Равнодействующая сил действующих на тело. Формула равнодействующей всех сил

Если на твердое тело действует много сил, то движение тела зависит только от суммы всех этих сил и от суммы их моментов. Это обстоятельство позволяет иногда заменить совокупность всех действующих на тело сил одной силой, которую называют в таком случае равнодействующей. Очевидно, что по величине и направлению равнодействующая сила равна сумме всех сил, а ее точка приложения должна быть выбрана таким образом, чтобы ее момент был равен суммарному моменту всех сил.

Наиболее важный случай такого рода - сложение параллельных сил. Сюда относится, в частности, сложение сил тяжести, действующих на отдельные части твердого тела.

Рассмотрим какое-либо тело и определим полный момент сил тяжести относительно произвольно выбранной горизонтальной оси (ось Z на рис. 5). Сила тяжести, действующая на элемент m i тела, равна m i g, а ее плечо есть координата x i этого элемента. Поэтому суммарный момент всех сил равен

Равнодействующая сила по величине равна полному весу тела и если обозначить координату ее точки приложения через X, то тот же момент N z запишется в виде (24)

Приравняв оба выражения, найдем (25)

Но это есть не что иное, как х-координата центра инерции тела.

Таким образом, мы видим, что всю совокупность действующих на тело сил тяжести можно заменить одной силой, равной полному весу тела и приложенной к его центру инерции. В связи с этим центр инерции тела часто называют также его центром тяжести.

Сведение системы параллельных сил к одной равнодействующей силе, однако, невозможно, если сумма сил равна нулю. Действие такой совокупности сил может быть сведено к действию, как говорят, пары сил: двух сил, равных по величине и противоположных по направлению. Легко сообразить, что сумма N z моментов таких двух сил относительно любой оси Z, перпендикулярной плоскости их действия, одинакова и равна произведению величины F на расстояние h между направлениями действия обеих сил (плечо пары ): N z =Fh .

Действие пары сил, оказываемое ею на движение тела, зависит только от этого, как говорят, момента пары .

Методика проведения эксперимента и описание установки

Задачи работы : экспериментальное исследование закономерностей гироскопического эффекта, опытное определение полного момента инерции гироскопа.

Приборы и принадлежности: гироскоп ФМ-18, электронный блок, штангенциркуль.

Гироскопом называет массивное тело, вращающееся с большой скоростью вокруг неподвижной оси симметрии. В экспериментальной установке, показанной на рис. 6, гироскопом служит металлический диск 1 с горизонтально расположенной осью 2, который приводится во вращение электродвигателем 3. Ось гироскопа опирается на шарнир 4, закреплённый на подставке 5. Горизонтальное положение оси обеспечивается противовесом 6. Смещая противовес вдоль градуированной шкалы 7, можно создавать дополнительный момент силы тяжести, действующий на гироскоп при его вращении.

Установка работает от блока управления. Левое табло показывает частоту вращения маховика гироскопа – после включения индуцирует начальную частоту. Правое табло индуцирует время поворота гироскопа вокруг вертикальной оси на 90 0 .

Установка позволяет наблюдать так называемый гироскопический эффект, заключающийся в том, что попытка повернуть ось гироскопа в определённой плоскости Х приводит на самой деле к повороту в плоскости, перпендикулярной плоскости Х. Допустим, что в первоначальном положения противовес 6 уравновешивает гироскоп так, что полный момент сил, действующих на гироскоп, . В этих условиях согласно закону сохранения момента импульса должно выполняться равенство и ось гироскопа остаётся горизонтальной и неподвижной.

Попытаемся теперь повернуть ось гироскопа в вертикальной плоскости по часовой стрелке. Для этого сдвинем противовес от положения равновесия на некоторое расстояние (см. рис. 7). При этом на гироскоп будет действовать момент силы тяжести N, направленный вдоль оси Oу и по величине равный (26)

Согласно уравнению динамики вращательного движения твердого тела

Поэтому момент силы вызовет за время изменение момента импульса , равное (28)

Важно отметить, что вектор направлен, как вектор , по оси Oy, т.е. перпендикулярно первоначальному направлению вектора . В результате вектор момента импульса гироскопа займет в пространстве новое положение

что соответствует повороту оси гироскопа в горизонтальной плоскости на некоторый угол . При постоянно действующем моменте силы гироскопический эффект приведет к равномерному горизонтальному вращению оси гироскопа с относительно малой угловой скоростью

Установим связь между и другими параметрами гироскопа. Из рис. 2 следует, что

Для малых углов , тогда, подставляя (29) в (30), получаем.

>> Равнодействующая сила

Отослано читателями из интернет-сайтов

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

Когда говорят о равнодействующей, то имеют в виду силу, которая равна действию двух или более сил, одновременно приложенных к телу .

Когда на тело действует несколько сил, то их совместный эффект может быть различным, он зависит как от направления разных сил, так и от их числовых значений. В любом случае всегда можно найти одну равнодействующую им силу.

