Түүний тэгшитгэлийг ашиглан шулуун шугам барих. Видео хичээл “Координатын хавтгай Координатын хавтгай дээр хэрхэн шулуун шугам барих вэ

17.10.2021

График байгуулах, тэгш бус байдлыг координатын шулуун дээр дүрслэх, координатын тэнхлэгтэй ажиллах чадваргүй бол математикийн мэдлэгтэй гэж хэлэх боломжгүй. Шинжлэх ухаанд харааны бүрэлдэхүүн хэсэг нь амин чухал, учир нь харааны жишээгүйгээр томъёо, тооцоолол заримдаа маш их будлиантай байдаг. Энэ өгүүлэлд бид координатын тэнхлэгүүдтэй хэрхэн ажиллах, функцүүдийн энгийн графикийг хэрхэн бүтээх талаар сурах болно.

Өргөдөл

Координатын шугам нь сургуулийн сурагчийн боловсролын замд тааралддаг хамгийн энгийн графикуудын үндэс юм. Үүнийг математикийн бараг бүх сэдвээр ашигладаг: хурд, цагийг тооцоолох, объектын хэмжээг төлөвлөх, талбайг тооцоолох, синус ба косинустай ажиллахдаа тригонометрт.

Ийм шууд шугамын гол үнэ цэнэ нь тодорхой байдал юм. Математик нь хийсвэр сэтгэлгээний өндөр түвшин шаарддаг шинжлэх ухаан учраас бодит ертөнц дэх объектыг дүрслэн харуулахад график тусалдаг. Тэр яаж биеэ авч яваа вэ? Та хэдхэн секунд, минут, цагийн дараа сансар огторгуйн аль цэгт байх вэ? Бусад объектуудтай харьцуулахад энэ талаар юу хэлэх вэ? Энэ нь санамсаргүй байдлаар сонгосон агшинд ямар хурдтай байдаг вэ? Түүний хөдөлгөөнийг хэрхэн тодорхойлох вэ?

Мөн бид ямар нэг шалтгаанаар хурдны тухай ярьж байна - энэ бол функцийн графикууд ихэвчлэн харуулдаг зүйл юм. Тэд мөн объектын доторх температур, даралтын өөрчлөлт, түүний хэмжээ, тэнгэрийн хаяатай харьцуулахад чиг баримжаа зэргийг харуулах боломжтой. Тиймээс физикт координатын шугам барих нь ихэвчлэн шаардлагатай байдаг.

Нэг хэмжээст зураглал

Олон хэмжээст гэдэг ойлголт байдаг. Нэг хэмжээст орон зайд цэгийн байршлыг тодорхойлоход нэг л тоо хангалттай. Координатын шугамыг ашиглахад яг ийм байна. Хэрэв орон зай хоёр хэмжээст бол хоёр тоо шаардлагатай. Энэ төрлийн диаграммыг илүү олон удаа ашигладаг бөгөөд бид нийтлэлийн дараа тэдгээрийг үзэх болно.

Хэрэв зөвхөн нэг цэг байгаа бол тэнхлэг дээрх цэгүүдийг ашигласнаар та юу харж болох вэ? Та объектын хэмжээ, түүний орон зай дахь байрлалыг зарим "тэг", өөрөөр хэлбэл эх үүсвэр болгон сонгосон цэгийг харж болно.

Цаг хугацаа өнгөрөхөд параметрийн өөрчлөлтийг харах боломжгүй, учир нь бүх уншилтыг тодорхой нэг агшинд харуулах болно. Гэсэн хэдий ч та хаа нэг газар эхлэх хэрэгтэй! Ингээд эхэлцгээе.

Координатын тэнхлэгийг хэрхэн яаж барих вэ

Эхлээд та хэвтээ шугам зурах хэрэгтэй - энэ нь бидний тэнхлэг байх болно. Баруун талд нь бид үүнийг сум шиг харагдуулахаар "хурцлах" болно. Ингэснээр бид тоо нь ямар чиглэлд өсөхийг зааж өгдөг. Сумыг ихэвчлэн буурах чиглэлд байрлуулдаггүй. Уламжлал ёсоор тэнхлэг нь баруун тийш чиглэдэг тул бид энэ дүрмийг дагаж мөрдөх болно.

Координатын гарал үүслийг харуулах тэг тэмдгийг тавьцгаая. Хэмжээ, жин, хурд болон бусад зүйлээс үл хамааран энэ бол яг л тооллогыг хийдэг газар юм. Тэгээс гадна бид хуваах гэж нэрлэгддэг утгыг зааж өгөх ёстой, өөрөөр хэлбэл стандарт нэгжийг нэвтрүүлж, үүний дагуу бид тэнхлэг дээр тодорхой хэмжигдэхүүнийг зурах болно. Координатын шулуун дээрх сегментийн уртыг олохын тулд үүнийг хийх ёстой.

