חקור פתרונות לדוגמה של פונקציות. פונקציית מחקר באינטרנט

אם הבעיה דורשת לימוד מלא של הפונקציה f (x) = x 2 4 x 2 - 1 עם בניית הגרף שלה, נשקול את העיקרון הזה בפירוט.

כדי לפתור בעיה מסוג זה, כדאי להשתמש במאפיינים ובגרפים של פונקציות בסיסיות. אלגוריתם המחקר כולל את השלבים הבאים:

Yandex.RTB R-A-339285-1

מציאת תחום ההגדרה

מכיוון שמתבצע מחקר על תחום ההגדרה של הפונקציה, יש צורך להתחיל בשלב זה.

דוגמה 1

הדוגמה הנתונה כוללת מציאת האפסים של המכנה על מנת להוציא אותם מה-ODZ.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

כתוצאה מכך, אתה יכול לקבל שורשים, לוגריתמים וכן הלאה. אז ניתן לחפש את ה-ODZ עבור שורש בדרגה זוגית מסוג g (x) 4 לפי אי השוויון g (x) ≥ 0, עבור הלוגריתם log a g (x) לפי אי השוויון g (x) > 0.

לימוד גבולות ה-ODZ ומציאת אסימפטוטות אנכיות

יש אסימפטוטות אנכיות בגבולות הפונקציה, כאשר הגבולות החד-צדדיים בנקודות כאלה הם אינסופיים.

דוגמה 2

לדוגמה, שקול את נקודות הגבול שוות ל-x = ± 1 2.

אז יש צורך ללמוד את הפונקציה כדי למצוא את הגבול החד-צדדי. אז נקבל את זה: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞

זה מראה שהגבולות החד-צדדיים הם אינסופיים, מה שאומר שהקווים הישרים x = ± 1 2 הם האסימפטוטים האנכיים של הגרף.

לימוד פונקציה והאם היא זוגית או אי-זוגית

כאשר התנאי y (- x) = y (x) מתקיים, הפונקציה נחשבת זוגית. זה מצביע על כך שהגרף ממוקם באופן סימטרי ביחס ל-Oy. כאשר התנאי y (- x) = - y (x) מתקיים, הפונקציה נחשבת אי זוגית. זה אומר שהסימטריה היא יחסית למקור הקואורדינטות. אם לפחות אי שוויון אחד אינו מסופק, נקבל פונקציה של צורה כללית.

השוויון y (- x) = y (x) מציין שהפונקציה זוגית. בעת הבנייה, יש צורך לקחת בחשבון שתהיה סימטריה ביחס ל-Oy.

כדי לפתור את אי השוויון, משתמשים במרווחים של עלייה וירידה עם התנאים f " (x) ≥ 0 ו-f " (x) ≤ 0, בהתאמה.

הגדרה 1

נקודות נייחות- אלו הנקודות שהופכות את הנגזרת לאפס.

נקודות קריטיות- אלו נקודות פנימיות מתחום ההגדרה שבהן הנגזרת של הפונקציה שווה לאפס או לא קיימת.

בעת קבלת החלטה, יש לקחת בחשבון את ההערות הבאות:

• עבור מרווחים קיימים של אי-שוויון גדל והולך בצורת f " (x) > 0, נקודות קריטיות אינן כלולות בפתרון;
• נקודות שבהן הפונקציה מוגדרת ללא נגזרת סופית חייבות להיכלל במרווחי הגדלת והירידה (לדוגמה, y = x 3, כאשר הנקודה x = 0 הופכת את הפונקציה להגדרה, לנגזרת יש ערך של אינסוף בשלב זה נקודה, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 נכלל במרווח הגובר);
• כדי למנוע חילוקי דעות, מומלץ להשתמש בספרות מתמטית המומלצת על ידי משרד החינוך.

הכללת נקודות קריטיות במרווחים של עלייה וירידה אם הן מספקות את תחום ההגדרה של הפונקציה.

הגדרה 2

ל קביעת המרווחים של עלייה וירידה של פונקציה, יש צורך למצוא:

• נגזר;
• נקודות קריטיות;
• לחלק את תחום ההגדרה למרווחים באמצעות נקודות קריטיות;
• קבע את הסימן של הנגזרת בכל אחד מהמרווחים, כאשר + הוא עלייה ו- הוא ירידה.

