Дана сумма арифметической прогрессии. Задачи для самостоятельного решения

21.09.2019

Урок и презентация на тему: "Числовые последовательности. Арифметическая прогрессия"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия в интернет-магазине "Интеграл" для 9 класса к учебникам
Макарычева Ю.Н. Алимова Ш.А. Мордковича А.Г. Муравина Г.К.

Так что же такое арифметическая прогрессия?

Числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен сумме предыдущего и некоторого фиксированного числа, называется арифметической прогрессией.

Арифметическая прогрессия – рекуррентно заданная числовая прогрессия.

Давайте запишем рекуррентную форму: $a_{1}=a$; $a_{n}=a_{n-1}+d$, число d – разность прогрессии. а и d – определенные заданные числа.

Пример. 1,4,7,10,13,16… Арифметическая прогрессия, у которой $а=1, d=3$.

Пример. 3,0,-3,-6,-9… Арифметическая прогрессия, у которой $а=3, d=-3$.

Пример. 5,5,5,5,5… Арифметическая прогрессия, у которой $а=5, d=0$.

Арифметическая прогрессия обладает свойствами монотонности, если разность прогрессии больше нуля, то последовательность возрастающая, если разность прогрессии меньше нуля, то последовательность убывающая.

Если в арифметической прогрессии количество элементов конечно, то прогрессия называется конечной арифметической прогрессией.

Если задана последовательность $a_{n}$, и она является арифметической прогрессией, то принято обозначать: $a_{1}, a_{2}, …, a_{n}, …$.

Формула n-ого члена арифметической прогрессии

Арифметическую прогрессию можно задавать и в аналитической форме. Давайте посмотрим, как это сделать:
$a_{1}=a_{1}$.
$a_{2}=a_{1}+d$.
$a_{3}=a_{2}+d=a_{1}+d+d=a_{1}+2d$.
$a_{4}=a_{3}+d=a_{1}+3d$.
$a_{5}=a_{4}+d=a_{1}+4d$.
Мы легко замечаем закономерность: $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$.
Наша формула называется – формулой n-ого члена арифметической прогрессии.

Давайте вернемся к нашим примерам и запишем нашу формулу для каждого из примеров.

Пример. 1,4,7,10,13,16… Арифметическая прогрессия, у которой а=1, d=3. $a_{n}=1+(n-1)3=3n-2$.

Пример. 3,0,-3,-6,-9… Арифметическая прогрессия, у которой а=3, d=-3. $a_{n}=3+(n-1)(-3)=-3n+6$.

Пример. Дана арифметическая прогрессия: $a_{1}, a_{2}, …, a_{n}, …$.
а) Известно, что $a_{1}=5$, $d=3$. Найти $a_{23}$.
б) Известно, что $a_{1}=4$, $d=5$, $a_{n}=109$. Найти n.
в) Известно, что $d=-1$, $a_{22}=15$. Найти $a_{1}$.
г) Известно, что $a_{1}=-3$, $a_{10}=24$. Найти d.
Решение.
а) $a_{23}=a_{1}+22d=5+66=71$.
б) $a_{n}=a_{1}+(n-1)d=4+5(n-1)=5n-1=109$.
$5n=110=>n=22$.
в) $a_{22}=a_{1}+21d=a_{1}-21=15=> a_{}1=36$.
г) $a_{10}=a_{1}+9d=-3+9d=24=>d=3$.

Пример. При делении девятого члена арифметической прогрессии на второй член в частном остается 7, а при делении девятого члена на пятый в частном получается 2, а в остатке 5. Найти тридцатый член прогрессии.
Решение.
Запишем последовательно формулы 2,5 и 9 членов нашей прогрессии.
$a_{2}=a_{1}+d$.
$a_{5}=a_{1}+4d$.
$a_{9}=a_{1}+8d$.
Также из условия знаем:
$a_{9}=7a_{2}$.
$a_{9}=2a_{5}+5$.
Или:
$a_{1}+8d=7(a_{1}+d)$.
$a_{1}+8d=2(a_{1}+4d)+5$.
Составим систему уравнений:
$\begin{cases}a_{1}+8d=7(a_{1}+d)\\a_{1}+8d=2(a_{1}+4d)+5\end{cases}$.
$\begin{cases}d=6a_{1}\\d=a_{1}+5\end{cases}$.
Решив систему получаем: $d=6, a_{1}=1$.
Найдем $a_{30}$.
$a_{30}=a_{1}+29d=175$.

Сумма конечной арифметической прогрессии

Пусть у нас есть конечная арифметическая прогрессия. Возникает вопрос, а можно ли посчитать сумму всех ее членов?
Давайте попробуем разобраться в этом вопросе.
Пусть дана конечная арифметическая прогрессия: $a_{1},a_{2},…a_{n-1},a_{n}$.
Введем обозначение суммы ее членов: $S_{n}=a_{1}+a_{2}+⋯+a_{n-1}+a_{n}$.
Давайте рассмотрим, на конкретном примере, чему равна сумма.

