No apzīmējuma a = b q izriet, ka b ir a dalītājs un ka a ir b daudzkārtnis. Dalītāji un reizinātāji
“Cipara decimālais apzīmējums” - kāda skaitītāja daļa ir 1 dm? Atrisiniet vienādojumu Kāda segmenta CD daļa ir no segmenta AB. Pašieva Ļubova Nikolajevna 1. kategorijas matemātikas skolotāja. Decimāldaļskaitļu apzīmējums. Decimālzīmes. Džons Napiers. Vidusāzijas pilsēta Samarkanda 15. gadsimtā bija bagāts kultūras centrs. Daļskaitļu decimālzīmju pierakstīšanas noteikumi.
“Ciparu sistēmu rakstīšana” — nepozicionālas skaitļu sistēmas. Kā cilvēki iepriekš pierakstīja ciparus? Ja skaitli 56 raksta decimālo skaitļu sistēmā, tad raksta šādi: Atcerēsimies skaitļa pakāpes jēdzienu: Ciparu un skaitļu sistēmu vēsture. Dabisku skaitļu rindas pozicionālajā skaitļu sistēmā. Paplašināts skaitļa ieraksts. Jēdziens "skaitļu sistēma".
“Informācijas ierakstīšana diskā” — ieraksti no audio diskiem tiek atskaņoti, izmantojot optiskos (lāzera) atskaņotājus. Šādi diski tiek ražoti, štancējot, un tiem ir sudraba krāsa. Lāzera diskdziņi. Ir CD-R un DVD-R diski (R - ierakstāmi), kas ir zelta krāsā. Optiskā ieraksta princips. Skaņas programmas ilgums sasniedz vienu stundu.
“Ciparu rakstīšana skaitļu sistēmās” - alfabētiskajā slāvu ciparu sistēmā kā “skaitļi” tika izmantoti 27 kirilicas burti. Alfabētiskās sistēmas bija progresīvākas nepozicionālās skaitļu sistēmas. Alfabētiskās sistēmas. Jebkura faila saturs ir attēlots šajā formā. Senās Ēģiptes decimālā nepozicionālā sistēma. Romiešu skaitļu sistēma.
“Daļskaitļu decimālais apzīmējums” - pierakstiet daļskaitļu skaitītāju. "Kas ir aritmētika? Decimāldaļskaitļu apzīmējums. Simons Stīvins (1548-1620). Ja nepieciešams, izlīdziniet ciparu skaitu aiz komata. L.F. Magņitskis (1669-1739). M.V. Abanina. Izmantojiet komatu, lai atdalītu visu daļu no daļdaļas.
“Dalītāji un reizinātāji” - TĒMA: Dalītāji un reizinātāji. Ideāli skaitļi. Aprēķiniet mutiski. Izvēlieties no cipariem: Trīs aplaudējumi, trīs aplaudējumi, trīs pamāj ar galvu. Vienreiz noliecies – iztaisnojieties, divreiz noliecies – velciet uz augšu. Fiziskā audzināšana. Kādi skaitļa 24 dalītāji nav starp šiem skaitļiem? Pierakstiet piezīmju grāmatiņās stundas numuru un tēmu: “Dalītāji un reizinātāji”.
Definīcija 1. Ļaujiet skaitlim a 1) ir divu skaitļu reizinājums b Un q Tātad a=bq. Tad a sauc par daudzkārtni b.
1) Šajā rakstā vārds skaitlis tiks saprasts kā vesels skaitlis.
Varētu arī teikt a dalīts ar b, vai b ir dalītājs a, vai b sadala a, vai b ir iekļauts kā reizinātājs a.
No 1. definīcijas izriet šādi apgalvojumi:
Paziņojums, apgalvojums1. Ja a-vairāki b, b-vairāki c, Tas a vairākas c.
Tiešām. Jo
Kur m Un n tad daži cipari
Līdz ar to a dalīts ar c.
Ja skaitļu virknē katrs dalās ar nākamo, tad katrs skaitlis ir visu nākamo skaitļu reizinājums.
Paziņojums, apgalvojums 2. Ja skaitļi a Un b- daudzkārtēji c, tad arī to summa un starpība ir daudzkārtēji c.