דוגמה 3

מצא את הנגזרת בתחום ההגדרה f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

פִּתָרוֹן

כדי לפתור אתה צריך:

• מצא נקודות נייחות, בדוגמה זו יש x = 0;
• מצא את האפסים של המכנה, הדוגמה לוקחת את הערך אפס ב-x = ± 1 2.

אנו מניחים נקודות על קו המספרים כדי לקבוע את הנגזרת בכל מרווח. כדי לעשות זאת, זה מספיק כדי לקחת כל נקודה מהמרווח ולבצע חישוב. אם התוצאה חיובית, אנו מתארים + על הגרף, כלומר הפונקציה גדלה, ו- אומר שהיא יורדת.

לדוגמה, f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, כלומר במרווח הראשון משמאל יש סימן +. חשבו על קו המספרים.

תשובה:

• הפונקציה גדלה במרווח - ∞; - 1 2 ו (- 1 2 ; 0 ];
• יש ירידה במרווח [0; 1 2) ו-1 2; + ∞ .

בתרשים, באמצעות + ו-, החיוביות והשליליות של הפונקציה מתוארות, והחצים מציינים ירידה ועלייה.

נקודות קיצון של פונקציה הן נקודות שבהן הפונקציה מוגדרת ודרכן הנגזרת משנה סימן.

דוגמה 4

אם ניקח בחשבון דוגמה שבה x = 0, אז הערך של הפונקציה בה שווה ל- f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0. כאשר הסימן של הנגזרת משתנה מ-+ ל- ועובר דרך הנקודה x = 0, אז הנקודה עם הקואורדינטות (0; 0) נחשבת לנקודה המקסימלית. כאשר הסימן משתנה מ- ל-+, נקבל נקודת מינימום.

קמורות וקעור נקבעות על ידי פתרון אי-שוויון בצורה f "" (x) ≥ 0 ו-f "" (x) ≤ 0. פחות נפוץ הוא השם קמור למטה במקום קיעור, וקמור כלפי מעלה במקום קמור.

הגדרה 3

ל קביעת מרווחי הקיעור והקמורותנחוץ:

• מצא את הנגזרת השנייה;
• מצא את האפסים של פונקציית הנגזרת השנייה;
• מחלקים את אזור ההגדרה למרווחים עם הנקודות המופיעות;
• לקבוע את הסימן של המרווח.

דוגמה 5

מצא את הנגזרת השנייה מתחום ההגדרה.

פִּתָרוֹן

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

נמצא את האפסים של המונה והמכנה, כאשר בדוגמה שלנו יש שהאפסים של המכנה x = ± 1 2

כעת עליך לשרטט את הנקודות על קו המספרים ולקבוע את הסימן של הנגזרת השנייה מכל מרווח. אנחנו מקבלים את זה

תשובה:

• הפונקציה קמורה מהמרווח - 1 2; 12 ;
• הפונקציה קעורה מהמרווחים - ∞; - 1 2 ו- 1 2; + ∞ .

הגדרה 4

נקודת פיתול– זוהי נקודה בצורה x 0 ; f (x 0) . כאשר יש לה משיק לגרף של הפונקציה, אז כאשר היא עוברת דרך x 0 הפונקציה משנה סימן להיפך.

במילים אחרות, זו נקודה שדרכה עוברת הנגזרת השנייה ומשנה סימן, ובנקודות עצמן היא שווה לאפס או לא קיימת. כל הנקודות נחשבות לתחום של הפונקציה.

בדוגמה, היה ברור שאין נקודות פיתול, שכן הנגזרת השנייה משנה סימן תוך כדי מעבר דרך הנקודות x = ± 1 2. הם, בתורם, אינם נכללים בגדר ההגדרה.

מציאת אסימפטוטות אופקיות ואלכסוניות

כשמגדירים פונקציה באינסוף, צריך לחפש אסימפטוטים אופקיים ואלכסוניים.

הגדרה 5

אסימפטוטות אלכסוניותמתוארים באמצעות קווים ישרים שניתנו על ידי המשוואה y = k x + b, כאשר k = lim x → ∞ f (x) x ו- b = lim x → ∞ f (x) - k x.