Пусть нам дана арифметическая прогрессия 1,2,3,4,5…100.
Сумма ее членов тогда представим вот так:
$S_{n}=1+2+3+4+⋯+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+⋯+(50+51)=$
$=101+101+⋯+101=50*101=5050$.
Но схожая формула применима для любой арифметической прогрессии:
$a_{3}+a_{n-2}=a_{2}+a_{n-1}=a_{1}+a_{n}$.
Давайте запишем нашу формулу в общем случае: $a_{k}+a_{n-k+1}=a_{1}+a_{n}$, где $k<1$.
Давайте выведем формулу для вычисления суммы членов арифметической прогрессии, запишем два раза формулу в разных порядках:
$S_{n}=a_{1}+a_{2}+⋯+a_{n-1}+a_{n}$.
$S_{n}=a_{n}+a_{n-1}+⋯+a_{2}+a_{1}$.
Сложим между собой эти формулы:
$2S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{2}+a_{n-1})+⋯+(a_{n-1}+a_{2})+(a_{n}+a_{1})$.
В правой части нашего равенства n слагаемых, и мы знаем, что каждый из них равен $a_{1}+a_{n}$.
Тогда:
$S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}$.
Так же нашу формулу можно переписать в виде: так как $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$,
то $S_{n}=\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}*n$.
Чаще всего удобнее пользоваться именно этой формулой, поэтому хорошо бы ее запомнить!

Пример. Дана конечная арифметическая прогрессия.
Найти:
а) $s_{22},если a_{1}=7, d=2$.
б) d,если $a_{1}=9$, $s_{8}=144$.
Решение.
а) Воспользуемся второй формулой суммы $S_{22}=\frac{2a_{1}+d(22-1)}{2}*22=\frac{14+2(22-1)}{2}*22=616$.
б) В этом примере воспользуемся первой формулой: $S_{8}=\frac{8(a_{1}+a_{1})}{2}=4a_{1}+4a_{8}$.
$144=36+4a_{8}$.
$a_{8}=27$.
$a_{8}=a_{1}+7d=9+7d$.
$d=2\frac{4}{7}$.

Пример. Найти сумму всех нечетных двухзначных чисел.
Решение.
Члены нашей прогрессии представляют собой: $a_{1}=11$, $a_{2}=13$, …, $a_{n}=99$.
Давайте найдем номер последнего члена прогрессии:
$a_{n}=a_{1}+d(n-1)$.
$99=11+2(n-1)$.
$n=45$.
Теперь найдем сумму: $S_{45}=\frac{45(11+99)}{2}=2475$.

Пример. Ребята отправились в поход. Известно, что за первый час они прошли 500 м, после они стали проходить на 25 метров меньше, чем в первый час. За сколько часов они пройдут 2975 метров?
Решение.
Путь, пройденный за каждый час можно представить в виде арифметической прогрессии:
$a_{1}=500$, $a_{2}=475$, $a_{3}=450…$.
Разность арифметической прогрессии равна $d=-25$.
Путь, пройденный в 2975 метров представляет собой сумму членов арифметической прогрессии.
$S_{n}=2975$, где n - часы потраченные на путь.
Тогда:
$S_{n}=\frac{1000-25(n-1)}{2}$, $n=2975$.
$1000n-25(n-1)n=5950$.
Разделим обе части на 25.
$40n-(n-1)n=238$.
$n^2-41n+238=0$.
$n_{1}=7$, $n_{2}=34$.
Очевидно, что логичнее выбрать $n=7$.
Ответ. Ребята были в пути 7 часов.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Ребята, пусть дана арифметическая прогрессия, давайте рассмотрим произвольных три последовательных члена прогрессии: $a_{n-1}$, $a_{n}$, $a_{n+1}$.
Мы знаем что:
$a_{n-1}=a_{n}-d$.
$a_{n+1}=a_{n}+d$.
Давайте сложим наши выражения:
$a_{n-1}+a_{n+1}=2a_{n}$.
$a_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$.

Если прогрессия конечная, то это равенство выполняется для всех членов, кроме первого и последнего.
Если заранее неизвестно, какой вид у последовательности, но известно что: $a_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$.
Тогда можно смело говорить, что это арифметическая прогрессия.

Числовая последовательность является арифметической прогрессией, когда каждый член этой прогрессии равен среднему арифметическому двух соседних членов нашей прогрессии (не забываем, что для конечной прогрессии это условие не выполняется для первого и последнего члена прогрессии).

Пример. Найти такие х, что $3х+2$; $x-1$; $4x+3$ – три последовательных члена арифметической прогрессии.
Решение. Воспользуемся нашей формулой:
$x-1=\frac{3x+2+4x+3}{2}$.
$2x-2=7x+5$.
$-5x=7$.
$x=-1\frac{2}{5}=-1,4$.
Проверим, наши выражения примут вид: -2,2; -2,4; -2,6.
Очевидно что, это члены арифметической прогрессии и $d=-0,2$.

