Разложение в ряд фурье x. Ряды фурье в примерах и задачах

Как вставить математические формулы на сайт?

Если нужно когда-никогда добавлять одну-две математические формулы на веб-страницу, то проще всего сделать это, как описано в статье : математические формулы легко вставляются на сайт в виде картинок, которые автоматически генерирует Вольфрам Альфа. Кроме простоты, этот универсальный способ поможет улучшить видимость сайта в поисковых системах. Он работает давно (и, думаю, будет работать вечно), но морально уже устарел.

Если же вы постоянно используете математические формулы на своем сайте, то я рекомендую вам использовать MathJax - специальную библиотеку JavaScript, которая отображает математические обозначения в веб-браузерах с использованием разметки MathML, LaTeX или ASCIIMathML.

Есть два способа, как начать использовать MathJax: (1) при помощи простого кода можно быстро подключить к вашему сайту скрипт MathJax, который будет в нужный момент автоматически подгружаться с удаленного сервера (список серверов ); (2) закачать скрипт MathJax с удаленного сервера на свой сервер и подключить ко всем страницам своего сайта. Второй способ - более более сложный и долгий - позволит ускорить загрузку страниц вашего сайта, и если родительский сервер MathJax по каким-то причинам станет временно недоступен, это никак не повлияет на ваш собственный сайт. Несмотря на эти преимущества, я выбрал первый способ, как более простой, быстрый и не требующий технических навыков. Следуйте моему примеру, и уже через 5 минут вы сможете использовать все возможности MathJax на своем сайте.

Подключить скрипт библиотеки MathJax с удаленного сервера можно при помощи двух вариантов кода, взятого на главном сайте MathJax или же на странице документации :

Один из этих вариантов кода нужно скопировать и вставить в код вашей веб-станицы, желательно между тегами и или же сразу после тега . По первому варианту MathJax подгружается быстрее и меньше тормозит страницу. Зато второй вариант автоматически отслеживает и подгружает свежие версии MathJax. Если вставить первый код, то его нужно будет периодически обновлять. Если вставить второй код, то страницы будут загружаться медленнее, зато вам не нужно будет постоянно следить за обновлениями MathJax.

Подключить MathJax проще всего в Blogger или WordPress: в панели управления сайтом добавьте виджет, предназначенный для вставки стороннего кода JavaScript, скопируйте в него первый или второй вариант кода загрузки, представленного выше, и разместите виджет поближе к началу шаблона (кстати, это вовсе не обязательно, поскольку скрипт MathJax загружается асинхронно). Вот и все. Теперь изучите синтаксис разметки MathML, LaTeX и ASCIIMathML, и вы готовы вставлять математические формулы на веб-страницы своего сайта.

Любой фрактал строится по определенному правилу, которое последовательно применяется неограниченное количество раз. Каждый такой раз называется итерацией.

Итеративный алгоритм построения губки Менгера достаточно простой: исходный куб со стороной 1 делится плоскостями, параллельными его граням, на 27 равных кубов. Из него удаляются один центральный куб и 6 прилежащих к нему по граням кубов. Получается множество, состоящее из 20 оставшихся меньших кубов. Поступая так же с каждым из этих кубов, получим множество, состоящее уже из 400 меньших кубов. Продолжая этот процесс бесконечно, получим губку Менгера.

Ряд Фурье периодических функций с периодом 2π.

Ряд Фурье позволяет изучать периодические функции, разлагая их на компоненты. Переменные токи и напряжения, смещения, скорость и ускорение кривошипно-шатунных механизмов и акустические волны - это типичные практические примеры применения периодических функций в инженерных расчетах.

Разложение в ряд Фурье основывается на предположении, что все имеющие практическое значение функции в интервале -π ≤x≤ π можно выразить в виде сходящихся тригонометрических рядов (ряд считается сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов):

Стандартная (=обычная) запись через сумму sinx и cosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

где a o , a 1 ,a 2 ,...,b 1 ,b 2 ,.. - действительные константы, т.е.

Где для диапазона от -π до π коэффициенты ряда Фурье рассчитываются по формулам:

Коэффициенты a o ,a n и b n называются коэффициентами Фурье , и если их можно найти, то ряд (1) называется рядом Фурье, соответствующим функции f(x). Для ряда (1) член (a 1 cosx+b 1 sinx) называется первой или основной гармоникой,

Другой способ записи ряда - использование соотношения acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

Где a o - константа, с 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2 , с n =(a n 2 +b n 2) 1/2 - амплитуды различных компонент, а равен a n =arctg a n /b n .

