Tähistusest a = b q järeldub, et b on a jagaja ja a on b kordne. Jagajad ja kordsed

“Arvu kümnendmärk” – milline osa meetrist on 1 dm? Lahendage võrrand Mis osa lõigust CD on lõigust AB. I kategooria matemaatikaõpetaja Pašjeva Ljubov Nikolaevna. Murdarvude kümnendmärkimine. Kümnendkohad. John Napier. Kesk-Aasia linn Samarkand oli 15. sajandil rikkalik kultuurikeskus. Murdarvude kümnendkoha märkimise reeglid.

“Arvusüsteemide kirjutamine” – mittepositsioonilised arvusüsteemid. Kuidas inimesed varem numbreid üles kirjutasid? Kui arv 56 on kirjutatud kümnendarvusüsteemis, siis kirjutatakse nii: Meenutagem arvu astme mõistet: Arvude ja arvusüsteemide ajalugu. Naturaalarvude jada positsioonilises arvusüsteemis. Numbri laiendatud salvestamine. Mõiste "numbrisüsteem".

„Teabe salvestamine plaadile” – heliplaatide salvestusi esitatakse optiliste (laser)pleieritega. Sellised kettad on toodetud stantsimise teel ja neil on hõbedane värv. Laser-kettaseadmed. On CD-R ja DVD-R plaate (R - salvestatavad), mis on kuldse värviga. Optilise salvestuse põhimõte. Heliprogrammi kestus ulatub ühe tunnini.

"Numbrite kirjutamine numbrisüsteemides" - tähestikulises slaavi numbrisüsteemis kasutati "numbritena" 27 kirillitsa tähte. Tähestikusüsteemid olid arenenumad mittepositsioonilised numbrisüsteemid. Tähestikulised süsteemid. Sellel kujul on esitatud mis tahes faili sisu. Vana-Egiptuse kümnendsüsteemi mittepositsiooniline süsteem. Rooma numbrite süsteem.

"Murdarvude kümnendmärkimine" - kirjutage üles murdosa lugeja. "Mis on aritmeetika? Murdarvude kümnendmärkimine. Simon Stevin (1548–1620). Vajadusel võrdsustage pärast koma olevate numbrite arv. L.F. Magnitski (1669-1739). M.V. Abanina. Kasutage koma, et eraldada kogu osa murdosast.

“Jagajad ja kordsed” – TEEMA: Jagajad ja kordsed. Täiuslikud numbrid. Arvutage suuliselt. Valige numbrite hulgast: Kolm plaksu, kolm plaksu, kolm peaga noogutamist. Painutage üks kord - sirguge, painutage kaks korda - tõmmake end üles. Kehaline kasvatus. Milliseid arvu 24 jagajaid nende arvude hulgas ei ole? Kirjutage vihikusse tunni number ja teema: "Jagajad ja kordsed."

Definitsioon 1. Lase numbril a 1) on kahe arvu korrutis b Ja q Niisiis a=bq. Siis a nimetatakse mitmekordseks b.

1) Selles artiklis mõistetakse sõna number täisarvuna.

Võiks ka öelda a jagatuna b, või b on jagaja a, või b jagab a, või b sisaldub kordajana a.

Definitsioonist 1 tulenevad järgmised väited:

avaldus1. Kui a- mitu b, b- mitu c, See a mitmekordne c.

Tõesti. Sest

Kus m Ja n siis mõned numbrid

Seega a jagatuna c.

Kui arvude reas jagub igaüks järgmisega, siis on iga arv kõigi järgnevate arvude kordne.

avaldus 2. Kui numbrid a Ja b- mitmekordsed c, siis on ka nende summa ja vahe kordsed c.

Tõesti. Sest

a+b=mc+nc=(m+n)c,

a-b=mc-nc=(m-n)c.

Seega a+b jagatuna c Ja a-b jagatuna c .

Jaguvuse märgid

Tuletagem üldvalem arvude jaguvuse testi määramiseks mõne naturaalarvuga m, mida nimetatakse Pascali jaguvustestiks.

Leiame poolt jagamise jäägid m järgmine jada. Laske jagamise jääk 10 võrra m tahe r 1, 10&keskpunkt r 1 per m tahe r 2 jne. Siis võime kirjutada:

Tõestame, et arvu jagamise jääk A peal m võrdne arvu jaotuse ülejäänud osaga

(3)

Nagu teate, kui kaks numbrit jagades mõne arvuga m anda sama jääk, siis jagatakse vahe m jäljetult.