Задачи для самостоятельного решения

1. Найдите двадцать первый член арифметической прогрессии 38;30;22…
2. Найдите пятнадцатый член арифметической прогрессии 10,21,32…
3. Известно, что $a_{1}=7$, $d=8$. Найти $a_{31}$.
4. Известно, что $a_{1}=8$, $d=-2$, $a_{n}=-54$. Найти n.
5. Найдите сумму первых семнадцати членов арифметической прогрессии 3;12;21….
6. Найти такие х, что $2х-1$; $3x+1$; $5x-7$ – три последовательных члена арифметической прогрессии.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

Арифметическая прогрессия - это ряд чисел, в котором каждое число больше (или меньше) предыдущего на одну и ту же величину.

Эта тема частенько представляется сложной и непонятной. Индексы у буковок, n-й член прогрессии, разность прогрессии - всё это как-то смущает, да... Разберёмся со смыслом арифметической прогрессии и всё сразу наладится.)

Понятие арифметической прогрессии.

Арифметическая прогрессия - понятие очень простое и чёткое. Сомневаетесь? Зря.) Смотрите сами.

Я напишу незаконченный ряд чисел:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Сможете продлить этот ряд? Какие числа пойдут дальше, за пятёркой? Каждый... э-э-э..., короче, каждый сообразит, что дальше пойдут числа 6, 7, 8, 9 и т.д.

Усложним задачу. Даю незаконченный ряд чисел:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Сможете уловить закономерность, продлить ряд, и назвать седьмое число ряда?

Если сообразили, что это число 20 - я вас поздравляю! Вы не только почувствовали ключевые моменты арифметической прогрессии, но и успешно употребили их в дело! Если не сообразили - читаем дальше.

А теперь переведём ключевые моменты из ощущений в математику.)

Первый ключевой момент.

Арифметическая прогрессия имеет дело с рядами чисел. Это и смущает поначалу. Мы привыкли уравнения решать, графики строить и всё такое... А тут продлить ряд, найти число ряда...

Ничего страшного. Просто прогрессии - это первое знакомство с новым разделом математики. Раздел называется "Ряды" и работает именно с рядами чисел и выражений. Привыкайте.)

Второй ключевой момент.

В арифметической прогрессии любое число отличается от предыдущего на одну и ту же величину.

В первом примере эта разница - единичка. Какое число ни возьми, оно больше предыдущего на единичку. Во втором - тройка. Любое число больше предыдущего на тройку. Собственно, именно этот момент и даёт нам возможность уловить закономерность и рассчитать последующие числа.

Третий ключевой момент.

Этот момент не бросается в глаза, да... Но очень, очень важен. Вот он: каждое число прогрессии стоит на своём месте. Есть первое число, есть седьмое, есть сорок пятое, и т.д. Если их перепутать как попало, закономерность исчезнет. Исчезнет и арифметическая прогрессия. Останется просто ряд чисел.

Вот и вся суть.

Разумеется, в новой теме появляются новые термины и обозначения. Их надо знать. Иначе и задание-то не поймёшь. Например, придётся решать, что-нибудь, типа:

Выпишите первые шесть членов арифметической прогрессии (a n), если a 2 = 5, d = -2,5.

Внушает?) Буковки, индексы какие-то... А задание, между прочим - проще некуда. Просто нужно понять смысл терминов и обозначений. Сейчас мы это дело освоим и вернёмся к заданию.

Термины и обозначения.

Арифметическая прогрессия - это ряд чисел, в котором каждое число отличается от предыдущего на одну и ту же величину.

Эта величина называется . Разберёмся с этим понятием поподробнее.

Разность арифметической прогрессии.

Разность арифметической прогрессии - это величина, на которую любое число прогрессии больше предыдущего.

Один важный момент. Прошу обратить внимание на слово "больше". Математически это означает, что каждое число прогрессии получается прибавлением разности арифметической прогрессии к предыдущему числу.

Для расчёта, скажем, второго числа ряда, надо к первому числу прибавить эту самую разность арифметической прогрессии. Для расчёта пятого - разность надо прибавить к четвёртому, ну и т.п.

Разность арифметической прогрессии может быть положительной, тогда каждое число ряда получится реально больше предыдущего. Такая прогрессия называется возрастающей. Например:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Здесь каждое число получается прибавлением положительного числа, +5 к предыдущему.

Разность может быть и отрицательной, тогда каждое число ряда получится меньше предыдущего. Такая прогрессия называется (вы не поверите!) убывающей.

Например:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Здесь каждое число получается тоже прибавлением к предыдущему, но уже отрицательного числа, -5.

Кстати, при работе с прогрессией очень полезно бывает сразу определить её характер - возрастающая она, или убывающая. Это здорово помогает сориентироваться в решении, засечь свои ошибки и исправить их, пока не поздно.

Разность арифметической прогрессии обозначается, как правило, буквой d.

Как найти d ? Очень просто. Надо от любого числа ряда отнять предыдущее число. Вычесть. Кстати, результат вычитания называется "разность".)

