moshën 13 vjeçare është 1.6 dhe në moshën 21 vjeçare është e barabartë me atë të një burri. Përmasat e raportit të artë shfaqen edhe në raport me pjesët e tjera të trupit - gjatësinë e shpatullës, parakrahut dhe dorës, dorës dhe gishtërinjve etj.

Oriz. 11. Përmasa të arta në figurën njerëzore

Zeising testoi vlefshmërinë e teorisë së tij mbi statujat greke. Ai zhvilloi në detaje përmasat e Apollo Belvedere. U studiuan vazo greke, struktura arkitekturore të epokave të ndryshme, bimë, kafshë, vezë zogjsh, tone muzikore dhe metra poetikë. Zeising dha një përkufizim për raportin e artë dhe tregoi se si ai shprehet në segmente drejtëza dhe në numra. Kur u morën numrat që shprehin gjatësinë e segmenteve, Zeising pa se ato përbënin një seri Fibonacci, e cila mund të vazhdohej pafundësisht në një drejtim ose në tjetrin. Libri i tij i radhës titullohej "Ndarja e Artë si Ligji Morfologjik Bazë në Natyrë dhe Art". Në 1876, një libër i vogël, pothuajse një broshurë, u botua në Rusi që përshkruante këtë vepër të Zeising. Autori u strehua nën inicialet Yu.F.V. Ky botim nuk përmend asnjë vepër të vetme pikture.

Në fund të 19-të - fillimi i shekujve të 20-të. Shumë teori thjesht formaliste u shfaqën në lidhje me përdorimin e raportit të artë në veprat e artit dhe arkitekturës. Me zhvillimin e dizajnit dhe estetikës teknike, ligji i raportit të artë u shtri edhe në projektimin e makinave, mobiljeve etj.

Seria Fibonacci

Emri i murgut matematikan italian Leonardo i Pizës, i njohur më mirë si Fibonacci (djali i Bonacci), lidhet indirekt me historinë e raportit të artë. Ai udhëtoi shumë në Lindje, prezantoi Evropën me numrat indianë (arabë). Në vitin 1202 u botua vepra e tij matematikore "Libri i Abacus" (tabela e numërimit), i cili mblodhi të gjitha problemet e njohura në atë kohë. Një nga problemet ishte: "Sa palë lepuj do të lindin nga një palë në një vit". Duke reflektuar mbi këtë temë, Fibonacci ndërtoi serinë e mëposhtme të numrave:

Një seri numrash 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, etj. i njohur si seria Fibonacci. E veçanta e sekuencës së numrave është se secili prej termave të tij, duke filluar nga i treti, është i barabartë me shumën e dy të mëparshmeve 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34, etj., dhe raporti i numrave ngjitur në seri i afrohet raportit të ndarjes së artë. Pra, 21: 34 = 0,617 dhe 34: 55 = 0,618. Kjo marrëdhënie shënohet me simbolin F. Vetëm ky raport - 0,618: 0,382 - jep një ndarje të vazhdueshme të një segmenti të drejtëz në proporcion të artë, duke e rritur ose ulur atë deri në pafundësi, kur segmenti më i vogël lidhet me atë më të madhin, ashtu si i madhi është me të tërën.

Fibonacci u mor edhe me nevojat praktike të tregtisë: cili është numri më i vogël i peshave që mund të përdoren për të peshuar një produkt? Fibonacci vërteton se sistemi optimal i peshave është: 1, 2, 4, 8, 16...

Raporti i përgjithësuar i artë

Seria Fibonacci mund të kishte mbetur vetëm një incident matematikor, nëse jo për faktin se të gjithë studiuesit e ndarjes së artë në botën bimore dhe shtazore, për të mos përmendur artin, erdhën pa ndryshim në këtë seri si një shprehje aritmetike e ligjit të artë. ndarje.

Shkencëtarët vazhduan të zhvillonin në mënyrë aktive teorinë e numrave Fibonacci dhe raportin e artë. Yu. Matiyasevich zgjidh problemin e 10-të të Hilbertit duke përdorur numrat e Fibonaçit. Metodat elegante po shfaqen për zgjidhjen e një sërë problemesh kibernetike (teoria e kërkimit, lojërat, programimi) duke përdorur numrat e Fibonaçit dhe raportin e artë. Në SHBA po krijohet edhe Shoqata Mathematical Fibonacci, e cila ka botuar një revistë speciale që nga viti 1963.

Një nga arritjet në këtë fushë është zbulimi i numrave të përgjithësuar të Fibonaçit dhe raporteve të përgjithësuara të arta.

Seritë Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8) dhe seria "binare" e peshave të zbuluara prej tij 1, 2, 4, 8, 16... në shikim të parë janë krejtësisht të ndryshme. Por algoritmet për ndërtimin e tyre janë shumë të ngjashëm me njëri-tjetrin: në rastin e parë, çdo numër është shuma e numrit të mëparshëm me vetveten 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2..., në të dytin është shuma e dy numrave të mëparshëm 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2.... A është e mundur të gjendet një matematikë e përgjithshme formula nga e cila marrim dhe “ seritë binare dhe seritë Fibonacci? Apo ndoshta kjo formulë do të na japë grupe të reja numerike që kanë disa veti të reja unike?

Në të vërtetë, le të vendosim parametrin numerik S, e cila mund të marrë çdo vlerë: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Konsideroni një seri numrash, S+ 1 prej të cilave termat e parë janë njësi, dhe secila nga ato të mëvonshme është e barabartë me shumën e dy termave të të mëparshmit dhe e ndarë nga ajo e mëparshmja me S hapat. Nëse n Ne shënojmë termin e th të kësaj serie me φ S ( n), atëherë marrim formulën e përgjithshme φ S ( n) = φ S ( n- 1) + φ S ( n - S - 1).