Шугам дээр бие биенээсээ ижил зайд цэг эсвэл "ховил" тавих ба тэдгээрийн доор бид 1,2,3 гэх мэтийг бичнэ. Тэгээд одоо бүх зүйл бэлэн боллоо. Гэхдээ та үүссэн хуваарьтай хэрхэн ажиллах талаар сурах хэрэгтэй хэвээр байна.

Координатын шулуун дээрх цэгүүдийн төрлүүд

Сурах бичигт санал болгож буй зургуудыг эхлээд харахад тэнхлэг дээрх цэгүүдийг сүүдэрлэж болно, үгүй бол тодорхой болно. Та үүнийг осол гэж бодож байна уу? Огт үгүй! Хатуу бус тэгш бус байдлын хувьд "хатуу" цэгийг ашигладаг - "илүү их эсвэл тэнцүү" гэсэн утгатай. Хэрэв бид интервалыг хатуу хязгаарлах шаардлагатай бол (жишээлбэл, "x" нь тэгээс нэг хүртэлх утгыг авч болно, гэхдээ үүнийг оруулаагүй болно) бид "хөндий" цэг, өөрөөр хэлбэл жижиг тойрог ашиглана. тэнхлэг дээр. Оюутнууд хатуу тэгш бус байдалд үнэхээр дургүй байдаг, учир нь тэдэнтэй ажиллахад илүү хэцүү байдаг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Диаграммд ямар цэгүүдийг ашиглахаас хамааран баригдсан интервалуудыг нэрлэх болно. Хэрэв хоёр талын тэгш бус байдал нь хатуу биш бол бид сегментийг авна. Хэрэв нэг талдаа "нээлттэй" байвал хагас интервал гэж нэрлэнэ. Эцэст нь хэрэв шугамын нэг хэсэг нь хоёр талдаа хөндий цэгүүдээр хүрээлэгдсэн бол түүнийг интервал гэж нэрлэнэ.

Онгоц

Координатын хавтгай дээр хоёр шулуун шугам барихдаа функцүүдийн графикийг аль хэдийн авч үзэж болно. Хэвтээ шугам нь цагийн тэнхлэг, босоо шугам нь зай байна гэж бодъё. Одоо бид тухайн объект нэг минут эсвэл нэг цагийн аялалд хэр хол явахыг тодорхойлох боломжтой болсон. Тиймээс онгоцтой ажиллах нь объектын төлөв байдлын өөрчлөлтийг хянах боломжтой болгодог. Энэ нь статик төлөвийг судлахаас хамаагүй илүү сонирхолтой юм.

Ийм хавтгай дээрх хамгийн энгийн график нь Y(X) = aX + b функцийг тусгасан шулуун шугам юм. Шугам нугалж байна уу? Энэ нь судалгааны явцад тухайн объект шинж чанараа өөрчилдөг гэсэн үг юм.

Та барилгын дээвэр дээр зогсож, сунгасан гартаа чулуу барьж байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Түүнийг суллахад тэр доошоо нисч, хөдөлгөөнөө тэг хурднаас эхлүүлнэ. Гэвч секундэд 36 км/цаг хурдлах болно. Чулууг үргэлжлүүлэн хурдасгах бөгөөд түүний хөдөлгөөний графикийг зурахын тулд та хурдыг хэд хэдэн цэгээр хэмжиж, тэнхлэг дээрх цэгүүдийг зохих газруудад байрлуулах хэрэгтэй.

Хэвтээ координатын шугам дээрх тэмдэглэгээг анхдагчаар X1, X2,X3, босоо координатын шугамыг Y1, Y2,Y3 гэж нэрлэсэн байна. Тэдгээрийг хавтгай дээр буулгаж, уулзваруудыг олсноор бид үүссэн зургийн хэсгүүдийг олдог. Тэдгээрийг нэг шугамаар холбосноор бид функцийн графикийг олж авна. Чулуу унах тохиолдолд квадрат функц нь: Y(X) = aX * X + bX + c болно.

Масштаб

Мэдээжийн хэрэг, шугам дээрх хуваагдлын хажууд бүхэл тоон утгыг байрлуулах шаардлагагүй. Хэрэв та минутанд 0.03 метр хурдтай мөлхөж буй эмгэн хумсны хөдөлгөөнийг бодож байгаа бол координатын шугам дээрх утгыг бутархай болгон тохируулна уу. Энэ тохиолдолд хуваах утгыг 0.01 метр болгож тохируулна.