Для ряда (1) член (a 1 cosx+b 1 sinx) или c 1 sin(x+α 1) называется первой или основной гармоникой, (a 2 cos2x+b 2 sin2x) или c 2 sin(2x+α 2) называется второй гармоникой и так далее.

Для точного представления сложного сигнала обычно требуется бесконечное количество членов. Однако во многих практических задачах достаточно рассмотреть только несколько первых членов.

Ряд Фурье непериодических функций с периодом 2π.

Разложение непериодических функций.

Если функция f(x) непериодическая, значит, она не может быть разложена в ряд Фурье для всех значений х. Однако можно определить ряд Фурье, представляющий функцию в любом диапазоне шириной 2π.

Если задана непериодическая функция, можно составить новую функцию, выбирая значения f(x) в определенном диапазоне и повторяя их вне этого диапазона с интервалом 2π. Поскольку новая функция является периодической с периодом 2π, ее можно разложить в ряд Фурье для всех значений х. Например, функция f(x)=x не является периодической. Однако, если необходимо разложить ее в ряд Фурье на интервале от о до 2π, тогда вне этого интервала строится периодическая функция с периодом 2π (как показано на рис. ниже) .

Для непериодических функций, таких как f(x)=х, сумма ряда Фурье равна значению f(x) во всех точках заданного диапазона, но она не равна f(x) для точек вне диапазона. Для нахождения ряда Фурье непериодической функции в диапазоне 2π используется все таже формула коэффициентов Фурье.

Четные и нечетные функции.

Говорят, функция y=f(x) четная , если f(-x)=f(x) для всех значений х. Графики четных функций всегда симметричны относительно оси у (т.е. являются зеркально отраженными). Два примера четных функций: у=х 2 и у=cosx.

Говорят, что функция y=f(x) нечетная, если f(-x)=-f(x) для всех значений х. Графики нечетных функций всегда симметричны относительно начала координат.

Многие функции не являются ни четными, ни нечетными.

Разложение в ряд Фурье по косинусам.

Ряд Фурье четной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с косинусами (т.е. не содержит членов с синусами) и может включать постоянный член. Следовательно,

где коэффициенты ряда Фурье,

Ряд Фурье нечетной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с синусами (т.е. не содержит членов с косинусами).

Следовательно,

где коэффициенты ряда Фурье,

Ряд Фурье на полупериоде.

Если функция определена для диапазона, скажем от 0 до π, а не только от 0 до 2π, ее можно разложить в ряд только по синусам или тольо по косинусам. Полученный ряд Фурье называется рядом Фурье на полупериоде.

Если требуется получить разложение Фурье на полупериоде по косинусам функции f(x) в диапазоне от 0 до π, то необходимо составить четную периодическую функцию. На рис. ниже показана функция f(x)=х, построенная на интервале от х=0 до х=π. Поскольку четная функция симметрична относительно оси f(x), проводим линию АВ, как показано на рис. ниже. Если предположить, что за пределами рассмотренного интервала полученная треугольная форма является периодической с периодом 2π, то итоговый график имеет вид, показ. на рис. ниже. Поскольку требуется получить разложение Фурье по косинусам, как и ранее, вычисляем коэффициенты Фурье a o и a n

Если требуется получить разложение Фурье на полупериоде по синусам функции f(x) в диапазоне от 0 до π, то необходимо составить нечетную периодическую функцию. На рис. ниже показана функция f(x)=x, построенная на интервале от от х=0 до х=π. Поскольку нечетная функция симметрична относительно начала координат, строим линию CD, как показано на рис. Если предположить, что за пределами рассмотренного интервала полученный пилообразный сигнал является периодическим с периодом 2π, то итоговый график имеет вид, показанный на рис. Поскольку требуется получить разложение Фурие на полупериоде по синусам, как и ранее, вычисляем коэффициент Фурье. b

Ряд Фурье для произвольного интервала.

Разложение периодической функции с периодом L.

Периодическая функция f(x) повторяется при увеличении х на L, т.е. f(x+L)=f(x). Переход от рассмотренных ранее функций с периодом 2π к функциям с периодом L довольно прост, поскольку его можно осуществить с помощью замены переменной.

Чтобы найти ряд Фурье функции f(x) в диапазоне -L/2≤x≤L/2, введем новую переменную u таким образом, чтобы функция f(x) имела период 2π относительно u. Если u=2πх/L, то х=-L/2 при u=-π и х=L/2 при u=π. Также пусть f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Ряд Фурье F(u) имеет вид

(Пределы интегрирования могут быть заменены на любой интервал длиной L, например, от 0 до L)

Ряд Фурье на полупериоде для функций, заданных в интервале L≠2π.

