רווחים ליניאריים. תת רווחים
כאשר בחנו את המושגים של וקטור N-ממד והצגנו פעולות על וקטורים, גילינו שהקבוצה של כל הוקטורים ה-n-ממדיים יוצרת מרחב ליניארי. במאמר זה נדבר על המושגים הקשורים החשובים ביותר - הממד והבסיס של מרחב וקטורי. נשקול גם את המשפט על הרחבת וקטור שרירותי לבסיס ועל הקשר בין בסיסים שונים של מרחב n-ממדי. הבה נבחן בפירוט את הפתרונות לדוגמאות טיפוסיות.
ניווט בדף.
מושג הממד של מרחב ובסיס וקטור.
מושגי הממד והבסיס של מרחב וקטור קשורים ישירות למושג מערכת וקטורים עצמאית ליניארית, לכן במידת הצורך אנו ממליצים להתייחס למאמר תלות לינארית של מערכת וקטורים, מאפייני תלות לינארית ועצמאות. .
הַגדָרָה.
מימד של מרחב וקטוריהוא מספר השווה למספר המרבי של וקטורים בלתי תלויים ליניארי במרחב זה.
הַגדָרָה.
בסיס חלל וקטורהוא קבוצה מסודרת של וקטורים בלתי תלויים באופן ליניארי של מרחב זה, שמספרם שווה לממד המרחב.
הבה נביא כמה נימוקים המבוססים על הגדרות אלה.
שקול את המרחב של וקטורים n-ממדיים.
הבה נראה שהמימד של המרחב הזה הוא n.
ניקח מערכת של n וקטורים יחידות של הצורה
ניקח את הוקטורים האלה כשורות של מטריצה A. במקרה זה, מטריצה A תהיה מטריצת זהות של ממד n על n. הדרגה של מטריצה זו היא n (ראה מאמר במידת הצורך). לכן, מערכת הוקטורים 
הוא בלתי תלוי ליניארי, ולא ניתן להוסיף וקטור אחד למערכת זו מבלי להפר את העצמאות הליניארית שלה. מאז מספר הוקטורים במערכת שווה ל-n, אם כן הממד של המרחב של וקטורים n-ממדיים הוא n, והוקטורים של היחידה הם הבסיס של המרחב הזה.
מההצהרה וההגדרה האחרונה של הבסיס נוכל להסיק זאת כל מערכת של וקטורים n-ממדיים, שמספר הוקטורים שבהם קטן מ-n, אינה בסיס.
עכשיו בואו נחליף את הווקטור הראשון והשני של המערכת . קל להראות שהמערכת המתקבלת של וקטורים 
הוא גם בסיס של מרחב וקטורי נ-ממדי. בואו ניצור מטריצה על ידי נטילת הוקטורים של מערכת זו כשורותיה. ניתן לקבל מטריצה זו ממטריצת הזהות על ידי החלפת השורה הראשונה והשנייה, ומכאן שהדירוג שלה יהיה n. לפיכך, מערכת של n וקטורים הוא בלתי תלוי ליניארי והוא הבסיס של מרחב וקטור n-ממדי.
אם נסדר מחדש וקטורים אחרים של המערכת , אז נקבל בסיס אחר.
אם ניקח מערכת עצמאית ליניארית של וקטורים שאינם יחידות, אז היא גם הבסיס של מרחב וקטור n-ממדי.
לכן, למרחב וקטורי של ממד n יש כמה בסיסים כמו שיש מערכות בלתי תלויות ליניאריות של וקטורים n-ממדיים.
אם מדברים על מרחב וקטור דו-ממדי (כלומר, על מישור), אז הבסיס שלו הוא כל שני וקטורים לא-קולינאריים. הבסיס של המרחב התלת-ממדי הוא כל שלושה וקטורים שאינם קו מישוריים.
בואו נסתכל על כמה דוגמאות.
דוגמא.
האם וקטורים הם הבסיס למרחב וקטורי תלת מימדי?
פִּתָרוֹן.
הבה נבחן מערכת וקטורים זו עבור תלות לינארית. לשם כך, בואו ניצור מטריצה שהשורות שלה יהיו הקואורדינטות של הוקטורים, ונמצא את הדרגה שלה: 
לפיכך, הוקטורים a, b ו-c הם בלתי תלויים ליניארית ומספרם שווה לממד המרחב הווקטורי, ולכן הם הבסיס למרחב זה.
תשובה:
כן הם כן.
דוגמא.
האם מערכת וקטורים יכולה להיות הבסיס למרחב וקטורי?
פִּתָרוֹן.
מערכת וקטורים זו תלויה ליניארית, שכן המספר המרבי של וקטורים תלת מימדיים בלתי תלויים באופן ליניארי הוא שלושה. כתוצאה מכך, מערכת וקטורים זו אינה יכולה להיות בסיס למרחב וקטור תלת ממדי (אם כי תת-מערכת של מערכת הוקטורים המקורית היא בסיס).
תשובה:
לא הוא לא יכול.
דוגמא.
ודא את הוקטורים 
יכול להיות הבסיס של מרחב וקטור ארבעה ממדי.
פִּתָרוֹן.
בואו ניצור מטריצה על ידי נטילת הוקטורים המקוריים כשורותיה: 
בוא נמצא: 
לפיכך, מערכת הוקטורים a, b, c, d היא בלתי תלויה לינארית ומספרם שווה לממד המרחב הווקטורי, לכן, a, b, c, d הם הבסיס שלה.
תשובה:
הווקטורים המקוריים הם אכן הבסיס של המרחב הארבע-מימדי.
דוגמא.
האם וקטורים מהווים את הבסיס למרחב וקטורי של ממד 4?
פִּתָרוֹן.
גם אם מערכת הוקטורים המקורית היא בלתי תלויה לינארית, מספר הוקטורים בה אינו מספיק כדי להיות בסיס למרחב ארבע-ממדי (הבסיס של מרחב כזה מורכב מ-4 וקטורים).
תשובה:
לא, זה לא.
פירוק וקטור לפי בסיס המרחב הווקטורי.
אפשר וקטורים שרירותיים הם הבסיס של מרחב וקטור n-ממדי. אם נוסיף להם איזה וקטור N-ממדי x להם, אז מערכת הוקטורים שתתקבל תהיה תלויה ליניארית. ממאפייני התלות הלינארית אנו יודעים שלפחות וקטור אחד של מערכת תלויה לינארית מתבטא באופן ליניארי דרך האחרים. במילים אחרות, לפחות אחד מהווקטורים של מערכת תלויה לינארית מורחב לוקטורים הנותרים.
זה מביא אותנו למשפט חשוב מאוד.
מִשׁפָּט.
כל וקטור של מרחב וקטור n-ממדי ניתן לפירוק ייחודי לבסיס.
הוכחה.
לתת - בסיס של מרחב וקטור n-ממדי. בואו נוסיף לוקטורים אלה וקטור N-ממדי x. אז מערכת הוקטורים המתקבלת תהיה תלויה לינארית וניתן לבטא את הווקטור x באופן ליניארי במונחים של וקטורים : , איפה יש מספרים. כך קיבלנו את ההתרחבות של הווקטור x ביחס לבסיס. נותר להוכיח שהפירוק הזה הוא ייחודי.
הבה נניח שיש פירוק נוסף, איפה 
- כמה מספרים. הבה נגרע מהצד השמאלי והימני של השוויון האחרון את הצד השמאלי והימני של השוויון, בהתאמה:
מאז מערכת וקטורי הבסיס הוא בלתי תלוי ליניארי, אז לפי ההגדרה של עצמאות לינארית של מערכת וקטורים, השוויון המתקבל אפשרי רק כאשר כל המקדמים שווים לאפס. לכן, , מה שמוכיח את הייחודיות של הפירוק הווקטור ביחס לבסיס.
הַגדָרָה.
המקדמים נקראים קואורדינטות של הווקטור x בבסיס .
לאחר שהכרנו את המשפט על פירוק וקטור לבסיס, אנו מתחילים להבין את מהות הביטוי "ניתן לנו וקטור n ממדי 
" ביטוי זה אומר שאנו רואים וקטור של מרחב וקטורי x n-ממדי, שהקואורדינטות שלו מצוינות בבסיס כלשהו. יחד עם זאת, אנו מבינים שלאותו וקטור x בבסיס אחר של מרחב הווקטור ה-n-ממדי יהיו קואורדינטות שונות מ-.
הבה נשקול את הבעיה הבאה.
הבה ניתן לנו מערכת של n וקטורים בלתי תלויים ליניארית בבסיס כלשהו של מרחב וקטור n-ממדי 
וקטור . ואז הוקטורים הם גם הבסיס של המרחב הווקטורי הזה.
הבה נצטרך למצוא את הקואורדינטות של הווקטור x בבסיס . הבה נסמן את הקואורדינטות האלה בתור .
וקטור x בבסיס יש רעיון. הבה נכתוב את השוויון הזה בצורת קואורדינטות:
שוויון זה שווה ערך למערכת של n משוואות אלגבריות ליניאריות עם n משתנים לא ידועים :
למטריצה הראשית של מערכת זו יש את הצורה 
נסמן זאת באות א'. העמודות של מטריצה A מייצגות וקטורים של מערכת וקטורים עצמאית ליניארית , כך שהדרגה של המטריצה הזו היא n, ומכאן הקובע שלה אינו אפס. עובדה זו מצביעה על כך שלמערכת המשוואות יש פתרון ייחודי שניתן למצוא בכל שיטה, למשל, או.
