Сила выталкивания. Выталкивающая сила

Закон Архимеда – закон статики жидкостей и газов, согласно которому на погруженное в жидкость (или газ) тело действует выталкивающая сила, равная весу жидкости в объеме тела.

История вопроса

«Эврика!» («Нашел!») – именно этот возглас, согласно легенде, издал древнегреческий ученый и философ Архимед, открыв принцип вытеснения. Легенда гласит, что сиракузский царь Герон II попросил мыслителя определить, из чистого ли золота сделана его корона, не причиняя вреда самому царскому венцу. Взвесить корону Архимеду труда не составило, но этого было мало – нужно было определить объем короны, чтобы рассчитать плотность металла, из которого она отлита, и определить, чистое ли это золото. Дальше, согласно легенде, Архимед, озабоченный мыслями о том, как определить объем короны, погрузился в ванну – и вдруг заметил, что уровень воды в ванне поднялся. И тут ученый осознал, что объем его тела вытеснил равный ему объем воды, следовательно, и корона, если ее опустить в заполненный до краев таз, вытеснит из него объем воды, равный ее объему. Решение задачи было найдено и, согласно самой расхожей версии легенды, ученый побежал докладывать о своей победе в царский дворец, даже не потрудившись одеться.

Однако, что правда – то правда: именно Архимед открыл принцип плавучести. Если твердое тело погрузить в жидкость, оно вытеснит объем жидкости, равный объему погруженной в жидкость части тела. Давление, которое ранее действовало на вытесненную жидкость, теперь будет действовать на твердое тело, вытеснившее ее. И, если действующая вертикально вверх выталкивающая сила окажется больше силы тяжести, тянущей тело вертикально вниз, тело будет всплывать; в противном случае оно пойдет ко дну (утонет). Говоря современным языком, тело плавает, если его средняя плотность меньше плотности жидкости, в которую оно погружено.

Закон Архимеда и молекулярно-кинетическая теория

В покоящейся жидкости давление производится посредством ударов движущихся молекул. Когда некий объем жидкости вымещается твердым телом, направленный вверх импульс ударов молекул будет приходиться не на вытесненные телом молекулы жидкости, а на само тело, чем и объясняется давление, оказываемое на него снизу и выталкивающее его в направлении поверхности жидкости. Если же тело погружено в жидкость полностью, выталкивающая сила будет по-прежнему действовать на него, поскольку давление нарастает с увеличением глубины, и нижняя часть тела подвергается большему давлению, чем верхняя, откуда и возникает выталкивающая сила. Таково объяснение выталкивающей силы на молекулярном уровне.

Такая картина выталкивания объясняет, почему судно, сделанное из стали, которая значительно плотнее воды, остается на плаву. Дело в том, что объем вытесненной судном воды равен объему погруженной в воду стали плюс объему воздуха, содержащегося внутри корпуса судна ниже ватерлинии. Если усреднить плотность оболочки корпуса и воздуха внутри нее, получится, что плотность судна (как физического тела) меньше плотности воды, поэтому выталкивающая сила, действующая на него в результате направленных вверх импульсов удара молекул воды, оказывается выше гравитационной силы притяжения Земли, тянущей судно ко дну, – и корабль плывет.

Формулировка и пояснения

Тот факт, что на погруженное в воду тело действует некая сила, всем хорошо известен: тяжелые тела как бы становятся более легкими – например, наше собственное тело при погружении в ванну. Купаясь в речке или в море, можно легко поднимать и передвигать по дну очень тяжелые камни – такие, которые не удается поднять на суше. В то же время легкие тела сопротивляются погружению в воду: чтобы утопить мяч размером с небольшой арбуз требуется и сила, и ловкость; погрузить мяч диаметром полметра скорее всего не удастся. Интуитивно ясно, что ответ на вопрос – почему тело плавает (а другое – тонет), тесно связан с действием жидкости на погруженное в нее тело; нельзя удовлетвориться ответом, что легкие тела плавают, а тяжелые – тонут: стальная пластинка, конечно, утонет в воде, но если из нее сделать коробочку, то она может плавать; при этом ее вес не изменился.

Существование гидростатического давления приводит к тому, что на любое тело, находящееся в жидкости или газе, действует выталкивающая сила. Впервые значение этой силы в жидкостях определил на опыте Архимед. Закон Архимеда формулируется так: на тело, погруженное в жидкость или газ, действует выталкивающая сила, равная весу того количества жидкости или газа, которое вытеснено погруженной частью тела.

