Risoluzione di equazioni trigonometriche che si riducono a quadratiche. Metodi di base per la risoluzione di equazioni trigonometriche

I principali metodi per risolvere le equazioni trigonometriche sono: ridurre le equazioni al più semplice (utilizzando formule trigonometriche), introdurre nuove variabili e fattorizzare. Vediamo il loro utilizzo con degli esempi. Presta attenzione al formato in cui scrivi le soluzioni delle equazioni trigonometriche.

Una condizione necessaria per risolvere con successo le equazioni trigonometriche è la conoscenza delle formule trigonometriche (argomento 13 del lavoro 6).

Esempi.

1. Equazioni ridotte alla più semplice.

1) Risolvi l'equazione

Soluzione:

Risposta:

2) Trova le radici dell'equazione

(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, appartenente al segmento.

Soluzione:

Risposta:

2. Equazioni che si riducono a quadratiche.

1) Risolvi l'equazione 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.

Soluzione: Usando la formula sin 2 x = 1 – cos 2 x, otteniamo

Risposta:

2) Risolvi l'equazione cos 2x = 1 + 4 cosx.

Soluzione: Usando la formula cos 2x = 2 cos 2 x – 1, otteniamo

Risposta:

3) Risolvi l'equazione tgx – 2ctgx + 1 = 0

Soluzione:

Risposta:

3. Equazioni omogenee

1) Risolvi l'equazione 2sinx – 3cosx = 0

Soluzione: Sia cosx = 0, quindi 2sinx = 0 e sinx = 0 – una contraddizione con il fatto che sin 2 x + cos 2 x = 1. Ciò significa cosx ≠ 0 e possiamo dividere l'equazione per cosx. Noi abbiamo

Risposta:

2) Risolvi l'equazione 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x

Soluzione:

Usiamo le formule 1 = sin 2 x + cos 2 x e sin 2x = 2 sinxcosx, otteniamo

peccato 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin2x – 6sinxcosx+ 8cos2x = 0

Sia cosx = 0, quindi sin 2 x = 0 e sinx = 0 – una contraddizione con il fatto che sin 2 x + cos 2 x = 1.
Ciò significa cosx ≠ 0 e possiamo dividere l'equazione per cos 2 x . Noi abbiamo

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
Indichiamo tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
y1 = 4; y2 = 2
a) tgx = 4, x= arcotan4 + 2 K, K
b) tgx = 2, x= arcotan2 + 2 K, K .

Risposta: arcog4 + 2 K, arcotan2 + 2 k, k

4. Equazioni della forma UN sinx + B cosx = s, s≠ 0.

1) Risolvi l'equazione.

Soluzione:

Risposta:

5. Equazioni risolte mediante fattorizzazione.

1) Risolvi l'equazione sin2x – sinx = 0.

Radice dell'equazione F (X) = φ ( X) può servire solo come numero 0. Controlliamo questo:

cos 0 = 0 + 1 – l'uguaglianza è vera.

Il numero 0 è l'unica radice di questa equazione.

Risposta: 0.

Indietro avanti

Attenzione! Le anteprime delle diapositive sono solo a scopo informativo e potrebbero non rappresentare tutte le funzionalità della presentazione. Se sei interessato a quest'opera, scarica la versione completa.

Scopi e obiettivi della lezione.

• Educativo:
  • ripetizione: definizione e metodi per risolvere semplici equazioni trigonometriche; definizione di equazione quadratica, formula discriminante e radici di equazione quadratica
  • formare conoscenze sulle caratteristiche distintive e sui metodi per risolvere equazioni trigonometriche che possono essere ridotte a quadratiche.
  • essere in grado di: individuare tra le equazioni trigonometriche le equazioni trigonometriche riducibili a quadratiche e risolverle.
• Sviluppo:
  • sviluppare il pensiero logico, la memoria, l'attenzione, la parola degli studenti; capacità di ragionare ed evidenziare la cosa principale; la capacità di acquisire autonomamente le conoscenze e applicarle nella pratica, di sviluppare capacità di autocontrollo e controllo reciproco.
• Educativo:
  • coltivare il rispetto per i compagni di classe, l'indipendenza, la responsabilità, il gusto estetico, la pulizia e l'interesse per la matematica.

Attrezzatura: proiettore multimediale, schermo, scheda di autovalutazione.

Forme organizzative di comunicazione: frontale, di gruppo, individuale.

Tipo di lezione: padroneggiare nuove conoscenze.

Tecnologie educative: TIC, progettazione.

Piano di lezione.

1. Momento organizzativo, formazione della motivazione al lavoro degli studenti.
2. Formulazione dell'argomento, obiettivi della lezione.
3. Aggiornare le conoscenze e preparare gli studenti all'apprendimento attivo e consapevole di nuovi materiali.
4. La fase di assimilazione di nuove conoscenze e metodi di azione.
5. Fase di rilassamento attivo e attivazione.
6. La fase di verifica iniziale della comprensione di quanto appreso.
7. Fase di riflessione e valutazione. Riassumendo la lezione.
8. La fase in cui si informano gli studenti sui compiti e si istruiscono su come completarli.

Lavoro preparatorio

Gli studenti della classe devono essere divisi in gruppi in anticipo. L'insegnante ha il diritto di scegliere autonomamente il principio di dividere gli studenti in gruppi.
Una delle opzioni sono gruppi che includano studenti con diversi livelli di preparazione matematica: da “base” ad “avanzato”.
Ad ogni gruppo viene inizialmente assegnato il compito di studiare un algoritmo per la risoluzione di uno dei tipi di equazioni trigonometriche (vengono utilizzate fonti di informazioni suggerite dal docente e quelle trovate indipendentemente). I membri di ciascun gruppo presentano i risultati del loro lavoro in una delle lezioni sull'argomento "Equazioni trigonometriche". A seconda del volume del materiale proposto e della sua complessità, 1-2 gruppi possono avere il tempo di parlare in una lezione, presentando i risultati del proprio lavoro.
Presentiamo alla tua attenzione una lezione che discute della risoluzione di equazioni trigonometriche che si riducono a equazioni quadratiche.

Dalla casa della realtà è facile addentrarsi nella foresta della matematica, ma solo pochi riescono a ritornare indietro.

H. Steinhaus

Più una persona diventa umana, meno accetterà altro che un movimento infinito e indistruttibile verso il nuovo.

Pierre Chardin

DURANTE LE LEZIONI

1. Momento organizzativo, formazione della motivazione al lavoro degli studenti ( 3 minuti)

Saluti. Registrazione delle assenze, verifica della preparazione degli studenti alla lezione. Successivamente, a ogni studente viene consegnata una scheda di valutazione. L'insegnante commenta brevemente le regole per la compilazione della scheda di valutazione e suggerisce di compilare 1-3 righe. Allegato 1 .
Organizzazione dell'attenzione degli studenti: l'insegnante cita Pierre Chardin agli studenti, si offre di spiegare come hanno compreso il significato delle parole (puoi ascoltare 2-3 persone), suggerisce di fare delle parole il motto della lezione e chiede se sapere chi è il loro autore. Breve cenni storici (Diapositiva 3).

*Istruzioni per l'utilizzo della Presentazione – Appendice 2 .

2. Formulazione dell'argomento, obiettivi della lezione(2-3 minuti).

L'insegnante chiede di formulare l'argomento della lezione precedente (Risoluzione di semplici equazioni trigonometriche). Chiedi agli studenti cosa pensano che ci siano altri tipi di equazioni trigonometriche? (Sì. Se ce ne sono di “più semplici”, allora ce ne sono di più complesse, altrimenti non è necessario introdurre il termine “più semplice” se questo è l'unico tipo di equazioni trigonometriche). Sulla base di quanto sopra, propone di formulare l'argomento della lezione di oggi (Risoluzione di equazioni trigonometriche complesse/altre/varie).
Dopo aver adattato l'argomento, invita gli studenti a scrivere sui loro quaderni: la data della lezione, la frase "Ottimo lavoro" e l'argomento della lezione "Risoluzione di vari tipi di equazioni trigonometriche: equazioni che si riducono a equazioni quadratiche".
Ogni studente ha modelli e pennarelli Apple sulla propria scrivania. Si propone di scrivere sulle “mele” le vostre aspettative per la prossima lezione, il cui argomento è già stato formulato. Successivamente, tutti i modelli di mele vengono attaccati, ad esempio, utilizzando nastro adesivo, a un poster già preparato con l'immagine di un albero. Risulta essere un “Albero delle aspettative”.

Una volta raggiunta l'una o l'altra aspettativa, la mela corrispondente può essere considerata matura e raccolta nel cestino. L'utilizzo di questo metodo di apprendimento attivo è un modo chiaro per monitorare i progressi degli studenti nella lezione.

Un'altra opzione è possibile: L'insegnante mette una clessidra davanti agli studenti della classe e chiede loro di rispondere a una domanda su ciò che vogliono imparare nella lezione, il cui argomento è già stato formulato (sono sufficienti 1-2 opzioni).

3. Aggiornamento delle conoscenze e preparare gli studenti all'apprendimento attivo e consapevole di nuovo materiale (10 min.).

Insegnante. Herbert Spencer ha detto che se la conoscenza di una persona è in uno stato disordinato, allora più ne ha, più disordinato diventa il suo pensiero. Seguiamo il consiglio di questo famoso filosofo britannico (informazioni per lo sviluppo personale generale - un breve contesto storico. (Diapositiva 5) Prima di passare allo studio di nuovo materiale, ricordiamo ciò che sappiamo dalla sezione "Trigonometria".

Lavoro frontale(per via orale)

– Fornire la definizione di equazione trigonometrica.
– Quante radici può avere un’equazione trigonometrica?
– Quali sono le equazioni trigonometriche più semplici?
– Cosa significa risolvere l’equazione trigonometrica più semplice?
– Quali metodi per risolvere le equazioni trigonometriche conosci? (2 opzioni: formule; cerchio unitario).

a) Compila la tabella:

b) Abbina le equazioni con le loro soluzioni presentate sui cerchi unitari (con commento)

Lavoro indipendente (Appendice 3 )

Seguirà verifica/autoverifica reciproca (la correttezza delle risposte viene verificata mediante una presentazione) sulla capacità di risolvere semplici equazioni trigonometriche. Dimostrato (diapositiva 12). Se necessario, si commentano brevemente le soluzioni di alcune equazioni.

4. Fase di assimilazione di nuove conoscenze e metodi di azione(15 minuti.).

Gli studenti della classe sono stati precedentemente divisi in gruppi, ciascuno dei quali ha esaminato in modo indipendente, utilizzando il materiale consigliato dall'insegnante e trovato in modo indipendente, uno dei tipi di equazioni trigonometriche.
I risultati del lavoro sono presentati sotto forma di diagramma di raccomandazione/algoritmo/soluzione in formato di presentazione Power Point. L'insegnante, se necessario, consiglia gli studenti in gruppi e controlla preventivamente il prodotto finale del loro lavoro.
Uno dei rappresentanti del gruppo viene selezionato per presentare in classe i risultati dell'uno o dell'altro metodo di soluzione; il resto della classe aiuta a rispondere alle domande che sorgono riguardo alla risoluzione di questo tipo di equazione trigonometrica. Gli studenti familiarizzano in anticipo con i criteri per valutare il loro lavoro nel gruppo.

Devo dividere il mio tempo
tra politica ed equazioni.
Tuttavia, le equazioni, secondo me, sono molto più importanti.
La politica esiste solo per questo momento,
e le equazioni esisteranno per sempre.

Possibili opzioni per completare l'attività in gruppo. (Diapositive 14-18)

1 gruppo. Risoluzione di equazioni trigonometriche che si riducono a equazioni quadratiche.