כך יימצאו הקואורדינטות הנדרשות וקטור x בבסיס .
בואו נסתכל על התיאוריה באמצעות דוגמאות.
דוגמא.
בבסיס כלשהו של מרחב וקטור תלת מימדי, הוקטורים 
ודא שמערכת הוקטורים היא גם בסיס למרחב זה ומצא את הקואורדינטות של הווקטור x בבסיס זה.
פִּתָרוֹן.
כדי שמערכת וקטורים תהיה הבסיס למרחב וקטור תלת מימדי, היא חייבת להיות בלתי תלויה ליניארית. בואו נגלה זאת על ידי קביעת הדרגה של מטריצה A, ששורותיה הן וקטורים. בוא נמצא את הדרגה בשיטת גאוס 
לכן, Rank(A) = 3, המראה את העצמאות הליניארית של מערכת הוקטורים.
אז וקטורים הם הבסיס. תן לוקטור x להיות קואורדינטות בבסיס זה. ואז, כפי שהראינו לעיל, היחס בין הקואורדינטות של וקטור זה ניתן על ידי מערכת המשוואות 
החלפת הערכים הידועים מהתנאי לתוכו, אנו מקבלים 
בוא נפתור את זה בשיטת קריימר: 
לפיכך, לוקטור x בבסיס יש קואורדינטות 
.
תשובה:
דוגמא.
על בסיס כלשהו 
של מרחב וקטור ארבעה ממדי, ניתנת מערכת וקטורים עצמאית ליניארית 
ידוע ש 
. מצא את הקואורדינטות של הווקטור x בבסיס .
פִּתָרוֹן.
מאז מערכת הוקטורים 
באופן ליניארי בלתי תלוי בתנאי, אז זה בסיס של מרחב ארבע-ממדי. ואז שוויון פירושו שהווקטור x בבסיס יש קואורדינטות. הבה נסמן את הקואורדינטות של הווקטור x בבסיס איך.
מערכת משוואות המגדירה את הקשר בין הקואורדינטות של הווקטור x בבסיסים ו נראה כמו 
אנו מחליפים בו ערכים ידועים ומוצאים את הקואורדינטות הנדרשות: 
תשובה:
.
מערכת יחסים בין בסיסים.
תנו שתי מערכות וקטורים בלתי תלויות באופן ליניארי בבסיס כלשהו של מרחב וקטור n-ממדי 
ו
כלומר, הם גם הבסיסים של המרחב הזה.
אם 
- קואורדינטות של הווקטור בבסיס , ואז חיבור הקואורדינטות 
ו ניתן על ידי מערכת של משוואות ליניאריות (דיברנו על זה בפסקה הקודמת): 
, שבצורת מטריצה ניתן לכתוב כ 
באופן דומה עבור וקטור אנו יכולים לכתוב 
ניתן לשלב את השוויון המטריצה הקודמים לאחד, אשר בעצם מגדיר את הקשר בין הווקטורים של שני בסיסים שונים 
באופן דומה, אנו יכולים לבטא את כל וקטורי הבסיס דרך בסיס 
:
הַגדָרָה.
מַטרִיצָה 
שקוראים לו מטריצת מעבר מהבסיס לבסיס , אז השוויון נכון 
הכפלת שני הצדדים של השוויון הזה מימין על ידי
אנחנו מקבלים 
הבה נמצא את מטריצת המעבר, אך לא נתעכב בפירוט על מציאת המטריצה ההפוכה והכפלת מטריצות (ראה מאמרים ובמידת הצורך): 
נותר לברר את הקשר בין הקואורדינטות של הווקטור x בבסיסים הנתונים.
תן לוקטור x להיות קואורדינטות בבסיס, אם כן 
ובבסיס לוקטור x יש קואורדינטות , אז 
מכיוון שהצדדים השמאליים של שני השוויון האחרונים זהים, נוכל להשוות את הצדדים הימניים: 
אם נכפיל את שני הצדדים מימין ב
ואז אנחנו מקבלים 
בצד השני 
(מצא את המטריצה ההפוכה בעצמך).
שני השוויון האחרונים נותנים לנו את הקשר הנדרש בין הקואורדינטות של הווקטור x בבסיסים ו.
תשובה:
למטריצת המעבר מבסיס לבסיס יש את הצורה 
;
קואורדינטות של הווקטור x בבסיסים וקשורות על ידי היחסים 
אוֹ .
בחנו את מושגי הממד והבסיס של מרחב וקטור, למדנו לפרק וקטור לבסיס, וגילינו את הקשר בין בסיסים שונים של המרחב הווקטורי ה-n-ממדי דרך מטריצת המעבר.
המרחב הליניארי V נקרא n ממדי, אם יש בה מערכת של n וקטורים בלתי תלויים ליניארית, וכל מערכת של יותר וקטורים תלויה ליניארית. המספר n נקרא ממד (מספר מידות)רווח ליניארי V ומסומן \מפעילשם(עמום)V. במילים אחרות, המימד של מרחב הוא המספר המרבי של וקטורים בלתי תלויים ליניארי של מרחב זה. אם קיים מספר כזה, אז המרחב נקרא סופי ממדי. אם, עבור מספר טבעי n כלשהו, במרחב V יש מערכת המורכבת מ-n וקטורים בלתי תלויים ליניארית, אז מרחב כזה נקרא אינסופי ממדי (כתוב: \ Operatorname(dim)V=\infty). בהמשך, אלא אם צוין אחרת, ייחשבו חללים סופיים ממדים.
בָּסִיסמרחב ליניארי n-ממדי הוא אוסף מסודר של n וקטורים בלתי תלויים באופן ליניארי ( וקטורי בסיס).
משפט 8.1 על התפשטות וקטור במונחים של בסיס. אם הוא הבסיס של מרחב ליניארי V N-ממדי, אז כל וקטור \mathbf(v)\in V יכול להיות מיוצג כשילוב ליניארי של וקטורי בסיס:
\mathbf(v)=\mathbf(v)_1\cdot \mathbf(e)_1+\mathbf(v)_2\cdot \mathbf(e)_2+\ldots+\mathbf(v)_n\cdot \mathbf(e)_n
ויתרה מכך, בדרך היחידה, דהיינו. קְטָטָה \mathbf(v)_1, \mathbf(v)_2,\ldots, \mathbf(v)_nנקבעים באופן חד משמעי.במילים אחרות, ניתן להרחיב כל וקטור של חלל לבסיס ויתרה מכך, בצורה ייחודית.
ואכן, מימד החלל V שווה ל-n. מערכת וקטורית \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_nעצמאי ליניארי (זהו בסיס). לאחר הוספת כל וקטור \mathbf(v) לבסיס, נקבל מערכת תלויה לינארית \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n, \mathbf(v)(מאחר שמערכת זו מורכבת מ-(n+1) וקטורים של מרחב n-ממדי). באמצעות התכונה של 7 וקטורים תלויים לינארית ולינארית בלתי תלויים, נקבל את מסקנת המשפט.
מסקנה 1. אם \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_nהוא הבסיס של החלל V, אם כן V=\operatorname(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_n), כלומר רווח ליניארי הוא הטווח הליניארי של וקטורי הבסיס.
למעשה, כדי להוכיח את השוויון V=\operatorname(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots, \mathbf(e)_n)שני סטים, זה מספיק כדי להראות כי תכלילים V\subset \operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_n)ומבוצעות בו זמנית. ואכן, מצד אחד, כל צירוף ליניארי של וקטורים במרחב ליניארי שייך למרחב הליניארי עצמו, כלומר. \operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n)\subset V. מצד שני, לפי משפט 8.1, כל וקטור של מרחב יכול להיות מיוצג כשילוב ליניארי של וקטורי בסיס, כלומר. V\subset \operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n). זה מרמז על השוויון של הקבוצות הנבדקות.
מסקנה 2. אם \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n- מערכת בלתי תלויה ליניארית של וקטורים של מרחב ליניארי V וכל וקטור \mathbf(v)\in V יכול להיות מיוצג כצירוף ליניארי (8.4): \mathbf(v)=v_1\mathbf(e)_1+ v_2\mathbf(e)_2+\ldots+v_n\mathbf(e)_n, אז לרווח V יש ממד n, והמערכת \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_nהוא הבסיס שלה.
ואכן, במרחב V יש מערכת של n וקטורים בלתי תלויים ליניארית, וכל מערכת \mathbf(u)_1,\mathbf(u)_2,\ldots,\mathbf(u)_nשל מספר גדול יותר של וקטורים (k>n) תלוי לינארית, מכיוון שכל וקטור ממערכת זו מבוטא באופן ליניארי במונחים של וקטורים \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n. אומר, \מפעילשם(עמום) V=nו \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n- בסיס V.
