De la notación a = b q se deduce que b es divisor de a y que a es múltiplo de b. Divisores y múltiplos
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“Notación decimal de números fraccionarios” - Escribe el numerador de la parte fraccionaria. “¿Qué es la aritmética? Notación decimal de números fraccionarios. Simón Stevin (1548 – 1620). Iguale, si es necesario, el número de dígitos después del punto decimal. L.F. Magnitsky (1669-1739). MV Abanina. Utilice una coma para separar la parte entera de la parte fraccionaria.
“Divisores y múltiplos” - TEMA: Divisores y múltiplos. Números perfectos. Calcular oralmente. Elija entre los números: tres palmadas, tres palmadas, tres movimientos de cabeza. Doble una vez, enderece, Doble dos veces, levántese. Educación Física. ¿Qué divisores del número 24 no están entre estos números? Anota en tus cuadernos el número y tema de la lección: “Divisores y múltiplos”.
Definición 1. deja el numero a 1) es el producto de dos números b Y q Entonces a=bq. Entonces a llamado múltiplo b.
1) En este artículo la palabra número se entenderá como un número entero.
También se podría decir a dividido por b, o b hay un divisor a, o b divide a, o b se incluye como multiplicador en a.
Las siguientes afirmaciones se derivan de la Definición 1:
Declaración1. Si a-múltiple b, b-múltiple C, Eso a múltiple C.
En realidad. Porque
Dónde metro Y norte algunos números entonces
Por eso a dividido por C.
Si en una serie de números cada uno es divisible por el siguiente, entonces cada número es múltiplo de todos los números posteriores.
Declaración 2. si los numeros a Y b- múltiplos C, entonces su suma y diferencia también son múltiplos C.
En realidad. Porque
a+b=mc+nc=(m+n)c,
a−b=mc−nc=(m−n)c.
Por eso a+b dividido por C Y a-b dividido por C .
Signos de divisibilidad
Derivemos una fórmula general para determinar la prueba de la divisibilidad de números por algún número natural. metro, que se llama prueba de divisibilidad de Pascal.
Encontremos los restos de la división por metro la siguiente secuencia. Dividamos el resto de 10 entre metro voluntad r 1, 10 y punto medio r 1 por metro voluntad r 2, etc Entonces podemos escribir:
Demostremos que el resto al dividir un número A en metro igual al resto de la división del número
| (3) |
Como sabes, si dos números se dividen por algún número metro da el mismo resto, luego la diferencia se divide por metro sin dejar rastro.
Consideremos la diferencia AA-AA"
  | (6) |
 | (7) |
Cada término del lado derecho de (5) se divide por metro por lo tanto el lado izquierdo de la ecuación también es divisible por metro. Razonando de manera similar, obtenemos que el lado derecho de (6) se divide por metro, por lo tanto el lado izquierdo de (6) también es divisible por metro, el lado derecho de (7) se divide en metro, por lo tanto el lado izquierdo de (7) también se divide en metro. Encontramos que el lado derecho de la ecuación (4) es divisible por metro. Por eso A Y A" tiene el mismo resto al dividirlo por metro. En este caso dicen que A Y A" residual igual o comparable en módulo metro.
Así, si A" dividido por metro metro) , Eso A también dividido en metro(tiene un resto cero cuando se divide por metro). Hemos demostrado que para determinar la divisibilidad A puedes determinar la divisibilidad de un número más simple A".
Con base en la expresión (3), es posible obtener criterios de divisibilidad para números específicos.
Signos de divisibilidad de los números 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Prueba de divisibilidad por 2.
Siguiendo el procedimiento (1) para metro=2, obtenemos:
Todos los restos cuando se dividen por 2 son cero. Entonces, de la ecuación (3) tenemos
Todos los restos de la división por 3 son iguales a 1. Entonces, de la ecuación (3) tenemos
Todos los restos de la división por 4 excepto el primero son iguales a 0. Entonces, de la ecuación (3) tenemos
Todos los restos son cero. Entonces, de la ecuación (3) tenemos
Todos los restos son iguales a 4. Entonces, de la ecuación (3) tenemos
Por lo tanto, un número es divisible por 6 si y sólo si el número cuádruple de decenas sumado al número de unidades es divisible por 6. Es decir, descartamos el dígito derecho del número, luego sumamos el número resultante con 4 y sumamos el número descartado. Si un número dado es divisible por 6, entonces el número original es divisible por 6.
Ejemplo. 2742 es divisible por 6 porque 274*4+2=1098, 1098=109*4+8=444, 444=44*4+4=180 se divide por 6.
Un signo más simple de divisibilidad. Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y 3 (es decir, si es un número par y si la suma de las cifras es divisible por 3). El número 2742 es divisible por 6 porque... el número es par y 2+7+4+2=15 es divisible por 3.
Prueba de divisibilidad por 7.
Siguiendo el procedimiento (1) para metro=7, obtenemos:
 |
Todos los residuos son diferentes y se repiten después de 7 pasos. Entonces, de la ecuación (3) tenemos
Todos los restos son todos cero, excepto los dos primeros. Entonces, de la ecuación (3) tenemos
Todos los restos de la división por 9 son iguales a 1. Entonces, de la ecuación (3) tenemos
Todos los restos de la división por 10 son iguales a 0. Entonces, de la ecuación (3) tenemos
 |
Por lo tanto, un número es divisible por 10 si y sólo si el último dígito es divisible por 10 (es decir, el último dígito es cero).
En este artículo discutiremos divisores y múltiplos. Aquí daremos las definiciones de divisor y múltiplo. Estas definiciones nos permitirán dar ejemplos de divisores y múltiplos de varios números enteros. Consideraremos por separado los divisores de uno y menos uno, y también hablaremos de divisores y múltiplos de cero.