Caratteristiche distintive delle equazioni che si riducono a quadratiche:

1. L'equazione contiene funzioni trigonometriche di un argomento oppure possono essere facilmente ridotte a un argomento.
2. C'è solo una funzione trigonometrica nell'equazione oppure tutte le funzioni possono essere ridotte a una.

Algoritmo di soluzione:

– Vengono utilizzate le seguenti identità; con il loro aiuto è necessario esprimere una funzione trigonometrica attraverso un'altra:

– Sostituzione in corso.
– L'espressione viene convertita.
– Inserisci una notazione (ad esempio, sin X = sì).
– Si sta risolvendo un’equazione quadratica.
– Si sostituisce il valore della quantità indicata e si risolve l'equazione trigonometrica.

Esempio 1

6cos 2 x + 5 sin x – 7 = 0.

Soluzione.

Esempio 2

Esempio 3

5. Fase di rilassamento e attivazione attivi(2 minuti.).

6. Fase di verifica iniziale della comprensione di quanto appreso(8 minuti)

Lavoro indipendente(Appendice 5 )

Il lavoro è differenziato, ogni livello di complessità del compito è presentato in due versioni.
Livello I – “3”, Livello II – “4”, Livello III – “5” in caso di soluzione completamente corretta. Il lavoro verrà controllato dal docente per la lezione successiva e verranno assegnati i voti della lezione.

7. Fase di riflessione e valutazione. Riassumendo la lezione(2 minuti.).

Compila il punto n. 6.7 della scheda di autovalutazione - Allegato 1 .

8. Fase di informazione degli studenti sui compiti, istruzioni sulla sua attuazione (2 min.).

Differenziata (distribuita ad ogni studente su fogli separati) – Appendice 6

Bibliografia:

1. Kornilov S.V., Kornilova L.E. Petto metodico. – Petrozavodsk: PetroPress, 2002. – 12 p.

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Un'uguaglianza contenente un'incognita sotto il segno di una funzione trigonometrica ("sin x, cos x, tan x" o "ctg x") è chiamata equazione trigonometrica e considereremo ulteriormente le loro formule.

Le equazioni più semplici sono `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, dove "x" è l'angolo da trovare, "a" è un numero qualsiasi. Scriviamo le formule di radice per ciascuno di essi.

1. Equazione "peccato x=a".

Per `|a|>1` non ha soluzioni.

Quando `|a| \leq 1` ha un numero infinito di soluzioni.

Formula di radice: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Equazione "cos x=a".

Per `|a|>1` - come nel caso del seno, non ha soluzioni tra numeri reali.

Quando `|a| \leq 1` ha un numero infinito di soluzioni.

Formula di radice: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Casi particolari di seno e coseno nei grafici.

3. Equazione "tg x=a".

Ha un numero infinito di soluzioni per qualsiasi valore di "a".

Formula di radice: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Equazione "ctg x=a".

Ha anche un numero infinito di soluzioni per qualsiasi valore di "a".

Formula di radice: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Formule per le radici delle equazioni trigonometriche nella tabella

Per il seno:
Per coseno:
Per tangente e cotangente:
Formule per risolvere equazioni contenenti funzioni trigonometriche inverse:

Metodi per risolvere equazioni trigonometriche

La risoluzione di qualsiasi equazione trigonometrica consiste in due fasi:

• con l'aiuto di trasformarlo nel più semplice;
• risolvere l'equazione più semplice ottenuta utilizzando le formule di radice e le tabelle scritte sopra.

Diamo un'occhiata ai principali metodi di soluzione utilizzando esempi.

Metodo algebrico.

Questo metodo prevede la sostituzione di una variabile e la sua sostituzione in un'uguaglianza.

Esempio. Risolvi l'equazione: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

effettuare una sostituzione: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, quindi `2y^2-3y+1=0`,

troviamo le radici: `y_1=1, y_2=1/2`, da cui seguono due casi:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac\pi 6+2\pi n`.

Risposta: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Fattorizzazione.