Tiešām. Jo
a+b=mc+nc=(m+n)c,
a−b=mc−nc=(m−n)c.
Līdz ar to a+b dalīts ar c Un a-b dalīts ar c .
Dalāmības pazīmes
Atvasināsim vispārīgu formulu, lai noteiktu skaitļu dalāmības ar kādu naturālu skaitli testu m, ko sauc par Paskāla dalāmības testu.
Atradīsim dalījuma atlikumus ar mšādu secību. Ļaujiet atlikušajam dalījumam 10 ar m gribu r 1, 10 un viduspunkts r 1 per m gribu r 2 utt. Tad mēs varam rakstīt:
Pierādīsim, ka skaitļa dalīšanas atlikums A ieslēgts m vienāds ar skaitļa dalījuma atlikušo daļu
| (3) |
Kā zināms, ja divi skaitļi dalot ar kādu skaitli m dod to pašu atlikumu, tad starpību dala ar m bez pēdām.
Apsvērsim atšķirību A-A"
  | (6) |
 | (7) |
Katrs vārds (5) labajā pusē ir dalīts ar m tāpēc arī vienādojuma kreisā puse dalās ar m. Spriežot līdzīgi, mēs iegūstam, ka (6) labā puse tiek dalīta ar m, tāpēc (6) kreisā puse arī dalās ar m, (7) labā puse ir sadalīta m, tāpēc arī (7) kreisā puse ir sadalīta m. Mēs atklājām, ka (4) vienādojuma labā puse dalās ar m. Līdz ar to A Un A" ir tāds pats atlikums, dalīts ar m. Šajā gadījumā viņi to saka A Un A" vienāds atlikums vai salīdzināms modulī m.
Tādējādi, ja A" dalīts ar m m), Tas A sadalīts arī m(dalot ar, ir nulle atlikums m). Mēs to esam parādījuši, lai noteiktu dalāmību A jūs varat noteikt vienkāršāka skaitļa dalāmību A".
Pamatojoties uz izteiksmi (3), ir iespējams iegūt dalāmības kritērijus konkrētiem skaitļiem.
Skaitļu 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 dalāmības zīmes
Pārbaudi dalāmību ar 2.
Šāda procedūra (1) paredzēta m=2, mēs iegūstam:
Visi atlikumi, dalīti ar 2, ir nulle. Tad no (3) vienādojuma mums ir
Visi atlikumi no dalīšanas ar 3 ir vienādi ar 1. Tad no (3) vienādojuma iegūstam
Visi atlikumi no dalīšanas ar 4, izņemot pirmo, ir vienādi ar 0. Tad no vienādojuma (3) mēs iegūstam
Visi atlikumi ir nulle. Tad no (3) vienādojuma mums ir
Visi atlikumi ir vienādi ar 4. Tad no (3) vienādojuma mums ir
Tāpēc skaitlis dalās ar 6 tad un tikai tad, ja vienību skaitam pievienotais četrkāršais desmitnieku skaits dalās ar 6. Tas ir, mēs izmetam no skaitļa labo ciparu, pēc tam summējam iegūto skaitli ar 4 un pievienojam izmests numurs. Ja dots skaitlis dalās ar 6, tad sākotnējais skaitlis dalās ar 6.
Piemērs. 2742 dalās ar 6, jo 274*4+2=1098, 1098=109*4+8=444, 444=44*4+4=180 dala ar 6.
Vienkāršāka dalāmības zīme. Skaitlis dalās ar 6, ja tas dalās ar 2 un 3 (tas ir, ja tas ir pāra skaitlis un ja ciparu summa dalās ar 3). Skaitlis 2742 dalās ar 6, jo... skaitlis ir pāra un 2+7+4+2=15 dalās ar 3.
Pārbaudi dalāmību ar 7.
