Az a = b q jelölésből következik, hogy b osztója a-nak, a pedig b többszöröse. Osztók és többszörösek
„Szám tizedes jelölése” - A méter melyik része 1 dm? Oldja meg az egyenletet, hogy a CD szegmens melyik része van az AB szakaszból. Pashieva Lyubov Nikolaevna matematika tanár az 1. kategóriában. Törtszámok decimális jelölése. Tizedesjegyek. John Napier. Szamarkand közép-ázsiai városa gazdag kulturális központ volt a 15. században. Törtszámok decimális jelölésének szabályai.
„Számrendszerek írása” – Nem pozíciós számrendszerek. Hogyan írták le az emberek korábban a számokat? Ha az 56-os számot decimális számrendszerben írjuk, akkor így írjuk: Emlékezzünk a szám hatványának fogalmára: Számok és számrendszerek története. Természetes számsorok a helyzetszámrendszerben. Egy szám bővített rögzítése. A "számrendszer" fogalma.
„Információ rögzítése lemezre” – Az audiolemezekről készült felvételek lejátszása optikai (lézer) lejátszókkal történik. Az ilyen lemezeket bélyegzéssel állítják elő, és ezüst színűek. Lézeres lemezmeghajtók. Vannak CD-R és DVD-R lemezek (R - írható), amelyek arany színűek. Optikai rögzítési elv. A hangos program időtartama eléri az egy órát.
„Számok írása számrendszerekben” - Az alfabetikus szláv számrendszerben 27 cirill betűt használtak „számként”. Az alfabetikus rendszerek fejlettebb, nem pozíciós számrendszerek voltak. Alfabetikus rendszerek. Bármely fájl tartalma ebben a formában jelenik meg. Az ókori egyiptomi decimális nem-pozíciós rendszer. Római számrendszer.
„Tizedes törtszámok jelölése” - Írja le a tört rész számlálóját. "Mi az aritmetika? Törtszámok decimális jelölése. Simon Stevin (1548-1620). Ha szükséges, kiegyenlítse a tizedesvessző utáni számjegyek számát. L.F. Magnyitszkij (1669-1739). M.V. Abanina. Vesszővel válassza el a teljes részt a tört résztől.
„Osztók és szorzók” - TÉMA: Osztók és szorzók. Tökéletes számok. Számíts szóban. Válasszon a számok közül: Három taps, három taps, három fejbiccentés. Hajolj egyszer - egyenesedj fel, hajolj kétszer - húzd fel magad. Testnevelés. A 24 szám mely osztói nincsenek ezek között a számok között? Írd le a füzetedbe az óra számát és témáját: „Osztók és többszörösek”.
Meghatározás 1. Legyen a szám a 1) két szám szorzata bÉs qÍgy a=bq. Akkor a többszörösnek nevezik b.
1) Ebben a cikkben a szám szó egész számként értendő.
Azt is lehetne mondani a osztva b, vagy b van osztó a, vagy b oszt a, vagy b szorzóként szerepel benne a.
A következő állítások következnek az 1. definícióból:
Nyilatkozat1. Ha a-többszörös b, b-többszörös c, Azt a többszörös c.
Igazán. Mert
Ahol mÉs n akkor néhány szám
Ennélfogva a osztva c.
Ha egy számsorozatban mindegyik osztható a következővel, akkor minden szám többszöröse az összes következő számnak.
Nyilatkozat 2. Ha a számok aÉs b- többszörösei c, akkor ezek összege és különbsége is többszöröse c.
Igazán. Mert
a+b=mc+nc=(m+n)c,
a-b=mc-nc=(m-n)c.
Ennélfogva a+b osztva cÉs a-b osztva c .
Az oszthatóság jelei
Vezessünk le egy általános képletet a számok valamilyen természetes számmal való oszthatóságának próbájának meghatározására m, amelyet Pascal-féle oszthatósági tesztnek neveznek.
Keressük meg a következővel való osztás maradékait m a következő sorrendet. Legyen a 10-zel való osztás maradéka m akarat r 1, 10&középpont r 1 per m akarat r 2 stb. Akkor írhatjuk:
Bizonyítsuk be, hogy egy szám osztásának maradéka A tovább m egyenlő a szám osztásának maradékával
| (3) |
Mint tudod, ha két szám, ha elosztjuk valamilyen számmal m adja meg ugyanazt a maradékot, akkor a különbséget elosztjuk m nyom nélkül.
Nézzük a különbséget A-A"
  | (6) |
 | (7) |
Az (5) jobb oldalán lévő minden tag el van osztva m ezért az egyenlet bal oldala is osztható vele m. Hasonlóan érvelve azt kapjuk, hogy (6) jobb oldalát osztjuk m, ezért (6) bal oldala is osztható vele m, a (7) jobb oldala fel van osztva m, ezért (7) bal oldala is fel van osztva m. Azt találtuk, hogy a (4) egyenlet jobb oldala osztható vele m. Ennélfogva AÉs A" osztva ugyanannyi marad m. Ebben az esetben ezt mondják AÉs A" egyenlő maradék vagy összehasonlítható modulussal m.