Для подстановки u=πх/L интервал от х=0 до х=L соответствует интервалу от u=0 до u=π. Следовательно, функцию можно разложить в ряд только по косинусам или только по синусам, т.е. в ряд Фурье на полупериоде .

Разложение по косинусам в диапазоне от 0 до L имеет вид

Министерство общего и профессионального образования

Сочинский государственный университет туризма

и курортного дела

Педагогический институт

Математический факультет

Кафедра общей математики

ДИПЛОМНАЯ РАБОТА

Ряды Фурье и их приложения

В математической физике.

Выполнила: студентка 5-го курса

подпись дневной формы обучения

Специальность 010100

„Математика”

Касперовой Н.С.

Студенческий билет № 95471

Научный руководитель:доцент, канд.

подпись техн. наук

Позин П.А.

Сочи, 2000 г.

1. Введение.

2. Понятие ряда Фурье.

2.1. Определение коэффициентов ряда Фурье.

2.2. Интегралы от периодических функций.

3. Признаки сходимости рядов Фурье.

3.1. Примеры разложения функций в ряды Фурье.

4. Замечание о разложении периодической функции в ряд Фурье

5. Ряды Фурье для четных и нечетных функций.

6. Ряды Фурье для функций с периодом 2 l .

7. Разложение в ряд Фурье непериодической функции.

Введение.

Жан Батист Жозеф Фурье - французский математик, член Парижской Академии Наук (1817).

Первые труды Фурье относятся к алгебре. Уже в лекциях 1796 он изложил теорему о числе действительных корней алгебраического уравнения, лежащих между данными границами (опубл. 1820), названную его именем; полное решение о числе действительных корней алгебраического уравнения было получено в 1829 Ж.Ш.Ф. Штурмом. В 1818 Фурье исследовал вопрос об условиях применимости разработанного Ньютоном метода численного решения уравнений, не зная об аналогичных результатах, полученных в 1768 французским математиком Ж.Р. Мурайлем. Итогом работ Фурье по численным методам решения уравнений является «Анализ определённых уравнений», изданный посмертно в 1831.

Основной областью занятий Фурье была математическая физика. В 1807 и 1811 он представил Парижской Академии Наук свои первые открытия по теории распространении тепла в твёрдом теле, а в 1822 опубликовал известную работу «Аналитическая теория теплоты», сыгравшую большую роль в последующей истории математики. Это – математическая теория теплопроводности. В силу общности метода эта книга стала источником всех современных методов математической физики. В этой работе Фурье вывел дифференциальное уравнение теплопроводности и развил идеи, в самых общих чертах намеченные ранее Д. Бернулли, разработал для решения уравнения теплопроводности при тех или иных заданных граничных условиях метод разделения переменных (метод Фурье), который он применял к ряду частных случаев (куб, цилиндр и др.). В основе этого метода лежит представление функций тригонометрическими рядами Фурье.

Ряды Фурье теперь стали хорошо разработанным средством в теории уравнений в частных производных при решении граничных задач.

1. Понятие ряда Фурье. (стр. 94, Уваренков)

Ряды Фурье играют большую роль в математической физике, теории упругости, электротехнике и особенно их частный случай – тригонометрические ряды Фурье.

Тригонометрическим рядом называют ряд вида

или, символической записи:

(1)

где ω, a 0 , a 1 , …, a n , …, b 0 , b 1 , …,b n , …- постоянные числа (ω>0) .

К изучению таких рядов исторически привели некоторые задачи физики, например задача о колебаниях струны (XVIII в.), задача о закономерностях в явлениях теплопроводности и др. В приложениях рассмотрение тригонометрических рядов, прежде всего связано с задачей представления данного движения, описанного уравнением у = ƒ(χ), в

виде суммы простейших гармонических колебаний, часто взятых в бесконечно большом числе, т. е. в качестве суммы ряда вида (1).

Таким образом, мы приходим к следующей задаче: выяснить существует ли для данной функции ƒ(x) на заданном промежутке такой ряд (1),который сходился бы на этом промежутке к данной функции. Если это возможно, то говорят, что на этом промежутке функция ƒ(x) разлагается в тригонометрический ряд.

Ряд (1) сходится в некоторой точке х 0 , в силу периодичности функций

(n=1,2,..), он окажется сходящимся и во всех точках вида (m- любое целое число), и тем самым его сумма S(x) будет (в области сходимости ряда) периодической функцией: если S n (x) – n-я частичная сумма этого ряда, то имеем

а потому и

, т. е. S(x 0 +T)=S(x 0). Поэтому, говоря о разложении некоторой функции ƒ(x) в ряд вида (1), будем предполагать ƒ(x) периодической функцией.

