Разбираемся с магией гиперболы. Гипербола определение свойства построение
Гипербола – это множество точек плоскости, разница расстояний которых от двух заданных точек, фокусов, есть постоянная величина и равна .
Аналогично эллипсу фокусы размещаем в точках , (см. рис. 1).
Рис. 1
Видно из рисунка, что могут быть случаи и title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="16" width="65" style="vertical-align: -4px;"> title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="16" width="65" style="vertical-align: -4px;"> , тогда согласно определению
Известно, что в треугольнике разница двух сторон меньше третьей стороны, поэтому, например, с у нас получается:
Поднесём к квадрату обе части и после дальнейших преобразований найдём:
где . Уравнение гиперболы (1) – это каноническое уравнение гиперболы.
Гипербола симметрична относительно координатных осей, поэтому, как и для эллипса, достаточно построить её график в первой четверти, где:
Область значения для первой четверти .
При у нас есть одна из вершин гиперболы . Вторая вершина . Если , тогда из (1) – действительных корней нет. Говорят, что и – мнимые вершины гиперболы. Из соотношением получается, что при достаточно больших значениях есть место ближайшего равенства title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="27" width="296" style="vertical-align: -7px;"> title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="27" width="296" style="vertical-align: -7px;"> . Поэтому прямая есть линией, расстояние между которой и соответствующей точкой гиперболы направляется к нулю при .
Форма и характеристики гиперболы
Исследуем уравнение (1) форму и расположение гиперболы.
- Переменные и входят в уравнение (1) в парных степенях. Поэтому, если точка принадлежит гиперболе, тогда и точки также принадлежат гиперболе. Значит, фигура симметрична относительно осей и , и точки , которая называется центром гиперболы.
- Найдём точки пересечения с осями координат. Подставив в уравнение (1) получим, что гипербола пересекает ось в точках . Положив получим уравнение , у которого нет решений. Значит, гипербола не пересекает ось . Точки называются вершинами гиперболы. Отрезок = и называется действительной осью гиперболы, а отрезок – мнимой осью гиперболы. Числа и называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. Прямоугольник, созданный осями и называется главным прямоугольником гиперболы.
- С уравнения (1) получается, что , то есть . Это означает, что все точки гиперболы расположены справа от прямой (правая ветвь гиперболы) и левая от прямой (левая ветвь гиперболы).
- Возьмём на гиперболе точку в первой четверти, то есть , а поэтому . Так как 0" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="31" width="156" style="vertical-align: -12px;"> 0" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="31" width="156" style="vertical-align: -12px;"> , при title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> , тогда функция монотонно возрастает при title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> . Аналогично, так как при title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> , тогда функция выпуклая вверх при title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> .
Асимптоты гиперболы
Есть две асимптоты гиперболы. Найдём асимптоту к ветви гиперболы в первой четверти, а потом воспользуемся симметрией. Рассмотрим точку в первой четверти, то есть . В этом случае , , тогда асимптота имеет вид: , где
Значит, прямая – это асимптота функции . Поэтому в силу симметрии асимптотами гиперболы есть прямые .
За установленными характеристиками построим ветвь гиперболы, которая находится в первой четверти и воспользуемся симметрией:
Рис. 2
В случае, когда , то есть гипербола описывается уравнением . В этой гиперболе асимптоты, которые и есть биссектрисами координатных углов .
Примеры задач на построение гиперболы
Пример 1
Задача
Найти оси, вершины, фокусы, ексцентриситет и уравнения асимптот гиперболы. Построить гиперболу и её асимптоты.
Решение
Сведём уравнение гиперболы к каноническому виду:
Сравнивая данное уравнение с каноническим (1) находим , , . Вершины , фокусы и . Ексцентриситет ; асмптоты ; Строим параболу. (см. рис. 3)
Написать уравнение гиперболы:
Решение
Записав уравнение асимптоты в виде находим отношение полуосей гиперболы . По условию задачи следует, что . Поэтому Задачу свели к решению системы уравнений:
Подставляя во второе уравнение системы, у нас получится:
откуда . Теперь находим .