משפט 8.2 על הוספת מערכת וקטורים לבסיס. כל מערכת עצמאית ליניארית של k וקטורים של מרחב ליניארי n-ממדי (1\leqslant k אכן, תהיה מערכת עצמאית ליניארית של וקטורים במרחב n-ממדי V~(1\leqslant k הערות 8.4 1. הבסיס של מרחב ליניארי נקבע באופן דו-משמעי. לדוגמה, אם \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots, \mathbf(e)_nהוא הבסיס של המרחב V, ואז מערכת הוקטורים \lambda \mathbf(e)_1,\lambda \mathbf(e)_2,\ldots,\lambda \mathbf(e)_nעבור כל \lambda\ne0 הוא גם בסיס של V . מספר וקטורי הבסיס בבסיסים שונים של אותו מרחב סופי ממדי זהה, כמובן, שכן מספר זה שווה לממד המרחב. 2. בחללים מסוימים, שנתקלים בהם לעיתים קרובות ביישומים, אחד הבסיסים האפשריים, הנוחים ביותר מבחינה מעשית, נקרא סטנדרטי. 3. משפט 8.1 מאפשר לנו לומר שבסיס הוא מערכת שלמה של אלמנטים של מרחב ליניארי, במובן זה שכל וקטור של מרחב מבוטא באופן ליניארי במונחים של וקטורי בסיס. 4. אם הקבוצה \mathbb(L) היא טווח ליניארי \operatorname(Lin)(\mathbf(v)_1,\mathbf(v)_2,\ldots,\mathbf(v)_k), ואז הוקטורים \mathbf(v)_1,\mathbf(v)_2,\ldots,\mathbf(v)_kנקראים מחוללים של הסט \mathbb(L) . מסקנה 1 של משפט 8.1 בשל השוויון V=\operatorname(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n)מאפשר לנו לומר שהבסיס הוא מערכת גנרטור מינימליתרווח ליניארי V, מכיוון שאי אפשר להפחית את מספר המחוללים (הסר לפחות וקטור אחד מהקבוצה \mathbf(e)_1, \mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n) מבלי לפגוע בשוויון V=\operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n). 5. משפט 8.2 מאפשר לנו לומר שהבסיס הוא מערכת וקטורים בלתי תלויה ליניארית מקסימליתמרחב ליניארי, מכיוון שהבסיס הוא מערכת וקטורים עצמאית ליניארית, ולא ניתן להוסיף לו שום וקטור מבלי לאבד עצמאות ליניארית. 6. מסקנה 2 של משפט 8.1 נוחה לשימוש כדי למצוא את הבסיס והממד של מרחב ליניארי. בספרי לימוד מסוימים נדרש להגדיר את הבסיס, כלומר: מערכת עצמאית ליניארית \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_nשל וקטורים של מרחב ליניארי נקרא בסיס אם וקטור כלשהו של המרחב מבוטא באופן ליניארי במונחים של וקטורים \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n. מספר וקטורי הבסיס קובע את מימד החלל. כמובן, הגדרות אלו מקבילות לאלו שניתנו לעיל. הבה נסמן את הממד והבסיס לדוגמאות של מרחבים ליניאריים שנדונו לעיל. 1. הרווח הליניארי האפס \(\mathbf(o)\) אינו מכיל וקטורים בלתי תלויים באופן ליניארי. לכן, ההנחה היא שהממד של מרחב זה הוא אפס: \dim\(\mathbf(o)\)=0. למרחב הזה אין בסיס. 2. לרווחים V_1,\,V_2,\,V_3 יש מידות 1, 2, 3, בהתאמה. ואכן, כל וקטור לא-אפס של המרחב V_1 יוצר מערכת עצמאית ליניארית (ראה נקודה 1 של הערות 8.2), וכל שני וקטורים לא-אפס של המרחב V_1 הם קולינאריים, כלומר. תלוי ליניארי (ראה דוגמה 8.1). כתוצאה מכך, \dim(V_1)=1, והבסיס של הרווח V_1 הוא כל וקטור שאינו אפס. באופן דומה, מוכח כי \dim(V_2)=2 ו-\dim(V_3)=3 . הבסיס של המרחב V_2 הוא כל שני וקטורים לא-קולינאריים שנלקחו בסדר מסוים (אחד מהם נחשב לוקטור הבסיס הראשון, השני - השני). הבסיס של המרחב V_3 הוא כל שלושה וקטורים לא-קו-מפלאריים (לא שוכבים באותם מישורים או מקבילים), שנלקחו בסדר מסוים. הבסיס הסטנדרטי ב-V_1 הוא וקטור היחידה \vec(i) על הקו. הבסיס הסטנדרטי ב-V_2 הוא הבסיס \vec(i),\,\vec(j), המורכב משני וקטורי יחידה מאונכים זה לזה של המישור. הבסיס הסטנדרטי בחלל V_3 נחשב לבסיס \vec(i),\,\vec(j),\,\vec(k), המורכב משלושה וקטורים של יחידות, בניצב זוג, היוצרים משולש ימני. 3. הרווח \mathbb(R)^n מכיל לא יותר מ- n וקטורים בלתי תלויים ליניאריים. למעשה, בואו ניקח k עמודות מ-\mathbb(R)^n וניצור מהם מטריצה של גדלים n\x k. אם k>n, אז העמודות תלויות ליניארית לפי משפט 3.4 בדרגת המטריצה. לָכֵן, \dim(\mathbb(R)^n)\leqslant n. ברווח \mathbb(R)^n לא קשה למצוא n עמודות עצמאיות באופן ליניארי. לדוגמה, העמודות של מטריצת הזהות \mathbf(e)_1=\begin(pmatrix)1\\0\\\vdots\\0\end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_2= \begin(pmatrix)0\\1\ \\vdots\\0\end(pmatrix)\!,\quad \ldots,\quad \mathbf(e)_n= \begin(pmatrix) 0\\0\\\vdots\\\1 \end(pmatrix)\ !. עצמאית ליניארית. לָכֵן, \dim(\mathbb(R)^n)=n. הרווח \mathbb(R)^n נקרא מרחב אריתמטי אמיתי לא ממדי. קבוצת הוקטורים שצוינה נחשבת לבסיס הסטנדרטי של הרווח \mathbb(R)^n . באופן דומה, הוכח כי \dim(\mathbb(C)^n)=n, לכן הרווח \mathbb(C)^n נקרא מרחב אריתמטי מורכב ללא ממדים. 4. נזכיר שכל פתרון של המערכת ההומוגנית Ax=o יכול להיות מיוצג בצורה x=C_1\varphi_1+C_2\varphi_2+\ldots+C_(n-r)\varphi_(n-r), איפה r=\operatorname(rg)A, א \varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_(n-r)- מערכת בסיסית של פתרונות. לָכֵן, \(Ax=o\)=\operatorname(Lin) (\varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_(n-r)), כלומר הבסיס של המרחב \(Ax=0\) של פתרונות של מערכת הומוגנית הוא מערכת הפתרונות הבסיסית שלה, והממד של המרחב \dim\(Ax=o\)=n-r, כאשר n הוא מספר הלא ידועים , ו-r היא הדרגה של מטריצת המערכת. 5. ברווח M_(2\times3) של מטריצות בגודל 2\times3, ניתן לבחור 6 מטריצות: \begin(gathered)\mathbf(e)_1= \begin(pmatrix)1&0&0\\0&0&0\end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_2= \begin(pmatrix)0&1&0\\0&0&0\end( pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_3= \begin(pmatrix) 0&0&1\\0&0&0\end(pmatrix)\!,\hfill\\ \mathbf(e)_4= \begin(pmatrix) 0&0&0\\ 1&0&0 \end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_5= \begin(pmatrix)0&0&0\\0&1&0\end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_6= \begin(pmatrix)0&0&0 \\0&0&1\end(pmatrix)\!,\hfill \end(נאסף) \alpha_1\cdot \mathbf(e)_1+\alpha_2\cdot \mathbf(e)_2+\alpha_3\cdot \mathbf(e)_3+ \alpha_4\cdot \mathbf(e)_4+\alpha_5\cdot \_5+f(e) \alpha_6\cdot \mathbf(e)_6= \begin(pmatrix)\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3\\ \alpha_4&\alpha_5&\alpha_6\end(pmatrix) שווה למטריצת האפס רק במקרה הטריוויאלי \alpha_1=\alpha_2= \ldots= \alpha_6=0. לאחר שקראנו את השוויון (8.5) מימין לשמאל, אנו מסיקים שכל מטריצה מ-M_(2\times3) באה לידי ביטוי ליניארי דרך 6 המטריצות שנבחרו, כלומר. M_(2\times)= \operatorname(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_6). לָכֵן, \dim(M_(2\times3))=2\cdot3=6, והמטריצות \mathbf(e)_1, \mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_6הם הבסיס (הסטנדרט) של החלל הזה. באופן דומה, הוכח כי \dim(M_(m\times n))=m\cdot n. 6. עבור כל מספר טבעי n במרחב P(\mathbb(C)) של פולינומים עם מקדמים מורכבים, ניתן למצוא n אלמנטים בלתי תלויים ליניאריים. לדוגמה, פולינומים \mathbf(e)_1=1, \mathbf(e)_2=z, \mathbf(e)_3=z^2,\,\ldots, \mathbf(e)_n=z^(n-1)הם בלתי תלויים ליניארי, שכן השילוב הליניארי שלהם a_1\cdot \mathbf(e)_1+a_2\cdot \mathbf(e)_2+\ldots+a_n\cdot \mathbf(e)_n= a_1+a_2z+\ldots+a_nz^(n-1) שווה לפולינום אפס (o(z)\equiv0) רק במקרה הטריוויאלי a_1=a_2=\ldots=a_n=0. מכיוון שמערכת פולינומים זו אינה תלויה לינארית עבור כל מספר טבעי l, הרווח P(\mathbb(C)) הוא אינסופי ממדי. באופן דומה, אנו מסיקים שלמרחב P(\mathbb(R)) של פולינומים עם מקדמים אמיתיים יש ממד אינסופי. הרווח P_n(\mathbb(R)) של פולינומים בדרגה שאינה גבוהה מ-n הוא סופי ממדי. ואכן, הוקטורים \mathbf(e)_1=1, \mathbf(e)_2=x, \mathbf(e)_3=x^2,\,\ldots, \mathbf(e)_(n+1)=x^nמהווים בסיס (סטנדרטי) למרחב זה, מכיוון שהם בלתי תלויים ליניארית וכל פולינום מ-P_n(\mathbb(R)) יכול להיות מיוצג כשילוב ליניארי של הוקטורים הללו: a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0=a_0\cdot \mathbf(e)_1+a_1 \mathbf(e)_2+\ldots+a_n\cdot \mathbf(e)_(n+1)דוגמאות לבסיסים של רווחים ליניאריים
שהם עצמאיים ליניארית. אכן, השילוב הליניארי שלהם
7. המרחב C(\mathbb(R)) של פונקציות רציפות הוא אינסופי ממדי. אכן, עבור כל מספר טבעי n הפולינומים 1,x,x^2,\ldots, x^(n-1), הנחשבות כפונקציות רציפות, יוצרות מערכות עצמאיות באופן ליניארי (ראה את הדוגמה הקודמת).