עבור k = 0 ו-b שאינם שווים לאינסוף, אנו מוצאים שהאסימפטוטה האלכסונית הופכת אופקי.

במילים אחרות, אסימפטוטות נחשבות לקווים שאליהם מתקרב הגרף של פונקציה באינסוף. זה מקל על בנייה מהירה של גרף פונקציות.

אם אין אסימפטוטות, אך הפונקציה מוגדרת בשני האינסוף, יש צורך לחשב את גבול הפונקציה באינסופים אלו על מנת להבין כיצד יתנהג הגרף של הפונקציה.

דוגמה 6

בואו ניקח את זה כדוגמה

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

הוא אסימפטוטה אופקית. לאחר בחינת הפונקציה, ניתן להתחיל לבנות אותה.

חישוב ערכה של פונקציה בנקודות ביניים

כדי להפוך את הגרף למדויק יותר, מומלץ למצוא מספר ערכי פונקציה בנקודות ביניים.

דוגמה 7

מהדוגמה שחשבנו, יש צורך למצוא את ערכי הפונקציה בנקודות x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4. מכיוון שהפונקציה זוגית, נקבל שהערכים עולים בקנה אחד עם הערכים בנקודות אלו, כלומר נקבל x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.

בואו נכתוב ונפתור:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0.08

כדי לקבוע את המקסימום והמינימום של הפונקציה, נקודות הפיתול ונקודות הביניים, יש צורך לבנות אסימפטוטות. לצורך ייעוד נוח, נרשמים מרווחים של עלייה, ירידה, קמור וקיעור. בואו נסתכל על התמונה למטה.

יש צורך לצייר קווי גרף דרך הנקודות המסומנות, שיאפשרו לך להתקרב לאסימפטוטות על ידי מעקב אחר החצים.

זה מסיים את החקירה המלאה של הפונקציה. ישנם מקרים של בניית כמה פונקציות אלמנטריות שעבורן נעשה שימוש בטרנספורמציות גיאומטריות.

אם אתה מבחין בשגיאה בטקסט, אנא סמן אותה והקש Ctrl+Enter

לימוד פונקציה מתבצע על פי סכמה ברורה ודורש מהתלמיד ידע מוצק במושגים מתמטיים בסיסיים כגון תחום ההגדרה והערכים, המשכיות הפונקציה, אסימפטוטה, נקודות קיצון, זוגיות, מחזוריות וכו'. . על התלמיד להיות מסוגל להבדיל בין פונקציות באופן חופשי ולפתור משוואות, שלעיתים עשויות להיות מורכבות מאוד.

כלומר, משימה זו בודקת רובד משמעותי של ידע, שכל פער בו יהפוך למכשול לקבלת הפתרון הנכון. לעתים קרובות במיוחד, מתעוררים קשיים בבניית גרפים של פונקציות. טעות זו בולטת מיד למורה ועלולה לפגוע מאוד בציון שלך, גם אם כל השאר בוצעו כהלכה. כאן תוכל למצוא בעיות מחקר פונקציות מקוונות: לימוד דוגמאות, הורדת פתרונות, הזמנת מטלות.

חקור פונקציה ושרטט גרף: דוגמאות ופתרונות מקוונים

הכנו עבורכם הרבה לימודי תפקוד מוכנים, גם בתשלום בספר הפתרונות וגם בחינם בסעיף דוגמאות ללימודי תפקוד. בהתבסס על משימות שנפתרו אלו, תוכל להכיר בפירוט את המתודולוגיה לביצוע משימות דומות, ולבצע את המחקר שלך באנלוגיה.

אנו מציעים דוגמאות מוכנות של מחקר מלא ושרטוט פונקציות מהסוגים הנפוצים ביותר: פולינומים, פונקציות שבריות-רציונליות, אי-רציונליות, מעריכיות, לוגריתמיות, פונקציות טריגונומטריות. כל בעיה שנפתרה מלווה בגרף מוכן עם נקודות מפתח מודגשות, אסימפטוטים, מקסימום ומינימום; הפתרון מתבצע באמצעות אלגוריתם ללימוד הפונקציה.