Следовательно, у гиперболы получается такое уравнение:
Ответ
.Гипербола и её каноническое уравнение обновлено: Июнь 17, 2017 автором: Научные Статьи.Ру
Здравствуйте, дорогие студенты вуза Аргемоны! Приветствую вас на очередной лекции по магии функций и интегралов.
Сегодня мы поговорим о гиперболе. Начнём от простого. Самый простой вид гиперболы:
Эта функция, в отличии от прямой в её стандарных видах, имеет особенность. Как мы знаем, знаменатель дроби не может равняться нулю, потому что на ноль делить нельзя.
x ≠ 0
Отсюда делаем вывод, что областью определения является вся числовая прямая, кроме точки 0: (-∞; 0) ∪ (0; +∞).
Если х стремится к 0 справа (записывается вот так: х->0+), т.е. становится очень-очень маленьким, но при этом остаётся положительным, то у становится очень-очень большим положительным (y->+∞).
Если же х стремится к 0 слева (x->0-), т.е. становится по модулю тоже очень-очень маленьким, но остаётся при этом отрицательным, то у также будет отрицательным, но по модулю будет очень большим (y->-∞).
Если же х стремится в плюс бесконечность (x->+∞), т.е. становится очень большим положительным числом, то у будет становиться всё более и более меньшим положительным числом, т.е. будет стремиться к 0, оставаясь всё время положительным (y->0+).
Если же х стремится в минус бесконечность (x->-∞), т.е. становится большим по модулю, но отрицательным числом, то у будет тоже отрицательным всегда числом, но маленьким по модулю (y->0-).
У, как и х, не может принимать значения 0. Он только к нулю стремится. Поэтому множество значений такое же, как и область определения: (-∞; 0) ∪ (0; +∞).
Исходя из этих рассуждений, можно схематически нарисовать график функции
Видно, что гипербола состоит из двух частей: одна находится в 1-м координатном углу, где значения х и у положительные, а вторая часть — в третьем координатном углу, где значения х и у отрицательные.
Если двигаться от -∞ к +∞, то мы видим, что функция наша убывает от 0 до -∞, потом происходит резкий скачок (от -∞ до +∞) и начинается вторая ветка функции, которая тоже убывает, но от +∞ до 0. То есть, эта гипербола убывающая.
Если совсем чуть-чуть изменить функцию: воспользоваться магией минуса,
(1")
То функция чудесным образом переместится из 1 и 3 координатных четвертей во 2-ю и 4-ю четверти и станет возрастающей.
Напомню, что функция является возрастающей
, если для двух значений х 1 и х 2 ,таких, что х 1 <х 2 , значения функции находятся в том же отношении f(х 1) < f(х 2).
И функция будет убывающей
, если f(х 1) > f(х 2) для тех же значений х.
Ветви гиперболы приближаются к осям, но никогда их не пересекают. Такие линии, к которым приближается график функции, но никогда их не пересекает, называются ассимптотой
данной функции.
Для нашей функции (1) ассимптотами являются прямые х=0 (ось OY, вертикальная ассимптота) и у=0 (ось OX, горизонтальная ассимптота).
А теперь давайте немного усложним простейшую гиперболу и посмотрим, что произойдёт с графиком функции.
(2)
Всего-то добавили константу "а" в знаменатель. Добавление какого-то числа в знаменатель в качестве слагаемого к х означает перенос всей "гиперболической конструкции" (вместе с вертикальной ассимптотой) на (-a) позиций вправо, если а — отрицательное число, и на (-а) позиций влево, если а — положительное число.
На левом графике к х добавляется отрицательная константа (а<0, значит, -a>0), что вызывает перенос графика вправо, а на правом графике — положительная константа (a>0), благодаря которой график переносится влево.
А какая магия может повлиять на перенос "гиперболической конструкции" вверх или вниз? Добавление константы-слагаемой к дроби.
(3)
Вот теперь вся наша функция (обе веточки и горизонтальная ассимптота) поднимется на b позиций вверх, если b — положительное число, и опустится на b позиций вниз, если b — отрицательное число.