Дөрвөлжин дэвтэр дээр ийм зураг зурах нь ялангуяа тохиромжтой байдаг - эндээс та хуваарийнхаа хуудсан дээр хангалттай зай байгаа эсэх, мөн захаас цааш явахгүй эсэхийг шууд харах боломжтой. Ийм дэвтэр дэх эсийн өргөн нь 0.5 сантиметр тул хүч чадлаа тооцоолоход хялбар байдаг. Зургийг багасгах шаардлагатай байсан. Графикийн масштабыг өөрчлөх нь түүний шинж чанараа алдах эсвэл өөрчлөхөд хүргэхгүй.

Цэг ба сегментийн координатууд

Хичээл дээр математикийн бодлого өгөхдөө хажуугийн урт, периметр, талбай, координат хэлбэрээр янз бүрийн геометрийн дүрсүүдийн параметрүүдийг агуулж болно. Энэ тохиолдолд та зургийг бүтээх, түүнтэй холбоотой зарим өгөгдлийг олж авах шаардлагатай байж магадгүй юм. Асуулт гарч ирнэ: координатын шугам дээр шаардлагатай мэдээллийг хэрхэн олох вэ? Мөн хэрхэн дүрс бүтээх вэ?

Жишээлбэл, бид нэг цэгийн тухай ярьж байна. Дараа нь асуудлын мэдэгдэлд том үсэг байх бөгөөд хаалтанд хэд хэдэн тоо байх болно, ихэнхдээ хоёр (энэ нь бид хоёр хэмжээст орон зайд тоолох болно гэсэн үг юм). Хэрэв хаалтанд цэг таслалаар тусгаарлагдсан гурван тоо байгаа бол энэ нь гурван хэмжээст орон зай юм. Утга бүр нь харгалзах тэнхлэг дээрх координат юм: эхлээд хэвтээ (X), дараа нь босоо (Y) дагуу.

Хэрхэн сегмент байгуулахаа санаж байна уу? Та үүнийг геометрийн хичээлээр авсан. Хэрэв хоёр цэг байгаа бол тэдгээрийн хооронд шулуун шугам зурж болно. Хэрэв асуудалд сегмент гарч ирвэл тэдгээрийн координатыг хаалтанд зааж өгсөн болно. Жишээ нь: A(15, 13) - B(1, 4). Ийм шулуун шугам барихын тулд координатын хавтгай дээрх цэгүүдийг олж тэмдэглээд дараа нь тэдгээрийг холбох хэрэгтэй. Тэгээд л болоо!

Та бүхний мэдэж байгаагаар аливаа олон өнцөгтийг сегмент ашиглан зурж болно. Асуудал шийдэгдсэн.

Тооцоолол

Х тэнхлэгийн дагуух байрлал нь координат (-3) цэгээс эхэлж (+2) гэсэн хоёр тоогоор тодорхойлогддог объект байна гэж бодъё. Хэрэв бид энэ объектын уртыг мэдэхийг хүсвэл том тооноос бага тоог хасах хэрэгтэй. "Хасах үрийг хасах нь нэмэх" тул хасах тоо нь хасах тэмдгийг шингээдэг гэдгийг анхаарна уу. Тиймээс бид (2+3) нэмээд 5-ыг авна. Энэ нь шаардлагатай үр дүн юм.

Өөр нэг жишээ: бидэнд төгсгөлийн цэг ба объектын уртыг өгсөн боловч эхлэх цэг биш (мөн үүнийг олох хэрэгтэй). Мэдэгдэж буй цэгийн байрлалыг (6), судалж буй объектын хэмжээг - (4) гэж үзье. Эцсийн координатаас уртыг хасснаар бид хариултыг авна. Нийт: (6 - 4) = 2.

Сөрөг тоонууд

Практикт ихэвчлэн сөрөг утгатай ажиллах шаардлагатай байдаг. Энэ тохиолдолд бид координатын тэнхлэгийн дагуу зүүн тийш шилжих болно. Жишээлбэл, 3 см өндөртэй объект усанд хөвдөг. Үүний гуравны нэг нь шингэнд, гуравны хоёр нь агаарт байдаг. Дараа нь усны гадаргууг тэнхлэг болгон сонгохдоо бид энгийн арифметик тооцооллыг ашиглан хоёр тоог гаргана: объектын дээд цэг нь (+2) координаттай, доод хэсэг нь (-1) сантиметр байна.