Šāda procedūra (1) paredzēta m=7, mēs iegūstam:
 |
Visi atlikumi ir atšķirīgi un atkārtojas pēc 7 soļiem. Tad no (3) vienādojuma mums ir
Visi atlikumi ir nulle, izņemot pirmos divus. Tad no (3) vienādojuma mums ir
Visi atlikumi no dalīšanas ar 9 ir vienādi ar 1. Tad no vienādojuma (3) mēs iegūstam
Visi atlikumi no dalīšanas ar 10 ir vienādi ar 0. Tad no (3) vienādojuma iegūstam
 |
Tāpēc skaitlis dalās ar 10 tad un tikai tad, ja pēdējais cipars dalās ar 10 (tas ir, pēdējais cipars ir nulle).
Šajā rakstā mēs apspriedīsim dalītāji un reizinātāji. Šeit mēs sniegsim dalītāja un daudzskaitļa definīcijas. Šīs definīcijas ļaus mums sniegt dažādu veselu skaitļu dalītāju un daudzkārtņu piemērus. Atsevišķi aplūkosim viena un mīnus viena dalītājus, kā arī runāsim par dalītājiem un nulles reizinātājiem.
Lapas navigācija.
Skaitļu dalītāji - definīcija, piemēri
Vispirms dosim dalītāja definīcija viss numurs.
Definīcija.
Dalītājs vesels skaitlis a ir vesels skaitlis b, ar kuru a dalās vienmērīgi.
Dabiskajam skaitlim 1 ir viens pozitīvs dalītājs - skaitlis 1. Šis fakts atšķir tos no citiem naturālajiem skaitļiem, jo naturālajiem skaitļiem, kas nav viens, ir vismaz divi dalītāji, proti, pats un 1. Atkarībā no tā, vai nav vai nav dalītāju, kas nav pats dabiskais skaitlis un viens, izšķir pirmskaitļus un saliktos skaitļus.
Viens ir naturāla skaitļa a mazākais pozitīvais dalītājs, kas nav 1, un pats skaitlis a ir lielākais pozitīvais dalītājs (sadaļā mēs runājām par lielākajiem un mazākajiem skaitļiem). Tas ir, jebkuram naturālam skaitlim a jebkurš tā pozitīvais dalītājs b atbilst nosacījumam.
Vairāki – definīcija, piemēri
Dosim vairāku definīcija.
Definīcija.
Vairāki vesels skaitlis b ir vesels skaitlis a, kas dalās ar b.
Citiem vārdiem sakot, vesela skaitļa b daudzkārtnis ir vesels skaitlis a, ko var attēlot formā a=b·q, kur q ir kāds vesels skaitlis.
Ja a ir vesela skaitļa b daudzkārtnis, tad a tiek uzskatīts par b daudzkārtni. Šajā gadījumā tiek izmantots apzīmējums ab.
Vairāku un dalāmu definīcija skaidri norāda uz saikni starp tiem. Patiešām, pēc definīcijas, ja a ir b daudzkārtnis, tad b ir a dalītājs un otrādi, ja b ir a dalītājs, tad a ir b daudzkārtnis.
Dosim daudzkārtņu piemēri. Piemēram, vesels skaitlis −12 ir reizināts ar 3, jo −12=3·(−4) . Citi skaitļa 3 daudzkārtņi ir veseli skaitļi 0, 3, -3, 6, -6, 9, -9 un tā tālāk. Taču skaitlis 7 nav vesela skaitļa 3 daudzkārtnis, jo 7 nedalās ar 3 bez atlikuma, tas ir, nav tāda vesela skaitļa q, kuram būtu spēkā vienādība 7=3·q.
No daudzkārtņa definīcijas ir skaidrs, ka nulle ir jebkura vesela skaitļa b, ieskaitot nulli, daudzkārtnis. Vienādība 0=b·0 šajā gadījumā izskatās ļoti pārliecinoša.
Ņemiet vērā, ka jebkuram veselam skaitlim b ir bezgalīgi daudz reizinājumu, jo ir bezgalīgi daudz veselu skaitļu, un jebkurš vesels skaitlis, kas vienāds ar reizinājumu b·q, kur q ir patvaļīgs vesels skaitlis, ir b daudzkārtnis.
Dotā pozitīvā skaitļa a mazākais pozitīvais daudzkārtnis ir pats skaitlis a. Ir arī vērts pievērst uzmanību tam, ka vismazāk pozitīvo daudzkārtni nevajadzētu jaukt ar vairāku skaitļu mazāko kopējo daudzkārtni (LCM).