Është e qartë se kur S= 0 nga kjo formulë marrim një seri "binare", me S= 1 - Seria Fibonacci, me S= 2, 3, 4. seri të reja numrash, të cilët thirren S-Numrat e Fibonaçit.

Në përgjithësi i artë S-proporcioni është rrënja pozitive e ekuacionit të artë S-seksionet x S+1 - x S - 1 = 0.

Është e lehtë të tregosh se kur S= 0, segmenti ndahet në gjysmë dhe kur S= 1 - raporti i njohur klasik i artë.

Marrëdhëniet ndërmjet fqinjëve S- Numrat e Fibonaçit përkojnë me saktësi absolute matematikore në kufirin me arin S- proporcione! Në raste të tilla, matematikanët thonë se ari S-seksionet janë invariante numerike S-Numrat e Fibonaçit.

Fakte që konfirmojnë ekzistencën e arit S-seksione në natyrë, citon shkencëtari bjellorus E.M. Soroko në librin "Harmonia Strukturore e Sistemeve" (Minsk, "Shkenca dhe Teknologjia", 1984). Rezulton, për shembull, se lidhjet binare të studiuara mirë kanë veti funksionale të veçanta, të theksuara (termike të qëndrueshme, të forta, rezistente ndaj konsumit, rezistente ndaj oksidimit, etj.) vetëm nëse graviteti specifik i përbërësve origjinalë janë të lidhur me njëri-tjetrin. nga një prej ari S- proporcione. Kjo i lejoi autorit të parashtronte hipotezën se ari S-seksionet janë invariante numerike të sistemeve vetëorganizuese. Pasi të konfirmohet eksperimentalisht, kjo hipotezë mund të jetë e një rëndësie thelbësore për zhvillimin e sinergjetikës - një fushë e re e shkencës që studion proceset në sistemet vetëorganizuese.

Përdorimi i kodeve ari S-proporcionet mund të shprehen me çdo numër real si shumë e fuqive të arit S-proporcione me koeficientë të plotë.

Dallimi thelbësor midis kësaj metode të kodimit të numrave është se bazat e kodeve të reja janë të arta S-proporcione, me S> 0 rezultojnë të jenë numra irracionalë. Kështu, sistemet e reja të numrave me baza irracionale duket se vendosin hierarkinë e krijuar historikisht të marrëdhënieve midis numrave racionalë dhe iracionalë "nga koka te këmbët". Fakti është se numrat natyrorë u "zbuluan" fillimisht; atëherë raportet e tyre janë numra racionalë. Dhe vetëm më vonë - pas zbulimit të segmenteve të pakrahasueshme nga Pitagorianët - lindën numra iracionalë. Për shembull, në sistemet dhjetore, kuinare, binare dhe të tjera klasike të numrave pozicionalë, numrat natyrorë u zgjodhën si një lloj parimi themelor - 10, 5, 2 - nga i cili, sipas rregullave të caktuara, të gjithë numrat e tjerë natyrorë, si dhe racionalë. dhe numrat irracionalë, u ndërtuan.

Një lloj alternativë ndaj metodave ekzistuese të shënimit është një sistem i ri, irracional, si një parim themelor, fillimi i të cilit është një numër irracional (i cili, kujtojmë, është rrënja e ekuacionit të raportit të artë); numrat e tjerë realë janë shprehur tashmë përmes tij.

Në një sistem të tillë numrash, çdo numër natyror mund të përfaqësohet gjithmonë si i fundëm - dhe jo i pafund, siç mendohej më parë! - shuma e shkallëve të ndonjë prej arit S- proporcione. Kjo është një nga arsyet pse aritmetika "irracionale", duke pasur një thjeshtësi dhe elegancë të mahnitshme matematikore, duket se ka thithur cilësitë më të mira të aritmetikës klasike binar dhe "Fibonacci".

Parimet e formimit në natyrë

Çdo gjë që mori një formë u formua, u rrit, u përpoq të zinte një vend në hapësirë dhe të ruhej. Kjo dëshirë realizohet kryesisht në dy opsione - duke u rritur lart ose duke u përhapur në sipërfaqen e tokës dhe duke u rrotulluar në një spirale.

Predha është e përdredhur në një spirale. Nëse e shpalosni, ju merrni një gjatësi pak më të shkurtër se gjatësia e gjarprit. Një guaskë e vogël dhjetë centimetra ka një spirale 35 cm të gjatë. Ideja e raportit të artë do të jetë e paplotë pa folur për spiralen.

Oriz. 12. Spiralja e Arkimedit

Forma e guaskës së përdredhur në mënyrë spirale tërhoqi vëmendjen e Arkimedit. Ai e studioi atë dhe doli me një ekuacion për spiralen. Spiralja e vizatuar sipas këtij ekuacioni quhet me emrin e tij. Rritja e hapit të saj është gjithmonë uniforme. Aktualisht, spiralja e Arkimedit përdoret gjerësisht në teknologji.

Gëte theksoi gjithashtu prirjen e natyrës drejt spiralitetit. Vendosja spirale dhe spirale e gjetheve në degët e pemëve është vënë re shumë kohë më parë. Spiralja u pa në renditjen e farave të lulediellit, koneve të pishës, ananasit, kaktuseve etj. Puna e përbashkët e botanistëve dhe matematikanëve ka hedhur dritë mbi këto fenomene të mahnitshme natyrore. Doli që seria Fibonacci manifestohet në rregullimin e gjetheve në një degë (filotaksi), farat e lulediellit dhe kone pishe, dhe për këtë arsye, ligji i raportit të artë manifestohet. Merimanga e end rrjetën e saj në një model spirale. Një uragan po rrotullohet si një spirale. Një tufë e frikësuar drerësh shpërndahet në një spirale. Molekula e ADN-së është e përdredhur në një spirale të dyfishtë. Goethe e quajti spiralen "kurba e jetës".

