بناء خط مستقيم باستخدام معادلته. درس فيديو "المستوى الإحداثي كيفية بناء خط مستقيم على المستوى الإحداثي

17.10.2021

من المستحيل الادعاء بأنك تعرف الرياضيات إذا كنت لا تعرف كيفية إنشاء الرسوم البيانية، وتصوير عدم المساواة على خط الإحداثيات، والعمل مع محاور الإحداثيات. يعد العنصر البصري في العلوم أمرًا حيويًا، لأنه بدون الأمثلة المرئية، قد تصبح الصيغ والحسابات مربكة للغاية في بعض الأحيان. في هذه المقالة سننظر في كيفية العمل مع محاور الإحداثيات ونتعلم كيفية إنشاء رسوم بيانية بسيطة للدوال.

طلب

خط الإحداثيات هو أساس أبسط أنواع الرسوم البيانية التي يواجهها تلميذ المدرسة في طريقه التعليمي. يتم استخدامه في كل موضوع رياضي تقريبًا: عند حساب السرعة والوقت، وإسقاط أحجام الكائنات وحساب مساحتها، في علم المثلثات عند العمل مع جيب التمام وجيب التمام.

القيمة الرئيسية لمثل هذا الخط المباشر هي الوضوح. بما أن الرياضيات علم يتطلب مستوى عالٍ من التفكير المجرد، فإن الرسوم البيانية تساعد في تمثيل كائن ما في العالم الحقيقي. كيف يتصرف؟ في أي نقطة في الفضاء ستكون خلال بضع ثوانٍ أو دقائق أو ساعات؟ ماذا يمكن أن يقال عنها مقارنة بالأشياء الأخرى؟ ما هي سرعتها في لحظة زمنية محددة عشوائيًا؟ كيف تميز حركته؟

ونحن نتحدث عن السرعة لسبب ما، وهو ما تعرضه الرسوم البيانية الوظيفية غالبًا. يمكنهم أيضًا عرض التغيرات في درجة الحرارة أو الضغط داخل الجسم وحجمه واتجاهه بالنسبة للأفق. وبالتالي، فإن إنشاء خط إحداثي غالبًا ما يكون مطلوبًا في الفيزياء.

مؤامرة أحادية البعد

هناك مفهوم تعدد الأبعاد. في الفضاء أحادي البعد، يكفي رقم واحد فقط لتحديد موقع نقطة ما. هذا هو الحال تمامًا عند استخدام خط الإحداثيات. إذا كان الفضاء ثنائي الأبعاد، فيجب وجود رقمين. يتم استخدام المخططات من هذا النوع في كثير من الأحيان، وسوف ننظر إليها بالتأكيد في وقت لاحق قليلا في المقالة.

ماذا يمكنك أن ترى باستخدام النقاط الموجودة على المحور إذا كان هناك نقطة واحدة فقط؟ يمكنك رؤية حجم الجسم، وموقعه في الفضاء بالنسبة لبعض "الصفر"، أي النقطة المختارة لتكون الأصل.

لن يكون من الممكن رؤية التغييرات في المعلمات بمرور الوقت، حيث سيتم عرض جميع القراءات في لحظة واحدة محددة. ومع ذلك، عليك أن تبدأ من مكان ما! اذا هيا بنا نبدأ.

كيفية بناء محور الإحداثيات

تحتاج أولاً إلى رسم خط أفقي - سيكون هذا هو محورنا. على الجانب الأيمن سنقوم "بشحذه" بحيث يبدو كالسهم. بهذه الطريقة نشير إلى الاتجاه الذي ستزداد فيه الأرقام. عادة لا يتم وضع السهم في الاتجاه التنازلي. تقليديًا، يشير المحور إلى اليمين، لذلك سنتبع هذه القاعدة فحسب.

لنضع علامة الصفر، والتي ستعرض أصل الإحداثيات. هذا هو المكان الذي يتم منه العد التنازلي، سواء كان الحجم أو الوزن أو السرعة أو أي شيء آخر. بالإضافة إلى الصفر، يجب أن نشير إلى ما يسمى بقيمة القسمة، أي إدخال وحدة قياسية، والتي بموجبها سنرسم كميات معينة على المحور. يجب أن يتم ذلك حتى تتمكن من العثور على طول المقطع على خط الإحداثيات.