2. Определение коэффициентов ряда по формулам Фурье.

Пусть периодическая функция ƒ(х) с периодом 2π такая, что она представляется тригонометрическим рядом, сходящимся к данной функции в интервале (-π, π), т. е. является суммой этого ряда:

. (2)

Предположим, что интеграл от функции, стоящей в левой части этого равенства, равняется сумме интегралов от членов этого ряда. Это будет выполняться, если предположить, что числовой ряд, составленный из коэффициентов данного тригонометрического ряда, абсолютно сходится, т. е.. сходится положительный числовой ряд

(3)

Ряд (1) мажорируем и его можно почленно интегрировать в промежутке (-π, π). Проинтегрируем обе части равенства (2):

.

Вычислим отдельно каждый интеграл, встречающийся в правой части:

, , .

Таким образом,

, откуда . (4)

Оценка коэффициентов Фурье. (Бугров)

Теорема 1. Пусть функция ƒ(x) периода 2π имеет непрерывную производную ƒ ( s) (x) порядка s, удовлетворяющей на всей действительной оси неравенству:

│ ƒ (s) (x)│≤ M s ; (5)

тогда коэффициенты Фурье функции ƒ удовлетворяют неравенству

(6)

Доказательство. Интегрируя по частям и учитывая, что

ƒ(-π) = ƒ(π), имеем

Интегрируя правую часть (7) последовательно, учитывая, что производные ƒ ΄ , …, ƒ (s-1) непрерывны и принимают одинаковые значения в точках t = -π и t = π, а также оценку (5), получим первую оценку (6).

Вторая оценка (6) получается подобным образом.

Теорема 2. Для коэффициентов Фурье ƒ(x) имеет место неравенство

(8)

Доказательство. Имеем

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Р. К. Бельхеева РЯДЫ ФУРЬЕ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ Учебное пособие Новосибирск 211

2 УДК ББК В161 Б44 Б44 Бельхеева Р. К. Ряды Фурье в примерах и задачах: Учебное пособие / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, с. ISBN В учебном пособии излагаются основные сведения о рядах Фурье, приведены примеры на каждую изучаемую тему. Детально разобран пример применения метода Фурье к решению задачи о поперечных колебаниях струны. Приведен иллюстративный материал. Имеются задачи для самостоятельного решения. Предназначено для студентов и преподавателей физического факультета НГУ. Печатается по решению методической комиссии физического факультета НГУ. Рецензент д-р физ.-мат. наук. В. А. Александров Пособие подготовлено в рамках реализации Программы развития НИУ-НГУ на гг. ISBN c Новосибирский государственный университет, 211 c Бельхеева Р. К., 211

3 1. Разложение 2π-периодической функции в ряд Фурье Определение. Рядом Фурье функции f(x) называется функциональный ряд a 2 + (a n cosnx + b n sin nx), (1) где коэффициенты a n, b n вычисляются по формулам: a n = 1 π b n = 1 π f(x) cosnxdx, n =, 1,..., (2) f(x) sin nxdx, n = 1, 2,.... (3) Формулы (2) (3) называют формулами Эйлера Фурье. Тот факт, что функции f(x) соответствует ряд Фурье (1) записывают в виде формулы f(x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) (4) и говорят, что правая часть формулы (4) является формальным рядом Фурье функции f(x). Другими словами, формула (4) означает только то, что коэффициенты a n, b n найдены по формулам (2), (3). 3

4 Определение. 2π-периодическая функция f(x) называется кусочно-гладкой, если в промежутке [, π] найдется конечное число точек = x < x 1 . Рассмотрим два условия: а) f(l x) = f(x); б) f(l + x) = f(x), x [, l/2]. С геометрической точки зрения условие (а) означает, что график функции f(x) симметричен относительно вертикальной прямой x = l/2, а условие (б) что график f(x) центрально симметричен относительно точки (l/2;) на оси абсцисс. Тогда справедливы следующие утверждения: 1) если функция f(x) четная и выполнено условие (а), то b 1 = b 2 = b 3 =... =, a 1 = a 3 = a 5 =... = ; 2) если функция f(x) четная и выполнено условие (б), то b 1 = b 2 = b 3 =... =, a = a 2 = a 4 =... = ; 3) если функция f(x) нечетная и выполнено условие (а), то a = a 1 = a 2 =... =, b 2 = b 4 = b 6 =... = ; 4) если функция f(x) нечетная и выполнено условие (б), то a = a 1 = a 2 =... =, b 1 = b 3 = b 5 =... =. ЗАДАЧИ В задачах 1 7 нарисуйте графики и найдите ряды Фурье для функций, { предполагая, что они имеют период 2π:, если < x a cosx + a2 В задачах найдите ряды Фурье в комплексной форме для функций. 26. f(x) = sgn x, π < x < π. 27. f(x) = ln(1 2a cosx + a 2), a < 1. 1 a cosx 28. f(x) = 1 2a cosx + a2, a < Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], вещественнозначна, если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является четной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n = ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является нечетной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2,.... Ответы 1 2π 24. a n a π a n i + e 2inx, где подразумевается, что слагаемое, соответствующее n =, пропущено. π n n= a n n cosnx. 28. a n cosnx. n= 46