Në mesin e barishteve në anë të rrugës rritet një bimë e jashtëzakonshme - çikorja. Le t'i hedhim një vështrim më të afërt. Nga kërcelli kryesor është formuar një filiz. Gjethi i parë ishte vendosur pikërisht atje.

Oriz. 13.Çikore

Xhirimi bën një nxjerrje të fortë në hapësirë, ndalon, lëshon një gjethe, por këtë herë është më i shkurtër se i pari, përsëri bën një nxjerrje në hapësirë, por me më pak forcë, lëshon një gjethe me përmasa edhe më të vogla dhe hidhet përsëri. . Nëse emetimi i parë merret si 100 njësi, atëherë i dyti është i barabartë me 62 njësi, i treti - 38, i katërti - 24, etj. Gjatësia e petaleve gjithashtu i nënshtrohet proporcionit të artë. Në rritjen dhe pushtimin e hapësirës, bima mbajti përmasa të caktuara. Impulset e rritjes së saj u ulën gradualisht në raport me raportin e artë.

Oriz. 14. hardhuca gjallë

Në shikim të parë, hardhuca ka përmasa që janë të këndshme për sytë tanë - gjatësia e bishtit të saj lidhet me gjatësinë e pjesës tjetër të trupit nga 62 në 38.

Si në botën bimore ashtu edhe në atë të kafshëve, tendenca formuese e natyrës shpërthen vazhdimisht - simetria në lidhje me drejtimin e rritjes dhe lëvizjes. Këtu raporti i artë shfaqet në përmasat e pjesëve pingul me drejtimin e rritjes.

Natyra ka bërë ndarjen në pjesë simetrike dhe përmasa të arta. Pjesët zbulojnë një përsëritje të strukturës së tërësisë.

Oriz. 15. vezë zogu

Goethe i madh, një poet, natyralist dhe artist (ai vizatonte dhe pikturonte me bojëra uji), ëndërronte të krijonte një doktrinë të unifikuar të formës, formimit dhe transformimit të trupave organikë. Ishte ai që futi termin morfologji në përdorim shkencor.

Pierre Curie në fillim të këtij shekulli formuloi një sërë idesh të thella rreth simetrisë. Ai argumentoi se nuk mund të merret parasysh simetria e çdo trupi pa marrë parasysh simetrinë e mjedisit.

Ligjet e simetrisë "të artë" manifestohen në kalimet energjetike të grimcave elementare, në strukturën e disa përbërjeve kimike, në sistemet planetare dhe kozmike, në strukturat e gjeneve të organizmave të gjallë. Këto modele, siç u tregua më lart, ekzistojnë në strukturën e organeve individuale të njeriut dhe të trupit në tërësi, dhe gjithashtu manifestohen në bioritmet dhe funksionimin e trurit dhe perceptimin vizual.

Raporti i artë dhe simetria

Raporti i artë nuk mund të konsiderohet më vete, veçmas, pa lidhje me simetrinë. Kristalografi i madh rus G.V. Wulf (1863...1925) e konsideronte raportin e artë si një nga manifestimet e simetrisë.

Ndarja e artë nuk është një manifestim i asimetrisë, diçka e kundërt me simetrinë, sipas ideve moderne, ndarja e artë është simetri asimetrike. Shkenca e simetrisë përfshin koncepte të tilla si statike Dhe simetri dinamike. Simetria statike karakterizon paqen dhe ekuilibrin, ndërsa simetria dinamike karakterizon lëvizjen dhe rritjen. Kështu, në natyrë, simetria statike përfaqësohet nga struktura e kristaleve, dhe në art karakterizon paqen, ekuilibrin dhe palëvizshmërinë. Simetria dinamike shpreh aktivitetin, karakterizon lëvizjen, zhvillimin, ritmin, është dëshmi e jetës. Simetria statike karakterizohet nga segmente të barabarta dhe vlera të barabarta. Simetria dinamike karakterizohet nga një rritje e segmenteve ose zvogëlimi i tyre, dhe shprehet në vlerat e seksionit të artë të një serie në rritje ose në rënie.

Raporti i artë - proporcioni harmonik

Në matematikë proporcioni(lat. proportio) quaj barazinë e dy marrëdhënieve:

a : b = c : d.

Segment i drejtë AB mund të ndahet në dy pjesë në mënyrat e mëposhtme:

në dy pjesë të barabarta - AB : A.C. = AB : B.C.;
në dy pjesë të pabarabarta në çdo aspekt (pjesë të tilla nuk formojnë përmasa);
pra, kur AB : A.C. = A.C. : B.C..

Kjo e fundit është ndarja e artë ose ndarja e një segmenti në raport ekstrem dhe mesatar.

Raporti i artë është një ndarje e tillë proporcionale e një segmenti në pjesë të pabarabarta, në të cilën i gjithë segmenti lidhet me pjesën më të madhe, ashtu siç lidhet vetë pjesa më e madhe me atë më të vogël; ose me fjalë të tjera, segmenti më i vogël është më i madhi, siç është më i madhi për të gjithë:

a : b = b : c
ose
c : b = b : a.

Oriz. 1. Imazhi gjeometrik i raportit të artë

Njohja praktike me raportin e artë fillon me ndarjen e një segmenti të vijës së drejtë në proporcionin e artë duke përdorur një busull dhe vizore.

Oriz. 2.B.C. = 1/2 AB; CD = B.C.