בכל מקרה, הדוגמאות שנפתרו יעזרו לך מאוד שכן הן מכסות את סוגי הפונקציות הפופולריים ביותר. אנו מציעים לכם מאות בעיות שכבר נפתרו, אבל, כידוע, יש מספר אינסופי של פונקציות מתמטיות בעולם, ומורים הם מומחים גדולים בהמצאת עוד ועוד משימות מסובכות לתלמידים עניים. אז, תלמידים יקרים, עזרה מוסמכת לא תזיק לכם.

פתרון בעיות מחקר פונקציות מותאמות אישית

במקרה זה, השותפים שלנו יציעו לך שירות נוסף - מחקר מלא באינטרנטלהורות. המשימה תושלם עבורך בהתאם לכל הדרישות לאלגוריתם לפתרון בעיות כאלה, מה שישמח מאוד את המורה שלך.

אנו נערוך עבורך מחקר מלא של הפונקציה: נמצא את תחום ההגדרה ותחום הערכים, נבחן המשכיות ואי-רציפות, נקים זוגיות, נבדוק את הפונקציה שלך לגבי מחזוריות ונמצא את נקודות החיתוך עם צירי הקואורדינטות. . וכמובן, עוד באמצעות חשבון דיפרנציאלי: נמצא אסימפטוטות, נחשב נקודות קיצון, נקודות פיתול ונבנה את הגרף עצמו.

נקודות ההתייחסות בעת לימוד פונקציות ובניית הגרפים שלהן הן נקודות אופייניות - נקודות של אי רציפות, קיצון, נטייה, חיתוך עם צירי קואורדינטות. באמצעות חשבון דיפרנציאלי, ניתן לקבוע את המאפיינים האופייניים לשינויים בפונקציות: עלייה וירידה, מקסימום ומינימום, כיוון הקמור והקיעור של הגרף, נוכחות אסימפטוטות.

ניתן (וצריך) לשרטט שרטוט של גרף הפונקציה לאחר מציאת האסימפטוטים ונקודות הקיצון, ונוח למלא את טבלת הסיכום של חקר הפונקציה ככל שהמחקר מתקדם.

בדרך כלל נעשה שימוש בסכימת לימוד הפונקציות הבאה.

1.מצא את תחום ההגדרה, מרווחי המשכיות ונקודות השבירה של הפונקציה.

2.בדוק את הפונקציה עבור זוגיות או אי זוגיות (סימטריה צירית או מרכזית של הגרף.

3.מצא אסימפטוטות (אנכיות, אופקיות או אלכסוניות).

4.מצא ולמד את מרווחי העלייה והירידה של הפונקציה, נקודות הקיצון שלה.

5.מצא את מרווחי הקמור והקיעור של העקומה, נקודות הפיתול שלה.

6.מצא את נקודות החיתוך של העקומה עם צירי הקואורדינטות, אם הן קיימות.

7.ערכו טבלת סיכום של המחקר.

8.נבנה גרף, תוך התחשבות בחקר הפונקציה המבוצעת על פי הנקודות שתוארו לעיל.

דוגמא.פונקציית חקור

ולבנות את הגרף שלו.

7. נרכיב טבלת סיכום ללימוד הפונקציה, בה נכניס את כל הנקודות האופייניות והמרווחים ביניהן. אם לוקחים בחשבון את הזוגיות של הפונקציה, נקבל את הטבלה הבאה:

				תכונות תרשים
[-1, 0[			גָדֵל	קָמוּר
				(0; 1) - נקודת מקסימום
]0, 1[			יורד	קָמוּר
				נקודת הפיתול נוצרת עם הציר שׁוֹרזווית קהה

ערכו מחקר שלם וצרף גרף של הפונקציה

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) היקף הפונקציה. מכיוון שהפונקציה היא שבר, עלינו למצוא את האפסים של המכנה.

1−x=0,⇒x=1.1−x=0,⇒x=1.

אנו לא כוללים את הנקודה היחידה x=1x=1 מתחום ההגדרה של הפונקציה ומקבלים:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) הבה נלמד את התנהגות הפונקציה בקרבת נקודת האי-רציפות. בואו נמצא מגבלות חד-צדדיות:

מכיוון שהגבולות שווים לאינסוף, הנקודה x=1x=1 היא אי רציפות מהסוג השני, הישר x=1x=1 הוא אסימפטוטה אנכית.