Обратите внимание, что ассимптоты передвигаются вместе с гиперболой, т.е. гиперболу (обе её ветки) и обе её ассимптоты надо обязательно рассматривать как неразрывную конструкцию, которая едино передвигается влево, вправо, вверх или вниз. Очень приятное ощущение, когда одним добавлением какого-то числа можно заставлять функцию целиком двигаться в любую сторону. Чем не магия, овладеть которой можно очень легко и направлять её по своему усмотрению в нужную сторону?
Кстати, так управлять можно движением любой функции. На следующих уроках мы это умение будем закреплять.
Перед тем как задать вам домашнее задание, я хочу обратить ваше внимание ещё вот на такую функцию
(4)
Нижняя веточка гиперболы перемещается из 3-го координатного угла вверх — во второй, в тот угол, где значение у положительное, т.е. эта веточка отражается симметрично относительно оси ОХ. И теперь мы получаем чётную функцию.
Что значит "чётная функция"? Функция называется чётной
, если выполняется условие: f(-x)=f(x)
Функция называется нечётной
, если выполняется условие: f(-x)=-f(x)
В нашем случае
(5)
Всякая чётная функция симметрична относительно оси OY, т.е. пергамент с рисунком графика можно сложить по оси OY, и две части графика точно совпадут друг с другом.
Как видим, эта функция тоже имеет две ассимптоты — горизонтальную и вертикальную. В отличие от рассмотренных выше функций, эта функция является на одной своей части возрастающей, на другой — убывающей.
Попробуем поруководить теперь этим графиком, прибавляя константы.
(6)
Вспомним, что прибавление константы в качестве слагаемого к "х" вызывает перемещение всего графика (вместе с вертикальной ассимптотой) по горизонтали, вдоль горизонтальной ассимптоты (влево или вправо в зависимости от знака этой константы).
(7)
А добавление константы b в качестве слагаемого к дроби вызывает перемещение графика вверх или вниз. Всё очень просто!
А теперь попробуйте сами поэкспериментировать с такой магией.
Домашнее задание 1.
Каждый берёт для своих экспериментов две функции: (3) и (7).
а=первой цифре вашего ЛД
b=второй цифре вашего ЛД
Попробуйте добраться до магии этих функций, начиная с простейшей гиперболы, как я это делала на уроке, и постепенно добавляя свои константы. Функцию (7) уже можете моделировать, исходя из конечного вида функции (3).
Укажите области определения, множество значений, ассимптоты. Как ведут себя функции: убывают, возрастают. Чётные — нечётные. В общем, попробуйте провести такое же исследование, как было на уроке. Возможно, вы найдете что-то ещё, о чём я забыла рассказать.
Кстати, обе ветки самой простейшей гиперболы (1) симметричны относительно биссектрисы 2 и 4 координатных углов. А теперь представьте, что гипербола стала вращаться вокруг этой оси. Получим вот такую симпатичную фигуру, которой можно найти применение.
Задание 2 . Где можно использовать данную фигуру? Попробуйте нарисовать фигуру вращения для функции (4) относительно её оси симметрии и порассуждайте, где такая фигура может найти применение.
Помните, как мы в конце прошлого урока получили прямую с выколотой точкой? И вот последнее задание 3
.
Построить график вот такой функции:
(8)
Коэффициенты a, b — такие же, как в задании 1.
с=третьей цифре вашего ЛД или a-b, если ваше ЛД двузначное.
Небольшая подсказка: сначала полученную после подстановки цифр дробь надо упростить, и затем вы получите обычную гиперболу, которую и надо построить, но в конце надо учесть область определения исходного выражения.
Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости у абсолютная величина разности расстояний каждой из которых от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами у есть постоянная величина, при условии, что эта величина не равна нулю и меньше расстояния между фокусами.
