Resolver equações trigonométricas que se reduzem a quadráticas. Métodos básicos para resolver equações trigonométricas

Os principais métodos para resolver equações trigonométricas são: redução das equações às mais simples (usando fórmulas trigonométricas), introdução de novas variáveis ​​e fatoração. Vejamos seu uso com exemplos. Preste atenção ao formato de escrita de soluções para equações trigonométricas.

Uma condição necessária para resolver equações trigonométricas com sucesso é o conhecimento de fórmulas trigonométricas (tópico 13 do trabalho 6).

Exemplos.

1. Equações reduzidas às mais simples.

1) Resolva a equação

Solução:

Responder:

2) Encontre as raízes da equação

(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, pertencente ao segmento.

Solução:

Responder:

2. Equações que se reduzem a quadráticas.

1) Resolva a equação 2 sen 2 x – cosx –1 = 0.

Solução: Usando a fórmula sen 2 x = 1 – cos 2 x, obtemos

Responder:

2) Resolva a equação cos 2x = 1 + 4 cosx.

Solução: Usando a fórmula cos 2x = 2 cos 2 x – 1, obtemos

Responder:

3) Resolva a equação tgx – 2ctgx + 1 = 0

Solução:

Responder:

3. Equações homogêneas

1) Resolva a equação 2sinx – 3cosx = 0

Solução: Seja cosx = 0, então 2sinx = 0 e sinx = 0 – uma contradição com o fato de que sen 2 x + cos 2 x = 1. Isso significa cosx ≠ 0 e podemos dividir a equação por cosx. Nós temos

Responder:

2) Resolva a equação 1 + 7 cos 2 x = 3 sen 2x

Solução:

Usamos as fórmulas 1 = sen 2 x + cos 2 x e sen 2x = 2 senxcosx, obtemos

sen 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6senxcosx
sen 2 x – 6senxcosx+ 8cos 2 x = 0

Seja cosx = 0, então sen 2 x = 0 e sinx = 0 – uma contradição com o fato de que sen 2 x + cos 2 x = 1.
Isso significa cosx ≠ 0 e podemos dividir a equação por cos 2 x . Nós temos

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
Vamos denotar tgx = y
2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2 = 2
a) tgx = 4, x= arctan4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x= arctan2 + 2 k, k .

Responder: arcog4 + 2 k, arctan2 + 2 k, k

4. Equações da forma a sinx + b cosx = é, é≠ 0.

1) Resolva a equação.

Solução:

Responder:

5. Equações resolvidas por fatoração.

1) Resolva a equação sin2x – sinx = 0.

Raiz da equação f (X) = φ ( X) só pode servir como o número 0. Vamos verificar isso:

cos 0 = 0 + 1 – a igualdade é verdadeira.

O número 0 é a única raiz desta equação.

Responder: 0.

Para trás para a frente

Atenção! As visualizações de slides são apenas para fins informativos e podem não representar todos os recursos da apresentação. Se você estiver interessado neste trabalho, baixe a versão completa.

Metas e objetivos da aula.

• Educacional:
  • repita: definição e métodos para resolver equações trigonométricas simples; definição de equação quadrática, fórmula discriminante e raízes da equação quadrática
  • formar conhecimento sobre as características e métodos distintivos de resolução de equações trigonométricas que podem ser reduzidas a quadráticas.
  • ser capaz de: identificar entre equações trigonométricas equações trigonométricas que podem ser reduzidas a quadráticas e resolvê-las.
• Desenvolvimento:
  • desenvolver o pensamento lógico, a memória, a atenção e a fala dos alunos; capacidade de raciocinar e destacar o principal; a capacidade de adquirir conhecimentos de forma independente e aplicá-los na prática, de desenvolver competências de autocontrole e controle mútuo.
• Educacional:
  • cultivar o respeito pelos colegas, a independência, a responsabilidade, o gosto estético, a limpeza e o interesse pela matemática.

Equipamento: projetor multimídia, tela, ficha de autoavaliação.

Formas organizacionais de comunicação: frontal, grupo, individual.

Tipo de aula: dominar novos conhecimentos.