Например, на батут положили кирпич. На кирпич действуют две силы - сила тяжести и сила упругости батута. В момент, когда кирпич только положили, сила тяжести была больше, чем сила упругости, и кирпич двигался вниз. Как только силы сравнялись, кирпич остановился.

Если бы кирпич не клали на батут, а бросили со всей силы сверху, то он бы двигался вниз не только под действием силы тяжести, но и переданной ему силы броска. Под действием этих двух сил батут бы прогнулся сильнее, так как сила упругости, которая уравновесит эти силы, должна быть больше.

Когда равновесие сил будет достигнуто, и движение остановится, то равновесие снова нарушится, так как на кирпич уже не будет действовать сила броска, а только силы тяжести и упругости. Но ведь сила упругости была достигнута не только за счет веса кирпича, но за счет силы броска. Поэтому сила упругости будет больше силы тяжести, и кирпич подпрыгнет, то есть начнет двигаться вверх.

В самых простых случаях рассматривают равнодействующую сил, направленных либо в одну сторону, либо противоположно.

Если две силы, действующие на тело, направлены в одну сторону, то равнодействующая им будет равна их сумме: F 1 + F 2 . Например, если тело толкают в одну сторону две силы в 10 Н и 20 Н, то равнодействующая сила этим двум будет равна 30 Н.

Если две силы, действующие на тело, направлены в противоположные стороны, то равнодействующая им равна модулю разности между силами и направлена в сторону большей: |F 1 – F 2 |. Например, если одна сила в 10 Н толкает тело влево, а другая сила в 15 Н - вправо, то тело будет двигаться вправо под действием силы в 5 Н (|10 – 15| = 5).

Когда силы направлены противоположно, но равны по численному значению, то равнодействующая им будет равна нулю. Это значит, что равнодействующая сила не оказывает никакого влияния на тело. Если тело находилось в покое, оно в нем и останется. Если тело двигалось прямолинейно и равномерно, оно так и продолжит двигаться. Таким образом, хотя две новые силы подействовали на тело, они «взаимно уничтожились».

Допустим, на тело действуют три силы, две из которых направлены в одну сторону, а третья в другую. В этом случае сначала надо найти равнодействующую двух сил, направленных в одну сторону, сложив их. Потом сравнить ее с третьей силой, чтобы определить в какую сторону будет направлена равнодействующая трех сил. И найти модуль разности между суммой первых двух и третьей: |F 1 + F 2 – F 3 |.

Первый закон Ньютона говорит нам о том, что в инерциальных системах отсчета тела могут изменять скорость только, если на них оказывают воздействие другие тела. При помощи силы ($\overline{F}$) выражают взаимное действие тел друг на друга. Сила способна изменить величину и направление скорости тела. $\overline{F}$ - это векторная величина, то есть она обладает модулем (величиной) и направлением.

Определение и формула равнодействующей всех сил

В классической динамике основным законом, с помощью которого находят направление и модуль равнодействующей силы является второй закон Ньютона:

\[\overline{F}=m\overline{a}\ \left(1\right),\]

где $m$ - масса тела, на которое действует сила $\overline{F}$; $\overline{a}$ - ускорение, которое сила $\overline{F}$ сообщает рассматриваемому телу. Смысл второго закона Ньютона заключается в том, что силы, которые действуют на тело, определяют изменение скорости тела, а не просто его скорость. Следует знать, что второй закон Ньютона выполняется для инерциальных систем отсчета.

На тело могут действовать не одна, а некоторая совокупность сил. Суммарное действие этих сил характеризуют, используя понятие равнодействующей силы. Пусть на тело оказывают действие в один и тот же момент времени несколько сил. Ускорение тела при этом равно сумме векторов ускорений, которые возникли бы при наличии каждой силы отдельно. Силы, которые оказывают действие на тело, следует суммировать в соответствии с правилом сложения векторов. Равнодействующей силой ($\overline{F}$) называют векторную сумму всех сил, которые оказывают действие на тело в рассматриваемый момент времени:

\[\overline{F}={\overline{F}}_1+{\overline{F}}_2+\dots +{\overline{F}}_N=\sum\limits^N_{i=1}{{\overline{F}}_i}\ \left(2\right).\]

Формула (2) - это формула равнодействующей всех сил, приложенных к телу. Равнодействующая сила является искусственной величиной, которую вводят для удобства проведения вычислений. Равнодействующая сила направлена как вектор ускорения тела.

Основной закон динамики поступательного движения при наличии нескольких сил

Если на тело действуют несколько сил, тогда второй закон Ньютона записывают как:

\[\sum\limits^N_{i=1}{{\overline{F}}_i}=m\overline{a}\left(3\right).\]

$\overline{F}=0$, если силы, приложенные к телу, взаимно компенсируют друг друга. Тогда в инерциальной системе отсчета скорость движения тела постоянна.

При изображении сил, действующих на тело, на рисунке, в случае равноускоренного движения, равнодействующую силу, изображают длиннее, чем сумму сил, которые противоположно ей направлены. Если тело перемещается с постоянной скоростью или покоится, длины векторов сил (равнодействующей и сумме остальных сил), одинаковы и направлены они в противоположные стороны.