Обозначим расстояние между фокусами через а постоянную величину, равную модулю разности расстояний от каждой точки гиперболы до фокусов, через (по условию ). Как и в случае эллипса, ось абсцисс проведем через фокусы, а за начало координат примем середину отрезка (см. рис. 44). Фокусы в такой системе будут иметь координаты Выведем уравнение гиперболы в выбранной системе координат. По определению гиперболы для любой ее точки имеем или
Но . Поэтому получим
После упрощений, подобных тем, которые были сделаны при выводе уравнения эллипса, получим следующее уравнение:
которое является следствием уравнения (33).
Нетрудно заметить, что это уравнение совпадает с уравнением (27), полученным для эллипса. Однако в уравнении (34) разность , так как для гиперболы . Поэтому положим
Тогда уравнение (34) приводится к следующему виду:
Это уравнение называется каноническим уравнением гиперболы. Уравнению (36), как следствию уравнения (33), удовлетворяют координаты любой точки гиперболы. Можно показать, что координаты точек, не лежащих на гиперболе, уравнению (36) не удовлетворяют.
Установим форму гиперболы, пользуясь ее каноническим уравнением. Это уравнение содержит лишь четные степени текущих координат. Следовательно, гипербола имеет две оси симметрии, в данном случае совпадающих с координатными осями. В дальнейшем оси симметрии гиперболы мы будем называть осями гиперболы, а точку их пересечения - центром гиперболы. Ось гиперболы, на которой расположены фокусы, называется фокальной осью. Исследуем форму гиперболы в I четверти, где
Здесь так как иначе у принимал бы мнимые значения. При возрастании х от а до возрастает от 0 до Частью гиперболы, лежащей в I четверти, будет дуга , изображенная на рис. 47.
Так как гипербола расположена симметрично относительно координатных осей, то эта кривая имеет вид, изображенный на рис. 47.
Точки пересечения гиперболы с фокальной осью называются ее вершинами. Полагая в уравнении гиперболы, найдем абсциссы ее вершин: . Таким образом, гипербола имеет две вершины: . С осью ординат гипербола не пересекается. В самом деле, положив в уравнении гиперболы получим для у мнимые значения: . Поэтому фокальная ось гиперболы называется действительной осью, а ось симметрии, перпендикулярная фокальной оси, - мнимой осью гиперболы.
Действительной осью также называется отрезок, соединяющий вершины гиперболы, и его длина 2а. Отрезок, соединяющий точки (см. рис. 47), а также его длина называется мнимой осью гиперболы. Числа а и b соответственно называются действительной и мнимой полуосями гиперболы.
Рассмотрим теперь гиперболу, расположенную в I четверти и являющуюся графиком функции
Покажем, что точки этого графика, расположенные на достаточно большом расстоянии от начала координат, сколь угодно близки к прямой
проходящей через начало координат и имеющей угловой коэффициент
С этой целью рассмотрим две точки имеющие одну и ту же абсциссу и лежащие соответственно на кривой (37) и прямой (38) (рис. 48), и составим разность между ординатами этих точек
Числитель этой дроби - величина постоянная, а знаменатель неограниченно возрастает при неограниченном возрастании . Поэтому разность стремится к нулю, т. е. точки М и N неограниченно сближаются при неограниченном возрастании абсциссы.
Из симметрии гиперболы относительно координатных осей следует, что имеется еще одна прямая , к которой сколь угодно близки точки гиперболы при неограниченном удалении от начала координат. Прямые
называются асимптотами гиперболы.
На рис. 49 указано взаимное расположение гиперболы и ее асимптот. На этом рисунке указано также, как построить асимптоты гиперболы.
Для этого следует построить прямоугольник с центром в начале координат и со сторонами, параллельными осям и соответственно равными . Этот прямоугольник называется основным. Каждая из его диагоналей, неограниченно продолженная в обе стороны, является асимптотой гиперболы. Перед построением гиперболы рекомендуется строить ее асимптоты.
Отношение половины расстояния между фокусами к действительной полуоси гиперболы называется эксцентриситетом гиперболы и обозначается обычно буквой :
Так как для гиперболы , то эксцентриситет гиперболы больше единицы: Эксцентриситет характеризует форму гиперболы
Действительно, из формулы (35) следует, что . Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет гиперболы,
тем меньше отношение - ее полуосей. Но отношение - определяет форму основного прямоугольника гиперболы, а следовательно, и форму самой гиперболы. Чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем более вытянут ее основной прямоугольник (в направлении фокальной оси).
Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек F_1 и F_2 есть величина постоянная (2a) , меньшая расстояния (2c) между этими заданными точками (рис.3.40,а). Это геометрическое определение выражает фокальное свойство гиперболы .
Фокальное свойство гиперболы
Точки F_1 и F_2 называются фокусами гиперболы, расстояние 2c=F_1F_2 между ними - фокусным расстоянием, середина O отрезка F_1F_2 - центром гиперболы, число 2a - длиной действительной оси гиперболы (соответственно, a - действительной полуосью гиперболы). Отрезки F_1M и F_2M , соединяющие произвольную точку M гиперболы с ее фокусами, называются фокальными радиусами точки M . Отрезок, соединяющий две точки гиперболы, называется хордой гиперболы.
Отношение e=\frac{c}{a} , где c=\sqrt{a^2+b^2} , называется эксцентриситетом гиперболы . Из определения (2a<2c) следует, что e>1 .
Геометрическое определение гиперболы , выражающее ее фокальное свойство, эквивалентно ее аналитическому определению - линии, задаваемой каноническим уравнением гиперболы:
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.
Действительно, введем прямоугольную систему координат (рис.3.40,б). Центр O гиперболы примем за начало системы координат; прямую, проходящую через фокусы (фокальную ось), примем за ось абсцисс (положительное направление на ней от точки F_1 к точке F_2 ); прямую, перпендикулярную оси абсцисс и проходящую через центр гиперболы, примем за ось ординат (направление на оси ординат выбирается так, чтобы прямоугольная система координат Oxy оказалась правой).
Составим уравнение гиперболы, используя геометрическое определение, выражающее фокальное свойство. В выбранной системе координат определяем координаты фокусов F_1(-c,0) и F_2(c,0) . Для произвольной точки M(x,y) , принадлежащей гиперболе, имеем:
\left||\overrightarrow{F_1M}|-|\overrightarrow{F_2M}|\right|=2a.
Записывая это уравнение в координатной форме, получаем:
\sqrt{(x+c)^2+y^2}-\sqrt{(x-c)^2+y^2}=\pm2a.
Выполняя преобразования, аналогичные преобразованиям, используемым при выводе уравнения эллипса (т.е. избавляясь от иррациональности), приходим к каноническому уравнению гиперболы:
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\,
где b=\sqrt{c^2-a^2} , т.е. выбранная система координат является канонической.
Проводя рассуждения в обратном порядке, можно показать, что все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (3.50), и только они, принадлежат геометрическому месту точек, называемому гиперболой. Таким образом, аналитическое определение гиперболы эквивалентно его геометрическому определению.
Директориальное свойство гиперболы
Директрисами гиперболы называются две прямые, проходящие параллельно оси ординат канонической системы координат на одинаковом расстоянии a^2\!\!\not{\phantom{|}}\,c от нее (рис.3.41,а). При a=0 , когда гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых, директрисы совпадают.
Гиперболу с эксцентриситетом e=1 можно определить, как геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до заданной точки F (фокуса) к расстоянию до заданной прямой d (директрисы), не проходящей через заданную точку, постоянно и равно эксцентриситету e (директориальное свойство гиперболы ). Здесь F и d - один из фокусов гиперболы и одна из ее директрис, расположенные по одну сторону от оси ординат канонической системы координат.
В самом деле, например, для фокуса F_2 и директрисы d_2 (рис.3.41,а) условие \frac{r_2}{\rho_2}=e можно записать в координатной форме:
\sqrt{(x-c)^2+y^2}=e\left(x-\frac{a^2}{c}\right)
Избавляясь от иррациональности и заменяя e=\frac{c}{a},~c^2-a^2=b^2 , приходим к каноническому уравнению гиперболы (3.50). Аналогичные рассуждения можно провести для фокуса F_1 и директрисы d_1 :
\frac{r_1}{\rho_1}=e \quad \Leftrightarrow \quad \sqrt{(x+c)^2+y^2}= e\left(x+\frac{a^2}{c} \right).