Tecnologias educacionais: TIC, design.

Plano de aula.

1. Momento organizacional, formação da motivação para o trabalho dos alunos.
2. Formulação do tema, objetivos da aula.
3. Atualizar conhecimentos e preparar os alunos para a aprendizagem ativa e consciente de novos materiais.
4. A fase de assimilação de novos conhecimentos e métodos de ação.
5. Estágio de relaxamento e ativação ativa.
6. A fase de teste inicial de compreensão do que foi aprendido.
7. Etapa de reflexão e avaliação. Resumindo a lição.
8. A etapa de informar os alunos sobre o dever de casa e instruí-los sobre como realizá-lo.

Trabalho preparatório

Os alunos da turma devem ser divididos em grupos com antecedência. O professor tem o direito de escolher de forma independente o princípio de divisão dos alunos em grupos.
Uma das opções são grupos que incluam alunos com diferentes níveis de preparação matemática: do “básico” ao “avançado”.
Cada grupo recebe primeiro a tarefa de estudar um algoritmo para resolver um dos tipos de equações trigonométricas (são utilizadas fontes de informação sugeridas pelo professor e encontradas de forma independente). Os membros de cada grupo apresentam os resultados do seu trabalho em uma das aulas do tema “Equações Trigonométricas”. Dependendo do volume do material proposto e de sua complexidade, 1 a 2 grupos podem ter tempo para falar em uma aula, apresentando os resultados de seu trabalho.
Apresentamos a sua atenção uma lição que discute a resolução de equações trigonométricas que se reduzem a equações quadráticas.

Da casa da realidade é fácil vagar pela floresta da matemática, mas apenas alguns conseguem retornar.

H.Steinhaus

Quanto mais uma pessoa se torna humana, menos ela concordará com qualquer coisa que não seja um movimento interminável e indestrutível em direção ao novo.

Pierre Chardin

DURANTE AS AULAS

1. Momento organizacional, formação da motivação para o trabalho dos alunos ( 3 minutos.)

Saudações. Registrando faltas, verificando a preparação dos alunos para a aula. Em seguida, cada aluno recebe uma folha de pontuação. O professor comenta brevemente as regras de preenchimento da ficha de avaliação e sugere o preenchimento de 1 a 3 linhas. Anexo 1 .
Organização da atenção dos alunos: o professor cita Pierre Chardin aos alunos, oferece-se para explicar como eles entenderam o significado das palavras (você pode ouvir 2 a 3 pessoas), sugere fazer das palavras o lema da aula e pergunta se eles saber quem é seu autor. Breve histórico histórico (Slide 3).

*Instruções para usar a Apresentação – Apêndice 2 .

2. Formulação do tema, objetivos da aula(2-3 minutos).

O professor pede para formular o tema da aula anterior (Resolver equações trigonométricas simples). Pergunte aos alunos o que eles acham que existem outros tipos de equações trigonométricas. (Sim. Se existem as “mais simples”, então existem as mais complexas, caso contrário não há necessidade de introduzir o termo “mais simples” se este for o único tipo de equações trigonométricas). Com base no exposto, ele se propõe a formular o tema da lição de hoje (Resolvendo equações trigonométricas complexas/outras/várias tipos).
Após ajustar o tema, convida os alunos a anotarem em seus cadernos: a data da aula, a frase “Trabalho legal” e o tema da aula “Resolvendo vários tipos de equações trigonométricas: equações que se reduzem a equações quadráticas”.
Cada aluno tem modelos e marcadores de maçã em sua mesa. Propõe-se escrever nas “maçãs” as suas expectativas para a próxima aula, cujo tema já foi formulado. Depois disso, todos os modelos de maçã são fixados, por exemplo, com fita adesiva, em um pôster pré-preparado com a imagem de uma árvore. Acontece que é uma “Árvore de Expectativas”.

À medida que uma ou outra expectativa é alcançada, a maçã correspondente pode ser considerada madura e recolhida na cesta. Usar esse método de aprendizagem ativo é uma maneira clara de acompanhar o progresso dos alunos na aula.