Формула

Сила Архимеда, действующая на погруженное в жидкость тело, может быть рассчитана по формуле: F А = ρ ж gV пт,

где ρж – плотность жидкости,

g – ускорение свободного падения,

Vпт – объем погруженной в жидкость части тела.

Поведение тела, находящегося в жидкости или газе, зависит от соотношения между модулями силы тяжести Fт и архимедовой силы FA, которые действуют на это тело. Возможны следующие три случая:

1) Fт > FA – тело тонет;

2) Fт = FA – тело плавает в жидкости или газе;

3) Fт < FA – тело всплывает до тех пор, пока не начнет плавать.

Проделаем опыт (рис. 133). Подвесим к пружине 1 небольшое ведерко 2 и тело цилиндрической формы 3 . Отметив положение стрелки-указателя на штативе (рис. 133, а ), поместим тело в сосуд, наполненный жидкостью до уровня отливной трубки. При этом часть жидкости, объем которой равен объему тела, выльется из сосуда в находящийся рядом стакан (рис. 133, б ). Одновременно с этим вес тела в жидкости уменьшится и указатель пружины переместится вверх. Из предыдущего параграфа мы знаем, что вес тела в жидкости уменьшается на величину, равную архимедовой (выталкивающей) силе. Связана ли эта величина с количеством вытесненной телом жидкости? Чтобы выяснить это, перельем эту жидкость из стакана в ведерко 2 . Мы увидим, как стрелка-указатель снова возвратится к своему прежнему положению (рис. 133, в ). Это означает, что вытесненная телом жидкость весит столько же, сколько теряет в своем весе погруженное в жидкость тело . Но вес тела в жидкости меньше веса того же тела в воздухе на величину, равную выталкивающей силе. Поэтому окончательный вывод, к которому мы приходим, можно сформулировать следующим образом:

Выталкивающая сила, действующая на погруженное в жидкость тело, равна весу жидкости, вытесненной этим телом.

Этот закон был открыт Архимедом и потому носит его имя - закон Архимеда .

Мы установили этот закон опытным путем. Теперь докажем его теоретически. Для этого заметим, что выталкивающая сила (как равнодействующая всех сил давления, действующих со всех сторон на погруженное в жидкость тело) не зависит от того, из какого вещества сделано это тело. Если, например, в воде находится шарик, то давление окружающих слоев воды будет одним и тем же независимо от того, сделан ли этот шарик из пластмассы, стекла или стали. (Точно так же давление столба жидкости на дно сосуда не зависит от того, из какого материала изготовлено дно этого сосуда.) А раз так, то рассмотрим простейший случай, когда погруженное в жидкость тело состоит из той же жидкости, в которую оно погружено. Это (жидкое) тело, как и любая другая часть окружающей жидкости, будет, очевидно, находиться в равновесии. Поэтому приложенная к нему архимедова сила F А будет уравновешена действующей вниз силой тяжести m ж g (где m ж -масса жидкости в объеме данного тела):

F A = m ж g . (47.1)

Но сила тяжести m ж g равна весу вытесненной жидкости Р ж . Таким образом, F A = Р ж , что и требовалось доказать.

Формулу (47.1) можно переписать в другом виде. Учитывая, что масса жидкости mж равна произведению ее плотности ρ ж на объем V ж , получаем

F A = ρ ж V ж g . (47.2)

Через V ж здесь обозначен объем вытесненной жидкости. Этот объем равен объему той части тела, которая погружена в жидкость. Если тело погружено в жидкость целиком, то он совпадает с объемом V всего тела; если же тело погружено в жидкость частично, то он меньше объема V тела (рис. 134).
Формула (47.2) остается справедливой и для архимедовой силы, действующей в газе; только в этом случае в нее следует подставлять плотность газа и объем вытесненного газа, а не жидкости.

С учетом вышеизложенного закон Архимеда в настоящее время формулируют следующим образом:

На всякое тело, погруженное в покоящуюся жидкость (или газ), действует со стороны этой жидкости (или газа) выталкивающая сила, равная произведению плотности жидкости (или газа), ускорения свободного падения и объема той части тела, которая погружена в жидкость (или газ).