Уравнение гиперболы в полярной системе координат
Уравнение правой ветви гиперболы в полярной системе координат F_2r\varphi (рис.3.41,б) имеет вид
R=\frac{p}{1-e\cdot\cos\varphi} , где p=\frac{p^2}{a} - фокальный параметр гиперболы .
В самом деле, выберем в качестве полюса полярной системы координат правый фокус F_2 гиперболы, а в качестве полярной оси - луч с началом в точке F_2 , принадлежащий прямой F_1F_2 , но не содержащий точки F_1 (рис.3.41,б). Тогда для произвольной точки M(r,\varphi) , принадлежащей правой ветви гиперболы, согласно геометрическому определению (фокальному свойству) гиперболы, имеем F_1M-r=2a . Выражаем расстояние между точками M(r,\varphi) и F_1(2c,\pi) (см. пункт 2 замечаний 2.8):
F_1M=\sqrt{(2c)^2+r^2-2\cdot(2c)^2\cdot r\cdot\cos(\varphi-\pi)}=\sqrt{r^2+4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2}.
Следовательно, в координатной форме уравнение гиперболы имеет вид
\sqrt{r^2+4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2}-r=2a.
Уединяем радикал, возводим обе части уравнения в квадрат, делим на 4 и приводим подобные члены:
R^2+4cr\cdot\cos\varphi+4c^2=4a^2+4ar+r^2 \quad \Leftrightarrow \quad a\left(1-\frac{c}{a}\cos\varphi\right)r=c^2-a^2.
Выражаем полярный радиус r и делаем замены e=\frac{c}{a},~b^2=c^2-a^2,~p=\frac{b^2}{a} :
R=\frac{c^2-a^2}{a(1-e\cos\varphi)} \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac{b^2}{a(1-e\cos\varphi)} \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac{p}{1-e\cos\varphi},
что и требовалось доказать. Заметим, что в полярных координатах уравнения гиперболы и эллипса совпадают, но описывают разные линии, поскольку отличаются эксцентриситетами ( e>1 для гиперболы, 0\leqslant e<1 для эллипса).
Геометрический смысл коэффициентов в уравнении гиперболы
Найдем точки пересечения гиперболы (рис.3.42,а) с осью абсцисс (вершины гиперболы). Подставляя в уравнение y=0 , находим абсциссы точек пересечения: x=\pm a . Следовательно, вершины имеют координаты (-a,0),\,(a,0) . Длина отрезка, соединяющего вершины, равна 2a . Этот отрезок называется действительной осью гиперболы, а число a - действительной полуосью гиперболы. Подставляя x=0 , получаем y=\pm ib . Длина отрезка оси ординат, соединяющего точки (0,-b),\,(0,b) , равна 2b . Этот отрезок называется мнимой осью гиперболы, а число b - мнимой полуосью гиперболы. Гипербола пересекает прямую, содержащую действительную ось, и не пересекает прямую, содержащую мнимую ось.
Замечания 3.10.
1. Прямые x=\pm a,~y=\pm b ограничивают на координатной плоскости основной прямоугольник, вне которого находится гипербола (рис.3.42,а).
2. Прямые , содержащие диагонали основного прямоугольника, называются асимптотами гиперболы (рис.3.42,а).
Для равносторонней гиперболы , описываемой уравнением (т.е. при a=b ), основной прямоугольник является квадратом, диагонали которого перпендикулярны. Поэтому асимптоты равносторонней гиперболы также перпендикулярны, и их можно взять в качестве координатных осей прямоугольной системы координат Ox"y" (рис.3.42,б). В этой системе координат уравнение гиперболы имеет вид y"=\frac{a^2}{2x"} (гипербола совпадает с графиком элементарной функции, выражающей обратно-пропорциональную зависимость).