Outra opção é possível: O professor coloca uma ampulheta na frente dos alunos da turma e pede que respondam a uma pergunta sobre o que desejam aprender em uma aula, cujo tema já foi formulado (basta 1 a 2 opções).

3. Atualizando conhecimentos e preparar os alunos para uma aprendizagem ativa e consciente de novos materiais (10 min.).

Professor. Herbert Spencer disse que se o conhecimento de uma pessoa está em estado desordenado, então quanto mais conhecimento ela tiver, mais desordenado se tornará seu pensamento. Vamos seguir o conselho deste famoso filósofo britânico (informações para o desenvolvimento pessoal geral - um breve histórico histórico. (Slide 5) Antes de prosseguirmos com o estudo de novo material, vamos lembrar o que sabemos na seção "Trigonometria".

Trabalho frontal(oralmente)

– Dê a definição de uma equação trigonométrica.
– Quantas raízes uma equação trigonométrica pode ter?
– Quais são as equações trigonométricas mais simples?
– O que significa resolver a equação trigonométrica mais simples?
– Que métodos de resolução de equações trigonométricas você conhece? (2 opções: fórmulas; círculo unitário).

a) Preencha a tabela:

b) Combine as equações com suas soluções apresentadas em círculos unitários (com comentários)

Trabalho independente (Apêndice 3 )

Seguido de teste/autoteste mútuo (a exatidão das respostas é verificada por meio de uma apresentação) sobre a capacidade de resolver equações trigonométricas simples. Demonstrado (Slide 12). Se necessário, as soluções para algumas equações são brevemente comentadas.

4. Estágio de assimilação de novos conhecimentos e métodos de ação(15 minutos.).

Os alunos da turma foram previamente divididos em grupos, cada um dos quais examinado de forma independente, utilizando material recomendado pelo professor e encontrado de forma independente, um dos tipos de equações trigonométricas.
Os resultados do trabalho são apresentados na forma de diagrama de recomendação/algoritmo/solução em formato de apresentação Power Point. O professor, se necessário, assessora os alunos em grupo e verifica previamente o produto final do seu trabalho.
Um dos representantes do grupo é selecionado para apresentar os resultados de um ou outro método de solução em aula; o restante da turma ajuda a responder dúvidas que surjam em relação à resolução deste tipo de equação trigonométrica. Os alunos são previamente familiarizados com os critérios de avaliação do seu trabalho em grupo.

Eu tenho que dividir meu tempo
entre política e equações.
Porém, as equações, na minha opinião, são muito mais importantes.
A política existe apenas para este momento,
e as equações existirão para sempre.

Possíveis opções para completar a tarefa em grupo. (Slides 14-18)

1 grupo. Resolver equações trigonométricas que se reduzem a equações quadráticas.

Características distintivas de equações que se reduzem a quadráticas:

1. A equação contém funções trigonométricas de um argumento ou podem ser facilmente reduzidas a um argumento.
2. Existe apenas uma função trigonométrica na equação ou todas as funções podem ser reduzidas a uma.

Algoritmo de solução:

– São utilizadas as seguintes identidades; com a ajuda deles é necessário expressar uma função trigonométrica através de outra:

– Substituição em andamento.
– A expressão está sendo convertida.
– Insira uma notação (por exemplo, sin x = sim).
– Uma equação quadrática está sendo resolvida.
– O valor da quantidade indicada é substituído e a equação trigonométrica é resolvida.

Exemplo 1

6cos 2 x + 5 sen x – 7 = 0.

Solução.

Exemplo 2

Exemplo 3

5. Estágio de relaxamento e ativação ativa(2 minutos.).

6. Etapa de teste inicial de compreensão do que foi aprendido(8 minutos)

Trabalho independente(Apêndice 5 )

O trabalho é diferenciado, cada nível de complexidade da tarefa é apresentado em duas versões.
Nível I – “3”, Nível II – “4”, Nível III – “5” em caso de solução totalmente correta. O trabalho será verificado pelo professor para a próxima aula, e serão atribuídas notas para a aula.

7. Fase de reflexão e avaliação. Resumindo a lição(2 minutos.).

Preencher o ponto nº 6.7 da ficha de autoavaliação - Anexo 1 .