Онгоцны хувьд координатын шугамын дөрөвний дөрөв нь байгааг харахад хялбар байдаг. Тэд тус бүр өөрийн гэсэн дугаартай. Эхний (баруун дээд) хэсэгт хоёр эерэг координаттай цэгүүд байх болно, хоёр дахь хэсэгт - зүүн дээд талд - "x" тэнхлэгийн дагуух утгууд нь сөрөг, "y" тэнхлэгт байх болно. - эерэг. Гурав, дөрөв дэхийг цагийн зүүний эсрэг дахин тоолно.

Чухал өмч

Шулуун шугамыг хязгааргүй тооны цэгээр дүрсэлж болно гэдгийг та мэднэ. Бид тэнхлэгийн тал бүр дээрх хэдэн утгыг аль болох анхааралтай ажиглаж болох боловч давхардсан тоо гарахгүй. Энэ нь гэнэн бөгөөд ойлгомжтой мэт санагдах боловч энэ мэдэгдэл нь чухал баримтаас үүдэлтэй: тоо бүр нь координатын шугамын нэг бөгөөд зөвхөн нэг цэгтэй тохирч байна.

Дүгнэлт

Аливаа тэнхлэг, дүрс, боломжтой бол графикийг захирагч ашиглан хийх ёстой гэдгийг санаарай. Хэмжилтийн нэгжийг хүн санамсаргүй байдлаар зохион бүтээгээгүй - хэрэв та зурахдаа алдаа гаргавал олж авах ёсгүй зургийг харах эрсдэлтэй.

График, тооцоолол хийхдээ болгоомжтой, болгоомжтой байх хэрэгтэй. Сургуульд сурдаг аливаа шинжлэх ухааны нэгэн адил математик нь нарийвчлалд дуртай. Бага зэрэг хүчин чармайлт гарга, тэгвэл сайн дүн гарахад удаан хугацаа шаардагдахгүй.

Шулуун шугам нь түүнд хамаарах хоёр цэг мэдэгдэж байвал бүрэн тодорхойлогддог. Түүний тэгшитгэлийг ашиглан шулуун шугам барихын тулд энэ тэгшитгэлийг ашиглан түүний хоёр цэгийн координатыг олох шаардлагатай. Хэрэв цэг нь шулуунд хамаарах бол энэ цэгийн координатууд нь шугамын тэгшитгэлийг хангана гэдгийг хатуу санах хэрэгтэй.

Шугамыг тэгшитгэлийг нь ашиглан практикт барихдаа түүнийг байгуулахад авсан хоёр цэгийн координат бүхэл тоо байх үед хамгийн зөв график гарна.

1. Хэрэв шугамыг ерөнхий тэгшитгэлээр тодорхойлсон бол Сүх + By + C= 0 ба , тэгвэл түүнийг байгуулах хамгийн хялбар арга бол шулуун шугамын координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг тодорхойлох явдал юм.

Шулуун шугамын координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийн координатыг хэрхэн тодорхойлохыг зааж өгье. Шугамын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн координатууд Үхэртэнхлэгт байрлах бүх цэгийн ординатуудыг дараах бодолтоос олж болно Үхэр, тэгтэй тэнцүү байна. Шулуун шугамын тэгшитгэлд гэж үздэг y 0-тэй тэнцүү бөгөөд үүссэн тэгшитгэлээс нэг нь олно x. Үнэ цэнэ олсон xба шулууны тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн абсцисса юм Үхэр. Хэрэв энэ нь тогтоогдвол x = а, дараа нь шугамын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн координатууд Үхэрбайх болно ( а, 0).

Тэнхлэгтэй шугамын огтлолцох цэгийн координатыг тодорхойлох Өө, тэд ингэж тайлбарлаж байна: тэнхлэгт байрлах бүх цэгүүдийн абсцисса Өө, тэгтэй тэнцүү байна. Тэгшитгэл дэх шулуун шугамыг авах xтэгтэй тэнцүү бол бид үүссэн тэгшитгэлээс тодорхойлно y. Үнэ цэнэ олсон yба шугамын тэнхлэгтэй огтлолцох ординат болно Өө. Хэрэв энэ нь гарч ирвэл, жишээлбэл, тэр y = б, дараа нь шулуун шугамын тэнхлэгтэй огтлолцох цэг Өөкоординаттай (0, б).

Жишээ.Шууд 2 x + y- 6 = 0 нь тэнхлэгийг гаталж байна Үхэрцэг дээр (3, 0). Үнэхээр энэ тэгшитгэлийг авч үзвэл y= 0, бид тодорхойлох болно xтэгшитгэл 2 x- 6 = 0, хаанаас x = 3.