47 5. Равенство Ляпунова Теорема (равенство Ляпунова). Пусть функция f: [, π] R такова, что f 2 (x) dx < +, и пусть a n, b n ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо равенство, a (a 2 n + b2 n) = 1 π называемое равенством Ляпунова. f 2 (x) dx, ПРИМЕР 13. Напишем равенство Ляпунова для функции { 1, если x < a, f(x) =, если a < x < π и найдем с его помощью суммы числовых рядов + sin 2 na n 2 и + Решение. Очевидно, 1 (2n 1) 2. 1 π f 2 (x) dx = 1 π a a dx = 2a π. Так как f(x) четная функция, то для всех n имеем b n =, a = 2 π f(x) dx = 2 π a dx = 2a π, 47

48 a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 π a cos nxdx = 2 sin na πn. Поэтому равенство Ляпунова для функции f(x) принимает вид: 2 a 2 π + 4 sin 2 na = 2a 2 π 2 n 2 π. Из последнего равенства для a π находим sin 2 na n 2 = a(π a) 2 Полагая a = π 2, получаем sin2 na = 1 при n = 2k 1 и sin 2 na = при n = 2k. Следовательно, k=1 1 (2k 1) 2 = = π2 8. ПРИМЕР 14. Напишем равенство Ляпунова для функции f(x) = x cosx, x [, π], и найдем с его помощью сумму числового ряда (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) 4. 1 π Решение. Прямые вычисления дают = π π f 2 (x) dx = 1 π x 2 cos 2 xdx = 1 π x sin 2xdx = π π x cos x = π x 21 + cos 2x dx = 2 π 1 4π cos 2xdx =

49 Поскольку f(x) четная функция, то для всех n имеем b n =, a n = 2 π = 1 π 1 = π(n + 1) = f(x) cosnxdx = 2 π 1 cos(n + 1)x π(n + 1) 2 x cosxcosnxdx = x (cos(n + 1)x + cos(n 1)x) dx = 1 π sin(n + 1)xdx sin(n 1)xdx = π(n 1) π π 1 + cos(n 1)x = π(n 1) 2 1 (= (1) (n+1) 1) 1 (+ (1) (n+1) 1) = π(n + 1) 2 π(n 1) 2 () = (1)(n+1) 1 1 π (n + 1) + 1 = 2 (n 1) 2 = 2 (1)(n+1) 1 n k π (n 2 1) = π (4k 2 1) 2, если n = 2k, 2, если n = 2k + 1. Коэффициент a 1 необходимо вычислить отдельно, поскольку в общей формуле при n = 1 знаменатель дроби обращается в ноль. = 1 π a 1 = 2 π f(x) cosxdx = 2 π x(1 + cos 2x)dx = π 2 1 2π 49 x cos 2 xdx = sin 2xdx = π 2.

50 Таким образом, равенство Ляпунова для функции f(x) имеет вид: 8 π + π (4n 2 + 1) 2 π 2 (4n 2 1) = π , откуда находим сумму числового ряда (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) = π π ЗАДАЧИ 32. Напишите равенство Ляпунова для функции { x f(x) = 2 πx, если x < π, x 2 πx, если π < x. 33. Напишите равенства Ляпунова для функций f(x) = cos ax и g(x) = sin ax, x [, π]. 34. Используя результат предыдущей задачи и предполагая, что a не является целым числом, выведите следующие классические разложения функций πctgaπ и (π/ sin aπ) 2 по рациональным функциям: πctgaπ = 1 a + + 2a a 2 n 2, (π) = sin aπ (a n) 2. n= 35. Выведите комплексную форму обобщенного равенства Ляпунова. 36. Покажите, что комплексная форма равенства Ляпунова справедлива не только для вещественнозначных функций, но и для комплекснозначных функций. 5