8. Etapa de informar os alunos sobre o dever de casa, instruções sobre sua implementação (2 min.).

Diferenciado (distribuído a cada aluno em folhas separadas) – Apêndice 6

Bibliografia:

1. Kornilov S.V., Kornilova L.E. Peito metódico. – Petrozavodsk: PetroPress, 2002. – 12 p.

Você pode solicitar uma solução detalhada para o seu problema!!!

Uma igualdade contendo uma incógnita sob o sinal de uma função trigonométrica (`sin x, cos x, tan x` ou `ctg x`) é chamada de equação trigonométrica, e são suas fórmulas que consideraremos mais adiante.

As equações mais simples são `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, onde `x` é o ângulo a ser encontrado, `a` é qualquer número. Vamos escrever as fórmulas raiz de cada um deles.

1. Equação `sen x=a`.

Para `|a|>1` não tem soluções.

Quando `|a| \leq 1` tem um número infinito de soluções.

Fórmula raiz: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Equação `cos x=a`

Para `|a|>1` - como no caso do seno, não possui soluções entre números reais.

Quando `|a| \leq 1` tem um número infinito de soluções.

Fórmula raiz: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Casos especiais para seno e cosseno em gráficos.

3. Equação `tg x=a`

Possui um número infinito de soluções para quaisquer valores de `a`.

Fórmula raiz: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Equação `ctg x=a`

Também possui um número infinito de soluções para quaisquer valores de `a`.

Fórmula raiz: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Fórmulas para as raízes das equações trigonométricas na tabela

Para seno:
Para cosseno:
Para tangente e cotangente:
Fórmulas para resolver equações contendo funções trigonométricas inversas:

Métodos para resolver equações trigonométricas

A resolução de qualquer equação trigonométrica consiste em duas etapas:

• com a ajuda de transformá-lo no mais simples;
• resolva a equação mais simples obtida usando as fórmulas de raiz e tabelas escritas acima.

Vejamos os principais métodos de solução usando exemplos.

Método algébrico.

Este método envolve substituir uma variável e substituí-la em uma igualdade.

Exemplo. Resolva a equação: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

faça uma substituição: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, então `2y^2-3y+1=0`,

encontramos as raízes: `y_1=1, y_2=1/2`, das quais seguem dois casos:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac\pi 6+2\pi n`.

Resposta: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Fatoração.

Exemplo. Resolva a equação: `sen x+cos x=1`.

Solução. Vamos mover todos os termos da igualdade para a esquerda: `sen x+cos x-1=0`. Usando , transformamos e fatoramos o lado esquerdo:

`sen x — 2sen^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sen x/2 (cos x/2-sen x/2)=0`,

1. `sen x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Resposta: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Redução a uma equação homogênea

Primeiro, você precisa reduzir esta equação trigonométrica a uma das duas formas:

`a sen x+b cos x=0` (equação homogênea de primeiro grau) ou `a sen^2 x + b sen x cos x +c cos^2 x=0` (equação homogênea de segundo grau).

Em seguida, divida ambas as partes por `cos x \ne 0` - para o primeiro caso, e por `cos^2 x \ne 0` - para o segundo. Obtemos equações para `tg x`: `a tg x+b=0` e `a tg^2 x + b tg x +c =0`, que precisam ser resolvidas usando métodos conhecidos.

Exemplo. Resolva a equação: `2 sen^2 x+sen x cos x - cos^2 x=1`.

Solução. Vamos escrever o lado direito como `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sen^2 x+sen x cos x — cos^2 x=` `sen^2 x+cos^2 x`,

`2 sen ^ 2 x + sen x cos x - cos ^ 2 x -` ` sen ^ 2 x - cos ^ 2 x = 0`

`sen^2 x+sen x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Esta é uma equação trigonométrica homogênea de segundo grau, dividimos seus lados esquerdo e direito por `cos^2 x \ne 0`, obtemos:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg ^ 2 x + tg x - 2 = 0`. Vamos introduzir a substituição `tg x=t`, resultando em `t^2 + t - 2=0`. As raízes desta equação são `t_1=-2` e `t_2=1`. Então:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

Responder. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Movendo para meio ângulo

Exemplo. Resolva a equação: `11 sen x - 2 cos x = 10`.