בחלל T_(\omega)(\mathbb(R))בינומים טריגונומטריים (בתדירות \omega\ne0 ) עם מקדמים אמיתיים על בסיס מונומיאלים \mathbf(e)_1(t)=\sin\omega t,~\mathbf(e)_2(t)=\cos\omega t. הם עצמאיים ליניארית, שכן השוויון הזהה a\sin\omega t+b\cos\omega t\equiv0אפשרי רק במקרה הטריוויאלי (a=b=0) . כל פונקציה של הטופס f(t)=a\sin\omega t+b\cos\omega tבא לידי ביטוי ליניארי באמצעות הבסיסיים: f(t)=a\,\mathbf(e)_1(t)+b\,\mathbf(e)_2(t).
8. המרחב \mathbb(R)^X של פונקציות אמיתיות המוגדרות בקבוצת X, בהתאם לתחום ההגדרה של X, יכול להיות סופי-ממדי או אינסופי-ממדי. אם X הוא קבוצה סופית, אז הרווח \mathbb(R)^X הוא סופי ממדי (לדוגמה, X=\(1,2,\ldots,n\)). אם X הוא קבוצה אינסופית, אז הרווח \mathbb(R)^X הוא אינסופי ממדי (לדוגמה, המרחב \mathbb(R)^N של רצפים).
9. ברווח \mathbb(R)^(+) כל מספר חיובי \mathbf(e)_1 שאינו שווה לאחד יכול לשמש בסיס. ניקח, לדוגמה, את המספר \mathbf(e)_1=2 . כל מספר חיובי r יכול לבוא לידי ביטוי באמצעות \mathbf(e)_1 , כלומר. לייצג בצורה \alpha\cdot \mathbf(e)_1\colon r=2^(\log_2r)=\log_2r\ast2=\alpha_1\ast \mathbf(e)_1, כאשר \alpha_1=\log_2r . לכן, המימד של המרחב הזה הוא 1, והמספר \mathbf(e)_1=2 הוא הבסיס.
10. תן \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_nהוא הבסיס של המרחב הליניארי האמיתי V. הבה נגדיר פונקציות סקלריות ליניאריות ב-V על ידי הגדרה:
\mathcal(E)_i(\mathbf(e)_j)=\begin(cases)1,&i=j,\\ 0,&i\ne j.\end(cases)
במקרה זה, עקב הליניאריות של הפונקציה \mathcal(E)_i, עבור וקטור שרירותי נקבל \mathcal(E)(\mathbf(v))=\sum_(j=1)^(n)v_j \mathcal(E)(\mathbf(e)_j)=v_i.
אז, n אלמנטים (קוווקטורים) מוגדרים \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2, \ldots, \mathcal(E)_nמצמיד רווח V^(\ast) . בואו נוכיח את זה \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n- בסיס V^(\ast) .
ראשית, אנו מראים כי המערכת \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_nעצמאית ליניארית. ואכן, הבה ניקח שילוב ליניארי של הקוווקטורים הללו (\alpha_1 \mathcal(E)_1+\ldots+\alpha_n\mathcal(E)_n)(\mathbf(v))=ולהשוות אותו לפונקציית האפס
\mathbf(o)(\mathbf(v))~~ (\mathbf(o)(\mathbf(v))=0~ \forall \mathbf(v)\in V)\colon~ \alpha_1\mathcal(E )_1(\mathbf(v))+\ldots+\alpha_n\mathcal(E)_n(\mathbf(v))= \mathbf(o)(\mathbf(v))=0~~\forall \mathbf(v) )\ב-V.
מחליפים לתוך השוויון הזה \mathbf(v)=\mathbf(e)_i,~ i=1,\ldots,n, אנחנו מקבלים \alpha_1=\alpha_2\cdot= \alpha_n=0. לכן, מערכת האלמנטים \mathcal(E)_1,\mathcal(E)_2,\ldots,\mathcal(E)_nרווח V^(\ast) הוא בלתי תלוי ליניארי, שכן השוויון \alpha_1\mathcal(E)_1+\ldots+ \alpha_n\mathcal(E)_n =\mathbf(o)אפשרי רק במקרה טריוויאלי.
שנית, אנו מוכיחים שכל פונקציה לינארית f\in V^(\ast) יכולה להיות מיוצגת כצירוף ליניארי של קובקטורים \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n. אכן, לכל וקטור \mathbf(v)=v_1 \mathbf(e)_1+v_2 \mathbf(e)_2+\ldots+v_n \mathbf(e)_nעקב הליניאריות של הפונקציה f נקבל:
\begin(aligned)f(\mathbf(v))&= f(v_1 \mathbf(e)_1+\ldots+v_n \mathbf(e)_n)= v_1 f(\mathbf(e)_1)+\ldots+ v_n f(\mathbf(e)_n)= f(\mathbf(e)_1)\mathcal(E)_1(\mathbf(v))+ \ldots+ f(\mathbf(e)_n)\mathcal(E) _n (\mathbf(v))=\\ &=(f(\mathbf(e)_1)\mathcal(E)_1+\ldots+ f(\mathbf(e)_n)\mathcal(E)_n)(\mathbf ( v))= (\beta_1\mathcal(E)_1+ \ldots+\beta_n\mathcal(E)_n) (\mathbf(v)),\end(aligned)
הָהֵן. הפונקציה f מיוצגת כצירוף ליניארי f=\beta_1 \mathcal(E)_1+\ldots+\beta_n\mathcal(E)_nפונקציות \mathcal(E)_1,\mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n(מספרים \beta_i=f(\mathbf(e)_i)- מקדמי שילוב ליניאריים). לכן, מערכת covector \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_nהוא בסיס של המרחב הכפול V^(\ast) ו \dim(V^(\ast))=\dim(V)(עבור חלל סופי ממדי V ).
אם אתה מבחין בשגיאה, שגיאת הקלדה או שיש לך הצעות כלשהן, כתוב בתגובות.
תת-קבוצה של מרחב ליניארי יוצרת תת-מרחב אם הוא סגור בחיבור של וקטורים וכפל בסקלרים.
דוגמה 6.1. האם תת-מרחב במישור יוצר קבוצה של וקטורים שקצותיהם נמצאים: א) ברבע הראשון; ב) על קו ישר העובר דרך המוצא? (המקורות של הוקטורים נמצאים במקור הקואורדינטות)
פִּתָרוֹן.
א) לא, מכיוון שהקבוצה אינה סגורה בכפל בסקלאר: כאשר מכפילים אותו במספר שלילי, סוף הווקטור נכנס לרבע השלישי.
ב) כן, מכיוון שכאשר מוסיפים וקטורים ומכפילים אותם במספר כלשהו, הקצוות שלהם נשארים על אותו קו ישר.
תרגיל 6.1. האם תת-הקבוצות הבאות של הרווחים הליניאריים המתאימים יוצרות תת-מרחב:
א) קבוצה של וקטורים מישוריים שקצהם נמצאים ברבע הראשון או השלישי;
ב) קבוצה של וקטורים מישוריים שקצותיהם נמצאים על קו ישר שאינו עובר דרך המוצא;
ג) קבוצה של קווי קואורדינטות ((x 1, x 2, x 3)ï x 1 + x 2 + x 3 = 0);
ד) קבוצה של קווי קואורדינטות ((x 1, x 2, x 3)ï x 1 + x 2 + x 3 = 1);
ה) קבוצה של קווי קואורדינטות ((x 1, x 2, x 3)ï x 1 = x 2 2).
המימד של מרחב ליניארי L הוא המספר עמום L של וקטורים הכלולים בכל אחד מהבסיסים שלו.
הממדים של הסכום וההצטלבות של תת-מרחבים קשורים בקשר
עמום (U + V) = עמום U + עמום V – עמום (U Ç V).
דוגמה 6.2. מצא את הבסיס והממד של הסכום והחתך של תת-מרחבים המתפרשים על ידי מערכות הוקטורים הבאות:
פתרון: כל אחת ממערכות הווקטורים המייצרות את תת-המרחבים U ו-V היא בלתי תלויה ליניארית, כלומר היא מהווה בסיס של תת-המרחב המתאים. בואו נבנה מטריצה מהקואורדינטות של הוקטורים הללו, נסדר אותם בעמודות ונפריד בין מערכת אחת לשנייה באמצעות קו. הבה נצמצם את המטריצה המתקבלת לצורה שלבים.