3) הבה נקבע את נקודות החיתוך של גרף הפונקציות עם צירי הקואורדינטות.

בוא נמצא את נקודות החיתוך עם ציר הסמין OyOy, עבורן נשווה x=0x=0:

לפיכך, לנקודת החיתוך עם ציר OyOy יש קואורדינטות (0;8)(0;8).

בוא נמצא את נקודות החיתוך עם ציר האבשסיס OxOx, שעבורן נקבע y=0y=0:

למשוואה אין שורשים, ולכן אין נקודות חיתוך עם ציר OxOx.

שים לב ש-x2+8>0x2+8>0 עבור כל xx. לכן, עבור x∈(−∞;1)x∈(−∞;1), הפונקציה y>0y>0 (לוקחת ערכים חיוביים, הגרף נמצא מעל ציר ה-x), עבור x∈(1;+∞ )x∈(1; +∞) פונקציה y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) הפונקציה אינה זוגית ואינה מוזרה כי:

5) הבה נבחן את הפונקציה למחזוריות. הפונקציה אינה תקופתית, מכיוון שהיא פונקציה רציונלית שברית.

6) הבה נבחן את הפונקציה של קיצוניות ומונוטוניות. לשם כך, נמצא את הנגזרת הראשונה של הפונקציה:

נשווה את הנגזרת הראשונה לאפס ונמצא נקודות נייחות (בהן y′=0y′=0):

קיבלנו שלוש נקודות קריטיות: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. הבה נחלק את כל תחום ההגדרה של הפונקציה למרווחים עם נקודות אלה ונקבע את הסימנים של הנגזרת בכל מרווח:

עבור x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) הנגזרת y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

עבור x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) הנגזרת y′>0y′>0, הפונקציה גדלה במרווחים אלה.

במקרה זה, x=−2x=−2 היא נקודת מינימום מקומית (הפונקציה יורדת ואז גדלה), x=4x=4 היא נקודת מקסימום מקומית (הפונקציה גדלה ואז יורדת).

בואו נמצא את ערכי הפונקציה בנקודות הבאות:

לפיכך, נקודת המינימום היא (−2;4)(−2;4), נקודת המקסימום היא (4;−8)(4;−8).

7) הבה נבחן את הפונקציה של קינקים וקמורות. בוא נמצא את הנגזרת השנייה של הפונקציה:

נשווה את הנגזרת השנייה לאפס:

למשוואה המתקבלת אין שורשים, ולכן אין נקודות פיתול. יתרה מכך, כאשר x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 מסופק, כלומר, הפונקציה קעורה, כאשר x∈(1;+∞)x∈( 1;+ ∞) מסופק על ידי y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) הבה נבחן את התנהגות הפונקציה באינסוף, כלומר ב.

מכיוון שהגבולות הם אינסופיים, אין אסימפטוטות אופקיות.

בואו ננסה לקבוע אסימפטוטים אלכסוניים בצורה y=kx+by=kx+b. אנו מחשבים את הערכים של k,bk,b באמצעות נוסחאות ידועות:

מצאנו שלפונקציה יש אסימפטוטה אלכסונית אחת y=−x−1y=−x−1.

9) נקודות נוספות. בוא נחשב את ערך הפונקציה בכמה נקודות אחרות כדי לבנות את הגרף בצורה מדויקת יותר.

y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.

10) על סמך הנתונים שהתקבלו, נבנה גרף, נשלים אותו באסימפטוטים x=1x=1 (כחול), y=−x−1y=−x−1 (ירוק) ונסמן את הנקודות האופייניות (חתך סגול עם הסמטה ציר, קיצון כתום, נקודות נוספות שחורות):

משימה 4: בעיות גיאומטריות, כלכליות (אין לי מושג מה, הנה מבחר משוער של בעיות עם פתרונות ונוסחאות)

דוגמה 3.23. א

פִּתָרוֹן. איקסו y y
y = a - 2×a/4 =a/2. מכיוון ש-x = a/4 היא הנקודה הקריטית היחידה, בואו נבדוק האם הסימן של הנגזרת משתנה במעבר בנקודה זו. עבור xa/4 S " > 0, ועבור x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

דוגמה 3.24.