Így ha A" osztva m m), Ez A is osztva m(nulla maradéka van, ha osztjuk m). Megmutattuk, hogy az oszthatóság meghatározásához A egyszerűbb szám oszthatóságát határozhatja meg A".
A (3) kifejezés alapján adott számokra oszthatósági kritériumokat kaphatunk.
A 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 számok oszthatóságának jelei
Tesztelje a 2-vel való oszthatóságot.
A következő eljárás (1) a m=2, kapunk:
2-vel osztva minden maradék nulla. Ekkor a (3) egyenletből megkaptuk
A 3-mal való osztás összes maradéka egyenlő 1-gyel. Ekkor a (3) egyenletből megkapjuk
A 4-gyel való osztásból származó összes maradék, kivéve az elsőt, egyenlő 0-val. Ekkor a (3) egyenletből megkapjuk
Az összes maradék nulla. Ekkor a (3) egyenletből megkaptuk
Minden maradék egyenlő 4-gyel. Ekkor a (3) egyenletből megkapjuk
Ezért egy szám akkor és csak akkor osztható 6-tal, ha az egységek számához hozzáadott tízesek négyszerese osztható 6-tal. Azaz a jobb számjegyet kihagyjuk a számból, majd a kapott számot összeadjuk 4-gyel, és összeadjuk a eldobott szám. Ha egy adott szám osztható 6-tal, akkor az eredeti szám osztható 6-tal.
Példa. 2742 osztható 6-tal, mert 274*4+2=1098, 1098=109*4+8=444, 444=44*4+4=180 osztva 6-tal.
Az oszthatóság egyszerűbb jele. Egy szám osztható 6-tal, ha osztható 2-vel és 3-mal (vagyis ha páros szám, és ha a számjegyek összege osztható 3-mal). A 2742-es szám osztható 6-tal, mert... a szám páros és 2+7+4+2=15 osztható 3-mal.
Tesztelje az oszthatóságot 7-tel.
A következő eljárás (1) a m=7, kapunk:
 |
Minden maradék különböző, és 7 lépés után ismétlődik. Ekkor a (3) egyenletből megkaptuk
Minden maradék nulla, kivéve az első kettőt. Ekkor a (3) egyenletből megkaptuk
A 9-cel való osztás összes maradéka egyenlő 1-gyel. Ekkor a (3) egyenletből megkapjuk
A 10-zel való osztás összes maradéka egyenlő 0-val. Ekkor a (3) egyenletből megkapjuk
 |
Ezért egy szám akkor és csak akkor osztható 10-zel, ha az utolsó számjegy osztható 10-zel (azaz az utolsó számjegy nulla).
Ebben a cikkben megvitatjuk osztók és többszörösek. Itt megadjuk az osztó és a többszörös definícióit. Ezek a definíciók lehetővé teszik, hogy példákat adjunk különféle egész számok osztóira és többszöröseire. Külön megvizsgáljuk az egy és a mínusz egy osztóit, és beszélünk a nulla osztóiról és többszöröseiről is.
Oldalnavigáció.
Számosztók - definíció, példák
Először is adjunk osztó meghatározása egész szám.
Meghatározás.
Osztó az a egész szám az a b egész szám, amellyel a egyenletesen osztható.
Az 1 természetes számnak egyetlen pozitív osztója van - az 1. Ez a tény megkülönbözteti a többi természetes számtól, mivel az egytől eltérő természetes számoknak legalább két osztójuk van, mégpedig önmaga és 1. A természetes számon és az egyesen kívüli osztók hiányától vagy meglététől függően a prímszámokat és az összetett számokat megkülönböztetjük.
Az egyik az 1-től eltérő természetes szám legkisebb pozitív osztója, maga az a szám pedig a legnagyobb pozitív osztó (a legnagyobb és legkisebb számokról beszéltünk a részben). Vagyis bármely a természetes számra bármely b pozitív osztója teljesíti a feltételt.
Többszörös – meghatározás, példák
Adjunk többszörös meghatározása.
Meghatározás.
Többszörös b egész szám a b-vel osztható egész szám.
Más szóval, egy b egész szám többszöröse egy a egész szám, amely a=b·q formában ábrázolható, ahol q valamilyen egész szám.
Ha a többszöröse egy b egész számnak, akkor a-t b többszörösének mondjuk. Ebben az esetben az ab jelölést használjuk.
A többszörös és osztható definíció egyértelműen jelzi a köztük lévő kapcsolatot. Valójában definíció szerint, ha a többszöröse b-nek, akkor b osztója a-nak, és fordítva, ha b osztója a-nak, akkor a többszöröse b-nek.