Nga pika B rikthehet një pingul i barabartë me gjysmën AB. Pika e marrë C i lidhur me një vijë në një pikë A. Një segment vizatohet në vijën që rezulton B.C. duke përfunduar me një pikë D. Segmenti pas Krishtit transferuar në të drejtpërdrejtë AB. Pika që rezulton E ndan një segment AB në raportin e artë.

Vetitë e raportit të artë përshkruhen nga ekuacioni:

x 2 – x – 1 = 0.

Zgjidhja e këtij ekuacioni:

Vetitë e raportit të artë kanë krijuar një atmosferë romantike të misterit dhe adhurimit pothuajse mistik rreth këtij numri.

Raporti i dytë i artë

Revista bullgare “Atdheu” (nr. 10, 1983) botoi një artikull të Cvetan Cekov-Karandash “Për pjesën e dytë të artë”, i cili vijon nga pjesa kryesore dhe jep një raport tjetër 44:56.

Ky proporcion gjendet në arkitekturë, dhe gjithashtu ndodh kur ndërtohen kompozime të imazheve të një formati të zgjatur horizontal.

Oriz. 3.

Ndarja kryhet si më poshtë. Segmenti AB ndahet sipas raportit të artë. Nga pika C rikthehet pingulja CD. Rrezja AB ka një pikë D, e cila lidhet me një vijë me një pikë A. Këndi i drejtë ACD ndahet në gjysmë. Nga pika C vizatohet një vijë derisa të kryqëzohet me vijën pas Krishtit. Pika E ndan një segment pas Krishtit në lidhje me 56:44.

Oriz. 4.

Figura tregon pozicionin e vijës së raportit të dytë të artë. Ndodhet në mes të vijës së raportit të artë dhe vijës së mesme të drejtkëndëshit.

Trekëndëshi i Artë

Për të gjetur segmente të proporcionit të artë të serisë ngjitëse dhe zbritëse, mund të përdorni pentagram.

Oriz. 5. Ndërtimi i një pesëkëndëshi dhe pentagrami të rregullt

Për të ndërtuar një pentagram, duhet të ndërtoni një pesëkëndësh të rregullt. Metoda e ndërtimit të saj u zhvillua nga piktori dhe grafisti gjerman Albrecht Durer (1471...1528). Le O- qendra e rrethit, A– një pikë në rreth dhe E- mesi i segmentit O.A.. pingul me rreze O.A., restauruar në pikë O, pret rrethin në pikë D. Duke përdorur një busull, vizatoni një segment në diametër C.E. = ED. Gjatësia anësore e një pesëkëndëshi të rregullt të gdhendur në një rreth është DC. Vendosni segmente në rreth DC dhe marrim pesë pikë për të vizatuar një pesëkëndësh të rregullt. Ne lidhim qoshet e pesëkëndëshit përmes njëri-tjetrit me diagonale dhe marrim një pentagram. Të gjitha diagonalet e pesëkëndëshit ndajnë njëra-tjetrën në segmente të lidhura me raportin e artë.

Oriz. 6. Ndërtimi i trekëndëshit të artë

Ne kryejmë një direktivë AB. Nga pika A vendosni një segment mbi të tre herë O vlerë arbitrare, përmes pikës që rezulton P vizatoni një pingul me vijën AB, në pingul në të djathtë dhe në të majtë të pikës P lini mënjanë segmentet O. Pikët e marra d Dhe d 1 lidheni me vija të drejta në një pikë A. Segmenti dd vendosni 1 në linjë Ad 1, duke marrë një pikë C. Ajo ndau vijën Ad 1 në raport me raportin e artë. Linjat Ad 1 dhe dd 1 përdoret për të ndërtuar një drejtkëndësh "të artë".

Historia e raportit të artë

Në përgjithësi pranohet se koncepti i ndarjes së artë u fut në përdorim shkencor nga Pitagora, një filozof dhe matematikan i lashtë grek (shekulli VI para Krishtit). Ekziston një supozim se Pitagora e huazoi njohurinë e tij për ndarjen e artë nga egjiptianët dhe babilonasit. Në të vërtetë, përmasat e piramidës së Keopsit, tempujt, basorelievet, sendet shtëpiake dhe dekorimet nga varri tregojnë se mjeshtrit egjiptianë përdorën raportet e ndarjes së artë kur i krijuan ato. Arkitekti francez Le Corbusier zbuloi se në relievin nga tempulli i faraonit Seti I në Abydos dhe në relievin që përshkruan faraonin Ramses, përmasat e figurave korrespondojnë me vlerat e ndarjes së artë. Arkitekti Khesira, i përshkruar në një reliev të një dërrase druri nga një varr i quajtur pas tij, mban në duar instrumente matëse në të cilat janë regjistruar përmasat e ndarjes së artë.

Oriz. 7. Drejtkëndësha dinamikë

Oriz. 8.

Në literaturën e lashtë që ka ardhur deri tek ne, ndarja e artë u përmend për herë të parë në Elementet e Euklidit. Në librin e 2-të të Elementeve jepet një ndërtim gjeometrik i ndarjes së artë. Pas Euklidit, studimi i ndarjes së artë u krye nga Hypsicles (shek. II para Krishtit), Pappus (shek. III pas Krishtit) dhe të tjerë Në Evropën mesjetare, ata u njohën me ndarjen e artë përmes përkthimeve arabe të Elementeve të Euklidit. Përkthyesi J. Campano nga Navarra (shek. III) bëri komente për përkthimin. Sekretet e ndarjes së artë ruheshin me xhelozi dhe ruheshin në fshehtësi të rreptë. Ata njiheshin vetëm për iniciues.