פִּתָרוֹן.
R = 2, H = 16/4 = 4.

דוגמה 3.22.מצא את הקיצוניות של הפונקציה f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

פִּתָרוֹן.מכיוון ש-f "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x ​​​​-2)(x - 3), אז הנקודות הקריטיות של הפונקציה x 1 = 2 ו-x 2 = 3. אקסטרמה יכולה להיות רק ב נקודות אלו. כך שכאשר עוברים דרך הנקודה x 1 = 2 הנגזרת משנה את הסימן שלה מפלוס למינוס, אז בשלב זה יש לפונקציה מקסימום. כאשר עוברים דרך הנקודה x 2 = 3 הנגזרת משנה את הסימן שלה ממינוס עד פלוס, לכן בנקודה x 2 = 3 לפונקציה יש מינימום. לאחר חישוב ערכי הפונקציה בנקודות
x 1 = 2 ו-x 2 = 3, נמצא את הנקודות הקיצוניות של הפונקציה: מקסימום f(2) = 14 ומינימום f(3) = 13.

דוגמה 3.23.יש צורך לבנות אזור מלבני ליד חומת האבן כך שהוא מגודר משלושת הצדדים ברשת תיל, והצד הרביעי צמוד לקיר. בשביל זה יש אמטרים ליניאריים של רשת. באיזה יחס רוחב-גובה יהיה האתר בעל השטח הגדול ביותר?

פִּתָרוֹן.הבה נסמן את הצדדים של הרציף ב איקסו y. שטח האתר הוא S = xy. לתת y- זהו אורך הצד הצמוד לקיר. לאחר מכן, לפי תנאי, השוויון 2x + y = חייב להתקיים. לכן y = a - 2x ו-S = x(a - 2x), כאשר
0 ≤ x ≤ a/2 (האורך והרוחב של הרפידה אינם יכולים להיות שליליים). S " = a - 4x, a - 4x = 0 ב-x = a/4, ומכאן
y = a - 2×a/4 =a/2. מכיוון ש-x = a/4 היא הנקודה הקריטית היחידה, בואו נבדוק האם הסימן של הנגזרת משתנה במעבר בנקודה זו. עבור xa/4 S " > 0, ועבור x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

דוגמה 3.24.נדרש לייצר מיכל גלילי סגור בקיבולת V=16p ≈ 50 מ'3. מה צריכות להיות מידות המיכל (רדיוס R וגובה H) כך שכמות החומר הקטנה ביותר תשמש לייצורו?

פִּתָרוֹן.שטח הפנים הכולל של הגליל הוא S = 2pR(R+H). אנו יודעים את נפח הגליל V = pR 2 N Þ N = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . משמעות הדבר היא S(R) = 2p(R 2 +16/R). אנו מוצאים את הנגזרת של פונקציה זו:
S " (R) = 2p(2R- 16/R 2) = 4p (R- 8/R 2). S " (R) = 0 עבור R 3 = 8, לכן,
R = 2, H = 16/4 = 4.

מידע קשור.