51 π (2n + 1) = π sin 2απ 2απ = 2sin2 απ α 2 π 2 Ответы + 4 sin2 απ π 2 α 2 (α 2 n 2) 2; sin 2απ 1 2απ = απ n 2 4sin2 π 2 (α 2 n 2) 2. 1 π 35. f(x)g(x) dx= c n d n, где c n коэффициент Фурье 2π функции f(x), а d n коэффициент Фурье функции g(x). 6. Дифференцирование рядов Фурье Пусть f: R R непрерывно дифференцируемая 2π-периодическая функция. Ее ряд Фурье имеет вид: f(x) = a 2 + (a n cos nx + b n sin nx). Производная f (x) этой функции будет непрерывной и 2π-периодической функцией, для которой можно записать формальный ряд Фурье: f (x) a 2 + (a n cos nx + b n sin nx), где a, a n, b n, n = 1, 2,... коэффициенты Фурье функции f (x). 51

52 Теорема (о почленном дифференцировании рядов Фурье). При сделанных выше предположениях справедливы равенства a =, a n = nb n, b n = na n, n 1. ПРИМЕР 15. Пусть кусочно-гладкая функция f(x) непрерывна в промежутке [, π]. Докажем, что при выполнении условия f(x)dx = имеет место неравенство 2 dx 2 dx, называемое неравенством Стеклова, и убедимся, что равенство в нем осуществляется лишь для функций вида f(x) = A cosx. Иными словами, неравенство Стеклова дает условия, при выполнении которых из малости производной (в среднеквадратичном) следует малость функции (в среднеквадратичном). Решение. Продолжим функцию f(x) на промежуток [, ] четным образом. Обозначим продолженную функцию тем же символом f(x). Тогда продолженная функция будет непрерывной и кусочно-гладкой на отрезке [, π]. Так как функция f(x) непрерывна, то f 2 (x) непрерывна на отрезке и 2 dx < +, следовательно, можно применить теорему Ляпунова, согласно которой имеет место равенство 1 π 2 dx = a () a 2 n + b 2 n. 52

53 Так как продолженная функция четная, то b n =, a = по условию. Следовательно, равенство Ляпунова принимает вид 1 π 2 dx = a 2 π n. (17) Убедимся, что для f (x) выполняется заключение теоремы о почленном дифференцировании ряда Фурье, то есть что a =, a n = nb n, b n = na n, n 1. Пусть производная f (x) претерпевает изломы в точках x 1, x 2,..., x N в промежутке [, π]. Обозначим x =, x N+1 = π. Разобьем промежуток интегрирования [, π] на N +1 промежуток (x, x 1),..., (x N, x N+1), на каждом из которых f(x) непрерывно дифференцируема. Тогда, используя свойство аддитивности интеграла, а затем интегрируя по частям, получим: b n = 1 π = 1 π = 1 π f (x) sin nxdx = 1 π N f(x) sin nx j= N f(x) sin nx j= x j+1 x j x j+1 x j n n π N j= x j+1 x j x j+1 x j f (x) sin nxdx = f(x) cosnxdx = f(x) cosnxdx = = 1 π [(f(x 1) sin nx 1 f(x) sin nx) + + (f(x 2) sinnx 2 f(x 1) sin nx 1)

54 + (f(x N+1) sin nx N+1 f(x N) sin nx N)] na n = = 1 π na n = = 1 π na n = na n. x j+1 a = 1 f (x)dx = 1 N f (x)dx = π π j= x j = 1 N x j+1 f(x) π = 1 (f(π) f()) =. x j π j= Последнее равенство имеет место в силу того, что функция f(x) была продолжена четным образом, а значит f(π) = f(). Аналогично получим a n = nb n. Мы показали, что теорема о почленном дифференцировании рядов Фурье для непрерывной кусочно-гладкой 2π-периодической функции, производная которой в промежутке [, π] претерпевает разрывы первого рода, верна. Значит f (x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) = (na n)sin nx, так как a =, a n = nb n =, b n = na n, n = 1, 2,.... Поскольку 2 dx < +, то по равенству Ляпунова 1 π 2 dx = 54 n 2 a 2 n. (18)

55 Так как каждый член ряда в (18) больше или равен соответствующего члена ряда в (17), то 2 dx 2 dx. Вспоминая, что f(x) является четным продолжением исходной функции, имеем 2 dx 2 dx. Что и доказывает равенство Стеклова. Теперь исследуем для каких функций в неравенстве Стеклова имеет место равенство. Если хоть для одного n 2, коэффициент a n отличен от нуля, то a 2 n < na 2 n. Следовательно, равенство a 2 n = n 2 a 2 n возможно только если a n = для n 2. При этом a 1 = A может быть произвольным. Значит в неравенстве Стеклова равенство достигается только на функциях вида f(x) = A cosx. Отметим, что условие πa = f(x)dx = (19) существенно для выполнения неравенства Стеклова, ведь если условие (19) нарушено, то неравенство примет вид: a a 2 n n 2 a 2 n, а это не может быть верно при произвольном a. 55