1. Сформулируйте закон Архимеда в старой и современной (более общей) форме. 2. Имеются два шарика одинакового радиуса: деревянный и стальной. Одинаковая ли выталкивающая сила будет действовать на них при их полном погружении в воду? 3. Тело полностью погрузили сначала в чистую воду, а затем - в соленую. В какой воде на тело действовала большая выталкивающая сила? 4. К коромыслу весов подвешены два цилиндра одинаковой массы: свинцовый и алюминиевый. Весы находятся в равновесии. Нарушится ли равновесие весов, если оба цилиндра одновременно погрузить в воду? 5. К коромыслу весов подвешены два одинаковых по объему алюминиевых цилиндра. Нарушится ли равновесие весов, если один цилиндр погрузить в воду, а другой (одновременно с первым) - в спирт?

И статики газов.

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  Закон Архимеда формулируется следующим образом : на тело, погружённое в жидкость (или газ), действует выталкивающая сила, равная весу жидкости (или газа) в объёме погруженной части тела . Сила называется силой Архимеда :

  F A = ρ g V , {\displaystyle {F}_{A}=\rho {g}V,}

  где ρ {\displaystyle \rho } - плотность жидкости (газа), g {\displaystyle {g}} - ускорение свободного падения , а V {\displaystyle V} - объём погружённой части тела (или часть объёма тела, находящаяся ниже поверхности). Если тело плавает на поверхности (равномерно движется вверх или вниз), то выталкивающая сила (называемая также архимедовой силой) равна по модулю (и противоположна по направлению) силе тяжести, действовавшей на вытесненный телом объём жидкости (газа), и приложена к центру тяжести этого объёма.

  Следует заметить, что тело должно быть полностью окружено жидкостью (либо пересекаться с поверхностью жидкости). Так, например, закон Архимеда нельзя применить к кубику, который лежит на дне резервуара, герметично касаясь дна.

  Что касается тела, которое находится в газе, например в воздухе, то для нахождения подъёмной силы нужно заменить плотность жидкости на плотность газа. Например, шарик с гелием летит вверх из-за того, что плотность гелия меньше, чем плотность воздуха.

  Закон Архимеда можно объяснить при помощи разности гидростатических давлений на примере прямоугольного тела.

  P B − P A = ρ g h {\displaystyle P_{B}-P_{A}=\rho gh} F B − F A = ρ g h S = ρ g V , {\displaystyle F_{B}-F_{A}=\rho ghS=\rho gV,}

  где P A , P B - давления в точках A и B , ρ - плотность жидкости, h - разница уровней между точками A и B , S - площадь горизонтального поперечного сечения тела, V - объём погружённой части тела.

  В теоретической физике также применяют закон Архимеда в интегральной форме:

  F A = ∬ S p d S {\displaystyle {F}_{A}=\iint \limits _{S}{p{dS}}} ,

  где S {\displaystyle S} - площадь поверхности, p {\displaystyle p} - давление в произвольной точке, интегрирование производится по всей поверхности тела.

  В отсутствие гравитационного поля, то есть в состоянии невесомости , закон Архимеда не работает. Космонавты с этим явлением знакомы достаточно хорошо. В частности, в невесомости отсутствует явление (естественной) конвекции , поэтому, например, воздушное охлаждение и вентиляция жилых отсеков космических аппаратов производятся принудительно, вентиляторами .

  Обобщения

  Некий аналог закона Архимеда справедлив также в любом поле сил, которое по-разному действуют на тело и на жидкость (газ), либо в неоднородном поле. Например, это относится к полю сил инерции (например, центробежной силы) - на этом основано центрифугирование . Пример для поля немеханической природы: диамагнетик в вакууме вытесняется из области магнитного поля большей интенсивности в область с меньшей.

  Вывод закона Архимеда для тела произвольной формы

  Гидростатическое давление жидкости на глубине h {\displaystyle h} есть p = ρ g h {\displaystyle p=\rho gh} . При этом считаем ρ {\displaystyle \rho } жидкости и напряжённость гравитационного поля постоянными величинами, а h {\displaystyle h} - параметром. Возьмём тело произвольной формы, имеющее ненулевой объём. Введём правую ортонормированную систему координат O x y z {\displaystyle Oxyz} , причём выберем направление оси z совпадающим с направлением вектора g → {\displaystyle {\vec {g}}} . Ноль по оси z установим на поверхности жидкости. Выделим на поверхности тела элементарную площадку d S {\displaystyle dS} . На неё будет действовать сила давления жидкости направленная внутрь тела, d F → A = − p d S → {\displaystyle d{\vec {F}}_{A}=-pd{\vec {S}}} . Чтобы получить силу, которая будет действовать на тело, возьмём интеграл по поверхности:

  F → A = − ∫ S p d S → = − ∫ S ρ g h d S → = − ρ g ∫ S h d S → = ∗ − ρ g ∫ V g r a d (h) d V = ∗ ∗ − ρ g ∫ V e → z d V = − ρ g e → z ∫ V d V = (ρ g V) (− e → z) {\displaystyle {\vec {F}}_{A}=-\int \limits _{S}{p\,d{\vec {S}}}=-\int \limits _{S}{\rho gh\,d{\vec {S}}}=-\rho g\int \limits _{S}{h\,d{\vec {S}}}=^{*}-\rho g\int \limits _{V}{grad(h)\,dV}=^{**}-\rho g\int \limits _{V}{{\vec {e}}_{z}dV}=-\rho g{\vec {e}}_{z}\int \limits _{V}{dV}=(\rho gV)(-{\vec {e}}_{z})}

  При переходе от интеграла по поверхности к интегралу по объёму пользуемся обобщённой теоремой Остроградского-Гаусса .

  ∗ h (x , y , z) = z ; ∗ ∗ g r a d (h) = ∇ h = e → z {\displaystyle {}^{*}h(x,y,z)=z;\quad ^{**}grad(h)=\nabla h={\vec {e}}_{z}}

  Получаем, что модуль силы Архимеда равен ρ g V {\displaystyle \rho gV} , а направлена она в сторону, противоположную направлению вектора напряжённости гравитационного поля.

  Другая формулировка (где ρ t {\displaystyle \rho _{t}} - плотность тела, ρ s {\displaystyle \rho _{s}} - плотность среды, в которую оно погружено).

  Выталкивающую силу, или силу Архимеда, можно вычислить. Особенно легко это сделать для тела, стороны которого прямоугольники (прямоугольного параллелепипеда). Например, такую форму имеет брусок.

  Поскольку боковые силы давления жидкости можно не учитывать, так как они взаимно уничтожаются (их равнодействующая равна нулю), то рассматриваются только силы давления воды, действующие на нижнюю и верхнюю поверхности. Если тело не полностью погружено в воду, то есть только сила давления воды, действующая снизу. Она единственная, которая создает выталкивающую силу.

  Давление жидкости на глубине h определяется формулой:

  Сила давления определяется формулой:

  Заменив давление во второй формуле на равную ему правую часть из первой формулы, получим:

  Это и есть сила давления жидкости, действующая на поверхность тела на определенной глубине. Если тело плавает на поверхности, то эта сила будет выталкивающей силой (силой Архимеда). h здесь определяется высотой подводной части тела. В таком случае формулу можно записать так: F A = ρghS. Тем самым подчеркнув, что речь идет о силе Архимеда.

  Произведение высоты (h) погруженной в воду части прямоугольного бруска на площадь его основания (S) - это объем (V) погруженной части этого тела. Действительно, чтобы найти объем параллелепипеда надо перемножить его ширину (a), длину (b) и высоту (h). Произведение ширины на длину есть площадь основания (S). Поэтому в формуле мы можем заменить произведение hS на V:

  Теперь обратим внимание на то, что ρ - это плотность жидкости, а V - это объем погруженного тела (или части тела). Но ведь тело, погружаясь в жидкость, вытесняет из нее объем жидкости, равный погруженному телу. То есть, если погрузить в воду тело объемом 10 см 3 , то оно вытеснит 10 см 3 воды. Конечно, этот объем воды скорее всего не выскочит из емкости, заменившись объемом тела. Просто уровень воды в емкости поднимется на 10 см 3 .

  Поэтому в формуле F A = ρgV мы можем иметь в виду не объем погруженного тела, а объем вытесненной телом воды.

  Вспомним, что произведение плотности (ρ) на объем (V) - это масса тела (m):

  В таком случае формулу, определяющую выталкивающую силу, можно записать так:

  Но ведь произведение массы тела (m) на ускорение свободного падения (g) есть вес (P) этого тела. Тогда получается такое равенство:

  Таким образом, сила Архимеда (или выталкивающая сила) равна по модулю (численному значению) весу жидкости в объеме, равном объему погруженного в нее тела (или его погруженной части) . Это и есть закон Архимеда .