سنضع نقاطًا أو “شقوقًا” على الخط على مسافات متساوية من بعضها البعض، ونكتب تحتها 1،2،3، وهكذا على التوالي. والآن كل شيء جاهز. لكن ما زلت بحاجة إلى تعلم كيفية العمل مع الجدول الزمني الناتج.

أنواع النقاط على الخط الإحداثي

للوهلة الأولى، يصبح من الواضح للرسومات المقترحة في الكتب المدرسية: يمكن تظليل النقاط الموجودة على المحور أم لا. هل تعتقد أن هذا حادث؟ مُطْلَقاً! يتم استخدام النقطة "المصمتة" للمتباينة غير الصارمة - تلك التي تقرأ "أكبر من أو يساوي". إذا كنا بحاجة إلى تحديد الفاصل الزمني بشكل صارم (على سبيل المثال، يمكن لـ "x" أن تأخذ قيمًا من صفر إلى واحد، ولكنها لا تشملها)، فسنستخدم نقطة "مجوفة"، أي في الواقع، دائرة صغيرة على المحور. تجدر الإشارة إلى أن الطلاب لا يحبون عدم المساواة الصارمة، لأن العمل معهم أكثر صعوبة.

اعتمادا على النقاط التي تستخدمها على الرسم البياني، سيتم تسمية الفواصل الزمنية التي تم إنشاؤها. إذا كانت المتباينة في كلا الطرفين ليست صارمة، فسنحصل على شريحة. إذا تبين أنه "مفتوح" من جانب واحد، فسيتم تسميته بنصف الفاصل الزمني. وأخيرًا، إذا كان جزء من الخط محددًا من كلا الجانبين بنقاط مجوفة، فسيتم تسميته بالفاصل الزمني.

طائرة

عند إنشاء خطين مستقيمين على المستوى الإحداثي، يمكننا بالفعل النظر في الرسوم البيانية للوظائف. لنفترض أن الخط الأفقي سيكون محور الوقت، والخط العمودي سيكون المسافة. والآن أصبحنا قادرين على تحديد المسافة التي سيقطعها الجسم خلال دقيقة أو ساعة من السفر. وبالتالي، فإن العمل مع المستوى يجعل من الممكن مراقبة التغيرات في حالة الكائن. هذا أكثر إثارة للاهتمام من دراسة الحالة الثابتة.

أبسط رسم بياني على هذا المستوى هو خط مستقيم، وهو يعكس الدالة Y(X) = aX + b. هل الخط ينحني؟ وهذا يعني أن الكائن يغير خصائصه أثناء عملية البحث.

تخيل أنك تقف على سطح أحد المباني وتحمل حجرًا في يدك الممدودة. عندما تحرره، سوف يطير للأسفل، ويبدأ حركته من سرعة الصفر. ولكن في الثانية سوف تقطع 36 كيلومترًا في الساعة. سيستمر الحجر في التسارع، ولرسم حركته بيانيًا، ستحتاج إلى قياس سرعته في عدة نقاط زمنية، مع وضع النقاط على المحور في الأماكن المناسبة.

تتم تسمية العلامات الموجودة على خط الإحداثيات الأفقي X1 وX2 وX3 افتراضيًا، وعلى خط الإحداثيات الرأسي - Y1 وY2 وY3 على التوالي. من خلال إسقاطها على المستوى وإيجاد التقاطعات، نجد أجزاء من الرسم الناتج. من خلال ربطها بخط واحد، نحصل على رسم بياني للدالة. في حالة سقوط الحجر، ستكون الدالة التربيعية: Y(X) = aX * X + bX + c.

حجم

بالطبع، ليس من الضروري وضع قيم عددية بجانب الأقسام على السطر. إذا كنت تفكر في حركة حلزون يزحف بسرعة 0.03 متر في الدقيقة، فاضبط القيم على خط الإحداثيات على الكسور. في هذه الحالة، اضبط قيمة القسمة على 0.01 متر.