Gjatë Rilindjes, interesi për ndarjen e artë u rrit midis shkencëtarëve dhe artistëve për shkak të përdorimit të tij si në gjeometri ashtu edhe në art, veçanërisht në arkitekturë, Leonardo da Vinci, një artist dhe shkencëtar, pa që artistët italianë kishin shumë përvojë empirike, por pak. njohuri . Ai u ngjiz dhe filloi të shkruante një libër mbi gjeometrinë, por në atë kohë u shfaq një libër i murgut Luca Pacioli dhe Leonardo e braktisi idenë e tij. Sipas bashkëkohësve dhe historianëve të shkencës, Luca Pacioli ishte një ndriçues i vërtetë, matematikani më i madh i Italisë në periudhën midis Fibonacci dhe Galileos. Luca Pacioli ishte student i piktorit Piero della Francesca, i cili shkroi dy libra, njëri prej të cilëve titullohej "Mbi perspektiva në pikturë". Ai konsiderohet si krijuesi i gjeometrisë përshkruese.

Luca Pacioli e kuptoi në mënyrë të përsosur rëndësinë e shkencës për artin. Në vitin 1496, me ftesë të Dukës Moreau, ai erdhi në Milano, ku mbajti leksione për matematikën. Leonardo da Vinci gjithashtu punonte në Milano në oborrin e Moro-s në atë kohë. Në vitin 1509, libri i Luca Paciolit "Përpjesëtimi hyjnor" u botua në Venecia me ilustrime të ekzekutuara shkëlqyeshëm, prandaj besohet se ato janë bërë nga Leonardo da Vinci. Libri ishte një himn entuziast me raportin e artë. Ndër avantazhet e shumta të proporcionit të artë, murgu Luca Pacioli nuk mungoi të emërtojë "esencën hyjnore" të tij si një shprehje të Trinisë Hyjnore - Zoti Atë, Zoti Biri dhe Zoti Fryma e Shenjtë (u nënkuptua se i vogël segmenti është personifikimi i Zotit Biri, segmenti më i madh është Zoti Atë, dhe i gjithë segmenti - Zoti Fryma e Shenjtë).

E-libra:

Mario Livio.

Raporti i artë është një manifestim universal i harmonisë strukturore. Gjendet në natyrë, shkencë, art - në gjithçka me të cilën një person mund të kontaktojë. Pasi u njoh me rregullin e artë, njerëzimi nuk e tradhtoi më atë.

PËRKUFIZIM

Përkufizimi më gjithëpërfshirës i raportit të artë thotë se pjesa më e vogël lidhet me atë më të madhen, ashtu si pjesa më e madhe lidhet me të tërën. Vlera e përafërt e saj është 1.6180339887. Në një vlerë përqindjeje të rrumbullakosur, proporcionet e pjesëve të tërësisë do të korrespondojnë nga 62% në 38%. Kjo marrëdhënie funksionon në formën e hapësirës dhe kohës.

Të lashtët e shihnin raportin e artë si një pasqyrim të rendit kozmik dhe Johannes Kepler e quajti atë një nga thesaret e gjeometrisë. Shkenca moderne e konsideron raportin e artë si "simetri asimetrike", duke e quajtur atë në një kuptim të gjerë një rregull universal që pasqyron strukturën dhe rendin e rendit tonë botëror.

TREGIM

Egjiptianët e lashtë kishin një ide për përmasat e arta, ata dinin për to në Rusi, por për herë të parë raporti i artë u shpjegua shkencërisht nga murgu Luca Pacioli në librin "Proporcioni hyjnor" (1509), ilustrime për të cilat ishin gjoja e bërë nga Leonardo da Vinci. Pacioli pa në pjesën e artë trinitetin hyjnor: segmenti i vogël personifikonte Birin, segmenti i madh Atin dhe të gjithë Shpirtin e Shenjtë.

Emri i matematikanit italian Leonardo Fibonacci lidhet drejtpërdrejt me rregullin e raportit të artë. Si rezultat i zgjidhjes së një prej problemeve, shkencëtari doli me një sekuencë numrash të njohur tani si seria Fibonacci: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, etj. Kepler tërhoqi vëmendjen për marrëdhënien e kësaj sekuence me proporcionin e artë: "Është rregulluar në atë mënyrë që dy termat më të ulët të kësaj proporcioni të pafund të shtohen në termin e tretë dhe çdo dy terma të fundit, nëse shtohen, jep termin tjetër, dhe i njëjti proporcion ruhet deri në pafundësi " Tani seria Fibonacci është baza aritmetike për llogaritjen e proporcioneve të seksionit të artë në të gjitha manifestimet e tij.

Leonardo da Vinci gjithashtu i kushtoi shumë kohë studimit të veçorive të raportit të artë, me shumë mundësi, vetë termi i përket atij. Vizatimet e tij të një trupi stereometrik të formuar nga pesëkëndësha të rregullt dëshmojnë se secili nga drejtkëndëshat e marrë sipas seksionit jep raportin e pamjes në ndarjen e artë.

Me kalimin e kohës, rregulli i raportit të artë u bë një rutinë akademike dhe vetëm filozofi Adolf Zeising i dha atij një jetë të dytë në 1855. Ai solli përmasat e seksionit të artë në absolut, duke i bërë ato universale për të gjitha fenomenet e botës përreth. Sidoqoftë, "estetika e tij matematikore" shkaktoi shumë kritika.

NATYRA

Edhe pa hyrë në llogaritje, raporti i artë mund të gjendet lehtësisht në natyrë. Pra, raporti i bishtit dhe trupit të një hardhucë, distancat midis gjetheve në një degë bien nën të, ekziston një raport i artë në formën e një veze, nëse një vijë e kushtëzuar tërhiqet përmes pjesës më të gjerë të saj.