~ 
~ 
~ 
.
הבסיס U + V נוצר על ידי הוקטורים , , שאליהם מתאימים האלמנטים המובילים במטריצת הצעד. לכן עמום (U + V) = 3. ואז
עמום (UÇV) = עמום U + עמום V – עמום (U + V) = 2 + 2 – 3 = 1.
החיתוך של תת-מרחבים יוצר קבוצה של וקטורים הממלאים את המשוואה (עומדים בצד שמאל וימין של משוואה זו). אנו משיגים את בסיס החיתוך באמצעות מערכת הפתרונות הבסיסית של מערכת המשוואות הלינאריות המקבילות למשוואה וקטורית זו. המטריצה של מערכת זו כבר הצטמצמה לצורה שלבים. על סמך זה, אנו מסיקים ש-y 2 הוא משתנה חופשי, וקבענו y 2 = c. ואז 0 = y 1 – y 2, y 1 = c,. וההצטלבות של תת-מרחבים יוצרת קבוצה של וקטורים של הצורה 
= c (3, 6, 3, 4). כתוצאה מכך, הבסיס UÇV יוצר את הווקטור (3, 6, 3, 4).
הערות. 1. אם נמשיך לפתור את המערכת, למצוא את ערכי המשתנים x, נקבל x 2 = c, x 1 = c, ובצד שמאל של המשוואה הווקטורית נקבל וקטור השווה לזה שהתקבל לעיל .
2. באמצעות השיטה המצוינת, ניתן לקבל את הבסיס של הסכום ללא קשר לשאלה אם מערכות היווצרות של וקטורים אינן תלויות ליניארית. אבל בסיס החיתוך יתקבל בצורה נכונה רק אם לפחות המערכת המייצרת את תת המרחב השני תהיה עצמאית ליניארית.
3. אם נקבע שממד הצומת הוא 0, אזי לצומת אין בסיס ואין צורך לחפש אותו.
תרגיל 6.2. מצא את הבסיס והממד של הסכום והחתך של תת-מרחבים המתפרשים על ידי מערכות הוקטורים הבאות:
א) 
ב) 
מרחב אוקלידי
מרחב אוקלידי הוא מרחב ליניארי מעל שדה ר, שבו מוגדר כפל סקלרי המקצה לכל זוג וקטורים , סקלר , ומתקיימים התנאים הבאים:
2) (a + b) = a() + b();
3) ¹Þ > 0.
התוצר הסקלרי הסטנדרטי מחושב באמצעות הנוסחאות
(a 1 , … , a n) (b 1 , … , b n) = a 1 b 1 + … + a n b n.
וקטורים ונקראים אורתוגונליים, נכתבים ^ אם המכפלה הסקלרית שלהם שווה ל-0.
מערכת וקטורים נקראת אורתוגונלית אם הוקטורים בה אורתוגונליים בזוגיות.
מערכת אורתוגונלית של וקטורים היא בלתי תלויה ליניארית.
תהליך האורתוגונליזציה של מערכת וקטורים , ... , מורכב מהמעבר למערכת אורתוגונלית שווה ערך , ... , המתבצע לפי הנוסחאות:
, כאשר , k = 2, … , n.
דוגמה 7.1. אורתוגונליזציה של מערכת וקטורים
= (1, 2, 2, 1), = (3, 2, 1, 1), = (4, 1, 3, -2).
פתרון. יש לנו = = (1, 2, 2, 1);
, = 
= = 1;
= (3, 2, 1, 1) – (1, 2, 2, 1) = (2, 0, -1, 0).
, = 
= =1;
= 
=1;
= (4, 1, 3, -2) – (1, 2, 2, 1) – (2, 0, -1, 0) = (1, -1, 2, -3).
תרגיל 7.1. אורתוגונליזציה של מערכות וקטוריות:
א) = (1, 1, 0, 2), = (3, 1, 1, 1), = (-1, -3, 1, -1);
ב) = (1, 2, 1, 1), = (3, 4, 1, 1), = (0, 3, 2, -1).
דוגמה 7.2. מערכת שלמה של וקטורים = (1, -1, 1, -1),
= (1, 1, -1, -1), לבסיס האורתוגונלי של החלל.
פתרון: המערכת המקורית היא אורתוגונלית, כך שהבעיה הגיונית. מכיוון שהווקטורים ניתנים במרחב ארבע ממדי, עלינו למצוא שני וקטורים נוספים. הווקטור השלישי = (x 1, x 2, x 3, x 4) נקבע מהתנאים = 0, = 0. תנאים אלו נותנים מערכת משוואות, שהמטריקס שלה נוצר מקווי הקואורדינטות של הוקטורים ו . אנחנו פותרים את המערכת:
~ 
~ 
.
ניתן לתת למשתנים החופשיים x 3 ו- x 4 כל סט של ערכים מלבד אפס. אנו מניחים, למשל, x 3 = 0, x 4 = 1. ואז x 2 = 0, x 1 = 1, ו-= (1, 0, 0, 1).
באופן דומה, אנו מוצאים = (y 1, y 2, y 3, y 4). לשם כך, נוסיף קו קואורדינטות חדש למטריצה השלבית שהתקבלה לעיל ונפחית אותה לצורה שלבית:
~ 
~ 
.
עבור המשתנה החופשי y 3 אנו קובעים y 3 = 1. ואז y 4 = 0, y 2 = 1, y 1 = 0, ו- = (0, 1, 1, 0).
הנורמה של וקטור במרחב האוקלידי היא מספר ממשי לא שלילי.
וקטור נקרא מנורמל אם הנורמה שלו היא 1.
כדי לנרמל וקטור, יש לחלק אותו בנורמה שלו.
מערכת אורתוגונלית של וקטורים מנורמלים נקראת אורתונורמלית.
תרגיל 7.2. השלם את מערכת הוקטורים לבסיס אורתונורמלי של המרחב:
א) = (1/2, 1/2, 1/2, 1/2), = (-1/2, 1/2, -1/2, 1/2);
ב) = (1/3, -2/3, 2/3).
מיפויים לינאריים
תן U ו-V להיות רווחים ליניאריים מעל השדה F. מיפוי f: U ® V נקרא ליניארי אם ו.
דוגמה 8.1. האם טרנספורמציות של חלל תלת מימדי ליניאריות:
א) f(x 1, x 2, x 3) = (2x 1, x 1 – x 3, 0);
ב) f(x 1, x 2, x 3) = (1, x 1 + x 2, x 3).
פִּתָרוֹן.
א) יש לנו f((x 1, x 2, x 3) + (y 1, y 2, y 3)) = f(x 1 + y 1, x 2 + y 2, x 3 + y 3) =
= (2(x 1 + y 1), (x 1 + y 1) – (x 3 + y 3), 0) = (2x 1, x 1 – x 3, 0) + (2y 1, y 1 - y 3 , 0) =
F((x 1, x 2, x 3) + f(y 1, y 2, y 3));
f(l(x 1, x 2, x 3)) = f(lx 1, lx 2, lx 3) = (2lx 1, lx 1 – lx 3, 0) = l(2x 1, x 1 – x 3 , 0) =
L f(x 1, x 2, x 3).
לכן, השינוי הוא ליניארי.
ב) יש לנו f((x 1, x 2, x 3) + (y 1, y 2, y 3)) = f(x 1 + y 1, x 2 + y 2, x 3 + y 3) =
= (1, (x 1 + y 1) + (x 2 + y 2), x 3 + y 3);
f((x 1, x 2, x 3) + f(y 1, y 2, y 3)) = (1, x 1 + x 2, x 3) + (1, y 1 + y 2, y 3 ) =
= (2, (x 1 + y 1) + (x 2 + y 2), x 3 + y 3) ¹ f((x 1, x 2, x 3) + (y 1, y 2, y 3) ).
לכן, השינוי אינו ליניארי.
התמונה של מיפוי ליניארי f: U ® V היא קבוצת התמונות של וקטורים מ-U, כלומר
Im (f) = (f() ï О U). + … + a m1
תרגיל 8.1. מצא את הדרגה, הפגם, הבסיסים של התמונה והגרעין של המיפוי הליניארי f שניתן על ידי המטריצה:
א) A = ; ב) א = ; ג) א = 
.
לפי ההגדרה של מרחב ליניארי, כך ש אהיה תת-מרחב שיש צורך לבדוק בו את ההיתכנות אפעולות:
1) : 
;
2) 
: 
;
ולבדוק שהפעולות בפנים אכפופים לשמונה אקסיומות. עם זאת, האחרון יהיה מיותר (בשל העובדה שאקסיומות אלו מתקיימות ב-L), כלומר. הדברים הבאים נכון
מִשׁפָּט.תן L להיות רווח ליניארי מעל שדה P ו 
. קבוצה A היא תת-מרחב של L אם ורק אם מתקיימים הדרישות הבאות:
הַצהָרָה.אם ל – נ-מרחב ליניארי ממדי ו אתת המרחב שלו, אם כן אהוא גם מרחב ליניארי סופי ממדי והממד שלו אינו חורג נ.
פ 
דוגמה 1.
האם תת-מרחב של מרחב וקטורי המקטע V 2 הוא קבוצת ה-S של כל הוקטורים המישוריים, שכל אחד מהם נמצא על אחד מצירי הקואורדינטות 0x או 0y?
פִּתָרוֹן: לתת 
, 
ו 
, 
. לאחר מכן 
. לכן S אינו תת-מרחב 
.