Solução. Vamos aplicar as fórmulas de ângulo duplo, resultando em: `22 sen (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sen^2 x/2=` `10 sen^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Aplicando o método algébrico descrito acima, obtemos:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Responder. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Introdução do ângulo auxiliar

Na equação trigonométrica `a sin x + b cos x =c`, onde a,b,c são coeficientes e x é uma variável, divida ambos os lados por `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

Os coeficientes do lado esquerdo têm as propriedades de seno e cosseno, ou seja, a soma dos seus quadrados é igual a 1 e os seus módulos não são maiores que 1. Vamos denotá-los da seguinte forma: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, então:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Vamos dar uma olhada mais de perto no seguinte exemplo:

Exemplo. Resolva a equação: `3 sen x+4 cos x=2`.

Solução. Divida ambos os lados da igualdade por `sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)`, obtemos:

`\frac (3 sen x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2))`

`3/5 sen x+4/5 cos x=2/5`.

Vamos denotar `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Como `\varphi=arcsin 4/5`, `cos \varphi>0`, então tomamos `\varphi=arcsin 4/5` como um ângulo auxiliar. Então escrevemos nossa igualdade na forma:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Aplicando a fórmula da soma dos ângulos do seno, escrevemos nossa igualdade na seguinte forma:

`pecado (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arco seno 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arco seno 2/5-` `arco seno 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Responder. `x=(-1)^n arco seno 2/5-` `arco seno 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Equações trigonométricas racionais fracionárias

Estas são igualdades com frações cujos numeradores e denominadores contêm funções trigonométricas.

Exemplo. Resolva a equação. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Solução. Multiplique e divida o lado direito da igualdade por `(1+cos x)`. Como resultado obtemos:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sen x)(1+cos x)=` `\frac (sen^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sen x)(1+cos x)-` `\frac (sen^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Considerando que o denominador não pode ser igual a zero, obtemos `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Vamos igualar o numerador da fração a zero: `sen x-sin^2 x=0`, `sen x(1-sin x)=0`. Então `sen x=0` ou `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Dado que ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, as soluções são `x=2\pi n, n \in Z` e `x=\pi /2+2\pi n` , `n\em Z`.

Responder. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

A trigonometria, e as equações trigonométricas em particular, são usadas em quase todas as áreas da geometria, física e engenharia. O estudo começa no 10º ano, sempre há tarefas para o Exame Estadual Unificado, então tente se lembrar de todas as fórmulas das equações trigonométricas - elas com certeza serão úteis para você!

Porém, você nem precisa memorizá-los, o principal é entender a essência e poder derivá-la. Não é tão difícil quanto parece. Veja você mesmo assistindo ao vídeo.

Aula e apresentação sobre o tema: “Resolvendo equações trigonométricas simples”

Materiais adicionais
Caros usuários, não se esqueçam de deixar seus comentários, críticas, desejos! Todos os materiais foram verificados por um programa antivírus.

Manuais e simuladores na loja online Integral para a 10ª série de 1C
Resolução de problemas de geometria. Tarefas interativas para construção no espaço
Ambiente de software "1C: Construtor Matemático 6.1"

O que estudaremos:
1. O que são equações trigonométricas?

3. Dois métodos principais de resolução de equações trigonométricas.
4. Equações trigonométricas homogêneas.
5. Exemplos.

O que são equações trigonométricas?

Pessoal, já estudamos arco seno, arco cosseno, arco tangente e arco tangente. Agora vamos dar uma olhada nas equações trigonométricas em geral.

Equações trigonométricas são equações nas quais uma variável está contida sob o sinal de uma função trigonométrica.