Turklāt mēs varam apsvērt tikai naturālus pozitīvo veselo skaitļu reizinājumus. Mēs to varam darīt to pašu iemeslu dēļ, kas tika minēti šī raksta pirmajā daļā, un netiks pārkāpts prezentācijas vispārīgums.
Bibliogrāfija.
- Viļenkins N.Ya. un citi. 6. klase: mācību grāmata vispārējās izglītības iestādēm.
- Vinogradovs I.M. Skaitļu teorijas pamati.
- Mihelovičs Sh.H. Skaitļu teorija.
- Kuļikovs L.Ja. un citi. Algebras un skaitļu teorijas uzdevumu krājums: Mācību grāmata fizikas un matemātikas studentiem. pedagoģisko institūtu specialitātes.
Vidusskolas 5. klasē tiek apgūta tēma “Vairāki skaitļi”. Tās mērķis ir pilnveidot rakstiskās un mutiskās matemātisko aprēķinu prasmes. Šajā nodarbībā tiek ieviesti jauni jēdzieni - “reizinieki” un “dalītāji”, tiek praktizēta naturāla skaitļa dalītāju un reizinātāju atrašanas tehnika un spēja dažādos veidos atrast LCM.
Šī tēma ir ļoti svarīga. Zināšanas par to var pielietot, risinot piemērus ar daļskaitļiem. Lai to izdarītu, jums ir jāatrod kopsaucējs, aprēķinot mazāko kopējo daudzkārtni (LCM).
A daudzkārtnis ir vesels skaitlis, kas dalās ar A bez atlikuma.
Katram naturālajam skaitlim ir bezgalīgs skaits tā daudzkārtņu. Tas pats par sevi tiek uzskatīts par mazāko. Daudzkārtējs nevar būt mazāks par pašu skaitli.
Jums jāpierāda, ka skaitlis 125 ir skaitļa 5 reizināts. Lai to izdarītu, pirmais skaitlis ir jāsadala ar otro. Ja 125 dalās ar 5 bez atlikuma, tad atbilde ir jā.
Šī metode ir piemērota maziem skaitļiem.
Aprēķinot LOC, ir īpaši gadījumi.
1. Ja jums ir jāatrod 2 skaitļu kopīgs daudzkārtnis (piemēram, 80 un 20), kur viens no tiem (80) dalās ar otru (20), tad šis skaitlis (80) ir mazākais skaitļu reizinājums. divi cipari.
LCM(80, 20) = 80.
2. Ja diviem nav kopīga dalītāja, tad varam teikt, ka to LCM ir šo divu skaitļu reizinājums.
LCM(6, 7) = 42.
Apskatīsim pēdējo piemēru. 6 un 7 attiecībā pret 42 ir dalītāji. Viņi dala skaitļa daudzkārtni bez atlikuma.
Šajā piemērā 6 un 7 ir pārī savienoti faktori. Viņu reizinājums ir vienāds ar lielāko skaitli (42).
Skaitli sauc par pirmskaitļu, ja tas dalās tikai ar sevi vai ar 1 (3:1=3; 3:3=1). Pārējos sauc par saliktiem.
Vēl viens piemērs ietver noteikšanu, vai 9 ir 42 dalītājs.
42:9=4 (atlikušais 6)
Atbilde: 9 nav 42 dalītājs, jo atbildē ir atlikums.
Dalītājs atšķiras no daudzskaitļa ar to, ka dalītājs ir skaitlis, ar kuru tiek dalīti naturālie skaitļi, un pats reizinātājs tiek dalīts ar šo skaitli.
Lielākais kopējais skaitļu dalītājs a Un b, reizināts ar to mazāko reizinājumu, iegūs pašu skaitļu reizinājumu a Un b.
Proti: gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b.
Sarežģītāku skaitļu kopējie reizinātāji ir atrodami šādi.
Piemēram, atrodiet LCM 168, 180, 3024.
Mēs ieskaitām šos skaitļus primārajos faktoros un ierakstām tos kā pakāpju reizinājumu:
168=2³x3¹x7¹
2⁴х3³х5¹х7¹=15120
LCM(168, 180, 3024) = 15120.