Mõelgem erinevusele A-A"

(6)

(7)

Iga (5) paremal küljel olev termin on jagatud arvuga m seetõttu jagub võrrandi vasak pool ka arvuga m. Sarnaselt arutledes saame, et (6) parem pool jagatakse arvuga m, seetõttu jagub ka (6) vasak pool arvuga m, on (7) parem pool jagatud m, seetõttu on (7) vasak pool jagatud ka m. Leidsime, et võrrandi (4) parem pool on jagatav m. Seega A Ja A" jagamisel on sama jääk m. Sel juhul nad ütlevad seda A Ja A" võrdne jääk või võrreldav moodul m.

Seega, kui A" jagatuna m m), See A jagatud ka m(jagamisel on null jääk m). Oleme näidanud, et määrata jagatavus A saate määrata lihtsama arvu jaguvuse A".

Avaldise (3) põhjal on võimalik saada jaguvuskriteeriumid konkreetsete arvude jaoks.

Arvude 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 jaguvuse märgid

Testi jagavust 2-ga.

Järgmine protseduur (1) jaoks m = 2, saame:

Kõik jäägid, kui jagatakse 2-ga, on nullid. Siis saame võrrandist (3).

Kõik 3-ga jagamise jäägid on võrdsed 1-ga. Seejärel saame võrrandist (3)

Kõik 4-ga jagamise jäägid, välja arvatud esimene, on võrdsed 0-ga. Seejärel saame võrrandist (3)

Kõik jäägid on nullid. Siis saame võrrandist (3).

Kõik jäägid on võrdsed 4-ga. Seejärel saame võrrandist (3).

Seetõttu jagub arv 6-ga siis ja ainult siis, kui ühikute arvule lisatud kümnete neljakordne arv jagub 6-ga. See tähendab, et jätame arvust õige numbri kõrvale, seejärel liidame saadud arvu 4-ga ja lisame äravisatud number. Kui antud arv jagub 6-ga, siis algne arv jagub 6-ga.

Näide. 2742 jagub 6-ga, sest 274*4+2=1098, 1098=109*4+8=444, 444=44*4+4=180 jagatakse 6-ga.

Lihtsam jagatavuse märk. Arv jagub 6-ga, kui see jagub 2 ja 3-ga (st kui see on paarisarv ja kui numbrite summa jagub 3-ga). Arv 2742 jagub 6-ga, sest... arv on paaris ja 2+7+4+2=15 jagub 3-ga.

Testi jagavust 7-ga.

Järgmine protseduur (1) jaoks m = 7, saame:

Kõik jäägid on erinevad ja neid korratakse pärast 7 sammu. Siis saame võrrandist (3).

Kõik jäägid on nullid, välja arvatud kaks esimest. Siis saame võrrandist (3).

Kõik 9-ga jagamise jäägid on võrdsed 1-ga. Seejärel saame võrrandist (3)

Kõik 10-ga jagamise jäägid on võrdsed 0-ga. Seejärel saame võrrandist (3)

Seetõttu jagub arv 10-ga siis ja ainult siis, kui viimane number jagub 10-ga (see tähendab, et viimane number on null).

Selles artiklis arutame jagajad ja kordsed. Siin anname jagaja ja kordse määratlused. Need määratlused võimaldavad meil tuua näiteid erinevate täisarvude jagajate ja kordajate kohta. Eraldi käsitleme ühe ja miinus ühe jagajaid ning räägime ka nulli jagajatest ja kordajatest.

Leheküljel navigeerimine.

Numbrijagajad - määratlus, näited

Kõigepealt anname jagaja määratlus täisarv.

Definitsioon.

Jagaja täisarv a on täisarv b, millega a jagub täisarvuga.

Naturaalarvul 1 on üks positiivne jagaja - arv 1. See asjaolu eristab neid teistest naturaalarvudest, kuna muudel naturaalarvudel peale ühe on vähemalt kaks jagajat, nimelt ise ja 1. Sõltuvalt muude jagajate puudumisest või olemasolust peale naturaalarvu enda ja ühe eristatakse alg- ja liitarve.

Üks on naturaalarvu a väikseim positiivne jagaja, mis ei ole 1, ja arv a ise on suurim positiivne jagaja (jaotises rääkisime suurimast ja väikseimast arvust). See tähendab, et iga naturaalarvu a puhul täidab selle tingimuse mis tahes positiivne jagaja b.

Mitmikud – määratlus, näited

Anname mitme määratlus.

Definitsioon.

Mitu täisarv b on täisarv a, mis jagub b-ga.

Teisisõnu, täisarvu b kordne on täisarv a, mida saab esitada kujul a=b·q, kus q on mingi täisarv.

Kui a on täisarvu b kordne, siis nimetatakse a arvu b kordseks. Sel juhul kasutatakse tähistust ab.