דוגמה 2.האם תת מרחב ליניארי של מרחב ליניארי V 2 יש הרבה וקטורים של מקטע מישור סכל הוקטורים המישוריים שתחילתם וסופם נמצאים על קו נתון להמטוס הזה?
פִּתָרוֹן.
ה 
וקטור sli 
להכפיל במספר ממשי ק, אז נקבל את הווקטור 
, גם שייך לש.אם 
ו 
הם שני וקטורים מ-S, אם כן 
(לפי כלל הוספת וקטורים על קו ישר). לכן S הוא תת מרחב 
.
דוגמה 3.האם תת מרחב ליניארי של מרחב ליניארי V 2 חבורה של אכל הוקטורים המישוריים שקצוותיהם נמצאים על קו נתון ל, (נניח שהמקור של וקטור כלשהו עולה בקנה אחד עם מקור הקואורדינטות)?
ר 
הַחְלָטָה.
במקרה שבו הקו הישר להסט לא עובר דרך המקור אתת-מרחב ליניארי של החלל V 2
אינו, כי 
.
במקרה שבו הקו הישר ל
עובר דרך המוצא, סט אהוא תת-מרחב ליניארי של המרחב V 2
,
כי 
וכאשר מכפילים וקטור כלשהו 
למספר ממשי α
מהשטח ראנחנו מקבלים 
. לפיכך, דרישות המרחב הליניארי עבור סט אהושלם.
דוגמה 4.תן מערכת של וקטורים 
ממרחב ליניארי למעל השדה פ. הוכח כי קבוצת כל השילובים הליניאריים האפשריים 
עם סיכויים 
מ פהוא תת-מרחב ל(זהו תת-מרחב אנקרא תת המרחב שנוצר על ידי מערכת של וקטורים או מעטפת ליניארית מערכת וקטורית זו, ומסומן כדלקמן: 
אוֹ 
).
פִּתָרוֹן. ואכן, מאז , אז עבור כל אלמנטים איקס,
y
איש לנו: 
, 
, איפה 
, 
. לאחר מכן
מאז 
, בגלל זה 
.
הבה נבדוק האם התנאי השני של המשפט מתקיים. אם איקס– כל וקטור מ או ט– כל מספר מ פ, זה . בגלל ה 
ו 
,, זה 
, , בגלל זה 
. לפיכך, לפי המשפט, הסט א– תת מרחב של מרחב ליניארי ל.
עבור חללים ליניאריים סופיים ממדים ההיפך הוא גם נכון.
מִשׁפָּט.כל תת מרחב אמרחב ליניארי למעל השדה 
הוא הטווח הליניארי של מערכת וקטורים כלשהי.
כאשר פותרים את הבעיה של מציאת הבסיס והממד של מעטפת ליניארית, נעשה שימוש במשפט הבא.
מִשׁפָּט.בסיס מעטפת ליניארי 
עולה בקנה אחד עם הבסיס של המערכת הווקטורית. מימד הקליפה הליניארית עולה בקנה אחד עם דרגת מערכת הוקטורים.
דוגמה 4.מצא את הבסיס והממד של תת המרחב 
מרחב ליניארי ר 3
[
איקס]
, אם 
, 
, 
, 
.
פִּתָרוֹן. ידוע שלווקטורים ולשורות הקואורדינטות שלהם (עמודות) אותן תכונות (ביחס לתלות לינארית). יצירת מטריצה א=
מעמודות קואורדינטות של וקטורים 
בבסיס 
.
בוא נמצא את דרגת המטריצה א.
. M 3
=
. 
.
לכן, הדרגה ר(א)=
3. אז, הדרגה של מערכת הוקטורים היא 3. זה אומר שהמימד של תת המרחב S הוא 3, והבסיס שלו מורכב משלושה וקטורים 
(מאז בקטנה בסיסית 
הקואורדינטות של הוקטורים הללו בלבד כלולות).
דוגמה 5.הוכח שהסט חוקטורי מרחב אריתמטיים 
, שהקואורדינטות הראשונות והאחרונות שלו הן 0, מהווה תת-מרחב ליניארי. מצא את הבסיס והמימד שלו.
פִּתָרוֹן. לתת 
.
ואז , ו . לָכֵן, 
לכל . אם 
, 
, זה . לפיכך, לפי משפט תת המרחב הליניארי, הסט חהוא תת-מרחב ליניארי של המרחב. בואו נמצא את הבסיס ח. שקול את הוקטורים הבאים מ ח: 
, 
, . מערכת וקטורים זו היא בלתי תלויה ליניארית. אכן, תן לזה להיות.
1. תן מרחב משנה ל = ל(א 1 , א 2 , …, ומ) , זה ל- מעטפת ליניארית של המערכת א 1 , א 2 , …, ומ; וקטורים א 1 , א 2 , …, ומ– מערכת המחוללים של תת-מרחב זה. ואז הבסיס להוא הבסיס למערכת הוקטורים א 1 , א 2 , …, ומ, כלומר, הבסיס של מערכת הגנרטורים. מֵמַד לשווה לדרגת מערכת המחוללים.
2. תן מרחב משנה להוא הסכום של תת-מרחבים ל 1 ו ל 2. מערכת של יצירת תת מרחבים עבור סכום יכולה להתקבל על ידי שילוב מערכות של יצירת תת מרחבים, ולאחר מכן נמצא בסיס הסכום. מימד הסכום נקבע על ידי הנוסחה הבאה:
עָמוּם(ל 1 + ל 2) = עמוםL 1 + עמוםL 2 – עָמוּם(ל 1 Ç ל 2).
3. תן את סכום המשנה ל 1 ו ל 2 זה ישר, כלומר ל = ל 1 Å ל 2. איפה ל 1 Ç ל 2 = {O) ו עָמוּם(ל 1 Ç ל 2) = 0. בסיס הסכום הישיר שווה לאיחוד הבסיסים של האיברים. המימד של סכום ישיר שווה לסכום ממדי המונחים.
4. הבה ניתן דוגמה חשובה של תת-מרחב וסעפת לינארית.
שקול מערכת הומוגנית Mמשוואות ליניאריות עם נלא ידוע. פתרונות רבים M 0 של מערכת זו היא תת-קבוצה של הסט Rnוהוא סגור בחיבור של וקטורים וכפל במספר ממשי. זה אומר שיש הרבה M 0 - תת מרחב של מרחב Rn. הבסיס של תת המרחב הוא קבוצת הפתרונות הבסיסית של מערכת הומוגנית; מימד תת המרחב שווה למספר הוקטורים בקבוצת הפתרונות הבסיסית של המערכת.
חבורה של Mפתרונות מערכת נפוצים Mמשוואות ליניאריות עם נלא ידועים היא גם תת-קבוצה של הסט Rnושווה לסכום הסט M 0 ווקטור א, איפה אהוא פתרון מסוים של המערכת המקורית ושל הסט M 0 - קבוצת פתרונות למערכת הומוגנית של משוואות ליניאריות הנלוות למערכת זו (היא שונה מהמקורית רק במונחים חופשיים),
M = א + M 0 = {א = M, M Î M 0 }.
זה אומר שרבים Mהוא סעפת ליניארית של חלל Rnעם וקטור היסט אוכיוון M 0 .
דוגמה 8.6.מצא את הבסיס והממד של תת המרחב המוגדר על ידי מערכת הומוגנית של משוואות לינאריות:
פִּתָרוֹן. הבה נמצא פתרון כללי למערכת זו ולמערכת הפתרונות הבסיסית שלה: 
עם 1 = (–21, 12, 1, 0, 0), עם 2 = (12, –8, 0, 1, 0), עם 3 = (11, –8, 0, 0, 1).
הבסיס של תת המרחב נוצר על ידי וקטורים עם 1 , עם 2 , עם 3, הממד שלו הוא שלוש.
סוף העבודה -
נושא זה שייך למדור:
אלגברה ליניארית
אוניברסיטת קוסטרומה על שם נ. נקרסוב..