Энэ шугамын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг тодорхойлох Өө, шулуун шугамын тэгшитгэлд оруулна x= 0. Бид тэгшитгэлийг олж авна y- 6 = 0, үүнээс үүдэн гарч ирнэ y= 6. Ийнхүү шулуун шугам нь координатын тэнхлэгүүдийг (3, 0) ба (0, 6) цэгүүдээр огтолж байна.

Хэрэв шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлд C= 0 бол энэ тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон шулуун шугам эхийг дайран өнгөрнө. Тиймээс түүний нэг цэг нь аль хэдийн мэдэгдэж байгаа бөгөөд шулуун шугам барихын тулд түүний өөр нэг цэгийг олоход л үлддэг. Абсцисса xэнэ цэгийг дур зоргоороо тогтоож, ординат yшулуун шугамын тэгшитгэлээс олно.

Жишээ.Шууд 2 x - 4y= 0 нь эх үүсвэрээр дамждаг. Бид шугамын хоёр дахь цэгийг жишээлбэл, дараах байдлаар тодорхойлно. x= 2. Дараа нь тодорхойлох yБид 2*2 - 4 тэгшитгэлийг авна y = 0; 4y = 4; y= 1. Тэгэхээр 2-р мөр x - 4y= 0 нь (0, 0) ба (2, 1) цэгүүдээр дамждаг.

Хэрэв шугамыг тэгшитгэлээр өгвөл y = kx + бөнцгийн коэффициенттэй бол сегментийн утга энэ тэгшитгэлээс аль хэдийн мэдэгдэж байна б, ординатын тэнхлэг дээр шулуун шугамаар таслагдах ба шулуун шугам барихын тулд энэ шулуунд хамаарах өөр нэг цэгийн координатыг тодорхойлоход л үлддэг. Хэрэв тэгшитгэлд байгаа бол. y = kx + б, дараа нь шугамын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн координатыг тодорхойлох нь хамгийн хялбар байдаг. Үхэр. Үүнийг хэрхэн хийх талаар дээр дурдсан.

Хэрэв тэгшитгэлд байгаа бол y = kx + б б= 0, дараа нь шулуун шугам нь координатын эхийг дайран өнгөрөх бөгөөд ингэснээр түүнд хамаарах нэг цэг аль хэдийн мэдэгдэж байна. Өөр цэг олохын тулд та өгөх хэрэгтэй xдурын утгыг авч тэгшитгэлээс шууд утгыг тодорхойлно y, энэ утгатай тохирч байна x.

Жишээ.Шулуун шугам нь эхлэл ба цэгийг (2, 1) дайран өнгөрдөг xТүүний тэгшитгэлээс = 2.

Өгөгдсөн цэгийг өгөгдсөн чиглэлд дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл. Өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл. Хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцөг. Хоёр шулууны параллелизм ба перпендикуляр байдлын нөхцөл. Хоёр шугамын огтлолцлын цэгийг тодорхойлох

1. Өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл А(x 1 , y 1) налуугаар тодорхойлогдсон өгөгдсөн чиглэлд к,

y - y 1 = к(x - x 1). (1)

Энэ тэгшитгэл нь нэг цэгийг дайран өнгөрөх шугамын харандааг тодорхойлдог А(x 1 , y 1), үүнийг цацрагийн төв гэж нэрлэдэг.

2. Хоёр цэгээр дамжин өнгөрөх шулууны тэгшитгэл: А(x 1 , y 1) ба Б(x 2 , y 2) дараах байдлаар бичсэн:

Өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын өнцгийн коэффициентийг томъёогоор тодорхойлно

3. Шулуун шугамын хоорондох өнцөг АТэгээд Бэхний шулуун шугамыг эргүүлэх ёстой өнцөг юм Ахоёр дахь шугамтай давхцах хүртэл эдгээр шугамын огтлолцох цэгийн эргэн тойронд цагийн зүүний эсрэг Б. Хэрэв хоёр шулуун шугамыг налуутай тэгшитгэлээр өгвөл

y = к 1 x + Б 1 ,

y = к 2 x + Б 2 , (4)

Дараа нь тэдгээрийн хоорондох өнцгийг томъёогоор тодорхойлно

Бутархайн дугаарт эхний мөрийн налууг хоёр дахь шугамын налуугаас хасдаг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Хэрэв шугамын тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрээр өгвөл

А 1 x + Б 1 y + C 1 = 0,

А 2 x + Б 2 y + C 2 = 0, (6)

тэдгээрийн хоорондох өнцгийг томъёогоор тодорхойлно

4. Хоёр шугамын зэрэгцээ байх нөхцөл:

a) Хэрэв шугамуудыг өнцгийн коэффициент бүхий тэгшитгэлээр (4) өгсөн бол тэдгээрийн зэрэгцээ байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл нь өнцгийн коэффициентүүдийн тэгш байдал юм.