من الملائم بشكل خاص إجراء مثل هذه الرسومات في دفتر ملاحظات مربع - هنا يمكنك على الفور معرفة ما إذا كانت هناك مساحة كافية على الورقة لجدولك الزمني، وما إذا كنت لن تتجاوز الهوامش. من السهل حساب قوتك، لأن عرض الخلية في مثل هذا الكمبيوتر المحمول هو 0.5 سم. كان من الضروري تقليل الرسم. لن يؤدي تغيير مقياس الرسم البياني إلى فقدان خصائصه أو تغييرها.

إحداثيات النقطة والقطعة

عندما يتم طرح مسألة رياضية في الدرس، فقد تحتوي على معلمات لأشكال هندسية مختلفة، سواء في شكل أطوال أضلاع أو محيط أو مساحة أو في شكل إحداثيات. في هذه الحالة، قد تحتاج إلى إنشاء الشكل والحصول على بعض البيانات المرتبطة به. السؤال الذي يطرح نفسه: كيف يمكن العثور على المعلومات المطلوبة على خط الإحداثيات؟ وكيفية بناء هذا الرقم؟

على سبيل المثال، نحن نتحدث عن نقطة. بعد ذلك سيحتوي بيان المشكلة على حرف كبير، وسيكون هناك عدة أرقام بين قوسين، غالبًا رقمين (وهذا يعني أننا سنعد في مساحة ثنائية الأبعاد). إذا كان هناك ثلاثة أرقام بين قوسين، مكتوبة مفصولة بفواصل منقوطة أو فواصل، فهذه مساحة ثلاثية الأبعاد. كل قيمة عبارة عن إحداثيات على المحور المقابل: أولاً على طول الخط الأفقي (X)، ثم على طول الخط الرأسي (Y).

هل تتذكر كيفية بناء شريحة؟ لقد أخذت هذا في الهندسة. إذا كانت هناك نقطتان، فيمكن رسم خط مستقيم بينهما. إحداثياتها هي التي تتم الإشارة إليها بين قوسين في حالة ظهور مقطع في المشكلة. على سبيل المثال: أ(15، 13) - ب(1، 4). لإنشاء مثل هذا الخط المستقيم، تحتاج إلى العثور على النقاط ووضع علامة عليها على المستوى الإحداثي، ثم توصيلها. هذا كل شئ!

وأي مضلعات، كما تعلمون، يمكن رسمها باستخدام القطاعات. حلت المشكلة.

العمليات الحسابية

لنفترض أن هناك جسمًا يتميز موقعه على طول المحور X برقمين: يبدأ عند نقطة ذات إحداثيات (-3) وينتهي عند (+2). إذا أردنا معرفة طول هذا الجسم، فيجب علينا طرح العدد الأصغر من العدد الأكبر. لاحظ أن الرقم السالب يمتص علامة الطرح لأن "ناقص في ناقص يساوي زائد". لذلك نجمع (2+3) ونحصل على 5. هذه هي النتيجة المطلوبة.

مثال آخر: لقد حصلنا على نقطة النهاية وطول الكائن، ولكن ليس نقطة البداية (ونحتاج إلى العثور عليها). وليكن موضع النقطة المعلومة (6)، وحجم الجسم محل الدراسة - (4). وبطرح الطول من الإحداثي النهائي، نحصل على الإجابة. المجموع: (6 - 4) = 2.

أرقام سلبية

في الممارسة العملية، غالبا ما يكون من الضروري العمل مع القيم السلبية. في هذه الحالة، سوف نتحرك على طول محور الإحداثيات إلى اليسار. على سبيل المثال، يطفو جسم ارتفاعه 3 سم في الماء. ثلثه مغمور في السائل، والثلثين في الهواء. بعد ذلك، باختيار سطح الماء كمحور، نستخدم عمليات حسابية بسيطة للحصول على رقمين: النقطة العليا للجسم لها إحداثي (+2)، والنقطة السفلية لها إحداثي (-1) سنتيمتر.