אם אתה צריך חומר נוסף בנושא זה, או שלא מצאת את מה שחיפשת, אנו ממליצים להשתמש בחיפוש במאגר העבודות שלנו:
מה נעשה עם החומר שהתקבל:
אם החומר הזה היה שימושי עבורך, תוכל לשמור אותו בדף שלך ברשתות חברתיות:
| צִיוּץ |
כל הנושאים בסעיף זה:
BBK 22.174ya73-5
M350 פורסם על פי החלטת מועצת העריכה וההוצאה לאור של KSU על שם. N. A. Nekrasova סוקר A. V. Cherednikov
BBK 22.174ya73-5
ã T. N. Matytsina, E. K. Korzhevina 2013 ã KSU על שם. N.A. Nekrasova, 2013
איחוד (או סכום)
הגדרה 1.9. האיחוד של קבוצות A ו-B הוא קבוצה A È B, המורכבת מאלו ורק מאותם אלמנטים השייכים למרות
צומת (או מוצר)
הגדרה 1.10. ההצטלבות של קבוצות A ו-B היא קבוצה A Ç B, המורכבת מאלה ורק מאותם אלמנטים השייכים לאותו
הֶבדֵל
הגדרה 1.11.ההבדל בין קבוצות A ו-B הוא קבוצה A B, המורכבת מאלו ורק אותם אלמנטים השייכים לקבוצה A
מוצר קרטזיאני (או מוצר ישיר)
הגדרה 1.14. זוג מסודר (או זוג) (א, ב) הוא שני אלמנטים a, b שנלקחו בסדר מסוים. זוגות (a1
מאפיינים של פעולות סט
המאפיינים של פעולות האיחוד, ההצטלבות וההשלמה נקראים לפעמים חוקי אלגברת הקבוצות. הבה נפרט את המאפיינים העיקריים של פעולות על סטים. תן קבוצה אוניברסלי U
שיטת אינדוקציה מתמטית
שיטת האינדוקציה המתמטית משמשת להוכחת היגדים שבניסוחם מעורב הפרמטר הטבעי n. שיטת אינדוקציה מתמטית - שיטת הוכחת מתמטיקה
מספרים מסובכים
מושג המספר הוא אחד ההישגים העיקריים של התרבות האנושית. ראשית, הופיעו המספרים הטבעיים N = (1, 2, 3, …, n, …), ואז מספרים שלמים Z = (…, –2, –1, 0, 1, 2, …), Q רציונלי
פרשנות גיאומטרית של מספרים מרוכבים
ידוע שמספרים שליליים הוכנסו בקשר לפתרון משוואות ליניאריות במשתנה אחד. במשימות ספציפיות, תשובה שלילית התפרשה כערך הכמות הכיוונית (
צורה טריגונומטרית של מספר מרוכב
ניתן לציין וקטור לא רק לפי קואורדינטות במערכת קואורדינטות מלבנית, אלא גם לפי אורך ו
פעולות על מספרים מרוכבים בצורה טריגונומטרית
נוח יותר לבצע חיבור וחיסור עם מספרים מרוכבים בצורה אלגברית, וכפל וחילוק בצורה טריגונומטרית. 1. הכפלות תנו שתי k
אקספוננציה
אם z = r(cosj + i×sinj), אז zn = rn(cos(nj) + i×sin(nj)), כאשר n Î
צורה אקספוננציאלית של מספר מרוכב
מניתוח מתמטי ידוע כי e = , e הוא מספר אי רציונלי. אייל
מושג מערכת יחסים
הגדרה 2.1. קשר n-ארי (או n-ארי) P בקבוצות A1, A2, …, An הוא כל תת-קבוצה
מאפיינים של יחסים בינארים
תנו ליחס בינארי P להיות מוגדר על קבוצה לא ריקה A, כלומר P Í A2. הגדרה 2.9 יחס בינארי P על קבוצה
יחס שקילות
הגדרה 2.15. יחס בינארי על קבוצה A נקרא יחס שקילות אם הוא רפלקסיבי, סימטרי וטרנזיטיבי. יחס שווה ערך
פונקציות
הגדרה 2.20. קשר בינארי ƒ Í A ´ B נקרא פונקציה מקבוצה A לקבוצה B אם עבור כל x
מושגים כלליים
הגדרה 3.1. מטריצה היא טבלה מלבנית של מספרים המכילה m שורות ו-n עמודות. המספרים m ו-n נקראים הסדר (או
הוספת מטריצות מאותו סוג
ניתן להוסיף רק מטריצות מאותו סוג. הגדרה 3.12. סכום שתי מטריצות A = (aij) ו-B = (bij), כאשר i = 1,
תכונות של הוספת מטריצה
1) קומוטטיביות: "A, B: A + B = B + A; 2) אסוציאטיביות: "A, B, C: (A + B) + C = A
הכפלת מטריצה במספר
הגדרה 3.13. המכפלה של מטריצה A = (aij) במספר ממשי k היא מטריצה C = (сij), שעבורה
תכונות הכפלת מטריצה במספר
1) " A: 1×A = A; 2) " α, β О R, " A: (αβ)×A = α×(β×A) = β×
כפל מטריצה
הבה נגדיר את הכפל של שתי מטריצות; לשם כך, יש צורך להציג כמה מושגים נוספים. הגדרה 3.14. מטריצות A ו-B נקראות עקביות
מאפייני הכפל המטריצה
1) כפל מטריצה אינו קומוטטיבי: A×B ≠ B×A. ניתן להדגים תכונה זו באמצעות דוגמאות. דוגמה 3.6. א)
טרנספוזיציה של מטריצות
הגדרה 3.16. המטריצה At המתקבלת ממטריצה נתונה על ידי החלפת כל אחת מהשורות שלה בעמודה בעלת אותו מספר נקראת טרנספוזיציה למטריצה הנתונה A
דטרמיננטים של מטריצות מסדר שני ושלישי
כל מטריצה מרובעת A מסדר n קשורה למספר, הנקרא הקובע של מטריצה זו. ייעוד: D, |A|, det A,
הגדרה 4.6.
1. עבור n = 1, מטריצה A מורכבת ממספר אחד: |A| = a11. 2. יש לדעת את הקובע של מטריצה בסדר (n – 1). 3. הגדירו
מאפיינים של דטרמיננטים
על מנת לחשב דטרמיננטים של סדרים גדולים מ-3 משתמשים במאפיינים של דטרמיננטים ובמשפט לפלס. משפט 4.1 (לפלאס). דטרמיננטה של מטריצה מרובעת
חישוב מעשי של דטרמיננטים
אחת הדרכים לחשב קובעים מסדר מעל שלוש היא להרחיב אותו על פני עמודה או שורה כלשהי. דוגמה 4.4 חשב את הקובע D =
הרעיון של דירוג מטריצה
תן A להיות מטריצה של ממד m ´ n. הבה נבחר באופן שרירותי k שורות ו-k עמודות במטריצה זו, כאשר 1 ≤ k ≤ min(m, n).
מציאת דרגת מטריצה בשיטת הגבול עם קטינים
אחת השיטות למציאת דרגת מטריצה היא שיטת ספירת הקטינים. שיטה זו מבוססת על קביעת דרגת המטריצה. מהות השיטה היא כדלקמן. אם יש לפחות אלמנט אחד ma
מציאת הדרגה של מטריצה באמצעות טרנספורמציות יסודיות
הבה נשקול דרך נוספת למצוא את הדרגה של מטריצה. הגדרה 5.4. התמרות הבאות נקראות טרנספורמציות יסודיות של מטריצה: 1. הכפל
הרעיון של מטריצה הפוכה ושיטות למציאתה
תינתן מטריצה מרובעת A. הגדרה 5.7. מטריצה A–1 נקראת היפוך של מטריצה A אם A×A–1
אלגוריתם למציאת המטריצה ההפוכה
הבה נבחן את אחת הדרכים למצוא את המטריצה ההפוכה של נתון באמצעות תוספות אלגבריות. ניתן לתת מטריצה מרובעת A. 1. מצא את הקובע של המטריצה |A|. אירופה
מציאת המטריצה ההפוכה באמצעות טרנספורמציות יסודיות
הבה נשקול דרך נוספת למצוא את המטריצה ההפוכה באמצעות טרנספורמציות יסודיות. הבה ננסח את המושגים והמשפטים הדרושים. הגדרה 5.11 מטריקס לפי שם
שיטת קריימר
הבה ניקח בחשבון מערכת של משוואות ליניאריות שבה מספר המשוואות שווה למספר הלא ידועים, כלומר, m = n ולמערכת יש את הצורה:
שיטת מטריצה הפוכה
שיטת המטריצה ההפוכה חלה על מערכות של משוואות לינאריות שבהן מספר המשוואות שווה למספר הלא ידועים והקביעה של המטריצה הראשית לא שווה לאפס. צורת מטריצה של סימון מערכת
שיטת גאוס
כדי לתאר שיטה זו, המתאימה לפתרון מערכות שרירותיות של משוואות ליניאריות, יש צורך בכמה מושגים חדשים. הגדרה 6.7. משוואה של הצורה 0×
תיאור שיטת גאוס
שיטת גאוס - שיטה לחיסול רציף של לא ידועים - מורכבת מכך שבעזרת טרנספורמציות אלמנטריות, המערכת המקורית מצטמצמת למערכת מקבילה של צעד או t.
לימוד מערכת משוואות ליניאריות
ללמוד מערכת של משוואות ליניאריות פירושו, מבלי לפתור את המערכת, לענות על השאלה: האם המערכת עקבית או לא, ואם היא עקבית, כמה פתרונות יש לה? השב על זה ב
מערכות הומוגניות של משוואות ליניאריות
הגדרה 6.11 מערכת של משוואות ליניאריות נקראת הומוגנית אם האיברים החופשיים שלה שווים לאפס. מערכת הומוגנית של m משוואות לינאריות
תכונות של פתרונות למערכת הומוגנית של משוואות ליניאריות
1. אם וקטור a = (a1, a2, …, an) הוא פתרון למערכת הומוגנית, אז וקטור k×a = (k×a1, k&t
קבוצה בסיסית של פתרונות למערכת הומוגנית של משוואות ליניאריות
תן M0 להיות קבוצת הפתרונות למערכת ההומוגנית (4) של משוואות לינאריות. הגדרה 6.12. וקטורים c1, c2, ..., c
תלות לינארית ואי תלות של מערכת וקטורים
תנו ל-a1, a2, …, аm להיות קבוצה של m וקטורים n-ממדיים, אשר מכונה בדרך כלל מערכת של וקטורים, ו-k1
תכונות של תלות לינארית של מערכת וקטורים
1) מערכת הוקטורים המכילה את וקטור האפס תלויה ליניארית. 2) מערכת וקטורים תלויה לינארית אם אחת מתת המערכות שלה תלויה לינארית. תוֹצָאָה. אם סי
מערכת וקטור יחידה
הגדרה 7.13. מערכת של וקטורים יחידה במרחב Rn היא מערכת של וקטורים e1, e2, …, en
שני משפטים על תלות לינארית
משפט 7.1. אם מערכת גדולה יותר של וקטורים באה לידי ביטוי לינארית דרך מערכת קטנה יותר, אז המערכת הגדולה יותר תלויה לינארית. הבה ננסח את המשפט הזה ביתר פירוט: תן a1
בסיס ודירוג המערכת הווקטורית
תן S להיות מערכת של וקטורים במרחב Rn; זה יכול להיות סופי או אינסופי. S" היא תת-מערכת של המערכת S, S" Ì S. בואו ניתן שניים
דירוג מערכת וקטור
הבה ניתן שתי הגדרות שוות לדרגת מערכת וקטורים. הגדרה 7.16. הדרגה של מערכת וקטורים היא מספר הוקטורים בכל בסיס של מערכת זו.
