Построяване на права линия с помощта на нейното уравнение. Видео урок „Координатна равнина Как да построим права върху координатната равнина

17.10.2021

Невъзможно е да твърдите, че знаете математика, ако не знаете как да изграждате графики, да изобразявате неравенства на координатна линия и да работите с координатни оси. Визуалният компонент в науката е жизненоважен, защото без визуални примери формулите и изчисленията понякога могат да станат много объркващи. В тази статия ще разгледаме как да работим с координатни оси и ще научим как да изграждаме прости графики на функции.

Приложение

Координатната линия е в основата на най-простите видове графики, които ученикът среща по своя образователен път. Използва се в почти всяка математическа тема: при изчисляване на скорост и време, проектиране на размерите на обекти и изчисляване на тяхната площ, в тригонометрия при работа със синуси и косинуси.

Основната стойност на такава директна линия е яснотата. Тъй като математиката е наука, която изисква високо ниво на абстрактно мислене, графиките помагат при представянето на обект в реалния свят. Как се държи? В коя точка на пространството ще бъдете след няколко секунди, минути, часове? Какво може да се каже за него в сравнение с други обекти? Каква скорост има в произволно избран момент от времето? Как да характеризираме движението му?

И ние говорим за скорост с причина - това е, което функционалните графики често показват. Те могат също така да показват промените в температурата или налягането вътре в обект, неговия размер и ориентация спрямо хоризонта. По този начин конструирането на координатна линия често се изисква във физиката.

Едномерен сюжет

Има концепция за многоизмерност. В едномерното пространство само едно число е достатъчно, за да се определи местоположението на точка. Точно такъв е случаят с използването на координатна линия. Ако пространството е двумерно, тогава са необходими две числа. Диаграми от този тип се използват много по-често и определено ще ги разгледаме малко по-късно в статията.

Какво можете да видите, като използвате точки на оста, ако има само една? Можете да видите размера на обекта, позицията му в пространството спрямо някаква „нула“, т.е. точката, избрана за начало.

Няма да е възможно да се видят промените в параметрите с течение на времето, тъй като всички показания ще се показват за един конкретен момент. Отнякъде обаче трябва да се започне! Така че да започваме.

Как да построим координатна ос

Първо трябва да начертаете хоризонтална линия - това ще бъде нашата ос. От дясната страна ще го „изострим“, така че да изглежда като стрелка. По този начин указваме посоката, в която ще нарастват числата. Стрелката обикновено не се поставя в посока на намаляване. Традиционно оста сочи надясно, така че просто ще следваме това правило.

Нека поставим нулева маркировка, която ще покаже началото на координатите. Това е самото място, от което се прави обратното броене, било то размер, тегло, скорост или нещо друго. В допълнение към нулата трябва да посочим така наречената стойност на деление, т.е. да въведем стандартна единица, в съответствие с която ще нанесем определени количества върху оста. Това трябва да се направи, за да можете да намерите дължината на отсечка на координатна права.

Ще поставим точки или „рези“ на линията на еднакво разстояние една от друга и под тях ще напишем съответно 1,2,3 и т.н. И сега всичко е готово. Но все пак трябва да се научите как да работите с получения график.

Видове точки на координатна права

На пръв поглед към чертежите, предложени в учебниците, става ясно: точките на оста могат да бъдат засенчени или не. Смятате ли, че това е инцидент? Въобще не! „Плътна“ точка се използва за нестрого неравенство – такова, което се чете „по-голямо или равно на“. Ако трябва строго да ограничим интервала (например „x“ може да приема стойности от нула до едно, но не го включва), ще използваме „куха“ точка, тоест всъщност малък кръг по оста. Трябва да се отбележи, че учениците не обичат строгите неравенства, защото с тях е по-трудно да се работи.

В зависимост от това кои точки използвате на диаграмата, конструираните интервали ще бъдат именувани. Ако неравенството от двете страни не е строго, тогава получаваме сегмент. Ако от едната страна се окаже "отворен", тогава ще се нарече полуинтервал. И накрая, ако част от линия е ограничена от двете страни с кухи точки, тя ще се нарича интервал.