Vamos repetir a forma de resolver as equações trigonométricas mais simples:

1)Se |a|≤ 1, então a equação cos(x) = a tem solução:

X= ± arcos(a) + 2πk

2) Se |a|≤ 1, então a equação sin(x) = a tem solução:

3) Se |a| > 1, então a equação sin(x) = a e cos(x) = a não têm soluções 4) A equação tg(x)=a tem solução: x=arctg(a)+ πk

5) A equação ctg(x)=a tem solução: x=arcctg(a)+ πk

Para todas as fórmulas k é um número inteiro

As equações trigonométricas mais simples têm a forma: T(kx+m)=a, T é alguma função trigonométrica.

Exemplo.

Resolva as equações: a) sin(3x)= √3/2

Solução:

A) Vamos denotar 3x=t, então reescreveremos nossa equação na forma:

A solução para esta equação será: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Da tabela de valores obtemos: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Vamos voltar à nossa variável: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Então x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Resposta: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, onde n é um número inteiro. (-1)^n – menos um elevado à potência de n.

Mais exemplos de equações trigonométricas.

Resolva as equações: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Solução:

A) Desta vez, vamos passar diretamente para o cálculo das raízes da equação:

X/5= ± arcos(1) + 2πk. Então x/5= πk => x=5πk

Resposta: x=5πk, onde k é um número inteiro.

B) Escrevemos na forma: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Sabemos que: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Resposta: x=2π/9 + πk/3, onde k é um número inteiro.

Resolva as equações: cos(4x)= √2/2. E encontre todas as raízes do segmento.

Solução:

Vamos resolver nossa equação de forma geral: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ±π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Agora vamos ver quais raízes estão em nosso segmento. Em k Em k=0, x= π/16, estamos no segmento determinado.
Com k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, acertamos novamente.
Para k=2, x= π/16+ π=17π/16, mas aqui não acertamos, o que significa que para k grande obviamente também não acertaremos.

Resposta: x= π/16, x= 9π/16

Dois métodos principais de solução.

Vimos as equações trigonométricas mais simples, mas também existem outras mais complexas. Para resolvê-los, utiliza-se o método de introdução de uma nova variável e o método de fatoração. Vejamos exemplos.

Vamos resolver a equação:

Solução:
Para resolver nossa equação, usaremos o método de introdução de uma nova variável, denotando: t=tg(x).

Como resultado da substituição obtemos: t 2 + 2t -1 = 0

Vamos encontrar as raízes da equação quadrática: t=-1 e t=1/3

Então tg(x)=-1 e tg(x)=1/3, obtemos a equação trigonométrica mais simples, vamos encontrar suas raízes.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Resposta: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Um exemplo de resolução de uma equação

Resolva equações: 2sen 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Solução:

Vamos usar a identidade: sen 2 (x) + cos 2 (x)=1

Nossa equação terá a forma: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Vamos apresentar a substituição t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

A solução para nossa equação quadrática são as raízes: t=2 e t=-1/2

Então cos(x)=2 e cos(x)=-1/2.

Porque cosseno não pode assumir valores maiores que um, então cos(x)=2 não tem raízes.

Para cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Resposta: x= ±2π/3 + 2πk

Equações trigonométricas homogêneas.

Definição: Equações da forma a sin(x)+b cos(x) são chamadas de equações trigonométricas homogêneas de primeiro grau.

Equações da forma

equações trigonométricas homogêneas de segundo grau.

Para resolver uma equação trigonométrica homogênea de primeiro grau, divida-a por cos(x): Você não pode dividir pelo cosseno se for igual a zero, vamos ter certeza de que não é o caso:
Seja cos(x)=0, então asin(x)+0=0 => sin(x)=0, mas seno e cosseno não são iguais a zero ao mesmo tempo, obtemos uma contradição, então podemos dividir com segurança por zero.

Resolva a equação:
Exemplo: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Solução:

Vamos retirar o fator comum: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Então precisamos resolver duas equações:

Cos(x)=0 e cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 em x= π/2 + πk;

Considere a equação cos(x)+sin(x)=0 Divida nossa equação por cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Resposta: x= π/2 + πk e x= -π/4+πk

Como resolver equações trigonométricas homogêneas de segundo grau?
Pessoal, sigam sempre essas regras!