В самом деле, повернем каноническую систему координат на угол \varphi=-\frac{\pi}{4} (рис.3.42,б). При этом координаты точки в старой и новой системах координат связаны равенствами
\left\{\!\begin{aligned}x&=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot x"+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot y",\\ y&=-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot x"+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot y"\end{aligned}\right. \quad \Leftrightarrow \quad \left\{\!\begin{aligned}x&=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot(x"+y"),\\ y&=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot(y"-x")\end{aligned}\right.
Подставляя эти выражения в уравнение \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{a^2}=1 равносторонней гиперболы и приводя подобные члены, получаем
\frac{\frac{1}{2}(x"+y")^2}{a^2}-\frac{\frac{1}{2}(y"-x")^2}{a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad 2\cdot x"\cdot y"=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad y"=\frac{a^2}{2\cdot x"}.
3. Координатные оси (канонической системы координат) являются осями симметрии гиперболы (называются главными осями гиперболы), а ее центр - центром симметрии.
Действительно, если точка M(x,y) принадлежит гиперболе . то и точки M"(x,y) и M""(-x,y) , симметричные точке M относительно координатных осей, также принадлежат той же гиперболе.
Ось симметрии, на которой располагаются фокусы гиперболы, является фокальной осью.
4. Из уравнения гиперболы в полярных координатах r=\frac{p}{1-e\cos\varphi} (см. рис.3.41,б) выясняется геометрический смысл фокального параметра - это половина длины хорды гиперболы, проходящей через ее фокус перпендикулярно фокальной оси ( r=p при \varphi=\frac{\pi}{2} ).
5. Эксцентриситет e характеризует форму гиперболы. Чем больше e , тем шире ветви гиперболы, а чем ближе e к единице, тем ветви гиперболы уже (рис.3.43,а).
Действительно, величина \gamma угла между асимптотами гиперболы, содержащего ее ветвь, определяется отношением сторон основного прямоугольника: \operatorname{tg}\frac{\gamma}{2}=\frac{b}{2} . Учитывая, что e=\frac{c}{a} и c^2=a^2+b^2 , получаем
E^2=\frac{c^2}{a^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2}=1+{\left(\frac{b}{a}\right)\!}^2=1+\operatorname{tg}^2\frac{\gamma}{2}.
Чем больше e
, тем больше угол \gamma
. Для равносторонней гиперболы (a=b)
имеем e=\sqrt{2}
и \gamma=\frac{\pi}{2}
. Для e>\sqrt{2}
угол \gamma
тупой, а для 1 6
. Две гиперболы, определяемые в одной и той же системе координат уравнениями \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1
и называются сопряженными друг с другом
. Сопряженные гиперболы имеют одни и те же асимптоты (рис.3.43,б). Уравнение сопряженной гиперболы
-\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
приводится к каноническому при помощи переименования координатных осей (3.38). 7.
Уравнение \frac{(x-x_0)^2}{a^2}-\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1
определяет гиперболу с центром в точке O"(x_0,y_0)
, оси которой параллельны координатным осям (рис.3.43,в). Это уравнение сводится к каноническому при помощи параллельного переноса (3.36). Уравнение -\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1
определяет сопряженную гиперболу с центром в точке O"(x_0,y_0)
. Параметрическое уравнение гиперболы в канонической системе координат имеет вид \begin{cases}x=a\cdot\operatorname{ch}t,\\y=b\cdot\operatorname{sh}t,\end{cases}t\in\mathbb{R},
где \operatorname{ch}t=\frac{e^t+e^{-t}}{2}
- гиперболический косинус, a \operatorname{sh}t=\frac{e^t-e^{-t}}{2}
гиперболический синус. Действительно, подставляя выражения координат в уравнение (3.50), приходим к основному гиперболическому тождеству \operatorname{ch}^2t-\operatorname{sh}^2t=1
. Пример 3.21.
Изобразить гиперболу \frac{x^2}{2^2}-\frac{y^2}{3^2}=1
в канонической системе координат Oxy
. Найти полуоси, фокусное расстояние, эксцентриситет, фокальный параметр, уравнения асимптот и директрис. Решение.