Shkencëtari bjellorus Eduard Soroko, i cili studioi format e ndarjeve të arta në natyrë, vuri në dukje se çdo gjë që rritet dhe përpiqet të zërë vendin e saj në hapësirë është e pajisur me përmasat e seksionit të artë. Sipas mendimit të tij, një nga format më interesante është përdredhja spirale.

Arkimedi, duke i kushtuar vëmendje spirales, nxori një ekuacion bazuar në formën e saj, i cili përdoret ende në teknologji. Gëte më vonë vuri në dukje tërheqjen e natyrës ndaj formave spirale, duke e quajtur spiralen "kurba e jetës". Shkencëtarët modernë kanë zbuluar se manifestime të tilla të formave spirale në natyrë si një guaskë kërmilli, rregullimi i farave të lulediellit, modelet e rrjetës së merimangës, lëvizja e një uragani, struktura e ADN-së dhe madje edhe struktura e galaktikave përmbajnë serinë Fibonacci.

NJERËZORE

Dizajnerët e modës dhe stilistët e veshjeve bëjnë të gjitha llogaritjet bazuar në përmasat e raportit të artë. Njeriu është një formë universale për të testuar ligjet e raportit të artë. Sigurisht, nga natyra, jo të gjithë njerëzit kanë përmasa ideale, gjë që krijon vështirësi të caktuara me zgjedhjen e rrobave.

Në ditarin e Leonardo da Vinçit është një vizatim i një burri lakuriq të gdhendur në një rreth, në dy pozicione të mbivendosura. Bazuar në hulumtimin e arkitektit romak Vitruvius, Leonardo në mënyrë të ngjashme u përpoq të përcaktonte përmasat e trupit të njeriut. Më vonë, arkitekti francez Le Corbusier, duke përdorur "Njeriu Vitruvian" i Leonardos, krijoi shkallën e tij të "proporcioneve harmonike", e cila ndikoi në estetikën e arkitekturës së shekullit të 20-të.

Adolf Zeising, duke studiuar proporcionalitetin e një personi, bëri një punë kolosale. Ai mati rreth dy mijë trupa njerëzish, si dhe shumë statuja të lashta dhe arriti në përfundimin se raporti i artë shpreh ligjin mesatar statistikor. Tek një person, pothuajse të gjitha pjesët e trupit janë në varësi të tij, por treguesi kryesor i raportit të artë është ndarja e trupit me pikën e kërthizës.
Si rezultat i matjeve, studiuesi zbuloi se proporcionet e trupit të mashkullit 13:8 janë më afër raportit të artë sesa proporcionet e trupit të femrës - 8:5.

ARTI I FORMAVE HAPËSINORE

Artisti Vasily Surikov tha "se në përbërje ekziston një ligj i pandryshueshëm, kur në një foto nuk mund të hiqni as të shtoni asgjë, nuk mund të shtoni as një pikë shtesë, kjo është matematikë e vërtetë". Për një kohë të gjatë, artistët e ndoqën këtë ligj në mënyrë intuitive, por pas Leonardo da Vinçit, procesi i krijimit të një pikture nuk është më i plotë pa zgjidhjen e problemeve gjeometrike. Për shembull, Albrecht Durer përdori busullën proporcionale që shpiku për të përcaktuar pikat e seksionit të artë.

Kritiku i artit F.V. Kovalev, pasi shqyrtoi në detaje pikturën e Nikolai Ge "Alexander Sergeevich Pushkin në fshatin Mikhailovskoye", vëren se çdo detaj i kanavacës, qoftë një oxhak, një raft librash, një kolltuk apo vetë poeti, është rreptësisht. të gdhendura në përmasa të arta.

Studiuesit e raportit të artë studiojnë dhe masin pa u lodhur kryeveprat arkitekturore, duke pretenduar se ato u bënë të tilla sepse u krijuan sipas kanoneve të arta: lista e tyre përfshin Piramidat e Mëdha të Gizës, Katedralen Notre Dame, Katedralen e Shën Vasilit dhe Partenonin.

Dhe sot, në çdo art të formave hapësinore, ata përpiqen të ndjekin përmasat e seksionit të artë, pasi, sipas kritikëve të artit, lehtësojnë perceptimin e veprës dhe formojnë një ndjenjë estetike tek shikuesi.

FJALA, TINGU DHE FILMI

Format e artit të përkohshëm në mënyrën e tyre na demonstrojnë parimin e ndarjes së artë. Studiuesit e letërsisë, për shembull, kanë vërejtur se numri më i popullarizuar i rreshtave në poezitë e periudhës së vonë të veprës së Pushkinit korrespondon me serinë Fibonacci - 5, 8, 13, 21, 34.

Rregulli i seksionit të artë vlen edhe në veprat individuale të klasikes ruse. Kështu, kulmi i "Mbretëreshës së Spades" është skena dramatike e Hermanit dhe Konteshës, duke përfunduar me vdekjen e kësaj të fundit. Historia ka 853 rreshta, dhe kulmi ndodh në rreshtin 535 (853:535 = 1.6) - kjo është pika e raportit të artë.

Muzikologu sovjetik E.K. Rosenov vëren saktësinë e mahnitshme të raporteve të arta në format strikte dhe të lira të veprave të Johann Sebastian Bach, që korrespondon me stilin e zhytur në mendime, të përqendruar, të verifikuar teknikisht. Kjo është gjithashtu e vërtetë për veprat e shquara të kompozitorëve të tjerë, ku zgjidhja muzikore më e habitshme ose e papritur zakonisht ndodh në pikën e raportit të artë.