Mitmekordse ja jagatava määratlus näitab selgelt nende vahelist seost. Tõepoolest, definitsiooni järgi, kui a on b kordne, siis b on a jagaja ja vastupidi, kui b on a jagaja, siis a on b kordne.

Anname mitmekordsete näited. Näiteks täisarv −12 on 3 kordne, kuna −12=3·(−4) . Teised 3 kordsed on täisarvud 0, 3, -3, 6, -6, 9, -9 jne. Kuid arv 7 ei ole täisarvu 3 kordne, kuna 7 ei jagu 3-ga ilma jäägita, st ei ole täisarvu q, mille puhul kehtiks võrdus 7=3·q.

Mitmekordse definitsiooni põhjal on selge, et null on mis tahes täisarvu b kordne, sealhulgas null. Võrdsus 0=b·0 tundub antud juhul väga veenev.

Pange tähele, et igal täisarvul b on lõpmatult palju kordusi, kuna täisarve on lõpmatult palju ja iga täisarv, mis on võrdne korrutiga b·q, kus q on suvaline täisarv, on arvu b kordne.

Antud positiivse arvu a väikseim positiivne kordne on arv a ise. Tähelepanu tasub pöörata ka sellele, et kõige vähem positiivset kordset ei tohiks segi ajada mitme arvu vähima ühiskordsega (LCM).

Lisaks võime arvestada ainult positiivsete täisarvude loomulike kordadega. Saame seda teha samadel põhjustel, mida mainiti käesoleva artikli esimeses lõigus, ja esitluse üldistust ei rikuta.

Bibliograafia.

• Vilenkin N.Ya. ja teised matemaatika. 6. klass: õpik üldharidusasutustele.
• Vinogradov I.M. Arvuteooria alused.
• Mihhelovitš Sh.H. Arvuteooria.
• Kulikov L.Ya. jt Algebra ja arvuteooria ülesannete kogu: Õpik füüsika ja matemaatika üliõpilastele. pedagoogiliste instituutide erialad.

Keskkooli 5. klassis õpitakse teemat “Mitmed numbrid”. Selle eesmärk on parandada kirjalikku ja suulist matemaatilise arvutamise oskust. Selles õppetükis tutvustatakse uusi mõisteid - "mitmearvulised arvud" ja "jagajad", naturaalarvu jagajate ja kordajate leidmise tehnikat ning oskust leida LCM-i mitmel viisil.

See teema on väga oluline. Selle tundmist saab rakendada murrudega näidete lahendamisel. Selleks tuleb leida ühisosa, arvutades vähima ühiskordse (LCM).

A kordne on täisarv, mis jagub A-ga ilma jäägita.

Igal naturaalarvul on lõpmatu arv selle kordajaid. Seda peetakse ise väikseimaks. Korrutis ei saa olla väiksem kui arv ise.

Peate tõestama, et arv 125 on 5-kordne. Selleks tuleb esimene arv jagada teisega. Kui 125 jagub 5-ga ilma jäägita, on vastus jah.

Seda meetodit saab kasutada väikeste arvude puhul.

LOC arvutamisel on erijuhtumeid.

1. Kui teil on vaja leida kahe arvu (näiteks 80 ja 20) ühiskordne, kus üks neist (80) jagub teisega (20), siis on see arv (80) nendest vähim. kaks numbrit.

LCM(80; 20) = 80.

2. Kui kahel ei ole ühist jagajat, siis võime öelda, et nende LCM on nende kahe arvu korrutis.

LCM(6, 7) = 42.

Vaatame viimast näidet. 6 ja 7 on 42 suhtes jagajad. Nad jagavad arvu kordse ilma jäägita.

Selles näites on 6 ja 7 paaristegurid. Nende korrutis on võrdne kõige mitmekordsema arvuga (42).

Arvu nimetatakse algarvuks, kui see jagub ainult iseendaga või 1-ga (3:1=3; 3:3=1). Ülejäänud nimetatakse komposiitmaterjaliks.

Teine näide hõlmab määramist, kas 9 on 42 jagaja.

42:9=4 (ülejäänud 6)

Vastus: 9 ei ole 42 jagaja, sest vastuses on jääk.

Jagaja erineb kordsest selle poolest, et jagaja on arv, millega naturaalarvud jagatakse, ja kordne ise jagub selle arvuga.

Suurim arvude ühisjagaja a Ja b, korrutatuna nende vähima kordsega, saadakse arvude endi korrutis a Ja b.

Nimelt: gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b.

Keerukamate arvude ühiskordsed leitakse järgmisel viisil.

Näiteks leidke LCM 168, 180, 3024 jaoks.

Arvutame need arvud algteguriteks ja kirjutame need võimsuste korrutisena:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

LCM(168; 180; 3024) = 15120.