к 1 = к 2 . (8)

б) Шулууныг ерөнхий хэлбэрээр (6) тэгшитгэлээр өгсөн тохиолдолд тэдгээрийн параллелизмд зайлшгүй шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл нь тэдгээрийн тэгшитгэл дэх харгалзах гүйдлийн координатын коэффициентүүд нь пропорциональ байх явдал юм.

5. Хоёр шулууны перпендикуляр байх нөхцөл:

a) Шулууныг өнцгийн коэффициент бүхий тэгшитгэлээр (4) өгөгдсөн тохиолдолд тэдгээрийн перпендикуляр байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл нь тэдгээрийн өнцгийн коэффициентүүд нь урвуу утгатай, тэмдгээр нь эсрэг байх явдал юм.

Хэрэв шугамыг тодорхойлох тэгшитгэлд модулийн тэмдгийг оруулбал шугамууд хэрхэн хувирдагийг харуулъя.

F(x;y)=0(*) тэгшитгэлтэй байя.

· F(|x|;y)=0 тэгшитгэл нь ординаттай харьцангуй тэгш хэмтэй шугамыг заана. Хэрэв (*) тэгшитгэлээр өгөгдсөн энэ шугамыг аль хэдийн барьсан бол бид шугамын нэг хэсгийг ординатын тэнхлэгийн баруун талд үлдээж, дараа нь зүүн тийш тэгш хэмтэй байдлаар гүйцээнэ.

· F(x;|y|)=0 тэгшитгэл нь абсцисса тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй шулууныг тодорхойлно. Хэрэв (*) тэгшитгэлээр өгөгдсөн энэ шугамыг аль хэдийн барьсан бол бид шугамын нэг хэсгийг x тэнхлэгээс дээш үлдээж, доороос нь тэгш хэмтэйгээр гүйцээнэ.

· F(|x|;|y|)=0 тэгшитгэл нь координатын тэнхлэгүүдтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй шугамыг зааж өгдөг. Хэрэв (*) тэгшитгэлээр өгөгдсөн шугамыг аль хэдийн барьсан бол эхний улиралд шугамын нэг хэсгийг орхиж, дараа нь тэгш хэмтэй байдлаар гүйцээнэ.

Дараах жишээнүүдийг авч үзье

Жишээ 1.

Тэгшитгэлээр өгөгдсөн шулуун шугамтай болцгооё.

(1), энд a>0, b>0.

Тэгшитгэлээр өгөгдсөн шугамуудыг байгуул:

Шийдэл:

Эхлээд бид анхны шугамыг барьж, дараа нь зөвлөмжийг ашиглан бид үлдсэн шугамуудыг барих болно.

цагт

(1)

(2)

-а

(3)

-б

-а

(5)

-б

Жишээ 5

Координатын хавтгай дээр тэгш бусаар тодорхойлогдсон талбайг зур.

Шийдэл:

Эхлээд бид тэгшитгэлээр өгөгдсөн бүсийн хилийг байгуулна.

| (5)

Өмнөх жишээнд бид координатын хавтгайг хоёр хэсэгт хуваах хоёр зэрэгцээ шугамыг авсан.

Шугамын хоорондох талбай

Шугамын гаднах талбай.

Өөрийнхөө талбайг сонгохын тулд хяналтын цэгийг жишээ нь (0;0) авч, энэ тэгш бус байдалд орлъё: 0≤1 (зөв)® шугамын хоорондох талбай, түүний дотор хил.

Хэрэв тэгш бус байдал хатуу байвал хил хязгаар нь тухайн бүсэд хамаарахгүй гэдгийг анхаарна уу.

Энэ тойргийг хадгалаад ординатын тэнхлэгт тэгш хэмтэй нэгийг байгуулъя. Энэ тойргийг хадгалаад абсцисса тэнхлэгт тэгш хэмтэй нэгийг байгуулъя. Энэ тойргийг хадгалаад абсцисса тэнхлэгт тэгш хэмтэй нэгийг байгуулъя. ба ординатын тэнхлэгүүд. Үүний үр дүнд бид 4 тойрог авдаг. Тойргийн төв нь эхний улиралд (3;3), радиус нь R=3 гэдгийг анхаарна уу.