Сравнивая заданное уравнение с каноническим, определяем полуоси: a=2
- действительная полуось, b=3
- мнимая полуось гиперболы. Строим основной прямоугольник со сторонами 2a=4,~2b=6
с центром в начале координат (рис.3.44). Проводим асимптоты, продлевая диагонали основного прямоугольника. Строим гиперболу, учитывая ее симметричность относительно координатных осей. При необходимости определяем координаты некоторых точек гиперболы. Например, подставляя x=4
в уравнение гиперболы, получаем \frac{4^2}{2^2}-\frac{y^2}{3^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=27 \quad \Leftrightarrow \quad y=\pm3\sqrt{3}.
Следовательно, точки с координатами (4;3\sqrt{3})
и (4;-3\sqrt{3})
принадлежат гиперболе. Вычисляем фокусное расстояние 2\cdot c=2\cdot\sqrt{a^2+b^2}=2\cdot\sqrt{2^2+3^2}=2\sqrt{13}
эксцентриситет e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{13}}{2}
; фокальныи параметр p=\frac{b^2}{a}=\frac{3^2}{2}=4,\!5
. Составляем уравнения асимптот y=\pm\frac{b}{a}\,x
, то есть y=\pm\frac{3}{2}\,x
, и уравнения директрис: x=\pm\frac{a^2}{c}=\frac{4}{\sqrt{13}}
. Важные замечания! Чтобы понять то, что здесь будет написано, тебе нужно хорошо знать, что такое обратная зависимость, и с чем ее едят. Если ты уверен, что знаешь все об обратной зависимости, добро пожаловать. Но если нет, тебе стоит прочитать тему « ». Также очень советую научиться сперва строить , так как есть некоторые общие принципы для построения графика квадратичной и обратной зависимостей. Начнем с небольшой проверки: Что такое обратная пропорциональность? Как выглядит функция, описывающая обратную зависимость в общем виде (формула)? Как называется график такой функции? Какие коэффициенты влияют на график функции, и как? Если ты сходу смог ответить на эти вопросы, продолжай читать. Если хоть один вопрос вызвал затруднения, перейди по . Итак, ты уже умеешь обращаться с обратной зависимостью, анализировать ее график и строить график по точкам. Ну вот и все, ты научился строить любую гиперболу. Замечу также, что правила построения гиперболы оказались немного проще, чем для параболы, ведь каждое число просто сдвигает график в какую-то одну сторону. И друг с другом коэффициенты не связаны. 1. Определение
Функция, описывающая обратную зависимость - это функция вида, где. График
обратной зависимости - гипербола.
2. Коэффициенты, и.
Отвечает за «пологость» и направление графика
: чем больше этот коэффициент, тем дальше от начала координат располагается гипербола, и, следовательно, она менее круто «поворачивает» (см. рисунок). Знак коэффициента влияет на то, в каких четвертях расположен график: Следовательно, - это горизонтальная асимптота
. 3. Правило построения графика функции:
0) Определяем коэффициенты, и. 1) Строим график функции (сначала по 3-4 точкам правую ветвь, потом симметрично рисуем левую ветвь). 2) График должен быть сдвинут вправо на. Но проще двигать не график, а оси, так что ось
сдвигаем влево на
.
3) График должен быть сдвинут вверх на. Но проще двигать не график, а оси, так что ось
сдвигаем вниз на
.
4) Старые оси (прямые, которые служили нам осями в пункте 1) оставляем в виде пунктирных линий. Это теперь просто вертикальная и горизонтальная асимптоты. Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут. Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%! Теперь самое главное. Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников. Проблема в том, что этого может не хватить… Для чего? Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни. Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь… Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика. Но и это - не главное. Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю... Но, думай сам... Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым? НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ. На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию. Тебе нужно будет решать задачи на время
. И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка. Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором
и решай, решай, решай! Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем. Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь. Как? Есть два варианта: Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу. Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта. И в заключение...
Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории. “Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба. Найди задачи и решай!Параметрическое уравнение гиперболы
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!
1. Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь:
2. Прежде чем на начнешь читать статью, обрати внимание на наш навигатор по самым полезным ресурса для
ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ОБРАТНОЙ ЗАВИСИМОСТИ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ
