Lösen trigonometrischer Gleichungen, die sich auf quadratische Gleichungen reduzieren lassen. Grundlegende Methoden zur Lösung trigonometrischer Gleichungen

Die wichtigsten Methoden zum Lösen trigonometrischer Gleichungen sind: Reduzieren der Gleichungen auf die einfachste Form (unter Verwendung trigonometrischer Formeln), Einführen neuer Variablen und Faktorisieren. Schauen wir uns ihre Verwendung anhand von Beispielen an. Achten Sie auf das Format beim Schreiben von Lösungen für trigonometrische Gleichungen.

Eine notwendige Voraussetzung für die erfolgreiche Lösung trigonometrischer Gleichungen ist die Kenntnis trigonometrischer Formeln (Thema 13 der Arbeit 6).

Beispiele.

1. Gleichungen auf das Einfachste reduziert.

1) Lösen Sie die Gleichung

Lösung:

Antwort:

2) Finden Sie die Wurzeln der Gleichung

(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, zum Segment gehörend.

Lösung:

Antwort:

2. Gleichungen, die sich auf quadratisch reduzieren lassen.

1) Lösen Sie die Gleichung 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.

Lösung: Mit der Formel sin 2 x = 1 – cos 2 x erhalten wir

Antwort:

2) Lösen Sie die Gleichung cos 2x = 1 + 4 cosx.

Lösung: Mit der Formel cos 2x = 2 cos 2 x – 1 erhalten wir

Antwort:

3) Lösen Sie die Gleichung tgx – 2ctgx + 1 = 0

Lösung:

Antwort:

3. Homogene Gleichungen

1) Lösen Sie die Gleichung 2sinx – 3cosx = 0

Lösung: Sei cosx = 0, dann ist 2sinx = 0 und sinx = 0 – ein Widerspruch zur Tatsache, dass sin 2 x + cos 2 x = 1. Das bedeutet cosx ≠ 0 und wir können die Gleichung durch cosx dividieren. Wir bekommen

Antwort:

2) Lösen Sie die Gleichung 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x

Lösung:

Wir verwenden die Formeln 1 = sin 2 x + cos 2 x und sin 2x = 2 sinxcosx, wir erhalten

sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

Sei cosx = 0, dann ist sin 2 x = 0 und sinx = 0 – ein Widerspruch zu der Tatsache, dass sin 2 x + cos 2 x = 1.
Das bedeutet cosx ≠ 0 und wir können die Gleichung durch cos 2 x dividieren . Wir bekommen

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
Bezeichnen wir tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2 = 2
a) tgx = 4, x= arctan4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x= arctan2 + 2 k, k .

Antwort: arctg4 + 2 k, arctan2 + 2 k, k

4. Gleichungen der Form A sinx + B cosx = s, s≠ 0.

1) Lösen Sie die Gleichung.

Lösung:

Antwort:

5. Durch Faktorisierung gelöste Gleichungen.

1) Lösen Sie die Gleichung sin2x – sinx = 0.

Wurzel der Gleichung F (X) = φ ( X) kann nur als Zahl 0 dienen. Überprüfen wir Folgendes:

cos 0 = 0 + 1 – die Gleichheit ist wahr.

Die Zahl 0 ist die einzige Wurzel dieser Gleichung.

Antwort: 0.

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Aufmerksamkeit! Folienvorschauen dienen nur zu Informationszwecken und stellen möglicherweise nicht alle Funktionen der Präsentation dar. Wenn Sie an dieser Arbeit interessiert sind, laden Sie bitte die Vollversion herunter.

Ziele und Zielsetzungen des Unterrichts.

• Lehrreich:
  • wiederholen: Definition und Methoden zur Lösung einfacher trigonometrischer Gleichungen; Definition der quadratischen Gleichung, Diskriminanzformel und Wurzeln der quadratischen Gleichung
  • Kenntnisse über die Besonderheiten und Methoden zur Lösung trigonometrischer Gleichungen zu erwerben, die auf quadratische Gleichungen reduziert werden können.
  • in der Lage sein: unter trigonometrischen Gleichungen trigonometrische Gleichungen zu identifizieren, die auf quadratische Gleichungen reduziert werden können, und sie zu lösen.
• Entwicklung:
  • das logische Denken, das Gedächtnis, die Aufmerksamkeit und die Sprache der Schüler entwickeln; Fähigkeit, das Wesentliche zu begründen und hervorzuheben; die Fähigkeit, sich selbstständig Wissen anzueignen und in der Praxis anzuwenden, Fähigkeiten zur Selbstkontrolle und gegenseitigen Kontrolle zu entwickeln.
• Lehrreich:
  • kultivieren Sie Respekt vor Klassenkameraden, Unabhängigkeit, Verantwortung, ästhetischen Geschmack, Ordentlichkeit und Interesse an Mathematik.

Ausrüstung: Multimedia-Beamer, Leinwand, Selbsteinschätzungsbogen.

Organisatorische Kommunikationsformen: frontal, Gruppe, Einzelperson.

Unterrichtsart: neues Wissen beherrschen.

Bildungstechnologien: IKT, Design.

Unterrichtsplan.

1. Organisatorischer Moment, Bildung der Arbeitsmotivation der Studierenden.
2. Formulierung des Themas, Unterrichtsziele.
3. Aktualisierung des Wissens und Vorbereitung der Studierenden auf das aktive und bewusste Erlernen neuer Materialien.
4. Die Phase der Assimilation neuen Wissens und Handlungsmethoden.
5. Phase der aktiven Entspannung und Aktivierung.
6. Die Phase der ersten Prüfung des Verständnisses des Gelernten.
7. Reflexions- und Bewertungsphase. Zusammenfassung der Lektion.
8. Die Phase, in der die Schüler über Hausaufgaben informiert und ihnen erklärt wird, wie sie diese erledigen sollen.

Vorarbeit

Die Schüler der Klasse müssen vorab in Gruppen eingeteilt werden. Der Lehrer hat das Recht, das Prinzip der Einteilung der Schüler in Gruppen selbstständig zu wählen.
Eine der Optionen sind Gruppen, die Studierende mit unterschiedlichen mathematischen Vorbereitungsniveaus umfassen würden: von „Grundkenntnissen“ bis „Fortgeschritten“.
Jede Gruppe erhält zunächst die Aufgabe, einen Algorithmus zur Lösung einer der Arten trigonometrischer Gleichungen zu studieren (es werden vom Lehrer vorgeschlagene und unabhängig gefundene Informationsquellen verwendet). Die Mitglieder jeder Gruppe präsentieren die Ergebnisse ihrer Arbeit in einer der Lektionen zum Thema „Trigonometrische Gleichungen“. Abhängig vom Umfang des vorgeschlagenen Materials und seiner Komplexität können 1-2 Gruppen Zeit haben, in einer Unterrichtsstunde zu sprechen und die Ergebnisse ihrer Arbeit vorzustellen.
Wir präsentieren Ihnen eine Lektion, in der es um die Lösung trigonometrischer Gleichungen geht, die sich auf quadratische Gleichungen reduzieren lassen.

Vom Haus der Realität aus kann man leicht in den Wald der Mathematik wandern, aber nur wenige können zurückkehren.

H. Steinhaus

Je mehr ein Mensch Mensch wird, desto weniger wird er mit etwas anderem als einer endlosen und unzerstörbaren Bewegung zum Neuen einverstanden sein.

Pierre Chardin

WÄHREND DES UNTERRICHTS

1. Organisatorischer Moment, Bildung der studentischen Arbeitsmotivation ( 3 Minuten.)

Grüße. Abwesenheiten erfassen, Unterrichtsbereitschaft der Schüler prüfen. Als nächstes erhält jeder Schüler einen Bewertungsbogen. Der Lehrer geht kurz auf die Regeln zum Ausfüllen des Bewertungsbogens ein und schlägt vor, 1-3 Zeilen auszufüllen. Anhang 1 .
Organisation der Aufmerksamkeit der Schüler: Der Lehrer zitiert den Schülern Pierre Chardin, bietet an zu erklären, wie sie die Bedeutung der Wörter verstanden haben (Sie können 2-3 Personen zuhören), schlägt vor, die Wörter zum Motto der Lektion zu machen und fragt, ob sie wissen, wer ihr Autor ist. Kurzer historischer Hintergrund (Folie 3).

*Anweisungen zur Verwendung der Präsentation – Anlage 2 .

2. Formulierung des Themas, Unterrichtsziele(2-3 Min.).

Der Lehrer bittet darum, das Thema der vorherigen Lektion zu formulieren (Einfache trigonometrische Gleichungen lösen). Fragen Sie die Schüler, was ihrer Meinung nach andere Arten trigonometrischer Gleichungen gibt. (Ja. Wenn es „einfachste“ gibt, dann gibt es auch komplexere, andernfalls besteht keine Notwendigkeit, den Begriff „einfachste“ einzuführen, wenn dies die einzige Art trigonometrischer Gleichungen ist.) Auf der Grundlage des oben Gesagten schlägt er vor, das Thema der heutigen Lektion zu formulieren (Lösung komplexer/anderer/verschiedener Arten trigonometrischer Gleichungen).
Nachdem er das Thema angepasst hat, fordert er die Schüler auf, in ihren Notizbüchern Folgendes aufzuschreiben: das Datum der Unterrichtsstunde, den Satz „Coole Arbeit“ und das Thema der Unterrichtsstunde „Verschiedene Arten trigonometrischer Gleichungen lösen: Gleichungen, die sich auf quadratische Gleichungen reduzieren lassen.“
Jeder Schüler hat Apfelvorlagen und Marker auf seinem Schreibtisch. Es wird vorgeschlagen, auf die „Äpfel“ Ihre Erwartungen für die kommende Unterrichtsstunde zu schreiben, deren Thema bereits formuliert wurde. Anschließend werden alle Apfel-Vorlagen beispielsweise mit Klebeband auf einem vorbereiteten Poster mit dem Bild eines Baumes befestigt. Es stellt sich heraus, dass es sich um einen „Baum der Erwartungen“ handelt.

Wenn diese oder jene Erwartung erfüllt ist, kann der entsprechende Apfel als reif betrachtet und im Korb gesammelt werden. Die Verwendung dieser aktiven Lernmethode ist eine klare Möglichkeit, den Fortschritt der Schüler im Unterricht zu verfolgen.

Eine andere Option ist möglich: Der Lehrer stellt den Schülern eine Sanduhr vor und bittet sie, eine Frage zu beantworten, was sie in einer Unterrichtsstunde lernen möchten, deren Thema bereits formuliert wurde (1-2 Optionen reichen aus).

3. Wissen aktualisieren und Vorbereitung der Schüler auf das aktive und bewusste Lernen neuer Materialien (10 Min.).

Lehrer. Herbert Spencer sagte, wenn das Wissen einer Person in einem ungeordneten Zustand sei, dann werde ihr Denken umso ungeordneter, je mehr davon sie habe. Folgen wir dem Rat dieses berühmten britischen Philosophen (Informationen zur allgemeinen persönlichen Entwicklung – ein kurzer historischer Hintergrund. (Folie 5) Bevor wir mit dem Studium neuen Materials fortfahren, erinnern wir uns an das, was wir aus dem Abschnitt „Trigonometrie“ wissen.

Frontarbeit(oral)

– Geben Sie die Definition einer trigonometrischen Gleichung an.
– Wie viele Wurzeln kann eine trigonometrische Gleichung haben?
– Was sind die einfachsten trigonometrischen Gleichungen?
– Was bedeutet es, die einfachste trigonometrische Gleichung zu lösen?
– Welche Methoden zur Lösung trigonometrischer Gleichungen kennen Sie? (2 Optionen: Formeln; Einheitskreis).

a) Füllen Sie die Tabelle aus:

b) Ordnen Sie die Gleichungen den auf Einheitskreisen dargestellten Lösungen zu (mit Kommentar)

Selbstständige Arbeit (Anhang 3 )

Anschließend erfolgt ein gegenseitiger Test/Selbsttest (die Richtigkeit der Antworten wird anhand einer Präsentation überprüft) der Fähigkeit, einfache trigonometrische Gleichungen zu lösen. Demonstriert (Folie 12). Bei Bedarf werden Lösungen zu einigen Gleichungen kurz kommentiert.

4. Phase der Aneignung neuer Erkenntnisse und Handlungsmethoden(15 Minuten.).

Die Schüler der Klasse wurden zuvor in Gruppen eingeteilt, die jeweils unabhängig voneinander anhand des vom Lehrer empfohlenen Materials eine der Arten trigonometrischer Gleichungen untersuchten und unabhängig voneinander fanden.
Die Ergebnisse der Arbeit werden in Form eines Empfehlungs-/Algorithmus-/Lösungsdiagramms im Power-Point-Präsentationsformat dargestellt. Der Lehrer berät bei Bedarf die Schüler in Gruppen und prüft vorab das Endprodukt ihrer Arbeit.
Einer der Vertreter der Gruppe wird ausgewählt, um die Ergebnisse der einen oder anderen Lösungsmethode im Unterricht vorzustellen; der Rest der Klasse hilft bei der Beantwortung von Fragen, die sich im Zusammenhang mit der Lösung dieser Art trigonometrischer Gleichung ergeben. Die Studierenden werden vorab mit den Kriterien zur Bewertung ihrer Arbeit in der Gruppe vertraut gemacht.

Ich muss meine Zeit einteilen
zwischen Politik und Gleichungen.
Allerdings sind meiner Meinung nach die Gleichungen viel wichtiger.
Politik existiert nur für diesen Moment,
und die Gleichungen werden für immer bestehen.

Mögliche Möglichkeiten, die Aufgabe als Gruppe zu erledigen. (Folien 14-18)

1 Gruppe. Lösen trigonometrischer Gleichungen, die sich auf quadratische Gleichungen reduzieren lassen.

Besonderheiten von Gleichungen, die auf das Quadratische reduziert werden:

1. Die Gleichung enthält trigonometrische Funktionen eines Arguments oder sie können leicht auf ein Argument reduziert werden.
2. Es gibt nur eine trigonometrische Funktion in der Gleichung oder alle Funktionen können auf eine reduziert werden.

Lösungsalgorithmus:

– Die folgenden Identitäten werden verwendet; Mit ihrer Hilfe ist es notwendig, eine trigonometrische Funktion durch eine andere auszudrücken:

– Auswechslung läuft.
– Der Ausdruck wird konvertiert.
– Geben Sie eine Notation ein (z. B. sin X = j).
– Eine quadratische Gleichung wird gelöst.
– Der Wert der angegebenen Größe wird eingesetzt und die trigonometrische Gleichung gelöst.

Beispiel 1

6cos 2 x + 5 sin x – 7 = 0.

Lösung.

Beispiel 2

Beispiel 3

5. Phase der aktiven Entspannung und Aktivierung(2 Minuten.).

6. Phase der ersten Überprüfung des Verständnisses des Gelernten(8 Min.)

Selbstständige Arbeit(Anhang 5 )

Die Arbeit ist differenziert, jede Aufgabenkomplexitätsstufe wird in zwei Versionen dargestellt.
Stufe I – „3“, Stufe II – „4“, Stufe III – „5“ bei vollständig richtiger Lösung. Für die nächste Unterrichtsstunde wird die Arbeit vom Lehrer überprüft und für die Unterrichtsstunde werden Noten vergeben.

7. Reflexions- und Bewertungsphase. Zusammenfassung der Lektion(2 Minuten.).

Füllen Sie Punkt Nr. 6.7 des Selbstauskunftsbogens aus - Anhang 1 .

8. Phase der Information der Schüler über Hausaufgaben, Anleitung zur Umsetzung (2 Min.).

Differenziert (auf separaten Blättern an jeden Schüler verteilt) – Anhang 6

Referenzliste:

1. Kornilov S.V., Kornilova L.E. Methodische Truhe. – Petrosawodsk: PetroPress, 2002. – 12 S.

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Eine Gleichheit, die eine Unbekannte unter dem Vorzeichen einer trigonometrischen Funktion („sin x, cos x, tan x“ oder „ctg x“) enthält, wird als trigonometrische Gleichung bezeichnet, und ihre Formeln werden wir weiter betrachten.

Die einfachsten Gleichungen sind „sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a“, wobei „x“ der zu findende Winkel und „a“ eine beliebige Zahl ist. Schreiben wir die Grundformeln für jede von ihnen auf.

1. Gleichung „sin x=a“.

Für `|a|>1` gibt es keine Lösungen.

Wenn `|a| \leq 1` hat unendlich viele Lösungen.

Wurzelformel: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Gleichung „cos x=a“.

Für „|a|>1“ – wie im Fall des Sinus – gibt es keine Lösungen unter reellen Zahlen.

Wenn `|a| \leq 1` hat unendlich viele Lösungen.

Wurzelformel: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Sonderfälle für Sinus und Cosinus in Diagrammen.

3. Gleichung „tg x=a“.

Hat unendlich viele Lösungen für alle Werte von „a“.

Wurzelformel: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Gleichung „ctg x=a“.

Es gibt auch unendlich viele Lösungen für alle Werte von „a“.

Wurzelformel: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Formeln für die Wurzeln trigonometrischer Gleichungen in der Tabelle

Für Sinus:
Für Kosinus:
Für Tangens und Kotangens:
Formeln zum Lösen von Gleichungen mit inversen trigonometrischen Funktionen:

Methoden zur Lösung trigonometrischer Gleichungen

Das Lösen einer trigonometrischen Gleichung besteht aus zwei Schritten:

• mit Hilfe der Umwandlung in das Einfachste;
• Lösen Sie die einfachste Gleichung, die Sie mit den oben beschriebenen Wurzelformeln und Tabellen erhalten haben.

Schauen wir uns die wichtigsten Lösungsmethoden anhand von Beispielen an.

Algebraische Methode.

Bei dieser Methode wird eine Variable ersetzt und durch eine Gleichheit ersetzt.

Beispiel. Lösen Sie die Gleichung: „2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0“.

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

Ersetzen Sie: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, dann `2y^2-3y+1=0`,

Wir finden die Wurzeln: `y_1=1, y_2=1/2`, woraus zwei Fälle folgen:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Antwort: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorisierung.

Beispiel. Lösen Sie die Gleichung: „sin x+cos x=1“.

Lösung. Verschieben wir alle Terme der Gleichheit nach links: „sin x+cos x-1=0“. Mit transformieren und faktorisieren wir die linke Seite:

„sin x — 2sin^2 x/2=0“,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Antwort: „x_1=2\pi n“, „x_2=\pi/2+ 2\pi n“.

Reduktion auf eine homogene Gleichung

Zuerst müssen Sie diese trigonometrische Gleichung auf eine von zwei Formen reduzieren:

„a sin x+b cos x=0“ (homogene Gleichung ersten Grades) oder „a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0“ (homogene Gleichung zweiten Grades).

Teilen Sie dann beide Teile durch „cos x \ne 0“ – für den ersten Fall, und durch „cos^2 x \ne 0“ – für den zweiten. Wir erhalten Gleichungen für „tg x“: „a tg x+b=0“ und „a tg^2 x + b tg x +c =0“, die mit bekannten Methoden gelöst werden müssen.

Beispiel. Lösen Sie die Gleichung: „2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1“.

Lösung. Schreiben wir die rechte Seite als „1=sin^2 x+cos^2 x“:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Dies ist eine homogene trigonometrische Gleichung zweiten Grades, wir teilen ihre linke und rechte Seite durch „cos^2 x \ne 0“, wir erhalten:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Lassen Sie uns den Ersatz „tg x=t“ einführen, was zu „t^2 + t - 2=0“ führt. Die Wurzeln dieser Gleichung sind „t_1=-2“ und „t_2=1“. Dann:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

Antwort. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Übergang zum Halbwinkel

Beispiel. Lösen Sie die Gleichung: „11 sin x – 2 cos x = 10“.

Lösung. Wenden wir die Doppelwinkelformeln an, was zu Folgendem führt: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Unter Anwendung der oben beschriebenen algebraischen Methode erhalten wir:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Antwort. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Einführung des Hilfswinkels

In der trigonometrischen Gleichung „a sin x + b cos x =c“, wobei a,b,c Koeffizienten sind und x eine Variable ist, dividieren Sie beide Seiten durch „sqrt (a^2+b^2)“:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2 ) +b^2))`.

Die Koeffizienten auf der linken Seite haben die Eigenschaften von Sinus und Cosinus, nämlich dass die Summe ihrer Quadrate gleich 1 ist und ihre Module nicht größer als 1 sind. Bezeichnen wir sie wie folgt: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, dann:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Schauen wir uns das folgende Beispiel genauer an:

Beispiel. Lösen Sie die Gleichung: „3 sin x+4 cos x=2“.

Lösung. Teilen Sie beide Seiten der Gleichheit durch „sqrt (3^2+4^2)“, wir erhalten:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

„3/5 sin x+4/5 cos x=2/5“.

Bezeichnen wir „3/5 = cos \varphi“, „4/5=sin \varphi“. Da „sin \varphi>0“, „cos \varphi>0“, dann nehmen wir „\varphi=arcsin 4/5“ als Hilfswinkel. Dann schreiben wir unsere Gleichheit in der Form:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Wenn wir die Formel für die Winkelsumme für den Sinus anwenden, schreiben wir unsere Gleichheit in der folgenden Form:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Antwort. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Bruchrationale trigonometrische Gleichungen

Dabei handelt es sich um Gleichungen mit Brüchen, deren Zähler und Nenner trigonometrische Funktionen enthalten.

Beispiel. Löse die Gleichung. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Lösung. Lassen Sie uns die rechte Seite der Gleichheit mit „(1+cos x)“ multiplizieren und dividieren. Als Ergebnis erhalten wir:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Wenn man bedenkt, dass der Nenner nicht gleich Null sein kann, erhalten wir „1+cos x \ne 0“, „cos x \ne -1“, „x \ne \pi+2\pi n, n \in Z“.

Setzen wir den Zähler des Bruchs mit Null gleich: „sin x-sin^2 x=0“, „sin x(1-sin x)=0“. Dann ist „sin x=0“ oder „1-sin x=0“.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Vorausgesetzt, dass „x \ne \pi+2\pi n, n \in Z“, sind die Lösungen „x=2\pi n, n \in Z“ und „x=\pi /2+2\pi n“. , `n \in Z`.

Antwort. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Trigonometrie und insbesondere trigonometrische Gleichungen werden in fast allen Bereichen der Geometrie, Physik und Technik verwendet. Das Studium beginnt in der 10. Klasse, es gibt immer Aufgaben für das Einheitliche Staatsexamen, also versuchen Sie, sich alle Formeln der trigonometrischen Gleichungen zu merken – sie werden Ihnen auf jeden Fall nützlich sein!

Sie müssen sie jedoch nicht einmal auswendig lernen, die Hauptsache ist, das Wesentliche zu verstehen und daraus ableiten zu können. Es ist nicht so schwierig, wie es scheint. Überzeugen Sie sich selbst, indem Sie sich das Video ansehen.

Lektion und Präsentation zum Thema: „Einfache trigonometrische Gleichungen lösen“

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Was wir studieren werden:
1. Was sind trigonometrische Gleichungen?

3. Zwei Hauptmethoden zur Lösung trigonometrischer Gleichungen.
4. Homogene trigonometrische Gleichungen.
5. Beispiele.

Was sind trigonometrische Gleichungen?

Leute, wir haben bereits Arkussinus, Arkuskosinus, Arkustangens und Arkuskotangens studiert. Schauen wir uns nun trigonometrische Gleichungen im Allgemeinen an.

Trigonometrische Gleichungen sind Gleichungen, in denen eine Variable im Vorzeichen einer trigonometrischen Funktion enthalten ist.

Wiederholen wir die Form der Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen:

1)Wenn |a|≤ 1, dann hat die Gleichung cos(x) = a eine Lösung:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Wenn |a|≤ 1, dann hat die Gleichung sin(x) = a eine Lösung:

3) Wenn |a| > 1, dann haben die Gleichungen sin(x) = a und cos(x) = a keine Lösungen. 4) Die Gleichung tg(x)=a hat eine Lösung: x=arctg(a)+ πk

5) Die Gleichung ctg(x)=a hat eine Lösung: x=arcctg(a)+ πk

Für alle Formeln ist k eine ganze Zahl

Die einfachsten trigonometrischen Gleichungen haben die Form: T(kx+m)=a, T ist eine trigonometrische Funktion.

Beispiel.

Lösen Sie die Gleichungen: a) sin(3x)= √3/2

Lösung:

A) Bezeichnen wir 3x=t, dann schreiben wir unsere Gleichung in der Form um:

Die Lösung dieser Gleichung lautet: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Aus der Wertetabelle erhalten wir: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Kehren wir zu unserer Variablen zurück: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Dann ist x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Antwort: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, wobei n eine ganze Zahl ist. (-1)^n – minus eins hoch n.

Weitere Beispiele für trigonometrische Gleichungen.

Lösen Sie die Gleichungen: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Lösung:

A) Kommen wir dieses Mal direkt zur Berechnung der Wurzeln der Gleichung:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Dann ist x/5= πk => x=5πk

Antwort: x=5πk, wobei k eine ganze Zahl ist.

B) Wir schreiben es in der Form: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Wir wissen: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Antwort: x=2π/9 + πk/3, wobei k eine ganze Zahl ist.

Lösen Sie die Gleichungen: cos(4x)= √2/2. Und finden Sie alle Wurzeln im Segment.

Lösung:

Lösen wir unsere Gleichung in allgemeiner Form: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Sehen wir uns nun an, welche Wurzeln in unserem Segment liegen. Bei k Bei k=0, x= π/16 befinden wir uns im gegebenen Segment.
Mit k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 treffen wir erneut.
Für k=2, x= π/16+ π=17π/16, aber hier haben wir nicht getroffen, was bedeutet, dass wir für große k offensichtlich auch nicht getroffen haben.

Antwort: x= π/16, x= 9π/16

Zwei Hauptlösungsmethoden.

Wir haben uns die einfachsten trigonometrischen Gleichungen angesehen, es gibt aber auch komplexere. Um sie zu lösen, werden die Methode der Einführung einer neuen Variablen und die Faktorisierungsmethode verwendet. Schauen wir uns Beispiele an.

Lösen wir die Gleichung:

Lösung:
Um unsere Gleichung zu lösen, verwenden wir die Methode der Einführung einer neuen Variablen mit der Bezeichnung: t=tg(x).

Als Ergebnis der Ersetzung erhalten wir: t 2 + 2t -1 = 0

Finden wir die Wurzeln der quadratischen Gleichung: t=-1 und t=1/3

Dann ist tg(x)=-1 und tg(x)=1/3, wir erhalten die einfachste trigonometrische Gleichung, finden wir ihre Wurzeln.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Antwort: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Ein Beispiel für die Lösung einer Gleichung

Gleichungen lösen: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Lösung:

Verwenden wir die Identität: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Unsere Gleichung wird die Form annehmen: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Führen wir den Ersatz t=cos(x) ein: 2t 2 -3t - 2 = 0

Die Lösung unserer quadratischen Gleichung sind die Wurzeln: t=2 und t=-1/2

Dann ist cos(x)=2 und cos(x)=-1/2.

Weil Kosinus kann keine Werte größer als eins annehmen, dann hat cos(x)=2 keine Wurzeln.

Für cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Antwort: x= ±2π/3 + 2πk

Homogene trigonometrische Gleichungen.

Definition: Gleichungen der Form a sin(x)+b cos(x) heißen homogene trigonometrische Gleichungen ersten Grades.

Gleichungen der Form

homogene trigonometrische Gleichungen zweiten Grades.

Um eine homogene trigonometrische Gleichung ersten Grades zu lösen, dividieren Sie sie durch cos(x): Sie können nicht durch den Kosinus dividieren, wenn dieser gleich Null ist. Stellen wir sicher, dass dies nicht der Fall ist:
Sei cos(x)=0, dann ist asin(x)+0=0 => sin(x)=0, aber Sinus und Cosinus sind nicht gleichzeitig gleich Null, wir erhalten einen Widerspruch, sodass wir sicher dividieren können um Null.

Löse die Gleichung:
Beispiel: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Lösung:

Nehmen wir den gemeinsamen Faktor heraus: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Dann müssen wir zwei Gleichungen lösen:

Cos(x)=0 und cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 bei x= π/2 + πk;

Betrachten Sie die Gleichung cos(x)+sin(x)=0. Teilen Sie unsere Gleichung durch cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Antwort: x= π/2 + πk und x= -π/4+πk

Wie löst man homogene trigonometrische Gleichungen zweiten Grades?
Leute, befolgt immer diese Regeln!

1. Sehen Sie, was der Koeffizient a ist. Wenn a=0, dann nimmt unsere Gleichung die Form cos(x)(bsin(x)+ccos(x)) an, ein Beispiel für die Lösung finden Sie auf der vorherigen Folie

2. Wenn a≠0, dann müssen Sie beide Seiten der Gleichung durch das Kosinusquadrat dividieren, wir erhalten:

Wir ändern die Variable t=tg(x) und erhalten die Gleichung:

Lösen Sie Beispiel Nr.:3

Löse die Gleichung:
Lösung:

Teilen wir beide Seiten der Gleichung durch das Kosinusquadrat:

Wir ändern die Variable t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Finden wir die Wurzeln der quadratischen Gleichung: t=-3 und t=1

Dann gilt: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Antwort: x=-arctg(3) + πk und x= π/4+ πk

Beispiel Nr.:4 lösen

Löse die Gleichung:

Lösung:
Lassen Sie uns unseren Ausdruck umwandeln:

Wir können solche Gleichungen lösen: x= - π/4 + 2πk und x=5π/4 + 2πk

Antwort: x= - π/4 + 2πk und x=5π/4 + 2πk

Beispiel Nr.:5 lösen

Löse die Gleichung:

Lösung:
Lassen Sie uns unseren Ausdruck umwandeln:

Führen wir den Ersatz tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0 ein

Die Lösung unserer quadratischen Gleichung sind die Wurzeln: t=-2 und t=1/2

Dann erhalten wir: tg(2x)=-2 und tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Antwort: x=-arctg(2)/2 + πk/2 und x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Probleme zur unabhängigen Lösung.

1) Lösen Sie die Gleichung

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0,5x) = -1,7

2) Lösen Sie die Gleichungen: sin(3x)= √3/2. Und finden Sie alle Wurzeln auf dem Segment [π/2; π].

3) Lösen Sie die Gleichung: cot 2 (x) + 2 cot (x) + 1 =0

4) Lösen Sie die Gleichung: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Lösen Sie die Gleichung: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Lösen Sie die Gleichung: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

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