כדי ללמוד את הפונקציה במלואה ולשרטט את הגרף שלה, מומלצת הסכמה הבאה:
א) למצוא את תחום ההגדרה, נקודות שבירה; חקור את ההתנהגות של פונקציה ליד נקודות אי-רציפות (מצא את גבולות הפונקציה משמאל ומימין בנקודות אלו). ציין את האסימפטוטות האנכיות.
ב) לקבוע אם פונקציה זוגית או אי-זוגית ולהסיק שיש סימטריה. אם , אז הפונקציה זוגית וסימטרית על ציר OY; כאשר הפונקציה אי-זוגית, סימטרית לגבי המקור; ואם הוא פונקציה של צורה כללית.
ג) מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם צירי הקואורדינטות OY ו-OX (אם אפשר), קבע את מרווחי הסימן הקבוע של הפונקציה. גבולות המרווחים של סימן קבוע של פונקציה נקבעים לפי הנקודות שבהן הפונקציה שווה לאפס (אפסים פונקציה) או לא קיימת וגבולות תחום ההגדרה של פונקציה זו. במרווחים שבהם גרף הפונקציה ממוקם מעל ציר OX, ואיפה - מתחת לציר זה.
ד) מצא את הנגזרת הראשונה של הפונקציה, קבע את האפסים והמרווחים של הסימן הקבוע שלה. במרווחים שבהם הפונקציה עולה ואיפה היא יורדת. עשו מסקנה לגבי נוכחות קיצוניות (נקודות שבהן קיימות פונקציה ונגזרת ובמעבר בהן היא משנה סימן. אם הסימן משתנה מפלוס למינוס, אז בשלב זה יש לפונקציה מקסימום, ואם ממינוס לפלוס , ואז מינימום). מצא את ערכי הפונקציה בנקודות הקיצון.
ד) מצא את הנגזרת השנייה, האפסים שלה ומרווחי הסימן הקבוע. במרווחים איפה< 0 график функции выпуклый, а где – вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках.
ה) מצא אסימפטוטות משופעות (אופקיות), שלמשוואותיהן יש את הצורה ; איפה
.
בְּ לגרף של הפונקציה יהיו שתי אסימפטוטות מלוכסנות, וכל ערך של x ב ו יכול להתאים גם לשני ערכים של b.
ז) למצוא נקודות נוספות להבהרת הגרף (במידת הצורך) ולבנות גרף.

דוגמה 1 חקור את הפונקציה ובנה את הגרף שלה. פתרון: א) תחום ההגדרה ; הפונקציה רציפה בתחום ההגדרה שלה; – נקודת שבירה, כי ;. לאחר מכן - אסימפטוטה אנכית.
ב)
הָהֵן. y(x) היא פונקציה של צורה כללית.
ג) מצא את נקודות החיתוך של הגרף עם ציר OY: הגדר x=0; ואז y(0)=–1, כלומר. הגרף של הפונקציה חוצה את הציר בנקודה (0;-1). אפסים של הפונקציה (נקודות חיתוך של הגרף עם ציר OX): הגדר y=0; לאחר מכן
.
ההבחנה של משוואה ריבועית קטנה מאפס, כלומר אין אפסים. אז הגבול של מרווחי הסימן הקבוע הוא הנקודה x=1, שבה הפונקציה לא קיימת.
הסימן של הפונקציה בכל אחד מהמרווחים נקבע בשיטת הערכים החלקיים:

מהדיאגרמה ברור שבמרווח גרף הפונקציה ממוקם מתחת לציר OX, ובמרווח - מעל ציר OX.
ד) אנו מגלים נוכחות של נקודות קריטיות.
.
אנו מוצאים נקודות קריטיות (היכן או לא קיימות) מהשוויון ו.

נקבל: x1=1, x2=0, x3=2. בואו ניצור טבלת עזר

שולחן 1

(השורה הראשונה מכילה נקודות קריטיות ואת המרווחים אליהם מחולקים נקודות אלו על ידי ציר OX; השורה השנייה מציינת את ערכי הנגזרת בנקודות קריטיות ואת הסימנים במרווחים. הסימנים נקבעים על פי הערך החלקי השורה השלישית מציינת את ערכי הפונקציה y(x) בנקודות קריטיות ומציגה את התנהגות הפונקציה - עליה או ירידה במרווחים המתאימים של הציר המספרי. בנוסף, נוכחות של מינימום או מקסימום היא ציין.
ד) מצא את מרווחי הקמורות והקיעור של הפונקציה.
; לבנות טבלה כמו בנקודה ד'); רק בשורה השנייה רושמים את הסימנים, ובשלישית מציינים את סוג הקמור. כי ; אז הנקודה הקריטית היא x=1 אחד.
שולחן 2

הנקודה x=1 היא נקודת הפיתול.
ה) מצא אסימפטוטות אלכסוניות ואופקיות

אז y=x היא אסימפטוטה אלכסונית.
ז) על סמך הנתונים שהתקבלו, בונים גרף של הפונקציה

דוגמה2 ערכו מחקר מלא של הפונקציה ובנו את הגרף שלה. פִּתָרוֹן.

1). היקף הפונקציה.
ברור שפונקציה זו מוגדרת על כל קו המספרים, למעט הנקודות "" ו"", כי בנקודות אלו המכנה שווה לאפס, ולכן, הפונקציה לא קיימת, וישרים הם אסימפטוטים אנכיים.