Esempio. Risolvi l'equazione: `sen x+cos x=1`.

Soluzione. Spostiamo tutti i termini dell'uguaglianza a sinistra: `sin x+cos x-1=0`. Utilizzando , trasformiamo e fattorizziamo il membro sinistro:

`peccato x — 2peccato^2 x/2=0`,

`2sen x/2 cos x/2-2sen^2 x/2=0`,

`2sen x/2 (cos x/2-sen x/2)=0`,

1. `peccato x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Risposta: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Riduzione ad un'equazione omogenea

Innanzitutto, devi ridurre questa equazione trigonometrica in una delle due forme:

`a sin x+b cos x=0` (equazione omogenea di primo grado) oppure `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (equazione omogenea di secondo grado).

Quindi dividi entrambe le parti per `cos x \ne 0` - per il primo caso, e per `cos^2 x \ne 0` - per il secondo. Otteniamo le equazioni per `tg x`: `a tg x+b=0` e `a tg^2 x + b tg x +c =0`, che devono essere risolte utilizzando metodi noti.

Esempio. Risolvi l'equazione: `2 sin^2 x+sen x cos x - cos^2 x=1".

Soluzione. Scriviamo il lato destro come `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 peccato^2 x+sen x cos x — cos^2 x=` `peccato^2 x+cos^2 x`,

`2 peccato^2 x+sen x cos x — cos^2 x -` ` peccato^2 x — cos^2 x=0`

`peccato^2 x+peccato x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Questa è un'equazione trigonometrica omogenea di secondo grado, dividiamo i suoi lati sinistro e destro per `cos^2 x \ne 0`, otteniamo:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Introduciamo la sostituzione `tg x=t`, che risulta in `t^2 + t - 2=0`. Le radici di questa equazione sono "t_1=-2" e "t_2=1". Poi:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

Risposta. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Spostamento a metà angolo

Esempio. Risolvi l'equazione: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Soluzione. Applichiamo le formule del doppio angolo, ottenendo: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Applicando il metodo algebrico sopra descritto, otteniamo:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Risposta. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Introduzione dell'angolo ausiliario

Nell'equazione trigonometrica `a sin x + b cos x =c`, dove a,b,c sono coefficienti e x è una variabile, dividi entrambi i lati per `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` ``\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2 ) +b^2))`.

I coefficienti sul lato sinistro hanno le proprietà di seno e coseno, cioè la somma dei loro quadrati è uguale a 1 e i loro moduli non sono maggiori di 1. Denotiamoli come segue: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, quindi:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Diamo uno sguardo più da vicino al seguente esempio:

Esempio. Risolvi l'equazione: `3 sin x+4 cos x=2`.

Soluzione. Dividiamo entrambi i membri dell'uguaglianza per `sqrt (3^2+4^2)`, otteniamo:

`\frac (3 sin x) (quadrato (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(quadrato (3^2+4^2))=` `\frac 2(quadrato (3^2+4^2))`

`3/5 peccato x+4/5 cos x=2/5`.

Indichiamo `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Poiché `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, prendiamo `\varphi=arcsin 4/5` come angolo ausiliario. Quindi scriviamo la nostra uguaglianza nella forma:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Applicando la formula per la somma degli angoli al seno, scriviamo la nostra uguaglianza nella seguente forma:

`peccato (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Risposta. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Equazioni trigonometriche razionali frazionarie

Queste sono uguaglianze con frazioni i cui numeratori e denominatori contengono funzioni trigonometriche.

Esempio. Risolvi l'equazione. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Soluzione. Moltiplichiamo e dividiamo il lato destro dell'uguaglianza per "(1+cos x)". Di conseguenza otteniamo:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Considerando che il denominatore non può essere uguale a zero, otteniamo `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Uguagliamo il numeratore della frazione a zero: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Quindi `sin x=0` o `1-sin x=0`.