Regjisori i filmit Sergei Eisenstein e koordinoi qëllimisht skenarin e filmit të tij "Battleship Potemkin" me rregullin e raportit të artë, duke e ndarë filmin në pesë pjesë. Në tre seksionet e para veprimi zhvillohet në anije, dhe në dy të fundit - në Odessa. Kalimi në skenat në qytet është mesi i artë i filmit.

18/04/2011 A. F. Afanasyev Përditësuar më 16/06/12

Dimensionet dhe përmasat janë një nga detyrat kryesore në kërkimin e një imazhi artistik të çdo vepre të artit plastik. Është e qartë se çështja e madhësisë vendoset duke marrë parasysh dhomën ku do të vendoset dhe objektet që e rrethojnë.

Duke folur për përmasat (raportet e vlerave dimensionale), ne i marrim ato parasysh në formatin e një imazhi të sheshtë (pikturë, marquetry), në raportet e dimensioneve të përgjithshme (gjatësia, lartësia, gjerësia) e një objekti vëllimor, në raportin e dy objekte të një ansambli të ndryshëm në lartësi ose gjatësi, në raportin e madhësive të dy pjesëve të dukshme të të njëjtit objekt, etj.

Në klasikët e artit të bukur për shumë shekuj, është gjurmuar një teknikë për ndërtimin e përmasave, e quajtur seksioni i artë, ose numri i artë (ky term u prezantua nga Leonardo da Vinci). Parimi i raportit të artë, ose simetrisë dinamike, është se "raporti midis dy pjesëve të një tërësie të vetme është i barabartë me raportin e pjesës së tij më të madhe ndaj tërësisë" (ose, në përputhje me rrethanat, e tëra me pjesën më të madhe). Matematikisht kjo është

numri shprehet si - 1 ± 2?5 - që jep 1,6180339... ose 0,6180339... Në art, 1,62 merret si numër i artë, pra një shprehje e përafërt e raportit të një vlere më të madhe në raport me më të vogël. vlerë .
Nga i përafërt në më i saktë, ky raport mund të shprehet: etj., ku: 5+3=8, 8+5=13, etj. Ose: 2,2:3,3:5,5:8 ,8 etj. ., ku 2.2+3.3-5.5, etj.

Grafikisht, raporti i artë mund të shprehet me raportin e segmenteve të marra nga ndërtime të ndryshme. Më i përshtatshëm, sipas mendimit tonë, është ndërtimi i paraqitur në Fig. 169: nëse shtoni anën e tij të shkurtër në diagonalen e një gjysmë katrori, do të merrni një vlerë në raportin e numrit të artë me anën e tij të gjatë.

Oriz. 169. Ndërtimi gjeometrik i një drejtkëndëshi në raport të artë 1.62: 1. Numri i artë 1.62 në raport me segmentet (a dhe b)

Oriz. 170. Ndërtimi grafik i funksionit të raportit të artë 1.12: 1

Përqindja e dy raporteve të arta

krijon një ndjenjë vizuale harmonie dhe ekuilibri. Ekziston një raport tjetër harmonik i dy sasive ngjitur, i shprehur me numrin 1.12. Është një funksion i numrit të artë: nëse merrni diferencën midis dy vlerave të raportit të artë, ndani atë gjithashtu në raportin e artë dhe shtoni çdo fraksion në vlerën më të vogël të raportit të artë origjinale, do të merrni një raport prej 1.12 (Fig. 170). Në këtë relacion, p.sh., elementi i mesit (rafti) vizatohet me shkronjat H, R, Z etj në disa shkronja, për germat e gjera merren përmasat e lartësisë dhe gjerësisë, kjo relacion gjendet edhe në natyrë.

Numri i artë vërehet në përmasat e një personi të zhvilluar në mënyrë harmonike (Fig. 171): gjatësia e kokës ndan distancën nga beli në kurorë në raportin e artë; kapaku i gjurit ndan gjithashtu distancën nga beli deri te shputa e këmbëve; maja e gishtit të mesëm të një dore të shtrirë ndan të gjithë lartësinë e një personi në proporcionin e artë; Raporti i falangave të gishtave është gjithashtu një numër i artë. I njëjti fenomen vërehet edhe në struktura të tjera të natyrës: në spiralet e molusqeve, në kurolat e luleve etj.

Oriz. 172. Përmasat e arta të një gjetheje barbarozë të gdhendur (pelargonium). Ndërtimi: 1) Duke përdorur një grafik shkallësh (shih Fig. 171) a ndërtojmë? ABC,	Oriz. 173. Gjethe rrushi pesëpetale dhe trepetale. Raporti i gjatësisë dhe gjerësisë është 1.12. Raporti i artë shprehet

Në Fig. 172 dhe 173 tregojnë ndërtimin e një modeli të një gjetheje barbarozë (pelargonium) dhe një gjethe rrushi në përmasat e numrave të artë 1.62 dhe 1.12. Në një gjethe barbarozë, ndërtimi bazohet në dy trekëndësha: ABC dhe CEF, ku raporti i lartësisë dhe bazës së secilit prej tyre shprehet me numrat 0.62 dhe 1.62 dhe distancat midis tre çifteve të pikave më të largëta. të gjethes janë të barabarta: AB=CE=SF. Ndërtimi tregohet në vizatim. Dizajni i një gjetheje të tillë është tipik për geraniumet, të cilat kanë gjethe të ngjashme të gdhendura.

Gjethja e fikut të përgjithësuar (Fig. 173) ka të njëjtat përmasa me gjethen e rrushit, në raportin 1,12, por përqindja më e madhe e gjethes së rrushit është gjatësia e saj dhe ajo e gjethes së rrapit është gjerësia e saj. Gjethi i fikut ka tre madhësi proporcionale në raport 1,62. Një korrespondencë e tillë në arkitekturë quhet një treshe (për katër përmasa - tetrad dhe më tej: pectad, heksode).