Определим, например, d для возрастающей арифметической прогрессии:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Берём любое число ряда, какое хотим, например, 11. Отнимаем от него предыдущее число, т.е. 8:

Это правильный ответ. Для этой арифметической прогрессии разность равна трём.

Брать можно именно любое число прогрессии, т.к. для конкретной прогрессии d - всегда одно и то же. Хоть где-нибудь в начале ряда, хоть в середине, хоть где угодно. Брать нельзя только самое первое число. Просто потому, что у самого первого числа нет предыдущего. )

Кстати, зная, что d = 3 , найти седьмое число этой прогрессии очень просто. Прибавим 3 к пятому числу - получим шестое, это будет 17. Прибавим к шестому числу тройку, получим седьмое число - двадцать.

Определим d для убывающей арифметической прогрессии:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Напоминаю, что, независимо от знаков, для определения d надо от любого числа отнять предыдущее. Выбираем любое число прогрессии, например -7. Предыдущее у него - число -2. Тогда:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Разность арифметической прогрессии может быть любым числом: целым, дробным, иррациональным, всяким.

Другие термины и обозначения.

Каждое число ряда называется членом арифметической прогрессии.

Каждый член прогрессии имет свой номер. Номера идут строго по порядочку, безо всяких фокусов. Первый, второй, третий, четвёртый и т.д. Например, в прогрессии 2, 5, 8, 11, 14, ... двойка - это первый член, пятёрка - второй, одиннадцать - четвёртый, ну, вы поняли...) Прошу чётко осознать - сами числа могут быть совершенно любые, целые, дробные, отрицательные, какие попало, но нумерация чисел - строго по порядку!

Как записать прогрессию в общем виде? Не вопрос! Каждое число ряда записывается в виде буквы. Для обозначения арифметической прогрессии используется, как правило, буква a . Номер члена указывается индексом внизу справа. Члены пишем через запятую (или точку с запятой), вот так:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

a 1 - это первое число, a 3 - третье, и т.п. Ничего хитрого. Записать этот ряд кратко можно вот так: (a n ).

Прогрессии бывают конечные и бесконечные.

Конечная прогрессия имеет ограниченное количество членов. Пять, тридцать восемь, сколько угодно. Но - конечное число.

Бесконечная прогрессия - имеет бесконечное количество членов, как можно догадаться.)

Записать конечную прогрессию через ряд можно вот так, все члены и точка в конце:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .

Или так, если членов много:

a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .

В краткой записи придётся дополнительно указывать количество членов. Например (для двадцати членов), вот так:

(a n), n = 20

Бесконечную прогрессию можно узнать по многоточию в конце ряда, как в примерах этого урока.

Теперь уже можно порешать задания. Задания несложные, чисто для понимания смысла арифметической прогрессии.

Примеры заданий по арифметической прогрессии.

Разберём подробненько задание, что приведено выше:

1. Выпишите первые шесть членов арифметической прогрессии (a n), если a 2 = 5, d = -2,5.

Переводим задание на понятный язык. Дана бесконечная арифметическая прогрессия. Известен второе число этой прогрессии: a 2 = 5. Известна разность прогрессии: d = -2,5. Нужно найти первый, третий, четвёртый, пятый и шестой члены этой прогрессии.

Для наглядности запишу ряд по условию задачки. Первые шесть членов, где второй член - пятёрка:

a 1 , 5 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ,....

a 3 = a 2 + d

Подставляем в выражение a 2 = 5 и d = -2,5 . Не забываем про минус!

a 3 =5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Третий член получился меньше второго. Всё логично. Если число больше предыдущего на отрицательную величину, значит само число получится меньше предыдущего. Прогрессия - убывающая. Ладно, учтём.) Считаем четвёртый член нашего ряда:

a 4 = a 3 + d

a 4 =2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = a 4 + d

a 5 =0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = a 5 + d

a 6 =-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Так, члены с третьего по шестой вычислили. Получился такой ряд:

a 1 , 5 , 2,5 , 0 , -2,5 , -5 , ....

Остаётся найти первый член a 1 по известному второму. Это шаг в другую сторону, влево.) Значит, разность арифметической прогрессии d надо не прибавить к a 2 , а отнять:

a 1 = a 2 - d

a 1 =5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Вот и все дела. Ответ задания:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Попутно замечу, что это задание мы решали рекуррентным способом. Это страшное слово означает, всего лишь, поиск члена прогрессии по предыдущему (соседнему) числу. Другие способы работы с прогрессией мы рассмотрим далее.

Из этого несложного задания можно сделать один важный вывод.

Запоминаем:

Если нам известен хотя бы один член и разность арифметической прогрессии, мы можем найти любой член этой прогрессии.

Запомнили? Этот несложный вывод позволяет решать большинство задач школьного курса по этой теме. Все задачи крутятся вокруг трёх главных параметров: член арифметической прогрессии, разность прогрессии, номер члена прогрессии. Всё.

Разумеется, вся предыдущая алгебра не отменяется.) К прогрессии прицепляются и неравенства, и уравнения, и прочие вещи. Но по самой прогрессии - всё крутится вокруг трёх параметров.

Для примера рассмотрим некоторые популярные задания по этой теме.

2. Запишите конечную арифметическую прогрессию в виде ряда, если n=5, d = 0,4, и a 1 = 3,6.

Здесь всё просто. Всё уже дано. Нужно вспомнить, как считаются члены арифметической прогрессии, посчитать, да и записать. Желательно не пропустить слова в условии задания: "конечную" и "n=5 ". Чтобы не считать до полного посинения.) В этой прогрессии всего 5 (пять) членов:

a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4

a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Остаётся записать ответ:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Ещё задание:

3. Определите, будет ли число 7 членом арифметической прогрессии (a n), если a 1 = 4,1; d = 1,2.

Хм... Кто ж его знает? Как определить-то?

Как-как... Да записать прогрессию в виде ряда и посмотреть, будет там семёрка, или нет! Считаем:

a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3

a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5

a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Сейчас чётко видно, что семёрку мы просто проскочили между 6,5 и 7,7! Не попала семёрка в наш ряд чисел, и, значит, семёрка не будет членом заданной прогрессии.

Ответ: нет.

А вот задачка на основе реального варианта ГИА:

4. Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии:

...; 15; х; 9; 6; ...

Здесь записан ряд без конца и начала. Нет ни номеров членов, ни разности d . Ничего страшного. Для решения задания достаточно понимать смысл арифметической прогрессии. Смотрим и соображаем, что можно узнать из этого ряда? Какие параметры из трёх главных?

Номера членов? Нет тут ни единого номера.

Зато есть три числа и - внимание! - слово "последовательных" в условии. Это значит, что числа идут строго по порядку, без пропусков. А есть ли в этом ряду два соседних известных числа? Да, есть! Это 9 и 6. Стало быть, мы можем вычислить разность арифметической прогрессии! От шестёрки отнимаем предыдущее число, т.е. девятку:

Остались сущие пустяки. Какое число будет предыдущим для икса? Пятнадцать. Значит, икс можно легко найти простым сложением. К 15 прибавить разность арифметической прогрессии:

Вот и всё. Ответ: х=12

Следующие задачки решаем самостоятельно. Замечание: эти задачки - не на формулы. Чисто на понимание смысла арифметической прогрессии.) Просто записываем ряд с числами-буквами, смотрим и соображаем.

5. Найдите первый положительный член арифметической прогрессии, если a 5 = -3; d = 1,1.

6. Известно, что число 5,5 является членом арифметической прогрессии (a n), где a 1 = 1,6; d = 1,3. Определите номер n этого члена.

7. Известно, что в арифметической прогрессии a 2 = 4; a 5 = 15,1. Найдите a 3 .

8. Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии:

...; 15,6; х; 3,4; ...

Найдите член прогрессии, обозначенный буквой х.

9. Поезд начал движение от станции, равномерно увеличивая скорость на 30 метров в минуту. Какова будет скорость поезда через пять минут? Ответ дайте в км/час.

10. Известно, что в арифметической прогрессии a 2 = 5; a 6 = -5. Найдите a 1 .

Ответы (в беспорядке): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.

Всё получилось? Замечательно! Можно осваивать арифметическую прогрессию на более высоком уровне, в следующих уроках.

Не всё получилось? Не беда. В Особом разделе 555 все эти задачки разобраны по косточкам.) И, конечно, описан простой практический приём, который сразу высвечивает решение подобных заданий чётко, ясно, как на ладони!

Кстати, в задачке про поезд есть две проблемки, на которых часто спотыкается народ. Одна - чисто по прогрессии, а вторая - общая для любых задач по математике, да и физике тоже. Это перевод размерностей из одной в другую. В показано, как надо эти проблемы решать.

В этом уроке мы рассмотрели элементарный смысл арифметической прогрессии и её основные параметры. Этого достаточно для решения практически всех задач на эту тему. Прибавляй d к числам, пиши ряд, всё и решится.

Решение "на пальцах" хорошо подходит для очень коротких кусочков ряда, как в примерах этого урока. Если ряд подлиннее, вычисления усложняются. Например, если в задачке 9 в вопросе заменить "пять минут" на "тридцать пять минут", задачка станет существенно злее.)

А ещё бывают задания простые по сути, но несусветные по вычислениям, например:

Дана арифметическая прогрессия (a n). Найти a 121 , если a 1 =3, а d=1/6.

И что, будем много-много раз прибавлять по 1/6?! Это же убиться можно!?

Можно.) Если не знать простую формулу, по которой решать подобные задания можно за минуту. Эта формула будет в следующем уроке. И задачка эта там решена. За минуту.)

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

При изучении алгебры в общеобразовательной школе (9 класс) одной из важных тем является изучение числовых последовательностей, к которым относятся прогрессии -геометрическая и арифметическая. В данной статье рассмотрим арифметическую прогрессию и примеры с решениями.

Что собой представляет арифметическая прогрессия?

Чтобы это понять, необходимо дать определение рассматриваемой прогрессии, а также привести основные формулы, которые далее будут использованы при решении задач.