Когда находят равнодействующую сил, на рисунке изображают все учитываемые в задаче силы. Суммируют эти силы в соответствии с правилами сложения векторов.

Примеры задач на равнодействующую сил

Пример 1

Задание. На материальную точку действуют две силы, направленные под углом $\alpha =60{}^\circ $ друг к другу. Чему равна равнодействующая этих сил, если $F_1=20\ $Н; $F_2=10\ $Н?

Решение. Сделаем рисунок.

Силы на рис. 1 складываем по правилу параллелограмма. Длину равнодействующей силы $\overline{F}$ можно найти, используя теорему косинусов:

Вычислим модуль равнодействующей силы:

Ответ. $F=26,5$ Н

Пример 2

Задание. На материальную точку действуют силы (рис.2). Какова равнодействующая этих сил?

Решение. Равнодействующая сил, приложенных к точке (рис.2) равна:

\[\overline{F}={\overline{F}}_1+{\overline{F}}_2+{\overline{F}}_3+{\overline{F}}_4\left(2.1\right).\]

Найдем равнодействующую сил ${\overline{F}}_1$ и ${\overline{F}}_2$. Эти силы направлены вдоль одной прямой, но в противоположные стороны, следовательно:

Так как $F_1>F_2$, то сила ${\overline{F}}_{12}$ направлена в туже сторону, что и сила ${\overline{F}}_1$.

Найдем равнодействующую сил ${\overline{F}}_3$ и ${\overline{F}}_4$. Данные силы направлены вдоль одной вертикальной прямой (рис.1), значит:

Направление силы ${\overline{F}}_{34}$ совпадает с направлением вектора ${\overline{F}}_3$, так как ${\overline{F}}_3>{\overline{F}}_4$.

Равнодействующую, которая действует на материальную точку, найдем как:

\[\overline{F}={\overline{F}}_{12}+{\overline{F}}_{34}\left(2.2\right).\]

Силы ${\overline{F}}_{12}$ и ${\overline{F}}_{34}$ взаимно перпендикулярны. Найдем длину вектора $\overline{F}$ по теореме Пифагора:

Часто на тело действует одновременно не одна, а несколько сил. Рассмотрим случай, когда на тело оказывают воздействие две силы ( и ). Например, на тело, покоящееся на горизонтальной поверхности действуют сила тяжести () и реакция опоры поверхности () (рис.1).

Эти две силы можно заменить одной, которую называют равнодействующей силой (). Находят ее как векторную сумму сил и :

Определение равнодействующей двух сил

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Равнодействующей двух сил называют силу, которая производит на тело действие аналогичное, действию двух отдельных сил.

Отметим, что действие каждой силы не зависит от того, есть ли другие силы или их нет.

Второй закон Ньютона для равнодействующей двух сил

Если на тело действуют две силы, то второй закон Ньютона запишем как:

Направление равнодействующей всегда совпадает по направлению с направлением ускорения движения тела.

Это означает, что, если на тело оказывают воздействие две силы () в один и тот же момент времени, то ускорение () этого тела будет прямо пропорционально векторной сумме этих сил (или пропорционально равнодействующей сил):

M - масса, рассматриваемого тела. Суть второго закона Ньютона заключается в том, что силы, действующие на тело, определяют как изменяется скорость тела, а не просто величину скорости тела. Отмети, что второй закон Ньютона выполняется исключительно в инерциальных системах отсчета.

Равнодействующая двух сил может быть равна нулю, если силы, действующие на тело направлены в разные стороны и равны по модулю.

Нахождение величины равнодействующей двух сил

Для нахождения равнодействующей, следует изобразить на чертеже все силы, которые необходимо учитывать в задаче, действующие на тело. Складывать силы следует по правилам сложения векторов.

Допустим, что на тело действуют две силы, которые направлены по одной прямой (рис.1). Из рисунка видно, что они направлены в разные стороны.

Равнодействующая сил (), приложенных к телу, будет равна:

Для нахождения модуля равнодействующей сил выберем ось, обозначим ее X, направим вдоль направления действия сил. Тогда проектируя выражение (4) на ось X мы получим, что величина (модуль) равнодействующей (F) равен:

где - модули соответствующих сил.

Представим, что на тело действуют две силы и , направленные под некоторым углом друг к другу (рис.2). Равнодействующую этих сил находим по правилу параллелограмма. Величина равнодействующей будет равен длине диагонали этого параллелограмма.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	Тело массой 2 кг перемещают вертикально за нить вверх, при этом его ускорение равно 1 Какова величина и направление равнодействующей силы? Какие силы приложены к телу?
Решение	К телу (рис.3) приложены сила тяжести () и сила реакции нити (). Равнодействующую указанных выше сил можно найти используя второй закон Ньютона: В проекции на ось X уравнение (1.1) принимает форму: Вычислим величину равнодействующей силы:
Ответ	Н, равнодействующая сила направлена так же как ускорение движения тела, то есть вертикально вверх. На тело действует две силы и .