56 ЗАДАЧИ 37. Пусть кусочно-гладкая функция f(x) непрерывна в промежутке [, π]. Докажите, что при выполнении условия f() = f(π) = имеет место неравенство 2 dx 2 dx, также называемое неравенством Стеклова, и убедитесь, что равенство в нем имеет место лишь для функций вида f(x) = B sin x. 38. Пусть функция f непрерывна в промежутке [, π] и имеет в нем (за исключением разве лишь конечного числа точек) производную f (x), интегрируемую с квадратом. Докажите, что если при этом выполнены условия f() = f(π) и f(x) dx =, то имеет место неравенство 2 dx 2 dx, называемое неравенством Виртингера, причем равенство в нем имеет место лишь для функций вида f(x) = A cosx + B sin x. 56

57 7. Применение рядов Фурье для решения дифференциальных уравнений в частных производных При изучении реального объекта (явления природы, производственного процесса, системы управления и т. д.) существенными оказываются два фактора: уровень накопленных знаний об исследуемом объекте и степень развития математического аппарата. На современном этапе научных исследований выработалась следующая цепочка: явление физическая модель математическая модель. Физическая постановка (модель) задачи состоит в следующем: выявляются условия развития процесса и главные факторы на него влияющие. Математическая постановка (модель) заключается в описании выбранных в физической постановке факторов и условий в виде системы уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегральных и др.). Задача называется корректно поставленной, если в определенном функциональном пространстве решение задачи существует, единственно и непрерывно зависит от начальных и граничных условий. Математическая модель не бывает тождественна рассматриваемому объекту, а является его приближенным описанием Вывод уравнения свободных малых поперечных колебаний струны Будем следовать учебнику . Пусть концы струны закреплены, а сама струна туго натянута. Если вывести струну из положения равновесия (например, оттянуть или ударить по ней), то струна начнет 57

58 колебаться. Будем предполагать, что все точки струны движутся перпендикулярно ее положению равновесия (поперечные колебания), причем в каждый момент времени струна лежит в одной и той же плоскости. Возьмем в этой плоскости систему прямоугольных координат xou. Тогда, если в начальный момент времени t = струна располагалась вдоль оси Ox, то u будет означать отклонение струны от положения равновесия, то есть, положению точки струны с абсциссой x в произвольный момент времени t соответствует значение функции u(x, t). При каждом фиксированном значении t график функции u(x, t) представляет форму колеблющейся струны в момент времени t (рис. 32). При постоянном значении x функция u(x, t) дает закон движения точки с абсциссой x вдоль прямой, параллельной оси Ou, производная u t скорость этого движения, а вторая производная 2 u t 2 ускорение. Рис. 32. Силы, приложенные к бесконечно малому участку струны Составим уравнение, которому должна удовлетворять функция u(x, t). Для этого сделаем еще несколько упрощающих предположений. Будем считать струну абсолютно гиб- 58

59 кой, то есть будем считать, что струна не сопротивляется изгибу; это означает, что напряжения, возникающие в струне, всегда направлены по касательным к ее мгновенному профилю. Струна предполагается упругой и подчиняющейся закону Гука; это означает, что изменение величины силы натяжения пропорционально изменению длины струны. Примем, что струна однородна; это означает, что ее линейная плотность ρ постоянна. Внешними силами мы пренебрегаем. Это и означает, что мы рассматриваем свободные колебания. Мы будем изучать только малые колебания струны. Если обозначить через ϕ(x, t) угол между осью абсцисс и касательной к струне в точке с абсциссой x в момент времени t, то условие малости колебаний заключается в том, что величиной ϕ 2 (x, t) можно пренебрегать по сравнению с ϕ(x, t), т. е. ϕ 2. Так как угол ϕ мал, то cosϕ 1, ϕ sin ϕ tg ϕ u следовательно, величиной (u x x,) 2 также можно пренебрегать. Отсюда сразу следует, что в процессе колебания можем пренебречь изменением длины любого участка струны. Действительно, длина кусочка струны M 1 M 2, проектирующаяся в промежуток оси абсцисс, где x 2 = x 1 + x, равна l = x 2 x () 2 u dx x. x Покажем, что при наших предположениях величина силы натяжения T будет постоянной вдоль всей струны. Возьмем для этого какой либо участок струны M 1 M 2 (рис. 32) в момент времени t и заменим действие отброшенных участ- 59