Известно, что в некоторой прогрессии алгебраической 1-й член равен 6, а 7-й член равен 18. Необходимо найти разность и восстановить эту последовательность до 7 члена.

Воспользуемся формулой для определения неизвестного члена: a n = (n - 1) * d + a 1 . Подставим в нее известные данные из условия, то есть числа a 1 и a 7 , имеем: 18 = 6 + 6 * d. Из этого выражения можно легко вычислить разность: d = (18 - 6) /6 = 2. Таким образом, ответили на первую часть задачи.

Чтобы восстановить последовательность до 7 члена, следует воспользоваться определением алгебраической прогрессии, то есть a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d и так далее. В итоге восстанавливаем всю последовательность: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14, a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Пример №3: составление прогрессии

Усложним еще сильнее условие задачи. Теперь необходимо ответить на вопрос, как находить арифметическую прогрессию. Можно привести следующий пример: даны два числа, например, - 4 и 5. Необходимо составить прогрессию алгебраическую так, чтобы между этими помещалось еще три члена.

Прежде чем начинать решать эту задачу, необходимо понять, какое место будут занимать заданные числа в будущей прогрессии. Поскольку между ними будут находиться еще три члена, тогда a 1 = -4 и a 5 = 5. Установив это, переходим к задаче, которая аналогична предыдущей. Снова для n-го члена воспользуемся формулой, получим: a 5 = a 1 + 4 * d. Откуда: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Здесь получили не целое значение разности, однако оно является рациональным числом, поэтому формулы для алгебраической прогрессии остаются теми же самыми.

Теперь добавим найденную разность к a 1 и восстановим недостающие члены прогрессии. Получаем: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, что совпало с условием задачи.

Пример №4: первый член прогрессии

Продолжим приводить примеры арифметической прогрессии с решением. Во всех предыдущих задачах было известно первое число алгебраической прогрессии. Теперь рассмотрим задачу иного типа: пусть даны два числа, где a 15 = 50 и a 43 = 37. Необходимо найти, с какого числа начинается эта последовательность.

Формулы, которыми пользовались до настоящего времени, предполагают знание a 1 и d. В условии задачи об этих числах ничего неизвестно. Тем не менее выпишем выражения для каждого члена, о котором имеется информация: a 15 = a 1 + 14 * d и a 43 = a 1 + 42 * d. Получили два уравнения, в которых 2 неизвестные величины (a 1 и d). Это означает, что задача сводится к решению системы линейных уравнений.

Указанную систему проще всего решить, если выразить в каждом уравнении a 1 , а затем сравнить полученные выражения. Первое уравнение: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; второе уравнение: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Приравнивая эти выражения, получим: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, откуда разность d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (приведены лишь 3 знака точности после запятой).

Зная d, можно воспользоваться любым из 2 приведенных выше выражений для a 1 . Например, первым: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Если возникают сомнения в полученном результате, можно его проверить, например, определить 43 член прогрессии, который задан в условии. Получим: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Небольшая погрешность связана с тем, что при вычислениях использовалось округление до тысячных долей.

Пример №5: сумма

Теперь рассмотрим несколько примеров с решениями на сумму арифметической прогрессии.

Пусть дана числовая прогрессия следующего вида: 1, 2, 3, 4, ...,. Как рассчитать сумму 100 этих чисел?

Благодаря развитию компьютерных технологий можно эту задачку решить, то есть последовательно сложить все числа, что вычислительная машина сделает сразу же, как только человек нажмет клавишу Enter. Однако задачу можно решить в уме, если обратить внимание, что представленный ряд чисел является прогрессией алгебраической, причем ее разность равна 1. Применяя формулу для суммы, получаем: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Любопытно отметить, что эта задача носит название "гауссовой", поскольку в начале XVIII века знаменитый немецкий еще будучи в возрасте всего 10 лет, смог решить ее в уме за несколько секунд. Мальчик не знал формулы для суммы алгебраической прогрессии, но он заметил, что если складывать попарно числа, находящиеся на краях последовательности, то получается всегда один результат, то есть 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., а поскольку этих сумм будет ровно 50 (100 / 2), то для получения правильного ответа достаточно умножить 50 на 101.

Пример №6: сумма членов от n до m

Еще одним типичным примером суммы арифметической прогрессии является следующий: дан такой чисел ряд: 3, 7, 11, 15, ..., нужно найти, чему будет равна сумма его членов с 8 по 14.

Задача решается двумя способами. Первый из них предполагает нахождение неизвестных членов с 8 по 14, а затем их последовательное суммирование. Поскольку слагаемых немного, то такой способ не является достаточно трудоемким. Тем не менее предлагается решить эту задачу вторым методом, который является более универсальным.

Идея заключается в получении формулы для суммы алгебраической прогрессии между членами m и n, где n > m - целые числа. Выпишем для обоих случаев два выражения для суммы:

S m = m * (a m + a 1) / 2.
S n = n * (a n + a 1) / 2.