من السهل أن نرى أنه في حالة المستوى، لدينا أربعة أرباع الخط الإحداثي. كل واحد منهم لديه رقم خاص به. في الجزء الأول (أعلى اليمين) ستكون هناك نقاط لها إحداثيين موجبين، في الثاني - في أعلى اليسار - ستكون القيم على طول المحور "x" سالبة، وعلى المحور "y" - إيجابي. يتم حساب الثالث والرابع عكس اتجاه عقارب الساعة.

خاصية هامة

أنت تعلم أنه يمكن تمثيل الخط المستقيم بعدد لا نهائي من النقاط. يمكننا أن ننظر بعناية كما نحب إلى أي عدد من القيم على كل جانب من المحور، لكننا لن نواجه التكرارات. يبدو هذا ساذجًا ومفهومًا، لكن هذه العبارة تنبع من حقيقة مهمة: كل رقم يتوافق مع نقطة واحدة فقط على خط الإحداثيات.

خاتمة

تذكر أنه يجب إنشاء أي محاور وأشكال ورسوم بيانية، إن أمكن، باستخدام المسطرة. لم يخترع الإنسان وحدات القياس بالصدفة - إذا ارتكبت خطأً عند الرسم، فإنك تخاطر برؤية صورة ليست تلك التي كان ينبغي الحصول عليها.

كن حذرًا وحذرًا عند إنشاء الرسوم البيانية والحسابات. مثل أي علم يدرس في المدرسة، الرياضيات تحب الدقة. ابذل القليل من الجهد، ولن يستغرق الحصول على درجات جيدة وقتًا طويلاً.

يتم تعريف الخط المستقيم بشكل كامل إذا كانت النقطتان اللتان تنتميان إليه معروفة. لبناء خط مستقيم باستخدام معادلته، من الضروري باستخدام هذه المعادلة إيجاد إحداثيات نقطتيه. يجب أن نتذكر بشدة أنه إذا كانت هناك نقطة تنتمي إلى خط ما، فإن إحداثيات هذه النقطة تلبي معادلة الخط.

عند إنشاء خط عمليًا باستخدام معادلته، سيتم الحصول على الرسم البياني الأكثر دقة عندما تكون إحداثيات النقطتين المأخوذتين لبنائه أعدادًا صحيحة.

1. إذا تم تعريف الخط بالمعادلة العامة فأس + بواسطة + ج= 0 و، فإن أسهل طريقة لإنشائها هي تحديد نقاط تقاطع الخط المستقيم مع محاور الإحداثيات.

دعونا نشير إلى كيفية تحديد إحداثيات نقاط تقاطع الخط المستقيم مع محاور الإحداثيات. إحداثيات نقطة تقاطع الخط مع المحور ثورتم العثور عليها من الاعتبارات التالية: إحداثيات جميع النقاط الواقعة على المحور ثور، تساوي الصفر. في معادلة الخط المستقيم يفترض ذلك ذيساوي صفراً، ومن المعادلة الناتجة نجد س. وجدت قيمة سوهي نقطة تقاطع الخط مع المحور ثور. إذا تبين ذلك س = أثم إحداثيات نقطة تقاطع الخط مع المحور ثورسوف يكون ( أ, 0).

تحديد إحداثيات نقطة تقاطع الخط مع المحور أويإنهم يفكرون على النحو التالي: حروف جميع النقاط الموجودة على المحور أوي، تساوي الصفر. أخذ الخط المستقيم في المعادلة سيساوي الصفر، من المعادلة الناتجة نحدد ذ. وجدت قيمة ذوسيكون إحداثي تقاطع الخط مع المحور أوي. فإذا تبين مثلا ذلك ذ = بثم نقطة تقاطع الخط المستقيم مع المحور أويله إحداثيات (0، ب).

مثال.مباشر 2 س + ذ- 6 = 0 يعبر المحور ثورعند النقطة (3، 0). وبالفعل، مع الأخذ في الاعتبار هذه المعادلة ذ= 0، علينا أن نحدد سالمعادلة 2 س- 6 = 0، من أين س = 3.