Самолет

Когато конструираме две прави линии в координатната равнина, вече можем да разгледаме графиките на функциите. Да кажем, че хоризонталната линия ще бъде оста на времето, а вертикалната линия ще бъде разстоянието. И сега можем да определим колко разстояние ще измине обектът за минута или час пътуване. По този начин работата с равнина дава възможност да се наблюдават промените в състоянието на даден обект. Това е много по-интересно от изучаването на статично състояние.

Най-простата графика на такава равнина е права линия; тя отразява функцията Y(X) = aX + b. Огъва ли се линията? Това означава, че обектът променя своите характеристики в процеса на изследване.

Представете си, че стоите на покрива на сграда и държите камък в протегнатата си ръка. Когато го пуснете, той ще полети надолу, започвайки движението си от нулева скорост. Но за секунда ще измине 36 километра в час. Камъкът ще продължи да се ускорява и за да изобразите движението му на графика, ще трябва да измерите скоростта му в няколко точки във времето, като поставите точки по оста на подходящите места.

Знаците на хоризонталната координатна линия са наречени по подразбиране X1, X2, X3, а на вертикалната координатна линия - съответно Y1, Y2, Y3. Чрез проектирането им върху равнина и намирането на пресечни точки намираме фрагменти от получения чертеж. Свързвайки ги с една линия, получаваме графика на функцията. В случай на падащ камък, квадратичната функция ще бъде: Y(X) = aX * X + bX + c.

Мащаб

Разбира се, не е необходимо да поставяте цели числа до разделянията на линията. Ако обмисляте движението на охлюв, който пълзи със скорост от 0,03 метра в минута, задайте стойностите на координатната линия на дроби. В този случай задайте стойността на разделяне на 0,01 метра.

Особено удобно е да правите такива рисунки в тетрадка в квадрат - тук веднага можете да видите дали има достатъчно място на листа за вашия график и дали няма да излезете извън полетата. Лесно е да изчислите силата си, защото ширината на клетката в такъв тефтер е 0,5 сантиметра. Беше необходимо да се намали рисунката. Промяната на мащаба на графиката няма да доведе до загуба или промяна на нейните свойства.

Координати на точка и отсечка

Когато дадена математическа задача е дадена в урок, тя може да съдържа параметри на различни геометрични фигури, както под формата на дължини на страните, периметър, площ, така и под формата на координати. В този случай може да се наложи да конструирате фигурата и да получите някои данни, свързани с нея. Възниква въпросът: как да намерите необходимата информация на координатната линия? И как да изградим фигура?

Например, говорим за точка. Тогава формулировката на задачата ще съдържа главна буква, а в скоби ще има няколко числа, най-често две (това означава, че ще броим в двумерно пространство). Ако има три числа в скоби, написани разделени с точка и запетая или запетаи, то това е триизмерно пространство. Всяка стойност е координата на съответната ос: първо по хоризонтала (X), след това по вертикала (Y).

Спомняте ли си как се конструира сегмент? Взехте това по геометрия. Ако има две точки, тогава между тях може да се начертае права линия. Координатите им са посочени в скоби, ако в проблема се появи сегмент. Например: A(15, 13) - B(1, 4). За да конструирате такава права линия, трябва да намерите и маркирате точки в координатната равнина и след това да ги свържете. Това е всичко!

И всички многоъгълници, както знаете, могат да бъдат начертани с помощта на сегменти. Проблемът е решен.

Изчисления

Да кажем, че има обект, чиято позиция по оста X се характеризира с две числа: започва в точка с координата (-3) и завършва в (+2). Ако искаме да разберем дължината на този обект, трябва да извадим по-малкото число от по-голямото число. Имайте предвид, че отрицателното число абсорбира знака за изваждане, защото „минус по минус прави плюс“. И така, събираме (2+3) и получаваме 5. Това е търсеният резултат.