2). ההתנהגות של פונקציה כטיעון נוטה לאינסוף, קיומן של נקודות אי-רציפות ובדיקת קיומן של אסימפטוטות אלכסוניות.
קודם כל נבדוק איך הפונקציה מתנהגת כשהיא מתקרבת לאינסוף שמאלה וימינה.

לפיכך, כאשר הפונקציה שואפת ל-1, כלומר. - אסימפטוטה אופקית.
בקרבת נקודות אי-רציפות, התנהגות הפונקציה נקבעת באופן הבא:


הָהֵן. כאשר מתקרבים לנקודות אי-רציפות משמאל, הפונקציה יורדת לאין שיעור, ומימין היא גדלה לאין שיעור.
אנו קובעים את נוכחותה של אסימפטוטה אלכסונית על ידי התחשבות בשוויון:

אין אסימפטוטות אלכסוניות.

3). נקודות חיתוך עם צירי קואורדינטות.
כאן יש לשקול שני מצבים: מצא את נקודת החיתוך עם ציר השור וציר Oy. סימן ההצטלבות עם ציר השור הוא הערך האפס של הפונקציה, כלומר. יש צורך לפתור את המשוואה:

למשוואה זו אין שורשים, לכן, לגרף של פונקציה זו אין נקודות חיתוך עם ציר השור.
סימן ההצטלבות עם ציר Oy הוא הערך x = 0. במקרה זה
,
הָהֵן. – נקודת החיתוך של גרף הפונקציות עם ציר Oy.

4).קביעת נקודות קיצון ומרווחי עלייה וירידה.
כדי ללמוד סוגיה זו, אנו מגדירים את הנגזרת הראשונה:
.
הבה נשווה את הערך של הנגזרת הראשונה לאפס.
.
שבר שווה לאפס כאשר המונה שלו שווה לאפס, כלומר. .
הבה נקבע את מרווחי העלייה והירידה של הפונקציה.

לפיכך, לפונקציה יש נקודת קיצון אחת והיא אינה קיימת בשתי נקודות.
לפיכך, הפונקציה עולה על המרווחים ו ופוחתת על המרווחים ו.

5). נקודות פיתול ואזורי קמור וקעור.
מאפיין זה של התנהגות פונקציה נקבע באמצעות הנגזרת השנייה. תחילה נקבע את נוכחותן של נקודות פיתול. הנגזרת השנייה של הפונקציה שווה ל

מתי והפונקציה קעורה;

מתי והפונקציה קמורה.

6). גרף של פונקציה.
באמצעות הערכים שנמצאו בנקודות, נבנה באופן סכמטי גרף של הפונקציה:

דוגמה3 פונקציית חקור ולבנות את הגרף שלו.

פִּתָרוֹן
הפונקציה הנתונה היא פונקציה לא מחזורית בצורה כללית. הגרף שלו עובר דרך מקור הקואורדינטות, שכן .
תחום ההגדרה של פונקציה נתונה הוא כל ערכי המשתנה למעט ואשר המכנה של השבר הופך לאפס.
כתוצאה מכך, הנקודות הן נקודות האי-רציפות של הפונקציה.
כי ,

כי ,
, אז הנקודה היא נקודת אי-רציפות מהסוג השני.
הקווים הישרים הם האסימפטוטים האנכיים של גרף הפונקציה.
משוואות של אסימפטוטות אלכסוניות, כאשר, .
בְּ ,
.
לפיכך, עבור ולגרף הפונקציה יש אסימפטוטה אחת.
בואו נמצא את מרווחי העלייה והירידה של הפונקציה ונקודות הקיצון.
.
הנגזרת הראשונה של הפונקציה at ולפיכך, at והפונקציה עולה.
כאשר, אם כן, כאשר, הפונקציה פוחתת.
לא קיים עבור , .
לכן, מתי הגרף של הפונקציה הוא קעור.
בְּ לכן, מתי הגרף של הפונקציה קמור.

כאשר עוברים דרך הנקודות , , משנה סימן. כאשר , הפונקציה אינה מוגדרת, לכן, לגרף של הפונקציה יש נקודת פיתול אחת.
בואו נבנה גרף של הפונקציה.