1. `peccato x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Dato che ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, le soluzioni sono `x=2\pi n, n \in Z` e `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

Risposta. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

La trigonometria, e in particolare le equazioni trigonometriche, sono utilizzate in quasi tutte le aree della geometria, della fisica e dell'ingegneria. Lo studio inizia al 10 ° grado, ci sono sempre compiti per l'Esame di Stato Unificato, quindi cerca di ricordare tutte le formule delle equazioni trigonometriche: ti saranno sicuramente utili!

Tuttavia, non è nemmeno necessario memorizzarli, l'importante è comprenderne l'essenza ed essere in grado di ricavarla. Non è così difficile come sembra. Verificatelo voi stessi guardando il video.

Lezione e presentazione sull'argomento: "Risoluzione di semplici equazioni trigonometriche"

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Cosa studieremo:
1. Cosa sono le equazioni trigonometriche?

3. Due metodi principali per risolvere equazioni trigonometriche.
4. Equazioni trigonometriche omogenee.
5. Esempi.

Cosa sono le equazioni trigonometriche?

Ragazzi, abbiamo già studiato arcoseno, arcocoseno, arcotangente e arcotangente. Consideriamo ora le equazioni trigonometriche in generale.

Le equazioni trigonometriche sono equazioni in cui una variabile è contenuta sotto il segno di una funzione trigonometrica.

Ripetiamo la forma di risoluzione delle equazioni trigonometriche più semplici:

1)Se |a|≤ 1, allora l'equazione cos(x) = a ha soluzione:

X= ± arcocos(a) + 2πk

2) Se |a|≤ 1, allora l'equazione sin(x) = a ha soluzione:

3) Se |a| > 1, allora l'equazione sin(x) = a e cos(x) = a non hanno soluzioni 4) L'equazione tg(x)=a ha una soluzione: x=arctg(a)+ πk

5) L'equazione ctg(x)=a ha soluzione: x=arcctg(a)+ πk

Per tutte le formule k è un numero intero

Le equazioni trigonometriche più semplici hanno la forma: T(kx+m)=a, T è una funzione trigonometrica.

Esempio.

Risolvi le equazioni: a) sin(3x)= √3/2

Soluzione:

A) Indichiamo 3x=t, quindi riscriviamo la nostra equazione nella forma:

La soluzione di questa equazione sarà: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Dalla tabella dei valori otteniamo: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Torniamo alla nostra variabile: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Allora x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Risposta: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, dove n è un numero intero. (-1)^n – meno uno elevato a n.

Altri esempi di equazioni trigonometriche.

Risolvi le equazioni: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Soluzione:

A) Questa volta passiamo direttamente al calcolo delle radici dell'equazione:

X/5= ± arcocos(1) + 2πk. Allora x/5= πk => x=5πk

Risposta: x=5πk, dove k è un numero intero.

B) Lo scriviamo nella forma: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Sappiamo che: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Risposta: x=2π/9 + πk/3, dove k è un numero intero.

Risolvi le equazioni: cos(4x)= √2/2. E trova tutte le radici sul segmento.

Soluzione:

Risolviamo la nostra equazione in forma generale: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ±π/4 + 2πk;

X=±π/16+πk/2;

Vediamo ora quali radici ricadono sul nostro segmento. A k A k=0, x= π/16, siamo nel segmento dato.
Con k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, colpiamo di nuovo.
Per k=2, x= π/16+ π=17π/16, ma qui non abbiamo colpito, il che significa che anche per k grandi ovviamente non colpiremo.

Risposta: x=π/16, x= 9π/16

Due principali metodi di soluzione.

Abbiamo esaminato le equazioni trigonometriche più semplici, ma ce ne sono anche di più complesse. Per risolverli vengono utilizzati il ​​metodo di introduzione di una nuova variabile e il metodo di fattorizzazione. Diamo un'occhiata agli esempi.

Risolviamo l'equazione:

Soluzione:
Per risolvere la nostra equazione, utilizzeremo il metodo di introduzione di una nuova variabile, che denota: t=tg(x).