цагт

-3

Өргөдөл

Нэг хэмжээст зураглал

Олон хэмжээст гэдэг ойлголт байдаг. Нэг цэгийн байршлыг тодорхойлоход нэг л тоо хангалттай. Координатын шугамыг ашиглахад яг ийм байна. Хэрэв орон зай хоёр хэмжээст бол хоёр тоо шаардлагатай. Энэ төрлийн диаграммыг илүү олон удаа ашигладаг бөгөөд бид нийтлэлийн дараа тэдгээрийг үзэх болно.

Координатын тэнхлэгийг хэрхэн яаж барих вэ

Координатын шулуун дээрх цэгүүдийн төрлүүд

Онгоц

Хоёр шулуун шугам барихдаа функцүүдийн графикийг аль хэдийн авч үзэх боломжтой. Хэвтээ шугам нь цагийн тэнхлэг, босоо шугам нь зай байна гэж бодъё. Одоо бид нэг минут эсвэл нэг цагийн аялалд тухайн объект хэр хол явахыг тодорхойлох боломжтой болсон. Тиймээс онгоцтой ажиллах нь объектын төлөв байдлын өөрчлөлтийг хянах боломжтой болгодог. Энэ нь статик төлөвийг судлахаас хамаагүй илүү сонирхолтой юм.

Масштаб

Цэг ба сегментийн координатууд

Та бүхний мэдэж байгаагаар аливаа олон өнцөгтийг сегмент ашиглан зурж болно. Асуудал шийдэгдсэн.

Тооцоолол

Сөрөг тоонууд

Чухал өмч

Дүгнэлт

Координатын хавтгайн тухай ойлголт

Объект бүр (жишээлбэл, байшин, танхимын газар, газрын зураг дээрх цэг) өөрийн гэсэн захиалгат хаягтай (координат), тоон эсвэл үсгийн тэмдэглэгээтэй байдаг.

Математикчид объектын байрлалыг тодорхойлох боломжийг олгодог загвар зохион бүтээжээ координатын хавтгай.

Координатын хавтгайг бүтээхийн тулд та $2$ хэмжээтэй перпендикуляр шулуун шугам зурах хэрэгтэй бөгөөд төгсгөлд нь "баруун тийш" ба "дээш" чиглэлийг сумаар зааж өгсөн болно. Шугамануудад хуваалт хийх ба шугамын огтлолцлын цэг нь хоёр масштабын тэг тэмдэг юм.

Тодорхойлолт 1

хэвтээ шугам гэж нэрлэдэг x тэнхлэгба х-ээр тэмдэглэгдсэн, босоо шугамыг дуудна у тэнхлэгба y гэж тэмдэглэгдсэн байна.

Хуваалттай хоёр перпендикуляр х ба у тэнхлэг бүрддэг тэгш өнцөгт, эсвэл Декарт, координатын систем, үүнийг Францын философич, математикч Рене Декарт санал болгосон.

Координатын хавтгай

Цэгийн координат

Координатын хавтгай дээрх цэгийг хоёр координатаар тодорхойлно.

Координатын хавтгай дээрх $A$ цэгийн координатыг тодорхойлохын тулд координатын тэнхлэгүүдтэй параллель шулуун шугамыг зурах хэрэгтэй (зураг дээр тасархай шугамаар тэмдэглэсэн). Шугамын х тэнхлэгтэй огтлолцох нь $A$ цэгийн $x$ координатыг, у тэнхлэгтэй огтлолцох нь $A$ цэгийн у координатыг өгнө. Цэгийн координатыг бичихдээ эхлээд $x$ координат, дараа нь $y$ координат бичнэ.

Зураг дээрх $A$ цэг нь $(3; 2)$, $B (–1; 4)$ цэгийн координаттай байна.

Координатын хавтгай дээрх цэгийг зурахын тулд урвуу дарааллаар үргэлжлүүлнэ үү.

Заасан координат дээр цэг байгуулах

Жишээ 1

Координатын хавтгайд $A(2;5)$ ба $B(3; –1) цэгүүдийг байгуул.

Шийдэл.

$A$ цэгийг барих:

$2$ тоог $x$ тэнхлэгт тавиад перпендикуляр шугам татах;
Y тэнхлэг дээр бид $5$ тоог зурж $y$ тэнхлэгт перпендикуляр шулуун шугамыг зурна. Перпендикуляр шулуунуудын огтлолцол дээр $(2; 5)$ координаттай $A$ цэгийг олж авна.