  Если тело в виде бруска полностью погружено в воду, то выталкивающую силу для него определяет разность между силой давления воды сверху и силой давления снизу. Сверху на тело давит сила, равная

  F верх = ρgh верх S,

  F низ = ρgh низ S,

  Тогда мы можем записать

  F A = ρgh низ S – ρgh верх S = ρgS(h низ - h верх)

  h верх – это расстояние от кромки воды до верхней поверхности тела, а h низ - это расстояние от кромки воды до нижней поверхности тела. Их разность есть высота тела. Следовательно,

  F A = ρghS, где h - это высота тела.

  Получилось то же самое, что и для частично погруженного тела, хотя там h - это высота части тела, находящейся под водой. В том случае уже было доказано, что F A = P. То же самое выполняется и здесь: выталкивающая сила, действующая на тело, равна по модулю весу вытесненной им жидкости, которая равна по объему погруженному телу.

  Обратите внимание, что вес тела и вес жидкости одинаковых объемов чаще всего разный, так как у тела и жидкости чаще всего разные плотности. Поэтому нельзя говорить, что выталкивающая сила равна весу тела. Она равна весу жидкости, объемом равному телу. Причем весу по модулю, так как выталкивающая сила направлена вверх, а вес вниз.

  В воде некоторые тела не тонут. Если попытаться их силой переместить в толщу воды, то они все-равно всплывут на поверхность. Другие тела погружаются в воду, но почему-то становятся легче.

  В воздухе на тела действует сила тяжести. Она никуда не девается и в воде, оставаясь прежней. Но если кажется, что вес тела уменьшается, значит силе тяжести противодействует, то есть действует в противоположном направлении, еще какая-то сила. Это выталкивающая сила , или архимедова сила (сила Архимеда ).

  Выталкивающая сила возникает в любой жидкой или газовой среде. Однако в газах она намного меньше, чем в жидкостях, так как их плотность намного меньше. Поэтому при решении ряда задач выталкивающую силу газов не учитывают.

  Что создает выталкивающую силу? В воде есть давление, которое создает силу давления воды. Именно эта сила давления воды создает выталкивающую силу. Когда тело погружено в воду, на него со всех сторон, перпендикулярно поверхностям тела, действуют силы давления воды. Равнодействующая всех этих сил давления воды создает выталкивающую силу для определенного тела.

  Равнодействующая сил давления воды оказывается направленной вверх. Почему? Как известно, давление воды с глубиной увеличивается. Поэтому на нижнюю поверхность тела будет действовать сила давления воды по величине больше, чем сила, действующая на верхнюю поверхность (если тело полностью погружено в воду).

  Так как силы направлены перпендикулярно поверхности, то та, что действует снизу направлена вверх, а та, что действует сверху, направлена вниз. Но действующая снизу сила больше по модулю (по числовому значению). Поэтому равнодействующая сил давления воды направлена вверх, создавая выталкивающую силу воды.

  Силы давления, действующие на боковые стороны тела обычно уравновешивают друг друга. Например, та, что действует справа, уравновешивается той, что действует слева. Поэтому эти силы можно не учитывать при расчете выталкивающей силы.

  Однако, когда тело плавает на поверхности, то на него действует только сила давления воды снизу. Сверху силы давления воды нет. В данном случае вес тела на поверхности воды оказывается меньше, чем выталкивающая сила. Поэтому тело не погружается в воду.

  Если же тело тонет, то есть опускается на дно, то это значит, что его вес оказывается больше выталкивающей силы.

  Когда тело полностью погружено в воду, то увеличивается ли выталкивающая сила в зависимости от того, как глубоко погружено тело? Нет, не увеличивается. Ведь вместе с увеличивающейся силой давления на нижнюю поверхность, увеличивается сила давления на верхнюю. Разница между верхним и нижним давлением всегда определяется высотой тела. Высота тела с глубиной не меняется.

  Выталкивающая сила, действующая на определенное тело в определенной жидкости, зависит от плотности жидкости и объема тела. При этом объем тела при погружении в жидкость вытесняет равный ему объем воды. Поэтому, можно сказать, что выталкивающая сила определенной жидкости зависти от ее плотности и вытесняемого телом ее объема.