קביעה מעשית של הדרגה והבסיס של מערכת וקטורים
ממערכת זו של וקטורים אנו מרכיבים מטריצה, ומסדרים את הוקטורים כשורות של מטריצה זו. אנו מצמצמים את המטריצה לצורת דרג באמצעות טרנספורמציות יסודיות על פני השורות של המטריצה הזו. בְּ
הגדרה של מרחב וקטור מעל שדה שרירותי
תן ל-P להיות שדה שרירותי. דוגמאות לשדות המוכרים לנו הם תחום המספרים הרציונליים, הממשיים והמרוכבים. הגדרה 8.1. הסט V נקרא פנימה
המאפיינים הפשוטים ביותר של מרחבים וקטוריים
1) o – וקטור אפס (אלמנט), מוגדר באופן ייחודי במרחב וקטור שרירותי מעל השדה. 2) לכל וקטור a О V יש ייחודי
תת רווחים. סעפות ליניאריות
תן ל-V להיות מרחב וקטורי, L М V (L הוא תת-קבוצה של V). הגדרה 8.2. תת-קבוצה L של וקטור פרו
חיתוך וסכום תת-מרחבים
תנו ל-V להיות מרחב וקטורי מעל השדה P, L1 ו-L2 תת המרחבים שלו. הגדרה 8.3. על ידי חציית המשנה
סעפות ליניאריות
תן V להיות מרחב וקטורי, L תת מרחב, a וקטור שרירותי מהמרחב V. הגדרה 8.6. סעפת לינארית
מרחבים וקטוריים סופיים ממדים
הגדרה 8.7. מרחב וקטור V נקרא n-ממדי אם הוא מכיל מערכת וקטורים עצמאית ליניארית המורכבת מ-n וקטורים, ועבור
בסיס של מרחב וקטורי סופי ממדי
V הוא מרחב וקטור סופי ממדי מעל השדה P, S היא מערכת של וקטורים (סופיים או אינסופיים). הגדרה 8.10. הבסיס של המערכת S
קואורדינטות וקטוריות ביחס לבסיס נתון
קחו בחשבון מרחב וקטור סופי ממדי V של ממד n, הוקטורים e1, e2, …, en מהווים את הבסיס שלו. תן להיות מוצר
קואורדינטות וקטוריות בבסיסים שונים
תנו ל-V להיות מרחב וקטורי n-ממדי שבו נתונים שני בסיסים: e1, e2, …, en – בסיס ישן, e"1, e
מרחבי וקטור אוקלידיים
נתון מרחב וקטור V על פני שדה המספרים הממשיים. מרחב זה יכול להיות מרחב וקטור סופי ממדי של מימד n או אינסופי ממדי
נקדו את המוצר בקואורדינטות
במרחב הווקטור האוקלידי V של הממד n, ניתן הבסיס e1, e2, …, en. הוקטורים x ו-y מפורקים לוקטורים
מושגים מטריים
במרחבים וקטוריים אוקלידיים, מהמוצר הסקלרי שהוצג נוכל לעבור למושגים של נורמה וקטורית וזווית בין וקטורים. הגדרה 8.16. נורמה (
מאפייני הנורמה
1) ||a|| = 0 Û a = o. 2) ||לה|| = |l|×||a||, כי ||la|| =
בסיס אורתונורמלי של מרחב וקטור אוקלידי
הגדרה 8.21. בסיס של מרחב וקטור אוקלידי נקרא אורתוגונלי אם וקטורי הבסיס הם אורתוגונליים בזוגיות, כלומר, אם a1, a
תהליך אורתוגונליזציה
משפט 8.12. בכל מרחב אוקלידי נ-ממדי יש בסיס אורתונורמלי. הוכחה. תן a1, a2
נקודה מוצר על בסיס אורתונורמלי
בהינתן בסיס אורתונורמלי e1, e2, …, en של המרחב האוקלידי V. שכן (ei, ej) = 0 עבור i
השלמה אורתוגונלית של תת-מרחב
V הוא מרחב וקטור אוקלידי, L הוא תת המרחב שלו. הגדרה 8.23. וקטור a אמור להיות אורתוגונלי לתת המרחב L אם הווקטור
קשר בין הקואורדינטות של וקטור לבין הקואורדינטות של התמונה שלו
אופרטור ליניארי j ניתן במרחב V, והמטריצה שלו M(j) נמצאת בבסיס כלשהו e1, e2, …, en. תן לזה להיות הבסיס
מטריצות דומות
הבה נבחן את קבוצת Рn´n של מטריצות מרובעות בסדר n עם אלמנטים משדה שרירותי P. בקבוצה זו אנו מציגים את היחס
מאפיינים של יחסי דמיון מטריצה
1. רפלקסיביות. כל מטריצה דומה לעצמה, כלומר A ~ A. 2. סימטריה. אם מטריצה A דומה ל-B, אז B דומה ל-A, כלומר.
מאפיינים של וקטורים עצמיים
1. כל וקטור עצמי שייך לערך עצמי אחד בלבד. הוכחה. תן x להיות וקטור עצמי עם שני ערכים עצמיים
פולינום אופייני של מטריצה
נתון מטריצה A О Рn´n (או A О Rn´n). לְהַגדִיר
תנאים שבהם מטריצה דומה למטריצה אלכסונית
תן A להיות מטריצה מרובעת. אנו יכולים להניח שזו מטריצה של אופרטור ליניארי כלשהו המוגדר בבסיס כלשהו. ידוע שבבסיס אחר המטריצה של האופרטור הליניארי
ירדן צורה רגילה
הגדרה 10.5. תא ירדן בסדר k הקשור למספר l0 הוא מטריצה בסדר k, 1 ≤ k ≤ n,
הקטנת מטריצה לצורה ירדנית (רגילה).
משפט 10.3. הצורה הנורמלית של ירדן נקבעת באופן ייחודי עבור מטריצה עד לסדר הסדר של תאי ירדן באלכסון הראשי. וכו
צורות ביליניאריות
הגדרה 11.1. צורה ביליניארית היא פונקציה (מפה) f: V ´ V ® R (או C), כאשר V הוא וקטור שרירותי
מאפיינים של צורות ביליניאריות
כל צורה ביליניארית יכולה להיות מיוצגת כסכום של צורות סימטריות וסימטריות מוטות. עם הבסיס שנבחר e1, e2, …, en בווקטור
טרנספורמציה של מטריצה של צורה בילינארית בעת מעבר לבסיס חדש. דירוג הצורה הבילינארית
תנו לשני בסיסים e = (e1, e2, …, en) ו-f = (f1, f2,
צורות ריבועיות
תן ל-A(x, y) להיות צורה ביליניארית סימטרית המוגדרת במרחב הווקטור V. הגדרה 11.6. צורה ריבועית
צמצום צורה ריבועית לצורה קנונית
בהינתן הצורה הריבועית (2) A(x, x) = , כאשר x = (x1
חוק האינרציה של צורות ריבועיות
נקבע כי מספר המקדמים הקנוניים שאינם אפס של צורה ריבועית שווה לדרגתה ואינו תלוי בבחירה של טרנספורמציה לא מנוונת בעזרתה הצורה A(x)
תנאי הכרחי ומספיק לסימן של צורה ריבועית
הצהרה 11.1. על מנת שהצורה הריבועית A(x, x), המוגדרת במרחב הווקטור ה-N-ממדי V, תהיה מוגדרת בסימן, יש צורך
תנאי הכרחי ומספיק לצורה ריבועית כמעט מתחלפת
הצהרה 11.3. על מנת שהצורה הריבועית A(x, x), המוגדרת במרחב הווקטור ה-N-ממדי V, תהיה מעין-סימן-לסירוגין (כלומר,
קריטריון סילבסטר עבור הסימן המובהק של צורה ריבועית
תן לצורה A(x, x) בבסיס e = (e1, e2, …, en) להיקבע על ידי המטריצה A(e) = (aij)
סיכום
אלגברה לינארית היא חלק חובה בכל תוכנית מתמטיקה גבוהה יותר. כל סעיף אחר מניח את נוכחותם של ידע, מיומנויות ויכולות שפותחו במהלך ההוראה של דיסציפלינה זו
בִּיבּלִיוֹגְרָפִיָה
Burmistrova E.B., Lobanov S.G. אלגברה לינארית עם אלמנטים של גיאומטריה אנליטית. – M.: HSE Publishing House, 2007. Beklemishev D.V. קורס גיאומטריה אנליטית ואלגברה לינארית.
אלגברה ליניארית
מדריך חינוכי ומתודולוגי עורך ומגהה G. D. Neganova הקלדת מחשב מאת T. N. Matytsina, E. K. Korzhevina