$B$ цэгийг барих:

$3$ тоог $x$ тэнхлэгт зурж, x тэнхлэгт перпендикуляр шулуун шугамыг зурцгаая;
$y$ тэнхлэг дээр бид $(–1)$ тоог зурж $y$ тэнхлэгт перпендикуляр шулуун шугамыг зурна. Перпендикуляр шулуунуудын огтлолцол дээр $(3; –1)$ координаттай $B$ цэгийг олж авна.

Жишээ 2

Өгөгдсөн $C (3; 0)$ ба $D(0; 2)$ координат бүхий координатын хавтгай дээр цэгүүдийг байгуул.

Шийдэл.

$C$ цэгийг барих:

$3$ тоог $x$ тэнхлэгт тавих;
$y$ координат нь тэгтэй тэнцүү бөгөөд энэ нь $C$ цэг $x$ тэнхлэгт байрлана гэсэн үг.

$D$ цэгийг барих:

$2$ тоог $y$ тэнхлэгт тавих;
$x$ координат нь тэгтэй тэнцүү бөгөөд энэ нь $D$ цэг $y$ тэнхлэгт байрлана гэсэн үг.

Тайлбар 1

Иймд $x=0$ координат дээр цэг нь $y$ тэнхлэг дээр, $y=0$ координат дээр цэг нь $x$ тэнхлэг дээр байрлана.

Жишээ 3

A, B, C, D цэгүүдийн координатыг тодорхойлно.$

Шийдэл.

$A$ цэгийн координатыг тодорхойлъё. Үүнийг хийхийн тулд бид $2$ цэгээр координатын тэнхлэгүүдтэй параллель шулуун шугамуудыг татна. Шугамын х тэнхлэгтэй огтлолцвол $x$ координат, шулууны ординаттай огтлолцох нь $y$ координатыг өгнө. Ийнхүү бид $A (1; 3) цэгийг олж авна.$

$B$ цэгийн координатыг тодорхойлъё. Үүнийг хийхийн тулд бид $2$ цэгээр координатын тэнхлэгүүдтэй параллель шулуун шугамуудыг татна. Шугамын х тэнхлэгтэй огтлолцвол $x$ координат, шулууны ординаттай огтлолцох нь $y$ координатыг өгнө. Бид $B (–2; 4) цэгийг олдог.$

$C$ цэгийн координатыг тодорхойлъё. Учир нь энэ нь $y$ тэнхлэг дээр байрласан бол энэ цэгийн $x$ координат тэг болно. y координат нь $–2$ байна. Тиймээс $C (0; –2)$ цэг.

$D$ цэгийн координатыг тодорхойлъё. Учир нь $x$ тэнхлэг дээр байвал $y$ координат тэг болно. Энэ цэгийн $x$ координат нь $–5$ байна. Тиймээс $D цэг (5; 0).$

Жишээ 4

$E(–3; –2), F(5; 0), G(3; 4), H(0; –4), O(0; 0) цэгүүдийг байгуул.$

Шийдэл.

$E$ цэгийг барих:

$(–3)$ тоог $x$ тэнхлэгт тавиад перпендикуляр шугам татах;
$y$ тэнхлэг дээр бид $(–2)$ тоог зурж, $y$ тэнхлэгт перпендикуляр шугам зурна;
перпендикуляр шулуунуудын огтлолцол дээр $E (–3; –2) цэгийг авна.$

$F$ цэгийг барих:

координат $y=0$, энэ нь цэг нь $x$ тэнхлэг дээр байрладаг гэсэн үг;
$5$ тоог $x$ тэнхлэг дээр зурж $F(5; 0) цэгийг олъё.

$G$ цэгийг барих:

$3$ тоог $x$ тэнхлэгт тавиад $x$ тэнхлэгт перпендикуляр шугам татах;
$y$ тэнхлэг дээр бид $4$ тоог зурж $y$ тэнхлэгт перпендикуляр шугам зурна;
перпендикуляр шулуунуудын огтлолцол дээр $G(3; 4) цэгийг олж авна.$

$H$ цэгийг барих:

координат $x=0$, энэ нь цэг нь $y$ тэнхлэгт байрладаг гэсэн үг;
$(–4)$ тоог $y$ тэнхлэг дээр зурж $H(0;–4) цэгийг олъё.

$O$ цэгийг барих:

цэгийн координат хоёулаа тэгтэй тэнцүү бөгөөд энэ нь цэг нь $y$ тэнхлэг ба $x$ тэнхлэгт нэгэн зэрэг оршдог тул энэ нь хоёр тэнхлэгийн огтлолцлын цэг (координатын эхлэл) юм.