Друг пример: дадени са ни крайната точка и дължината на обекта, но не и началната точка (и трябва да я намерим). Нека позицията на известната точка е (6), а размерът на обекта, който се изследва - (4). Като извадим дължината от крайната координата, получаваме отговора. Общо: (6 - 4) = 2.

Отрицателни числа

На практика често се налага да се работи с отрицателни стойности. В този случай ще се движим по координатната ос наляво. Например, обект с височина 3 сантиметра плува във вода. Една трета от него е потопена в течност, две трети е във въздуха. След това, избирайки повърхността на водата като ос, използваме прости аритметични изчисления, за да получим две числа: горната точка на обекта има координата (+2), а долната има координата (-1) сантиметър.

Лесно е да се види, че в случай на равнина имаме четири четвърти от координатна права. Всеки от тях има свой номер. В първата (горната дясна) част ще има точки, които имат две положителни координати, във втората - в горния ляв ъгъл - стойностите по оста "x" ще бъдат отрицателни, а по оста "y" - положителен. Третата и четвъртата се броят обратно на часовниковата стрелка.

Важен имот

Знаете, че една права линия може да бъде представена като безкраен брой точки. Можем да разглеждаме колкото си искаме внимателно произволен брой стойности от всяка страна на оста, но няма да срещнем дубликати. Това изглежда наивно и разбираемо, но това твърдение произтича от важен факт: всяко число съответства на една и само една точка от координатната линия.

Заключение

Не забравяйте, че всички оси, фигури и, ако е възможно, графики трябва да бъдат конструирани с линийка. Мерните единици не са измислени от човека случайно - ако направите грешка при рисуване, рискувате да видите изображение, което не е това, което е трябвало да се получи.

Бъдете внимателни и внимателни при конструирането на графики и изчисления. Като всяка наука, изучавана в училище, математиката обича точността. Положете малко усилия и добрите оценки няма да отнеме много време, за да пристигнат.

Една права линия е напълно определена, ако са известни две точки, принадлежащи към нея. За да се построи права линия, използвайки нейното уравнение, е необходимо, използвайки това уравнение, да се намерят координатите на двете й точки. Трябва твърдо да се помни, че ако една точка принадлежи на права, тогава координатите на тази точка отговарят на уравнението на правата.

Когато на практика се конструира линия, като се използва нейното уравнение, най-точната графика ще се получи, когато координатите на двете точки, взети за нейното конструиране, са цели числа.

1. Ако една линия е определена от общото уравнение брадва + от + ° С= 0 и , то най-лесният начин да се построи е да се определят пресечните точки на правата с координатните оси.

Нека посочим как да определим координатите на точките на пресичане на права линия с координатните оси. Координати на пресечната точка на правата с оста Волсе намират от следните съображения: ординатите на всички точки, разположени на оста Вол, са равни на нула. В уравнението на правата се приема, че ге равно на нула и от полученото уравнение се намира х. Намерена стойност хи е абсцисата на пресечната точка на правата с оста Вол. Ако се окаже, че х = а, след това координатите на пресечната точка на правата с оста Волще бъде ( а, 0).

Да се определят координатите на пресечната точка на права с ос Ой, те разсъждават така: абсцисите на всички точки, разположени на оста Ой, са равни на нула. Вземане на правата линия в уравнението хравно на нула, от полученото уравнение определяме г. Намерена стойност ги ще бъде ординатата на пресечната точка на правата с оста Ой. Ако се окаже, че например г = b, след това пресечната точка на правата с оста Ойима координати (0, b).

Пример.Директен 2 х + г- 6 = 0 пресича оста Волв точка (3, 0). Наистина, като вземем това уравнение г= 0, трябва да определим хуравнение 2 х- 6 = 0, откъдето х = 3.

За да се определи пресечната точка на тази линия с оста Ой, поставени в уравнението на правата линия х= 0. Получаваме уравнението г- 6 = 0, от което следва, че г= 6. Така правата пресича координатните оси в точки (3, 0) и (0, 6).

Ако в общото уравнение на правата ° С= 0, тогава правата линия, определена от това уравнение, минава през началото. Така една от точките й вече е известна и за да се построи права, остава само да се намери още една нейна точка. Абциса хтази точка се задава произволно, а ординатата гнамира се от уравнението на права линия.

Пример.Директен 2 х - 4г= 0 минава през началото. Определяме втората точка на линията, като вземем, например, х= 2. След това да се определи гполучаваме уравнението 2*2 - 4 г = 0; 4г = 4; г= 1. И така, ред 2 х - 4г= 0 минава през точките (0, 0) и (2, 1).

Ако правата е дадена от уравнението г = kx + bс ъгловия коефициент, то от това уравнение вече е известна стойността на сегмента b, отсечена от права линия на ординатната ос, и за да се построи права остава да се определят координатите само на още една точка, принадлежаща на тази права. Ако в ур. г = kx + b, тогава е най-лесно да се определят координатите на пресечната точка на правата с оста Вол. По-горе беше посочено как да направите това.

Ако в уравнението г = kx + б б= 0, тогава правата минава през началото на координатите и по този начин една точка, принадлежаща към нея, вече е известна. За да намерите друга точка, трябва да дадете хвсяка стойност и определете директната стойност от уравнението г, съответстваща на тази стойност х.

Пример.Правата минава през началото и точката (2, 1), откога х= 2 от нейното уравнение.

Уравнението на права, минаваща през дадена точка в дадена посока. Уравнение на права, минаваща през две дадени точки. Ъгълът между две прави. Условието за успоредност и перпендикулярност на две прави. Определяне на пресечната точка на две прави

1. Уравнение на права, минаваща през дадена точка А(х 1 , г 1) в дадена посока, определена от наклона к,

г - г 1 = к(х - х 1). (1)

Това уравнение дефинира молив от прави, минаващи през точка А(х 1 , г 1), който се нарича център на лъча.

2. Уравнение на права, минаваща през две точки: А(х 1 , г 1) и Б(х 2 , г 2), написано така:

Ъгловият коефициент на права линия, минаваща през две дадени точки, се определя по формулата

3. Ъгъл между прави линии АИ Бе ъгълът, на който трябва да се завърти първата права линия Аоколо точката на пресичане на тези линии обратно на часовниковата стрелка, докато съвпадне с втората линия Б. Ако две прави са дадени чрез уравнения с наклон

г = к 1 х + Б 1 ,

г = к 2 х + Б 2 , (4)

тогава ъгълът между тях се определя по формулата

Трябва да се отбележи, че в числителя на дробта наклонът на първия ред се изважда от наклона на втория ред.

Ако уравненията на една права са дадени в общ вид

А 1 х + Б 1 г + ° С 1 = 0,

А 2 х + Б 2 г + ° С 2 = 0, (6)

ъгълът между тях се определя по формулата

4. Условия за успоредност на две прави:

а) Ако линиите са дадени с уравнения (4) с ъглов коефициент, то необходимото и достатъчно условие за тяхната паралелност е равенството на техните ъглови коефициенти:

к 1 = к 2 . (8)

б) За случая, когато линиите са дадени с уравнения в общ вид (6), необходимо и достатъчно условие за тяхната успоредност е коефициентите за съответните текущи координати в техните уравнения да са пропорционални, т.е.

5. Условия за перпендикулярност на две прави:

а) В случай, когато линиите са дадени с уравнения (4) с ъглов коефициент, необходимо и достатъчно условие за тяхната перпендикулярност е ъгловите им коефициенти да са обратни по големина и противоположни по знак, т.е.

Нека покажем как се трансформират линиите, ако знакът за модул се въведе в уравнението за определяне на правата.

Нека имаме уравнението F(x;y)=0(*)

· Уравнението F(|x|;y)=0 задава права, симетрична спрямо ординатата. Ако тази линия, дадена от уравнение (*), вече е построена, тогава оставяме част от линията вдясно от ординатната ос и след това я завършваме симетрично вляво.

· Уравнението F(x;|y|)=0 определя права, симетрична по отношение на абсцисната ос. Ако тази линия, дадена от уравнение (*), вече е построена, тогава оставяме част от линията над оста x и след това я допълваме симетрично отдолу.

· Уравнението F(|x|;|y|)=0 задава линия, симетрична по отношение на координатните оси. Ако линията, определена от уравнението (*), вече е построена, тогава оставяме част от линията в първата четвърт и след това я допълваме по симетричен начин.

Разгледайте следните примери

Пример 1.

Нека имаме права линия, дадена от уравнението:

(1), където a>0, b>0.

Построете прави, дадени от уравненията:

Решение:

Първо ще изградим оригиналната линия и след това, използвайки препоръките, ще изградим останалите линии.

при

(1)

(2)

-а

(3)

-б

-а

(5)

-б

Пример 5

Начертайте върху координатната равнина областта, определена от неравенството:

Решение:

Първо конструираме границата на региона, дадена от уравнението:

| (5)

В предишния пример получихме две успоредни линии, които разделят координатната равнина на две области:

Зона между редовете

Зоната извън линиите.

За да изберем нашата област, нека вземем контролна точка, например (0;0) и я заместваме в това неравенство: 0≤1 (правилно)® областта между линиите, включително границата.

Моля, имайте предвид, че ако неравенството е строго, тогава границата не е включена в региона.

Нека запазим тази окръжност и построим такава, която е симетрична по отношение на ординатната ос. Нека запазим тази окръжност и да построим такава, която е симетрична по отношение на абсцисната ос. Нека запазим тази окръжност и да построим такава, която е симетрична спрямо абсцисната ос. и ординатни оси. В резултат на това получаваме 4 кръга. Обърнете внимание, че центърът на окръжността е в първата четвърт (3;3), а радиусът е R=3.

при

-3

Приложение

Едномерен сюжет

Има концепция за многоизмерност. Само едно число е достатъчно, за да се определи местоположението на точка. Точно такъв е случаят с използването на координатна линия. Ако пространството е двумерно, тогава са необходими две числа. Диаграми от този тип се използват много по-често и определено ще ги разгледаме малко по-късно в статията.

Как да построим координатна ос

Видове точки на координатна права

Самолет

Когато конструираме две прави линии, вече можем да разгледаме графиките на функциите. Да кажем, че хоризонталната линия ще бъде оста на времето, а вертикалната линия ще бъде разстоянието. И сега можем да определим колко разстояние ще измине обектът за минута или час пътуване. По този начин работата с равнина дава възможност да се наблюдават промените в състоянието на даден обект. Това е много по-интересно от изучаването на статично състояние.

Мащаб

Координати на точка и отсечка

И всички многоъгълници, както знаете, могат да бъдат начертани с помощта на сегменти. Проблемът е решен.

Изчисления

Отрицателни числа

Важен имот

Заключение

Разбиране на координатната равнина

Всеки обект (например къща, място в аудиторията, точка на картата) има свой подреден адрес (координати), който има цифрово или буквено обозначение.

Математиците са разработили модел, който ви позволява да определите позицията на обект и се нарича координатна равнина.

За да построите координатна равнина, трябва да начертаете $2$ перпендикулярни прави линии, в края на които посоките "надясно" и "нагоре" са посочени със стрелки. Деленията се прилагат към линиите, а точката на пресичане на линиите е нулевата маркировка за двете скали.

Определение 1

Хоризонталната линия се нарича ос хи се означава с х, а вертикалната права се нарича у-оси се означава с y.

Съставят две перпендикулярни оси x и y с деления правоъгълен, или картезиански, координатна система, което е предложено от френския философ и математик Рене Декарт.

Координатна равнина

Координати на точки

Точка в координатна равнина се определя от две координати.

За да определите координатите на точка $A$ в координатната равнина, трябва да начертаете прави линии през нея, които ще бъдат успоредни на координатните оси (обозначени с пунктирана линия на фигурата). Пресечната точка на правата с оста x дава $x$ координатата на точка $A$, а пресечната точка с оста y дава y-координатата на точка $A$. При записване на координатите на точка първо се записва координатата $x$, а след това координатата $y$.