Поскольку n > m, то очевидно, что 2 сумма включает в себя первую. Последнее умозаключение означает, что если взять разность между этими суммами, и добавить к ней член a m (в случае взятия разности он вычитается из суммы S n), то получим необходимый ответ на задачу. Имеем: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m/2). В это выражение необходимо подставить формулы для a n и a m . Тогда получим: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

Полученная формула является несколько громоздкой, тем не менее сумма S mn зависит только от n, m, a 1 и d. В нашем случае a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Подставляя эти числа, получим: S mn = 301.

Как видно из приведенных решений, все задачи основываются на знании выражения для n-го члена и формулы для суммы набора первых слагаемых. Перед тем как приступить к решению любой из этих задач, рекомендуется внимательно прочитать условие, ясно понять, что требуется найти, и лишь затем приступать к решению.

Еще один совет заключается в стремлении к простоте, то есть если можно ответить на вопрос, не применяя сложные математические выкладки, то необходимо поступать именно так, поскольку в этом случае вероятность допустить ошибку меньше. Например, в примере арифметической прогрессии с решением №6 можно было бы остановиться на формуле S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m , и разбить общую задачу на отдельные подзадачи (в данном случае сначала найти члены a n и a m).

Если возникают сомнения в полученном результате, то рекомендуется его проверять, как это было сделано в некоторых приведенных примерах. Как находить арифметическую прогрессию, выяснили. Если разобраться, то это не так сложно.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Цель урока: Формирование понятия арифметической прогрессии как одного из видов последовательностей, вывод формулы n-го члена, знакомство с характеристическим свойством членов арифметической прогрессии. Решение задач.

Задачи урока:

Образовательные - ввести понятия арифметической прогрессии; формулы n-го члена; характеристическое свойство, которым обладают члены арифметических прогрессий.
Развивающие - вырабатывать умения сравнивать математические понятия, находить сходства и различия, умения наблюдать, подмечать закономерности, проводить рассуждения по аналогии; сформировать умение строить и интерпретировать математическую модель некоторой реальной ситуации.
Воспитательные - содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, активности, умению общаться, аргументировано отстаивать свои взгляды.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, презентация (Приложение 1)

Учебные пособия: Алгебра 9, Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.Н.Нешков, С.Б.Суворова под редакцией С.А.Теляковского, ОАО "Московские учебники", 2010

План урока:

Организационный момент, постановка задачи
Актуализация знаний, устная работа
Изучение нового материала
Первичное закрепление
Подведение итогов урока
Домашнее задание

В целях повышения наглядности и удобства работы с материалом, урок идет в сопровождении презентации. Однако это не является обязательным условием, и тот же урок может быть проведен в классах, не оснащенных мультимедийным оборудованием. Для этого необходимые данные могут быть подготовлены на доске или в виде таблиц и плакатов.

Ход урока

I. Организационный момент, постановка задачи.

Приветствие.

Тема сегодняшнего урока - арифметическая прогрессия. На этом уроке мы узнаем, что такое арифметическая прогрессия, какой общий вид она имеет, выясним, как отличить арифметическую прогрессию от других последовательностей и решим задачи, где используются свойства арифметических прогрессий.

II. Актуализация знаний, устная работа.

Последовательность () задана формулой: =. Какой номер имеет член этой последовательности, если он равен 144? 225? 100? Являются ли членами этой последовательности числа 48? 49? 168?

О последовательности () известно, что , . Как называется такой способ задания последовательности? Найдите первые четыре члена этой последовательности.

О последовательности () известно, что . Как называется такой способ задания последовательности? Найдите , если?

III. Изучение нового материала.

Прогрессия - последовательность величин, каждая следующая из которых находится в некоей, общей для всей прогрессии, зависимости от предыдущей. Термин ныне во многом устарел и встречается только в сочетаниях "арифметическая прогрессия" и "геометрическая прогрессия".

Термин "прогрессия" имеет латинское происхождение (progression, что означает "движение вперед") и был введен римским автором Боэцием (VI в.). Этим термином в математике прежде именовали всякую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении. В настоящее время термин "прогрессия" в первоначально широком смысле не употребляется. Два важных частных вида прогрессий - арифметическая и геометрическая - сохранили свои названия.

Рассмотрим последовательности чисел:

2, 6, 10, 14, 18, :.
11, 8, 5, 2, -1, :.
5, 5, 5, 5, 5, :.

Чему равен третий член первой последовательности? Последующий член? Предыдущий член? Чему равна разность между вторым и первым членами? Третьим и вторым членами? Четвертым и третьим?

Если последовательность построена по одному закону, сделайте вывод, какой будет разность между шестым и пятым членами первой последовательности? Между седьмым и шестым?

Назовите два последующих члена каждой последовательности. Почему Вы так считаете?

(Ответы учеников)

Каким общим свойством обладают эти последовательности? Сформулируйте это свойство.

(Ответы учеников)

Числовые последовательности, обладающие этим свойством, называются арифметическими прогрессиями. Предложить учащимся самим попробовать сформулировать определение.