Come risultato della sostituzione otteniamo: t 2 + 2t -1 = 0

Troviamo le radici dell'equazione quadratica: t=-1 e t=1/3

Quindi tg(x)=-1 e tg(x)=1/3, otteniamo l'equazione trigonometrica più semplice, troviamo le sue radici.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Risposta: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Un esempio di risoluzione di un'equazione

Risolvi le equazioni: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Soluzione:

Usiamo l'identità: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

La nostra equazione assumerà la forma: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Introduciamo la sostituzione t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

La soluzione della nostra equazione quadratica sono le radici: t=2 e t=-1/2

Allora cos(x)=2 e cos(x)=-1/2.

Perché il coseno non può assumere valori maggiori di uno, allora cos(x)=2 non ha radici.

Per cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x=±2π/3 + 2πk

Risposta: x= ±2π/3 + 2πk

Equazioni trigonometriche omogenee.

Definizione: Le equazioni della forma a sin(x)+b cos(x) sono chiamate equazioni trigonometriche omogenee di primo grado.

Equazioni della forma

equazioni trigonometriche omogenee di secondo grado.

Per risolvere un'equazione trigonometrica omogenea di primo grado, dividila per cos(x): Non puoi dividere per il coseno se è uguale a zero, assicuriamoci che non sia così:
Sia cos(x)=0, quindi asin(x)+0=0 => sin(x)=0, ma seno e coseno non sono uguali a zero allo stesso tempo, otteniamo una contraddizione, quindi possiamo tranquillamente dividere per zero.

Risolvi l'equazione:
Esempio: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Soluzione:

Togliamo il fattore comune: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Quindi dobbiamo risolvere due equazioni:

Cos(x)=0 e cos(x)+sen(x)=0

Cos(x)=0 in x= π/2 + πk;

Considera l'equazione cos(x)+sin(x)=0 Dividi la nostra equazione per cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Risposta: x= π/2 + πk e x= -π/4+πk

Come risolvere equazioni trigonometriche omogenee di secondo grado?
Ragazzi, rispettate sempre queste regole!

1. Guarda a quanto equivale il coefficiente a, se a=0 allora la nostra equazione assumerà la forma cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), un esempio della cui soluzione si trova nella diapositiva precedente

2. Se a≠0, allora devi dividere entrambi i lati dell'equazione per il coseno al quadrato, otteniamo:

Cambiamo la variabile t=tg(x) e otteniamo l'equazione:

Risolvi l'esempio n.:3

Risolvi l'equazione:
Soluzione:

Dividiamo entrambi i lati dell'equazione per il quadrato del coseno:

Cambiamo la variabile t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Troviamo le radici dell'equazione quadratica: t=-3 e t=1

Quindi: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Risposta: x=-arctg(3) + πk e x= π/4+ πk

Risolvi l'esempio n.:4

Risolvi l'equazione:

Soluzione:
Trasformiamo la nostra espressione:

Possiamo risolvere tali equazioni: x= - π/4 + 2πk e x=5π/4 + 2πk

Risposta: x= - π/4 + 2πk e x=5π/4 + 2πk

Risolvi l'esempio n.:5

Risolvi l'equazione:

Soluzione:
Trasformiamo la nostra espressione:

Introduciamo la sostituzione tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

La soluzione della nostra equazione quadratica saranno le radici: t=-2 e t=1/2

Quindi otteniamo: tg(2x)=-2 e tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arcog(1/2) + πk => x=arcog(1/2)/2+ πk/2

Risposta: x=-arctg(2)/2 + πk/2 e x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Problemi per soluzione indipendente.

1) Risolvi l'equazione

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0,5x) = -1,7

2) Risolvi le equazioni: sin(3x)= √3/2. E trova tutte le radici sul segmento [π/2; π].

3) Risolvi l'equazione: lettino 2 (x) + 2 lettino (x) + 1 =0

4) Risolvi l'equazione: 3 sin 2 (x) + √3sen (x) cos(x) = 0

5) Risolvi l'equazione: 3sen 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Risolvi l'equazione: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sen 2 (2x)

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