Në Fig. 174 tregon një metodë për ndërtimin e një gjethe panje në përmasat e raportit të artë. Me një raport gjerësi-gjatësi 1.12, ka disa përmasa me numrin 1.62. Ndërtimi bazohet në dy trapezoide, në të cilët raporti i lartësisë dhe gjatësisë së bazës shprehet me një numër të artë. Ndërtimi tregohet në vizatim, dhe janë dhënë edhe opsionet për formën e një gjethe panje.

Në veprat e artit të bukur, një artist ose skulptor, me vetëdije ose nënndërgjegjeshëm, duke i besuar syrit të tij të stërvitur, shpesh aplikon raportin e madhësive në raportin e artë. Kështu, ndërsa punonte në një kopje të kokës së Krishtit (sipas Mikelanxhelos), autori i këtij libri vuri re se kaçurrelat ngjitur në fijet e flokëve në madhësinë e tyre pasqyrojnë raportin e raportit të artë, dhe në formën e tyre - spiralen e Arkimedit. , involute. Lexuesi mund të shohë vetë se në një numër pikturash të artistëve klasikë figura qendrore është e vendosur nga anët e formatit në distanca duke formuar proporcionin e raportit të artë (për shembull, vendosja e kokës vertikalisht dhe horizontalisht në V Portreti i Borovikovsky i M. I. Lopukhina përgjatë qendrës vertikale të kokës në portretin e A. S. Pushkin nga O. Kiprensky dhe të tjerët). E njëjta gjë mund të shihet ndonjëherë edhe me vendosjen e vijës së horizontit (F. Vasiliev: “Livadhi i lagësht”, I. Levitan: “Mars”, “Këmbanat e mbrëmjes”).

Sigurisht, ky rregull nuk është gjithmonë një zgjidhje për problemin e kompozimit dhe nuk duhet të zëvendësojë intuitën e ritmit dhe përmasave në punën e artistit. Dihet, për shembull, se disa artistë përdorën raportet e "numrave muzikorë" për kompozimet e tyre: të tretat, të katërtat, të pestat (2:3, 3:4, etj.). Historianët e artit, jo pa arsye, vërejnë se dizajni i çdo monumenti ose skulpture klasike arkitekturore, nëse dëshirohet, mund të përshtatet me çdo raport numrash. Detyra jonë në këtë rast, dhe veçanërisht detyra e një artisti fillestar ose gdhendës druri, është të mësojmë të ndërtojmë një përbërje të qëllimshme të veprës së tij jo sipas marrëdhënieve të rastësishme, por sipas përmasave harmonike, të vërtetuara nga praktika. Këto përmasa harmonike duhet të jenë në gjendje të identifikohen dhe theksohen nga dizajni dhe forma e produktit.

Si shembull i gjetjes së një proporcioni harmonik, merrni parasysh përcaktimin e madhësisë së kornizës për punën e treguar në Fig. 175. Formati i figurës së vendosur në të vendoset në proporcion të raportit të artë. Dimensionet e jashtme të kornizës me të njëjtën gjerësi të anëve të saj nuk do të japin proporcionin e artë. Prandaj, raporti i gjatësisë dhe gjerësisë së tij (ЗЗ0X220) merret pak më i vogël se numri i artë, domethënë i barabartë me 1.5, dhe gjerësia e lidhjeve tërthore është rritur përkatësisht në krahasim me anët anësore. Kjo bëri të mundur arritjen e përmasave të kornizës në dritë (për pikturën), duke dhënë përmasat e raportit të artë. Raporti i gjerësisë së lidhjes së poshtme të kornizës me gjerësinë e lidhjes së sipërme të saj rregullohet në një numër tjetër të artë, d.m.th., 1.12. Gjithashtu, raporti i gjerësisë së lidhjes së poshtme me gjerësinë e lidhjes anësore (94:63) është afër 1.5 (në figurë - opsioni në të majtë).

Tani le të bëjmë një eksperiment: ne do të rrisim anën e gjatë të kornizës në 366 mm për shkak të gjerësisë së lidhjes së poshtme (do të jetë 130 mm) (në foto - opsioni në të djathtë), i cili do të sjellë jo vetëm raporti më afër por edhe me arin
numri 1.62 në vend të 1.12. Rezultati është një përbërje e re që mund të përdoret në ndonjë produkt tjetër, por për kornizën ekziston dëshira për ta bërë atë më të shkurtër. Mbulojeni pjesën e poshtme të tij me një vizore aq shumë sa që syri të "pranojë" proporcionin që rezulton dhe do të marrim gjatësinë e tij prej 330 mm, domethënë do t'i afrohemi versionit origjinal.

Pra, duke analizuar opsione të ndryshme (mund të ketë të tjera përveç dy të diskutuara), mjeshtri vendoset në të vetmen zgjidhje të mundshme nga këndvështrimi i tij.

Është më mirë të zbatohet parimi i raportit të artë në kërkim të përbërjes së dëshiruar duke përdorur një pajisje të thjeshtë, diagrami bazë i dizajnit të së cilës është treguar në Fig. 176. Dy vizore të kësaj pajisjeje, duke u rrotulluar rreth menteshës B, mund të formojnë një kënd arbitrar. Nëse, për çdo zgjidhje këndi, e ndajmë distancën AC në pjesën e artë me një pikë K dhe montojmë dy vizore të tjera: KM\\BC dhe KE\\AB me menteshat në pikat K, E dhe M, atëherë për çdo zgjidhje AC kjo distancë do të pjesëtohet me pikën K në raport me raportin e artë.