1. Veja a que é igual o coeficiente a, se a=0 então nossa equação terá a forma cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), cujo exemplo está no slide anterior

2. Se a≠0, então você precisa dividir ambos os lados da equação pelo cosseno ao quadrado, obtemos:

Mudamos a variável t=tg(x) e obtemos a equação:

Resolva o exemplo nº:3

Resolva a equação:
Solução:

Vamos dividir ambos os lados da equação pelo quadrado do cosseno:

Mudamos a variável t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Vamos encontrar as raízes da equação quadrática: t=-3 e t=1

Então: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Resposta: x=-arctg(3) + πk e x= π/4+ πk

Resolva o exemplo nº:4

Resolva a equação:

Solução:
Vamos transformar nossa expressão:

Podemos resolver tais equações: x= - π/4 + 2πk e x=5π/4 + 2πk

Resposta: x= - π/4 + 2πk e x=5π/4 + 2πk

Resolva o exemplo nº: 5

Resolva a equação:

Solução:
Vamos transformar nossa expressão:

Vamos apresentar a substituição tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

A solução para nossa equação quadrática serão as raízes: t=-2 e t=1/2

Então obtemos: tg(2x)=-2 e tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arcog(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Resposta: x=-arctg(2)/2 + πk/2 e x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Problemas para solução independente.

1) Resolva a equação

A) sen(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0,5x) = -1,7

2) Resolva as equações: sin(3x)= √3/2. E encontre todas as raízes no segmento [π/2; π].

3) Resolva a equação: berço 2 (x) + 2 berço (x) + 1 =0

4) Resolva a equação: 3 sen 2 (x) + √3 sen (x) cos(x) = 0

5) Resolva a equação: 3sen 2 (3x) + 10 sen(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Resolva a equação: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Manter sua privacidade é importante para nós. Por este motivo, desenvolvemos uma Política de Privacidade que descreve como utilizamos e armazenamos as suas informações. Revise nossas práticas de privacidade e informe-nos se tiver alguma dúvida.

Coleta e uso de informações pessoais

Informações pessoais referem-se a dados que podem ser usados ​​para identificar ou entrar em contato com uma pessoa específica.

Você pode ser solicitado a fornecer suas informações pessoais a qualquer momento quando entrar em contato conosco.

Abaixo estão alguns exemplos dos tipos de informações pessoais que podemos coletar e como podemos usar essas informações.

Quais informações pessoais coletamos:

• Quando você envia uma inscrição no site, podemos coletar diversas informações, incluindo seu nome, número de telefone, endereço de e-mail, etc.

Como usamos suas informações pessoais:

• As informações pessoais que coletamos nos permitem contatá-lo com ofertas exclusivas, promoções e outros eventos e eventos futuros.
• De tempos em tempos, poderemos usar suas informações pessoais para enviar avisos e comunicações importantes.
• Também poderemos utilizar informações pessoais para fins internos, como a realização de auditorias, análises de dados e pesquisas diversas, a fim de melhorar os serviços que prestamos e fornecer-lhe recomendações sobre os nossos serviços.
• Se você participar de um sorteio, concurso ou promoção semelhante, poderemos usar as informações que você fornecer para administrar tais programas.

Divulgação de informações a terceiros

Não divulgamos as informações recebidas de você a terceiros.

Exceções:

• Se necessário - de acordo com a lei, procedimento judicial, em processos judiciais e/ou com base em solicitações públicas ou solicitações de órgãos governamentais da Federação Russa - para divulgar suas informações pessoais. Também poderemos divulgar informações sobre você se determinarmos que tal divulgação é necessária ou apropriada para fins de segurança, aplicação da lei ou outros fins de importância pública.
• No caso de uma reorganização, fusão ou venda, poderemos transferir as informações pessoais que coletamos para o terceiro sucessor aplicável.

Proteção de informações pessoais

Tomamos precauções - inclusive administrativas, técnicas e físicas - para proteger suas informações pessoais contra perda, roubo e uso indevido, bem como acesso não autorizado, divulgação, alteração e destruição.

Respeitando sua privacidade no nível da empresa

Para garantir que suas informações pessoais estejam seguras, comunicamos padrões de privacidade e segurança aos nossos funcionários e aplicamos rigorosamente as práticas de privacidade.