Определение арифметической прогрессии: арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом:

( - арифметическая прогрессия, если , где некоторое число.

Число d , показывающее, на сколько следующий член последовательности отличается от предыдущего, называется разностью прогрессии: .

Давайте еще раз посмотрим на последовательности и поговорим о различиях. Какие особенности есть у каждой последовательности и с чем они связаны?

Если в арифметической прогрессии разность положительна , то прогрессия является возрастающей: 2, 6, 10, 14, 18, :. (

Если в арифметической прогрессии разность отрицательна ( , то прогрессия является убывающей: 11, 8, 5, 2, -1, :. (

В случае, если разность равна нулю () и все члены прогрессии равны одному и тому же числу, последовательность называется стационарной: 5, 5, 5, 5, :.

Как задать арифметическую прогрессию? Рассмотрим следующую задачу.

Задача. На складе 1 числа было 50 тонн угля. Каждый день в течение месяца на склад приходит машина с 3 тоннами угля. Сколько угля будет на складе 30 числа, если в течение этого времени уголь со склада не расходовался.

Если выписать количество угля, находящегося на складе каждого числа, получим арифметическую прогрессию. Как решить эту задачу? Неужели придется просчитывать количество угля в каждый из дней месяца? Можно ли как-то обойтись без этого? Замечаем, что до 30 числа на склад придет 29 машин с углем. Таким образом, 30 числа на складе будет 50+329=137 тонн угля.

Таким образом, зная только первый член арифметической прогрессии и разность, мы можем найти любой член последовательности. Всегда ли это так?

Проанализируем, как зависит каждый член последовательности от первого члена и разности:

Таким образом, мы получили формулу n-ого члена арифметической прогрессии.

Пример 1. Последовательность ()-арифметическая прогрессия. Найдите , если и .

Воспользуемся формулой n-ого члена ,

Ответ: 260.

Рассмотрим следующую задачу:

В арифметической прогрессии четные члены оказались затерты: 3, :, 7, :, 13: Можно ли восстановить утраченные числа?

Учащиеся, скорее всего, сначала вычислят разность прогрессии, а затем будут находить неизвестные члены прогрессии. Тогда можно предложить им найти зависимость между неизвестным членом последовательности, предыдущим и последующим.

Решение: Воспользуемся тем, что в арифметической прогрессии разность между соседними членами постоянна. Пусть - искомый член последовательности. Тогда

Замечание. Данное свойство арифметической прогрессии является ее характеристическим свойством. Это означает, что в любой арифметической прогрессии каждый член, начиная со второго равен среднему арифметическому предыдущего и последующего (. И, наоборот, любая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго равен среднему арифметическому предыдущего и последующего, является арифметической прогрессией.

IV. Первичное закрепление.

№ 575 аб - устно
№ 576 авд - устно
№ 577б - самостоятельно с проверкой

Последовательность (- арифметическая прогрессия. Найдите , если и

Воспользуемся формулой n-ого члена ,

Ответ: -24,2.

Найдите 23-й и n-ый члены арифметической прогрессии -8; -6,5; :

Решение: Первый член арифметической прогрессии равен -8. Найдем разность арифметической прогрессии, для этого надо из последующего члена последовательности вычесть предыдущий: -6,5-(-8)=1,5.

Воспользуемся формулой n-ого члена.

Понятие числовой последовательности подразумевает соответствие каждому натуральному числу некоторого действительного значения. Такой ряд чисел может быть как произвольным, так и обладать определенными свойствами – прогрессия. В последнем случае каждый последующий элемент (член) последовательности можно вычислить с помощью предыдущего.

Арифметическая прогрессия – последовательность числовых значений, в которой ее соседние члены разнятся между собой на одинаковое число (подобным свойством обладают все элементы ряда, начиная со 2-ого). Данное число – разница между предыдущим и последующим членом – постоянно и называется разностью прогрессии.

Разность прогрессии: определение

Рассмотрим последовательность, состоящую из j значений A = a(1), a(2), a(3), a(4) … a(j), j принадлежит множеству натуральных чисел N. Арифметическая прогрессия, согласно своего определения, – последовательность, в которой a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Величина d – искомая разность данной прогрессии.

d = a(j) – a(j-1).

Выделяют:

Возрастающую прогрессию, в таком случае d > 0. Пример: 4, 8, 12, 16, 20, …
Убывающую прогрессию, тогда d < 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Разность прогрессии и ее произвольные элементы

Если известны 2 произвольных члена прогрессии (i-ый, k-ый), то установить разность для данной последовательности можно на базе соотношения:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, значит d = (a(i) – a(k))/(i-k).

Разность прогрессии и ее первый член

Данное выражение поможет определить неизвестную величину лишь в случаях, когда известен номер элемента последовательности.

Разность прогрессии и ее сумма

Сумма прогрессии – это сумма ее членов. Для вычисления суммарного значения ее первых j элементов воспользуйтесь соответствующей формулой:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, но т.к. a(j) = a(1) + d(j – 1), то S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=((2a(1) + d(– 1))/2)*j.