Adjunk példák a többszörösekre. Például a −12 egész szám 3 többszöröse, mivel −12=3·(−4) . A 3 további többszörösei a 0, 3, -3, 6, -6, 9, -9 és így tovább. De a 7 nem többszöröse a 3 egész számnak, mivel a 7 nem osztható 3-mal maradék nélkül, vagyis nincs olyan q egész szám, amelyre a 7=3·q egyenlőség teljesülne.
A többszörös definíciójából világos, hogy a nulla bármely b egész szám többszöröse, beleértve a nullát is. A 0=b·0 egyenlőség ebben az esetben nagyon meggyőzőnek tűnik.
Vegyük észre, hogy bármely b egész számnak végtelen sok többszöröse van, mivel végtelen sok egész szám van, és minden b·q szorzattal egyenlő egész szám, ahol q tetszőleges egész szám, b többszöröse.
Egy adott a pozitív szám legkisebb pozitív többszöröse maga az a szám. Arra is érdemes figyelni, hogy a legkevésbé pozitív többszöröst ne keverjük össze több szám legkisebb közös többszörösével (LCM).
Továbbá csak a pozitív egész számok természetes többszöröseit vehetjük figyelembe. Ezt a cikk első bekezdésében említett okokból megtehetjük, és az előadás általánossága nem sérül.
Bibliográfia.
- Vilenkin N.Ya. és a matematika. 6. évfolyam: tankönyv általános oktatási intézmények számára.
- Vinogradov I.M. A számelmélet alapjai.
- Mikhelovich Sh.H. Számelmélet.
- Kulikov L.Ya. és egyebek Algebrai és számelméleti feladatgyűjtemény: Tankönyv fizika és matematika szakos hallgatóknak. pedagógiai intézetek szakterületei.
A „Többszörös számok” témát a középiskola 5. osztályában tanulják. Célja az írásbeli és szóbeli matematikai számítási készségek fejlesztése. Ebben a leckében új fogalmakat mutatnak be - „többszörözőket” és „osztókat”, a természetes szám osztóinak és többszöröseinek megtalálásának technikáját, valamint az LCM különféle módokon történő megtalálásának képességét.
Ez a téma nagyon fontos. Ennek ismerete a törtjeles példák megoldásánál is alkalmazható. Ehhez meg kell találni a közös nevezőt a legkisebb közös többszörös (LCM) kiszámításával.
A többszöröse olyan egész szám, amely maradék nélkül osztható A-val.
Minden természetes számnak végtelen számú többszöröse van. Önmagát tekintik a legkisebbnek. A többszörös nem lehet kisebb, mint maga a szám.
Be kell bizonyítani, hogy a 125 szám többszöröse az 5-nek. Ehhez az első számot el kell osztani a másodikkal. Ha 125 osztható 5-tel maradék nélkül, akkor a válasz igen.
Ez a módszer kis számok esetén alkalmazható.
A LOC kiszámításakor vannak speciális esetek.
1. Ha meg kell találnia 2 olyan szám közös többszörösét (például 80 és 20), ahol az egyik (80) osztható a másikkal (20), akkor ez a szám (80) ezeknek a legkisebb többszöröse. két szám.
LCM(80; 20) = 80.
2. Ha kettőnek nincs közös osztója, akkor azt mondhatjuk, hogy az LCM-jük ennek a két számnak a szorzata.
LCM(6; 7) = 42.
Nézzük az utolsó példát. A 6 és 7 a 42-hez képest osztók. Egy szám többszörösét osztják maradék nélkül.
Ebben a példában a 6 és 7 páros faktorok. A szorzatuk megegyezik a legtöbb többszörös számmal (42).
Egy számot prímnek nevezünk, ha csak önmagával vagy 1-gyel osztható (3:1=3; 3:3=1). A többit kompozitnak nevezik.
Egy másik példa annak meghatározása, hogy 9 osztója-e 42-nek.
42:9=4 (a maradék 6)
Válasz: A 9 nem osztója 42-nek, mert a válasznak van maradéka.
Az osztó abban különbözik a többszöröstől, hogy az osztó az a szám, amellyel a természetes számokat elosztjuk, magát a többszöröst pedig ezzel a számmal.
A számok legnagyobb közös osztója aÉs b, megszorozva a legkisebb többszörösükkel, maguknak a számoknak a szorzatát adja aÉs b.
Nevezetesen: gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b.
Az összetettebb számok közös többszörösei a következő módon találhatók meg.
Például keresse meg a 168, 180, 3024 LCM-jét.
Ezeket a számokat prímtényezőkké alakítjuk, és hatványok szorzataként írjuk fel:
168=2³x3¹x7¹
2⁴х3³х5¹х7¹=15120
LCM(168; 180; 3024) = 15120.