Точка $A$ на фигурата има координати $(3; 2)$, а точка $B (–1; 4)$.

За да начертаете точка върху координатната равнина, продължете в обратен ред.

Построяване на точка по зададени координати

Пример 1

В координатната равнина изградете точки $A(2;5)$ и $B(3; –1).$

Решение.

Конструкция на точка $A$:

поставете числото $2$ на оста $x$ и начертайте перпендикулярна линия;
На оста y нанасяме числото $5$ и начертаваме права линия, перпендикулярна на оста $y$. В пресечната точка на перпендикулярни прави получаваме точка $A$ с координати $(2; 5)$.

Конструкция на точка $B$:

Нека начертаем числото $3$ върху оста $x$ и начертаем права линия, перпендикулярна на оста x;
На оста $y$ нанасяме числото $(–1)$ и начертаваме права линия, перпендикулярна на оста $y$. В пресечната точка на перпендикулярни прави получаваме точка $B$ с координати $(3; –1)$.

Пример 2

Постройте точки на координатната равнина с дадени координати $C (3; 0)$ и $D(0; 2)$.

Решение.

Конструкция на точка $C$:

поставете числото $3$ на оста $x$;
координатата $y$ е равна на нула, което означава, че точка $C$ ще лежи на оста $x$.

Конструкция на точка $D$:

поставете числото $2$ на оста $y$;
координатата $x$ е равна на нула, което означава, че точка $D$ ще лежи на оста $y$.

Бележка 1

Следователно при координата $x=0$ точката ще лежи на оста $y$, а при координата $y=0$ точката ще лежи на оста $x$.

Пример 3

Определете координатите на точките A, B, C, D.$

Решение.

Да определим координатите на точка $A$. За да направим това, начертаваме прави линии през тази точка $2$, които ще бъдат успоредни на координатните оси. Пресечната точка на правата с оста x дава координатата $x$, пресечната точка на правата с оста y дава координатата $y$. Така получаваме, че точката $A (1; 3).$

Да определим координатите на точка $B$. За да направим това, начертаваме прави линии през тази точка $2$, които ще бъдат успоредни на координатните оси. Пресечната точка на правата с оста x дава координатата $x$, пресечната точка на правата с оста y дава координатата $y$. Намираме, че точка $B (–2; 4).$

Да определим координатите на точка $C$. защото тя е разположена на оста $y$, тогава координатата $x$ на тази точка е нула. Координатата y е $–2$. Така точка $C (0; –2)$.

Да определим координатите на точка $D$. защото е на оста $x$, тогава координатата $y$ е нула. Координатата $x$ на тази точка е $–5$. Така точка $D (5; 0).$

Пример 4

Конструирайте точки $E(–3; –2), F(5; 0), G(3; 4), H(0; –4), O(0; 0).$

Решение.

Конструкция на точка $E$:

поставете числото $(–3)$ на оста $x$ и начертайте перпендикулярна линия;
върху оста $y$ нанасяме числото $(–2)$ и начертаваме перпендикулярна права спрямо оста $y$;
в пресечната точка на перпендикулярни прави получаваме точката $E (–3; –2).$

Конструкция на точка $F$:

координата $y=0$, което означава, че точката лежи на оста $x$;
Нека начертаем числото $5$ върху оста $x$ и да получим точката $F(5; 0).$

Конструкция на точка $G$:

поставете числото $3$ на оста $x$ и начертайте перпендикулярна линия към оста $x$;
върху оста $y$ нанасяме числото $4$ и начертаваме перпендикуляр на оста $y$;
в пресечната точка на перпендикулярни прави получаваме точката $G(3; 4).$

Конструкция на точка $H$:

координата $x=0$, което означава, че точката лежи на оста $y$;
Нека начертаем числото $(–4)$ върху оста $y$ и да получим точката $H(0;–4).$

Конструкция на точка $O$:

и двете координати на точката са равни на нула, което означава, че точката лежи едновременно както на оста $y$, така и на оста $x$, следователно тя е пресечната точка на двете оси (началото на координатите).