Navegación de páginas.
Divisores de números: definición, ejemplos
primero vamos a dar definición de divisor número entero.
Definición.
Divisor el número entero a es el número entero b por el cual a es divisible uniformemente.
El número natural 1 tiene un único divisor positivo: el número 1. Este hecho lo distingue de otros números naturales, ya que los números naturales distintos del uno tienen al menos dos divisores, a saber, él mismo y 1. Dependiendo de la ausencia o presencia de divisores distintos del propio número natural y el uno, se distinguen números primos y compuestos.
Uno es el divisor positivo más pequeño de un número natural a distinto de 1, y el número a en sí es el mayor divisor positivo (hablamos de los números más grande y más pequeño en la sección). Es decir, para cualquier número natural a, cualquier divisor positivo b satisface la condición.
Múltiplos: definición, ejemplos
vamos a dar definicion de multiple.
Definición.
Múltiple El número entero b es un número entero a que es divisible por b.
En otras palabras, un múltiplo de un número entero b es un número entero a que se puede representar en la forma a=b·q, donde q es un número entero.
Si a es múltiplo de un número entero b, entonces se dice que a es múltiplo de b. En este caso se utiliza la notación ab.
La definición de múltiple y divisible indica claramente la conexión entre ellos. De hecho, por definición, si a es múltiplo de b, entonces b es divisor de a, y viceversa, si b es divisor de a, entonces a es múltiplo de b.
vamos a dar ejemplos de múltiplos. Por ejemplo, el número entero −12 es múltiplo de 3, ya que −12=3·(−4) . Otros múltiplos de 3 son los números enteros 0, 3, −3, 6, −6, 9, −9, etc. Pero el número 7 no es múltiplo del entero 3, ya que 7 no es divisible por 3 sin resto, es decir, no existe ningún número entero q tal que se cumpla la igualdad 7=3·q.
De la definición de múltiplo, queda claro que cero es un múltiplo de cualquier número entero b, incluido el cero. La igualdad 0=b·0 en este caso parece muy convincente.
Tenga en cuenta que hay infinitos múltiplos de cualquier número entero b, ya que hay infinitos números enteros, y cualquier número entero igual al producto b·q, donde q es un número entero arbitrario, es un múltiplo de b.
El múltiplo positivo más pequeño de un número positivo a dado es el número a mismo. También vale la pena prestar atención al hecho de que el mínimo múltiplo positivo no debe confundirse con el mínimo común múltiplo (MCM) de varios números.
Además, sólo podemos considerar múltiplos naturales de números enteros positivos. Podemos hacer esto por las mismas razones que se mencionaron en el primer párrafo de este artículo, y no se violará la generalidad de la presentación.
Bibliografía.
- Vilenkin N.Ya. y otros. 6to grado: libro de texto para instituciones de educación general.
- Vinogradov I.M. Fundamentos de la teoría de números.
- Mikhelovich Sh.H. Teoría de los números.
- Kulikov L.Ya. y otros. Colección de problemas de álgebra y teoría de números: Libro de texto para estudiantes de física y matemáticas. especialidades de institutos pedagógicos.
El tema “Números Múltiples” se estudia en 5º grado de secundaria. Su objetivo es mejorar las habilidades de cálculo matemático oral y escrito. En esta lección, se introducen nuevos conceptos: se practican "números múltiples" y "divisores", la técnica de encontrar divisores y múltiplos de un número natural y la capacidad de encontrar MCM de varias maneras.
Este tema es muy importante. Su conocimiento se puede aplicar al resolver ejemplos con fracciones. Para hacer esto, necesitas encontrar el denominador común calculando el mínimo común múltiplo (MCM).
Un múltiplo de A es un número entero que es divisible por A sin resto.
Todo número natural tiene un número infinito de múltiplos de él. En sí mismo se considera el más pequeño. El múltiplo no puede ser menor que el número mismo.
Debes demostrar que el número 125 es múltiplo de 5. Para hacer esto, debes dividir el primer número por el segundo. Si 125 es divisible por 5 sin resto, entonces la respuesta es sí.
Este método es aplicable para números pequeños.
Existen casos especiales al calcular el LOC.
1. Si necesitas encontrar un múltiplo común de 2 números (por ejemplo, 80 y 20), donde uno de ellos (80) es divisible por el otro (20), entonces este número (80) es el menor múltiplo de estos. dos números.
MCM(80, 20) = 80.
2. Si dos no tienen un divisor común, entonces podemos decir que su MCM es el producto de estos dos números.
MCM(6, 7) = 42.
Veamos el último ejemplo. 6 y 7 con relación a 42 son divisores. Dividen un múltiplo de un número sin resto.
En este ejemplo, 6 y 7 son factores pareados. Su producto es igual al número más múltiplo (42).
Un número se llama primo si es divisible sólo por sí mismo o por 1 (3:1=3; 3:3=1). El resto se llama compuesto.
Otro ejemplo consiste en determinar si 9 es divisor de 42.
42:9=4 (resto 6)
Respuesta: 9 no es divisor de 42 porque la respuesta tiene resto.
Un divisor se diferencia de un múltiplo en que el divisor es el número por el que se dividen los números naturales y el múltiplo en sí es divisible por este número.
Máximo común divisor de números a Y b, multiplicado por su mínimo múltiplo, dará el producto de los números mismos a Y b.
A saber: mcd (a, b) x mcd (a, b) = a x b.
Los múltiplos comunes de números más complejos se encuentran de la siguiente manera.
Por ejemplo, encuentre el MCM para 168, 180, 3024.
Factorizamos estos números en factores primos y los escribimos como producto de potencias:
168=2³x3¹x7¹
2⁴х3³х5¹х7¹=15120
MCM(168, 180, 3024) = 15120.