60 ков силами натяжений T 1 и T 2. Так как по условию все точки струны движутся параллельно оси Ou и внешние силы отсутствуют, то сумма проекций сил натяжения на ось Ox должна равняться нулю: T 1 cosϕ(x 1, t) + T 2 cosϕ(x 2, t) =. Отсюда в силу малости углов ϕ 1 = ϕ(x 1, t) и ϕ 2 = ϕ(x 2, t) заключаем, что T 1 = T 2. Обозначим общее значение T 1 = T 2 через T. Теперь вычислим сумму проекций F u этих же сил на ось Ou: F u = T sin ϕ(x 2, t) T sin ϕ(x 1, t). (2) Так как для малых углов sin ϕ(x, t) tg ϕ(x, t), а tg ϕ(x, t) u(x, t)/ x, то уравнение (2) можно переписать так F u T (tg ϕ(x 2, t) tg ϕ(x 1, t)) (u T x (x 2, t) u) x (x 1, t) x x T 2 u x 2(x 1, t) x. Так как точка x 1 выбрана произвольно, то F u T 2 u x2(x, t) x. После того как найдены все силы, действующие на участок M 1 M 2, применим к нему второй закон Ньютона, согласно которому произведение массы на ускорение равно сумме всех действующих сил. Масса кусочка струны M 1 M 2 равна m = ρ l ρ x, а ускорение равно 2 u(x, t). Уравнение t 2 Ньютона принимает вид: 2 u t (x, t) x = u 2 α2 2 x2(x, t) x, где α 2 = T ρ постоянное положительное число. 6

61 Сокращая на x, получим 2 u t (x, t) = u 2 α2 2 x2(x, t). (21) В результате мы получили линейное однородное дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка с постоянными коэффициентами. Его называют уравнением колебаний струны или одномерным волновым уравнением. Уравнение (21) по сути является переформулировкой закона Ньютона и описывает движение струны. Но в физической постановке задачи присутствовали требования о том, что концы струны закреплены и положение струны в какойто момент времени известно. Уравнениями эти условия будем записывать так: а) будем считать, что концы струны закреплены в точках x = и x = l, т. е. будем считать, что для всех t выполнены соотношения u(, t) =, u(l, t) = ; (22) б) будем считать, что в момент времени t = положение струны совпадает с графиком функции f(x), т. е. будем считать, что для всех x [, l] выполнено равенство u(x,) = f(x); (23) в) будем считать, что в момент времени t = точке струны с абсциссой x придана скорость g(x), т. е. будем считать, что u (x,) = g(x). (24) t Соотношения (22) называются граничными условиями, а соотношения (23) и (24) называются начальными условиями. Математическая модель свободных малых поперечных 61

62 колебаний струны заключается в том, что надо решить уравнение (21) с граничными условиями (22) и начальными условиями (23) и (24) Решение уравнения свободных малых поперечных колебаний струны методом Фурье Решения уравнения (21) в области x l, < t . Подставляя (25) в (21), получим: X T = α 2 X T, (26) или T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x). (27) Говорят, что произошло разделение переменных. Так как x и t не зависят друг от друга, то левая часть в (27) не зависит от x, а правая от t и общая величина этих отношений 62

63 должна быть постоянной, которую обозначим через λ: T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x) = λ. Отсюда получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения: X (x) λx(x) =, (28) T (t) α 2 λt(t) =. (29) При этом граничные условия (22) примут вид X()T(t) = и X(l)T(t) =. Поскольку они должны выполняться для всех t, t >, то X() = X(l) =. (3) Найдем решения уравнения (28), удовлетворяющего граничным условиям (3). Рассмотрим три случая. Случай 1: λ >. Обозначим λ = β 2. Уравнение (28) принимает вид X (x) β 2 X(x) =. Его характеристическое уравнение k 2 β 2 = имеет корни k = ±β. Следовательно, общее решение уравнения (28) имеет вид X(x) = C e βx + De βx. Мы должны подобрать постоянные C и D так, чтобы соблюдались граничные условия (3), т. е. X() = C + D =, X(l) = C e βl + De βl =. Поскольку β, то эта система уравнений имеет единственное решение C = D =. Следовательно, X(x) и 63

64 u(x, t). Тем самым, в случае 1 мы получили тривиальное решение, которое далее рассматривать не будем. Случай 2: λ =. Тогда уравнение (28) принимает вид X (x) = и его решение, очевидно, задается формулой: X(x) = C x+d. Подставляя это решение в граничные условия (3), получим X() = D = и X(l) = Cl =, значит, C = D =. Следовательно, X(x) и u(x, t), и мы опять получили тривиальное решение. Случай 3: λ