لتحديد نقطة تقاطع هذا الخط مع المحور أوي، ضع معادلة الخط المستقيم س= 0. حصلنا على المعادلة ذ- 6 = 0، ومنه يتبع ذلك ذ= 6. وبذلك يتقاطع الخط المستقيم مع محاور الإحداثيات عند النقطتين (3، 0) و (0، 6).

إذا كان في المعادلة العامة للخط المستقيم ج= 0، فإن الخط المستقيم المحدد بهذه المعادلة يمر بنقطة الأصل. وبالتالي، فإن إحدى نقاطه معروفة بالفعل، ولإنشاء خط مستقيم، كل ما تبقى هو العثور على نقطة أخرى من نقاطه. الإحداثي السيني سيتم تعيين هذه النقطة بشكل تعسفي، والإحداثيات ذوجدت من معادلة الخط المستقيم.

مثال.مباشر 2 س - 4ذ= 0 يمر عبر الأصل. نحدد النقطة الثانية من الخط بأخذ، على سبيل المثال، س= 2. ثم لتحديد ذنحصل على المعادلة 2*2 - 4 ذ = 0; 4ذ = 4; ذ= 1. إذن، السطر 2 س - 4ذ= 0 يمر بالنقطتين (0، 0) و (2، 1).

إذا تم إعطاء الخط بالمعادلة ذ = kx + بمع المعامل الزاوي، فإن قيمة القطعة معروفة بالفعل من هذه المعادلة ب، مقطوعًا بخط على المحور الإحداثي، ولإنشاء خط يبقى تحديد إحداثيات نقطة واحدة فقط تنتمي إلى هذا الخط. إذا كان في مكافئ. ذ = kx + بفمن الأسهل تحديد إحداثيات نقطة تقاطع الخط مع المحور ثور. تمت الإشارة أعلاه إلى كيفية القيام بذلك.

إذا في المعادلة ذ = kx + ب ب= 0، فإن الخط المستقيم يمر بأصل الإحداثيات، وبالتالي تكون نقطة واحدة تابعة له معروفة بالفعل. للعثور على نقطة أخرى، يجب أن تعطي سأي قيمة وتحديد القيمة المباشرة من المعادلة ذ، المقابلة لهذه القيمة س.

مثال.يمر الخط المستقيم بنقطة الأصل والنقطة (2، 1)، منذ متى س= 2 من معادلتها.

معادلة الخط الذي يمر بنقطة معينة في اتجاه معين. معادلة الخط الذي يمر عبر نقطتين معلومتين. الزاوية المحصورة بين خطين مستقيمين. حالة التوازي والتعامد بين خطين مستقيمين. تحديد نقطة تقاطع خطين

1. معادلة الخط الذي يمر عبر نقطة معينة أ(س 1 , ذ 1) في اتجاه معين يحدده المنحدر ك,

ذ - ذ 1 = ك(س - س 1). (1)

تحدد هذه المعادلة قلم رصاص من الخطوط التي تمر عبر نقطة ما أ(س 1 , ذ 1) وهو ما يسمى مركز الشعاع.

2. معادلة الخط الذي يمر بنقطتين: أ(س 1 , ذ 1) و ب(س 2 , ذ 2) تكتب هكذا:

يتم تحديد المعامل الزاوي لخط مستقيم يمر بنقطتين معلومتين بواسطة الصيغة

3. الزاوية بين الخطوط المستقيمة أو بهي الزاوية التي يجب أن يدور بها الخط المستقيم الأول أحول نقطة تقاطع هذه الخطوط عكس اتجاه عقارب الساعة حتى تتزامن مع الخط الثاني ب. إذا تم إعطاء خطين مستقيمين بواسطة معادلات ذات ميل

ذ = ك 1 س + ب 1 ,

ذ = ك 2 س + ب 2 , (4)

ثم يتم تحديد الزاوية بينهما بواسطة الصيغة

تجدر الإشارة إلى أنه في بسط الكسر، يتم طرح ميل السطر الأول من ميل السطر الثاني.

إذا كانت معادلات الخط معطاة في الصورة العامة

أ 1 س + ب 1 ذ + ج 1 = 0,

أ 2 س + ب 2 ذ + ج 2 = 0, (6)

يتم تحديد الزاوية بينهما بواسطة الصيغة

4. شروط توازي الخطين:

أ) إذا كانت الخطوط المعطاة بالمعادلات (4) ذات معامل زاوية، فإن الشرط الضروري والكافي لتوازيها هو تساوي معاملاتها الزاوية:

ك 1 = ك 2 . (8)

ب) في الحالة التي يتم فيها إعطاء الخطوط بواسطة المعادلات بالشكل العام (6)، فإن الشرط الضروري والكافي لتوازيها هو أن تكون معاملات الإحداثيات الحالية المقابلة في معادلاتها متناسبة، أي.

5. شروط تعامد خطين مستقيمين:

أ) في حالة إعطاء الخطوط بالمعادلات (4) بمعامل زاوي، فإن الشرط الضروري والكافي لتعامدها هو أن تكون معاملاتها الزاوية معكوسة في المقدار ومعاكسة في الإشارة، أي.

دعونا نوضح كيف تتحول الخطوط إذا تم إدخال علامة المعامل في المعادلة لتحديد الخط.

دعونا نحصل على المعادلة F(x;y)=0(*)

· المعادلة F(|x|;y)=0 تحدد خطاً متماثلاً بالنسبة إلى الإحداثي. إذا كان هذا الخط، المعطى بالمعادلة (*)، قد تم إنشاؤه بالفعل، فإننا نترك جزءًا من الخط على يمين المحور الإحداثي، ثم نكمله بشكل متماثل إلى اليسار.

· المعادلة F(x;|y|)=0 تحدد خطاً متماثلاً بالنسبة لمحور الإحداثي السيني. إذا كان هذا الخط، المعطى بالمعادلة (*)، قد تم إنشاؤه بالفعل، فإننا نترك جزءًا من الخط فوق المحور السيني، ثم نكمله بشكل متماثل من الأسفل.

· المعادلة F(|x|;|y|)=0 تحدد خطاً متماثلاً بالنسبة إلى محاور الإحداثيات. إذا كان الخط الذي تعطيه المعادلة (*) قد تم إنشاؤه بالفعل، فإننا نترك جزءًا من الخط في الربع الأول، ثم نكمله بشكل متماثل.

النظر في الأمثلة التالية

مثال 1.

دعونا نحصل على خط مستقيم تعطى بالمعادلة:

(1)، حيث أ>0، ب>0.

إنشاء الخطوط المعطاة بالمعادلات:

حل:

أولاً، سنقوم ببناء الخط الأصلي، وبعد ذلك، باستخدام التوصيات، سنقوم ببناء الخطوط المتبقية.

في

(1)

(2)

-أ

(3)

-ب

-أ

(5)

-ب

مثال 5

ارسم على المستوى الإحداثي المنطقة المحددة بالمتباينة:

حل:

أولاً نقوم ببناء حدود المنطقة، المعطاة بالمعادلة:

| (5)

في المثال السابق حصلنا على خطين متوازيين يقسمان المستوى الإحداثي إلى منطقتين:

المساحة بين الخطوط

المنطقة خارج الخطوط.

لتحديد منطقتنا، لنأخذ نقطة تحكم، على سبيل المثال، (0;0) ونستبدلها في هذه المتباينة: 0≥1 (صحيح)®المساحة بين الخطوط، بما في ذلك الحدود.

يرجى ملاحظة أنه إذا كانت عدم المساواة صارمة، فلن يتم تضمين الحدود في المنطقة.

دعونا نحفظ هذه الدائرة ونبني دائرة متناظرة بالنسبة للمحور الإحداثي. دعونا نحفظ هذه الدائرة وننشئ دائرة متناظرة بالنسبة لمحور الإحداثي السيني. دعونا نحفظ هذه الدائرة وننشئ دائرة متناظرة بالنسبة لمحور الإحداثي السيني. و المحاور الإحداثية. ونتيجة لذلك، نحصل على 4 دوائر. لاحظ أن مركز الدائرة يقع في الربع الأول (3;3)، ونصف القطر هو R=3.

في

-3

طلب

مؤامرة أحادية البعد

هناك مفهوم تعدد الأبعاد. رقم واحد فقط يكفي لتحديد موقع نقطة ما. هذا هو الحال تمامًا عند استخدام خط الإحداثيات. إذا كان الفضاء ثنائي الأبعاد، فيجب وجود رقمين. يتم استخدام المخططات من هذا النوع في كثير من الأحيان، وسوف ننظر إليها بالتأكيد في وقت لاحق من هذه المقالة.

كيفية بناء محور الإحداثيات

أنواع النقاط على الخط الإحداثي

طائرة

عند بناء خطين مستقيمين، يمكننا بالفعل النظر في الرسوم البيانية للوظائف. لنفترض أن الخط الأفقي سيكون محور الوقت، والخط العمودي سيكون المسافة. والآن أصبحنا قادرين على تحديد المسافة التي سيقطعها الجسم خلال دقيقة أو ساعة من السفر. وبالتالي، فإن العمل مع المستوى يجعل من الممكن مراقبة التغيرات في حالة الكائن. هذا أكثر إثارة للاهتمام من دراسة الحالة الثابتة.

حجم

إحداثيات النقطة والقطعة

وأي مضلعات، كما تعلمون، يمكن رسمها باستخدام القطاعات. حلت المشكلة.

العمليات الحسابية

أرقام سلبية

خاصية هامة

خاتمة

فهم المستوى الإحداثي

كل كائن (على سبيل المثال، منزل، مكان في القاعة، نقطة على الخريطة) له عنوانه المرتب (الإحداثيات)، والذي يحتوي على تعيين رقمي أو حرفي.

طور علماء الرياضيات نموذجًا يسمح لك بتحديد موضع الجسم ويسمى خطة تنسيق.

لإنشاء مستوى إحداثي، تحتاج إلى رسم خطوط مستقيمة متعامدة بقيمة 2$، وفي نهايتها يُشار إلى الاتجاهين "إلى اليمين" و"لأعلى" باستخدام الأسهم. يتم تطبيق الأقسام على الخطوط، ونقطة تقاطع الخطوط هي علامة الصفر لكلا المقياسين.

التعريف 1

الخط الأفقي يسمى المحور السينيويشار إليه بـ x، ويسمى الخط العمودي المحور صويشار إليه بـ y.

يشكل محوران x و y متعامدان مع الانقسامات مستطيلي، أو الديكارتي, نظام الإحداثياتوالتي اقترحها الفيلسوف وعالم الرياضيات الفرنسي رينيه ديكارت.

خطة تنسيق

إحداثيات النقطة

يتم تعريف النقطة على المستوى الإحداثي بإحداثيتين.

لتحديد إحداثيات النقطة $A$ على المستوى الإحداثي، تحتاج إلى رسم خطوط مستقيمة من خلالها ستكون موازية لمحاور الإحداثيات (المشار إليها بخط منقط في الشكل). تقاطع الخط مع المحور x يعطي الإحداثي $x$ للنقطة $A$، والتقاطع مع المحور y يعطي الإحداثي y للنقطة $A$. عند كتابة إحداثيات نقطة ما، يتم أولاً كتابة الإحداثي $x$، ثم الإحداثي $y$.

النقطة $A$ في الشكل لها إحداثيات $(3; 2)$، والنقطة $B (–1; 4)$.

لرسم نقطة على المستوى الإحداثي، اتبع الترتيب العكسي.

إنشاء نقطة عند الإحداثيات المحددة

مثال 1

على المستوى الإحداثي، أنشئ النقطتين $A(2;5)$ و$B(3; –1).$

حل.

بناء النقطة $A$:

ضع الرقم $2$ على المحور $x$ وارسم خطًا متعامدًا؛
على المحور y نرسم الرقم $5$ ونرسم خطًا مستقيمًا عموديًا على المحور $y$. عند تقاطع الخطوط المتعامدة نحصل على النقطة $A$ بإحداثيات $(2; 5)$.

بناء النقطة $B$:

دعونا نرسم الرقم $3$ على المحور $x$ ونرسم خطًا مستقيمًا عموديًا على المحور x؛
على المحور $y$، نرسم الرقم $(–1)$ ونرسم خطًا مستقيمًا عموديًا على المحور $y$. عند تقاطع الخطوط المتعامدة نحصل على النقطة $B$ بإحداثيات $(3; –1)$.

مثال 2

أنشئ نقاطًا على المستوى الإحداثي بالإحداثيات المعطاة $C (3; 0)$ و$D(0; 2)$.

حل.

بناء النقطة $C$:

ضع الرقم $3$ على المحور $x$؛
الإحداثيات $y$ تساوي الصفر، مما يعني أن النقطة $C$ ستقع على المحور $x$.

بناء النقطة $D$:

ضع الرقم $2$ على المحور $y$؛
الإحداثيات $x$ تساوي الصفر، مما يعني أن النقطة $D$ ستقع على المحور $y$.

ملاحظة 1

لذلك، عند الإحداثي $x=0$، ستقع النقطة على المحور $y$، وعند الإحداثي $y=0$، ستقع النقطة على المحور $x$.

مثال 3

تحديد إحداثيات النقاط A، B، C، D.$

حل.

دعونا نحدد إحداثيات النقطة $A$. للقيام بذلك، نرسم خطوطًا مستقيمة عبر هذه النقطة $2$ والتي ستكون موازية للمحاور الإحداثية. تقاطع الخط مع المحور x يعطي الإحداثي $x$، وتقاطع الخط مع المحور y يعطي الإحداثي $y$. وبذلك نحصل على النقطة $A(1;3).$

دعونا نحدد إحداثيات النقطة $B$. للقيام بذلك، نرسم خطوطًا مستقيمة عبر هذه النقطة $2$ والتي ستكون موازية للمحاور الإحداثية. تقاطع الخط مع المحور x يعطي الإحداثي $x$، وتقاطع الخط مع المحور y يعطي الإحداثي $y$. نجد تلك النقطة $B (–2; 4).$

لنحدد إحداثيات النقطة $C$. لأن وهي تقع على المحور $y$، فإن إحداثي $x$ لهذه النقطة هو صفر. الإحداثي y هو $–2$. وبالتالي، النقطة $C (0; –2)$.

لنحدد إحداثيات النقطة $D$. لأن إنه على المحور $x$، فإن الإحداثي $y$ هو صفر. الإحداثيات $x$ لهذه النقطة هي $–5$. وبالتالي، النقطة $D (5; 0).$

مثال 4

قم ببناء النقاط $E(–3; –2), F(5; 0), G(3; 4), H(0; –4), O(0; 0).$

حل.

بناء النقطة $E$:

ضع الرقم $(–3)$ على المحور $x$ وارسم خطًا متعامدًا؛
على المحور $y$، نرسم الرقم $(–2)$ ونرسم خطًا عموديًا على المحور $y$؛
عند تقاطع الخطوط المتعامدة نحصل على النقطة $E (–3; –2).$

بناء النقطة $F$:

الإحداثيات $y=0$، مما يعني أن النقطة تقع على المحور $x$؛
دعونا نرسم الرقم $5$ على المحور $x$ ونحصل على النقطة $F(5; 0).$

بناء النقطة $G$:

ضع الرقم $3$ على المحور $x$ وارسم خطًا عموديًا على المحور $x$؛
على المحور $y$ نرسم الرقم $4$ ونرسم خطًا عموديًا على المحور $y$؛
عند تقاطع الخطوط المتعامدة نحصل على النقطة $G(3; 4).$

بناء النقطة $H$:

الإحداثيات $x=0$، مما يعني أن النقطة تقع على المحور $y$؛
دعونا نرسم الرقم $(–4)$ على المحور $y$ ونحصل على النقطة $H(0;–4).$

بناء النقطة $O$:

كلا إحداثيات النقطة تساوي الصفر، مما يعني أن النقطة تقع في وقت واحد على كل من المحور $y$ والمحور $x$، وبالتالي فهي نقطة تقاطع كلا المحورين (أصل الإحداثيات).